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Primeira lista de exercícios
Números complexos, derivadas e integrais. 1. Ache todos os valores das seguintes raízes:
(a) (2i)1=2 (b) ( i)1=3
(c) 81=6
2. Descreva geometricamente cada uma das regiões abaixo. Ou seja, desenhe estas regiões no plano complexo
(a) < arg z < ; jzj > 2 (b) j2z + 3j > 4
(c) Re 1z <12 (d) 1 < jz 2ij < 2
(e) Im z2 > 0
3. Um circuito composto de um resistor R e um capacitor C em série está ligado a uma fonte corrente alternada I = I0cos !t = Re (I ) com I0
constante e I = I0ei!t. Lembrando a lei de Ohms (V = R:I) e que a
voltagem num capacitor é proporcional a carga entre as placas VC= 1 C Z t o I (t) dt ;
use a lei de Kircho¤ para obter uma expressão para a impedância complexa Z.
E = ZI ;
onde E = Re (E ) é a tensão (FEM) de entrada. O que acontece no regime de altas e baixas freqüências !?
4. Encontre a derivada das seguintes funções indicando explicitamente onde esta derivada existe:
(a) f (z) = 2z+1z 1 (b) f (z) = z (c) f (z) = z2 1 + z 2 4 (d) f (z) = Re (z) (e) f (z) = jzj2 (f) f (z) = z Im (z) (g) f (z) = z1=2
(h) f (z) = z2 2 e x(cos y i sin y) (i) f (z) = exp z2
(j) Quais das funções acima são analíticas e quais são inteiras?
5. Partindo das coordenadas cartesianas, obtenha as condições Cauchy-Riemann em coordenadas polares.
6. Veri…que se as seguintes funções são harmônicas e ache uma de suas con-jugadas
(a) u (x; y) = y3 3x2y
(b) u (x; y) = 2x (1 y) (c) u (x; y) = sinh (x) sin (y)
7. Se f = u (r; ) + iv (r; ), mostre que em qualquer ponto diferente de zero u e v obedecem a equação de Laplace em coordenadas polares.
8. Sendo f analítica num domínio, mostre que jfj não pode ser constante a menos que f o seja.
9. Cálcule (a) exp 2+ i4 (b) ii
10. Veri…que se exp (iz)= exp (iz); cos (iz)? = cos (iz), sin (iz)? = sin (iz).? 11. Calcule a integral da função f (z) = (z + 2) =z pelos seguintes caminhos
(a) No sentido anti-horário, a metade do círculo acima do eixo real de raio 2 centrado na origem.
(b) No sentido horário, a metade do círculo abaixo do eixo real de raio 2 centrado na origem.
(c) Iniciando no eixo real e no sentido anti-horário o círculo de raio 2 centrado na origem.
12. Calcule a integral da função f (z) = exp ( z) pelo caminho fechado quadrado z = 0; z = 1; z = 1 + i; z = i.
14. Calcule a integral da função f (z) = (z 2 i) 1no sentido anti-horário (também chamado positivo) pelo caminho fechado que é a fronteira do retângulo 0 x 3; 0 y 2 .
15. Calcule a integral da função f (z) = cos (z=2) pelo caminho formado pelos segmentos retos ligando os pontos z = 0; z = i; z = 1; z = + 2i. 16. Calcule a integral da função f (z) = 1=z, pelos caminho ligando os pontos
z = 3; z = 2i; z = 3.
17. Veri…que se o seguinte campo vetorial é conservativo e, caso a…rmativo, encontre o potencial que gera tal campo
~
V (x; y) = ex2 y2(x cos 2xy y sin 2xy) ^x ex2 y2(x sin 2xy + y cos 2xy) ^y:
18. Calcule a integral da função multivalente f (z) = z1=2 pelo semicírculo positivo (anti-horário) e negativo (horário) de z = 1 até z = 1. Obtenha o mesmo resultado utilizando a anti-derivada (i.e., a primitiva) de f . Obs.: Esta última parte do exercício eu vou resolver em sala na próxima aula.
