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Conceitos fundamentais de mecânica dos fluidos

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Academic year: 2021

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(1)

Conceitos Fundamentais de

Mecˆ

anica dos Fluidos

ergio Lu´ıs Villares Coelho

Departamento de Engenharia Mecˆ

anica

(2)

A Mecˆanica dos Fluidos ´e uma ciˆencia de grande importˆancia, cujo interesse geral tem atra´ıdo ao longo da hist´oria a aten¸c˜ao de grandes matem´aticos e f´ısicos. A fascina¸c˜ao provocada pela observa¸c˜ao mesmo casual de escoamentos na natureza e na tec-nologia – instigada pela diversidade de ocorrˆencias f´ısicas – bem como o intrincado comportamento das equa¸c˜oes matem´aticas que regem o movimento de fluidos, fazem desta classe de pro-blemas um permanente objeto de interesse e reverˆencia. O prop´osito do texto apresentado a seguir ´e introduzir o leitor a uma formula¸c˜ao para o tratamento de um tipo espec´ıfico de fluidos, os chamados fluidos newtonianos. Por serem o ar e a ´agua fluidos newtonianos, s˜ao portanto aqui abrangidos os fluidos de maior importˆancia na engenharia. As equa¸c˜oes que governam o movimento de tais fluidos s˜ao deduzidas de modo cuidadoso, principalmente no que diz respeito `as suas hip´oteses constitutivas. O texto, como concebido inicialmente, ´e orien-tado para pesquisadores e estudantes avan¸cados em Mecˆanica dos Fluidos; entretanto, dada sua clareza e qualidade, certa-mente ele ser´a de utilidade para estudantes de gradua¸c˜ao e ini-ciantes no assunto. Que seja do meu conhecimento, n˜ao existe qualquer texto em Mecˆanica dos Fluidos originariamente es-crito em portuguˆes que possua conte´udo pr´oximo a este. O texto completo foi escrito no ver˜ao de 1989, no ex´ıguo prazo de 3 meses. Isto apenas enaltece a qualidade de seu autor, cei-fado prematuramente de nosso conv´ıvio em outubro de 1989. Por n˜ao ter tido o autor a oportunidade de revisar o texto original modificando pequenas partes que o desagradasse, esta vers˜ao n˜ao condizir´a certamente com sua expectativa. De fato, ela foi inicialmente pensada como um primeiro manuscrito, a partir do qual um livro b´asico sobre Mecˆanica dos Fluidos emergeria. A posi¸c˜ao do editor ao formatar o manuscrito ori-ginal foi de conservar em sua integridade as palavras do autor. Assim, nada foi alterado do texto original.

(3)

iii

(4)

Corte axial para um jato em escoamento cruzado

Vista lateral de um jato em escoamento cruzado mostrando a esteira de v´ortices

(5)

Conte´

udo

1 Conceitos Fundamentais e Considera¸c˜oes Gerais 1

1.1 S´olidos, L´ıquidos, Gases . . . 1

1.2 A Hip´otese do Cont´ınuo . . . 1

1.3 As Propriedades F´ısicas dos Fluidos . . . 2

1.4 Revis˜ao de Alguns Elementos da Matem´atica . . . 4

1.4.1 Vetores e Opera¸c˜oes Vetoriais . . . 4

1.4.2 Teoremas de Stokes, Gauss e Green . . . 7

1.4.3 Tensores e Opera¸c˜oes Envolvendo Tensores . . . 7

1.4.4 For¸cas que Agem em um Fluido e o Tensor das Tens˜oes . . . 9

2 Cinem´atica dos Escoamentos 11 2.1 Sistemas de Referˆencia para a Descri¸c˜ao dos Escoamentos . . . 11

2.2 A Derivada Material . . . 12

2.3 Deforma¸c˜ao e Rota¸c˜ao Locais de um escoamento . . . 14

3 Os Princ´ıpios de Conserva¸c˜ao e as Equa¸c˜oes do Movimento 19 3.1 Introdu¸c˜ao . . . 19

3.2 O Teorema do Transporte de Reynolds . . . 19

3.3 Princ´ıpio da Conserva¸c˜ao da Massa . . . 22

3.4 O Princ´ıpio da Conserva¸c˜ao da Quantidade de Movimento Linear . . . 22

3.5 O Princ´ıpio da Conserva¸c˜ao da Quantidade de Movimento Angular . . . . 24

3.6 O Princ´ıpio da Conserva¸c˜ao da Energia . . . 25

3.7 Equa¸c˜oes e Vari´aveis Obtidas Atrav´es dos Princ´ıpios de Conserva¸c˜ao . . . 27

3.8 As Equa¸c˜oes Constitutivas . . . 27

3.8.1 As rela¸c˜oes para o tensor das tens˜oes . . . 27

3.8.2 As rela¸c˜oes para o fluxo de calor . . . 30

3.8.3 A equa¸c˜ao de estado para ρ, p e T . . . 32

3.9 Equa¸c˜oes do Movimento e as Equa¸c˜oes de Contorno . . . 35

3.9.1 A Condi¸c˜ao de N˜ao-Escorregamento . . . 37

3.9.2 A Condi¸c˜ao de Impermeabilidade . . . 37

3.9.3 As Condi¸c˜oes de Contorno para o Campo de Temperaturas . . . . 38

3.9.4 Um Exemplo do Estabelecimento das Condi¸c˜oes de Contorno . . . . 38

3.9.5 Um Exemplo do Estabelecimento de um Problema de Valor de Con-torno . . . 39

(6)

4 Os Parˆametros que Governam os Escoamentos de Fluidos 44

4.1 Introdu¸c˜ao . . . 44

4.2 O Significado F´ısico do N´umero de Reynolds . . . 45

4.3 N´umero de Froude . . . 45

4.4 O N´umero de Mach . . . 46

4.5 Outros Grupos Adimensionais . . . 48

5 As Simplifica¸c˜oes das Equa¸c˜oes do Movimento e as Diferentes Classes de Problemas em Mecˆanica dos Fluidos 50 5.1 Escoamentos Incompress´ıveis . . . 50

5.1.1 Solu¸c˜oes Exatas para Escoamentos Incompress´ıveis . . . 51

5.2 Escoamentos onde Re −→ 0 . . . 55

5.2.1 Escoamentos onde Re −→ ∞ . . . 58

5.2.2 As Simplifica¸c˜oes para os Escoamentos Bidimensionais . . . 68

5.3 A Lineariza¸c˜ao das Equa¸c˜oes do Movimento . . . 72

6 Referˆencias 74 6.1 Bibliografia B´asica . . . 74

6.2 Bibliografia Espec´ıfica . . . 76

(7)

Cap´ıtulo 1

Conceitos Fundamentais e

Considera¸

oes Gerais

1.1

olidos, L´ıquidos, Gases

A propriedade fundamental que caracteriza l´ıquidos e gases ´e, sob o ponto de vista mecˆanico, a “facilidade” com que s˜ao deformados. Um corpo s´olido (ou, pelo menos, a maioria deles) “resiste”a esfor¸cos externos que tendem a deform´a-lo sendo as varia¸c˜oes das posi¸c˜oes relativas das v´arias part´ıculas que o constituem “pequenas”quando for “pe-quena”a varia¸c˜ao das for¸cas externas.

Em l´ıquidos e gases isso n˜ao acontece. Esfor¸cos externos arbitrariamente “peque-nos”em magnitude podem induzir “extensas”deforma¸c˜oes nos mesmos. Esta caracter´ıstica mecˆanica permite-nos agrupar a maioria dos l´ıquidos e gases, no que se refere ao seu com-portamento mecˆanico, em uma s´o classe: os fluidos.

Ao estudo do movimento macrosc´opico relativo dos v´arios elementos que comp˜oe um corpo (ou uma regi˜ao) fluido(a), em face a esfor¸cos externos nele(a) atuantes, d´a-se o nome Mecˆanica dos Fluidos.

1.2

A Hip´

otese do Cont´ınuo

A f´ısica moderna descreve as propriedades da mat´eria como grandezas quˆanticas. A massa de um corpo, por exemplo, n˜ao est´a continuamente distribu´ıda ao longo de seu volume, mas concentrada nos n´ucleos de seus ´atomos. Entretanto, a Mecˆanica dos Fluidos normal-mente se limita apenas ao estudo do movimento macrosc´opico dos fluidos, dispensando uma descri¸c˜ao precisa do movimento a n´ıvel molecular. Assim, em tais estudos, o fluido pode ser geralmente tratado como um meio cont´ınuo que possue propriedades que variam continuamente ao longo do seu volume. Tais propriedades s˜ao express˜oes macrosc´opicas das propriedades quˆanticas das part´ıculas que constituem o fluido.

A hip´otese do cont´ınuo pressup˜oe a existˆencia de trˆes escalas de comprimento carac-ter´ısticas para os escoamentos de fluidos. Uma escala de comprimento, L3 caracter´ıstica

das varia¸c˜oes das propriedades do “cont´ınuo”, uma escala de comprimento, L2, onde as

varia¸c˜oes dessas propriedades s˜ao assintoticamente pequenas, e uma escala de

(8)

mento a n´ıvel molecular, L1, compar´avel ao caminho livre m´edio entre as mol´eculas do

fluido. A hip´otese do cont´ınuo presup˜oe, necessariamente, que:

L1 << L2 << L3 (1.1)

O significado das escalas de comprimento L1, L2 e L3 s˜ao ilustrados na Figura 1.1.

Figura 1.1: Escala caracter´ıstica de comprimento.

Suponha que pud´essemos medir a massa espec´ıfica de um fluido com um instrumento que extra´ısse dele um volume parcial de dimens˜ao arbitr´aria, L3. Por defini¸c˜ao, a massa

espec´ıfica local ´e dada por:

ρ = lim

V →0

m

V , (1.2)

onde m = massa, V = volume.

Entretanto, para um fluido “real”, o limite em (1.2) n˜ao converge, uma vez que, quando L ' L1, a exclus˜ao de mol´eculas individuais do volume de referˆencia `a medida que ele

diminui provoca grandes varia¸c˜oes na raz˜ao m/V . Assim, deve existir uma escala de comprimento L2, onde a “exclus˜ao de mol´eculas”`a medida que L −→ L2 n˜ao implique em

varia¸c˜oes sens´ıveis da raz˜ao m/V (L1 << L2). Ao mesmo tempo, s´o existir´a um limite

para m/V em L2 quando as varia¸c˜oes macrosc´opicas desta raz˜ao ocorrerem em uma escala

de comprimento L3 >> L2. Assim, s´o podem ser analisados como meios cont´ınuos os

escoamentos onde existem estas trˆes diferentes escalas de comprimento para as varia¸c˜oes das suas propriedades. Os escoamentos hipersˆonicos s˜ao um caso onde L3 ' L1, n˜ao

podendo assim serem analisados como meios cont´ınuos.

