Eletromagnetismo I. Cap. 5: Magnetostática 5.1: Campo magnético e força magnética. Prof. Marcos Menezes Instituto de Física - UFRJ

Eletromagnetismo I

Cap. 5: Magnetostática

5.1: Campo magnético e força magnética Prof. Marcos Menezes

Instituto de Física - UFRJ

5.1 – Campo magnético e força magnética

5.1.1 – Campo magnético

Até aqui, estudamos os fenômenos produzidos por cargas elétricas em repouso. Vamos começar a discutir agora o que acontece quando as cargas estão em movimento.

Na eletrostática, definimos o campo elétrico produzido por uma distribuição de cargas em repouso da seguinte forma:

Distribuição de cargas

𝐅

= 𝑄𝐄

• Distribuição de cargas produz 𝐄, que altera as propriedades do espaço ao seu redor.

• 𝐄 é sentido por meio da força elétrica 𝐅_𝑒 que exerce sobre uma carga de teste puntiforme 𝑄 num dado ponto.

Analogamente, o campo magnético é definido da seguinte forma:

Fonte de campo magnético (a ser discutida)

• Alguma fonte produz um campo magnético 𝐁, que altera as propriedades do espaço ao seu redor.

• 𝐁 é sentido por meio da força elétrica 𝐅_𝑚 que exerce sobre uma carga de teste puntiforme 𝑄 em movimento num dado ponto.

• A lei de força, verificada experimentalmente, é um pouco mais complicada.

• Veremos adiante que as fontes de 𝐁 são cargas em movimento (correntes)!

𝐅

= 𝑄 (𝐯 × 𝐁)

𝐯

Propriedades da força magnética:

• Módulo: 𝐹_𝑚 = 𝑄 𝐯 × 𝐁 = 𝑄𝑣𝐵 sen 𝜑

• Direção e sentido: regra da mão direita + sinal de 𝑄

• Note que 𝐹_𝑚 = 0 se 𝑣 = 0 ou se 𝐯 tiver a mesma direção de 𝐁!

• Unidade de B no SI: 𝐵 = ^𝐹𝑚

𝑄 𝑣 = ^𝑁

𝐶.𝑚/𝑠 = ^𝑁

𝐴.𝑚 ≡ 𝑇 (Tesla)

Exemplos de campos magnéticos (representação com linhas de campo):

Barra imantada

(Ferromagneto) Terra

• A bússola é formada por uma agulha imantada (pequeno dipolo magnético) que se orienta no sentido local de 𝐁.

• Note que as linhas de 𝐁 são fechadas, diferentemente das linhas de um campo eletrostático. O que isto significa?

Imagens: Física 3 – Young & Freedman

Correntes como fontes de campo magnético

Imagens: Física 3 – Young & Freedman

(i) Aspectos gerais:

5.1.2 – Movimento de partículas carregadas sob a ação de um campo eletromagnético

(ii) Movimento circular em 𝐁 uniforme (movimento de cíclotron):

• Se a velocidade inicial 𝐯₀ é perpendicular a 𝐁, o movimento fica confinado a um plano.

• Como a força magnética 𝐅_𝑚 é perpendicular à 𝐯, o movimento resultante é circular uniforme!

Raio da trajetória

𝐹

= 𝐹

|𝑞| |𝐯 × 𝐁| = 𝑚𝑣

𝑅 𝑅 = 𝑚𝑣

⇒ |𝑞|𝐵

Pela 2ª lei de Newton (aplicada ao movimento de rotação):

Velocidade angular e frequência de ciclotron

𝜔 = 𝑣

𝑅 = 𝑞 𝐵 𝑚

Aplicações: aceleradores de partículas, magnétron (forno microondas), etc...

𝑓 = 1

𝑇 = 𝜔

2𝜋

(iii) Movimento helicoidal em 𝐁 uniforme:

Aplicações: garrafões magnéticos (confinamento de partículas carregadas), aurora boreal/austral Eixo da hélice

(direção de 𝐁)

• Se a velocidade inicial 𝐯₀ possui uma componente 𝑣_∥ paralela a 𝐁, o movimento deixa de ser planar.

• Como a força magnética 𝐅_𝑚 é perpendicular à 𝐁, não há aceleração nessa direção e 𝑣_∥ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (MRU).

• No plano perpendicular à 𝐁, a partícula executa um MCU com velocidade escalar 𝑣_⊥.

• Trajetória resultante é uma hélice!

Passo da hélice (distância horizontal percorrida ao longo de um período de revolução):

ℎ = 𝑣

𝑇 = 2𝜋𝑚 𝑣

|𝑞|𝐵

(iv) Movimento em campos 𝐄 e 𝐁 cruzados e uniformes:

Considere uma partícula de carga 𝑄 > 0 e massa 𝑚 inicialmente em repouso na origem. Como será seu movimento em uma região com os campos 𝐄 e 𝐁 abaixo (ambos uniformes)?

