Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 1 ANÁLISE COMBINATÓRIA: O QUE O TESTE PADRÃO NOS INFORMA A
PARTIR DAS RESPOSTAS DE ESTUDANTES VETERANOS DA UNEB/ALAGOINHAS – BA
Ib Couto Ribeiro Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia - UESB campus Jequié ibcoutor@hotmail.com Roberta D’Angela Menduni Bortoloti Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia – UESB campus Vitória da Conquista robertamenduni@yahoo.com.br
Resumo: Este artigo é um recorte da pesquisa interinstitucional intitulada “Análise dos erros cometidos pelos discentes dos cursos em Licenciatura Matemática das Universidades Estaduais Baianas” e, tem por objetivo investigar quais são os tipos de erros e dificuldades apresentados por discentes destes cursos, nestas instituições. Para isso, elaboramos um teste com seis questões adaptadas dos últimos vestibulares das Universidades Estaduais Baianas (2007/2008), abordando conteúdos da Educação Básica. Neste artigo, focaremos apenas na análise das respostas da sexta questão deste teste aplicado aos estudantes do 6º semestre do curso de licenciatura em matemática na UNEB/Alagoinhas, cujo objetivo é identificar alguns erros e dificuldades em relação à Análise Combinatória. A pesquisa é de cunho qualitativo, com uma amostra de sete sujeitos. Fundamentamo-nos em pesquisas realizadas por Cury (2007) que categoriza alguns tipos de erros e em Bardin (1979) para aspectos metodológicos. Os alunos, ainda que tenham cursado a disciplina que aborda Análise Combinatória, mostraram na maioria deles, a resolução através de listagem de possibilidades. Com poucas exceções utilizaram no procedimento a aplicação de fórmulas.
Palavras-chave: Formação de Professores de Matemática; Análise de Erros; Análise Combinatória.
1 INTRODUÇÃO
A Pesquisa Análise dos Erros cometidos pelos discentes dos cursos de Licenciatura em Matemática das Universidades Estaduais Baianas (BORTOLOTI, et al, 2007) é financiada pela Fapesb (Fundação de Amparo a Pesquisa no Estado da Bahia) projeto aprovado em junho de 2008 (Edital 04/2007 - Educação). Esta, de cunho interinstitucional, abrange 10 cursos ao todo, estando presentes na: UESB (Jequié e Vitória da Conquista); UEFS (Feira de Santana); UESC (Ilhéus) e UNEB (Teixeira de Freitas, Alagoinhas, Paulo Afonso, Caetité, Senhor do Bomfim e Barreiras). Tem por
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 2 metas investigar quais as dificuldades os alunos iniciantes apresentam ao ingressarem na Universidade; quais são os tipos de erros e níveis das dificuldades apresentadas por discentes dos cursos de Licenciatura em Matemática; o que dizem as respostas dos alunos ao analisarmos questões abordando conteúdos da Educação Básica; que diferenças existem entre os erros cometidos pelos estudantes novatos e veteranos e identificar se o curso superior está contribuindo para a formação do futuro professor.
Segundo o IDEB - Índice de Desenvolvimento da Educação Básica - em uma escala de 0 a 10 a Bahia apresenta 2,6 para a 1ª fase do Ensino Fundamental (EF), 2,7 para a 2ª fase do EF e 2,8 para o Ensino Médio (EM), considerando as redes pública e privada, no ano 2007 (BRASIL, 2010, p. 1). Ainda que os índices tenham sido aumentados, em relação aos resultados anteriores também divulgados pelo Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP), não houve uma melhora significativa a fim de sanar as dificuldades apresentadas pelos alunos. Diante deste quadro, queremos conhecer alguns possíveis erros básicos e contribuir para reverter esta situação. Acreditamos que uma maneira de tentarmos isso é fazendo o erro ser visto, discutido, compreendido pelos professores, por estes estudantes, futuros professores, para que não cometam com seus alunos, os mesmos.
Para subsidiar, este trabalho e responder aos nossos questionamentos, utilizamos como um dos instrumentos da pesquisa o teste padrão, composto por seis questões subjetivas a fim de pautarmo-nos na análise das respostas dadas pelos estudantes. No entanto, neste artigo, focaremos apenas na análise da resposta da sexta questão deste teste, que diz respeito ao conteúdo de Análise Combinatória. Analisaremos as produções escritas dos estudantes do 6º semestre do curso de licenciatura em matemática na UNEB/Alagoinhas. Estaremos detectando o que os alunos sabem, se cometem algum tipo de erro a respeito deste assunto e de que tipos são.
