2. Matrizes
Introdução
As matrizes estão presentes no nosso cotidiano das formas mais variadas. No entanto, em geral não percebemos a presença delas, pois estão envolvidas em certos aparelhos que utilizamos tanto, que não nos importamos com o seu funcionamento. As matrizes também estão envolvidas numa série de cálculos matemáticos e na idéia de elaboração de alguns jogos.
Softwares –As matrizes estão presentes na programação da maioria dos softwares e, inclusive, na interface de alguns como as planilhas eletrônicas. Nestes programas a tela é dividida em campos que são dispostos em linhas e colunas e são referenciados como elementos de uma matriz (aij).
As agendas eletrônicas também são organizadas matricialmente, onde alguns elementos de uma matriz são matrizes ou correspondem a um elemento de outra matriz. Estando também presentes em alguns jogos.
Aparelhos Eletrônicos –Vários aparelhos eletrônicos possuem matrizes evidentes ou nem tanto para o seu funcionamento. Entre eles se destacam os monitores(TV e computador), o computadorem si (CPU) e algumasimpressoras.
Matemática – Na matemática, as matrizes são usadas para resolver problemas direta ou indiretamente. Usando as operações com matrizes resolvem-se diversos problemas práticos. Além disso as matrizes são usadas na solução de sistemas lineares de equações e de produtos vetoriais e mistos.
Engenharia – A geração dos movimentos e deformações que vemos nos efeitos especiais do cinema, da TV, dos games de computadores e nas visualizações das simulações científicas está baseada na multiplicação de matrizes 4x4 no caso espacial e 3x3 no caso plano. Sendo que nessas aplicações o problema computacional não reside no tamanho das matrizes mas quantidade delas e na velocidade que precisamos fazer as multiplicações.
Em muitas outras aplicações, temos uma situação quase que oposta: uma única matriz mas cujo tamanho pode ir a ordem de centenas e mesmo milhares de linhas e colunas. Isso é o que ocorre comumente em problemas que envolvem o estudo de camposelétricos, magnéticos, de tensões elásticas, térmicos, etc, os quais - por um processo de discretização - são reduzidos a um sistema de equações lineares, cuja matriz tem grande tamanho. Esse tipo de problema é um dos mais comuns em vários campos da Engenharia.
Outra situação que nos leva a nos envolvermos com matrizes enormes são as associadas a redes estaduais de distribuição de energia elétrica, grandes redes de comunicações, redes de transporte, etc.
Matrizes: Definição, Conceitos e Operações Básicas
Operando com matrizes estamos utilizando uma forma compacta de fazermos operações com vários números simultaneamente.
Conceito Matriz é um conjunto ou arranjo de números (ou quaisquer outras entidades simbólicas), chamados de elementosda matriz, ordenados em linhas e colunas.
A matriz abaixo possui mlinhas e ncolunas, e diz-se que ela é uma matriz mn:
n , 1,2,
= j
m , 1,2,
= i
colunas e
linhas com
Matriz
a
2 1
2 22
21
1 12
11
ij
m n
a a
a
a a
a
a a
a A
mn m
m
n n
(2.1)
A i-ésima linhade Aé
ai1 ai2 ain
1 jn
,para i= 1,..., me a j-ésima colunade Aé
mj j j
a a a
2 1
1im
,para j= 1,..., n.
Note que matrizes serão representadas simbolicamente por letras maiúsculas A, B,..., ou pela notação [aij], que caracteriza um elemento geral, aij. Sendo os elementos do corpo Krepresentados por letras minúsculas a, b, ...
Os vetores, entretanto, serão designados por letras minúsculas e um único índice, como, por exemplo,
a= [a1, a2, a3]
Cada elemento da matriz A está afetado de dois índices: aij. O primeiro índice indica a linha e o segundo a coluna a que o elemento pertence. Usamos também a notação A = (aij)m xn. Dizemos que aij ou [A]ij é o elemento ou a entrada de posição i j da matriz A.
