1 Intervalos de Confian¸ ca

Centro Federal de Educa¸c˜ao Tecnol´ogica Celso Suckow da Fonseca – CEFET/RJ Disciplina: Estat´ıstica

Prof. Anna Regina Corbo

CAP´ ITULO 6: Teoria da Estima¸ c˜ ao

E o processo que consiste em utilizar dados amostrais para obter valores de parˆ´ ametros populacionais desconhecidos.

ˆ Estimador: ´e toda a estat´ıstica amostral que tem um parˆametro correspondente na popula¸c˜ao.

Por exemplo: ¯x´e estimador de µ; s´e estimador de σ.

ˆ Estimador n˜ao-tendencioso: Seθ ´e um parˆametro e ˆθ´e seu estimador, dizemos que θˆ´e um estimador n˜ao-tendencioso de θ seE[ˆθ] =θ.

ˆ Estimativa: ´e o valor num´erico do estimador.

As estimativas obtidas podem ser:

ˆ Pontuais: o parˆametro ´e estimado unicamente pelo valor do estimador.

ˆ Intervalar: o parˆametro ´e estimado atrav´es de um intervalo de valores, onde o esti- mador ´e seu valor central.

1 Intervalos de Confian¸ ca

A estima¸c˜ao por intervalos consiste no estabelecimento de limites inferior e superior para o parˆametro que se deseja estimar.

Ao construir o intervalo [lim inf; lim sup] devemos associar a ele umgrau de riscopara o valor real do parˆametro n˜ao pertencer a este intervalo. Este grau de risco ´e expresso em termos de probabilidade, isto ´e, podemos estabelecer um erro aceit´avel(por exemplo, 1%

ou 5%).

A precis˜ao do intervalo ´e o complementar do grau de risco. Este grau de risco ´e chamado de n´ıvel de significˆancia e ´e notado por α.

Ograu de precis˜ao´e o complementar do n´ıvel de significˆancia e ´e notado por 1−α.

Sejaθ um parˆametro em estudo.

[ ˆθ₁ 6θ 6θˆ₂] ´e um intervalo de confian¸ca.

Nota¸c˜ao: P( ˆθ₁ 6θ 6θˆ₂) = 1−α

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Caracter´ısticas:

1. O tamanho da amostra afeta a precis˜ao do intervalo. Se n ´e grande ⇒ a precis˜ao ´e melhor.

2. O tamanho do intervalo tamb´em depende do n´ıvel de significˆanciaα desejado.

2 Intervalo de confian¸ ca para a m´ edia da popula¸ c˜ ao com variˆ ancia conhecida

Sejam X ∼N(µ, σ²) e ¯X ∼ µ,^σ_n²

. Temos que Z = X−µ

σ e Z_x¯ = x¯−µ σ/√

n. Sejaz^α

2 tal que P(Z 6z^α

2) = 1−α

2 (obtido pela tabela da distribui¸c˜ao normal padr˜ao).

Ent˜ao, temos que:

P(−z^α

2 6Z 6z^α

2) = 1−α Deste modo, temos:

P(−z^α

2 6Z_x¯ 6z^α

2) = 1−α P

−z^α

2 6 x¯−µ σ/√

n 6z^α

2

= 1−α P

−z^α

2 · σ

√n 6x¯−µ6z^α

2 · σ

√n

= 1−α P

−¯x−z^α

2 · σ

√n 6−µ6−¯x+z^α

2 · σ

√n

= 1−α P

¯ x−z^α

2 · σ

√n 6µ6x¯+z^α

2 · σ

√n

= 1−α

Este ´e o intervalo de confian¸ca 1−α para a m´edia se x´e a m´edia de uma amostra aleat´oria de tamanho n, proveniente de uma popula¸c˜ao com variˆancia conhecida σ².

