Segunda-feira, 5 de mar¸co de 2018 Apresenta¸c˜ao do curso

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Registro das aulas e exerc´ıcios sugeridos - Atualizado 26.6.2018

1. Segunda-feira, 5 de mar¸co de 2018

Apresenta¸cão do curso. Veja-se o arquivo relativo às informa¸cões do curso na minha pagina web www.ime.usp.br/∼pluigi

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Os principais sistemas numéricos usados no curso: o conjunto N dos números naturais, Z dos números inteiros relativos,Qdos números racionais e Rdos números reais.

Defini¸cão (intuitiva) de número real: um número real é um alinhamento decimal, limitado ou não, periódico ou não, com sinal.

Vamos dar como conhecidas as opera¸cões algébicas de soma e produto, as propriedades delas, a rela¸cão de ordem e o axioma de continuidade. A parte seguinte em azul é um aprofundamento desses conceitos. O leitor interessado pode continuar a leitura, mas essa parte não será cobrada.

EmRsão definidas duas opera¸cões,somaeprodutoe umarela¸cão de ordem, que verificam as propriedades seguintes:

S1) Propriedade comutativa da soma: ∀a, b∈R,a+b=b+a;

S2) Propriedade associativa da soma: ∀a, b, c∈R, (a+b) +c=a+ (b+c);

S3) Existˆencia do elemento neutro da soma: ∀a∈R,a+ 0 =ae 0 ´e dito elemento neutro da soma;

S4) Existˆencia do oposto: ∀a∈R existe um elemento deR,−a, dito oposto de a, tal que a+ (−a) = 0 (a+ (−a) = 0 pode ser escrito simplesmentea−a= 0).

Analogamente temos propriedade do produto:

P1) Propriedade comutativa do produto: ∀a, b∈R,ab=ba;

P2) Propriedade associativa do produto: ∀a, b, c∈R, (ab)c=a(bc);

P3) Existˆencia do elemento neutro do produto: ∀a∈R,a·1 =ae 1 ´e dito elemento neutro do produto;

P4) Existˆencia do inverso: ∀a∈R,a6= 0, existe um elemento deR, 1/a, tal quea·1/a= 1.

Apropriedade distributiva liga soma e produto:

SP) ∀a, b, c∈R,(a+b)c=ac+bc.

As duas propriedade seguintes ligam a soma e o produto ao ordenamento:

OS) ∀a, b, c∈R, se a≤b, ent˜ao a+c≤b+c;

OP) ∀a, b, c∈R, conc >0, se a≤b, ent˜ao ac≤bc.

A rela¸c˜ao de ordem verifica tambem as propriedades transitiva e anti-sim´etrica.

Todas essas propriedades podem ser demonstradas a partir de uma defini¸cão mais rigorosa, e não somente intuitiva, do conjunto R dos números reais. A questão é delicada. No sec. XIX, diante de um grande desenvolvimento da Matemática, foi percebido que era necessária uma abordagem rigorosa e não intuitiva aos números reais. Vários matemáticos se ocuparam disso. Entre eles. G. Peano, G. Cantor, R. Dedekind.

Tente dar uma olhada (por exemplo nas p´aginas wikipedia) a esses personagens.

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De um jeito diferente, mas equivalente, foi dada uma defini¸cão axiomática do conjunto dos números reais: R é um conjunto abstrato com duas opera¸cões, soma e produto, e uma rela¸cão de ordem tais que as 11 propriedades acima são verificadas, assim como uma outra propriedade, o axioma de continuidade, que veremos a seguir. Desse jeito as propriedades acima não precisam ser demonstradas, mas se tornam axiomas, fatos que fondam o nascimento de R. Todas as outras propriedades algébricas de R podem ser provadas unicamente usando as 11 propriedades acima.

O exerc´ıcio seguinte pode parecer bizarro. Os itens devem ser provados usando unicament as 11 propriedades acima.

Exerc´ıcio 1.Provar, usando as primeiras 11 propriedades dos n´umeros reais, as propriedades seguintes:

1) ∀a∈R,a·0 = 0;

2) ∀a∈R,a >0⇒ −a <0;

3) ∀a, b∈R, sea >0 eb <0, ent˜ao ab <0;

4) ∀a, b, c∈R, se c <0, sea≤b, ent˜aoac≥bc;

5) ∀a, b,∈R, coma >0,b >0,a≤bse e somente sea² ≤b². 6) ∀a, b,∈R, coma >0,b >0,a≤bse e somente se 1/a≥1/b.

Em outras palavras, os exerc´ıcios anteriores precisam de uma abordagem à qual o aluno não está acos- tumado. Por exemplo: parece óbvio que, dado um número a ∈ R, temos a·0 = 0. Porque precisa ser demonstrado? Porque neste caso o esfor¸co é aquele de “esquecer” aquilo que conhecemos sobre os números.

Eles s˜ao, neste exerc´ıcio, simplesmente e unicamente um conjunto que verifica as propriedades listadas acima.

Portanto a demonstra¸c˜ao de quea·0 = 0 deve se basear no uso de algumas das propriedades acima e nada mais.

Se o aluno encontra dificuldade nestes exerc´ıcios acima, não deve ficar preocupado. O objetivo é ver a lógica que fica atrás desta constru¸cão.

O conceito de conjunto será pensado como conceito primitivo, ou seja, cole¸cão de objetos. Não iremos aprofundar a teoria dos conjuntos.

Exerc´ıcio 2. Prove as propriedades distributivas: dados trˆes conjuntos A,B e C, 1)A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C),

2)A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C),

e asLeis de De Morgan: dados trˆes conjuntos A,B e C contidos num conjuntoU, 3)C_U(A∪B) =C_UA∩ C_UB,

4)C_U(A∩B) =C_UA∪ C_UB.

Exerc´ıcios: escreva a união e a interse¸cão de A e B. Diga se vale A ⊆ B ou B ⊆ A. Determine A\B e B\A. Lembro que o conjunto A\B é definido como o conjunto dos elementos que pertencem a A e não pertencem aB

3. A= (0,1), B= [0,1] 4. A= (−∞,0),B = [−1,5]

5. A=

2n

2n+ 1, n∈N

,B = n

n+ 1, n∈N

6. A= (0,2)∪(3,4),B = [2,3] 7. A= (−3,0], B = [−2,2)

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2. Quarta-feira, 7 de mar¸co de 2018

Seja agora E um subconjunto de R. Um número real M é dito majorante de E se x ≤ M para todo x∈E. Um número real m é ditominorante de E sex≥m para todox∈E.

Um conjunto E é dito limitado superiormente se admite pelo menos um majorante, enquanto é dito limitado inferiormente se admite pelo menos um minorante. É dito limitado se é limitado superiormente e inferiormente.

SeEé limitado superiormente definimossupremo deE, supE, o m´ınimo dos majorantes; seEé limitado inferiormente definimos ´ınfimo de E, infE, o máximo dos minorantes. Se E é ilimitado superiormente escrevemos supE = +∞, seE é ilimitado inferiormente escrevemos infE =−∞.

Omáximo de um conjunto E é o elemento maior, se existe, enquanto o m´ınimo é o elemento menor, se existe.

Um conjunto ´e dito finito se possui um n´umero finito de elementos.

Propriedade (ou axioma) de continuidade: um conjunto de n´umeros reais, limitado superiormente (inferiormente) admite supremo (´ınfimo) emR.

A demonstra¸cão, não trivial, da propriedade acima não é um objetivo do nosso curso.

Q não verifica a propriedade de continuidade. Prove este fato como exerc´ıcio. É uma conseqüência do fato de que, por exemplo, não existe nenhum racional cujo quadrado seja 2.

Exerc´ıcios: Determine o supremo e o ´ınfimo dos conjuntos seguintes e, se existem, o m´aximo e o m´ınimo

8. (2,3) 9. [0,+∞)

10. [−5,1)∪(1,4] 11. (0,3]∪[3,5]

12.

1− 1

n, n≥1

∪

1 + 1

n, n≥1

13. S

n≥2

− 1

2n,1− 1 n

14. {x∈Q:x²<2} 15.

2n

n²+ 1, n∈N

Defini¸cão de raiz n-esima. Dados um número inteiro n≥1 e um número real não negativo x, a raiz enésima dex, em s´ımbolos √ⁿ

x, é o número não negativoy tal queyⁿ=x.

Exerc´ıcio 16. Prove que, dado x > 0, a raiz quadrada de x é única (sugestão: usar a propriedade que liga o ordenamento e o produto).

Dado un número real a, definimos módulo (ouvalor absoluto) de anúmero não negativo

|a|=

( a sea≥0

−a sea <0.