Ex.: 2.1 Dizemos que a matriz Aé de ordem mpor n(mn):
4 3
2
A 1 ,
3 0
1
B 2 ,
2 4 2
0 3
C 1 ,
1 3 2
D ,
3 4 1
E , F
3 .As matrizes A e B são 2 x2. A matriz Cé 2 x3, D é 1 x 3,Eé 3 x1 e F é 1 x 1. De acordo com a notação que introduzimos, exemplos de elementos de algumas das matrizes dadas acima são a12= 2, c23= - 2, e21= 4, [A]22= 4, [D]12= 3.
Definição Uma matriz de ordem n1 é denominada matriz-coluna:
an
a a
A
2 1
A matriz-coluna de ordem n 1 pode representar as componentes
a1,a2,a3,,an
de um vetor Vdo espaço vetorial Ede dimensão n. Por esse motivo a matriz é denominada vetor-coluna.
Definição Uma matriz de ordem 1 né uma matriz-linha: A
a1 a2 an
Obs.: Então, uma matriz com mlinhas e ncolunas é dita ser de ordem m n; uma matriz (de ordem) 1 n é chamada matriz (vetor) linha; uma matriz m 1 é chamada matriz (vetor) coluna.
Definição Uma matriz quadradaé uma matriz que possui o número de linhas igual ao de colunas;
na Eq. (2.1), se m= n, então Aé uma matriz quadrada.
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a
a a a a A ij A matriz ao lado é um exemplo de matriz
quadrada 3 x 3 ou, simplesmente, matriz quadrada de ordem 3.
Definição Numa matriz quadrada A
aij , os elementos aij, em que i j, constituem a diagonal principal. Ou seja, é a maior diagonal que contem os elementos em diagonal da esquerda para a direita na matriz. Assim, a diagonal formada pelos elementos:ann
a a
a11, 22, 33,, é a diagonal principal.
44 43 42 41
34 33 32 31
24 23 22 21
14 13 12 11
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a A
Numa matriz quadrada A
aij , os elementos aij, em que i j n1, constituem a diagonal secundária. Ou seja, é a maior diagonal que contem os elementos em diagonal da direita para a esquerda na matriz. Sendo ela, formada pelos elementosn n
n
n a a a
a 1, 1...2, 2...3,, 1 .
Definição Uma matriz quadrada A
aij , cujos coeficientes fora da diagonal são todos nulos, ou seja, aij 0 se i j, é chamada matriz diagonal.Definição Uma matriz diagonal A
aij , cujos termos sobre a diagonal principal são iguais, ou seja, aij C para i j e aij 0 para i j,é chamada uma matriz escalar.
Ex.: 2.2.
0 6757 6706
5959
6757 0
3593 3469
6706 3593
0 785
5959 3469
785 0
. .
. .
Tóquio Y N Madri Londres
Tóquio Y
N Madri Londres
A seguinte matriz fornece as distâncias aéreas entre as cidades indicadas (em milhas).
2 0
0 G 4
4 0 0
0 2 0
0 0 3 H
1 0 0
0 1 0
0 0 1 I3
2 0
0
J 2 ,
Diagonal Principal Diagonal Secundária
Definição Uma matriz escalar de qualquer ordem que tem os elementos aij 1 para i j, é uma matriz identidade(ou matriz unidade).
1 0
0 1
I2 ,
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I3 .
Definição Uma matriz quadrada A
aij que tem os elementos0
aij para i j, é uma matriz triangular superior.
Definição Uma matriz quadrada A[aij] que tem os elementos
0
aij para i j, é uma matriz triangular inferior.
Definição Uma matriz zeroé a matriz cujos elementos aij são todos nulos.
Igualdade de Matrizes
Duas matrizes são iguais se e somente se forem de mesma ordem e se todos os seus elementos correspondentes forem iguais. Em outras palavras, A = B, se e somente se aij= bij,ou seja, o elemento genérico de Aé igual ao elemento genérico de B.
Ex.:
2 0
1 3
4 2 2 0
1 3
4 2
Vamos, agora, introduzir as operações matriciais.
Indica-se a matriz unidade por Inou simplesmente por I.
6 0 0 0
3 2 0 0
4 8 3 0
9 7 4 5 A
9 8 2 6
0 3 4 3
0 0 7 2
0 0 0 5 A
0 0 0
0 0 0 0
Quadro 2.1 – Operações com Matrizes
Operação Notação simbólica
Notação indicial (de elementos)
Condições necessárias e suficientes para que a operação possa ser
efetuada:
Adição e
Subtração: C = AB cij= aij bij
As matrizes Ae Bdevem ter o mesmo número de linhas e colunas; C terá o mesmo número de linhas e colunas que Ae B.