Exemplo 1 Considere uma amostra de 100 elementos extra´ıda de uma popula¸c˜ao aproxima- damente normal, cujo desvio-padr˜ao ´e igual a 2,0, que forneceu m´edia x¯= 35,6. Construir um intervalo de 95% de confian¸ca para a m´edia desta popula¸c˜ao.

Exemplo 2 A taxa de queima de um combust´ıvel num determinado ve´ıculo ´e normalmente distribu´ıda, com desvio-padr˜ao de 2 cm/s. Num experimento com 25 amostras, foi obtido uma taxa m´edia amostral de 51,3 cm/s. Determine o intervalo de 99% de confian¸ca para a taxa m´edia populacional de queima.

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3 Intervalo de confian¸ ca para a m´ edia quando a variˆ ancia populacional ´ e desconhecida

3.1 A distribui¸ c˜ ao t-Student

Considere a distribui¸c˜ao t-Student (similar a distribui¸c˜ao normal, por´em com o uso de s ao inv´es de σ). Logo,

Z_¯x= X¯ −µ σ/√

n =⇒T^α

2;n−1 = X¯ −µ s/√

n Isto ´e, quando ny∞ temos que T yZ pois syσ.

Usando a tabela t-Student Se α= 0,05 e n = 20 ent˜aot^α

2;n−1 =t_0,025;19 = 2,09.

3.2 Construindo o intervalo de confian¸ ca

Queremos construir um intervalo de confian¸ca para a m´edia onde a variˆancia populacional σ² ´e desconhecida.

Seja, ent˜ao,

P −t^α

2;n−1 6T 6t^α

2;n−1

= 1−α P

−t^α

2;n−1 6 x¯−µ s/√

n 6t^α

2;n−1

= 1−α P

−t^α

2;n−1 · s

√n 6x¯−µ6t^α

2;n−1· s

√n

= 1−α P

¯ x−t^α

2;n−1· s

√n 6µ6x¯+t^α

2;n−1· s

√n

= 1−α

Este ´e o intervalo de confian¸ca 1−α para a m´edia se x´e a m´edia de uma amostra aleat´oria de tamanho n, proveniente de uma popula¸c˜ao com variˆancia desconhecida σ².

Exemplo 3 Considerando que uma amostra de 4 elementos extra´ıda de uma popula¸c˜ao nor- mal forneceu m´edia 8,20e desvio-padr˜ao 0,40, construir um intervalo de 99% de confian¸ca para a m´edia dessa popula¸c˜ao.

Exemplo 4 Os resultados de testes de consumo de energia com geladeiras foram registrados na tabela abaixo. Com base nestes valores, responda: entre que valores est´a a m´edia da popula¸c˜ao com grau de precis˜ao de 95%?

19,8 18,5 17,6 16,7 15,8 15,4 14,1 13,6 11,9 11,4 11,4 8,8 7,5 15,4 15,4 19,5 14,9 12,7 11,9 10,1

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4 Estimativa da Propor¸ c˜ ao Populacional

Quando analisamos determinado fenˆomeno, podemos avaliar a propor¸c˜ao de sucessos e falhas na popula¸c˜ao total.

Tomemos como sucessos o evento X e como falha o evento Y = complementar de X.

P(X) = π P(Y) = 1−π

Dada uma amostra X⁰ queremos estimar a propor¸c˜ao populacional π atrav´es da pro- por¸c˜ao amostral p.

Para amostras “grandes” (em geral quando n > 30) podemos supor que elas tenham distribui¸c˜ao normal. Deste modo, o intervalo de 1−α de confian¸ca para a propor¸c˜ao popu- lacional π, com base em uma amostra de tamanho n, ´e dado por:

P p−z^α

2 ·

rp(1−p)

n 6π 6p−z^α

2 ·

rp(1−p) n

!

= 1−α

Exemplo 5 Em 50 lances de uma moeda, foram obtidas 30 caras. A partir de um intervalo de confian¸ca de 98%, podemos dizer que a moeda ´e honesta?

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