Sebenta ALGAN 2015-2016

Apontamentos de Álgebra

Linear e Geometria

Analítica

ISEP - Licenciatura em Engenharia Mecânica

Maria da Graça Marcos;Marisa Oliveira;Pedro Guedes

2 EMECAN 2015/2016 – ALGAN - ISEP

C

ONTEÚDO

Capítulo 1 – Matrizes Reais ... 5

1.1 Conceitos gerais ... 5

1.1.1 Definição e representação de uma matriz ... 5

1.1.2 Alguns tipos de matrizes ... 6

1.2 Operações com matrizes e suas propriedades ... 9

1.2.1 Adição de matrizes ... 9

1.2.2 Multiplicação de uma matriz por um escalar ... 10

1.2.3 Multiplicação de matrizes ... 11

1.3 Operações elementares ... 13

1.4 Inversa de uma matriz quadrada ... 14

1.4.1 Definição de matriz inversa ... 14

1.4.2 Propriedades da matriz inversa ... 16

1.4.3 Cálculo da matriz inversa ... 17

1.5 Característica de uma matriz ... 20

1.5.1 Definição ... 20

1.5.2 Cálculo da característica de uma matriz ... 23

1.6 Exercícios ... 25

1.6.1 Operações com matrizes ... 25

1.6.2 Matriz inversa ... 28

1.6.3 Equações envolvendo matrizes ... 31

1.6.4 Característica de uma matriz... 33

1.6.5 Exercícios de conclusão do capítulo... 35

Capítulo 2 – Determinantes ... 38

2.1 Permutações ... 38

2.2 Determinantes - definição e representação ... 40

2.3 Teorema de Laplace ... 41

2.4 Propriedades dos determinantes ... 44

2.5 Exercícios ... 50

2.5.1 Cálculo de determinantes de 2ª e 3ª ordens ... 50

2.5.2 Teorema de Laplace ... 51

2.5.3 Cálculo de determinantes usando propriedades ... 53

EMECAN 2015/2016 – ALGAN - ISEP 3

Capítulo 3 – Sistemas de Equações Lineares ... 63

3.1 Definição e representação matricial ... 63

3.2 Classificação de sistemas... 66

3.3 Resolução de sistemas ... 68

3.3.1 Equivalência de sistemas... 68

3.3.2 Método de Gauss e de Gauss-Jordan ... 69

3.3.3 Procedimento para a resolução de sistemas ... 70

3.4 Sistemas homogéneos... 76

3.5 Sistemas de Cramer ... 78

3.5.1 Definição ... 78

3.5.2 Resolução matricial de sistemas de Cramer... 80

3.5.3 Resolução pelas fórmulas de Cramer ... 81

3.6 Discussão de sistemas com parâmetros ... 82

3.7 Exercícios ... 88

3.7.1 Resolução de sistemas na forma matricial ... 88

3.7.2 Sistemas Cramer ... 93

3.7.3 Sistemas homogéneos ... 96

3.7.4 Discussão de sistemas com parâmetros... 98

3.7.5 Exercícios de conclusão do capítulo... 106

Capítulo 4 – Espaços Vetoriais Reais ... 110

4.1 Definição e propriedades ... 110

4.2 Subespaços vetoriais ... 115

4.3 Combinação linear e conjunto gerador de um espaço vetorial... 117

4.4 Dependência e independência linear de vetores ... 123

4.5 Bases, coordenadas e dimensão de um espaço vetorial ... 129

4.6 Exercícios ... 140

4.6.1 Espaços vetoriais ... 140

4.6.2 Subespaços vetoriais ... 142

4.6.3 Combinação linear e conjunto gerador; dependência e independência linear ... 145

4.6.4 Base e dimensão de um espaço vetorial ... 150

4.6.5 Exercícios de conclusão do capítulo... 157

Capítulo 5 – Transformações Lineares ... 160

5.1 Definição e propriedades ... 160

5.2 Núcleo e imagem de uma transformação linear ... 164

5.3 Matriz de uma transformação linear ... 169

4 EMECAN 2015/2016 – ALGAN - ISEP

5.5 Exercícios ... 178

5.5.1 Transformações lineares ... 178

5.5.2 Núcleo e imagem de uma transformação linear ... 180

5.5.3 Matriz de uma transformação linear ... 182

5.5.4 Valores próprios e vetores próprios ... 184

5.5.5 Exercícios de conclusão do capítulo... 186

Capítulo 6 – Geometria Analítica ... 189

6.1 Vetores ... 189

6.1.1 Definição e conceitos gerais ... 189

6.1.2 Operações com vetores ... 191

6.1.3 Vetores em sistemas de coordenadas ... 193

6.2 Produto interno ou produto escalar ... 196

6.3 Produto vetorial ou produto externo ... 201

6.4 Equações da reta e do plano ... 208

6.4.1 Equações da reta... 208

6.4.2 Equações do plano ... 211

6.5 Posições relativas de retas e planos ... 215

6.5.1 Interseção de dois planos ... 215

6.5.2 Interseção de três planos ... 218

6.5.3 Interseção duma reta com um plano ... 220

6.5.4 Interseção de duas retas ... 222

6.6 Distâncias ... 224

6.6.1 Distância entre dois pontos ... 224

6.6.2 Distância de um ponto a um plano ... 224

6.5.3 Distância de um ponto a uma reta ... 226

6.7 Exercícios ... 228

6.7.1 Produto escalar e produto vetorial num referencial ortonormado ... 228

6.7.2 Equações de retas e de planos ... 230

6.7.3 Interseções e posições relativas de retas e planos. Distâncias. ... 234

EMECAN 2015/2016 – ALGAN - ISEP 5

C

APÍTULO

1

–

M

ATRIZES

R

EAIS

1.1

C

ONCEITOS GERAIS

1.1.1

D

EFINIÇÃO E REPRESENTAÇÃO DE UMA MATRIZ

Sejam m n,  e a_ij , i1, ,m, j1, ,n.

Definição 1.1 [Matriz sobre ]

Chama-se matriz do tipo m n , a todo o quadro que se obtém dispondo mn números reais segundo m linhas e n colunas.