1.3

As Propriedades F´ısicas dos Fluidos

O movimento macrosc´opico de um fluido ´e condicionado pelas intera¸c˜oes entre as mol´eculas que o constituem. Entretanto, o efeito a n´ıvel macrosc´opico dessas intera¸c˜oes pode ser expresso atrav´es de propriedades macrosc´opicas (ou propriedades do cont´ınuo, na idealiza¸c˜ao do fluido como um meio cont´ınuo) tais como massa espec´ıfica, viscosidade, compressibilidade, etc.

(9)

3

A massa espec´ıfica ρ ´e definida como em (1.2), onde o limite ´e tomado somente at´e V −→ L3

2.

A viscosidade ´e a propriedade que um fluido possui de transmitir quantidade de movi-mento linear ao longo de dire¸c˜oes normais `a velocidade local do mesmo (local, em termos macrosc´opicos). O aumento da for¸ca eletromagn´etica repulsiva entre as mol´eculas quando elas se aproximam uma das outras explica a transmiss˜ao da quantidade de movimento linear na dire¸c˜ao da velocidade local do escoamento. A explica¸c˜ao para o efeito viscoso, entretanto, n˜ao ´e t˜ao simples: uma regi˜ao fluida inicialmente em repouso pode ser vista, na verdade, como um grande n´umero de mol´eculas que se movimentam com velocidades que variam estocasticamente. Se uma fronteira plana dessa regi˜ao fluida ´e colocada em movimento na dire¸c˜ao tangente a sua superf´ıcie, o movimento flutuante (ou Browniano) das mol´eculas faz com que algumas delas, que se encontram pr´oximas ao contorno posto em movimento, se choquem contra o mesmo, adquirindo momento linear extra. Atrav´es deste mesmo movimento Browniano, mol´eculas que adquiriram momento linear extra in-teragem com outras mol´eculas no interior da regi˜ao fluida, transferindo para elas parte deste momento extra. Atrav´es desse processo, ilustrado na Fig. 1.2, resulta uma trans-ferˆencia l´ıquida de momento linear ao longo das dire¸c˜oes normais `a da velocidade m´edia (macrosc´opica) local, chamada difus˜ao viscosa.

Figura 1.2: Difus˜ao viscosa do momento linear

A intensidade com a qual a quantidade de movimento linear ´e transferido por di-fus˜ao viscosa depende de caracter´ısticas do fluido, tais como sua estrutura molecular, suas propriedades f´ısicas, como a temperatura (energia cin´etica m´edia das mol´eculas) e a massa espec´ıfica, e tamb´em sua taxa de varia¸c˜ao local da distribui¸c˜ao da velocidade “macrosc´opica” u ao longo da dire¸c˜ao normal ao movimento (y).

Para o fluido como um cont´ınuo, este processo de difus˜ao viscosa permite a associa¸c˜ao de uma tens˜ao de cisalhamento local, ao fluxo normal (por unidade de ´area) da componente da quantidade de movimento linear paralela ao escoamento local.

Sir Isaac Newton estudou experimentalmente o arrasto em placas planas em movi-mento atrav´es de meios fluidos, e introduziu o conceito do Coeficiente de Viscosidade, ou, simplesmente, Viscosidade, µ. Newton assumiu que µ ´e uma propriedade dependente uni-camente da natureza do fluido, e que relaciona a tens˜ao de cisalhamento (τ ) e o gradiente normal da velocidade local do escoamento du/dy, atrav´es da express˜ao:

(10)

τ = µ∂u

∂y. (1.3)

Fluidos onde µ n˜ao varia com a taxa de cisalhamento ∂u/∂y s˜ao denominados Fluidos Newtonianos. Neles, τ ´e uma fun¸c˜ao linear de du/dy. Fluidos tais como a ´agua e o ar podem ser considerados newtonianos pois suas viscosidades dependem apenas de seus estados termodinˆamicos (pelo menos na maioria dos escoamentos de interesse pr´atico). Por outro lado, existem v´arios fluidos que n˜ao satisfazem a rela¸c˜ao (1.3): os ´oleos e as suspens˜oes s˜ao exemplos de tais fluidos. Diferentes rela¸c˜oes entre τ e du/dy s˜ao ilustradas na Fig. 1.3:

Figura 1.3: Rela¸c˜oes tens˜ao – taxa de deforma¸c˜ao

A compressibilidade ´e a propriedade que traduz a sensibilidade da densidade de um fluido a varia¸c˜oes na sua press˜ao termodinˆamica. Escoamentos onde as varia¸c˜oes de ρ s˜ao desprez´ıveis s˜ao chamados Escoamentos Incompress´ıveis. Nos escoamentos onde ∂ρ/∂p ´

e significativo, perturba¸c˜oes na press˜ao se propagam a velocidades compar´aveis `a do escoamento, permitindo a forma¸c˜ao de ondas de choque, caracter´ısticas de escoamentos supersˆonicos. Enquanto o m´odulo de elasticidade do ar ´e da ordem de 3.000 PSF, o m´odulo de elasticidade da ´agua ´e da ordem de 40.000.000 PSF (praticamente ”incompress´ıvel”).

A compressibilidade e outras propriedades f´ısicas, tais como a Tens˜ao Superficial, ser˜ao discutidas em maiores detalhes em se¸c˜oes subsequentes.

1.4

Revis˜

ao de Alguns Elementos da Matem´

atica

A an´alise te´orica da dinˆamica dos escoamentos envolve a aplica¸c˜ao de v´arios elementos da f´ısica matem´atica, alguns dos quais s˜ao aqui recordados.

1.4.1

Vetores e Opera¸

oes Vetoriais

~

(11)

5

´

e um vetor onde ~e1, ~e2, ~e3 formam uma tr´ıade de vetores unit´arios ortogonais, e A1, A2, A3

s˜ao escalares que representam a magnitude das componentes de ~A nas dire¸c˜oes ~e1, ~e2, ~e3

respectivamente.

Sendo ~A e ~B dois vetores,

~

A ~B = | ~A|| ~B|cosθ, (1.5) ´

e o produto escalar de ~A por ~B, onde θ ´e o angulo entre ~A e ~B.

AB = C =   ~ e1 ~e2 ~e3 A1 A2 A3 B1 B2 B3   (1.6) ´

e o produto vetorial de ~A por ~B, onde ~ C = ~ A ~ B sin θ ~

A × ( ~B × ~C) ´e o produto vetorial triplo de ~A, ~B, ~C e ~A × ( ~B × ~C) = ( ~A. ~C) ~B − ( ~A ~B) ~C. As opera¸c˜oes de deriva¸c˜ao envolvendo vetores podem, geralmente, ser expressas atrav´es de opera¸c˜oes entre esses vetores e o operador vetorial diferencial ∇,

∇ = ∂ ∂x1 ~e1+ ∂ ∂x2 ~e2+ ∂ ∂x3 ~e3, (1.7) onde ~ x = x1~e1+ x2e~2+ x3~e3. (1.8) ´

e o vetor posi¸c˜ao. As opera¸c˜oes envolvendo ∇ de maior importˆancia s˜ao:

∇E = grad E = ∂E ∂x1 e1+ ∂E ∂x2 ~e2+ ∂E ∂x3 ~ e3, (1.9)

onde E ´e um campo escalar,

∇. ~A = div ~A = ∂A1 ∂x1 +∂A2 ∂x2 +∂A3 ∂x3 , (1.10) e ∇ × ~A = rot ~A =   ~e1 ~e2 ~e3 ∂/∂x1 ∂/∂x2 ∂/∂x3 A1 A2 A3   (1.11)

Assim, grad E ´e um vetor, div ~A ´e um escalar e rot ~A ´e um vetor.

Uma outra opera¸c˜ao importante envolvendo ∇ e dois campos vetoriais ~A e ~B ´e (ver Kreyszig).

∇( ~A. ~B) = ~A × (∇ × B) + ( ~A.∇) ~B + ~B × (∇ × ~A) + ( ~B.∇) ~A. (1.12) Esta rela¸c˜ao ´e de especial importˆancia para a mecˆanica dos fluidos quando ~A ≡ ~B ≡ ~U ( ~U = vetor velocidade),

(12)

onde

~

W = rot ~U . (1.14) Os significados f´ısicos associados a grad ~U , div ~U , rot ~U , e `a express˜ao (1.13) ser˜ao discutidos mais adiante.

Uma outra maneira de se representar o vetor ~x em (1.8) ´e escrevˆe-lo na forma

~

x = xi~ei, i = 1, 2, 3. (1.15)

Esta ´e a nota¸c˜ao indicial (ou de Einstein), que convenciona a indica¸c˜ao de somas atrav´es da utiliza¸c˜ao de ´ındices repetidos. Assim, pode-se representar grad E e div ~A nas formas: grad E = ∂E ∂xi ~ ei, (1.16) e div ~A = ∂Ai ∂xi . (1.17)

O produto escalar de um vetor unit´ario ~ek por ~x pode ser escrito na forma

~ek.~x = ~ek.~ei.xi. (1.18)

Como os vetores ~ei s˜ao ortogonais entre si,

~ek.~ei = 0 se k 6= i, , ~ek.~ei = 1 se k = 1 (1.19)

Uma nota¸c˜ao concisa para ~ek.~ei ´e o Delta de Kronecker definido por:

δki = ( 1, k = i 0, k 6= i (1.20) Assim, ~ek.~x = δkixi = xk. (1.21)

A equa¸c˜ao (1.21) ´e ent˜ao uma forma condensada para se representar as trˆes rela¸c˜oes

x1 = ~e1~x; x2 = ~e2~x; x3 = ~e3~x. (1.22)

Nos casos onde se deseja suprimir a conven¸c˜ao da soma ao se escrever ´ındices repetidos, utiliza-se usualmente a nota¸c˜ao

ai = λibi, i = 1, 2, 3, (1.23)

que representa as trˆes rela¸c˜oes

(13)

7

1.4.2

Teoremas de Stokes, Gauss e Green

V´arios teoremas envolvendo integrais de fun¸c˜oes e o operador ∇ s˜ao empregados na an´alise do escoamento de fluidos. Destes, trˆes s˜ao de particular importˆancia. O primeiro deles, o Teorema de Stokes, relaciona a integral ao longo de uma superf´ıcie S do rotacional de um campo vetorial, com a integral de linha ao longo do per´ımetro C que envolve S:

Z S (∇ × ~A).~n ds = I C ~ A.~t dc, (1.25)

onde ~m ´e normal `a superf´ıcie S e ~t ´e tangente `a curva C.

O teorema da divergˆencia de Gauss relaciona a integral do divergente de um campo vetorial ao longo de um volume V , com a integral de linha sobre a superf´ıcie S que envolve V : Z V ∇ ~A dv = Z S ~ A.~n ds, (1.26)

onde ~n ´e normal `a superf´ıcie S.

