220!9!3!9101112)!312!.(3!12

(1)

COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO III TERCEIRA ETAPA LETIVA / 2008

PROVA DE MATEMÁTICA I – 2ª SÉRIE – MANHÃ COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR

PROFESSOR: _______________ DATA:

NOTA:

NOME: GABARITO Nº: TURMA: _

ESTA PROVA VALE 3,5 PONTOS.

NÃO SERÃO ACEITAS RESPOSTAS SEM AS DEVIDAS JUSTIFICATIVAS.

QUESTÃO 1(Valor: 1,0)

A câmara de vereadores de um município é composta por exatamente 20 vereadores, sendo que 12 apóiam o prefeito e os outros são contra ele. Determine o número de maneiras diferentes de se formar uma comissão de 5 vereadores com exatamente 2 oposicionistas ao prefeito.

Solução. O número de vereadores é 20. Se 12 apóiam o prefeito, então 20 – 12 = 8 não apóiam. São de oposição. Para formar comissões com exatamente 2 oposicionistas, devemos selecionar os elementos dentro de suas naturezas: apoiar ou não apoiar. A ordem das escolhas de nomes não importa. São 5 elementos, onde 2 serão de oposição e 3 que apóiam o prefeito.

i) Selecionando 2 vereadores oposicionistas: ^C

⁸²

^ ₂ _!.( ₈ ⁸ ^! _ ₂ _)! ^ ⁸ ₂ ^x _! ⁷ _x ^x ₆ ⁶ _! ^! ^ ²⁸

ii) Selecionando 3 vereadores não oposicionistas: ^C

¹²³

^ ₃ _!.( ₁₂ ¹² ^! _ ₃ _)! ^ ¹² ^x ¹¹ ₃ _! _x ^x ¹⁰ ₉ _! ^x ⁹ ^! ^ ²²⁰ Logo, há

12³

²⁸ ²²⁰ ⁶¹⁶⁰

2

8

 C   

C maneiras diferentes.

QUESTÃO 2 (Valor: 0,75) Uma moça vai desfilar vestindo saia, blusa, bolsa e sapatos. O organizador do desfile afirma que 3 modelos de saia, 5 de blusa, 3 pares de sapato e um certo número de bolsas permitem mais de duzentas possibilidades de diferentes escolhas deste traje. Para que a afirmação do organizador seja verdadeira, qual deve ser o número mínimo de bolsas?

Solução. Para cada escolha de um elemento ocorrem escolhas diferentes nos demais elementos.

As possibilidades de traje são:

saia blusa sapato bolsa Número de trajes

3 possibilidades 5 possibilidades 3 possibilidades x possibilidades 3.5.3.x = 45x

Como o organizador afirmou haver mais de 200. O número mínimo de bolsas deverá ser tal que:

4 , 45 4 200 200

45 x   x   . Logo, o número inteiro x > 4,4 é 5. O número mínimo de bolsas.

1

(2)

QUESTÃO 3 (Valor: 1,0)

A expectativa de vida, em anos, de uma pessoa que nasceu no ano x (x > 1900), em uma região, é dada por E(x) = 7(200 log x  651) . Considerando log 2 = 0,3, qual a expectativa de vida de uma pessoa que nasceu em 2000?

Solução. O problema resume-se em calcular E(2000). Temos:

63 ] 9 [ 7 ) 2000 (

] 651 660 [ 7 ) 2000 (

] 651 ) 3 , 3 ( 200 [ 7 ) 2000 (

] 651 ) 3 3 , 0 ( 200 [ 7 ) 2000 (

] 651 ) 10 log 3 2 (log 200 [ 7 ) 2000 (

] 651 ) 10 log 2 (log 200 [ 7 ) 2000 (

) 651 ) 10 . 2 log(

200 ( 7 ) 2000 (

) 651 2000 log 200 ( 7 ) 2000 (

3 3





































E E E E E E E E

QUESTÃO 4 (Valor: 0,75)

Resolva, em IR, a equação log (2

₂

x  10) log ( 

₂

x   1) 6 :

Solução. Antes da resolução, precisamos estabelecer as condições de solução.

i) 2x + 10 > 0. Logo, x > -5 ii) x + 1 > 0. Logo, x > -1

Para que a solução satisfaça ambas as condições, o valor de x deverá ser maior que –1.

Identificando a propriedade do produto de logaritmos de mesma base, temos:

6 )]

1 ).(

10 2 [(

log

6 ) 1 ( log ) 10 2 ( log

2

2 2









 x x

x

x . Pela definição de logaritmos, vem:

 







 































3 0 9

)3 )(

9 ( 0 27 6 0

54 12 2

64 10 10 2 2

2 )1 ).(

10 2(

2 2

2

6

x x x

x x

x