Exerc´ıcio 17. Prove asdesigualdades triangulares seguintes: para todosa, b∈R,

|a+b| ≤ |a|+|b|, |a−b| ≥ |a| − |b|.

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Exerc´ıcio: Escrever a união e a interse¸cão dos seguintes pares de conjuntos Ae B. Dizer se vale a rela¸cão A⊆B ouB ⊆A. Determinar enfimA\B e B\A.

18. A={x∈R:√

x²−4≥0},B ={x∈R:x²−4≥0}

Resolver as inequa¸c˜oes seguintes.

19. x²−2x−1≤0 20. 3x²−x+ 2>0 21. x−2

x+ 1 > 1

x−1 22. x²+x−1

x²−2x+ 1≤ 1 2 23. x⁴−3

4x² > 1

4 24. x² ≤1

25. 2

x + 3< 4

x −1 26. 3

x² + 1≤x²−1 27. √

x−1< x−3 28. √

x²+ 2x−1>3−x 29. √

x−1<√

x 30. |x²−4x−5|>−x 31. √

−x <5 +x 32. | −6x+ 3|>−x+ 2

Exerc´ıcio 33. Sejam A e B dois subconjuntos de R tais que A ⊆ B. Prove que supA ≤ supB e infA≥infB.

Exerc´ıcio 34. Seja A = S

n≥2

An, onde, para cada n, An =

− 1

2n,1− 1 n

. Determine supremo, ´ınfimo, m´aximo e m´ınimo (se existem)

Dados aeb reais, defini¸c˜ao de intervalo de extremos ae b:

[a, b] ={x∈R:a≤x≤b}, [a, b) ={x∈R:a≤x < b}, (a, b] ={x∈R:a < x≤b}, (a, b) ={x∈R:a < x < b}.

O primeiro ´e dito fechado, o quarto ´e dito aberto. Intervalos ilimitados:

[a,+∞) ={x∈R:a≤x}, (a,+∞) ={x∈R:a < x}, (−∞, b] ={x∈R:x≤b}, (−∞, b) ={x∈R:x < b}.

3. Sexta-feira, 9 de mar¸co de 2018

Defini¸cão de fun¸cão. Dados A e B conjuntos quaisquer, umafun¸cão f :A →B é una lei que a cada elemento deA associa um e só um elemento de B.

Ase chamadom´ınioda fun¸c˜ao,B´e ditocontradom´ınio. O conjunto dos valores atingidos porf se chama imagem def, Im (f) ouf(A), ou seja:

Im (f) ={y∈B : existe x∈A tal quef(x) =y}.

Im (f) ´e um subconjunto do contradom´ınio (pode ser igual).

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A fun¸cão é ditainjetora se, para todosa, b∈A, tais que a6=b, temosf(a)6=f(b). É dita sobrejetora se Im (f) =B. Sef é injetora e sobrejetora é chamadabijetora (oucorrespondência biun´ıvoca).

Defini¸cão. Dado um subconjunto E de R, uma fun¸cão real é uma fun¸cão f :E →R. Exemplos.

(1) f :R→R,f(x) =x.

(2) f :R→R, definida porf(x) =√

x, não é uma fun¸cão. De fato, para cada x <0,√

x n˜ao existe.

(3) Pelo contrário, é bem definida a fun¸cão f : [0,+∞)→R,f(x) =√ x.

(4) f :R→R,f(x) =x². Im (f) = [0,+∞).

(5) f : [0,1]→R,f(x) =x². O dom´ınio e a imagem desta fun¸cão são diferentes dos aqueles do exemplo anterior. Se duas fun¸cões têm dom´ınios diferentes são duas fun¸cões, ainda se possuem a mesma lei.

(6) f :R→R,f(x) =

( 1/x sex6= 0 0 sex= 0.

(7) f : [0,4]→R,f(x) =

( x+ 3 se 0≤x≤3 x²−5 se 3< x≤4.

E dito´ gr´afico de f o subconjunto de R²

G(f) ={(x, y)∈R² tal quex∈E, y=f(x)}.

A fun¸c˜ao √

x, assim como √ⁿ

x, é definida, lembre-se, gra¸cas ao teorema de existência da raiz quadrada, mais em geraln-esima, que vamos aqui lembrar. A prova será dada em seguida, precisando do conceito de fun¸cão cont´ınua.

Teorema. (Existência e unicidade da raiz n-esima. A demonstra¸cão é adiada.) Dado x ≥ 0 e dado n∈N,n≥1, existe e é único o número positivo y tal queyⁿ=x. y se chamaraiz enésima dex.

Lembre que a prova da unicidade ´e f´acil e pode ser feita como exerc´ıcio.

Exerc´ıcios: dadas as fun¸c˜oes seguintes, calcule a imagem dos conjuntos indicados ao lado 35. x³+ 2, (−1,1) 36. x+ 3, [0,5]

37. 2|x|, (−1,3) 38. x²+|x|, (−3,2)

39. [x−2]², (−2,2] 40. (dif´ıcil) x(x−[x]), (−1,+∞)

No exerc´ıcio acima [x−2] é a parte inteira dex−2. A parte inteira de um número realx, denotada pelo s´ımbolo [x], é o maior inteiro que não ultrapassax. Por exemplo: [1] = 1, [9/4] = 2, [−1/2] =−1, etc.

Exerc´ıcio 41. Uma fun¸cão f :R →R é chamada par se f(x) = f(−x), para todo x. É chamada impar sef(x) =−f(−x), para todox. Prove que x²+ 1 é par e que x³−x

x²+ 1 ´e impar.

SejamA,B dois conjuntos, ef :A→B uma fun¸c˜ao dada. Dado um subconjuntoC deB, ´e ditoimagem inversa deC o conjunto {x∈A:f(x)∈C}.

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Dadaf :E →Re dado um suconjuntoB de E, a fun¸cãog:B →R, definida porg(x) =f(x) para todo x∈B é ditarestri¸cão def emB, o s´ımbolo é f|_B.

Sef :A→B é injetora, definimos afun¸cão inversa def como a fun¸cão g: Imf →A que associa a cada y∈Imf o único x ∈A tal quef(x) =y. Neste caso f é também chamada invers´ıvel e a fun¸cão inversa é denotada, em geral, porf⁻¹.

Observa¸cão: cuidado em não fazer confusão entre a imagem inversa (de um conjunto) que sempre é um conjunto e a fun¸cão inversa, quando existe, que é uma fun¸cão. A nota¸cão não ajuda, sendo f⁻¹ o mesmo s´ımbolo para os dois conceitos.

Uma fun¸cão f :E →Ré ditamonótona crescente (resp. estritamente crescente) se, para cadax₁,x₂ em E, comx1< x2, resulta f(x1)≤f(x2) (resp. f(x1)< f(x2)).

Uma fun¸cão f :E → Ré ditamonótona decrescente (resp. estritamente decrescente) se, para cada x₁, x₂ emE, com x₁ < x₂, resulta f(x₁)≥f(x₂) (resp. f(x₁)> f(x₂)).

Exerc´ıcio 42. Estudar a monotonia das fun¸c˜oes seguintes:

(1) f :R→R,f(x) =x², (2) f : [2,6]→R,f(x) =x⁴, (3) f : [0,+∞)→R,f(x) =√

x, (4) f : (−∞,−2), f(x) =√

−x, (5) f[−5,−4]∪[1,2], f(x) = 1/x.

Exerc´ıcio 43. Desenhar os gr´aficos das fun¸c˜oes acima.

Exerc´ıcio 44. Provar que a soma e de duas fun¸cões crescentes é uma fun¸cão crescente. E o produto?

Exerc´ıcios: dadas as fun¸c˜oes seguintes, calcule a imagem inversa dos conjuntos indicados ao lado

45. 2−x, (−10,3] 46. x²−x+ 3, (0,5) 47. x

x−2, R 48. p

|x−1|, [0,1]

49. [1 +x²], (1,4) 50. sign (x²−2), (1/2,2)

Determine, para cada fun¸c˜ao seguinte, o maior dom´ınio onde ´e invers´ıvel.

51. f(x) =

( x+ 2 se 0< x <1

x+ 1 se 2< x <3 52. f(x) =

( x² se −1< x≤0 x−1 se 1≤x <2

Exerc´ıcio 53. Prove que uma fun¸c˜ao estritamente crescente ou decrescente ´e invers´ıvel. Se f :A→R

é invers´ıvel, necessariamente é estritamente monótona? Procure exemplos.

Exerc´ıcio 54. A fun¸c˜ao f :R→R, definida como f(x) =x² ´e invers´ıvel?

Exerc´ıcio 55. A fun¸c˜ao f :R→R, definida como f(x) =x³ ´e invers´ıvel?