Multiplicação
de Matrizes C = AB kj ik kj
n
k ik
ij a b a b
c
1
O número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B; assim, se a matriz A for de ordem m x n, B deverá ser de ordem n x p; a matriz C será de ordem mx p.
Multiplicação de matrizes por escalares
C = kA cij= kaij
A matriz Cterá a mesma ordem que a matriz A
Quadro 2.1
Adição de Matrizes
A soma de duas matrizes de mesmo tamanho A = (aij)m xn e B = (bij)m xn é definida como sendo a matriz C = (cij)m xn obtida somando-se os elementos correspondentes de Ae B, ou seja,
cij= aij+ bij,
para i= 1,..., me j= 1,..., n. Escrevemos C= A+ B e [A+ B]ij= aij+ bij.
Ex.: 2.3. Considere as matrizes:
3 4 0
3 2
A 1 ,
4 3 0
5 1 B 2
Se chamamos de Ca soma das duas matrizes Ae B, então
3 7 4
2 3 1 )
4 ( 0 3 4 0 3
5 3 1 2 ) 2 ( B 1
A C
Produto de uma Matriz por um Escalar
A multiplicação de uma matriz A = (aij)m xn por um escalar (número) é definida pela matriz B = (bij)m xnobtida multiplicando-se cada elemento da matriz pelo escalar, ou seja,
bij= aij,
para i= 1,..., m e j= 1,..., n. Escrevemos B= A e [A]ij =aij.
Ex.: 2.4. O produto da matriz
4 5
3 0
1 2
A pelo escalar -3 é dado por
12 15
9 0
3 6 )
4 ( ) 3 ( 5 ) 3 (
3 ) 3 ( 0 ) 3 (
1 ) 3 ( ) 2 ( ) 3 ( 3 A
Produto de Matrizes
O produtode duas matrizes, tais que o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda, A= (aij)m xp e B= (bij)p xn é definido pela matriz C= (cij)m xn obtida da seguinte forma:
pj ip j
i j i
ij a b a b a b
c 1 1 2 2 (2.2)
kj ik p
k
b
a
1
(2.3)
para i= 1,..., me j= 1,..., n. Escrevemos C= AB e
ik kj pk
ij a b
AB
1
.
A equação (2.2) está dizendo que o elemento i jdo produto é igual a soma dos produtos dos elementos da i-ésima linha de Apelos elementos correspondentes da j-ésima coluna de B.
mn m
ij n
pn pj
p
n j
n j
mp m
m
ip i
i
p
c c
c c c
b b
b
b b
b
b b
b
a a
a
a a
a
a a
a
1
1 11
1
2 2
21
1 1
11
2 1
2 1
1 12
11
Na equação (2.3) estamos usando a notação de somatóriopara escrever a equação (2.2) de forma compacta. O símbolo
p
k 1
significa que estamos fazendo uma soma em que o índice kestá variando de k= 1 até k= p.
Ex.: 2.5. Considere as matrizes:
0 6 2
4 2
A 1 ,
2 5 7 2
1 3 1 0
3 4 1 4 B
Desde que Aseja uma matriz 23 e B uma matriz 34, o produto AB é uma matriz 4
2 . Para determinar, por exemplo, o elemento na linha 2 e coluna 3 de AB, nós primeiramente pegamos a linha 2 de Ae a coluna 3 de B. Então, como ilustrado abaixo, nós multiplicamos os elementos correspondentes e somamos estes produtos.
[]
26 []
[]
[]
[]
[]
[]
2 5 7 2
1 3 1 0
3 4 1 4 0
6 2
4 2 1
24 63 05 26O elemento na linha 1 e coluna 4 de AB é calculado como se segue.
