Ângulos formados nas paralelas e Teorema de Tales

(1)

Ângulos formados por duas retas paralelas e uma transversal Ângulos formados por duas retas paralelas e uma transversal

Quando duas retas paralelas são interceptadas por uma transversal, determinam oito (8) ângulos, Quando duas retas paralelas são interceptadas por uma transversal, determinam oito (8) ângulos, com vértices nas intersecções da

com vértices nas intersecções da transversal com as paralelas, são assim denominadas.transversal com as paralelas, são assim denominadas.

Lembretes !!! Lembretes !!!

I. Os pares de

I. Os pares de ângulos colaterais (internos e externos) são suplementares:ângulos colaterais (internos e externos) são suplementares:11ˆˆ++88ˆˆ==22ˆˆ++77ˆˆ==33ˆˆ++66ˆˆ==44ˆˆ++55ˆˆ==180180ºº;;

II. Propriedades: II. Propriedades: ▪

▪ PP11: : Se Se duaduas s retretas as copcoplanlanarares es disdistintintas tas e e uma uma tratransvnsversersal al dedetertermiminam nam ângânguloulos s altalterernos nos (ou(ou

corresp

correspondentes) congruentes, então essas ondentes) congruentes, então essas retas são paralelas;retas são paralelas; ▪ P

▪ P22: Por um ponto passa uma única reta paralela a uma reta dada (Postulado de Euclides).: Por um ponto passa uma única reta paralela a uma reta dada (Postulado de Euclides).

III. Sobre perpendicularidade, temos que duas retas são perpendiculares (

III. Sobre perpendicularidade, temos que duas retas são perpendiculares ( ⊥⊥ ) se, e somente se, são) se, e somente se, são

concorrentes e formam ângulos

concorrentes e formam ângulos adjacentes suplementares congruentes;adjacentes suplementares congruentes; IV

IV. Em relação aos . Em relação aos ângulos retos, para que dois ângulos retos, para que dois ângulos sejam suplementares e congruentes, a únicaângulos sejam suplementares e congruentes, a única possibilidad

possibilidade é e é que sejam de 90º, ou que sejam de 90º, ou seja, ângulos retos.seja, ângulos retos.

V. As propriedades abaixo são muito importantes no campo da Física no que diz respeito aos vetores. V. As propriedades abaixo são muito importantes no campo da Física no que diz respeito aos vetores. ▪ Ângulos de

▪ Ângulos de lados paralelos são congruentes ou suplementares.lados paralelos são congruentes ou suplementares.

▪ Ângulos de

▪ Ângulos de lados perpendicularlados perpendiculares são congruentes ou es são congruentes ou suplementarsuplementares.es.

Ângulos correspondentes (congruentes) Ângulos correspondentes (congruentes) São

São ânângulgulos os que que esestãtão o na na memesmsma a poposisiçãção, o, mamas s sosobrbree paralelas distintas

paralelas distintas 1

1 ee 55 22 ee 66 33 ee 77 44 ee 88 Alternos internos

Alternos internos (congruentes)(congruentes)

São os ângulos que estão em lados diferentes da reta São os ângulos que estão em lados diferentes da reta

transversal entre as retas paralelas. transversal entre as retas paralelas. 3

3 ee 55 44 ee 66 Alternos externos

Alternos externos (congruentes)(congruentes)

São ângulos que estão em lados diferentes da reta São ângulos que estão em lados diferentes da reta

transversal entre as retas paralelas. transversal entre as retas paralelas. 1

1 ee 77 22 ee 88

Colaterais internos (suplementares) Colaterais internos (suplementares)

São ângulos que estão do mesmo lado da reta transversal São ângulos que estão do mesmo lado da reta transversal

fora das retas paralelas. fora das retas paralelas. 3

3 ee 66 44 ee 55 Colaterais externos (suplementares) Colaterais externos (suplementares)

São ângulos que estão do mesmo lado da reta transversal São ângulos que estão do mesmo lado da reta transversal

fora das retas paralelas. fora das retas paralelas. 1

(2)

▪

▪ TeoremaTeorema

Quando duas retas paralelas são interceptadas por uma segunda reta, temos: Quando duas retas paralelas são interceptadas por uma segunda reta, temos:

▪ ângulos alternos internos congruentes. ▪ ângulos alternos internos congruentes. ▪ ângulos

▪ ângulos alternos externos congruentes.alternos externos congruentes. ▪ ângulos

▪ ângulos colaterais internos suplementares.colaterais internos suplementares. ▪ ângulos

▪ ângulos colaterais externos suplementares.colaterais externos suplementares. ▪ ângulos

▪ ângulos correspcorrespondentes iguais.ondentes iguais.

Exercícios propostos Exercícios propostos

01.

01. Considere as retas paralelasConsidere as retas paralelas mm ee nn (em símbolos: m //n). Calcule o (em símbolos: m //n). Calcule o valor devalor de xx e a medida de cadae a medida de cada

ângulo

ângulo assinaladoassinalado..

02.

02. Considerando r//s, determine as medidas dos Considerando r//s, determine as medidas dos ângulos representadângulos representados pelas incógnitasos pelas incógnitas xx ee yy..

a) a) b) b) c) c)

(3)

d) d)

03.

03. Sendo r//s, determine as medidas deSendo r//s, determine as medidas de xx,, yy ee zz, em graus, dos ângulos assinalados., em graus, dos ângulos assinalados.

04.

04. Calcule o valor de x, sabendo que as Calcule o valor de x, sabendo que as retasretasrr eess são paralelas.são paralelas.

05.

