APOSTILA DE MODELAGEM FÍSICA E MATEMÁTICA PARA ELETRICIDADE WILLI PENDL JUNIOR

ELETRICIDADE

WILLI PENDL JUNIOR

REVISÃO

Potência: é representação simplificada de uma multiplicação de fatores iguais.

Notação: aⁿaé a base,no expoente;aennão podem ser simultaneamente nulos.

Significado: aⁿ

nvêzes

a.a.a...a

Exemplos numéricos: 3⁴ 3.3.3.3 81; 2³ 2.2.2 8; ²₃ ^{3 2}₃.²₃.²_{3 27}⁸ Propriedades:

1-)a¹ a 2-) 0ⁿ 0;n 0 3-) 1ⁿ 1

4-) a^{n m} a^{m n} a^n.m 5-)aⁿ.a^m a^{n m}

6-) ^a_a^mn a^{m n}; a 0

7-)a ⁿ _a¹n ; a 0 (Obs.: Este é um caso particular da propriedade 6 quandom 0).

8-) a.b ^m a^m.b^m; Vale também: ^a_b ^m; desde queb 0 9-)a^{mn n}a^m

Consequências:

1-)a⁰ 1 sea 0

2-) Sea^m aⁿ m n; a 0 ea 1

3-) Sea 0,b 0 ea^m b^m a bse m é ímpar a bse m é par 4-) Sea 0 ea^m aⁿ m nsea 1

m nse 0 a 1 Monômios e Polinômios

Monômio: expressão matemática de um único termo, não possui operação de adição ou subtração.

Polinômio: expressão matemática que apresenta termos combinados em adição e subtração.

Operações entre monômios: A adição ou subtração só pode ser efetuada quando se tem termos semelhantes.

Exemplos:

m.n² m².n m.n² m².n(não é possível efetuar, os termos não são semelhantes) a b² c a 2b² 3c 2a 3b² 4c(observe que os termos que foram agrupados possuem o mesmo expoente, por isso são chamados de semelhantes)

Multiplicação: Só pode ser efetuada multiplicando os termos numéricos e aplicar propriedades de potências na parte algébrica.

2x.3a 6xa(a parte algébrica não foi efetuada, não são termos semelhantes)

5x².y.4y².3x.z 60x³y³z(foi efetuado o produto nos termos numéricos e na parte algébrica utilizou-se propriedades de potência para efetuar a multiplicação).

Operações entre monômios e polinômios

Adição: é idêntica a adição entre monômios, isto é, só podemos reduzir os termos semelhantes.

Exemplo:

3x x² 5x 6 3x x² 5x 6 x² 8x 6 Multiplicação: é a aplicação da propriedade distributiva.

Exemplo:

3x. x² 5x 2 3x³ 15x² 6x a : a² 5a 6 a. ¹

a² 5a 6

a a² 5a 6

a² 7a 2 : 3a a² 7a 2 ._3a^{1 a}_3a^{2 7a}_{3a 3a}^{2 a}₃ ⁷_{3 3a}² Multiplicação entre polinômios: aplica-se a propriedade distributiva Exemplo:

x² 3x 1 . x² 5x 3 x² 3x 1 x² x² 3x 1 5x x² 3x 1 3 x⁴ 3x³ x² 5x³ 15x² 5x 3x² 9x 3

x⁴ 2x³ 17x² 14x 3

Produtos Notáveis

Alguns produtos envolvendo expressões algébricas apresentam um padrão, uma

regularidade, uma forma comum em seus resultados. Por isso são conhecidos como produtos notáveis.

Abaixo estão relacionadas as formas mais usuais de produtos notáveis.

a b ² a² 2ab b²(quadrado da soma) a b ² a² 2ab b²(quadrado da diferença)

a b a b a² b²(diferença entre dois quadrados) a b ³ a³ 3a²b 3ab² b³(cubo da soma)

a b ³ a³ 3a²b 3ab² b³(cubo da diferença) a b a² ab b² a³ b³(soma de dois cubos) a b a² ab b² a³ b³(diferença de dois cubos) x a x b x² xb ax ab x² a b x ab

Exercícios 1-) Desenvolver os produtos notáveis.

a-) 2x³ 5 ² b-) ^2x₃ 7 ²

c-) 3x⁵ 4 3x⁵ 4

d-) x 2 x 4

e-) x 2 x 4

f-) 5x 3 ³ g-) x² 3 ³

h-) x 1 x² x 1 i-) x 4 x² 4x 16 j-) x ²₃ ²

Fração

Propriedade Fundamental: Se em uma fração multiplicarmos ou dividirmos o numerador e o denominador por um mesmo número, o valor não se altera.

