Mecânica dos Fluidos
Equação de Bernoulli para fluidos ideais
O que são “Fluidos Ideais”?
Por definição:Por definição:
“Escoamento ideal ou escoamento sem “Escoamento ideal ou escoamento sem atrito
atrito, é aquele no qual , é aquele no qual nãonão existem existem tensões de cisalhamento atuando no tensões de cisalhamento atuando no
movimento do fluido”.
movimento do fluido”.
O que são “Fluidos Ideais”?
De acordo com a lei de Newton, para um fluido em movimento esta condição é obtida
- Quando a viscosidade do fluido é nula (ou desprezível):
µ = 0 µ = 0
ou
-Quando os componentes da velocidade do escoamento não mais exibem variações de grandeza na direção perpendicular ao componente da velocidade considerada:
= 0= 0
dy dvx
Condições Ideais de Escoamento
Um fluido que quando em escoamento satisfaz as condições acima, é
chamado de fluido ideal.fluido ideal
Fluidos Incompressíveis
Compressíveis:
ρ→ varia
IncompressíveisIncompressíveis:
ρ→ é constante
Quanto à variação no tempo:
Permanente: quando as propriedades em Permanente:
uma dada seção do escoamento não se alteram com o decorrer do tempo. Linhas de corrente, trajetórias e linhas de emissão coincidem;
Não Permanente:quando as propriedades do fluido mudam no decorrer do
escoamento;
Relembrando...
Classificação do Escoamento
Equação da Continuidade
É a equação que mostra a conservação da
massa de líquido no conduto, ao longo de todo o escoamento;
Pela condição de escoamento em regime
permanente, podemos afirmar que entre as
seções (1) e (2), não ocorre nem acúmulo, nem falta de massa:
m1 = m2 = m = cte m1 = m2 = m = cte
Equação de Bernoulli
A equação de Bernoulli é um caso particular da equação da energia aplicada ao
escoamento, onde adotam-se
as seguintes hipóteses:
Escoamento em regime permanente
Escoamento incompressível
Escoamento de um fluido considerado ideal, ou seja,
aquele onde a viscosidade é considerada nula, ou aquele que não apresenta dissipação de energia ao longo do
escoamento
Escoamento apresentando distribuição uniforme das propriedades nas seções
Escoamento sem presença de máquina hidráulica, ou seja, sem a presença de um dispositivo que forneça, ou retira energia do fluido
Escoamento sem troca de calor
Equação de Bernoulli
A energia presente em um fluido em escoamento sem troca de calor pode ser separada em três
parcelas:
Energia de pressão (piezocarga);
Energia cinética (taquicarga);
Energia de posição (hipsocarga);
Equação de Bernoulli
Equação de Bernoulli
Consideramos um trecho sem derivações, de uma instalação hidráulica::
PHR - plano horizontal de referência;
Zi - cota da seção i, tomando-se como base o eixo do conduto em relação ao PHR;
Vi - velocidade média do escoamento na seção i;
pi - pressão estática na seção i.
Equação de Bernoulli
Pela condição do escoamento em regime
permamente, pode-se afirmar que entre as seções (1) e (2) não ocorre, nem acúmulo, nem falta de massa, ou seja:
A mesma massa m que atravessa a seção (1), atravessa a seção (2).
Relembrando os conceitos de energia:
Energia Cinética:
Energia Potencial de posição:
Energia Potencial de Pressão:
Equação de Bernoulli
Energia Mecânica Total em uma seção do
Escoamento Unidirecional, Incompressível em Regime Permanente:
A energia total representa a somatória da energia cinética , energia potencial de posição e energia potencial de pressão:
Equação de Bernoulli
Carga Mecânica Total em uma Seção do
Escoamento Unidirecional, Incompressível em Regime Permanente (Hi):
Pela condição do escoamento se dar em regime
permanente podemos afirmar que tanto a massa (m),
como o peso (W) do fluido, que atravessa uma dada seção do escoamento, é constante ao longo do mesmo;
Por este motivo, é comum considerar a energia, ou por
unidade de massa, ou por unidade de peso do fluido, além disto, esta consideração origina uma unidade facilmente visualizada: a cargaa carga.