Representação

A matriz A do tipo m n será representada como

11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a              A (1.1)

podendo também ser representada abreviadamente por

ij m n a       A _(1.2) ou por 1, , ; 1, , ij i m j n a        A _(1.3)

O elemento a , da matriz indica o elemento situado na linha i coluna j . _ij

O conjunto M_{m n}

 

representa o conjunto de todas as matrizes com m linhas e n colunas em que todos os elementos da matriz representam números reais.

6 EMECAN 2015/2016 – ALGAN - ISEP Exemplo 1.1 [Definição] Seja 1 0 1 2 3 6        

A . A matriz A é uma matriz real do tipo 2 3 porque tem duas linhas

e três colunas. Então, AM_{2 3}

 

. O elemento de A situado na linha 2 coluna 3 é o elemento a₂₃ 6.

1.1.2

A

LGUNS TIPOS DE MATRIZES

Sejam i j m n, , ,  .

Definição 1.2 [Matriz linha]

A matriz A _{ }a_ij M_{m n}

 

diz-se matriz linha ou vetor linha se m1, isto é,



11 1



1 ij _n n a a a    _{ }  A (1.4)

Definição 1.3 [Matriz coluna]

A matriz A _{ }a_ij M_{m n}

 

diz-se matriz coluna ou vetor coluna se n1, isto é, 11 1 1 ij m m a a a        _{ } _{ }     A (1.5)

Definição 1.4 [Matriz retangular]

A matriz A _{ }a_ij M_{m n}

 

diz-se matriz retangular se mn.

Definição 1.5 [Matriz quadrada]

A matriz A _{ }a_ij M_{m n}

 

diz-se matriz quadrada se mn.

Definição 1.6 [Diagonal principal]

Seja A _{ }a_ij M_{n n}

 

. Chama-se diagonal principal da matriz à sequência dos elementos 11, 22, , nn

a a a de A.

Definição 1.7 [Matriz diagonal]

Seja A _{ }a_ij M_{n n}

 

. A matriz diz-se diagonal quando todos os elementos acima e abaixo da diagonal principal são iguais a zero e pelo menos um elemento da diagonal principal é diferente de zero, isto é,

EMECAN 2015/2016 – ALGAN - ISEP 7 11 22 0 0 0 0 0 0 _nn a a a              A e a_ii 0, para algum i . (1.6)

Definição 1.8 [Matriz triangular superior]

Seja A _{ }a_ij M_{n n}

 

. A matriz diz-se triangular superior quando todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, isto é,

11 12 1 22 2 0 0 0 n n nn a a a a a a              A (1.7)

Definição 1.9 [Matriz triangular inferior]

Seja A _{ }a_ij M_{n n}

 

. A matriz diz-se triangular inferior quando todos os elementos acima da diagonal principal são nulos, isto é,

11 21 22 1 2 0 0 0 n n nn a a a a a a              A (1.8)

Definição 1.10 [Matriz nula]

Seja A _{ }a_ij M_{m n}

 

. A matriz diz-se matriz nula e representa-se por O_{m n} , se todos os seus elementos são nulos, isto é,

0 0 0 0            O (1.9)

Definição 1.11 [Matriz identidade de ordem n]

Seja A _{ }a_ij M_{n n}

 

. A matriz diz-se matriz identidade de ordem n e representa-se por

n

I , se é uma matriz diagonal em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1, isto é,

8 EMECAN 2015/2016 – ALGAN - ISEP 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 n              I (1.10)

Definição 1.12 [Matrizes do mesmo tipo]

Sejam A e B duas matrizes. As matrizes dizem-se do mesmo tipo se têm igual número de linhas e de colunas.

Definição 1.13 [Elementos homólogos]

Sejam A B, M_{m n}

 

duas matrizes do mesmo tipo. Os elementos homólogos das duas matrizes são os elementos que ocupam a mesma posição nas duas matrizes.

Definição 1.14 [Matrizes iguais]

Sejam A e B duas matrizes. As matrizes dizem-se iguais se são do mesmo tipo e os seus elementos homólogos são iguais.

Definição 1.15 [Matriz transposta AT de A]

Seja A _{ }a_ij M_{m n}

 

. Chama-se matriz transposta da matriz A à matriz

 

T ij n m b M _   _{ } A em que b_ij a_ji, i1, ,n, j1, ,m.

Exemplo 1.2 [Matriz transposta]

Seja 1 0 1 _{2 3}

 

2 3 1 M     _{ }  

A . Então, trocando as linhas com as colunas na matriz A

obtemos a matriz _{3 2}

 

1 2 0 3 1 1 T M _     _{ }     A .

Definição 1.16 [Matriz simétrica]

Seja AM_{n n}

 

. Diz-se que A é uma matriz simétrica quando coincide com a sua transposta, isto é, A = AT.

Exemplo 1.3 [Matriz simétrica]

A matriz 1 2 2 3       

A é uma matriz simétrica uma vez que 1 2 2 3

T _{ } 

  

EMECAN 2015/2016 – ALGAN - ISEP 9

1.2

O

PERAÇÕES COM MATRIZES E SUAS PROPRIEDADES

1.2.1

A

DIÇÃO DE MATRIZES

Definição 1.17 [Adição de matrizes]

Sejam A _{ }a_ij M_{m n}

 

e B _{ }b_ij M_{m n}

 

. A soma da matriz A com a matriz B é uma matriz C _{ }c_ij M_{m n}

 

, que se obtém somando os elementos homólogos das duas matrizes, isto é, CA + B se

, 1 , , 1, ,

ij ij ij

c a b i m j n _(1.11)

Note-se que a adição de matrizes é uma operação apenas possível para matrizes do mesmo tipo.

Exemplo 1.4 [Adição de matrizes]

Sejam 1 0 1 _{2 3}

 

2 3 1 M     _{ }   A e 2 1 1 _{2 3}

 

1 2 0 M     _{ }   B . Então, usando a

igualdade (1.11) obtemos a matriz 1 2 0 1 1 1 2 1 3 2 1 0        _{  }    A + B = , ou seja, a matriz

 

2 3 3 1 2 3 5 1 M          C = .