Qualitativamente:

1. A partícula é inicialmente acelerada no sentido de 𝐄 2. Ao adquirir velocidade, sua direção de movimento é

desviada por 𝐁

3. Quando sua velocidade passa a ter sentido contrário a 𝐄, ela é freiada até retornar ao repouso.

4. Movimento é reiniciado, voltando ao passo (1).

Pode-se mostrar (ver livro texto) que a trajetória resultante é uma cicloide! A partícula se move como se estivesse na periferia de um tambor cilíndrico rolando sem deslizamento sobre o eixo 𝑌!

Caso particular (filtro de velocidades): Suponha agora que a partícula tem velocidade inicial

𝐯 0 =

B

𝐲 ො

5.1.3 – Corrente elétrica

Considere um fio condutor retilíneo e suponha que as cargas livres em seu interior são positivas:

• Para estabelecer o movimento de cargas no interior do condutor, devemos ter um campo elétrico 𝐄 não-nulo nele.

• Por isso, o condutor deve estar fora do equilíbrio!

• 𝐯 é a velocidade média dos portadores sob a ação de 𝐄 (velocidade de arraste).

Corrente elétrica: quantidade de carga positivaque atravessa uma seção transversal do fio por unidade de tempo

𝐼 = 𝑑𝑄 𝑑𝑡

Unidade SI: Ampère (A) = C/s

O que muda para portadores de carga negativa, como o elétron?

• Cargas negativas se movem em sentido contrário a 𝐄

• Como um fluxo de cargas negativas para a esquerda é equivalente a um fluxo de cargas positivas para a direita (de mesma intensidade), a corrente deve ter o mesmo sentido!

OBS: Embora estejamos atribuindo um sentido para a corrente nessa situação, note que ela é definida como uma grandeza escalar! Discutiremos as sutilezas por trás disso a seguir.

Dimensionalidade e densidade de corrente

1D: Cargas se movendo ao longo de uma linha (fios com espessura pequena)

𝑑𝑄 = 𝜆𝑑𝑙 = 𝜆𝑣𝑑𝑡 𝐼 = 𝑑𝑄

𝑑𝑡 = 𝜆𝑣

⇒

OBS: O livro-texto define um “vetor corrente” neste caso a partir do vetor velocidade 𝐯 dos portadores. Embora isso seja permissível neste caso (todos os portadores em uma seção transversal do fio se deslocam no mesmo sentido), esta não é uma definição conceitualmente adequada, como veremos nos próximos casos.

2D: Cargas se movendo sobre uma superfície

𝑑𝑄 = 𝜎𝑑𝐴 = 𝜎𝑑𝑙

𝑑𝑙

= 𝜎𝑑𝑙

𝑣𝑑𝑡

⇒

A corrente infinitesimal 𝑑𝐼 que flui na tira em destaque pode ser calculada como:

𝑑𝐼 = 𝑑𝑄

𝑑𝑡 = 𝜎𝑣 𝑑𝑙

Isso nos motiva a definir um vetor densidade superficial de corrente:

𝐾 ≡ 𝑑𝐼

𝑑𝑙

= 𝜎𝑣 ⇒ 𝐊 = 𝜎𝐯

Note que podemos definir um vetor 𝐊 pois esta é uma quantidade local!

A corrente total pode ser calculada como:

onde 𝐧ෝ é um unitário normal à superfície e a integral é feita sobre uma linha 𝐶 qualquer ao longo da superfície.

𝐼 = න

𝐶

𝐾𝑑𝑙

= න

𝐶

𝐊 × ෝ 𝐧 ⋅ 𝑑𝐥 = න

𝐶

𝐊 ⋅ ෝ 𝐧 × 𝑑𝐥

• Note que a corrente é expressa como uma integral, portanto representa uma quantidade global. Por essa razão, não é conceitualmente correto defini-la como um vetor!

• A última integral na expressão acima mostra que apenas a componente de 𝐊 na direção perpendicular à 𝐶 contribui para a corrente que flui através dessa linha.

3D: Cargas se movendo dentro de um volume

𝑑𝑄 = 𝜌𝑑𝑣 = 𝜌𝑑𝐴

𝑑𝑙

= 𝜌𝑑𝐴

𝑣𝑑𝑡

⇒

A corrente infinitesimal 𝑑𝐼 que flui no tubo em destaque pode ser calculada como:

𝑑𝐼 = 𝜌𝑣 𝑑𝐴

Isso nos motiva a definir um vetor densidade volumétrica de corrente:

𝐽 ≡ 𝑑𝐼

𝑑𝐴

= 𝜌𝑣 ⇒ 𝐉 = 𝜌𝐯

Mais uma vez, podemos definir um vetor 𝐉 pois esta é uma quantidade local.