Respostas
1. (a) (1 + i), (b) i; p3 i =2, (c) p2; 1 ip3 =p2. 2. Desenhos 3. E = VR+ VC VR= R:I = Re VR= R:I VC= 1 C Z t 0 I (t) dt = Re VC = 1 C Z t 0 I (t) dt VC= 1 C Z t 0 I0ei!tdt = 1 CI0 1 i! e i! 1 = 1 i!C(I 1) Como queremos apenas a parte real de VCpodemos ignorar a parte 1=i!C (que é puramente imaginária). AssimVC= 1 i!CI E = Re E ; E = VR+ VC= R + 1 i!C I = ZI Z = R + 1 i!C Z é a impedância do circuito. Z (! ! 0) ! 1
A impedância vai para in…nito e (assim como no caso de uma resistência in…nita) o circuito se comporta como um circuito aberto.
Z (! ! 1) ! R
O capacitor se comporta como um curto e apenas o resistor é relevante. 4. As expressões das derivadas são as mesmas para funções reais, mas estão
de…nidas apenas onde a função é analítica: (a) região z 6= 1=2, (b) não existe em nenhum ponto, (c) região z 6= 0, (d) não existe em nenhum ponto, (e) só existe em z = 0, só existe em z = 0 com f0(0) = 0, (f) existe
em todos os pontos, exceto num corte, e.g., nos pontos do semi-eixo real não negativo, (g) Todos os pontos, (h) Todos os pontos, (j) h,i é inteira;
6. Todas são harmônicas (a) nas notas de aula, (b) v = x2 y2+ 2y + C, (c) v = cosh (x) cos (y).
7. Basta usar as equações de CR em coordenadas polares e equação equação de Laplace em coordenadas polares
r2@ 2u @r2 + r @u @r + @2u @ 2 = 0
8. Vamos supos que jfj é constante, logo f (z) 6= 0. Assim jfj2= c2=) f = c
2
f (z)
Sendo f analítica e diferente de zero, então f também é analítica. Fazendo f = u + iv
f = u iv = U + iV ; U = u ; V = v Se f é analítica em D, pelas equações de CR
@u @x = @v @y ; @u @y = @v @x mas se f também é analítica
@U @x = @V @y =) @u @x = @v @y @U @y = @V @x =) @u @y = @v @x temos ux= 0 ; vx= 0
usando uma das expressões para a derivada de f f0= @u
@x+ i @v @x = 0 :
Vemos que se jfj é constante, isso implica que f é uma constante. 9. (a)pe1+ip
2, (b) e 2 ' 0; 21.
10. Não a menos que z = n ; sim; não a menos que z = n i: 11. (a) 4 + 2 i, (b) 4 2 i, (c) 4 i, (d) 4 (e 1).
13. Apenas a singularidade z = 2i está dentro do caminho de integração. Assim, use diretamente a formula integrau de Cauchy,
I C ez (z2 4)dz = I C ez (z 2i) (z + 2i)dz = I C ez (z + 2i) 1 (z 2i)dz f (z) = e z (z + 2i) ; I C ez (z2 4)dz = 2 if (2i) :
14. 2 i, é o mesmo que a integral do círculo. Ou ainda, use a fórmula integral de Cauchy (exercício 13).
15. e + 1=e, a função é inteira, pode-se usar a antiderivada.
16. Calcule através do circulo de raio 3 centrado na origem, pois a função é analítica entre as duas regiões.
17. A função da lista anterior estava errada! Este campo é equivalente a função complexa f (z) = zez2. Basta usar F = ez2=2 ; F0 = f =) =
Re F = xex2+y2 y sin 2xy .
18. Pelo semi-eixo positivo23 e0 e3i =2 , use (r > 0; =2 < < 3 =2) : Para o negativo 23 e3 i e3 i=2 , use (r > 0; =2 < < 5 =2).