Propriedades [da adição de matrizes]

Sejam A B C, , M_{m n}

 

. Então, verifica-se

A1.1 A + BB + A (comutatividade da adição);

A1.2



A + B



 C A + B + C





(associatividade da adição);

A1.3 A + O_{m n} O_{m n} A = A (elemento neutro);

A1.4 A +

   

A  A  A O_{m n} onde A =_a_ij,i1, , ;m j1, ,n

(elemento oposto ou simétrico);

10 EMECAN 2015/2016 – ALGAN - ISEP

1.2.2

M

ULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM ESCALAR

Definição 1.18 [Multiplicação de uma matriz por um escalar]

Sejam A _{ }a_ij M_{m n}

 

e  . Da multiplicação do escalar  pela matriz A, resulta uma matriz B _{ }b_ij M_{m n}

 

, que se obtém multiplicando cada elemento da matriz pelo escalar  , isto é, B =A se

, 1 , , 1, ,

ij ij

b a i m j n _(1.12)

Exemplo 1.5 [Multiplicação de uma matriz por um escalar]

Seja 1 0 1 _{2 3}

 

2 3 1 M     _{ }  

A . Então, usando a igualdade (1.12) obtemos a matriz

 

2 1 2 0 2 1 2 2 2 2 3 2 1        _{  }    A = , ou seja, a matriz 2 0 2 _{2 3}

 

4 6 2 M          B = .

Propriedades [da multiplicação de uma matriz por um escalar]

Sejam A B, M_{m n}

 

e  ,  . Então, verifica-se

E1.1 



A + B



A + B ;  E1.2



 



AA + A ;

E1.3 

   

A   A ; E1.41AA;

EMECAN 2015/2016 – ALGAN - ISEP 11

1.2.3

M

ULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

Definição 1.19 [Multiplicação de matrizes]

Sejam A _{ }a_ij M_{m p}

 

e B _{ }b_ij M_{p n}

 

. Chama-se produto da matriz A pela matriz B e representa-se por A B , ou simplesmente por AB , à matriz

 

ij m n

c M _

  _{ }

C em que cada elemento é obtido da seguinte forma

1 2 1 2 1 1 2 2 1 linha de coluna de j p j ij i i ip i j i j ip pj ik kj k i pj j b b c a a a a b a b a b a b b          _{   }           



A B (1.13)

Exemplo 1.6 [Multiplicação de matrizes]

Sejam 1 0 1 _{2 3}

 

2 3 1 M     _{ }   A e _{3 3}

 

1 0 2 1 1 0 0 1 1 M _      _{ }      B . O produto A B está

definido uma vez que o número de colunas da matriz A é igual ao número de linhas da matriz B, sendo igual a 3. Então, a matriz A B é uma matriz do tipo 2 3 porque a matriz produto tem o número de linhas da matriz A e o número de colunas da matriz B. Usando a igualdade (1.13) obtém-se

   

   

 

 

 

 

2 3 1 0 2 1 0 1 1 1 0 2 3 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 2 0 0 1 1 2 1 3 1 1 0 2 0 3 1 1 1 2 2 3 0 1 1 1 1 1 1 2 5      _{  }  _{  }  _  _{   }                         _{ }                      _{ }    A B M

No entanto, o produto B A não está definido, uma vez que B é uma matriz do tipo 3 3 e A é uma matriz do tipo 2 3 , ou seja, o número de colunas da matriz B não é igual ao número de linhas da matriz A.

12 EMECAN 2015/2016 – ALGAN - ISEP

Propriedades [da multiplicação de matrizes]

Sejam AM_{m p}

 

, BM_{p n}

 

, CM_{n m}

 

, DM_{p n}

 

, EM_{n q}

 

e

 . Então, são válidas as seguintes igualdades

Definição 1.20 [Matrizes permutáveis ou comutáveis]

Duas matrizes A B, M_{n n}

 

dizem-se matrizes permutáveis ou comutáveis quando AB = BA.

Exemplo 1.7 [Matrizes permutáveis]

Sejam 1 2 0 1     _    A , 2 1 0 1        B e 1 2 3 4       

C . As matrizes A e B são permutáveis uma

vez que 2 3 0 1    _{ }   

AB BA = . No entanto, as matrizes A e C não são permutáveis pois

 AC CA. Tem-se 7 10 3 4    _{ }    AC e 1 0 3 2        CA .

Observação: A partir do Exemplo 1.7 concluímos que o produto de matrizes não é

comutativo, isto é, não se verifica sempre AB = BA.

M1.1

 

AB CA BC ;

 

M1.2 A B



D



AB + AD; M1.3



B D E



BE + DE ; M1.4 



AB

 

 A B = A



 

B ; M1.5 AI_pI A = A ; _m M1.6

 

AB T B AT T.

EMECAN 2015/2016 – ALGAN - ISEP 13

Definição 1.21 [késima potência de uma matriz]

Seja AM_{n n}

 

e k . Ao produto vezes k    A A A (1.14)

chama-se késima potência da matriz A e representa-se por Ak. Verifica-se

   

_k T _T k



A A (1.15)

Exemplo 1.8 [késima potência de uma matriz]

Seja 1 1 2 1     _   

A . Então, como a matriz A é uma matriz quadrada é possível o cálculo

da matriz A3. Usando a igualdade (1.14) obtemos 3 3 3 6 3      _{ }    A A A A = .

1.3

O

PERAÇÕES ELEMENTARES

Definição 1.22 [Operações elementares sobre as linhas da matriz]

Designam-se por operações elementares sobre as linhas da matriz as seguintes operações:

1. Troca entre si de duas linhas da matriz. A troca das linhas l_i e l_j vai ser representada por l_i l_j.

2. Multiplicação de uma linha da matriz por um escalar não nulo. A multiplicação da

linha l_i pelo escalar  0 vai ser representada por l_i l_i.

3. A substituição de uma linha pela sua soma com outra linha multiplicada por um

qualquer escalar. A substituição da linha l_i pela sua soma com a linha l_j multiplicada pelo escalar  vai ser representada por l_i  l_i l_j.

14 EMECAN 2015/2016 – ALGAN - ISEP

Definição 1.23 [Matrizes equivalentes]

As matrizes A B, M_{m n}

 

dizem-se matrizes equivalentes quando se pode obter uma através da outra realizando um número finito de operações elementares. Simbolicamente escrevemos A B.