Exemplos:

5 10 15 20 25 x² x

x²

2x 2

2x 3x³ 3x² 3x³

x 1 x 1

x x 1 ...

Simplificar uma fração significa determinar a fração mais simples equivalente à fração dada.

Podemos dizer que a fração simplificada tem como numerador e denominador, fatores primos entre si.

Fatores primos entre si são aqueles cujo divisor comum é o número 1.

Operações com frações

Adição ou subtração: para somar ou subtrair uma fração com denominadores diferentes é necessárioreduzir ao mesmo denominador. A redução ao mesmo denominador é obtida através do mínimo múltiplo comum (mmc). Em seguida divide o valor comum pelo denominador da primeira fração e multiplica o resultado obtido pelo numerador. Esse processo deve ser efetuado para todas as frações.

Exemplos:

2

3 1

5

2 5 1 3

15 10 3

15 13

3 15

2 2

5 1

4

3 10 2 4 1 5

20 30 8 5

20 27

Multiplicação: para multiplicar uma fração por outra basta efetuar o produto do numerador20

da primeira pelo numerador da segunda fração e o produto do denominador da primeira pelo denominador da segunda fração.

Exemplos:

2

3 1

5 2 1

3 5 2

3 15

2 3

7 1

4 3 3 1

2 7 4 9

4 56

5 6 ^{4 6}_{5 1} ²⁴₅ (observe que o denominador da segunda fração é 1)

Divisão: para dividir uma fração por outra fração deve-se conservar a primeira e multiplicar pelo inverso da segunda fração.

Exemplos:

34 57

3

4 7

5 3 7

4 5 21

20

56 1311

5

6 11

13 5 11

6 13 55

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Fatoração

Fatorar é transformar uma expressão algébrica em uma multiplicação (produto). Destacamos a seguir os principais casos de fatoração que devem ser utilizados de acordo com as

características da expressão algébrica a ser fatorada.

1-)Fator comum: é um fator comum em todos os termos da expressão Exemplos:

ax bx cx x a b c

4x³ 12x² 8x 4x x 1 x 2

2-)Agrupamento: é agrupar termos semelhantes que aparecem na expressão. Termos semelhantes são as expressões que apresentam as mesmas variáveis com os mesmos expoentes.

ax bx ay by x a b y a b x y a b x³ 2x² 9x 18 x² x 2 9 x 2 x 2 x² 9

3-)Diferença entre dois quadrados: na fatoração teremos o produto da soma pela diferença dos mesmos termos.

Exemplos:

a² b² a b a b x² 9 x 3 x 3

x² 3 x 3 x 3

4-)Trinômio do quadrado perfeito: na fatoração teremos a soma ou a diferença de uma expressão elevada a um expoente n.

Exemplos:

a² 2ab b² a b ² a² 2ab b² a b ² 9x² 12x 4 3x 2 ²

25x⁶

4 5x³ 1 ^5x₂³ 1 ^{2 1}₄ 5x³ 2 ²

5-)Trinômio do segundo grau: a forma geral do trinômio do segundo grau é ax² bx c a x x1 x x2 , ondex1ex2são raízes da equaçãoax² bx c 0

Exemplos:

x² 6x 8 x 4 x 2 x² 7x 10 x 2 x 5 2x² 12x 16 2 x 4 x 2

6-)Soma de cubos: a soma de cubos pode ser fatorada pela fórmula:

a³ b³ a b a² ba b² Exemplos:

x³ 27 x 3 x² 3x 9 x³ 8 x 2 x² 2x 4

7-)Diferença de cubos: para fatorar uma diferença de cubos usamos a fórmula:

a³ b³ a b b² ba a² Exemplos:

x³ 27 x 3 x² 3x 9 x³ 8 x 2 x² 2x 4

Exercícios 1-) Fatorar as expressões:

a-)a³x a²y

b-) 15x²y 20xy² 10x²y² c-)mx mb xy by d-) 6axy² 9y² 2ax 3 e-) 2ax 3bx 6ay 9by f-)m² 14am 49a² g-)n² 10n 25 h-)y² 2 3y 3 i-) 2x² 2x 24 j-)x³ 27 k-)x³ 125

y y m-)x x 4 6 x 4

n-) sin x cos x sin x cos x 1

Simplificação

É escrever uma expressão, um número de uma forma mais simples.

Exemplo: ^6x₃ 2x neste exemplo tanto o numerador como o denominador foram simplificados por 3.

3x² 9x 3x

3x x 3

3x x 3 neste exemplo foi feita a fatoração no numerador e em seguida tanto o numerador como o denominador foram simplificados por 3x.

x² 4 x² 7x 10

x 2 x 2

x 2 x 5 x 2

x 5 agora a fatoração foi feita tanto no numerador como no denominador aparecendo o termo comum x 2 que permitiu a simplificação.