O teorema de Green ´e apresentado na literatura sob diferentes formas. A sua “primeira forma”´e: Z V (φ∇2ψ + ∇φ.∇ψ) dv = Z S φ∂ψ ∂n ds = Z S φ~n.∇ψds, (1.27)

onde φ e ψ s˜ao fun¸c˜oes escalares, e ∂/∂n representa a derivada na dire¸c˜ao normal `a superf´ıcie S. A sua “segunda forma”´e:

Z V (φ∇2ψ − ψ∇2φ)dv = Z S  φ∂ψ ∂n − ψ ∂φ ∂n  ds = Z S ~ n.(φ∇ψ − ψ∇φ) ds (1.28)

Quando φ e ψ s˜ao fun¸c˜oes harmˆonicas, Z S φ∂ψ ∂n ds = Z S ψ∂ψ ∂n ds (1.29)

O teorema de Green ´e de particular importˆancia na an´alise de escoamentos irrotacio-nais, como ser´a visto posteriormente.

1.4.3

Tensores e Opera¸

oes Envolvendo Tensores

Ti1i2. . .in (1.30)

´

e um tensor de ordem n, representado em nota¸c˜ao indicial. Opera¸c˜oes com tensores s˜ao geralmente escritas em nota¸c˜ao indicial pela simplicidade com que esta nota¸c˜ao as representa, e tamb´em pela forma direta com que ela denota a ordem do tensor.

Tij ´e um tensor de segunda ordem, que compreende i.j, componentes escalares.

(14)

Tij pode ter a representa¸c˜ao compacta T . T = R + S ´e o tensor formado pela soma

de R e S, e

Tij = Rij + Sij. (1.31)

a = TijSij, (1.32)

´

e o produto interno de dois tensores, onde a ´e um escalar.

ui = Tijvj = vjTij, (1.33)

´

e o produto vetorial entre T e ~v, ou seja,

~ u = T : ~v, (1.34) ´ e um vetor. Tij = uivj, (1.35) ´

e o produto tensorial de ~u por ~v, tamb´em representado por

T = ~u ⊗ ~v (1.36) O tensor ijk =      1 i, j, k = 1, 2, 3; 2, 3, 1; ou 3, 1, 2 0 se quaisquer dos indices s˜ao iguais −1 se i, j, k = 3, 2, 1; 2, 1, 3; ou 1, 3, 2

(1.37)

´

e chamado tensor unit´ario alternado. Este tensor ´e utilizado na representa¸c˜ao indicial do produto vetorial entre dois vetores; ~w = ~u × ~v pode ser representado por

wi = ijkujvk (1.38)

O gradiente de um campo vetorial ´e um tensor, definido por

∇~v = ∇ ⊗ ~v = ∂vi ∂xj

. (1.39)

O divergente de um tensor ´e um vetor, definido por

∇T = ∂Tij ∂xj

. (1.40)

O gradiente de um tensor de ordem N ´e um tensor de ordem (N + 1), e o divergente de um tensor de ordem N ´e um tensor de ordem N − 1. Vetores s˜ao tensores de primeira ordem e escalares s˜ao tensores de ordem zero. Assim, n˜ao ´e definido o divergente de um escalar.

(15)

9

1.4.4

For¸

cas que Agem em um Fluido e o Tensor das Tens˜

oes

Pode-se distinguir dois tipos de for¸cas que agem sobre uma regi˜ao fluida arbitr´aria:

1. For¸cas de corpo, que atuam `a distˆancia atrav´es de um campo, tais como for¸cas gravitacionais ou eletromagn´etica.

2. For¸cas de superf´ıcie ou de contato, resultantes do contato f´ısico da superf´ıcie que delimita a regi˜ao fluida com a mat´eria ( s´olida ou fluida) que o cerca.

For¸cas de corpo s˜ao representadas atrav´es de campos vetoriais, pois as dire¸c˜oes e intensidades das mesmas s˜ao determinadas pelo pr´oprio campo que as gera.

For¸cas de contato, por outro lado, possuem componentes normais e tangenciais que dependem da orienta¸c˜ao da superf´ıcie de referˆencia. Assim, for¸cas de contato s˜ao repre-sentadas atrav´es de tensores. O tensor de tens˜oes representa o estado de tens˜oes local, e relaciona a tens˜ao atuante em uma superf´ıcie localmente plana, com o vetor unit´ario normal `a essa superf´ıcie.

Sendo ~T a for¸ca de contato por unidade de ´area, ´area que atua atrav´es do elemento de ´area dA, no tempo t, e na posi¸c˜ao ~X,

~

T (~n, ~x, t)δA = σ : ~n δA, (1.41) representa a for¸ca de contato total que atua em σ ~A, onde ~n ´e o vetor unit´ario normal `

a superf´ıcie. ~T ´e denominado tens˜ao local, e se convenciona que ~T ´e a tens˜ao exercida pelo fluido existente no lado para o qual ~n ´e direcionada, sobre o fluido do lado oposto da superf´ıcie. Assim, ~T ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar de ~n, ou seja,

− ~T (~n, ~x, t) = ~T (−~n, ~x, t). (1.42) O estado de tens˜oes local ´e representado pelo tensor de tens˜oes σ cujas componen-tes representam as componencomponen-tes normais e tangenciais de ~T sobre os planos ortogonais definidos pelo sistema de coordenadas ortogonal local:

σ = σij, (1.43)

onde σij = componente da tens˜ao local na dire¸c˜ao i, sobre o plano normal `a dire¸c˜ao j.

Os elementos diagonais de σ, σij, i = j, representam as tens˜oes normais sobre as

superf´ıcies ortogonais definidas por ~ei (unit´arios do sistema de referˆencia ortogonal local),

e os elementos σij, para i 6= j, representam as tens˜oes cisalhantes na dire¸c˜ao j sobre as

superf´ıcies definidas por ~ei.

A Figura 1.4 ilustra a representa¸c˜ao da tens˜ao de contato ~T que atua sobre a superf´ıcie S atrav´es das componentes do tensor de tens˜oes σ e do unit´ario normal ~n,

´

E sempre poss´ıvel encontrar-se uma orienta¸c˜ao para os eixos ortogonais de referˆencia para a qual os elementos σij para i 6= j s˜ao todos nulos. As dire¸c˜oes dos eixos xi para

esta orienta¸c˜ao s˜ao chamadas dire¸c˜oes principais , e os elementos σij da diagonal (i =

j) do tensor de tens˜oes s˜ao denominadas tens˜oes principais σ110 , σ220 , σ330 para o espa¸co tridimensional. A invariˆancia do tra¸co dos tensores de segunda ordem ´e uma propriedade bem conhecida, de maneira que

(16)

Figura 1.4: Representa¸c˜ao da tens˜ao de contato atrav´es do tensor de tens˜oes

σ110 + σ220 + σ033= σii. (1.44)

Escolhendo-se um sistema de coordenadas que coincide localmente com as dire¸c˜oes principais, e escrevendo o tensor de tens˜oes na forma

  1/3σii 0 0 0 1/3σii 0 0 0 1/3σii   +   σ110 − 1/3σii 0 0 0 σ220 − 1/3σii 0 0 0 σ330 − 1/3σii  

pode-se separar a tens˜ao local em duas componentes: uma isotr´opica, devido ao primeiro tensor acima, que representa um esfor¸co de compress˜ao uniforme ( o sinal de σii´e

normal-mente negativo) sobre um elemento infinitesimal de fluido local, e uma anisotr´opica, onde a soma alg´ebrica das tens˜oes normais ´e zero, que representa um esfor¸co de deforma¸c˜ao sobre o elemento fluido.

Como um elemento de fluido n˜ao pode suportar esfor¸cos externos que tendem a de-form´a-lo, todas as componentes do segundo tensor mostrado acima devem ser iguais a zero para que um fluido permane¸ca em repouso. Isso significa que σ110 = σ022 = σ033 = 1/3σii

para um fluido em repouso, ou seja, o tensor de tens˜oes ´e isotr´opico neste caso e ape-nas esfor¸cos normais agem sobre qualquer superf´ıcie escolhida. Fluidos em repouso est˜ao normalmente em estado de compress˜ao, de maneira que ´e conveniente se escrever

σij = −pδij (para um fluido em repouso), (1.45)

(17)

Cap´ıtulo 2

Cinem´

atica dos Escoamentos

2.1

Sistemas de Referˆ

encia para a Descri¸

ao dos

Es-coamentos

Os escoamentos de fluidos s˜ao caracterizados cinematicamente por um Campo de Velo-cidades. O Campo de Velocidades ´e um campo vetorial que associa a cada ponto do escoamento um vetor velocidade. Os campos de velocidade podem ser descritos atrav´es de dois sistemas de referˆencia distintos:

1. no Sistema Lagrangeano de referˆencia, as vari´aveis do escoamento s˜ao representadas como fun¸c˜oes do tempo, e da especifica¸c˜ao de elementos materiais do escoamento. A especifica¸c˜ao de elementos materiais do fluido se faz atrav´es da descri¸c˜ao da posi¸c˜ao ~

x do centro de massa do elemento, em um determinado tempo de referˆencia t0.

Assim, ~u = ~u(~x0, t), onde ~x0 = ~x0(~x, t0), ~x = vetor posi¸c˜ao.

O sistema Lagrangeano de referˆencia tem a vantagem de descrever a hist´oria do movimento de part´ıculas individuais do escoamento, mas torna complicada a an´alise do mesmo, principalmente por n˜ao fornecer diretamente os gradientes espaciais de velocidade.

2. no Sistema Euleriano de referˆencia, a velocidade ´e expressa como uma fun¸c˜ao do vetor posi¸c˜ao ~x ( que define pontos no espa¸co ) e do tempo t, i.e., ~u = ~u(~x, t). Neste sistema, descreve-se o escoamento atrav´es da distribui¸c˜ao espacial do vetor velocidade. Este sistema de referˆencia leva a uma an´alise mais simples dos escoa-mentos, sendo largamente utilizado na descri¸c˜ao dos mesmos.

Na an´alise que se segue, ~u(~x, t) ser´a a principal vari´avel dependente, e as outras gran-dezas tais como a press˜ao ou a temperatura ser˜ao tamb´em descritas como fun¸c˜oes de ~x e t.

Em conex˜ao com os m´etodos Lagrangeano e Euleriano de referˆencia, surgem defini¸c˜oes para determinadas linhas que se estendem ao longo de escoamentos, e que possuem im-portantes significados f´ısicos.

Linhas de Corrente (Streamlines)

(18)

S˜ao linhas cujas tangentes s˜ao instantaneamente paralelas a ~u(~x, t). A fam´ılia de linhas de corrente de um escoamento compreende as solu¸c˜oes de

dx1 u1(~x, t) = dx2 u2(~x, t) = dx3 u3(~x, t) , (2.1)

onde u1, u2, u3s˜ao as componentes de ~u nas dire¸c˜oes ortogonais x1, x2, x3 respectivamente.

Um tubo de corrente ´e a superf´ıcie formada instantaneamente por todas as linhas de correntes que passam por uma curva fechada qualquer C.

Trajet´orias (Pathlines)

S˜ao as linhas que representam as trajet´orias das part´ıculas de um escoamento. En-quanto as linhas de corrente podem ser calculadas diretamente a partir da descri¸c˜ao Euleriana de um escoamento, as trajet´orias s´o podem ser diretamente avaliadas atrav´es da descri¸c˜ao Lagrangeana do mesmo. ´E interessante observar que linhas de corrente e tra-jet´oria s˜ao linhas distintas, que coincidem, entretanto, quando o escoamento ´e permanente (n˜ao varia com o tempo).