Exemplo 1.9 [Operações elementares]

Seja 0 0 3 1 1 0 1 0 2      _{ }    

A . A matriz A é equivalente à matriz

1 0 2 0 1 2 0 0 1           

B uma vez que a

matriz B pode ser obtida da matriz A fazendo as seguintes operações elementares

1 3 2 2 1 3 3 1 3 0 0 3 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 1 0 1 1 0 0 1 2 0 1 2 1 0 2 l l 0 0 3 l  l l 0 0 3 l  l 0 0 1                  _{  } _{    }                 A

1.4

I

NVERSA DE UMA MATRIZ QUADRADA

1.4.1

D

EFINIÇÃO DE MATRIZ INVERSA

Definição 1.24 [Matriz invertível, não singular ou regular]

Seja AM_{n n}

 

. A matriz A diz-se invertível, não singular ou regular quando existe uma matriz XM_{n n}

 

que verifica a condição

n



AX XA = I (1.16)

Verifica-se que

Se a matriz A não tem inversa, dizemos que A é singular ou não invertível. No entanto,

se uma matriz for invertível a sua inversa é única. nem todas as matrizes quadradas são invertíveis.

EMECAN 2015/2016 – ALGAN - ISEP 15 A matriz X que verifica a condição (1.16) é chamada matriz inversa da matriz A e será representada por A1.

Exemplo 1.10 [Matriz invertível]

Seja 2 1 0 3         A e 1 1 2 6 1 0 3 _            

X . Se fizermos os produtos AX e XA, obtemos

1 1 2 1 _{2 6} 1 0 0 3 1 0 1 0 3 _                         AX = e 1 1 2 1 1 0 2 6 1 0 3 0 1 0 3 _          _{    }           XA =

Conclui-se então que a matriz A é uma matriz invertível uma vez que existe uma matriz

que verifica a condição (1.16), sendo a sua inversa a matriz 1

1 1 2 6 1 0 3  _             A .

Exemplo 1.11 [Matriz não invertível]

Seja 1 0 1 0       

A . Facilmente se verifica que não existe qualquer matriz XM_{2 2}

 

para a qual se verifique AXXA = I₂, ou seja, a matriz A é não invertível, ou singular. De facto, seja 11 12 21 22 x x x x       

X e façamos o produto AX. Obtém-se

11 12 11 12 21 22 11 12 1 0 1 0 x x x x x x x x       _             AX =

16 EMECAN 2015/2016 – ALGAN - ISEP 11 11 11 12 11 12 12 12 1 0 1 0 0 1 0 1 x x x x x x x x    _   _         _     _  _ 

que é um sistema impossível, uma vez que x₁₁ não pode verificar simultaneamente as condições x₁₁1 e x₁₁0.

1.4.2

P

ROPRIEDADES DA MATRIZ INVERSA

Sejam n m,  e k \ 0

 

.

P1.1 Seja AM_{n n} uma matriz invertível e BM_{n n} uma matriz que verifica

n



AB I (respetivamente, BAI_n). Então, BA1 e BAI_n (respetivamente,

n



AB I );

P1.2 Sejam A B, M_{n n} duas matrizes invertíveis. Então, AB é uma matriz invertível e

 

AB 1B A1 1;

P1.3 Seja AM_{n n} uma matriz invertível. Então, A1 é uma matriz invertível e

 

_1 1 

A A;

P1.4 Seja AM_{n n} uma matriz invertível. Então, Am é uma matriz invertível e

   

_m 1 _1 m



A A ;

P1.5 Seja AM_{n n} uma matriz invertível. Então, AT é uma matriz invertível e

   

_T 1 _1 T



A A ;

P1.6 Seja AM_{n n} uma matriz invertível. Então,

 

kA 1 é uma matriz invertível e

 

1 1 1

k

k  _ 

EMECAN 2015/2016 – ALGAN - ISEP 17

1.4.3

C

ÁLCULO DA MATRIZ INVERSA

Seja AM_{n n} . Sabendo que a matriz A admite inversa como proceder ao seu cálculo?

1. A matriz inversa pode ser obtida pela definição 1.24 resolvendo a equação AX = I_n (ou XA = I ) reduzindo-se dessa forma o cálculo da inversa à resolução de um sistema de _n

equações lineares.

Exemplo 1.12 [Cálculo da inversa de uma matriz invertível pela definição]

Seja 2 1 0 3        

A uma matriz invertível. Calcular a inversa A1 da matriz A.

Resolução

Pretendemos obter uma matriz X que verifique a igualdade AXI₂ ou, alternativamente, a igualdade XA = I (pela P1.1). ₂ Seja 11 12 21 22 x x x x        X . Então, 11 12 11 21 12 22 2 21 22 21 22 2 2 2 1 1 0 1 0 3 3 0 3 0 1 0 1 x x x x x x x x x x                 _{  }_{ }_{ }_{ }          AX I

Temos, então, que resolver o sistema de equações lineares 11 21 21 12 22 22 2 1 3 0 2 0 3 1 x x x x x x      _       _  cuja solução é, 11 21 12 22 1 2 0 1 6 1 3 x x x x     _   _   _  Então, 1 1 2 1 6 0 1 3        A = X = .

18 EMECAN 2015/2016 – ALGAN - ISEP

2. A matriz inversa pode ser obtida usando um processo designado por condensação de matrizes.

Na prática, este processo consiste em ampliar a matriz AM_{n n}

 

com a matriz I_n à direita de A, e aplicar em simultâneo as mesmas operações elementares sobre as linhas das duas matrizes. Isto é,





1 operações elementares sobre linhas 









A I I A

Exemplo 1.13 [Cálculo da inversa de uma matriz invertível por condensação]

Seja 2 1 0 3        

A uma matriz invertível. Calcular a inversa da matriz A pelo método de condensação.

Resolução

Começamos por ampliar a matriz 2 1 0 3 

 

  

 

A com a matriz I₂ à direita e de seguida realizamos operações elementares sobre linhas até que a matriz identidade surja do lado esquerdo. A matriz A1 é a matriz que se encontra do lado direito.

2 2 1 1 2 3 3 1 1 2 2 1 3 2 1 1 0 1 1 2 1 2 0 1 0 1 2 1 6 0 3 0 1 _ 0 1 0 1 3 _{ } 0 1 0 1 3                   _{l l}  _{l l l}   l l Então, 1 1 2 1 6 0 1 3        A = .