Fundamentamo-nos em Pinto (2000), que nos mostra a necessidade de tornar o erro observável para o professor e também para o aluno, trabalhando na perspectiva construtivista. Desta mesma forma nos apoiamos em Borasi (1996) que traz o erro como trampolim para a aprendizagem em matemática. Metodologicamente nos basearemos em Cury (2007) e em Bardin (1979), pois utilizaremos a categorização para construirmos a análise dos dados.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 3 2 REVISÃO DE LITERATURA
Discutiremos a respeito da análise de erros e Análise Combinatória, já que este é o conteúdo a ser analisado neste artigo. Antes de apresentarmos as definições de pesquisadores que trabalham com este tema, vamos consultar o dicionário e verificar o que é entendido por análise e por erro.
No verbete “análise” registraremos um conceito que, a nosso ver, melhor se ajusta ao vocábulo, pelo Minidicionário de Olinto (2000, p. 51): “decomposição de um todo em partes; exame minucioso de cada uma das partes de um todo”. Ao observar a etimologia da palavra “erro” encontramos como alguns sinônimos: “engano, incorreção, desvio do bom caminho” (Ibid, p. 337).
A pesquisa sobre erros tem sido de grande relevância na educação matemática. Segundo Borasi (1996), os erros por definição são resultados que não atendem às expectativas, eles podem ser considerados um exemplo protótipo de uma anomalia (algo que não faz sentido). Entretanto, esta mesma autora traz outro significado para o erro, encara-o como “trampolim para a aprendizagem” em Matemática.
Segundo Viola dos Santos (2007), algumas vezes, quando se fala em “erro”, mesmo tomando-o como constituinte da aprendizagem, resultado das concepções prévias, entre outros fatores positivos, está se referindo ao que o aluno não fez em relação ao que ele deveria ter feito. Caracterizam-se os alunos pelo que lhes falta e não pelo que eles já têm.
Com relação ao conteúdo de Análise Combinatória, este é abordado nos documentos do governo como Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio - PCNEM’s, Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN+, Exame Nacional de Desempenho de Estudantes – Enade. Além de fazer parte da disciplina Estatística I do fluxograma do curso de licenciatura em matemática da UNEB campus Alagoinhas e também do programa de conteúdo para o vestibular na mesma instituição.
Conforme os Parâmetros Curriculares do Ensino Médio – PCNEM (BRASIL, 1998, p. 127): “A Contagem, ao mesmo tempo em que possibilita uma abordagem mais completa da probabilidade por si só, permite também o desenvolvimento de uma nova forma de pensar em Matemática denominada raciocínio combinatório”.
Já o Enade aborda o conteúdo de Contagem e Análise Combinatória que são assuntos avaliados pela prova de 2008, conforme art. 7º da Portaria INEP nº 132
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 4 (BRASIL, 2008) quando se refere aos conteúdos comuns a bacharelandos e licenciandos em relação a conteúdo da Educação Básica.
Este conteúdo envolve fórmulas e devem ser reforçadas, para contribuir verdadeiramente com o entendimento do assunto. Esteves (2001, p.13) nos alerta:
Para o conteúdo Análise Combinatória, quando não reforçamos a fórmula, acreditamos que estamos valorizando o uso da árvore de possibilidade, do método de tentativa e erro, do desenho e do princípio fundamental da contagem para um melhor desenvolvimento do raciocínio combinatório. Assim, a fórmula no papel deixa de ser apenas uma ferramenta para desenvolver os problemas de maneira mais econômica.
Assim, faz-se necessário explorar o uso da fórmula desde que o aluno saiba adequar ao momento necessário de sua aplicação e não percorrer por um método cansativo, esboçando tantas possibilidades podendo não conseguir elencar todas.
Foi desenvolvida a análise desta questão do ponto de vista institucional. Pontuado que os alunos tenham habilidades necessárias como: ter conhecimento do Princípio Fundamental da Contagem que segundo Paccola é “o número de possibilidades de o acontecimento se realizar é dado por p = p1. p2. p3. ... pn”; da
Permutação; do Arranjo; da Combinação e saber em que situações utilizá-los.
3 METODOLOGIA
Caracterizamos esta pesquisa como qualitativa, do tipo Estudo de Caso (LUDKE & ANDRÉ, 1986), por ser algo singular, específico do grupo de 07 alunos do 6º semestre do curso de Licenciatura em Matemática da UNEB, campus Alagoinhas.
Além do Termo de Consentimento Livre e Esclarecido para garantir o direito de escolha em participar ou não da pesquisa, conforme Resolução 196/96, utilizamos também o teste padrão que foi construído a partir da análise das questões que constituíram o teste piloto.