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Exerc´ıcio 56. A fun¸c˜ao f : [−3,−2]∪[0,1]→R, definida comof(x) =x² ´e invers´ıvel?

Exerc´ıcio 57. A fun¸c˜ao f :R→R, definida como f(x) =p

|x|´e invers´ıvel?

Exerc´ıcio 58. A fun¸c˜ao f : [0,+∞)→R, definida como f(x) =√

x³+x⁴+ 2 ´e invers´ıvel?

As fun¸cões trigonométricas. Seja a circunferência C do plano cartesiano, com centro na origem e raio 1, ditacircunferência trigonométrica. Observando a figura, Aé o ponto de coordenadas (1,0) enquantoP

é um ponto qualquer em C. Movendo-se P sobre a circunferência, o arco de extremos A e P no sentido anti-horário tem um comprimento entre 0 e 2π.

- 6

A O

P

Chamox este comprimento, portanto x∈[0,2π]. Definimos oseno de x, senx, como a ordenada de P, e ocosseno de x, cosx, como a abscissa di P.

O dom´ınio pode ser estendido de [0,2π] a R.

Portanto, as fun¸cões senxe cosxsão definidas emRcom imagem igual ao intervalo [−1,1]; são periodicas com per´ıodo 2π.

Conseq¨uˆencia imediata do teorema de Pitagora: sen²x+ cos²x= 1 para todo x∈R.

As fórmulas algébricas das fun¸cões trigonométricas podem ser provadas usando a ferramenta clássica da geometria euclidiana. Vamos lembrar algumas delas, sem prova.

Dados x, y∈R, adi¸c˜ao:

sen (x+y) = senxcosy+ senycosx, cos(x+y) = cosxcosy− senxseny;

prostaf´erese

senx− seny= 2 cosx+y

2 senx−y

2 , cosx−cosy =−2 senx+y

2 senx−y 2 .

Exerc´ıcio 59. Determine sen 2xe cos 2xem fun¸cão de senxe cosx(fórmulas de duplica¸cão). Determine senx

2 e cosx

2 em fun¸cão de senx e cosx (fórmulas de divisão).

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Uma outra fun¸cão trigonométrica é a tangente:

tgx= senx cosx,

definida quando o coseno não é nulo; portanto o dom´ınio é o conjunto n

x∈R:x6= π

2 +kπ, k ∈Z o

.

Exerc´ıcio 60. Provar que a tangente é periódica com per´ıodo π. Dica: use as fórmulas de duplica¸cão.

A fun¸cões trigonométricas não são invert´ıveis (porque são periódicas). Porém, observamos que senx é estritamente crescente em [−π/2, π/2]. Então, a restri¸cão de senxa [−π/2, π/2] é invert´ıvel. A sua fun¸cão inversa se chamaarcoseno, arcsen : [−1,1]→Rcom imagem igual a [−π/2, π/2].

Analogamente, cosx`e invert´ıvel em [0, π]. A sua fun¸c˜ao inversa se chamaarcocosseno, arccos : [−1,1]→ R, com imagem [0, π].

A tangente `e invert´ıvel em (−π/2, π/2). A sua fun¸c˜ao inversa se chama arcotangente, arctg :R →R, e tem imagem (−π/2, π/2).

grafici di f(x) = senxef(x) = cosx.

- 6

y= senx

- 6

y= cosx

grafico dif(x) = tgx.

- 6

y= tgx

gr´aficos def(x) = arcsenx,f(x) = arccosxef(x) = arctgx.

- 6

Exerc´ıcio 61. Desenhe o gr´afico def(x) = [2x+ 1] (parte inteira).

(9)

Exerc´ıcio (dif´ıcil) 62. Desenhe o gr´afico def(x) = 1 + 2 x

1 +x²

(parte inteira).

Exerc´ıcios. Diga se as fun¸cões seguintes são periódicas. Se sim, encontre o per´ıodo.

63. xcosx, 64. 6 sen²x,

65. 1 + tgx, 66. sen (x²),

67. 4, 68. [x],

69. cos 4x, 70. sen (3x).

Exerc´ıcios. Diga se as fun¸c˜oes seguintes s˜ao pares ou impares.

71. x²+ 1, 72. senx

x , 73. x³−x

x²+ 1, 74. [x],

75. senx², 76. cos 3x.

Uma outra fam´ılia de fun¸cões são as potências com expoente racional. Sené inteiro,n≥1, sabemos que existe e é única a raiz n-esima dex (veja-se o teorema da página 5). Portanto é definida a fun¸cão √ⁿ

x. Se né par, o dom´ınio é [0,+∞), sené impar, o dom´ınio é R. A raiz √ⁿ

x pode ser denotada pelo s´ımbolo xⁿ¹. Dado um racional positivo qualquer,m/n, ondemensão primos ente si, é definida a fun¸cãox^m/n = √ⁿ

x^m, cujo dom´ınio é [0,+∞) sené par, enquanto é Rsené impar.

Dado um racional negativo,m/n, ondem, n ∈Z são primos ente si, é definida a fun¸cão x^m/n = 1 x^−m/n, cujo dom´ınio é (0,+∞) sené par, enquanto éR\{0}se né impar.

Exerc´ıcio 77. Escreva em detalhes o processo resumido acima. Ou seja, a constru¸cão das potências com expoente racional a partir das potências com expoente inteiro e positivo.

Exerc´ıcio 78. Determine para quais valores do expoenter racional a fun¸c˜aox^r pode ser definida em tudo R.

Exerc´ıcio 79. Dado a < 0, a gente poderia definir a⁰ = 1. O leitor explique quais problemas provocaria uma defini¸c˜ao deste tipo.

Exerc´ıcio 80. seja apositivo, real, fixado e diferente de 1. Considere a fun¸c˜ao f(r) =a^r, definida em Q.

Prove que

(1) f ´e estritamente crescente se a >1;

(2) f ´e estritamente decrescente se a <1.

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Agora, por meio do exerc´ıcio acima, podemos finalmente dar a defini¸cão das potências com expoente real (de fato, irracional, porque se o expoente for racional, acabamos de fazer a constru¸cão). Ou seja podemos definir 2^π, por exemplo. O método é o seguinte. Sejam a >0 e b∈R, fixados. Suponhamos primeiramente queaseja maior de 1. Definimos

a^b = sup{a^r: r∈Qer≤b}.

Se for 0< a <1, definimos analogamente

a^b= inf{a^r : r ∈Qer ≥b}.

Exerc´ıcio 81. O leitor analise esta defini¸c˜ao, conforme foi feito na ´aula.

Podemos provar, mas é um exerc´ıcio longo e cansativo, que as potências com expoente real verificam as clássicas propriedades das potências, que daqui para frente serão normalmente usadas quando for necessário.

Sejam duas fun¸cõesf :A→Reg:B →R, tais que Imf ⊆B. Definimosfun¸cão compostag◦f :A→R, a fun¸cão

(g◦f)(x) =g(f(x)).

Analogamente, se Img⊆A, definimos f ◦g:A→R como (f◦g)(x) =f(g(x)).

Escreva as composi¸cões f ◦g e g◦f das fun¸cões seguintes, determinando os dom´ınios das fun¸cões obtidas

82. f(x) =x+x³, g(x) = 3−x 83. f(x) =x², g(x) =√ x 84. f(x) = x+ 1

x−1, g(x) = 2−x² 85. f(x) = 1

x², g(x) = (√ x)² 86. f(x) = 1 +x

x , g(x) = 2−x 87. f(x) = 2^x, g(x) = 3x−1

Escreva as fun¸cões seguintes como composi¸cão de fun¸cões. (As composi¸cões obtidas podem não ser as únicas poss´ıveis.)

88. x²

√

x²−1 89. x⁴

Uma fun¸cão é ditalimitada (superiormente, inferiormente) se a imagem dela é limitada (superiormente, inferiormente). Neste caso o supremo (´ınfimo) de f, supf (inff) é, por defini¸cão, o supremo (´ınfimo) de Imf.

Introdu¸c˜ao ao conceito de limite de uma fun¸c˜ao.

Primeiro tipo de limite.

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Defini¸cão 1. SejaI um intervalo de R e x∈I ou um extremo de I (as duas condi¸cões não são necessariamente alternativas). Sejaf :I → Ruma fun¸cão dada. O número real l é dito limite de f(x) para x que tende para x, em s´ımbolos escreve-se

x→xlimf(x) =l,

se, para cada ε >0, esiste δ > 0 tal que |f(x)−l|< ε para cada x∈ I, tal que 0 <|x−x|< δ e tal que x6=x.

Exemplo na sala de aula: podemos provar, usando a defini¸c˜ao acima, que

x→0limx²= 0.