Se a matriz AM_{n n}

 

é invertível então existe uma sequência finita de operações elementares que tornam a matriz A igual à matriz identidade I_n. Esta mesma sequência de operações aplicadas em I_n transformam I_n na matriz A1.

EMECAN 2015/2016 – ALGAN - ISEP 19

Exemplo 1.14 [Cálculo da inversa de uma matriz invertível por condensação]

Seja 1 2 3 1 1 3 0 0 1      _  _    

A uma matriz invertível. Calcular a inversa da matriz A pelo método

de condensação. Resolução 2 2 1 1 1 2 1 1 3 2 2 3 2 9 6 1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0 1 1 3 0 1 0 0 1 6 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 9 1 2 0 1 0 0 1 2 9 0 1 6 1 1 0 0 1 0 1 1 6 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1             _{ }                            _              l l l l l l l l l l l l Então, 1 1 2 9 1 1 6 0 0 1        _  _     A .

Nota: Muitas vezes não se sabe de antemão se uma dada matriz A é ou não invertível. No entanto, se A não for invertível então será impossível reduzir A a I_n por operações elementares sobre linhas. Isso será evidente durante o processo de condensação (por exemplo, com o aparecimento de uma linha de zeros). Se isso acontecer paramos o processo de condensação e concluímos que A não é invertível (mais à frente será visto como verificar se uma matriz é invertível).

Exemplo 1.15 [Método de condensação quando a matriz não é invertível]

Seja 1 2 3 1 6 9 1 2 3            

A . Calcular A1, se possível, pelo método de condensação.

Resolução 2 2 1 3 3 1 3 3 1 1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0 1 6 9 0 1 0 0 4 6 1 1 0 0 4 6 1 1 0 1 2 3 0 0 1 ll ll ll 0 4 6 1 0 1 l l l 0 0 0 2 1 1                _   _                     

Como obtivemos uma linha de zeros concluímos que a matriz A não é invertível uma vez que, nestas condições, é impossível reduzir A a I₃ usando operações elementares sobre as linhas da matriz A.

20 EMECAN 2015/2016 – ALGAN - ISEP

1.5

C

ARACTERÍSTICA DE UMA MATRIZ

1.5.1

D

EFINIÇÃO

Definição 1.25 [Combinação linear das linhas de uma matriz]

Seja A _{ }a_ij M_{m n}

 

e tomemos km linhas. Vamos formar com elas as matrizes-linha













1 a11 a12 a1n 2  a21 a22 a2n k  ak1 ak2 akn

A A A

Chamamos combinação linear destas k linhas, a qualquer matriz CM_{1 n}

 

definida como 1 1 2 2 k k        C A A A onde,  ₁, ₂, ,_k .

Definição 1.26 [Linhas linearmente dependentes]

As linhas A A₁, ₂, ,A_k dizem-se linearmente dependentes se existirem escalares 1, , k

  , não todos nulos, tais que _{1 1}A ₂A₂ _kA_k O_1n.

Definição 1.27 [Linhas linearmente independentes]

As linhas A A₁, ₂, ,A_k dizem-se linearmente independentes se a igualdade 1

1 1 2 2 k k n

 A  A   A O_ , só for válida quando  ₁ ₂  _k 0, ₁, ,_k .

NOTA: estes conceitos são aplicáveis às colunas de qualquer matriz A _{ }a_ij M_{m n}

 

. Basta para isso utilizar as matrizes-coluna:

11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 k k k m m mk a a a a a a a a a                                           A A A

EMECAN 2015/2016 – ALGAN - ISEP 21

Exemplo 1.16 [Linhas linearmente independentes/dependentes de uma matriz]

Consideremos a matriz 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 2 3     _         _   

A . Verificar se são linearmente independentes:

a) as três primeiras linhas da matriz; b) as 1ª, 2ª e 4ª linhas da matriz.

Resolução

a) Façamos a combinação linear das três primeiras linhas da matriz e igualemos à matriz

linha nula.





1 1 1 2 2 3 1 1 3 2 1 1 0 0 0 , 1, 2, 3  _  _ _  _  _ _     Resolvendo, obtemos



1 2 3 1 2 3 1 2 3

 



1 2 3 1 1 2 3 2 3 1 2 3 3 2 2 0 0 0 3 2 0 0 0 0 0 2 0                                         _   _   _{  } _{ } 

ou seja, a igualdade só é valida para  ₁  ₂ ₃ 0 e, portanto, as linhas são linearmente independentes.

b) Façamos a combinação linear das 1ª, 2ª e 4ª linhas da matriz e igualemos à matriz linha

nula.





1 1 1 2 2 3 1 1 3 2 2 3 0 0 0 , 1, 2, 3  _  _ _  _  _  _     Resolvendo, obtemos



1 2 3 1 2 3 1 2 3

 



1 2 3 1 3 1 2 3 2 3 1 2 3 3 2 2 2 3 0 0 0 3 2 0 2 0 2 3 0 0 0                                          _   _    _{  } _{ } 

ou seja, a igualdade admite várias soluções para além da solução  ₁ ₂ ₃ 0 e, portanto, as linhas são linearmente dependentes.

22 EMECAN 2015/2016 – ALGAN - ISEP

Definição 1.28 [Característica de linha (ou de coluna) de uma matriz]

Seja A _{ }a_ij M_{m n}

 

. Chama-se característica de linha da matriz A , car A , _l

 

(respetivamente, característica de coluna, car A_c

 

) ao numero máximo de linhas (respetivamente, colunas) linearmente independentes de A.

Definição 1.29 [Característica de uma matriz]

Seja A _{ }a_ij M_{m n}

 

. A característica da matriz A , car A , corresponde à sua

 

característica de linha ou de coluna.

Tem-se então que o número máximo de linhas linearmente independentes é sempre igual ao número máximo de colunas linearmente independentes que coincidem com a característica da matriz, ou seja,

 

 

 

l c

car A car A car A (1.17)

A característica de linha e a característica de coluna de uma matriz nula são iguais a zero.