05. Calcule as medidas x e y, em graus, dos Calcule as medidas x e y, em graus, dos ângulos:ângulos:

a) r//s a) r//s

b) r//s e s//t b) r//s e s//t

(4)

06.

06. Sabendo que r//s, calcule o valor deSabendo que r//s, calcule o valor dexx, em graus:, em graus:

a) a)

b) b)

07.

07. Determine, em graus, as medidasDetermine, em graus, as medidas xx,, yy,, ww ee zz dos ângulos:dos ângulos:

a) r//s a) r//s b) r//s//t b) r//s//t c) r//s e s//t c) r//s e s//t

(5)

Teorema de Tales (r//s//t//z) Teorema de Tales (r//s//t//z)

Quando um feixe de retas paralelas é cortado por duas transversais quaisquer, a razão entre as Quando um feixe de retas paralelas é cortado por duas transversais quaisquer, a razão entre as me

medididadas s de de dodois is sesegmgmenentotos s de de umuma a dedelalas s é é igiguaual l à à rarazãzão o enentrtre e os os rerespspecectitivovos s sesegmgmenentotoss correspondentes da outra, isto é, são segmentos de medidas proporcionais.

correspondentes da outra, isto é, são segmentos de medidas proporcionais.

08.

08. A figura abaixo mostra um segmento AD dividido em três partes iguais, onde AB = 2 cm, BC = 3A figura abaixo mostra um segmento AD dividido em três partes iguais, onde AB = 2 cm, BC = 3

cm, CD = 5 cm. O segmento AG mede 13 cm e as retas BE, CF e DG são paralelas. Determine o cm, CD = 5 cm. O segmento AG mede 13 cm e as retas BE, CF e DG são paralelas. Determine o comprimento dos segmentos AE, EF e

comprimento dos segmentos AE, EF e FG.FG.

09.

09. Três lotes de terreno têm fundos para a rua “tenho que estudar” e para a rua “preciso estudar”,Três lotes de terreno têm fundos para a rua “tenho que estudar” e para a rua “preciso estudar”,

como gráfico a seguir. As divisas laterais são perpendiculares à rua “tenho que estudar”. Qual a como gráfico a seguir. As divisas laterais são perpendiculares à rua “tenho que estudar”. Qual a medida

medida de cada lote de cada lote do terreno, sendo que do terreno, sendo que a frente mede a frente mede 96 metros.96 metros.

10.

(6)

As ruas TP e SQ são paralelas. Partindo de S, cada corredor deve percorrer o circuito passando, As ruas TP e SQ são paralelas. Partindo de S, cada corredor deve percorrer o circuito passando, sucessivamente, por R, Q, P, T, retornando, finalmente, a S.

sucessivamente, por R, Q, P, T, retornando, finalmente, a S. Sendo assim, o perímetro do circuito é:

Sendo assim, o perímetro do circuito é:

11.

11. (UNESP) Considere 3 retas coplanares paralelas, r, s e t, cortadas por 2 outras retas, conforme a(UNESP) Considere 3 retas coplanares paralelas, r, s e t, cortadas por 2 outras retas, conforme a

figura. figura.

Os valores dos segmentos identificados por x e

Os valores dos segmentos identificados por x e y são, respectivamente,y são, respectivamente,

12.

12. Um feixe de três paralelas determina, numa transversal, os pontosUm feixe de três paralelas determina, numa transversal, os pontos A A,, BB ee CC e, numa outrae, numa outra

transversal, os

transversal, os pontos correspondentepontos correspondentess A A’ ’ ,, B’ B’ ee C’ C’ . Se. Se AB AB = 4 cm,= 4 cm, BCBC = 7 cm,= 7 cm, A’B’ A’B’ = 12 cm, determine= 12 cm, determine

o segmento a medida do segmento

o segmento a medida do segmento B’C’ B’C’ ..

13.

13. Um triânguloUm triângulo ABC ABC tem os ladostem os lados AC e BC AC e BC medindo 32 cm e 36 cm, respectivamente. Por ummedindo 32 cm e 36 cm, respectivamente. Por um

ponto

ponto MM, do lado, do lado AC AC , a 10 cm do vértice, a 10 cm do vértice CC, traçamos uma paralela ao lado, traçamos uma paralela ao lado AB AB , que determina um, que determina um

ponto

ponto NN emem BC BC . Qual é a . Qual é a medida demedida de CN CN ??

14.

14. Sabendo queSabendo que DDE E

// //

BBC C , determine x em cada , determine x em cada caso:caso:

15.

15. Um feixe de quatro paralelas determina sobre uma transversal Um feixe de quatro paralelas determina sobre uma transversal três segmentos consecutivos, quetrês segmentos consecutivos, que

medem 5 cm, 6 cm e 9 cm. Calcule os comprimentos dos segmentos determinados pelo feixe em medem 5 cm, 6 cm e 9 cm. Calcule os comprimentos dos segmentos determinados pelo feixe em out

outra ra tratransvnsversersal, al, sabsabendendo o que que o o segsegmenmento to desdeste, te, comcomprpreeneendiddido o ententre re a a priprimeimeira ra e e a a quaquartarta paralela, medem 60 cm.

paralela, medem 60 cm.

16. (FGV – SP)

16. (FGV – SP) Considere as retas r, s, t, u todas num mesmo plano, com r//u.Considere as retas r, s, t, u todas num mesmo plano, com r//u.

Sendo assim, o valor de (2x + 3y) é

(7)

17. (Fuvest – SP)

17. (Fuvest – SP) As retas t e s são As retas t e s são paralelas. A medida do ângulo x, em graus, é:paralelas. A medida do ângulo x, em graus, é:

18. (Mack – SP)