Obs.:Para simplificar uma expressão primeiramente efetuar a fatoração no termo que for necessário para em seguida simplificar o termo comum.

Exercícios 1-) Simplificar as expressões abaixo.

a-) ^{3x4 10x2}

x⁵ x² j-) ^6x_15x^{2 9x}

b-) ^x2_x ¹⁶₄ k-) ^{x2 25}

x² 10x 25

c-) ^{x2 9}

x² 6x 9 m-) ^20x_35xy^3yz₂ ²

z²

d-) ^{x 32}

x² 9 n-) ^{x2 2xy y2}

x² xy 3x 3y

e-) ^{2x 2}

x 1² o-) ^{x 6}

x³ 36x

f-) ₁⁴_{x 1}⁵_x p-) ^{5x 10}

x² 2x

g-) ₃^x_x ^10x

3 x ²

h-) ^x_x ¹₁ ^x_x ¹₁ i-) _{x w}^{y z y2 z2}

x² w²

2-) (UFRGS) Sea ^{x y}₂ , b ^{x y}₂ ec xy, onde x e y são números reais tais que xy 0, então uma relação entrea², b²ec²é:

a-)a² b² c² 0.

b-)a² b² c² 0.

c-)a² b² c² 0.

d-)a² b² c² 0.

e-)a² b² c².

Matrizes,Determinantes e Sistemas Lineares Introdução:

Nos computadores são utilizados programas que auxiliam na realização das mais diversas atividades. Entre os programas instalados no computador podemos destacar as planilhas eletrônicas como, por exemplo, o Excel.

Essas planilhas possibilitam organizar as informações, realizar cálculos, escrever fórmulas, além de oferecer recursos avançados para a construção de gráficos e tabelas. A organização dos dados nestas planilhas é feita através de tabelas compostas por linhas e colunas que

denominamos deMATRIZ, que pode ser representada de duas maneiras:

10 7 5 7

8 36 9 11

ou 10 7 5 7

8 36 9 11

Cada número que compõe uma matriz é chamado elemento ou termo. No exemplo acima a matriz é do tipo 3x4, ou de ordem 3x4 e lê-se matriz três por quatro.

Definição de Matriz

Uma matriz de ordem (ou tipo)mxné toda tabela numérica comm nelementos dispostos emmlinhas encolunas, sendomennúmeros naturais e diferentes de zero.

Exemplos:

9 3 4

5 7 6 matriz de ordem 2x3 (lê-se dois por três) 15

4 19

matriz de ordem 3x1 (lê-se três por um)

1 19 3 51 matriz de ordem 1x4 (lê-se um por quatro).

Representação genérica de uma matriz

Para indicar cada elemento da matriz, utilizamos uma letra minúscula acompanhada de dois índices. Na matrizA

1 4 2 12

10 7 5 7

8 36 9 11

, por exemplo:

O 4 está na primeira linha na segunda coluna, indicamos por:a12(lê-se a um dois).

O 5 está na segunda linha na terceira coluna, indicamos por:a23(lê-se a dois três).

Genericamente, uma matriz A com m linhas e n colunas pode ser representada por:

A

a11 a12 a13 a14 ... a1j ... a1n

a21 a22 a23 a24 ... a2j ... a2n

a31 a32 a33 a34 ... a3j ... a3n

: : : : : : : :

ai1 ai2 ai3 ai4 ... aij ... ain

: : : : : : : :

am1 am2 am3 am4 ... amj ... amn

comm N en N

De maneira abreviada, a matriz A pode ser escrita da seguinte maneira:A a_{ij mxn}ou A aij , i 1, 2, 3, ....,m ej 1, 2, 3, ...n .

Matriz Quadrada

Uma matriz de ordemmxné quadrada quando o número de linhas é igual ao de colunas, isto é,m n. Nesse caso, diz-es que a matriz é do tiponxnou, simplesmente, quadrada de ordemn.

Exemplo:

Matriz quadrada de ordem 3.

3 9 4

0 2 1

Nesse caso,m n 3.

Em uma matiz quadrada A de ordemn, os elementos:

a11, a22, a33, a44, ....,ann, ou seja, aqueles em quei jformam adiagonal principal.

aij tal quei j n 1 formam a diagonal secundária.

Determinantes

Dada uma matriz quadradaAde ordemn, podemos associar a ela um número, chamado determinante, obtido a partir de operações envolvendo todos os elementos deA.