Linhas de Emiss˜ao (Streaklines)

S˜ao linhas que cont´em as part´ıculas do fluido que passam por um dado ponto do escoamento. Essas linhas tamb´em coincidem com linhas de corrente e trajet´orias em escoamentos permanentes.

2.2

A Derivada Material

Sendo α(~x, t) uma fun¸c˜ao descrita atrav´es de um sistema de referˆencia Euleriano (~x = vetor posi¸c˜ao, invariante em t), a taxa de varia¸c˜ao de α com o tempo t em cada posi¸c˜ao ~x ´

e chamada Derivada Parcial de α com rela¸c˜ao a t. Esta taxa de varia¸c˜ao ´e representada por:

∂α(~x, t)

∂t . (2.2)

Se α(~x, t) ´e uma propriedade de um escoamento, por exemplo, ∂α/∂t representa a taxa com que α varia ao longo do tempo, quando o escoamento ´e observado de um ponto fixo no espa¸co (~x = ~x0).

Com rela¸c˜ao a um segundo sistema de referˆencia Euleriano (~x), que se move com uma velocidade ~U com rela¸c˜ao ao primeiro, a taxa de varia¸c˜ao de α na posi¸c˜ao ~x0 ´e, evidentemente, diferente de ∂α(~x, t)/∂t. Assim, para se exprimir ∂α(~x0, t)/∂t no sistema de referˆencia (~x, t) deve-se tomar o limite

lim δt→0 α[~x + ~U δt + 0(δt2), t + δt] − α(~x + t) δt , (2.3) em lugar de lim δt→0 α(~x, t + δt) − α(~x, t) δt . (2.4)

(19)

13

O limite (2.3) ´e chamado derivada total de α com rela¸c˜ao ao tempo, ´e representado por dα(~x, t)/dt, e pode ser avaliado atrav´es da soma

dα dt(~x, t) = ∂α ∂t(~x 0 , t) = lim δt→0 α(~x + ~U δt, t + δt) − α(~x, t + δt) δt + lim δt→0 α(~x, t + δt) − α(~x, t) δt + limδt→00(δt), (2.5)

ou seja (aplicando-se a regra da cadeia para a diferencia¸c˜ao), dα dt(~x, t) = ∂α ∂xi dxi dt + ∂α ∂t. (2.6) Como ~U = dxi/dt, ent˜ao dα dt(~x, t) = ~U ∇α + ∂α ∂t, (2.7)

ou, em nota¸c˜ao indicial,

dα dt = Ui ∂α ∂xi + ∂α ∂t. (2.8)

Novamente, se α(~x, t) ´e uma propriedade de um escoamento, dα/dt representa a taxa com que α varia ao longo do tempo, quando o escoamento ´e observado de um ponto que se move com velocidade ~U . Observe que dα/dt ´e uma fun¸c˜ao de ~U .

Um caso particular da rela¸c˜ao (2.8) acontece quando se avalia dα/dt para ~U = ~u(~x, t), onde ~u ´e a velocidade local do escoamento. Neste caso dα/dt ´e representado por Dα/Dt, recebendo o nome Derivada Material de α. A express˜ao para a derivada material de α ´e ent˜ao

Dt(~x, t) = ~u∇α + ∂α

∂t. (2.9)

Observe que (2.9) ´e a taxa de varia¸c˜ao de α com rela¸c˜ao a t, quando o escoamento ´

e representado atrav´es de um sistema Lagrangeano de referˆencia, pois ~u = d~x0/dt, onde ~

x0 ´e o vetor de posi¸c˜ao que acompanha as part´ıculas de fluido. Assim, (2.9) descreve a varia¸c˜ao de α com t, vista por um observador que se move com o fluido. A Figura 2.1 ilustra o significado das trˆes simbologias utilizadas para representar as diferentes taxas de varia¸c˜ao de α.

Em (2.9), ∂α/∂t ´e a taxa de varia¸c˜ao local de α. Para se determinar a taxa de varia¸c˜ao de α para um elemento material de fluido ´e preciso somar a ∂α/∂t, a taxa de varia¸c˜ao convectiva de α, ~u∇α.

Derivadas materiais de grandezas vetoriais tem express˜oes similares a (2.9). A ace-lera¸c˜ao ~a de uma part´ıcula de fluido, por exemplo, ´e dada por:

~a(~x, t) = D~u

Dt(~x, t) = (~u .∇)~u + ∂~u

∂t, (2.10)

(20)

Figura 2.1: Ilustra¸c˜ao do significado de ∂/∂t, d/dt e D/Dt ai = Dui Dt = uj ∂ui ∂xj +∂ui ∂t . (2.11)

Uma outra aplica¸c˜ao do conceito de derivada material surge quando se quer exprimir a condi¸c˜ao de que a grandeza α ´e constante ao longo de uma superf´ıcie cuja geometria ´e descrita por uma equa¸c˜ao do tipo F (~x, t) = 0. Neste caso, DF/Dt = 0, nos pontos onde F (~x, t) = 0.

2.3

Deforma¸

ao e Rota¸

ao Locais de um escoamento

Os esfor¸cos exercidos entre por¸c˜oes adjacentes de um fluido dependem da deforma¸c˜ao local imposta pelo escoamento. Assim, preliminarmente ao estudo da dinˆamica dos escoamen-tos, uma an´alise cinem´atica do movimento relativo local se faz necess´aria. Considerando ~

u(~x) um campo de velocidade que descreve um escoamento, a velocidade nas vizinhan¸cas do ponto ~x, (~x + δ~x), ´e ~u + δ~u, onde

δui = δxj

∂ui

∂xj

+ 0(δx2). (2.12) O tensor ∂ui/∂xj pode ser decomposto em duas componentes, uma sim´etrica e uma

anti-sim´etrica, i.e,

∂ui ∂xj = eij + ξij, (2.13) onde eij = 1 2  ∂ui ∂xj + ∂uj ∂xi  , ξij = 1 2  ∂ui ∂xj − ∂uj ∂xi  , (2.14)

(21)

15

que possuem significados f´ısicos importantes.

O significado f´ısico de eij torna-se evidente ao se analisar a deforma¸c˜ao local de um

elemento de um fluido:

Sendo δl a distˆancia entre dois pontos materiais do fluido,

(δl)2 = δxi δxi. (2.15) Assim, D(δl)2 Dt = 2δxi D(δxi) Dt = 2δxi δui, (2.16) ou ainda, D(δl)2 Dt = 2δxi δxj ∂ui ∂xj = δxi δxj ∂ui ∂xj + ∂uj ∂xi ! , (2.17)

pois a soma parcial dos termos de δxi δxj ∂ui/∂xj que envolvem a componente

anti-sim´etrica ξij ´e nula.

Portanto, a deforma¸c˜ao de um elemento fluido depende apenas de eij, uma vez que

a varia¸c˜ao da distˆancia entre dois pontos quaisquer do elemento ´e independente de ξij,

sendo fun¸c˜ao apenas de eij.

A natureza da contribui¸c˜ao de δxj eij para δui torna-se ainda mais clara ao se

repre-sentar o tensor eij no sistema de coordenadas que coincide com os eixos principais de eij.

As componentes e∗ij desta nova representa¸c˜ao s˜ao: e∗ij = ∂(δxk)

∂(δx∗i)

∂(δxi)

∂(δx∗j)ekl, (2.18) que s˜ao nulas para i 6= j (tensores sim´etricos tˆem sempre trˆes dire¸c˜oes principais distintas), e satisfazem a rela¸c˜ao invariante

eii = e∗ii =

∂ui

∂xi

. (2.19)

Ent˜ao, sendo a1, a2 e a3 as componentes da diagonal de e∗ij, a contribui¸c˜ao de δxj

eij para a velocidade relativa tem trˆes componentes (a1δx∗1, a2δx∗2, a3δx∗3) com rela¸c˜ao aos

eixos principais de eij. Assim, a distˆancia entre dois pontos quaisquer ao longo da dire¸c˜ao

de δx∗1 varia `a taxa a1, e estes pontos permanecem sobre esta dire¸c˜ao. Similarmente, a

distˆancia entre pontos ao longo de δx∗2 varia `a taxa a2, e ao longo de δx∗3, `a taxa a3. Linhas

materiais n˜ao paralelas aos eixos principais s˜ao “esticadas” e mudam de dire¸c˜ao, mas compativelmente com o “esticamento puro” para as linhas paralelas aos eixos principais. Portanto, δxjeij representa a contribui¸c˜ao `a velocidade relativa δui em virtude da

deforma¸c˜ao local do fluido.

O tensor eij ´e, portanto, denominado tensor taxa de deforma¸c˜ao, e a rela¸c˜ao funcional

entre ele e o tensor das tens˜oes (Se¸c˜ao 1.5) ´e de fundamental importˆancia no estabeleci-mento das equa¸c˜oes que governam os escoamentos de fluidos.

´

(22)

δu(s)i = δxj

∂ui

∂xj

, (2.20)

transforma um elemento de fluido, inicialmente esf´erico, em um elips´oide cujos diˆametros principais est˜ao orientados segundo as dire¸c˜oes principais de eij e que mant´em essas

ori-enta¸c˜oes, cujas taxas de varia¸c˜ao s˜ao a1, a2 e a3, respectivamente.

Como ∂ui/∂xi = 0 para um fluido incompress´ıvel (como veremos mais adiante) o

elips´oide tem volume constante e eij=0. Assim, para um fluido compress´ıvel, a deforma¸c˜ao

pura pode ser vista como a superposi¸c˜ao de uma expans˜ao isotr´opica na qual a taxa de deforma¸c˜ao de qualquer linha material ´e 1/3 eii, e um cisalhamento puro (sem varia¸c˜ao

de volume) onde a deforma¸c˜ao ´e descrita por (ekl− 1/3eiiδkl).

Quanto ao significado f´ısico de ξij, pode-se fazer a seguinte an´alise. Por ser um tensor anti-sim´etrico, ξij pode ser representado na forma

ξij = − 1 2ijk hk, (2.21) onde hk = ijk  ∂uj ∂xi − ∂ui ∂xj  . (2.22)

A contribui¸c˜ao de ξij para a velocidade relativa δui, δxjξij, pode ser representada na

forma

δuai = δxj ξij = −

1

2ijkδxj hk. (2.23) Mas, −1/2ijkδxjhk ´e a i-´esima componente do vetor 1/2~h × δ~x. Assim, δ~ua ´e a

velocidade relativa (a ~x) na posi¸c˜ao δ~x devida a uma rota¸c˜ao de corpo r´ıgido em torno do ponto ~x, com velocidade angular 1/2~h.

