 211191.9131.9)0(f131.3f 31x 

COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO III TERCEIRA ETAPA LETIVA / 2010 – INFORMÁTICA / MEIO AMBIENTE COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR

PROFESSORES: QUINTANILHA / WALTER TADEU

NOTA:

NOME: GABARITO Nº: ______ TURMA: _______

TRABALHO DE MATEMÁTICA I – 1 ª SÉRIE (Vale 3,0 pontos)

1) (UFF) Em um certo dia, três mães deram à luz em uma maternidade. A primeira teve gêmeos, a segunda, trigêmeos e a terceira, um único filho. Considere, para aquele dia, o conjunto das 3 mães, o conjunto das 6 crianças e as seguintes relações:

I) A que associa cada mãe ao seu filho. II) A que associa cada filho à sua mãe.

III) A que associa cada criança ao seu irmão.

Assinale a opção que indica quais são funções:

(A) somente a I (B) somente a II (C) somente a III (D) todas (E) nenhuma.

Solução. Nomeando as mães como A, B e C com seus respectivos filhos A

1

, A

2

, B

1

, B

2

, B

3

e C

1

, temos as situações:

i) I não é função, pois tanto a mãe A, como a mãe B possuem duas imagens, contrariando a definição de função.

ii) II é função. Cada filho possui somente uma imagem (mãe) e todo filho possui imagem.

iii) III não é função. Além de os filhos da mãe A e B possuírem mais de uma imagem (irmãos), o filho da mãe C como único não possui irmão, logo sem imagem.

2) Seja f: R  R tal que f(3x – 1) = 9 x

²

 1 . Determine o valor de f(0).

Solução. Para calcular f(0), é necessário encontrar o valor de “x” que iguala (3x – 1) = 0.

3 x 1 0 1 x

3     . Logo, f(0) é calculado substituindo 3

x  1 na função. Temos:

2 1 1 9 1

. 1 9 3 1

. 1 9 ) 0 ( f 3 1

. 1 3 f

2







 



 



 

 



 



 

 



 



  .

3) Seja a função g(x) definida no intervalo fechado [– 4 , 4 ], cujo gráfico está representado na figura abaixo.

Calcule o valor de g[g(4)] – g[g(– 4)].

Solução. Os valores são identificados diretamente no gráfico:

20 2)]4 (g[g )]4(g[g 0)2 (g)) 4(g(g 0)2 (g

2)4 (g

2)2(

g))4 2)2( (g(g

g 2)4(

g









 



 









 

 







 

 





.

4) Considere a função

x ax b x

f ( )   , para x  0 . Se f(2) = 5 e f(3) = 5, calcule a + b.

Solução. Substituindo os valores de “x” e f(x), temos:

76 1b a 6)1 (4 10 b, Logo

5 1 a 5 5a 15 5

ba 9

10 ba 4 15

ba 3 9 a3 b )3( 5 )3(a b )3(f

)1(

10 ba 2 4 a2 b )2( 5 )2(a b )2(f













 

 





 

 



 

























.

5) (UERJ) Em uma partida, Vasco e Flamengo levaram ao Maracanã 90.000 torcedores. Três portões foram abertos às 12 horas e até as 15 horas entrou um número

constante de pessoas por minuto. A partir desse horário, abriram- se mais 3 portões e o fluxo constante de pessoas aumentou.

Os pontos que definem o número de pessoas dentro do estádio em função do horário de entrada estão contidos no gráfico a seguir:

Quando o número de torcedores atingiu 45.000, o relógio estava marcando 15 horas e:

(A) 20 min (B) 30 min (C) 40 min (D) 50 min

Solução. Observe que os triângulos PTS e PQR são semelhantes. Considerando “x” o tempo procurado, temos:

min 30 h 15 2 h 15 1 6 h 15 3 60 x 930 930 x 60 30 900 x 60

2 15 x 60 15 2

15 x 60000 15000 15

17 15 x 30000 90000

30000 45000

PR PS RQ

ST





















 



 



 

 



 



.

6) Sabendo que,

5

 3 senx ,

0  x   2 , e

13 cos y   5 ,

2

  y  3 , calcule sen  x  y  . Solução. Calculando os cossenos e senos de acordo com os quadrantes, temos:

65 33 65

48 15 5

. 4 13 12 13

. 5 5 x 3 cos seny y

cos senx )

y x ( sen

) quadrante º

3 ( 13 0

12 169 144 169

1 25 13

1 5 13 seny

y 5 cos

) quadrante º

1 ( 5 0

4 25 16 25 1 9 5

1 3 x 5 cos senx 3

2 2

 

 

 

 



 



 

 

 



 

 

 

 



 



















 



 

 





















 



 



 







7) Resolva a equação 4 sen

³

x  senx  0 , para 0  x  2  .