[]
[]
[]
[]
13 []
[]
[]
2 5 7 2
1 3 1 0
3 4 1 4 0
6 2
4 2 1
13 21 42 13 Os cálculos restantes são:
2 3 6 1 0 2 12 4 7 0 1 6 1 28 2 0 0 6 4 2
30 5 4 3 2 4 1
27 7 4 1 2 1 1
12 2 4 0 2 4 1
12 26 4 8
13 30 27 AB 12
Obs.: A definição de produto de matrizes exige que o número de colunas da primeira matriz A seja igual ao número de linhas da segunda B, para formar o produto AB. Se esta condição não é satisfeita, o produto não é definido. A matriz resultante AB terá o número de linhas de Ae o número de colunas de B, como mostra a figura abaixo.
4 2
4 3
3
2
AB B
A
Na figura 2.1, os membros de dentro são iguais, então o produto é definido. Os membros de fora dão a ordem da matriz produto.
Fig. 2.1 fora
dentro
Ex.: 2.6. Considere as matrizes:
3 4 0
3 2
A 1 ,
0 4 5
0 3 0
0 1 2
B
Se chamamos de Co produto das duas matrizes Ae B, então
6 15 0
0 19 17 0
) 4 ( 0 3 4 1 3 5 0 0 4 ) 2 ( 3
0 ) 4 )(
3 ( 3 2 1 1 5 ) 3 ( 0 2 ) 2 ( AB 1
C .
Observe que neste exemplo o produto BAnão está definido. Entretanto, mesmo quando está definido, BApode não ser igual a AB, como mostra o exemplo seguinte.
Ex.: 2.7. Sejam
4 3
2
A 1 e
3 0
1 B 2
Então
15 6
7
AB 2 e
12 9
0 BA 1
Apresentaremos agora alguns exemplos a fim de que a simbologia e definições apresentadas acima possam ser assimiladas.
Exemplos
Ex.: 2.8. Dê exemplos de matrizes de ordem 3 x 2, 2 x 3 e 3 x 3:
, 3 5 1
1 2 0
2 3 1 e 5 2 3 , 0
1 2 2
, 4 1
3 2
0 1
são, respectivamente, exemplos de matrizes de ordem 3 x 2, 2 x 3 e de uma matriz quadrada de ordem 3.
Ex.: 2.9. Vetor e matriz. Quais as diferenças entre vetores e matrizes?
Resp.: Todo vetor é uma matriz linha ou coluna. Entretanto, o vetor, com seu sentido geométrico e, eventualmente, físico, ainda goza da lei de produto vetorial que não é definido para matrizes em geral. Assim, todo vetor linha ou coluna é uma matriz, mas nem toda matriz linha ou coluna é um vetor. É comum confundirem-se os termos vetores com vetores linhas e colunas
Ex.: 2.10. Vetores como componentes de matrizes. Mostre como uma matriz pode ser considerada como sendo composta de vetores.
A = aij
1 2 3 1
0 1 3 2 2
3 5 1 1
,
a) pode ser considerada como sendo constituída pelos seguintes vetores linha (todos 1 x 4):
a1= [1 2 3 -1], a2= [0,1 3 2 -2] e a3= [3 5 1 1], e ser escrita na forma:
A = a a a
1 2 3
b) ou como sendo constituída pelos vetores coluna (todos 3 x 1):
a1 a2 a3 a4
1
0 1 3
2 3 5
3 2 1
1 2 1
, , , e ,
e ser escrita na forma:
A= [a1 a2 a3 a4]
Ex.: 2.11. Adição de matrizes. Obtenha a matriz C, soma das matrizes A e B, dadas abaixo, e indique qual o valor do elemento c24:
A= B
1 3 1
=
-1 2 4
2 0 1 1 2 1
2 4 5 1
3 62 2 1 2 1 2
0 2 4 6
/ / /
Resp.:A matriz Cé dada por:
C=A + B =
1 + (-1) 3 + 2 1 + 4
=
0 5 5
2 3
0 62 1 2 1 2 1 2 1 1 2
2 0 4 2 5 4 1 6
5 62 3 1 3 2
2 6 9 5
( ) / / / /
O elemento c24= 3/2.
Ex.: 2.12 Multiplicação de matrizes. Qual é a matriz produto D das matrizes A e B do exemplo 2.11?