A questão que vamos analisar está inserida no bloco Análise de dados e probabilidade, segundo as Orientações Curriculares para o Ensino Médio – Matemática (2006) justificada pela necessidade de “aplicar as idéias de probabilidade e combinatória
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 5 Durante a aplicação do teste foi solicitado aos estudantes que registrassem toda a solução que julgassem necessárias e caso tivessem a necessidade de apagar não utilizassem a borracha e sim escrevessem: “desconsiderada a resposta”. Isso se fez necessário, porque mais interessante era conhecer o raciocínio registrado pelo acadêmico, observar o uso de alguma estratégia utilizada para chegar à própria resposta, segundo o Minidicionário Olinto (2000, p. 362) estratégia significa “arte de aplicar os meios disponíveis ou explorar condições favoráveis com vista a objetivos específicos, nossa intenção era identificar o conhecimento disponível destes alunos para resolver a questão.
A análise de dados é construída por meio da categorização que segundo Bardin (1979, p. 118) significa: “Classificar elementos em categorias, impõe a investigação do que cada um deles tem em comum com outros”. Em conformidade com esta autora temos Cury (2007) que também faz uso da categorização para análise dos erros.
Dividimos a análise em dois níveis: No nível 1, verificaremos a quantidade de questões certas (com desenvolvimento completo, isto é, argumentos e justificativas para as etapas mais críticas do seu raciocínio); questões erradas, aquelas que, por algum motivo, não se apresentam como na resolução institucional1 (validada pela comunidade acadêmica) e as questões deixadas em branco ou tendo nas questões registros do tipo: “não sei”, “não estudei”, etc. Para o nível 2 usamos as Matrizes de Referência do Sistema Nacional da Avaliação da Educação Básica – SAEB (BRASIL, 2008), que apresentam os descritores para a 3ª série do Ensino Médio. As matrizes de matemática estão estruturadas por anos e séries avaliadas. Para cada uma delas, são definidos os descritores que indicam uma determinada habilidade que deve ter sido desenvolvida nessa fase de ensino. Esses descritores são agrupados por temas: Tema I. Espaço e Forma, Tema II. Grandezas e Medidas, Tema III. Números e Operações/Álgebra e Funções, Tema IV. Tratamento da Informação. Como nosso objetivo é analisar o conteúdo: Análise Combinatória, estamos trabalhando com o Tema III. Números e Operações/Álgebra e Funções. A respeito deste tema, encontramos para este assunto o descritor D 32: “resolver problema de contagem utilizando o princípio multiplicativo ou noções de permutação simples, arranjo simples e/ou combinação simples”, pois o aluno deverá apresentar a habilidade de aplicar a fórmula correta na situação descrita no enunciado.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 6 (4.3)3 = 36 possibilidades.
Como existem duas formas de agrupar os estudantes somando-as temos:
24 + 36 = 60
Logo, o número máximo de possibilidades serão 60.
4 ANÁLISE DAS RESPOSTAS SOBRE A QUESTÃO DE ANÁLISE COMBINATÓRIA
A questão e as resoluções institucionais seguem abaixo:
1ª resolução:
Existem 2 formas de distribuir os estudantes. Colocando um estudante em um hotel
temos:
2ª Resolução:
H =hotel; V= vaga; E= estudante, em que: H=4; E=3; V=2
Para o primeiro caso em que temos um estudante em cada hotel. Assim, utilizando arranjo simples AH,E:
Questão 6 (adaptada do vestibular UEFS 2007)- Três estudantes chegaram juntos a uma cidade para participar de um congresso e , não tendo feito reservas com antecedência, constataram que em cada hotel poderiam ficar até dois estudantes. Sabendo que há apenas quatro hotéis na cidade, calcule o número máximo de possibilidades de hospedagem.
1ª forma
1ª forma 2ª forma
Agora colocando dois estudantes em um hotel e um no outro, temos: 4 possibilidades para a dupla 3 possibilidades para o 3º estudante Como esta distribuição pode ser feita de 3 formas diferentes temos:
4 possibilidades para o primeiro estudante 3 possibilidades para o segundo
2 possibilidades para o terceiro 4.3.2 = 24 possibilidades
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 7 24 2 . 3 . 4 )! 3 4 ( ! 4 3 , 4
A maneiras de colocar um estudante em cada hotel.
Temos dois estudantes em um hotel e um no outro. O número de maneiras de escolher os dois hotéis será:
12 )! 2 4 ( ! 4 2 , 4
A e o número de maneiras de escolher os dois estudantes para formar as duplas será: 3
1 . 2 3 3 2
C . Então, para a segunda forma, temos: A4,2 . C3,2= 24 + 36 = 60
3º resolução:
Enumerar todos os 60 eventos que compõem todas as possibilidades.