Indicamos o determinante da matriz quadradaA, abaixo, por detA:

A

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

detA

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

Observe que a notação de matriz é diferente da notação para o determinante de uma dada matriz. A matriz pode ser escrita com ou , enquanto que o determinante é escrito entre duas barras | |.

OBS.:NÃO CONFUNDIR COM A REPRESENTAÇÃO DE MÓDULO.

Determinantes de algumas matrizes Determinante de uma matriz de ordem 1:

O determinante de uma matriz de ordem 1, ou seja,A a_{11 1x1}, é o próprio elementoa11. Indicamos esse determinante por detA |a11| a11.

Exemplos:

B 7 , então detB 7 C ¹₅ , então detC ¹₅

Determinante de uma matriz de ordem 2:

O determinante de uma matriz quadradaA a11 a12

a21 a22

é igual à diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

detA a11 a12

a21 a22

a11 a22 a21 a12

Exemplo:

Dada a matrizA 9 2

5 1 , determine o valor do detA.

detA 9 2

5 1 9 1 5 2 9 10 19

Determinante de uma matriz de ordem 3

Dada a matrizA

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

, podemos obter o detA por meio do seguinte cálculo:

detA

Para obter os produtos acima, utilizamos uma regra prática conhecida comoregra de Sarrus:

repetimos a 1ª e a 2ª coluna à direita da matriz. Em seguida, efetuamos as multiplicações conforme as indicações das setas no esquema:

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a₃₂ a₃₃ a31 a32

a13 a22 a₃₁ a11 a23 a₃₂ a12 a21 a₃₃ a11 a22 a₃₃ a12 a23 a31 a13 a21

o sinal do produto dos elementos indicados pelas setas que vão da esquerda para direita é mantido.

o sinal do produto dos elementos indicados pelas setas que vão da direita para a esquerda é trocado.

o determinante é a soma dos resultados obtidos.

Exemplo:

Utilizando a regra de Sarrus, obtenha o determinante da matrizA

1 0 4

7 2 10

1 5 6

. Solução:

detA 8

1 0 4 1 0

7 2 10 7 2

1 5 6 1 5

50 0 12 0 140

12 0 140 8 50 0

Exercícios:

1-) Utilizando a regra de Sarrus, calcule os determinantes a seguir:

a-)

4 2 3

7 0 1

8 5 3

b-)

3 5 1

3 2 12 1 1 1

c-)

1 0 0 0 1 0 0 0 1

d-)

1 a 1

5 a a² 2

3 2 5

Respostas:a-) -99;b-)50;c-)1;d-) 3a² 29a 6 2-) Sejama

5 3 1

0 2 1

5 1 1

,b

1 0 0

2 5 74

7 ¹₂ 3

ec |23|, determine o valor de:

a-)a b c b-)b² 4ac c-)

a 2 7

1 b 60

2 5 c

Respostas:a-) -11;b-)1404;c-) -2003

3-) Sabendo queA aij é uma matriz quadrada de ordem 3 eaij

21 j², sei j , calcule detA.

Resposta:181

4-) Encontre o conjunto solução da equação

x 2 1 3 6 1

9 x 5

14 Resposta:S 28, 1

5-) Sejam as matrizesA 5 2

y 3 eB

0 2 2

y 5 ¹₂ 2y 5 4

. Para qual valor de y detA detB?

Resposta:y ¹⁵₃₈

6-) (Fatec-SP) O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos de sua diagonal principal. Se os númerosxeysão tais que a matriz

2 1 0 3 x 4 1 1 y

tem traço igual a 4 e determinante igual a -19, determine o valor do produtoxy.

Resposta: -3.

Sistemas lineares

As equações escritas na formaa1x1 a2x2 a3x3 .... anxn b, em quea1, a2, a3, ...,an

são números reais, são chamadasequações lineares. Nessas equações:

a1, a2, a3, ...,ansão oscoeficientes das incógnitas;

x1, x2, x3, ...,xnsão asincógnitas;

bé otermo independente.

No caso particular, quandob 0, temos uma equaçãolinear homogênea.

Exemplo:

Na equação: 5x 4y z ¹₂t 2 temos:

5, 4, 1 e ¹₂ são os coeficientes;

x, y, zetsão as incógnitas;

2 é o termo independente.

Obs.: Em uma equação linear não há termos do tipo:xy,x²,xyz, etc..., ou seja, cada termo tem apenas uma incógnita, cujo expoente é 1.

Denominamos desistema linearm x n, o conjunto S de equações lineares demequações comnincógnitas. Representamos esse conjunto genericamente da seguinte forma:

S

a11x1 a12x2 a13x3 .... a1nxn b1

a21x1 a22x2 a23x3 .... a2nxn b2

...

am1x1 am2x2 am3x3 .... amnxn bm