De (2.22) tem-se a forma expl´ıcita para as componentes de ~h,

h1 = ∂u3 ∂x2 − ∂u2 ∂x3 , h2 = ∂u1 ∂x3 − ∂u3 ∂x1 , h3 = ∂u2 ∂x1 − ∂u1 ∂x2 . (2.24)

Examinando-se (2.24) conclui-se que

~h = ∇ × ~u. (2.25) O vetor ~h ´e o rotacional do campo de velocidades. Ele ´e denominado vorticidade, e seu m´odulo equivale ao dobro da velocidade angular local do escoamento.

Portanto, o campo de velocidades nas vizinhan¸cas do ponto ~x pode ser visto como a superposi¸c˜ao de trˆes efeitos (com erros da ordem de δ~x2):

• uma transla¸c˜ao uniforme com velocidade ~u(x);

• uma deforma¸c˜ao simples, caracterizada pelo tensor taxa de deforma¸c˜ao, eij, que

(23)

17

• uma rota¸c˜ao de corpo r´ıgido com velocidade angular 1/2h.

Assim, o vetor velocidade na posi¸c˜ao ~x + ~r pode ser representado aproximadamente (erros de ordem 0(δx2)) por:

ui(~x + ~r) = ui(~x) + ∂Ψ ∂ri + 1/2ijkhjrk, (2.26) onde Ψ = 1/2rjrkejk, e eij e hj s˜ao avaliados em ~x. ´

E interessante observar que rjeij pode ser escrito como ∂Ψ/∂ri por ser eij um tensor

sim´etrico. Em forma vetorial (2.26) fica

~

u(~x + ~r) = ~u(~x) + ∇rΨ(~x) + 1/2~h(~x) × ~r. (2.27)

onde ~h = ∇r× ~u, e ∇r envolve derivadas em ~r. Desta maneira, o campo de velocidades

relativas em torno de ~x pode ser decomposto em uma soma de dois campos: um irrota-cional (rotairrota-cional nulo), ∇rΨ, pois ∇r× (∇rΨ) = 0, e um solenoidal (divergˆencia nula),

1/2~h(~x) × ~r, pois ∇r(~h(~x) × ~r) = (∇r× ~h(~x))~r = 0.

Na verdade, a decomposi¸c˜ao de um campo vetorial cont´ınuo, cuja magnitude dos vetores e de suas primeiras derivadas tendem a zero no infinito, na soma de um campo irrotacional e um campo solenoidal, ´e um teorema fundamental da f´ısica matem´atica, apresentado por Stokes em 1849. De acordo com esse teorema, um campo de velocidades ~nu satisfazendo as condi¸c˜oes acima pode ser escrito como

~

u(~x) = ~u(i)(~x) + ~u(s)(~x), (2.28) onde

∇ × ~u(i) = 0 , ∇.~u(s) = 0. (2.29) Campos ~u(i) e ~u(s) satisfazendo a (2.30) podem ser representados como:

~

u(i) = ∇φ , ~u(s) = ∇ × ~A, (2.30) onde φ ´e um campo escalar, denominado Potencial de Velocidade, e ~A ´e um campo vetorial (solenoidal) denominado, geralmente, “Potencial Vetorial”. Como ~u = ~u(i)+ ~u(s) ,ent˜ao

∇~u = ∇2φ ≡ ∆ (taxa de expans˜ao local) (2.31) e

∇ × ~u = ∇ × (∇ × ~A) = −∇2A = ~h~ (2.32) Desta forma, as distribui¸c˜oes da taxa de expans˜ao local, ∇Le da vorticidade ~h, cont´em

bastante informa¸c˜ao a respeito de ~u.

A decomposi¸c˜ao (2.28) pode ser extendida a campos de velocidade quaisquer, quando ~

u ´e decomposto na forma

(24)

onde ~v(~x) satisfaz as condi¸c˜oes n˜ao-homogˆeneas no infinito. Pode ser demonstrado que ~v(x) ´e irrotacional e solenoidal, i.e.,

∇.~v = 0, , ∇ × ~v = 0 (2.34) (ver Batchelor, Se¸c˜ao 2.4). Assim, as distribui¸c˜oes de ∆ e h, e as condi¸c˜oes de contorno para ~u est˜ao relacionadas biunivocamente ao campo ~u, sendo ent˜ao suficientes para se especificar um escoamento.

(25)

Cap´ıtulo 3

Os Princ´ıpios de Conserva¸

ao e as

Equa¸

oes do Movimento

3.1

Introdu¸

ao

As equa¸c˜oes do movimento para os meios cont´ınuos s˜ao deduzidas a partir dos princ´ıpios de conserva¸c˜ao aplicados a “volumes materiais”, i.e., volumes de controle definidos em sis-temas Lagrangeanos de referˆencia. Tais volumes envolvem “por¸c˜oes”definidas de mat´eria, comportando-se como corpos deform´aveis.

Os princ´ıpios de conserva¸c˜ao, quando aplicados aos volumes materiais, geram equa¸c˜oes onde aparecem derivadas Lagrangeanas de quantidades integrais. Contudo, as equa¸c˜oes do movimento para meios cont´ınuos s˜ao preferencialmente descritas atrav´es de sistemas Eulerianos de referˆencia, principalmente pela simplicidade e maior aplicabilidade a pro-blemas de engenharia.

Assim, aplica-se os princ´ıpios de conserva¸c˜ao a um volume mat´eria V (t) (um ”corpo”) para se obter as equa¸c˜oes do movimento em derivadas Lagrangeanas, e ent˜ao se utiliza o “Teorema de Transporte de Reynolds” para se reescrevˆe-las sob a forma de equa¸c˜oes integrais cujos integrandos envolvem apenas derivadas Eulerianas.

3.2

O Teorema do Transporte de Reynolds

Considerando-se α uma propriedade extensiva espec´ıfica (por unidade de volume) do cont´ınuo, especificada atrav´es de um sistema Lagrangeano de referˆencia, define-se a taxa de varia¸c˜ao da integral de α sobre o volume material V (t), definido pela superf´ıcie S(t) (um “corpo deform´avel que se move”), atrav´es do limite:

d dt Z V (t) α(t)dv = lim δt→0 1 δt Z V (t+δt) α(t + δt)dv − Z V (t) α(t)dv (3.1) ´

E interessante observar que como V (t) ´e um volume material, ent˜ao a superf´ıcie S(t + δt) ´e formada pelos mesmos “pontos materiais” que formam a super´ıcie S(t). Assim, sendo S(t) definida pelos “pontos” cujos vetores posi¸c˜ao s˜ao ~x(s)(t), ent˜ao S(t + δt),

quando δt −→ 0, ´e definida pelos vetores posi¸c˜ao

(26)

~

xS(t + δt) = ~xS(t) + δt

d~xS(t)

dt + 0(δt)

2, (3.2)

(aproxima¸c˜ao linear), onde

d~xS dt = ∂~xS ∂t + (~u.∇)~xS, (3.3) i.e., ~xS(t + δt) = ~xS(t) + δt D~xs Dt + 0(δt) 2. (3.4)

Por esse motivo se identifica a derivada total da equa¸c˜ao (3.1) atrav´es da simbologia D/Dt (derivada material) em lugar de d/dt. A express˜ao (3.1) pode ser reescrita na forma: D Dt Z V (t) α(t)dv = lim δt→0 1 δt Z V (t+δt)−V (t) α(t + δt) dv+ Z V (t) lim δt→0 α(t + δt) − α(t) δt dv, (3.5)

(atrav´es de puro algebrismo), ou seja, D Dt Z V (t) α(t) dv = lim δt→0 1 δt Z V (t+δt)−V (t) α(t + δt) dv + Z V (t) ∂α ∂t dv (3.6) O limite em (3.6) pode ser avaliado atrav´es de considera¸c˜oes geom´etricas: a Figura 3.1 mostra o volume de controle V (t) nos instantes t e t + δt. A integral de volume avaliada em V (t + δt) − V (t) (representado pela ´area hachurada) pode ser calculada atrav´es de uma integral de superf´ıcie em S(t), pois

V (t + δt) − V (t) = δtdV (t) dt + 0(δt 2 ), (3.7) e dV (t) dt = Z S(t) (~u.~n) ds, (3.8) Assim, V (t + δt) − V (t) = Z S(t) (~u.~n)δt ds. (3.9) Como Z V (t+δt)−V (t) dv = V (t + δt) − V (t) = Z S(t) (~u.~n)δt ds, (3.10) ent˜ao

(27)

21 dV dS = (~u(t).~n(t))δt; (3.11) e Z V (t+δt)−V (t) α(t + δt) dv = Z s(t) α(t + δt)[~u.~n]δt ds. (3.12) Substituindo (3.12) em (3.6), tem-se: lim δt→0 1 δt Z V (t+δt)−V (t) α(t + δt) dv = Z S(t) α(t)~u.~n ds, (3.13)

e (3.6) pode ser avaliada atrav´es de uma soma de duas integrais avaliadas sobre regi˜oes fixas (o dom´ınio V e seu contorno S no instante t), i.e.,

D Dt Z V (t) α dv = Z S α~u.~n ds + Z V ∂α ∂t dv. (3.14) O Teorema da Divergˆencia de Gauss pode ser aplicado `a integral de superf´ıcie de (3.14), convertendo-a em uma integral de volume. Assim, (3.14) pode ser escrita na forma:

D Dt Z V (t) αdV = Z V [∂α ∂t + ∇.(α~u)] dv, (3.15)

Figura 3.1: Representa¸c˜ao do volume V nos instantes t e t + δt. ou, em rota¸c˜ao tensorial,

D Dt Z V (t) α dv = Z V [∂α ∂t + ∂ ∂xi (αui)]dv. (3.16)

As express˜oes (3.14), (3.15) e (3.16) s˜ao formas alternativas do Teorema de Transporte de Reynolds.

(28)

3.3

Princ´ıpio da Conserva¸

ao da Massa

Considerando a massa como uma propriedade conservada pela mat´eria (n˜ao ´e criada nem destru´ıda), i.e., uma propriedade conservada por um volume material V (t) (definido por S(t)), a express˜ao matem´atica para essa conserva¸c˜ao pode ser estabelecida atrav´es da massa espec´ıfica ρ, atrav´es da seguinte express˜ao:

D Dt

Z

V (t)

ρ dv = 0. (3.17)

Esta express˜ao pode ser convertida atrav´es do Teorema de Transporte de Reynolds a uma express˜ao envolvendo somente integrais e derivadas Eulerianas:

Z V ∂ρ ∂t dv + Z S ρ~u.~n ds = 0. (3.18) A express˜ao acima indica que o fluxo de massa atrav´es da superf´ıcie S, agora definida espacialmente (invariante com o tempo), ´e igual `a taxa de varia¸c˜ao da massa existente dentro do volume V , agora tamb´em definido espacialmente (invariante com o tempo).