A partir das respostas dadas pelos alunos apresentaremos dois níveis de análise. No 1º nível, agrupamos as respostas certas; erradas e as deixadas em branco. No campus de Alagoinhas, dos sete alunos identificados pelas letras de A a G, que responderam a esta questão, nenhum a deixou em branco. Talvez, isso se deva por ser uma questão do tipo que dê a oportunidade de listar as possibilidades através do diagrama da árvore que segundo Paiva “consiste em construir uma figura na qual são descritas todas as possibilidades de cada etapa” ou o Princípio Fundamental da Contagem (PFC) ao invés do uso direto da fórmula. Entretanto, não obtivemos acertos.
Nossa amostra está concentrada nas respostas erradas e vamos agrupá-las em três tipos de estratégias: a 1ª se refere aos alunos que consideraram apenas um estudante em cada hotel. Apenas o aluno E resolveu desta forma. Ele listou algumas possibilidades para alocar os estudantes e presumimos que este esboço foi o início da interpretação para dar continuidade a resolução. Ele concluiu a resposta utilizando a fórmula de Arranjo, mesmo iniciando-a com a letra C, símbolo que utilizamos para nos referirmos à fórmula de combinação. Encontrou como resposta 24. Ressaltamos que ele acertou parte da solução..
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 8
A 2ª estratégia diz respeito aos alunos que responderam apenas a outra parte da resolução, ou seja, colocou dois estudantes em um hotel e um no outro. Registramos dois alunos neste grupo. O aluno A fixou dois estudantes por hotel e desconsiderou o terceiro. Ele listou algumas possibilidades, recorreu à fórmula de arranjo manipulando-a de forma errônea: (Arranjo= 3
! 2
! 3
). A partir do que esboçou e do valor encontrado utilizando a fórmula, concluiu equivocadamente que a resposta seria 12 possibilidades. Já o aluno C apresentou como resposta “36 possibilidades”, porém desconsiderou que cada estudante poderia ficar em um hotel.
Aluno A Aluno C
A 3ª estratégia pertence aos alunos que tentaram responder aos dois casos da resolução. É composto por 4 alunos. O aluno B listou algumas possibilidades para os dois casos, obtendo como resposta “14 possibilidades”. Temos também, o aluno D que encontra como resposta “30 possibilidades”. Ele aplicou corretamente a fórmula de arranjo ao resolver o 1º caso. Mas ao calcular o 2º utilizando a mesma fórmula se equivoca fazendo A3,2 ao invés de A4,2.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 9 Aluno B Aluno D
Já o aluno F, lista algumas possibilidades, calcula através do Princípio Fundamental da Contagem e encontra como resposta “108 possibilidades”. Ainda temos o aluno G que lista algumas possibilidades dos dois casos, mas dá como resposta “O número máximo de hospedagem 16”.
Aluno F Aluno G
No 2º nível de análise registramos que ainda tendo a ausência de acertos na questão os alunos utilizaram o D32, pois recorreu a alguma forma de resolução (listagem ou aplicação de fórmula).
5 CONCLUSÃO
Este artigo analisou as estratégias desenvolvidas por um grupo de alunos, do ensino superior, ao responder uma questão aberta sobre Análise Combinatória. Observamos, de uma forma geral, que os alunos recorreram à resolução através de listagem das possibilidades. Assim, nos levando a perceber que há necessidade dos alunos conhecerem e saberem aplicar as fórmulas, pois no caso da amostra ser grande o mesmo precisará saber utilizá-la. Sendo assim, mesmo que os alunos tenham estudado o conteúdo no ensino médio, alguns revisados para prestar o vestibular e cursado uma
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 10 disciplina no curso superior (Estatística) identificamos o enfretamento da questão dado a resolução empírica ou mesmo o método da tentativa, em sua maioria. Os alunos que utilizaram fórmulas para resolver a questão não obtiveram êxito, por exemplo, um deles usou a combinação, mas desenvolveu arranjo, vejamos o caso:
24 ! 1 1 . 2 . 3 . 4 )! 3 4 ( ! 4 4 3 C .
Os documentos do governo apresentam nas matrizes curriculares a abordagem do conteúdo Análise Combinatória para que as escolas da Educação Básica e as Universidades favoreçam aos alunos conhecimentos, também voltados para a aplicação do dia-a-dia. No entanto, percebemos que ainda existem lacunas no que diz respeito a este conteúdo.
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