Exerc´ıcios: prove, usando a defini¸cão de limite, que os limites seguintes são corretos. Os exerc´ıcios seguintes são muitos. Fa¸ca somente um ou dois.

90. lim

x→3x= 3 91. lim

x→0(x²−1) =−1 92. lim

x→0

1

x n˜ao existe 93. lim

x→1x³ = 1 94. lim

x→0|x|= 0 95. lim

x→2[x] n˜ao existe 96. lim

x→−1⁻[x] =−2 97. lim

x→0x²/|x|= 0 Segundo tipo de limite.

Defini¸cão 2. Seja f : (a,+∞) → R uma fun¸cão dada. O número real l é ditolimite de f(x) para x que tende para +∞, em s´ımbolos escreve-se

x→+∞lim f(x) =l,

se, para cadaε >0, esister ∈R tal que|f(x)−l|< ε para cadax∈(a,+∞), tal quex > r.

Exerc´ıcio 98. Escreva a defini¸c˜ao acima no caso an´alogo ondex tende para −∞

Exerc´ıcio 99. Prove, usando a defini¸c˜ao acima, que limx→+∞1/x= 0.

Terceiro tipo de limite.

Defini¸cão 3. SejaI um intervalo deR e x ∈I ou um extremo de I que pode ou não pertencer a I. Seja f : I → R uma fun¸cão dada. Dizemos que +∞ é o limite de f(x) para x que tende para x, em s´ımbolos escreve-se

x→xlimf(x) = +∞,

se, para cadam∈R, esiste δ >0 tal quef(x)> mpara cadax∈I, tal que 0<|x−x|< δ.

(12)

Exerc´ıcio 100. Escreva a defini¸cão acima no caso análogo onde o limite é−∞.

Exerc´ıcios: prove, usando a defini¸c˜ao de limite, que os limites seguintes s˜ao corretos.

101. lim

x→0

1

x² = +∞ 102. lim

x→+∞

1 x² = 0

Exerc´ıcios. Escreva as fun¸c˜oes seguintes como soma de uma fun¸c˜ao par e de uma impar.

103. x²−x+ 3 104. x−1

x²+ 1 105. sen 2x+ cosx

2 −x 106. f(x)

No último exerc´ıcio (que é dif´ıcil) f(x) é uma fun¸cão qualquer. Pede-se que f seja escrita como g+h ondegé par eh é impar e as duas fun¸cões são obtidas através de opera¸cões algébricas oportunas sobre f.

Em sala de aula não foi considerado um quarto tipo (o seguinte) de limite, que se torna fácil à luz dos três primeiros e que o leitor pode entender sem dificuldade.

Defini¸cão 4. Seja f : (a,+∞) → R uma fun¸cão dada. Dizemos que +∞ é o limite de f(x) para x que tende para +∞, em s´ımbolos escreve-se

x→+∞lim f(x) = +∞,

se, para cadam∈R, esiste r∈Rtal quef(x)> m para cadax∈(a,+∞), tal quex > r.

Exerc´ıcio 107. Escreva a defini¸cão acima nos casos análogos onde x tende para−∞ e o limite é −∞

(quantos s˜ao os casos?)

Exerc´ıcios: prove, usando a defini¸c˜ao de limite, que os limites seguintes s˜ao corretos.

108. lim

x→0

1

x⁴ = +∞ 109. lim

x→+∞x= +∞

110. lim

x→−∞x² = +∞ 111. lim

x→+∞

x x+ 1 = 1

Teorema 5 ( Álgebra dos limites - formas finitas - (sem prova)). Seja I um intervalo de R e x∈I ou seja x um extremo de I que pode ou não pertencer ao intervalo. Sejam f, g:I →R duas fun¸cões dadas. Sejam dados os limites

x→xlimf(x) =l∈R, e lim

x→xg(x) =m∈R.

Ent˜ao,

(1) limx→x(f(x) +g(x)) =l+m (soma);

(2) limx→x(f(x)−g(x)) =l−m (diferen¸ca);

(3) limx→x(f(x)·g(x)) =l·m (produto);

(4) limx→x(f(x)/g(x)) =l/m, sem6= 0 (quociente).

(13)

Os limites lim

x→xx =x e, dada uma constante real a, lim

x→xa=apodem ser provados s´o usando a defini¸c˜ao.

A partir dos dois resultados, todos os limites de polinômios e fun¸cões racionais (razões de polinômios), se são das formas finitas acima, podem ser obtidos usando a álgebra dos limites.

Um outra lista de limites que vamos dar sem prova ´e a seguinte:

sejaα∈Rfixado e a fun¸c˜ao x^α definida in (0,+∞). Ent˜ao:

x→xlimx^α =x^α;

x→+∞lim x^α= +∞, seα >0; lim

x→+∞x^α= 0, se α <0;

Observa¸c˜ao: o leitor pode observar facilmente que, no caso que α ∈ Z, os limites acima podem ser deduzidos sabendo que lim

x→xx=xe usando a álgebra dos limites no caso do produto. Se o expoente não for inteiro precisa usar a defini¸cão para provar os limites acima.

Exerc´ıcio 112. Nos casos particulares em que o expoente seja de formas oportunas, o dom´ınio da fun¸cão x^α pode não ser limitado ao intervalo (0,+∞). Analize os vários casos e determine as várias extensões poss´ıveis do dom´ınio.

Outros limites que vamos dar sem prova s˜ao os seguintes:

x→xlimx^x =a^x;

x→−∞lim a^x = 0, sea >1; lim

x→−∞a^x= +∞, se 0< a <1;

x→+∞lim a^x = +∞, sea >1; lim

x→+∞a^x= 0, se 0< a <1;

Exerc´ıcio 113. O teorema da ´Algebra dos limites pode ser escrito facilmente para fun¸c˜oesf e gnos casos em que queremos estudar limx→+∞f(x) e limx→+∞f(g) (e analogamente quando x → −∞). O leitor escreva os enunciados correspondentes.

Teorema 6( ´Algebra dos limites – Formas infinitas resolv´ıveis que podem ser resovidas). (Sem prova) Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I. Sejam f, g : I → R duas fun¸c˜oes dadas; ou sejam f, g: (a,+∞)→R ou f, g: (−∞, b)→R. Temos os casos seguintes:

1) se lim

x→x (oux→±∞)

f(x) = +∞, e lim

x→x (oux→±∞)

g(x) =m∈R, ent˜ao lim

x→x (oux→±∞)

(f(x) +g(x)) = +∞;

2) se lim

x→x (oux→±∞)

f(x) =−∞, e lim

x→x (oux→±∞)

g(x) =m∈R, ent˜ao lim

x→x (oux→±∞)

(f(x) +g(x)) =−∞;

3) se lim

x→x (oux→±∞)

f(x) = +∞, e lim

x→x (oux→±∞)

g(x) = +∞, ent˜ao lim

x→x (oux→±∞)

(f(x) +g(x)) = +∞;

4) se lim

x→x (oux→±∞)

f(x) =−∞, e lim

x→x (oux→±∞)

g(x) =−∞, ent˜ao lim

x→x (oux→±∞)

(f(x) +g(x)) =−∞;

(14)

Produto: limx→x (oux→±∞)

(f(x)·g(x)) = +∞ nos casos seguintes:

5a) se lim

x→x (oux→±∞)

f(x) = +∞, e lim

x→x (oux→±∞)

g(x) =m∈R, m >0;

5b) se lim

x→x (oux→±∞)

f(x) =−∞, e lim

x→x (oux→±∞)

g(x) =m∈R, m <0;

5c) se lim

x→x (oux→±∞)

f(x) = +∞, e lim

x→x (oux→±∞)

g(x) = +∞;

5d) se lim

x→x (oux→±∞)

f(x) =−∞, e lim

x→x (oux→±∞)

g(x) =−∞;

limx→x (oux→±∞)

(f(x)·g(x)) =−∞ nos casos seguintes:

6a) se lim

x→x (oux→±∞)

f(x) =−∞, e lim

x→x (oux→±∞)

g(x) =m∈R, m >0;

6b) se lim

x→x (oux→±∞)

f(x) =−∞, e lim

x→x (oux→±∞)

g(x) =m∈R, m >0;

6c) se lim

x→x (oux→±∞)

f(x) = +∞, e lim

x→x (oux→±∞)

g(x) =−∞;

Quociente: limx→x (oux→±∞)

(f(x)/g(x)) = +∞ nos casos seguintes:

7a) se lim

x→x (oux→±∞)

f(x) = +∞, e lim

x→x (oux→±∞)

g(x) =m∈R, m >0;

7b) se lim

x→x (oux→±∞)

f(x) =−∞, e lim

x→x (oux→±∞)

g(x) =m∈R, m <0;