Resp.: A matriz produto envolve o produto das matrizes A e B, ou seja, o produto de matrizes de ordem 3x4 X 3x4. Uma vez que o número de colunas de Aé 4,e, portanto, diferente do número de linhas (ou filas) de B, 3, não é possível efetuar a multiplicação.
Ex.: 2.13 Multiplicação de matrizes. Qual é a matriz D , produto das matrizes A e B dadas abaixo?
A= B
1 3 1
= 1 2 2 2
0 1 1 2 1
2 4 5 1
0 2 4 6 5
/
Resp.:O produto envolve matrizes de ordem 3x4 X 4x2; portanto, a matriz resultante D será de ordem 3x2. Usando a definição de produto de matrizes, dada no Quadro (2.1), temos:
d a bl a b
l
l l l
11 1
1 4
1 1 1
= 1x1 + 3x2 +1x2 + 2x6 = 21 (note o produto da primeira linha de Apela primeira coluna de B).d a bl a b
l
l l l
21 2
1 4
1 2 1
= 0x1 + -1x2 +1/2x2 + 1x6 = 5 (note o produto da segunda linha de Apela primeira coluna de B).d a bl a b
l
l l l
31 3
1 4
1 3 1
= 2x1 + 4x2 +5x2 + -1x6 = 14 (note o produto da terceira linha de Apela primeira coluna de B).d a bl a b
l
l l l
12 1
1 4
2 1 2
= 1x2 + 3x0 +1x4 + 2x5 = 16 (note o produto da primeira linha de Apela segunda coluna de B).d a bl a b
l
l l l
22 2
1 4
2 2 2
= 0x2 + -1x0 +1/2x4 + 1x5 = 7 (note o produto da segunda linha de Apela segunda coluna de B).d a bl a b
l
l l l
32 3
1 4
2 3 2
= 2x2 + 4x0 +5x4 + -1x5 = 19 (note o produto da terceira linha de Apela segunda coluna de B).Portanto: D =
dij
21 16
5 7
14 19
Ex.: 2.14 Produto de vetores. Efetue o produto dos vetores a = [1 2 4] pelo vetor b = [ 2 5 7]
Resp.: Trata-se de um produto de vetores (matrizes) de ordem 1x3 X 1x3. Como tal, esta operação não é possível, pois o número de colunas de a (=3), deveria ser igual ao número de linhas de b(=1).
A operação de produto seria possível se as ordens de a, b e do produto fossem, respectivamente: 1x3 X 3x1 1x1 (a operação resulta num escalar; neste caso o produto dos vetores é equivalente a um produto escalar ou interno de vetores); 3x1 X 1x3 3x3 (a operação resulta numa matriz 3x3). Exemplificando:
a b
T 1 2 4 1 2 + 2 5 + 4 7 = 40 2
5 7
Por outro lado:
aT b
1
2 4
2 5 7
1 2 1 5 1 7 2 2 2 5 2 7 4 2 4 5 4 7
2 5 7
4 10 14 8 20 28
Note:
a. a simbologia utilizada para vetores transpostos ou transpostos de vetores,aTe bT; b. para se efetuar um produto interno ou escalar deve-se multiplicar um vetor linha
por um vetor coluna; não se pode, por exemplo, efetuar produto de vetor linha por vetor linha.
Ex.: 2.15 Produto de uma matriz por um escalar. As duas matrizes abaixo são equivalentes?
A= 2 B
4 2 6 8
1 2 3 4
=
Resp.: Sim, pois ao se efetuar o produto de todos os elementos de Bpor 2, obtém-se os elementos de A; além deste fato, deve-se notar que Ae Bsão de mesma ordem.