A express˜ao (3.18) pode ser escrita como uma ´unica integral de volume, ao se aplicar o Teorema da Divergˆencia. Assim,

Z V [∂ρ ∂t + ∂ ∂xi (ρui)]dV = 0 (3.19)

Como o volume V em (3.19) ´e arbitr´ario, ent˜ao a equa¸c˜ao diferencial que exprime a conserva¸c˜ao da massa ´e dada por:

∂ρ ∂t + ∂ ∂xi (ρui) = 0, (3.20) ou seja, ∂ρ ∂t + ∇.(ρ~u) = 0, (3.21) ou ainda, Dρ Dt + ρ div~u = 0. (3.22) As equa¸c˜oes diferenciais (3.20), (3.21) e (3.21) expressam o princ´ıpio da conserva¸c˜ao da massa, sendo formas alternativas da Equa¸c˜ao da Continuidade.

3.4

O Princ´ıpio da Conserva¸

ao da Quantidade de

Movimento Linear

Movimento Linear

A quantidade de movimento linear (ou momento linear) de um volume material V (t) (definido por S(t)), pode ser avaliada pela integral:

(29)

23

Z

V (t)

ρ~u dv (= mov. linear corpo, V(t)). (3.23)

Sendo ~P a resultante das for¸cas de superf´ıcie por unidade de ´area, e ~f a resultante das for¸cas de corpo por unidade de massa que atuam sobre o “corpo” V (t), pode-se escrever a segunda Lei de Newton para o volume material V (t) na seguinte forma:

d Dt Z V (t) ρ~u dv = Z S(t) ~ p ds + Z V (t) ρ ~f dv. (3.24)

Aplicando-se o Teorema do Transporte de Reynolds a (3.24) (3 equa¸c˜oes escalares), esta equa¸c˜ao vetorial pode ser escrita na forma:

Z V ∂ ∂t(ρ~u) dv + Z S (ρ~u)(~u~n) ds = Z S ~ P ds + Z V ρ ~f dv, (3.25) ou, em nota¸c˜ao indicial,

Z V ∂ ∂t(ρuj) dv + Z S (ρuj)uknk ds = Z S Pj ds + Z V ρfj dv. (3.26)

Representando-se a for¸ca de superf´ıcie por unidade de ´area, ~P , que atua no elemento de ´area ds, em fun¸c˜ao das nove componentes do Tensor de Tens˜oes, σij, pode-se escrever

(3.26) na forma: Z V ∂ ∂t(ρuj) dv + Z S (ρuj)uknk ds = Z S σijni ds + Z V ρfj dv. (3.27)

Aplicando-se o Teorema da Divergˆencia `a express˜ao acima, tem-se: Z V [∂ ∂t(ρuj) + ∂ ∂xk (ρujuk)] dv = Z V ∂σij ∂xi dv + Z V ρfjdV. (3.28)

Como V ´e arbitr´ario, ent˜ao: ∂ ∂t(ρuj) + ∂ ∂xk (ρujuk) = ∂σij ∂xi + ρfj, (3.29) ou seja, ρ∂uj ∂t + uj ∂ρ ∂t + uj ∂ ∂xk (ρuk) + ρuk ∂uj ∂xk = ∂σij ∂xi + ρfj. (3.30)

Observando-se que, atrav´es da equa¸c˜ao da continuidade,

uj ∂ρ ∂t + uj ∂ ∂xk (ρuk) = 0. (3.31)

Ent˜ao a equa¸c˜ao diferencial para a conserva¸c˜ao da quantidade de movimento linear ´e dada por: ρ∂uj ∂t + ρuk ∂uj ∂xk = ∂σij ∂xi + ρfj, (3.32)

(30)

ou seja, ρ∂~u ∂t + ρ(~u∇)~u = div σ + ρ ~f , (3.33) ou ainda, ρD~u Dt = div σ + ρ ~f . (3.34)

3.5

O Princ´ıpio da Conserva¸

ao da Quantidade de

Movimento Angular

A quantidade de movimento angular de um volume material V (t), definida pela superf´ıcie fechada S(t), com rela¸c˜ao a um ponto gen´erico do espa¸co, ~x0, pode ser avaliada atrav´es

da integral R

V (t)~r × (ρ~u) dV (= momento angular do “corpo” V (t) em relacao ao ponto

~

x0), onde

~

r = ~x − ~x0. (3.35)

Sendo ~P a resultante das for¸cas de superf´ıcie por unidade de ´area, e f a resultante das for¸cas de corpo por unidade de massa, pode-se representar o princ´ıpio da conserva¸c˜ao do momento angular para o volume material V (t) na seguinte forma:

D Dt Z V (t) ~ r × (ρ~u) dv = Z S(t) ~r × ~P ds + Z V (t) ~ r × ρ ~f dr. (3.36)

Aplicando-se o Teorema do Transporte de Reynolds a (3.36) (3 equa¸c˜oes escalares), tem-se: Z V ∂ ∂t[~r × (ρ~u)]dv + Z S [~r × (ρ~u)]~u.~n ds = Z S ~ r × ~P ds + Z V ~ r × ρ ~f dv, (3.37)

que em nota¸c˜ao indicial, tem a forma:

Z V ∂ ∂t(ρijkriuj) dv + Z S (ρijkriuj)ulnlds = Z S ijkriPj ds + Z V ρijkrifj dv. (3.38)

Aplicando-se o Teorema da Divergˆencia a (3.38), e representando as for¸cas de superf´ıcie por unidade de ´area atrav´es do Tensor das Tens˜oes (ver 1.43), tem-se:

Z V [∂ ∂t(ρeijkriuj) + ∂ ∂xl (ρeijkriujul)]dv = Z V [eijk ∂ ∂xl (riσej+ ρeijkrifi]dv. (3.39)

Como o volume v ´e arbitr´ario, e como

eijk ∂ ∂xl (ρriujul) = eijkri ∂ ∂xl

(31)

25

(observe que ∂ri/∂xl = 0 para i 6= l e = 1 para i = l), ent˜ao

eijk ∂ ∂xl (ρriujul) = eijkri ∂ ∂xl (ρujul), (3.41) pois

eijkρujui = ρeijkujui = ρ(~u × ~u) = 0. (3.42)

Ent˜ao (3.39) pode ser reduzida a:

eijkri ∂ ∂t(ρuj) + eijkri ∂ ∂xl (ρujul) = eijkri ∂σlj ∂xl + eijkσij + eijkriρfi. (3.43)

Tomando-se agora o ponto arbitr´ario de referˆencia para os torques dentro do volume V , isto ´e, ~x0 ∈ V , e analisando (3.43) quando V → 0(~r → 0), conclui-se que eijkσij = 0,

ou seja, σ ´e sim´etrico. i.e., σij = σij.

3.6

O Princ´ıpio da Conserva¸

ao da Energia

O princ´ıpio da conserva¸c˜ao da energia pode ser expresso matematicamente atrav´es da primeira Lei da Termodinˆamica. A primeira Lei da Termodinˆamica estabelece que a varia¸c˜ao da energia ”total”de um sistema durante um processo ´e igual `a soma do trabalho total realizado sobre o mesmo e o calor total a ele transferido.

Considerando o volume material V (t) de um fluido um sistema termodinˆamico que se transforma assumindo estados termodinˆamicos “n˜ao muito distantes dos estados de equil´ıbrio”, e cuja “energia total”´e a soma de suas energias cin´etica (RV (t)1/2ρ~u.~u dv) e interna (RV (t)ρe dv), o princ´ıpio da conserva¸c˜ao da energia pode ser ent˜ao “aproxi-mado”(sup˜oe-se processos quase-est´aticos) pela rela¸c˜ao:

D Dt Z V (t) (ρe + 1/2ρ~u.~u) dv = Z S(t) ~ u. ~P ds + Z V (t) ~ u.ρ ~f dv − Z S(t) ~q.~n ds. (3.44)

onde ~q ´e o fluxo de calor por unidade de ´area da superf´ıcie, e e a energia interna espec´ıfica (propriedade termodinˆamica para sistemas em equil´ıbrio),R

S(t)~u. ~P ds, ´e o trabalho

reali-zado pelas for¸cas de superf´ıcie eRV (t)~u.ρ ~f dv ´e o trabalho realizado pelas for¸cas de corpo, ambas por unidade de tempo.

Torna-se interessante observar que a energia interna (por unidade de massa) e ´e uma grandeza definida na Termodinˆamica Cl´assica, e se aplica, em princ´ıpio, somente a siste-mas em equil´brio termodinˆamico. No entanto, os processos termodinˆamicos pelos quais passam elementos materiais de fluido em escoamentos gen´ericos n˜ao s˜ao processos quasi-est´aticos, envolvendo estados de inequil´ıbrio. Assim, a pr´opria defini¸c˜ao das grandezas termodinˆamicas que se aplicam aos escoamentos de fluidos deve ser analisada cuidadosa-mente.

A massa espec´ıfica ρ pode ser claramente definida, mesmo para sistemas em estado de inequil´ıbrio termodinˆamico, uma vez que a massa e o volume de um sistema s˜ao grandezas mensur´aveis mesmo nestes casos.

(32)

A energia interna, definida atrav´es da primeira lei da termodinˆamica para processos quasi-est´aticos, ´e um conceito que pode ser extendido a estados de inequil´ıbrio termo-dinˆamico, ao se definir e, nestes casos, como sendo a energia interna do ”sistema”(elemento material de fluido) ap´os o mesmo ser ”isolado”do fluido que o cerca, e atingir o equil´ıbrio termodinˆamico sem realizar trabalho ou transferir calor atrav´es de sua superf´ıcie.

Assim, pelo menos duas propiedades termodinˆamicas, ρ e e, podem ser associadas a processos irrevers´ıveis, e (3.44) ´e uma rela¸c˜ao satisfeita pelos escoamentos de fluidos. A extens˜ao da defini¸c˜ao de outras propriedades termodinˆamicas, tais como a temperatura, para estados de inequil´ıbrio ser˜ao discutidas posteriormente.

Aplicando-se o Teorema do Transporte de Reynolds a (3.44) tem-se:

Z V ∂ ∂t(ρe + 1/2ρuj.uj) dv + Z S (ρe + 1/2ujuj)ulnlds = Z S ujPjds + Z V ujρfjds − Z S qjnjdv. (3.45) Atrav´es do Teorema da Divergˆencia, (3.45) toma a forma (onde Pj ´e representado

atrav´es de σij): Z V ∂ ∂t(ρe + 1/2ρujuj) + ∂ ∂xk [(ρe + 1/2ρujuj)uk]d v = Z V [ ∂ ∂xi (ujσij) + ujρfj − ρfj ρxj ]d v. (3.46) Como o volume V ´e arbitr´ario, ent˜ao,

∂ ∂t(ρe + 1/2ρujuj) + ∂ ∂xk [(ρe + 1/2ρujuj)uk] = ∂ ∂xi (ujσij) + ujρfj − ∂qj ∂xj . (3.47)

Considerando a equa¸c˜ao da continuidade, o membro esquerdo de (3.47) pode ser escrito como: ∂ ∂t(ρe+1/2ρujuj)+ ∂ ∂xk [(ρe+1/2ρujuj)uk] = ρ ∂e ∂t+ρuk ∂e ∂xk +ρuj ∂uj ∂t +ρujuk ∂uj ∂xk . (3.48)

Assim (3.47) pode ser representado na forma

ρ∂e ∂t + ρuk ∂e ∂xk + ρuj ∂uj ∂t ρujuk ∂uj ∂xk = uj ∂σij ∂xi + σij ∂uj ∂xi + ujρfj − ∂qj ∂xj . (3.49)

Considerando ainda a equa¸c˜ao da conserva¸c˜ao da quantidade de movimento linear, a express˜ao acima se reduz a:

ρ∂e ∂t + ρuk ∂e ∂xk = σij ∂uj ∂xi − ∂qj ∂xj , (3.50) ou seja, ρ∂e ∂t + ρ~u.∇e = σ.(∇ ⊗ ~U ) − ∇.~q, (3.51)

(33)

27

ou ainda,

ρDe

Dt = σ(∇ ⊗ ~u) − div~q (3.52) As express˜oes (3.50), (3.51) e (3.52) s˜ao formas alternativas da equa¸c˜ao diferencial que exprime o princ´ıpio da conserva¸c˜ao da energia.