7c) se lim

x→x (oux→±∞)

f(x) = +∞ ou l >0, e lim

x→x (oux→±∞)

g(x) = 0, eg(x)>0 em um intervalo (x−δ, x+δ) ex6=x;

7d) se lim

x→x (oux→±∞)

f(x) =−∞ ou l <0, e lim

x→x (oux→±∞)

g(x) = 0, eg(x)<0 em um intervalo (x−δ, x+δ) ex6=x;

limx→x (oux→±∞)

(f(x)/g(x)) =−∞ nos casos seguintes:

7a) se lim

x→x (oux→±∞)

f(x) =−∞, e lim

x→x (oux→±∞)

g(x) =m∈R, m >0;

7b) se lim

x→x (oux→±∞)

f(x) = +∞, e lim

x→x (oux→±∞)

g(x) =m∈R, m <0;

7c) se lim

x→x (oux→±∞)

f(x) =−∞ ou l <0, e lim

x→x (oux→±∞)

g(x) = 0, eg(x)>0 em um intervalo (x−δ, x+δ) ex6=x;

(15)

7d) se lim

x→x (oux→±∞)

f(x) = +∞ ou l >0, e lim

x→x (oux→±∞)

g(x) = 0, eg(x)<0 em um intervalo (x−δ, x+δ) ex6=x;

Os casos acima representam as formas resolv´ıveis porque conseguimos estabelecer uma regra geral. Os casos abaixo são as assim chamadas formas indeterminadas. Não temos de fato a possibilidade de escrever uma álgebra dos limites para as formas seguintes. A existência e o valor dos limites nos casos seguintes depende do exerc´ıcio:

+∞ − ∞, 0·(±∞), ±∞/± ∞, 0/0.

Vamos apresentar agora outros limites importantes, sem demonstra¸c˜ao.

Dadoa∈R,a >0,a6= 1, dado x >0, h´a lim

x→xlog_ax= log_ax, para cadaa >0,a6= 1 x >0;

x→+∞lim log_ax= +∞, se a >1; lim

x→+∞log_ax=−∞, se 0< a <1;

x→0limlog_ax=−∞, se a >1; lim

x→0log_ax= +∞, se 0< a <1;

Exerc´ıcios: calcule os limites seguintes (se existem) 114. lim

x→0

x

x+ 1 115. lim

x→1

x²+ 1 x−1 116. lim

x→0

x³+x+ 3

4x²−2x+ 1 117. lim

x→+∞

2x+x² 2x²+x−1 118. lim

x→0(x−1)√ x²+ 1 119. lim

x→−1⁺

x²+ 1

x−1 120. lim

x→−∞

[x]−x 2 121. lim

x→+∞

x³+ 3x−2

x²−2x+ 1 122. lim

x→0

x²+x−4 2x² 123. lim

x→2

x²+x−5 x²−4x+ 4 124. lim

x→+∞

√

x²+ 1−x 125. lim

x→+∞

√

x²+ 1−2x 126. lim

x→−∞

√

x²+ 1−x 127. lim

x→+∞

x³−1 x²−1 128. lim

x→+∞(√

x−4−√

x+ 5) 129. lim

x→−∞(√

x²−x−√ 3−x)

Exerc´ıcio 130. Prove a fórmula seguinte: (xⁿ−1) = (xⁿ⁻¹+xⁿ⁻²+...+x+ 1)(x−1), ondené inteiro positivo fixado. Procure uma fórmula análoga para a fatora¸cão dexⁿ+ 1

(16)

10. Segunda-feira, 2 de abril de 2018

Exerc´ıcio 131. Aqui em seguida quest˜oes de v´aria natureza.

1. Estude a inequa¸c˜ao √

x−1< x−3.

2. Prove que a soma de dois números racionais é racional. Prove que a soma de um número racional e um número irracional é irracional.

Em geral: uma propriedade P é chamada aditiva se, toda vez que duas entidades a e b verificam P, também a somaa+bverificaP. O leitor escreva algumas propriedades aditivas que encontrou no curso até agora.

3. Prove que [x] + [y]≤[x+y] para todox, y∈R([x] denota a parte inteira dex).

4. Determine a imagem do intervalo (−1,1) através da fun¸cão x³ + 2. Para abordar o exerc´ıcio uma técnica poss´ıvel é a seguinte: use a propriedade do ordenamento dos números reais segundo a qual ac≤bc sea≤b e c >0. Use para provar que x³ (e consequentementex³+ 2) é uma fun¸cão crescente.

5. Determine a imagem do intervalo (−2,1] atrav´es da fun¸c˜ao [x−2]² (de novo [·] denota a parte inteira).

6. Determine a imagem inversa de (0,5) atrav´es da fun¸c˜ao x²−x+ 3.

7. Escreva f(x) = x−1

x²+ 1 como soma de uma fun¸c˜ao par e de uma impar.

8. Desenhe o gráfico da fun¸cãof(x) = max{x, x²} e da fun¸cão g(x) = max{|x|, x²}.

9. Calcule o dom´ınio de arccos x x+ 1.

Teorema 7 (Confronto dos limites – com prova do primeiro resultado feita na sala de aula e que pode ser cobrada nos exerc´ıcios das provas).

Primeiro resultado.

Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I. Ou, seja I um intervalo n˜ao limitado. Sejam f, g, h:I →Rfun¸c˜oes dadas. Suponhamos que f(x)≤g(x)≤h(x) para cada x. Sejam dados os limites

x→xlim

(oux→±∞)

f(x) =l, e lim

x→x (oux→±∞)

h(x) =l, onde l∈R.

Ent˜ao,

x→xlim

(oux→±∞)

g(x) =l.

Exerc´ıcio 132. Prove o resultado acima nos trˆes casos enunciados.

Segundo resultado.

Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I. Ou, seja I um intervalo n˜ao limitado. Sejam f, g:I →R fun¸c˜oes dadas. Suponhamos que f(x)≤g(x) para cada x. Se

x→xlim

(oux→±∞)

f(x) = +∞.

(17)

ent˜ao,

x→xlim

(oux→±∞)

g(x) = +∞.

Se, por outro lado

x→xlim

(oux→±∞)

g(x) =−∞.

ent˜ao,

x→xlim

(oux→±∞)

f(x) =−∞.

Exerc´ıcio 133. Prove o teorema em todos seus casos.

Exerc´ıcio 134. Prove, usando a defini¸c˜ao, que limx→0|x|= 0.

Exerc´ıcio 135. Prove, usando a defini¸c˜ao, que limx→+∞ ⁿ

√x= +∞, para cada n≥1, n∈N. Exerc´ıcio 136. (d´ıficil) Prove, usando a defini¸c˜ao, que limx→+∞ senxn˜ao pode ser zero.

Exerc´ıcio 137. Usando o comportamento de senx, tente entender (e desenhar o gráfico) o comportamente de sen (1/x) quando, em particular,x é próximo de zero.

Aplicando o teorema do confronto podemos resolver o exerc´ıcio seguinte.

Exerc´ıcio 138. Prove que limx→+∞( senx+x) = +∞.

Exerc´ıcio 139. Prove que limx→0 senx= 0.

Exerc´ıcio 140. limx→+∞

senx x = 0.

Exerc´ıcio 141. Prove que, se limx→cf(x) = 0 eg(x) ´e limitada, ent˜ao limx→c(f(x)·g(x)) = 0.

11. Quarta-feira, 4 de abril de 2018

Teorema 8 (limite de fun¸c˜oes compostas – sem prova). Seja f(x) dada e suponhamos que exista o limite

x→xlim

(oux→±∞)

f(x) =l onde l∈Roul=±∞.

Seja g(x) uma outra fun¸c˜ao dada e suponhamos que exista o limite

limx→lg(x) =m onde m∈Roum=±∞.

Suponhamos que a composi¸cãog(f(x))seja bem definida e que, se l∈R, f(x)6=l para x6=x e x próximo dex. Então,

x→xlim

(oux→±∞)

g(f(x)) =m.

(18)

Observa¸cão: parece estranha a hipótese f(x) 6= l para x 6= x e x próximo de x. Todavia, se não for verificada a condi¸cão, o limite da composi¸cão pode não serm, como no caso seguinte:

f(x) = 0,∀x∈R, g(x) =

( 0 sex6= 0 1 sex= 0.

E f´´ acil ver que limx→0g(f(x)) = 1, enquanto limx→0g(x) = 0.

Uma condi¸cão que pode substituir a condi¸cão acima é g(l) = m, se m e l for reais. Esta condi¸cão será encontrada no caso das fun¸cões cont´ınuas.

Exerc´ıcio 142. Prove que limx→0cosx= 1. Use o limite analogo sobre o seno e o teorema anterior.