Matrizes Especiais
Várias matrizes quadradas, com características especiais, aparecem no estudo de fenômenos de transportes, de soluções de sistemas de equações lineares e na formulação de métodos computacionais. Já vimos a definição de matriz quadrada, que é um caso particular da definição de matrizes. Outras matrizes importantes são:
Quadro 2.2 – Matrizes Especiais
Matriz especial Definição Exemplo
Matriz identidade
A matriz identidade I é a matriz quadrada definida por:
I= [ij], em que:
ij
1 se i = j 0 se i j
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= I3
Matriz transposta
A matriz transposta AT é a matriz obtida de A, trocando suas linhas pelas suas colunas, ou seja, dada a matriz A= [aij], então AT= [aji]
Se A =
1 -2 3
4 6 5
2 -1 -4
,
então, A =T
1 4 2 -2 6 -1
3 5 -4
Matriz simétrica ou auto-adjunta1
É a matriz que é igual à sua transposta, ou seja:
A= [aij] = AT= [aji] ou ainda, é a matriz cujos elementos são simétricos em relação à sua diagonal principal, isto é, aij = aji
A =
1 4 2
4 6 -1 2 -1 -4
= AT
Note: 1, 6 e -4 são os elementos da diagonal principalde A
Matriz inversa
Dada a matriz A, a sua matriz inversa, designada por A-1 é uma matriz tal que
A-1A= I=A A-1
Se A= 2 1 1 3
, então
A-1= 1 5
3 -1 -1 2
pois A-1A = 1 0 0 1
= I
Matriz ortogonal
Uma matriz Aé ortogonal se AT= A-1
A, abaixo, é ortogonal:
Se A=1 5
4 3 -3 4
4 / 5 3 / 5 -3 / 5 4 / 5
,
então AT= A-1= 1 5
4 -3 3 4
1 Matrizes Auto-adjuntas ou Hermitianassão matrizes iguais às suas matrizes transpostas conjugadas, ou seja, iguais às transpostas das matrizes cujos elementos são números complexos conjugados da original; se as matrizes forem reais, as matrizes Hermitianas ou auto-adjuntas são equivalentes a matrizes
Matriz antissimétrica
Uma matriz é antissimétrica se seus elementos são tais que
aij aji
Forma típica:
A = -AT
0
0 0
12 13
12 23
13 23
a a
a a
a a
Matrizes Auto-adjuntas ou Hermitianas são matrizes iguais às suas matrizes transpostas conjugadas, ou seja, iguais às transpostas das matrizes cujos elementos são números complexos conjugados da original; se as matrizes forem reais, as matrizes Hermitianas ou auto-adjuntas são equivalentes a matrizes simétricas.
Matriz diagonal
Matriz diagonal é a matriz quadrada cujos únicos elementos não nulos são os elementos da diagonal principal
Ex.1. A =
aij
a
a a
11 22
33
0 0
0 0
0 0
Ex.2. A matriz identidade I
Matriz tridiagonal
Matriz tridiagonal é a matriz cujos elementos fora da diagonal principal e das duas diagonais vizinhas são nulos.
A = aij
a a
a a a
a a a
a a
11 12
21 22 23
32 33 34
43 44
0 0
0 0
0 0
Matriz triangular inferior
Matriz triangular inferior é a matriz quadrada cujos elementos acima da diagonal principal são nulos
A = aij
a
a a
a a a
11
21 22
31 32 33
0 0
0
Matriz triangular estritamente inferior
Matriz triangular estritamente inferior é a matriz quadrada cujos elementos na e acima da diagonal principal são nulos
A = aij
0 0 0
0 0 0
21
31 32
a
a a
Matriz triangular superior
Matriz triangular superior é a matriz quadrada cujos elementos abaixo da diagonal principal são nulos
A = aij
a a a
a a
a
11 12 13
22 23
33
0
0 0
Matriz triangular estritamente superior
Matriz triangular estritamente superior é a matriz cujos elementos na e abaixo da diagonal principal são nulos
A = aij
0
0 0
0 0 0
12 13
23
a a
a
Matriz escalar
Matriz escalar é a matriz diagonal cujos elementos são
iguais. A =
aij
3 0 0
0 3 0
0 0 3
Matriz não singular
Matriz não singular é uma matriz cuja matriz inversa existe.
Ver exemplo de matriz inversa.
Quadro 2.2
Matriz Transposta
A transposta de uma matriz A = (aij)m xn é definida pela matriz B = (bij)n xm obtida trocando-se as linhas pelas colunas, ou seja,
bij= aji,
para i= 1,..., me j= 1,..., n. Escrevemos B= ATe [AT]ij= aji. Ex.: 2.16 As transpostas das matrizes
4 3
2
A 1 ,
3 0
1
B 2 e
2 4 2
0 3 C 1
são
4 2
3
T 1
A ,
3 1
0
T 2
B e
2 0
4 3
2 1 CT
A seguir, mostraremos as propriedades que são válidas para a aritmética matricial. Elas são muito semelhantes àquelas que são válidas para os números reais. Uma propriedade importante que é válida para os números reais, mas não é válida para as matrizes é a comutatividade do produto, como foi mostrado no exemplo 2.7. Por ser compacta, usaremos a notação de somatório na demonstração de várias propriedades. Algumas propriedades desta notação estão explicadas no Apêndice I.