3.7

Equa¸

oes

e

Vari´

aveis

Obtidas

Atrav´

es

dos

Princ´ıpios de Conserva¸

ao

As equa¸c˜oes obtidas atrav´es da aplica¸c˜ao dos princ´ıpios de conserva¸c˜ao da massa, quanti-dade de movimento (linear e angular) e energia perfazem um sistema de oito (8) equa¸c˜oes escalares: 1 para a conserva¸c˜ao da massa, 3 para a conserva¸c˜ao da quantidade de movi-mento linear (1 para cada componente), 3 para a conserva¸c˜ao da quantidade de movimento angular (1 para cada componente) e 1 para a conserva¸c˜ao da energia. Entretanto, essas equa¸c˜oes apresentam 17 vari´aveis: φ, e, σ, ~q e ~u.

Para se obter um sistema completo, devem ser estabelecidas mais n equa¸c˜oes que introduzam m vari´aveis adicionais, de maneira que n − m = 9. Tais equa¸c˜oes adicionais s˜ao obtidas atrav´es das Equa¸c˜oes Constitutivas, que estabelecem rela¸c˜oes de dependˆencia entre o tensor de tens˜oes σ e o fluxo de calor ~q, e as outras vari´aveis do sistema.

O tensor de tens˜oes σ ´e escrito como uma fun¸c˜ao do campo de velocidades (atrav´es do tensor taxa de deforma¸c˜ao), introduzido mais seis equa¸c˜oes ao sistema. A press˜ao hidrost´atica p ´e introduzida como uma fun¸c˜ao do tra¸co de σ (ver 1.45), introduzindo mais uma equa¸c˜ao e uma vari´avel. O fluxo de calor ~q ´e relacionado ao campo de temperaturas T , introduzindo mais trˆes equa¸c˜oes e uma vari´avel ao sistema. Uma Equa¸c˜ao de Estado envolvendo ρ, p e T ´e utilizada (mais uma equa¸c˜ao), completando o sistema de 19 equa¸c˜oes e 19 vari´aveis (e, ρ, p, T , ~u, ~q e σ).

As Rela¸c˜oes Constitutivas envolvendo σ e ~q envolvem parˆametros que s˜ao propriedades do fluido (a viscosidade µ, e a condutividade t´ermica k). Para a solu¸c˜ao do sistema de equa¸c˜oes descritos acima, µ e k devem ser fun¸c˜oes conhecidas das vari´aveis do sistema.

3.8

As Equa¸

oes Constitutivas

3.8.1

As rela¸

oes para o tensor das tens˜

oes

A express˜ao (1.45) mostra que, em um fluido em repouso, n˜ao atuam esfor¸cos cisalhantes, e que a tens˜ao normal ´e independente da dire¸c˜ao da superf´ıcie sobre a qual ela atua. Por esse motivo, pode-se representar o campo de tens˜oes para um fluido em repouso atrav´es de um campo escalar denominado press˜ao fluido-est´atica (ou hidrost´atica) como em (1.45).

Para um fluido movimento, entretanto, n˜ao se pode pressupor a isotropia do tensor de tens˜oes. A pr´opria no¸c˜ao de uma press˜ao atuando isotropicamente sobre um elemento de fluido ´e perdida neste caso. Entretanto, pode-se caracterizar o esfor¸co de ”compress˜ao”ou ”expans˜ao”sobre um elemento de fluido atrav´es do escalar 1/3σii (ver Cap´ıtulo 1). σii´e o

(34)

1/3 ´e utilizada pois 1/3σii representa a m´edia das componentes normais da tens˜ao local, i.e., 1 4πσij Z ninjdΩ(~n) = 1 3σijδij = 1 3σii, (3.53) onde δΩ(~n) ´e um elemento de ˆangulo s´olido cuja dire¸c˜ao ´e determinada por ~n.

Assim, o escalar 1/3σii, que se reduz `a press˜ao est´atica (hidrost´atica) definida em

(1.45), tem um significado f´ısico apropriado `a generaliza¸c˜ao do conceito de press˜ao est´atica a fluidos em movimento, onde

p = −1

3σii. (3.54)

´

E interessante observar que p, definido em (3.54), ´e uma grandeza mecˆanica, que n˜ao tem, necessariamente, conex˜ao direta com a press˜ao termodinˆamica definida na Termo-dinˆamica Cl´assica para sistemas em equil´ıbrio termodinˆamico. Elementos de fluido em movimento relativo n˜ao est˜ao em equil´ıbrio termodinˆamico. Assume-se, entretanto, a equivalˆencia entre p e a press˜ao termodinˆamica como uma aproxima¸c˜ao satisfat´oria para um fluido em movimento por raz˜oes que ser˜ao discutidas em 3.8.3.

Desta forma, o tensor das tens˜oes pode ser decomposto na soma de uma componente isotr´opica e uma n˜ao-isotr´oprica

σij = −pδij + dij, (3.55)

onde dij ´e denominado Tensor das Tens˜oes Desviat´orias, que existe unicamente em

de-corrˆencia do movimento do fluido.

O tensor das tens˜oes desviat´orias pode ser relacionado ao tensor taxa de deforma¸c˜ao, uma vez que este ´ultimo tensor ´e o parˆametro do escoamento de maior relevˆancia para as tens˜oes desviat´orias, uma vez que, localmente, as tens˜oes podem ser tomadas como fun¸c˜oes ´unicas dos gradientes de velocidades em um meio cont´ınuo (ver Se¸c˜ao 1.3).

A rela¸c˜ao entre dij e ∂ui/∂xj depende das caracter´ısticas de cada fluido. Para uma

grande variedade de fluidos pode-se admitir que dij ´e uma fun¸c˜ao linear das v´arias

com-ponentes do gradiente de velocidades. Isso pode ser expresso na seguinte forma:

dij = Aijkl

∂uk

∂xl

, (3.56)

onde o tensor de quarta ordem Aijkldepende do estado local do fluido, mas ´e independente

da distribui¸c˜ao local de velocidades, e ´e, necessariamente, sim´etrico em i e j pois dij ´e

sim´etrico.

Decompondo-se ∂uk/∂xl em suas partes sim´etrica e anti-sim´etrica, tem-se:

dij = Aijklekl−

1

2Aijkleklmhm. (3.57) Para fluidos cuja estrutura molecular ´e estatisticamente isotr´opica, o tensor das tens˜oes desviat´orias deve ser isotr´opico para um dado gradiente de velocidades. Desta forma, Aijkl

(35)

29

Aijkl = µδikδjl+ µ0δilδjk + µ00δijδkl, (3.58)

onde µ, µ0 e µ00 s˜ao coeficientes escalares, e, como Aijkl ´e sim´etrico em i e j,

µ0 = µ. (3.59)

Assim,

Aijkl = 2µδikδjl+ µ00δijδkl, (3.60)

e, consequentemente, o tensor Aijkl ´e sim´etrico tamb´em em k e l.

A simetria de Aijkl em k e l implica em

Aijklklmhm = 0, (3.61)

e (3.57) se reduz a

dij = Aijklekl, (3.62)

uma vez que klmhm ´e um tensor anti-sim´etrico.

Aplicando-se (3.60) a (3.62) tem-se:

dij = 2µeij + u∆δij, (3.63)

onde, ∆ = ekk ´e a taxa de expans˜ao local definida em (2.31).

Como o tra¸co de dij ´e nulo, ent˜ao

dii= (2µ + 3µ00)∆ = 0 (3.64)

para qualquer valor de ∆, implicando em

2µ + 3µ00= 0. (3.65) Assim, a express˜ao para dij pode ser reduzida a

dij = 2µ(eij − 1/3∆δij). (3.66)

Torna-se interessante observar que o termo entre parˆenteses em (3.66) ´e a parte n˜ ao-isotr´opica do tensor taxa de deforma¸c˜ao, discutido na se¸c˜ao 2.3.

Aplicando-se (3.66) ao escoamento simplesmente cisalhado onde ∂u1/∂x2 ´e a ´unica

derivada n˜ao nula da velocidade, tem-se que todas as componentes de dij s˜ao nulas, com

exce¸c˜ao de

d12= d21 = µ

∂u1

∂x2

. (3.67)

Comparando (3.67) com (1.2), tendo-se em vista (3.56), conclui-se que a constante µ introduzida em (3.58) ´e a viscosidade, introduzida na Se¸c˜ao (1.3).

Observe-se que, para o caso de fluidos n˜ao-newtonianos, o tensor de coeficientes Aijkl

(36)

molecular estatisticamente anisotr´opicas (´oleos, por exemplo), Aijkl, al´em de ser uma

fun¸c˜ao da taxa de cisalhamento, ´e tamb´em um tensor anisotr´opico. Assim, nestes casos, a viscosidade local n˜ao pode ser caracterizada por um escalar (µ), necessitando de um tensor para a defini¸c˜ao precisa da “viscosidade’ local”.

Portanto, para fluidos newtonianos,

σij = −pδij + 2µ(eij − 1/3∆δij), (3.68) onde eij = 1 2 ∂ui ∂xj +∂uj ∂xi ! , ∆ = eii. (3.69)

A equa¸c˜ao do momento (equa¸c˜ao 3.30) para fluidos newtonianos (equa¸c˜ao 3.68) toma ent˜ao a forma ρDui Dt = ρfi− ∂p ∂xi + ∂ ∂xj {2µ(eij − 1/3∆δij, }. (3.70)

denominada Equa¸c˜ao de Navier-Stokes. C. L. M. H. Navier (1785-1836) e G. S. Stokes (1819-1903) determinaram independentemente a express˜ao (3.70).

Para escoamentos onde µ pode ser admitida como constante ao longo do mesmo, (3.70) pode ser reduzida a

ρDui Dt = ρfi− ∂p ∂xi + µ ∂ 2u i ∂xj∂xj + 1/3∂∆ ∂xi ! . (3.71)

Caso, adicionalmente, a compressibilidade do escoamento seja desprez´ıvel, (3.71) pode ser ainda reduzida `a forma

ρDui Dt = ρfi− ∂p ∂xi + µ ∂ 2u i ∂xj∂xj , (3.72)

ou, em nota¸c˜ao vetorial,

ρD~u

Dt = ρ ~f − ∇p + µ∇

2

~

u. (3.73)

A equa¸c˜ao (3.73) ´e de particular importˆancia em Mecˆanica dos Fluidos, uma vez que ´

e extensa a classe de escoamentos que satisfaz esta equa¸c˜ao. Por vezes, na literatura, se denomina “Equa¸c˜ao de Navier-Stokes”a equa¸c˜ao (3.73).