Equação de Bernoulli
Carga Mecânica Total em uma Seção do Escoamento Unidirecional, Incompressível em Regime
Permanente (Hi):
Define-se carga como sendo a relação da energia pelo peso do fluido, portanto a carga total em uma seção i (Hi), pode ser definida como mostramos a seguir:
Equação de Bernoulli
W W W W
Adotando a condição de regime permanente:
Equação de Bernoulli
g cte v
z p g
v
z p
2 2
2 2 2 2
2 1
1
1
cinética a
arg 2g c
v
pressão de
a arg p c
potencial a
arg c
z
2
É importante saber que:
Exercícios de Fixação
1. A água escoa dentro de um tubo, como mostra a figura abaixo, com uma taxa de escoamento de
0,10 m3/s . O diâmetro no ponto 1 é 0,4m. No ponto 2, que está 3m acima do ponto 1, o diâmetro
é 0,20m. Se o ponto 2 está aberto para a atmosfera, determine a diferença de pressão entre o ponto 1 e o ponto 2.
Exercícios de Fixação
2. Se um vento de 30 m/s atua paralelamente
sobre o telhado plano de uma casa com 175 m2; a) qual é a diferença de pressão entre o lado
interno e o lado externo da casa? (Suponha que a pressão interna é a pressão atmosférica.);
b) Qual é a força sobre o telhado devido à diferença de pressão?
Exercícios de Fixação
3. No sistema da figura esta escoando água a 100C da seção 1 para a seção 2. A seção 1 tem 25mm de diâmetro, pressão manometrica de 345 kPa e
velocidade media do fluxo de 3,0m/s. A seção 2 tem 50mm de diâmetro e encontra-se a 2,0 sobre a
seção 1. Considerando que não existem perdas de energia no sistema determine a pressão p2.
Exercício 4
Óleo de soja é bombeado através de uma tubulação de diâmetro constante uniforme. A energia
adicionada pela bomba a massa de fluido é de 209,2 J/kg. A pressão na entrada da tubulação é de 103,4 kN/m². A seção de saída está a 3,05 m acima da
entrada e a sua pressão é de 172,4 kN/m². Calcule a perda de carga do sistema sabendo que a densidade do óleo é de 919 kg/m³.
f B
C C
C C
h g w
Z v g
g P
g Z v
g g
P
2 2
2 2 2
2 2
1 1
1
Exercício 5
0,14m³/s de água escoam sem atrito através da
expansão indicada na figura ao lado. A pressão na seção 1 é igual a 82,74 kPa. Suponha escoamento unidimensional e encontre a pressão no ponto 2.
C C
C
C g
Z v g
g P
g Z v
g g P
2 2
2 2 2
2 2
1 1
1
Para ρ constante: Vazão Volumétrica =AA11vv11= A= A22vv22
Exercício 6
Água com densidade de 998 kg/m3 é transportada
através de um tubo de diâmetro constante. A pressão de entrada no sistema é de 68,9 103 Pa (abs). O tubo é
conectado a uma bomba que adiciona uma energia ao sistema de 300,0 J/kg. A saída do sistema está a 6,0 m acima da entrada e com uma pressão de 137,8 103 Pa. O escoamento do sistema é laminar. Calcule a perda de
carga por fricção na tubulação do sistema.
a Manométric a
Atmosféric Absoluta
f B
C C
C C
P P
P
h g w
Z v g
g P
g Z v
g g P
2 2
2 2 2
2 2
1 1
1
Dados
2 2 2 1
1 1
2 2
2 2
2 2 2
2 2
1 1
1
;
;
* 174 *
, 32
* ; 1 *
174 , 32
; 81
, 9
,
;
;
;
2 , 2
A v
m A
v A m
P F gh
p
s Lb
ft g Lb
s N m g kg
s g ft
ms g
Bomba da
Potência V
Pot w
P P
P
bomba da
energia w
carga;
de perda h
velocidade v
nalidade preoporcio
de fator g
gravidade g
pressão P
Bernoulli de
Equação w
g h Z v
g P g
g Z v
g P g
f C m
C
e Bomba
a Manométric a
Atmosféric Absoluta
e f
c
e f
C C
C C