Solução. Colocando o termo comum em evidência e analisando as soluções, temos:

 

 



 





 



 

























2 senx 1

2 senx 1 4 xsen 1 01 xsen 4

kx 0 senx 01 xsen 4 senx 0 senx xsen

4 ^{3 2} _{2 2} ^.

i)   

































 



 k 1 x ; k 3 x 3 2 0[ 2, ] 2

x 2 k

;0 x 0 k k

x ^.

ii)

 



 









 

 



 



 







 





 



 









 

 



 



 







 





 



 





 



 



 



   



 







] 2, 0[

6 2 17 6

12 2 5

6 x 5 1 k

6 x 5 0 k :2 Sol

] 2, 0[

6 2 13 6

2 12 x 6

1 k

x 6 0 k :1 Sol

6 k2 k2 5 :2 6

Solução 6 k2 :1 Solução 2 x

senx 1

.

iii)

 



 









 

 

 



 







 





 



 









 

 

 



 







 





 



 





 





 





 



 



  



 









] 2, 0[

6 2 23 6

12 2 11

6 x 11 1 k

6 x 11 0 k :4 Sol

] 2, 0[

6 2 19 6

12 2 7

6 x 7 1 k

6 x 7 0 k :3 Sol

6 k2 k2 11 k2 6

6 :4 7 Solução

6 k2 :3 7 Solução 2 x

senx 1

.

Logo, a solução é:

 



 

      

2 6 , , 11 6 , 7 6 , 5 6 , ,

0 .

8) Observe o triângulo mostrado. Assinale a expressão que

calcula a área do triângulo BCD.

(a) g  g  d d

cot cot

.

₂

1

 (b)  g  g  

d d

cot cot

2

.

₂

1

 (c)  g ^ g ^ 

d d

cot cot

2

2 1



 (d)



 g

g d d

cot cot

2

.

₂

1



(e) ²  ^{cot g d }

¹

^{.  d}

²

^{cot g } 

Solução. Considere “x” medindo AD – (d1 + d2) e “h” = BD. Escrevendo as razões trigonométricas, temos:

 ^{ } 

 

 







 





 



















 



 























 









 

g cot g cot 2

d.

d g

cot g cot . d 2 d 2

h.

) d BCD ( Área

g . cot g cot h d d g cot .h g cot .h

g cot .h d g cot .h g

cot .h x g h cot tg x x h

d g cot .h h x

x g d cot x tg

d h

2 1 1

2 2

1 1

1 1

1 1

9) (MACK) Calcule o valor de ^{tg } na figura.

Solução. Escrevendo as razões trigonométricas, temos:

   

 



 



























4 1 100 x 25 tg x 10 tg

5, 2

20 1 100 tgx 5 10 tgx

5, 0

Aplicando a fórmula da tangente da soma de arcos, temos:

81 16 81

4 4 81 5

20 tg 4

5 4 20

tg . 81 5

1 5 20

tg tg 80 5 1 1 20 tg tg 20 4

tg 4 20 4 . 1 tg 1 20 . 1 tg 1

20 tg 1

4 1

tgx . tg 1

tgx ) tg

x ( tg

 

 

 







 

 

 



 



 



































 





10) (UNIRIO) Marque o valor de

 

 

²

2

6 cot 5 4

sec 9 cos º 1200 sec

) º 750 ( º 240 4 cos

 

 



 

 

 

















g tg

sen

.

a) 6 2

3  b) 6

2 3 

 c) 6

2

3  d) 6

2 3 

 e) 0

Solução. Encontrando as primeiras determinações e substituindo os valores, temos:

 

 

       

     

  ^{ }

6 2 3 6

2 3

8 9 6

2 10 15 12 2 9 2 2 3

2 2 . 3 2 2 3 6

5 2 3 2 2 3 6

5 2 3 3 2 2

6 2 3 2 3

3 2 2

3 1 2 1 2

2

3 2

2

3 3 2

1 2

2

6 g 5 4 cot

sec 9 cos º 1200 sec

) º 750 ( tg º 240 4 cos

sen ,

Logo

3 3 . 3 3 3 3 3 6 g 5 3 cot

3 6

tg 5

2 2 . 2 2 2 2 2 9 4

sen 1 4

sec 9 2 cos

2 sen 4

2 4 4 sen

sen 9

º 2 120 cos ) 1 º 1200 2 sec(

) 1 º 120 cos(

) º 1200 cos(

3 º 3 330 tg ) 30 ( tg ) º 750 ( tg

2 2

2 2

 

 

 

 





 







 



 









 





 







 

 



 

 



 

 





 

 



 

 



 



 





 

 

 





 

 

















 





 





 

 



 



  

 

 



 



   

 



 



 

