Operações complementares e Propriedades
Os métodos de diferenças finitas, elementos finitos e volumes finitos e sua implementação em computadores requerem o uso de uma série de produtos matriciais e operações com matrizes. Portanto, as operações abaixo devem ser bem estudadas a fim de que a exposição futura dos métodos seja suave.
Quadro 2.3 – Somas Matriciais
Propriedade Notação Simbólica Exemplo ou demonstração
Sejam A, Be Cmatrizes com tamanhos apropriados, e escalares. São válidas as seguintes propriedades para as operações matriciais
A + B = B + A aij bij bij aij
A + (B + C) = (A + B) + C aij
bij cij
aij bij
cijExiste uma única matriz 0.mxn, tal que
A + 0 = A
para qualquer matriz A, mxn.
4 3
2 1 0 0
0 0 4 3
2 1
Para cada matriz A, existe uma única
matriz B, tal que A + B = 0
0 0
0 0 4 3
2 1 4
3 2 1
Quadro 2.3
Quadro 2.4 – Produtos Matriciais
Propriedade Notação Simbólica Exemplo ou demonstração Não comutatividade,em geral, do
produto de duas matrizes AB BA, em geral Ver exemplo 2.7
Distributividade do produto de matrizes D = (A+B)C = AC + BC d
a b
ca c b c
ij ik ik ki
ik ki ik ki
=
Associatividade do produto de matrizes D = (AB)C = A(BC) = ABC d
a b
c a
b c
a b c
ij ik km mi ik km mj
ik km mj
=
Comutatividade da multiplicação por
escalar B = mA = Am bij maij a mij
Quadro 2.4
Nota: A justificativa para os produtos acima, Quadro 2.4, é que os elementos das matrizes são números reais; os números reais gozam das propriedades de distributividade, associatividade e comutatividade da multiplicação.
A seguir apresentaremos várias expressões que envolvem produtos de matrizes transpostas. Note que é comum designar uma matriz transposta simplesmente pelo termo transposta.
Quadro 2.5 – Operações mais comuns envolvendo matrizes transpostas
Operação Notação simbólica Notação indicial Demonstração
Transposta da transposta de uma matriz
(AT)T = A (aikT)T= aik
aikT T
aki T aikMatriz transposta de um produto de matrizes
(AB)T= BTAT (aikbki)T = bjk aki
2
a b
c cb a
ik kj T
ij T
ji jk ki
O produto BTABé uma matriz simétrica, desde que Aseja simétrica
(BTAB)T= BTAB
se AT= A
(bikakmbmj)T = bikakmbmj (B TAB)T= (AB)T(BT)T
= BTATB= BTA B
A matriz produto de uma matriz pela sua transposta é uma matriz simétrica
(BTB)T= BTB (bikbkj)T = bikbkj
(BTB)T= BT(BT)T= BTB
Quadro 2.5
Nota: As justificativas para as demonstrações neste quadro encontram-se nas linhas anteriores do próprio quadro ou nas definições básicas, Quadros 2.1 a 2.4.
APÊNDICE I: Notação de Somatório
São válidas algumas propriedades para a notação de somatório:
a) índice do somatório é uma variável muda que pode ser substituída por qualquer letra:
fi= fj.
b) O somatório de duas parcelas pode ser quebrado em dois somatórios:
(fi+ gi) = fi+ gi. Pois,
fi+ gi. Aqui foram aplicadas as propriedades associativa e comutativa da soma de números.
c) Se no termo geral do somatório aparece um produto, em que um fator não depende do índice do somatório, então este fator pode sair do somatório:
figk= gk fi. Pois,
Aqui foram aplicadas as propriedades distributiva e comutativa do produto em relação a soma de números.
d) Num somatório duplo, a ordem dos somatórios pode ser trocada:
fij= fij. Pois,
Aqui foram aplicadas as propriedades comutativa e associativa da soma de números reais.