Exemplo 1.17 [Cálculo da característica]

Calcular a característica da matriz

1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 2 3     _         _    A . Resolução

No Exemplo 1.16 verificamos que as três primeiras linhas da matriz são linearmente independentes. Logo, car_l

 

A 3 ou car_l

 

A 4, uma vez que a matriz tem 4 linhas. Por outro lado, 1car_c

 

A 3, uma vez que não se trata da matriz nula e a matriz tem 3 colunas. Como a característica de linha é sempre igual à característica de coluna (1.17), concluímos que car

 

A 3.

Teorema 1.1

EMECAN 2015/2016 – ALGAN - ISEP 23 Consideremos a matriz quadrada AM_{n n}

 

. As seguintes afirmações são equivalentes

1. car

 

A  n;

2. A é invertível ou não singular;

3. as linhas de A formam um conjunto linearmente independente; 4. as colunas de A formam um conjunto linearmente independente.

1.5.2

C

ÁLCULO DA CARACTERÍSTICA DE UMA MATRIZ

Naturalmente que a característica de uma matriz pode ser obtida calculando o número de linhas ou de colunas linearmente independentes (ver Exemplo 1.17). Vamos ver uma forma alternativa.

Teorema 1.4

Seja A _{ }a_ij M_{m n}

 

uma matriz não nula. Então, após a aplicação sucessiva de um número finito de operações elementares sobre as linhas/colunas da matriz A, esta pode transformar-se numa matriz da forma

0 0 0 r           I A Então, car

 

A r. Teorema 1.3

Para qualquer matriz A _{ }a_ij M_{m n}

 

, verifica-se car

 

A car

 

AT .

Teorema 1.2

A característica de linha (respetivamente, de coluna) de uma matriz não se altera quando se

24 EMECAN 2015/2016 – ALGAN - ISEP

Definição 1.30 [Característica da matriz usando condensação]

A característica de uma matriz pode ser obtida fazendo a sua condensação, que consiste em realizar uma sequência finita de operações elementares até que se obtenha uma matriz na qual figure uma submatriz triangular cujos elementos da diagonal principal são não nulos e da maior ordem possível. A característica da matriz é igual à ordem dessa submatriz.

Na prática, começamos a resolução do problema com a escolha de uma das diagonais da matriz, normalmente a diagonal que contém os elementos a₁₁,a₂₂, ,a_rr, anulando-se, a seguir, todos os elementos situados abaixo dessa diagonal. Qualquer linha nula deve ficar abaixo das linhas não nulas. Assim,

0 0            S S A , 11 12 1 22 2 0 0 0 0 0 0 0 r r rr s s s s s s                 S = , s_ii   0, i



1, ,r



e S é uma matriz 

qualquer que resulta do processo de condensação. Então, car

 

A r.

Exemplo 1.18 [Cálculo da característica de uma matriz por condensação]

Calcular a característica da matriz

1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 2 3     _         _   

A usando o método de condensação.

Resolução

Começamos por condensar a matriz efetuando operações elementares.

2 2 1 2 3 4 4 3 3 3 1 3 3 2 4 4 1 3 2 4 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 3 1 1 0 4 7 0 1 5 0 1 5 2 1 1 0 1 5 0 4 7 0 0 13 2 2 3 0 4 7 0 4 7 0 0 0 l l l l l l l l l l l l l l l l l                         _   _   _   _                       _   _   _            A

EMECAN 2015/2016 – ALGAN - ISEP 25

1.6

E

XERCÍCIOS

1.6.1

O

PERAÇÕES COM MATRIZES

E

XERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Seja A



1 2 3 2



, 1 3 1 2 2 1 1 1          _{ }    B e C



2 5



. Calcule: 1.1 A B 3C ; 1.2 BT AT. Resolução:

1.1 Verificar se é possível efetuar o produto: A:1 4 , B: 4 2 . Logo o produto é possível e A B :1 2 . Verificar se é possível efetuar a soma: A B :1 2 e C:1 2 . Logo a soma é possível e A B 3 :1 2C 





1 3 1 2 1 2 3 2 2 1 1 1              _{ }    A B

 

 

 

 

 





1 1 2 1 3 2 2 1 1 3 2 2 3 1 2 1 9 0             _          _ 



 



3C3 2 5  6 15 Então A B 3C 



9 0

 

 6 15

 

 3 15



. 1.2 1º método: 1 1 2 1 3 2 1 1       _    BT e 1 2 3 2    _          AT . Como BT: 2 4 , AT: 4 1 tem-se



BTAT



: 2 1 1 1 1 2 1 2 9 3 2 1 1 3 0 2           _{ }    _{ } _{ }            BT AT

26 EMECAN 2015/2016 – ALGAN - ISEP

2º método:

Usando a propriedade M6 e o resultado obtido na alínea anterior obtemos







9 0



9 0         _{  }   BT AT A B T T

E

XERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Seja 1 0 2 1 0 1 0 2         A , 1 0 2 1 0 1 1 1              

B e I_n a matriz identidade de ordem n. Calcule, se

possível: 1.1 A B 1.2 A B T 1.3 BT A 1.4 AT B 1.5

 

AT T 1.6



AT B



T 1.7 AT BT 1.8

 

2A T 1.9 A2BT 1.10 A I 4 e I2A 1.11 B A 1.12 A B 1.13



A B



T 1.14 ATBT 1.15 BTAT 1.16 I2 A B 1.17 A A B  1.18 2 A 1.19



BTAT



3 1.20

 

I₅ 20

1.21 Que conclusões se podem tirar dos problemas anteriores?

2. Seja 2 1 1 0 1 3      _    A , 3 1 1 1 0 2      _{ }     B e 3 1 2 1         C . 2.1 Determine a matriz M  A B 2C3I . ₂ 2.2 Determine a matriz X que verifica X C I . ₂

EMECAN 2015/2016 – ALGAN - ISEP 27

E

XERCÍCIOS SUPLEMENTARES 1. Seja 1 2 1 3 0 1 1 3         A , 0 1 2 1 1 1 0 0         B e 2 1 1 1     _    C . 1.1 Calcule B A T; 1.2 Determine 1





