Lista 3 de Cálculo Numérico

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LISTA 3 DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO NUMÉRICO

Prof. Rodrigo Neves

1) Aproxime a derivada de g(x) = _√ em x = 1, usando a definição de derivação e h = 0.001 de precisão

2) Aproxime a derivada de g(x) = _√ em x = 4, usando a definição de derivação e h = 0.001 de precisão.

3) Aproxime a derivada de f(x) = )) em x = 2.45, usando a definição de derivação e h = 0.01 de precisão.

4) Dada a tabela abaixo, determine f ’ ,85).

5) Considere a tabela:

x 0 2 4 6

f(x) 1 9 65 217

Determine:

a) _{O valor d f’ 3).}

b)O rro d truncam nto com tido a utilizar o valor f’ 3), por apro imação, sab ndo qu

f(x) = x3_{+ 1.}

6) Suponha que se tenha a seguinte tabela de f(x), para f(x) = ex_{. Determinar o erro que se} com t ao calcular f’ ) m = , com os valor s tab lados.

x 0,75 1 1,25

f(x) 2,11700 2,71828 3,49034

7) Dada a tabela abaixo, de_{t rmin f ’ ,85).}

x (rad) 0,65 0,75 0,85 0,95 sen x 0,6051 0,6816 0,7512 0,8134

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8) Considerando os dados da tabela 1 calcule :

x 100 102 104 106 108

f (x) 2, 0000000 2, 0086002 2,0170333 2, 0253059 2, 0334238

a) a derivada 1ª_{f(x), em x =105}

b) a derivada 1ª_{f(x), em x = 107}

9) Dados os pares da tabela abaixo, determine o valor da derivada:

a) Em x = 1, usando alguma fórmula de 3 pontos; b)Em x = 1.5, usando alguma fórmula de 3 pontos; c) Em x = 1.8, usando alguma fórmula de 3 pontos; d)Em x = 1.6, usando a fórmula de 5 pontos;

e) Em x = 1.3, usando todas as fórmulas de 3 pontos;

f) Em x = 1.4, usando todas as fórmulas possíveis (inclusive alterando os valores de h);

10) Calcule as integrais da função f(x) = x2_{, usando a regra do trapézio repetido, no intervalo [1,}

5], dividido o intervalo [1, 5] em a) 4 subintervalos

b) 8 subintervalos c) 16 subintervalos.

11) Calcule a integral da função f(x) = cos x, usando a regra do trapézio repetido no intervalo [0,

/2], usando uma aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, e dividindo o intervalo em 4 subintervalos.Usando seus conhecimentos ou uma tabela de funções trigonométricas calcule a diferença sen (/2) _– sen 0. Que conclusão você pode tirar ao comparar os resultados.

12) Calcule uma aproximação para a área dada pela integral _∫ . )_d, com 6 subintervalos do intervalo original, usando:

a) Usando a regra do Trapézio Repetido. b) Usando a regra de Simpson Composto.

13) Calcule a integral da função e2x_{, no intervalo [0, 3], usando 10 intervalos e uma aritmética}

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14) Calcule a integral da função (x3_–_{1)/(2x + 1) no intervalo [1, 5], usando 8 intervalos e uma}

aritmética de ponto flutuante com 4 dígitos, pelas regras de Simpson Composto e do trapézio repetido.

15) Calcule as seguintes integras com 5 subdivisões:

16) Aproxime as áreas representadas pelas integrais abaixo:

17) Dados os seguintes valores numéricos, onde y deve ser alguma função (desconhecida) de x, aproxime a área sob a curva y em [1, 2.8], usando o máximo de subintervalos possíveis:

a) Usando a regra do Trapézio Repetido. Quantos subintervalos você usou? b) Usando a regra de Simpson Composto. Quantos subintervalos você usou?

18) Aproxime o valor da integral _∫ . _d, usando exatamente 5 subintervalos: a) Pelo método do Trapézio Repetido.

b)Pelo método de Simpson Composto

19) Calcule a integral abaixo por :



4

1

dx

x

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20) Um terreno está limitado por uma cerca reta e por um rio. As diferentes distâncias X (em metros) de uma extremidade da cerca ao rio, que é a largura Y do terreno (em metros ) foi medida. Os resultados estão na tabela a seguir. Determine a área aproximada do terreno utilizando a Regra do Trapézio e a Regra de Simpson.

X 0 20 40 60 80 100 120

Y 0 22 41 53 38 17 0

21) Uma partícula de massa m que se move através de um fluido está submetida a uma resistência R devido à viscosidade, a qual é função da velocidade v. A relação entre a resistência R, a velocidade v e o tempo t está dada pela equação a seguir.





v(t)

) 0 t (

v

R

(

v

)

dv

m

t

Suponha-se que R(v)v v para um determinado fluido, onde R está dado em Newtons e v em metros/seg. Sendo m = 10 kg e v(0) = 10 m/s, estime o tempo requerido para que a partícula diminua sua velocidade para 5 m/s. Use a primeira regra de Simpson com um passo h = 0.5. Faça os cálculos com 5 casas decimais.

22) A função de Debye é encontrada na Termodinâmica Estatística no cálculo do calor específico, a volume constante, de certas substâncias. Esta função é expressa como abaixo. Calcule c( = 0.5) com passo h = 0,1 e três casas decimais.

 



_

     1 , 0 x 3 3 _dx 1 e x 3 c

23) A curva de carga típica de uma cidade é dada pela figura:

MW

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Seja as medidas de potência a cada hora:

Hora MW Hora MW Hora MW Hora MW

1 30 7 40 13 42 19 39

2 28 8 39 14 38 20 45

3 29,8 9 33 15 34 21 50

4 32 10 32,5 16 30 22 44

5 33 11 31 17 29 23 40

6 38 12 39 18 31 24 30

Estime o consumo de energia diário dessa cidade utilizando: a) Trapézio Composto