(fi+ gi) = (f1+ g1) +...+ (fn+ gn) = (f1+...+ fn) + (g1+...+ gn) =
figk= f1gk+...+ fngk= gk(f1+...+ fn) = gk fi.
fij = (fi1+...+ fim) = (f11+...+ f1m) +...+ (fn1+...+ fnm) = (f11+...+ fn1)
+...+ (f1m+...+ fnm) = (f1j+...+ fnj) = fij.
Exercícios Numéricos
1. Considere as seguintes matrizes
7 6
0
A 2 ,
8 2
4
B 0 ,
2 3 7
7 9 C 6
6 0 6
4 1 1
0 4 6
D ,
1 0 6
4 0 1
9 9 6 E
Se for possível, calcule:
(a) AB-BA; R.:
24 58
20
24 (b) 2C-D; R.: Não é possível pois, as dimensões das matrizes são diferentes.
(c) (2DT- 3ET)T; R.:
15 0 6
20 2 5
27 19 30
(d) D2-DE; R.:
12 30 72
45 4 10
22 34
80
2. Sejam
2 4 0
0 3
A 1 e
5 2 3
B R.:
2 3 2
3
Verifique que AB= 3A1+ 2A2+ 5A3, onde Aj é a j-ésima coluna de A, para j= 1, 2, 3.
3. Encontre um valor de xtal que ABT= 0, onde
4 2
x
A e B
2 3 5
R.: x114. Sejam
5 5 4
2 2 9
9 3 4
A e
1 2 5
4 8 4
7 3 9 B
Encontre:
(a) a 1ª. linha de AB; R.:
3 30 25
(b) a 3ª. coluna de AB; R.:
13
69 25
(c) a 2ª. linha de ATBT; R.:
14 48 16
(d) a 2ª. coluna de ATBT. R.:
72
48 40
Exercícios usando o MATLAB
Uma vez inicializado o MATLAB, aparecerá na janela de comandos um prompt >> ou
EDU>>. O prompt significa que o MATLAB está esperando um comando. Todo comando deve ser finalizado teclando-se Enter. Comandos que foram dados anteriormente podem ser obtidos novamente usando as teclas e . Enquanto se estiver escrevendo um comando, este pode ser corrigido usando as teclas , , Delete e Backspace. O MATLAB faz diferença entre letras maiúsculas e minúsculas. No MATLAB, pode-se obter ajuda sobre qualquer comando ou função. O comando:
> > help
mostra uma listagem de todos os pacotes disponíveis. Ajuda sobre um pacote específico ou sobre um comando ou função específica pode ser obtida com o comando:
> > help nome,
(sem a vírgula!) onde nome pode ser o nome de um pacote ou o nome de um comando ou função. Além dos comandos e funções pré-definidas, escrevemos um pacote chamado gaal com funções que são mais adequadas para este curso. O comando help gaal dá informações sobre este pacote. Vamos descrever aqui alguns comandos que podem ser usados para a manipulação de matrizes. Outros comandos serão introduzidos a medida que forem necessários.
>> syms x y zdiz ao MATLAB que as variáveis x ye zsão simbólicas.
>> A=[a11,a12,...,a1n;a21,a22,...; ...,amn]cria uma matriz, mpor n, usando os elementos a11, a12, ..., amne a armazena numa variável de nome A. Por exemplo, >> A=[1,2,3;4,5,6]cria a matriz
6 5 4
3 2
A 1 ;
>> A+Bé a soma de Ae B,
>> A-Bé a diferença Amenos B,
>> A*Bé o produto de Apor B,
>> A.’ é a transposta de A,
>> num*Aé o produto do escalar numpor A,
>> A^ké a potência Aelevado a k.
>> Aj=A(:,j)é a coluna jda matriz A,
>> Ai=A(i,:)é a linha ida matriz A.
>> format ratmuda a exibição dos números para o formato racional. O comando help formatmostra outras possibilidades.
>> solve(expr)determina a solução da equação expr=0. Por exemplo,
>> solve(x2-4)determina as soluções da equação x2- 4 = 0;