3    X A BT C.

2. Sendo A e B duas matrizes quadradas da mesma ordem, em que condições se verifica a igualdade



A B



2 A22AB B ?  2 Soluções: 1.1 Não é possível. 1.2 2 2 2 0 0 2 1 3    _    1.3 2 2 2 0 0 2 1 3    _    1.4 2 0 2 2 2 1 0 3              1.5 A 1.6 2 2 2 0 0 2 1 3    _    1.7 Não é possível. 1.8 2 0 0 2 4 0 2 4         _    1.9 1 4 2 3 0 1 2 0       _    1.10 A 1.11 1 0 2 1 2 1 4 0 0 1 0 2 1 1 2 1                1.12 0 3 4 3        1.13 0 4 3 3   _    1.14 1 2 0 1 0 1 1 1 2 4 0 2 1 0 2 1    _      _{ }    1.15 0 4 3 3   _    1.16 1 3 4 2   _{ }   

1.17 Não é possível. 1.18 Não é possível. 1.19 36 12 9 45      _    1.20 I5 2.1 4 5 5 4    _{ }    M 2.2 1 5 1 5 2 5 3 5    _    X

28 EMECAN 2015/2016 – ALGAN - ISEP

3. Sejam U e V duas matrizes de ordem n simétricas. Prove que UV é simétrica se U e V

são permutáveis e vice-versa.

1.6.2

M

ATRIZ INVERSA

E

XERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Calcule a inversa da matriz 3 6 1 4      

A = , recorrendo à definição de inversa de uma matriz.

Resolução:

Vamos usar a Definição 1.24: A A 1I . ₂

3 6 1 2 3 3 6 1 0 3 6 3 6 1 0 3 6 0 1 1 4 0 1 4 4 0 1 4 0 1 6 4 1 1 2                _  _ _  _ _ _          _{ }    _{   }           _{ }  _{ }  _   a c a a b a c b d b d b c d a c b d a c c b d d Logo 1 2 3 1 1 6 1 2  _{ }       A .

2. Calcule a inversa da matriz

0 0 2 2 1 1 1 1 1     _  _     

B pelo método da condensação.

Resolução:

Para utilizarmos este método devemos ampliar a matriz B com a matriz identidade e de seguida aplicar operações elementares sobre as linhas da matriz assim obtida até que a matriz do lado esquerda seja a matriz identidade. A matriz inversa corresponde à matriz que surge do lado direito.

Soluções: 1.1 3 0 3 1        1.2 3 0 1 4 3     _    X 2. Se A e B forem permutáveis.

EMECAN 2015/2016 – ALGAN - ISEP 29 3 1 0 0 2 1 0 0 1 1 1 0 0 1 2 1 1 0 1 0 2 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1  0 0 2 1 0 0       _   _            l l   2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 2 0 1 1 0 1 2 0 0 2 1 0 0 0 0 2 1 0 0            _{ }   _{ }              l l l l l l 1 3 2 2 2 3 3 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 2 0 1 0 1 2 1 2 0 0 1 1 2 0 0   0 0 1 1 2 0 0         _{ }   _           l l l   l l Então, 1 0 1 1 1 2 1 2 1 2 0 0       _  _     B

E

XERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Sejam 1 2 3 2      _    A e 2 1 1 1     _   

B . Determine a matriz X que verifica B X  4 A1.

2. Determine, se possível, a matriz inversa das seguintes matrizes:

2.1 1 2 0 2 4 1 2 3 1      _  _     A 2.2 1 1 1 1 1 0 2 1 2       _{ }     B 2.3 2 1 12 1 0 3 3 1 4             C 2.4 0 1 1 1 1 1 1 0 1     _  _     D 2.5 2 1 1 0 2 1 3 0 1     _  _     E 2.6 1 2 1 1 0 1 2 4 2      _{ }     F 3. Seja AI₄ e B2I₄. Calcule A1 e B1.

30 EMECAN 2015/2016 – ALGAN - ISEP

E

XERCÍCIOS SUPLEMENTARES 1. Considere a matriz 2 1 1 1 3 2 0 1 1 1 3 2 0 1 2 1    _           A . 1.1 Mostre que 1 1 1 3 2 2 2 2 1 3 7 5 2 2 2 0 1 3 5 1 1 5 4 2 2 2   _{ }      _{ }      _{ }          

A é a matriz inversa da matriz A.

1.2 Obtenha a matriz A1 pelo método da condensação de matrizes.

Soluções: 1. 5 3 8 4     _    X 2.1 1 7 2 2 4 1 1 2 1 0        _  _     A 2.2 1 2 3 1 1 3 2 3 0 1 3 1 1 0         _{ }     B 2.3 1 3 16 3 5 28 6 1 5 1         _  _      C 2.4 1 1 1 2 0 1 1 1 1 1        _  _      D 2.5 1 2 1 3 1 3 1 2 5 6 3 4        _  _       E 2.6 Não é possível. 3. 1 4  _ A I e 1 1 ₄ 2  _ B I .

EMECAN 2015/2016 – ALGAN - ISEP 31

1.6.3

E

QUAÇÕES ENVOLVENDO MATRIZES

E

XERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Seja 1 1 3 2       

A uma matriz invertível.

1.1 Calcule A . 2

1.2 Resolva em ordem a X , matriz regular, a seguinte equação matricial:

 

₂ 1 _1  AT A X A . Resolução: 1.1 2 1 1 1 1 4 3 3 2 3 2 9 7         _{  } _{ } _       A A A .

1.2 Como A _{é uma matriz regular então as matrizes} A e A2 T são também regulares e, portanto existem

 

A2 1 e

 

AT 1.

 

₂ 1 _{1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2} T  _  _ T   _  _ T   _  _ T  _  _ P1.2 1.16 1.16 M1.5 A A X A A X A A A X A A A A A X I A A

 

1

 

1

 

1

 

1 1 1 1 1 T  T  T  T   T   T           1.16 1.16 M1.5 P1.3 A X A A A X A A IX A A X A A

 

₁ 1 1 T T   _    _{ }     P1.2 X A A X A A . Calculando A , obtém-se 1 1 2 1 3 1  _{ }      A . Fica então: 2 1 1 3 1 4 3 1 1 2 2 7          _{  } _{ } _        X .