Pode ser provado (n˜ao iremos dar os detalhes) que para todos x ∈ R h´a limx→x senx = senx e limx→xcosx= cosx.

O limite seguinte é muito importante e pode ser provado pelo teorema do confronto. O leitor fa¸ca o exerc´ıcio seguinte usando também a constru¸cãogeométrica vista em sala de áula.

Exerc´ıcio 143. limx→0

senx x = 1.

x→0(x−1)√

x²+ 1 145. lim

x→+∞( senx+x) 146. lim

x→1

x²+ 1

x−1 147. lim

x→−∞([x] +x) 148. lim

x→0

x²+ 1

x−1 149. lim

x→2x(x+ 2)(x−3) 150. lim

x→1

x³−1

x²−1 151. lim

x→0

√3

1 +x−√³ 1−x x

152. lim

x→0

√2 +x−√ 2

x 153. lim

x→0

1 x

3x−2

2x+ 3−3x+ 2 2x−3

154. lim

x→0

1−cosx

xsenx 155. lim

x→π

1 + cosx π−x 156. lim

x→0

1

1−cosx 157. lim

x→02/|x|

158. lim

x→+∞

x²+ 3

4x²+x 159. lim

x→+∞

3−x³−x 1−2x² 160. lim

x→+∞

x² x+ 1−x

161. lim

x→+∞

x²+ senx 2x+x²+ 3 162. lim

x→+∞

√

1 +x²+√

√ x

x−x 163. lim

x→−∞x(√

1 +x⁴−x²)

Exerc´ıcio 164. Calcule os limites seguintes, explicando, nos detalhes, como devem ser usados os ´ultimos teoremas encontrados.

limx→+∞

√

x²+ 1, limx→0

senx²

x² , limx→0

sen 2x

3x , limx→0

1−cos√ x

x .

(19)

Vamos agora lebrar um conceito j´a encontrado

Defini¸c˜ao 9 (limites direito e esquerdo). Sejam I = (a, b) um intervalo aberto, x ∈ I e f :I → R uma fun¸c˜ao dada. Denotamos por

g: (x, b)→R, g(x) =f(x)

a restri¸cão de f a (x, b). Dizemos quel∈R oul=±∞é o limite direito de f(x) parax que tende parax, em s´ımbolos é

lim

x→x⁺f(x) =l, se

x→xlimg(x) =l.

Analogamente, denotamos por

h: (a, x)→R, h(x) =f(x)

a restri¸cão de f a (a, x). Dizemos que l∈R oul=±∞é olimite esquerdo de f(x) parax que tende para x, em s´ımbolos é

lim

x→x⁻f(x) =l, se

x→xlimh(x) =l.

Teorema 10 (sem prova). Sejam I = (a, b) um intervalo aberto, x ∈ I e f : I → R uma fun¸c˜ao dada.

Ent˜ao,

x→xlimf(x) =l se e somente se lim

x→x⁺f(x) =l= lim

x→x⁻f(x).

Teorema 11 (conserva¸c˜ao do sinal – com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada nas provas).

Sejam dados uma fun¸c˜ao f real definida em um intervalo I e um ponto x∈I ou extremo deI. Seja

x→xlimf(x) =l >0.

Ent˜ao existe δ >0 tal que f(x)>0 para cadax∈(x−δ, x+δ)∩I ex6=x.

Obviamente o teorema vale no caso de limite negativo.

x→0(x−1)√

x²+ 1 166. lim

x→+∞( senx+x) 167. lim

x→1

x²+ 1

x−1 168. lim

x→−∞([x] +x) 169. lim

x→0

x²+ 1

x³ 170. lim

x→2x(x+ 2)(x−3) 171. lim

x→1

x³−1

x²−1 172. lim

x→0

√3

1 +x−√³ 1−x x

173. lim

x→0

√2 +x−√ 2

x 174. lim

x→0

1 x

3x−2

2x+ 3−3x+ 2 2x−3

(20)

175. lim

x→0

1−cosx

xsenx 176. lim

x→π

1 + cosx π−x 177. lim

x→0

1

1−cosx 178. lim

x→02/|x|

179. lim

x→+∞

x²+ 3

4x²+x 180. lim

x→+∞

3−x³−x 1−2x² 181. lim

x→+∞

x² x+ 1−x

182. lim

x→+∞

x²+ senx 2x+x²+ 3 183. lim

x→+∞

√1 +x²+√

√ x

x−x 184. lim

x→−∞x(√

1 +x⁴−x²)

Exerc´ıcio 185. aplique o teorema dos limites de fun¸c˜oes compostas para calcular o limite

x→πlim

1 + cosx π−x

Exerc´ıcio: calcule, se existem, os limites seguintes:

186. lim

x→+∞ senx+x 187. lim

x→−∞

[x]−x 2 188. lim

x→+∞

senx

√x+ cosx 189. lim

x→−∞

√

x²−2x+x

190. Diga qual ´e, entre as seguintes, a defini¸c˜ao correta do limite lim

x→4f(x) = 7.

a) Para cada λe µpositivos, se |x− 4|< µ e x6= 4 ent˜ao,|f(x)−7|< λ.

b) Para cadaλ >0 e para cadaµ >

0, se|x−4|< µent˜ao,|f(x)−7|< λ.

c) Para cada µ > 0 existe λ > 0 e existex tal que |x−4|< λ e|f(x)− 7|< µ.

d) Para cada µ >0 existe λ >0 tal que se |x−4| < λ e x 6= λ ent˜ao,

|f(x)−7|< µ.

e) Para cada µ > 0 existe λ > 0 tal que se |x− 4| < λ e x 6= 4 ent˜ao

|f(x)−7|< µ.

f) Nenhuma das respostas acima ´e correta.

191. Suponhamos que

x→+∞lim f(x) =−∞.

Diga qual, entre as afirma¸c˜oes seguintes, ´e correta .

a) Se x >0 ent˜ao f(x)<0. b) Existeε >0 tal quef(x)<0 para cadax > ε.

c) Para cada ε > 0 existe η > 0 tal que para x > η temos f(x)> ε >0.

d) Nenhuma das respostas acima ´e correta.

(21)

192. Consideramos a proposi¸c˜ao seguinte: dadas f e g definidas em um intervalo I, seja x0 ∈I fixado. Suponhamos quef(x)≥g(x) para cada x e que lim

x→x₀f(x) = 0. Ent˜ao, lim

x→x₀g(x) = 0. A proposi¸c˜ao ´e:

a) Verdadeira se colocamos a hip´otese suplementar g(x)≤0,∀x∈I.

b) Verdadeira se colocamos a hip´otese suplementar g(x) ≥ 0,

∀x∈I. c) Verdadeira sem necessidade de

outras hip´oteses suplementares.

d) Verdadeira se colocamos a hip´otese suplementar f(x0) = g(x₀) = 0.

e) Falsa, tamb´em colocando as hip´oteses suplementares acima.

193. Dadaf :R→R, suponhamos que lim

x→+∞f(x) =−∞. Ent˜ao:

a)f ´e decrescente. b) lim

x→+∞f(x²) = +∞.

c)∀m≥0, temosf(x)≤0 sex≥m. d) ∀m ≥ 0 e ∀k ≥ 0 f(x) ≤ k se x≥m.

e) lim

x→−∞f(x) = +∞ f) Nenhuma das respostas acima ´e correta.

194. Dadaf :N→N,f(x) =x+ 1 diga quais (podem ser mais que uma) das afirma¸c˜oes s˜ao corretas.

a)f ´e injetora. b) f ´e sobrejetora.

c)f é limitada inferiormente. d) A nota¸cão f(x) = x+ 1 non faz sentido porque o dom´ınio é N e a variável a ser usada deve ser denotada por n.

Exerc´ıcio 195. Procure uma f :R→ R que n˜ao seja crescente, mas que verifique lim

x→+∞f(x) = +∞. Esta fun¸c˜ao deve ser definitivamente crescente?

Isto ´e, exister tal quef ´e crescente em (r,+∞)?

12. Sexta-feira, 6 de abril de 2018 e 13. Segunda-feira, 9 de abril de 2018 Exerc´ıcios em sala de ´aula. Prepara¸c˜ao para prova P1.

14. Quarta-feira, 11 de abril de 2018 Prova P1

15. Sexta-feira, 13 de abril de 2018

(22)

Introdu¸cão às fun¸cões cont´ınuas

Defini¸cão 12. Sejam I intervalo de R, f :I → Ruma fun¸cão dada ex ∈I dado. f é dita cont´ınua em x se lim

x→xf(x) =f(x).

Em outras palavras, f ´e dita cont´ınua em x se para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que para todo x ∈ (x−δ, x+δ)∩I temos f(x)∈(f(x)−ε, f(x) +ε).

f ´e dita cont´ınua emI (ou, simplesmente, cont´ınua) se ´e cont´ınua em todos os pontos deI.