3.8.2

As rela¸

oes para o fluxo de calor

O fluxo de calor instantˆaneo ~q em um ponto ~x do cont´ınuo pode ser representado atrav´es da Lei de Fourier como (para fluidos termicamente isotr´opicos):

~

(37)

31

onde k ´e o Coeficiente de Condutibilidade T´ermica e T = T (~x, t) ´e o campo de tempera-turas. Observe que K ´e uma propriedade f´ısica do fluido.

O conceito “Temperatura”´e definido pela Termodinˆamica Cl´assica para sistemas ter-modinˆamicos em equil´ıbrio, mas pode ser estendido aos escoamentos de fluidos atrav´es de argumenta¸c˜ao similar `aquela utilizada para a energia interna e. Um elemento infinitesimal de fluido ´e um sistema termodinˆamico irrevers´ıvel, ao qual ´e associado, a cada instante, uma temperatura igual `aquela do meio no qual o elemento pode ser instantaneamente inserido e deixado atingir o estado de equil´ıbrio, sem que realize trabalho ou troque calor com o meio.

Aplicando-se (3.74) `a equa¸c˜ao da conserva¸c˜ao da energia (3.52) tem-se:

ρDe

Dt = σ.(∇ ⊗ ~u) + ∇.(k∇T ), (3.75) onde T ´e definido segundo o par´agrafo acima.

A equa¸c˜ao (3.75) descreve a varia¸c˜ao da energia interna do fluido, sendo interessante observar que (3.75) pode ser representada na forma indicial

ρDe Dt = σij ∂ui ∂xj + ∂ ∂xi k∂T ∂xi ! , (3.76)

que, para fluidos newtonianos, se reduz a

ρDe Dt = −p∆ + 2µ(eijeij − 1/3∆) + ∂ ∂xi (k∂T ∂xi ), (3.77) ou ainda, ρDe Dt = (−pδij)(1/3∆δij) + 2µ(eij− 1/3∆σij)(eij − 1/3∆δij) + ∂ ∂xi k∂T ∂xi ! . (3.78)

mostrando separadamente as contribui¸c˜oes `a varia¸c˜ao da energia interna, providas pelo trabalho realizado pela parte isotr´opica do tensor das tens˜oes (−pδij)(1/3∆δij), pela sua

parte desviat´oria, dij(eij− 1/3∆ij) (quando dij = 2µ(eij− 1/3∆δij)), e pelo fluxo de calor, ∂

∂xi(k

∂T

∂xi). Observe que a contribui¸c˜ao devida a parte desviat´oria do tensor de tens˜oes ´e

sempre positiva, indicando uma inevit´avel transferˆencia de energia do escoamento para a energia interna do fluido.

Assim, o termo

Φ = 2µ

ρ (eijeij − 1/3∆

2), (3.79)

representa a dissipa¸c˜ao de energia mecˆanica, por unidade de massa do fluido, devido `a viscosidade. O efeito dessa dissipa¸c˜ao de energia mecˆanica ´e uma adi¸c˜ao irrevers´ıvel de calor ao fluido.

(38)

3.8.3

A equa¸

ao de estado para ρ, p e T

As propriedades termodinˆamicas ρ e T , definidas para estados de equil´ıbrio, foram es-tendidas para os estados de inequil´ıbrio termodinˆamico ao se definir estas propriedades, nestes casos, como aquelas de sistemas em equil´ıbrio que n˜ao trocariam calor ou trabalho com o elemento infinitesimal de fluido instantaneamente em inequil´ıbrio.

Os mesmos argumentos utilizados para a extens˜ao do conceito de “Press˜ao Ter-modinˆamica” a sistemas em estado de inequil´ıbrio podem ser tamb´em aqui aplicados. Denotando-se esta press˜ao termodinˆamica por pe , pode-se observar que, sendo p a

“press˜ao mecˆanica”, definida como sendo 1/3σii, p = pe para um fluido em repouso,

pois, neste caso, o fluido est´a em equil´ıbrio termodinˆamico. Entretanto, nos escoamentos de fluidos, p 6= pe.

O valor aproximado de p − pe para um elemento infinitesimal de fluido escoando pode

ser determinado atrav´es de argumentos similares aos utilizados na determina¸c˜ao do tensor de tans˜oes desviat´orias. Assumindo-se que p−pedependa unicamente dos gradientes locais

de velocidade,

p − pe = Bij

∂ui

∂xj

= Bijeij − 1/2Bijijkhk. (3.80)

Para um fluido estatisticamente isotr´opico, Bij ´e tamb´em isotr´opico, podendo ser

representado na forma

Bij = −Kδij, (3.81)

onde K ´e um coeficiente escalar (com dimens˜oes de viscosidade), que depende apenas do estado local do fluido. Assim,

p − pe = −K∆, (3.82)

sendo independente de ijkhk.

O coeficiente K ´e suficientemente pequeno, para uma grande variedade de fluidos, para que p seja admitido como sendo idˆentico a pe, de maneira que a press˜ao mecˆanica

e a press˜ao termodinˆamica s˜ao usualmente admitidas como idˆenticas sendo denotadas simplesmente por p.

Admitindo-se ent˜ao a igualdade entre p, pe(em 3.82), pode-se relacionar φ.ρ e T atrav´es

de uma equa¸c˜ao de estado, uma vez que o ”meio fluido”utilizado para se estender as defini¸c˜oes dessas propriedades a sistemas em inequil´ıbrio, se encontram em equil´ıbrio termodinˆamico.

Para um g´as ideal a equa¸c˜ao de estado ´e p

ρ = RT, (3.83)

onde R ´e a constante do g´as. Entretanto, para gases a baixas temperaturas e para l´ıquidos, a equa¸c˜ao (3.83) n˜ao ´e satisfeita. As rela¸c˜oes entre ρ, p e T nesses casos n˜ao podem ser representadas atrav´es de express˜oes simples como (3.83).

(39)

33

Como a maioria dos l´ıquidos escoam incompressivelmente na maioria dos escoamentos de aplica¸c˜ao pr´atica, as varia¸c˜oes da energia interna do fluido, nestes casos, s˜ao deter-minadas apenas pela dissipa¸c˜ao viscosa e pela transmiss˜ao de calor no meio fluido. A consequˆencia deste fato ´e que os campos de temperatura e densidade (constante, neste caso) n˜ao est˜ao mais relacionados, e o escoamento do fluido passa a ser um problema puramente mecˆanico, acoplado ao campo de temperaturas unicamente pela rela¸c˜ao entre µ e T . Nos v´arios casos onde µ ´e constante, a equa¸c˜ao da energia n˜ao ´e mais uma equa¸c˜ao independente no que diz respeito `as vari´aveis mecˆanicas do escoamento (~u e p), e n˜ao sendo portanto necess´aria para a solu¸c˜ao dos campos de velocidade e press˜ao.

Uma vez que se conhe¸ca a equa¸c˜ao de estado envolvendo ρ, p e T pode-se determinar rela¸c˜oes envolvendo e, p e T ou e, ρ e T nas formas:

e = e(ρ, T ) (3.84) e

e = e(p, T ). (3.85) Tais rela¸c˜oes permitem a representa¸c˜ao da equa¸c˜ao da energia atrav´es de rela¸c˜oes nas quais a vari´avel principal ´e T , em lugar de e. Considerando (3.84),

De Dt =  ∂e ∂T  ρ DT Dt +  ∂e ∂ρ  T Dρ Dt, (3.86) onde ∂e ∂T ! ρ = Cv (3.87) e ∂e ∂ρ ! T = ∂e ∂s ! ρ ∂s ∂ρ ! T + ∂e ∂ρ ! s . (3.88)

onde Cv ´e o calor espec´ıfico a ρ constante, e S ´e a entropia espec´ıfica (propriedade

ter-modinˆamica), pois (3.84) pode ser representada como

e = e(s (ρ, T ), ρ). (3.89) A rela¸c˜ao (3.88) pode ser representada na forma

∂e ∂ρ ! T = −T ρ2 ∂ρ ∂T ! ρ + p ρ2, (3.90)

pois, das equa¸c˜oes de estado,

∂e ∂ρ ! S = p ρ2, ρe ∂s ! ρ = T, (3.91)

(40)

e, das rela¸c˜oes de Maxwell, ∂s ∂ρ ! T = − 1 ρ2 ∂p ∂p ! ρ . (3.92)

Assim, combinando-se (3.86), (3.88), (3.90) e a equa¸c˜ao da continuidade, tem-se:

De Dt = Cv DT Dt + [ p ρ2 − T ρ2 ∂ρ ∂T ! ρ ](−ρ∆), (3.93) ou seja, ρDe Dt = ρCv DT Dt + [T ( ∂p ∂T)ρ− p] ∂uk ∂xk . (3.94)

A express˜ao (3.94) pode ser agora substitu´ıda na equa¸c˜ao da energia, fornecendo uma express˜ao envolvendo apenas as vari´aveis ρ, p, T, ~u e d:

ρCv DT Dt = −T ( ∂p ∂T)ρ∆ + dij ∂ui ∂xj + ∂ ∂xi (k∂T ∂xi ), (3.95) ou ρCv DT Dt = −T ( ∂p ∂T)ρ∆ + d.(∇ ⊗ ~u) + ∇.(k∇T ), (3.96) onde Cv e (∂p/∂T )ρ s˜ao fun¸c˜oes do estado termodinˆamico do fluido.

No caso de escoamentos incompress´ıveis, p e T s˜ao vari´aveis independentes, e ∂p/∂T = 0.

Alternativamente `a express˜ao (3.96). pode-se utilizar o calor espec´ıfico a p constante, Cp = (∂h/∂T )p, onde h = entalpia espec´ıfica = e + p/ρ, na representa¸c˜ao da Equa¸c˜ao da

Energia, obtendo-se: ρCp DT Dt = βT Dp Dt + d.(∇ ⊗ ~u) + ∇.(k∇T ), (3.97) onde β = −1 ρ ( ∂ρ ∂T)p (3.98) ´

e denominado Coeficiente de Expans˜ao T´ermica.

Para fluidos newtonianos vale a rela¸c˜ao (3.66) e as express˜oes (3.95) e (3.96) tomam as formas: ρCv DT Dt = −T ∂p ∂T ! ρ ∆ + 2µ(eijeij − 1/3∆2) + ∂ ∂xi k∂T ∂xi ! , (3.99) e ρCp DT Dt = βT Dp DT + 2µ(eijeij − 1/3∆ 2) + ∂ ∂xi k∂T ∂xi ! . (3.100)

Referências

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