E

XERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Resolva em ordem a X as seguintes equações matriciais, supondo que todas as operações são válidas e que as matrizes envolvidas são regulares:

1.1 _

 

1  _

 

1  A X AB A T T ; 1.2 4B22BX1O ; 1.3 X A AT  B;

32 EMECAN 2015/2016 – ALGAN - ISEP

1.4 XAB



B CXT



T I, sendo X uma matriz simétrica;

1.5



XT  A BT



BI.

E

XERCÍCIOS SUPLEMENTARES

1. Resolva em ordem a X as seguintes equações matriciais, supondo que todas as operações são válidas e que as matrizes envolvidas são regulares:

1.1



XABT



BA1I; 1.2



 



1 1   _ F D XE T F; 1.3



A XT

 

1 X AT 1

 

1 X A1 T



T I.

2. Mostre que sendo A e B matrizes regulares tais que ABC então 1 1 

A CB I. Soluções: 1.1 X

   

A2 T  B1 T 1.2 1 1 2    X B 1.3 X I

 

A1 TBT 1.4 XB1



A C T



1 , se



A C T



admite inversa. 1.5 X

 

B1 TAT B Soluções: 1.1 XA AB

 

1B AT 1 1.2 X

 

EDT 1 1.3 X

 

AT 1

EMECAN 2015/2016 – ALGAN - ISEP 33

1.6.4

C

ARACTERÍSTICA DE UMA MATRIZ

E

XERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Calcule a característica da matriz

1 2 0 3 2 3 1 2 1 1 1 0 1 0 2 1    _         _    A . Resolução:

Para o cálculo da característica da matriz pelo método da condensação, vamos anular todos os elementos que estão abaixo da diagonal principal.

2 2 2 2 1 3 3 2 3 3 1 4 4 2 4 4 1 1 2 0 3 1 2 0 3 1 2 0 3 2 3 1 2 0 1 1 4 0 1 1 4 1 1 1 0 0 1 1 3 0 0 0 1 1 0 2 1 0 2 2 2 0 0 0 6                  _   _{  }   _{  }                   _   _{  }          l l l l l l l l l l l l l l l

Sempre que aparecer um zero na diagonal devemos, se possível, trocá-lo por um valor não nulo e as linhas nulas devem aparecer depois de todas as linhas não nulas.

6 3 4 4 4 3 1 2 0 3 1 2 3 0 1 2 3 0 0 1 1 4 0 1 4 1 0 1 4 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 6 0 0 6 0 0 0 0 0           _{  }   _{  }   _{  }                          c c l l l

A matriz está agora condensada uma vez que temos uma submatriz triangular da maior ordem possível sem zeros na diagonal e as linhas de zeros aparecem depois de todas as linhas não nulas. Como a ordem dessa submatriz é 3 conclui-se que car

 

A 3.

2. Sendo 1 1 1 1 1 1            M a b b

, calcule a e b de modo que car

 

M 2.

Resolução:

Começamos por condensar a matriz M.

1 2 2 2 1 2 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1  1 1    0 1 0  0 0 1              _{ }   _{ }                     l l  ll ll ll  c c   a b a b a b b a b b b b

34 EMECAN 2015/2016 – ALGAN - ISEP

 Se b1 então car

 

M   3, a , uma vez que temos uma submatriz triangular de ordem 3 sem zeros na diagonal.

 Se b1 obtemos a matriz 1 1 1 0 0 1 0 0 0    _       

a . Condensando esta matriz temos

2 3 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0  0 0 0      _   _           c c   a a .

Neste caso, se a1 então car

 

M 2. Por outro lado, se a1então car

 

M 1. Finalmente, podemos dizer que para termos car

 

M 2 temos de fazer b  1 a 1.

E

XERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Calcule a característica das seguintes matrizes:

1.1 1 3 1 3 2 8 3 4 3 3 8 16      _   _     A 1.2 3 2 1 4 2 2 1 2 5 4 2 6      _    _     B 1.3 2 1 3 3 4 3 8 4 6 18 3 16      _   _     C 1.4 2 3 1 5 6 3 3 3 2 1 0 1    _        _    D 1.5 2 1 3 4 3 2 1 2 0 5 2 1 1 0 3 2 1 1 1 3 3 5 3 1    _         _    E 1.6 1 0 2 2 1 1 1 2 0 1 1 0              F

2. Sem efetuar cálculos, diga qual a característica das seguintes matrizes:

2.1 AI₅ 2.2 1 1 1 2 2 2 3 3 3            A 2.3 1 1 0 2 1 0 7 3 0            C 2.4 1 1 1 1 2 1 1 2 1            D 3. Seja 1 2 1 5 0 3 5 2 2 2 2 3 0 2 1     _{ }             A

EMECAN 2015/2016 – ALGAN - ISEP 35

1.6.5

E

XERCÍCIOS DE CONCLUSÃO DO CAPÍTULO

1. Considere as matrizes

 

1 1 0 0 2 1 3 3 1 1  _ _  _  _     AT e 2 1 0 1 0 1 1 1 0      _{ }     B .

1.1 Dada a seguinte equação matricial DYCI, sabendo que matriz D tem quatro linhas e três colunas e a matriz C tem cinco linhas, diga justificando, qual o tipo da matriz Ye o número de colunas da matriz C .

1.2 Determine a matriz A, usando condensação.

1.3 Resolva a seguinte equação matricial (BX A1  1) 1(3 )I T em ordem a X_{, supondo} que todas as operações são válidas e que as matrizes envolvidas são regulares.

2. Considere as matrizes 1 2 3 1 1 3 0 0 1      _  _     AT e 1 2 1 0 1 0 1 1 1 0  _{ }        B .

2.1 Dada a seguinte equação matricial DYC I , sabendo que a matriz  D tem cinco colunas, a matriz C tem três linhas e é quadrada, diga justificando, o tipo da matriz Y e o número de linhas da matriz D.

2.2 Determine a matriz A1, usando condensação.

2.3 Resolva a seguinte equação matricial



A XB1



T 

 

3I 1 em ordem a X_{, supondo} que todas as operações são válidas e que as matrizes envolvidas são regulares.

Soluções:

1.1 car

 

A 3 1.2 car

 

B 2 1.3 car

 

C 3 1.4 car

 

D 2 1.5 car

 

E 3 1.6 car

 

F 3

2.1 car

 

A 5 2.2 car

 

B 1 2.3 car

 

C 2 2.4 car

 

D 2