A corrente total pode ser calculada como:

onde a integral é feita sobre uma superfície 𝑆 qualquer (por exemplo, a seção transversal de um fio).

𝐼 = න

𝑆

𝐽𝑑𝐴

= න

𝑆

𝐉 ⋅ 𝑑𝐀

• Note que a corrente representa o fluxo de 𝐉 através de uma superfície 𝑆!

• A última integral na expressão acima mostra que apenas a componente de 𝐉 na direção perpendicular à 𝑆 contribui para a corrente.

(a) Se a distribuição é uniforme, podemos calcular 𝐾 pelo valor médio:

𝐾 ≡ 𝑑𝐼

𝑑𝑙

= 𝐼

𝐿 = 𝐼 2𝜋𝑎

(b) Neste caso, temos 𝐽 = 𝐽 𝑠 = 𝐶/𝑠, onde 𝐶 é uma constante a ser determinada e 𝑠 é a distância até o eixo do fio.

A corrente total que flui sobre uma seção transversal 𝑆 do fio pode ser calculada como:

𝐼 = න

𝑆

𝐉 ⋅ 𝑑𝐀 = න

𝑆

𝐽𝑑𝐴

A seção transversal é um disco de raio 𝑎. Podemos representar um elemento de área infinitesimal desta superfície em coordenadas cilíndricas como:

𝑑𝐴

= 𝑑𝑠 𝑠𝑑𝜙

Com isso:

𝐼 = න

𝑆

𝐽𝑑𝐴

= න

0 𝑎

න

0 2𝜋

𝐽 𝑠 𝑠𝑑𝑠𝑑𝜙 = 2𝜋 න

0 𝑎

𝐽 𝑠 𝑠𝑑𝑠

= 2𝜋 න

0 𝑎

𝐶

𝑠 𝑠𝑑𝑠 = 2𝜋𝐶𝑎 𝐶 = 𝐼

⇒ 2𝜋𝑎 𝐽(𝑠) = 𝐼

⇒ 2𝜋𝑎𝑠

Note que 𝐾 tem dimensão de corrente por unidade de comprimento e 𝐽 de corrente por unidade de área!

Força magnética sobre correntes

Correntes são cargas em movimento, logo devem sentir a ação de forças magnéticas!

𝑑𝐅

= 𝑑𝑄 𝐯 × 𝐁 ⇒ 𝐅

= න

𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏

𝑑𝐅

= න

𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏

𝑑𝑄 𝐯 × 𝐁

onde a integral se estende por toda a distribuição de correntes.

2D:

𝑑𝑄 = 𝜎𝑑𝐴 e 𝐊 = 𝜎𝐯 ⇒ 𝐅

= න

𝑆

(𝐊 × 𝐁) 𝑑𝐴

3D:

𝑑𝑄 = 𝜌𝑑𝑣 e 𝐉 = 𝜌𝐯 ⇒ 𝐅

= න

𝒱

(𝐉 × 𝐁) 𝑑𝑣

1D:

𝑑𝑄 = 𝜆𝑑𝑙 e 𝐼 = 𝜆𝑣 ⇒ 𝐅

= න

𝐶

𝐼 (𝑑𝐥 × 𝐁)

Para fazer a integral, observamos a dimensionalidade da distribuição e utilizamos a densidade de corrente apropriada:

Utilizando a expressão apropriada para um fio (1D):

𝐅

= න

𝐶

𝐼 (𝑑𝐥 × 𝐁)

Como 𝐁 é uniforme e 𝐼 é constante, podemos retirá-los da integral:

𝐅

= 𝐼 න

𝑖𝑚𝑒𝑟𝑠𝑜

𝑑𝐥 × 𝐁

e a integral se estende apenas sobre a porção de 𝐶 imersa no campo.

Note agora que:

න

𝑖𝑚𝑒𝑟𝑠𝑜

𝑑𝐥 = Δ𝐋

Assim:

𝐅

= 𝐼Δ𝐋 × 𝐁

Portanto, se o campo aponta para dentro da tela, 𝐅_𝑚 aponta para baixo.

Seu módulo é:

Perguntas adicionais:

• 𝐅_𝑚 tende a deslocar o circuito para baixo. A força magnética (resultante) está realizando trabalho nessa situação?

Se não, quem está? (veja o exemplo 5.3 do livro-texto)

• O que mudaria se a região do campo tivesse um formato irregular, mas permanecesse uniforme?

|𝐅

| = 𝐼 Δ𝐋 𝐁 = 𝐼𝑤𝐵

Referências básicas

• Griffiths (3ª edição) – cap. 5