O conceito de continuidade de uma fun¸cão é pontual. Ou seja, dizemos que uma fun¸cão é cont´ınua em um ponto. Outros conceitos, já encontrados, são só globais: invertibilidade, limita¸cão de uma fun¸cão, monotonia. Não faz sentido, por exemplo, dizer que uma fun¸cão é limitada (ou invers´ıvel, ou crescente) em um ponto.

Exemplos: diretamente da defini¸cão e dos resultados sobre os limites vistos nas áulas anteriores segue que são cont´ınuas as fun¸cões seguintes: os polinômios P(x), as fun¸cões racionais P(x)/Q(x) nos pontos x tais queQ(x)6= 0,f(x) =x^α (e portanto, em particular,f(x) = √ⁿ

x), as fun¸cões trigonométricas, as fun¸cões exponenciais e os logaritmos.

Iremos ver em seguida uma outra prova do fato que √ⁿ

x´e cont´ınua.

Defini¸cão 13. Dadaf :I →Re dado x∈I, sef não for cont´ınua em x, dizemos quef é descont´ınua em x∈I e quex é um ponto de descontinuidade.

Portanto não faz sentido dizer quexé um ponto de descontinuidade paraf sex não pertence ao dom´ınio da fun¸cão.

Exerc´ıcio 196. Determine em quais pontos s˜ao cont´ınuas as fun¸c˜oes seguintes (determine, inclusive, os pontos de descontinuidade):

f(x) = 1/x, f(x) =

( 1/x sex6= 0

0 sex= 0. g(x) =

( −x²+ 1 sex≥2

1−2x sex <3. f(x) = senx x

g(x) =

( cosx sex > π

−1 sex < π. f(x) =

( x+ 3 sex >1

2−x² sex <1. g(x) =











x² sex >1 1 sex= 1 x² sex <1.

Exerc´ıcio 197. Determine em quais pontos são cont´ınuas a fun¸cão sinal, a fun¸cão parte inteira e a fun¸cão de Dirichlet (determine, inclusive, os pontos de descontinuidade).

Teorema 14 ( Álgebra das fun¸cões cont´ınuas – sem prova). Sejam f, g : I → R cont´ınuas em um ponto x∈I. Então, são cont´ınuas em x: f+g, f−g, f·g, f /g se x6= 0.

Exerc´ıcio 198. Dˆe a prova da continuidade da soma no teorema anterior, usando com cuidadoεe δ.

Teorema 15 (Continuidade das fun¸cões compostas – sem prova). Seja f :I →R cont´ınua em x∈I. Seja J um intervalo que contém Imf e seja g:J →R cont´ınua emy=f(x). Então,g◦f é cont´ınua em x.

(23)

Exerc´ıcio 199. Determine em quais pontos s˜ao cont´ınuas as fun¸c˜oes seguintes (determine, inclusive, os pontos de descontinuidade):

f(x) =

( x/|x| sex6= 0

0 sex= 0. f(x) =







x+ 2

|x|+ 1 sex≥0 2−x sex <0.

f(x) =

( sen (1/x) sex6= 0

0 sex= 0.

f(x) =







x+|x|

x² sex6= 0

0 sex= 0.

f(x) = [x]²−x²

Exerc´ıcio 200. (muito muito d´ıficil) Sejaf : (0,1]→Rdefinida como f(x) =

( 1/n sex=m/n, m e ninteiros positivos e primos entre si (m≤n) 0 sex ´e irracional.

Prove que f ´e cont´ınua nos pontos irracionais de (0,1] e discont´ınua nos racionais.

Exerc´ıcio 201. Determine as solu¸c˜oes de x²−2x

|x−1| ≥ 1. Em seguida, determine a imagem da fun¸c˜ao f(x) = x²−2x

x−1 , definida em [0,+∞).

Exerc´ıcio 202. Determine o dom´ınio de√

2 senx+ 1. A fun¸cão é crescente? responda usando a defini¸cão de fun¸cão crescente.

Exerc´ıcio 203. Calcule, se existem, os limites seguintes: lim

x→0

√x+ 1 +x²−1

x , lim

x→0

√x+ 1 +x²−1

√x · sen1 x

!

Exerc´ıcio 204. Determinen∈Ntal que o limite seguinte seja finito e n˜ao nulo: lim

x→0

senⁿx√

1 +x²−1 x³+x⁴ . Teorema 16 (da conserva¸cão do sinal para as fun¸cões cont´ınuas – com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada nos exerc´ıcios das provas). Sejam I intervalo ef :I →Rcont´ınua emx∈I. Suponhamos f(x)6= 0. Então existe δ >0 tal quef(x) tem o mesmo sinal de f(x) para todo x∈(x−δ, x+δ)∩I. Exerc´ıcio 205. Dê a demonstra¸cão do teorema anterior.

Vamos colocar aqui um limite fundamental que foi apresentado em uma das ´aulas anteriores e foi dado sem demonstra¸c˜ao.

x→+∞lim

1 + 1 x

x

=e, e lim

x→−∞

1 +1

x x

=e.

Como dito, não foi dada (não sendo simples) a demonstra¸cão dos dois limites acima. Pegando o primeiro dos dois, de fato se prova que f(x) =

1 +1

x x

´

e estritamente crescente e limitada e portanto converge, quando x → +∞, a um número positivo real. Este número é chamado e e essa é uma poss´ıvel defini¸cão

(24)

de e. Sendo f(1) = 2, segue imediatamente quee > 2. Com outras técnicas de cálculo pode se provar que e <3. Também pode ser provado queeé irracional.

Se x for negativo, f(x) é definida quando x < −1 porque a base da potência tem que ser positiva. E, curiosamente, o limite quandox→ −∞existe e é o mesmo valore.

Em sala de ´aula foram provados os limites seguintes, como consequˆencia direta dos limites acima. Coloco eles aqui como exerc´ıcio junto com outros limites.

Exerc´ıcioCalcule os limites seguintes.

206. lim

x→+∞ log

1 +1 x

x

207. lim

x→0

log(1 +x) x 208. lim

x→0

e^x−1

x 209. lim

x→0

log cosx x² 210. lim

x→+∞

1 + a

x x

211. lim

x→+∞

1 + 1

x² x

Calcule como depende dea∈Ro valor do limite do exerc´ıcio 210.

16. Segunda-feira, 16 de abril de 2018

Teorema 17 (do anulamento para as fun¸c˜oes cont´ınuas – com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada nos exerc´ıcios das provas). Seja f : [a, b]→ R cont´ınua (em todo o dom´ınio). Seja f(a)f(b) <0.

Ent˜ao, existe c∈(a, b) tal que f(c) = 0.

Exerc´ıcio 212. Dˆe a demonstra¸c˜ao do teorema acima.

Uma consequˆencia do teorema do anulamento ´e o resultado seguinte.

Teorema 18 (dos valores intermediários para as fun¸cões cont´ınuas – com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada nos exerc´ıcios das provas). Seja I intervalo (qualquer) e f : I → R cont´ınua. Então, f atinge todos os valores entre inff e supf

Lembramos que inff e supf são, respectivamente, o ´ınfimo e o supremo de Imf. O teorema diz que o intervalo aberto (inff,supf) é contido em Imf. Não podemos saber, em geral, se [inff,supf] = Imf (ou um dos extremos pertence à imagem), porque não sabemosa priori sef possui ´maximo ou m´ınimo.

Uma conseqüência (corolário) imediato do teorema é que, dada uma fun¸cão cont´ınua definida em um intervalo, a imagem é um intervalo.

Aten¸cão ao fato que se o dom´ınio não é um intervalo, a imagem não necessariamente é um intervalo.

Exerc´ıcio 213. Dê a demonstra¸cão do teorema dos valores intermediários.

Uma aplica¸cão importante do teorema dos valores intermediários é a existência da raiz quadrada de um número positivo qualquer. Para prova-lo, aplique o teorema à fun¸cão x² definida em (0,+∞) (lembrando a defini¸cão correta de raiz quadrada).

(25)

Uma outra aplica¸cão é a existência de, pelo menos, uma solu¸cão real de qualquer equa¸cão polinomial de grau impar. Devido ao fato que, se P(x) é um polinômio de grau impar, limx→+∞P(x) = +∞ se o coeficiente da potência de grau máximo é positivo (−∞, se negativo) e limx→−∞P(x) = −∞ (+∞, se aquele coeficiente é negativo).

Podemos construir algoritmos para aproximar a raiz quadrada de um número positivo, como para aproximar as solu¸cões reais de equa¸cões polinomiais ou de equa¸cões mais complicadas (ex. xtgx = p, onde p é dado).

Exerc´ıcios:

214. Construa algoritmos para aproximar a raiz quadrada de um número positivo e para determinar uma solu¸cão (aproximada) de uma equa¸cão polinomial de grau impar (escolha o polinômio e o erro na aproxima¸cão)

215. Prove que a equa¸cão x³+x=apossui uma e só uma solu¸cão real para cada a∈R dado.

216. Seja f :R→ R cont´ınua. Suponhamos que x−5 < f(x) < x+ 1 para cada x ∈R. Prove que a equa¸c˜ao f(x) = 0 possui pelo menos uma solu¸c˜ao.

217. Procure Imf, ondef ´e a fun¸c˜ao do exerc´ıcio acima.

218. Prove que a equa¸c˜ao x⁸+ 5x⁵−6x⁴+ 2x³+ 3x−1 = 0 possui pelo menos uma solu¸c˜ao real.

* * *

E interessante a rela¸´ cão entre continuidade e invertibilidade de uma fun¸cão. É importante lembrar (ou observar, se não lembra) que é óbvio que uma fun¸cão estritamente monótona é invers´ıvel. O vice-versa é falso.

Exerc´ıcio 219. Consideramos as fun¸c˜oes seguintes:

f(x) =

( x sex∈[0,1)

x−1 sex∈[2,3] g(x) =

( x sex∈[0,1)

3−x sex∈[1,2] h(x) =

( x se x∈[0,1) 5−x se x∈[2,3]

Desenhe o gráfico de f,g e h. Determine se são cont´ınuas, invers´ıveis, monótonas, e se o dom´ınio é um intervalo. Se são invers´ıveis (ou algumas delas) determine as inversas, dizendo se são cont´ınuas, monótonas, e se o dom´ınio é um intervalo.

Em particular, a fun¸cãof do exerc´ıcio é cont´ınua e invers´ıvel, mas a inversa é descont´ınua. Ahé cont´ınua e invers´ıvel, mas não é monótona. Esta falta de propriedade acontece porque o dom´ınio não é um intervalo.

Teorema (monotonia de uma fun¸cão invers´ıvel). (Sem prova) SejaI intervalo, f :I →Rcont´ınua e invers´ıvel. Então é monótona.

O resultado mais importante ´e o seguinte (cuja prova ´e baseada no teorema acima)

Teorema (continuidade da fun¸cão inversa). (Sem prova) Seja I intervalo, f : I → R cont´ınua e invers´ıvel. Então a fun¸cão inversaf⁻¹ é cont´ınua.

(26)

A continuidade da fun¸c˜ao √ⁿ

x, definida em [0,+∞) se né par, e emRsené impar, é uma conseqüência do teorema acima, embora temos provado (no cap´ıtulo sobre os limites) que limx→x

√x = √

x (aula 25 mar¸co).

São cont´ınuas as fun¸cões trigonométricas inversas: arcsen, arccos e arctg . 17. Quarta-feira, 18 de abril de 2018

Conclu´ımos a parte da continuidade com o teorema seguinte, um dos mais importantes do curso. Lembre que, dadaf :A→R, ondeAé um conjunto qualquer, o máximo def é definido como o máximo da imagem de f, se existe. Enquanto o m´ınimo de f é definido como o m´ınimo da imagem de f (se existe).

Teorema de Weierstrass. (sem prova) Uma fun¸c˜ao f : [a, b]→Rcont´ınua possui m´aximo e m´ınimo.

Exerc´ıcios:

220. Seja f : [0,1] → R, f(x) = x−[x] ([x] é a parte inteira de x). Prove que f não possui máximo.

Qual hipótese do Teorema de Weierstrass não é respeitada?

221. Seja f : [0,1) → R, f(x) = x. Prove que f não possui máximo. Qual hipótese do Teorema de Weierstrass não é respeitada?

222. Seja f : [0,+∞) → R,f(x) =x. Prove quef não possui máximo. Qual hipótese do Teorema de Weierstrass não é respeitada?

223. Procure exmplos de fun¸cões que não respeitam algumas das hipóteses do Teorema de Weierstrass, mas que possuem máximo e m´ınimo.

* * *

Introduzimos agora a no¸cão de fun¸cão derivável e de derivada de uma fun¸cão.

Seja I um intervalo de R, f : I → R uma fun¸cão dada e x0 ∈ I dado. Variando m ∈ R, as equa¸cões y =f(x0) +m(x−x0) representam as retas secantes ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0)) (só excluindo a reta vertical que tem equa¸cão x=x₀).

Seja agorax∈I e o correspondente ponto no gr´afico de f, (x, f(x)). A raz˜ao f(x)−f(x0)

x−x₀

se chamarazão incremental def, relativa a x0 ex e é o coeficiente angular da reta secante ao gráfico def por (x₀, f(x₀)) e (x, f(x)). Se existe o limite desta razão quando x→ x₀, este limite dá, intuitivamente, o coeficiente angular de uma “reta posi¸cão limite” das secantes (quandox→x0).

Defini¸c˜ao 19. Se existe e ´e finito o limite

x→xlim₀

f(x)−f(x0) x−x₀ =l.

então dizemos quef é derivável em x0 e o númerol se chamaderivada de f em x0.

(27)

A derivada def em x0 (se existe) ´e denotada, normalmente, por um dos s´ımbolos seguintes:

f⁰(x0), df

dx(x0), Df(x0), Df(x)|_x=x₀. O primeiro ´e aquele mais comun.

Uma outra forma de escrever a raz˜ao incremental e portanto o limite acima ´e obtida pondo x−x₀ =h.

Temos

f(x0+h)−f(x0)

h e lim

h→0

f(x0+h)−f(x0)

h .

A no¸cão de derivada é pontual (como a de continuidade), ou seja derivada de uma fun¸cão em um ponto.

Dada f :I → R, se f é derivável em todos os pontos de I, dizemos que f é derivável e fica bem definida uma nova fun¸cão, a derivada de f,x7→f⁰(x), definida emI.

Sef é derivávelx₀, a reta de equa¸cãoy=f(x₀) +f⁰(x₀)(x−x₀) é definidareta tangente ao gráfico def no ponto (x₀, f(x₀)).

Aten¸cão: a precedente é a verdadeira defini¸cão de reta tangente; outras poss´ıveis defini¸cões, como “a reta que encosta o gráfico só em um ponto”, são corretas só em casos muito particulares, por exemplo a circunferência.

Reta secante e reta tangente em (x0, f(x0)).

- 6

x1 x0

- 6

H HH

HH HH

H HH

H H x0

Exerc´ıcio 224. Na parábola de equa¸cãoy=x² procure um ponto onde a reta tangente à parabola forma um ângulo deπ/4 com o eixox.

Exerc´ıcio 225. Um corpo cai de uma altura de 15 mt, sujeto só à for¸ca peso (desconsiderando o atrito do ar). A fun¸cão espa¸co dependendo do tempo é s(t) = 1

2gt², ondeg ´e a constante gravitacional terrestre, e vale cerca 9,8mt/sec². Calcule a velocidade com que ele chega ao solo.

Derivadas de duas fun¸c˜oes elementares.

FUNC¸ ˜AO f(x) DERIVADAf⁰(x)

c (fun¸c˜ao constante) 0

x 1

Exerc´ıcio 226. Prove os resultados da tabela acima.

Exerc´ıcio 227. Dados os gr´aficos seguintes, desenhe (intuitivamente) os gr´aficos das derivadas.

(28)

- 6

c a

- 6

a b

- 6

c d

a

- 6

c d

Exerc´ıcio 228. Calcule, usando a defini¸c˜ao, a derivadas das fun¸c˜oes seguintes: 3x−2,x²−x,x⁷+ 1, √ x.

Exerc´ıcio 229. Prove que |x| não é derivável em zero enquanto |x|³ é derivável em zero. Calcule a derivada de |x|e de |x|³ (nos pontos onde as fun¸cões são deriváveis).

Exerc´ıcio 230. Sejaf(x) =x³. Calculef⁰(0), f⁰(−2), f(1/2).

Exerc´ıcio 231. Prove que a derivada de uma fun¸cão par é uma fun¸cão impar. Lembre que uma fun¸cão f :R→Ré ditapar sef(x) =f(−x) para todo x e é dita impar sef(x) =−f(−x) para todo x.

18. Sexta-feira, 20 de abril de 2018 Outras fun¸c˜oes deriv´aveis na tabela seguinte:

FUNC¸ ˜AO f(x) DERIVADAf⁰(x)

xⁿ(n∈N,n≥1) nxⁿ⁻¹

senx cosx

cosx −senx

e^x e^x

Exerc´ıcio 232. Prove os resultados da tabela acima (como feito em sala de aula).