lista1-cal-2008-2

(1)

1

A

LISTA DE EXERCÍCIOS

01. Esboce o gráfico de f, determine f(x)

a x lim ), x ( f a x lim + → −

→ e, caso exista, xlim→af(x):

a)     + − = , 1 4 , 2 , 2 3 ) ( x x x f 1 1 1 1 < = > x ) = (a x x b) , x , , x ) x ( f       − − = 1 1 1 2 1 2 2 2 1 < = ≠ ≥ x ) = (a x x e x c)     − − = , x , x x ) x ( f 2 0 0 < ≥ x x (a=0) d)     + + = , 0 , | 2 | 2 ) ( x x x f

2 )

2 -=

(a

2 −

=

−

≠

x

02. Determine, se possível, a ∈ R, para que exista f(x) x x→limo , sendo: a)     − − = , x a , , x ) x ( f 5 3 2 3 1 1 1 1 − < − = − = − > x ) x ( x x o b)     ₋ ₋ = − , a , ) x )( x ( ) x ( f 1 2 2 4 2 2 = ≠ x x (x_o =2)

03. Considere as funções do exercício 01. Verifique se f é contínua em x = a. Justifique.

04. Para cada função f a seguir, determine D(f) e, se possível, a função g: R ? R, tal que g é contínua e g(x) = f(x), para todo x ∈ D(f): x x ) x ( f a) − − = 3 9 2    − + = , x , x ) x ( f b) 2 1 3 2 2 − < − > x x

05. Calcule os limites a seguir , a) lim ( y y y ) y 2 4 5 1 12 3 + − − − → b) wlim→10(logw−lnw) c) limex(x ) x 4 3 1 − → d) x cos x sen lim / x→π 2 1+ e) x x lim x − − → 2 4 2 2 f) 1 1 3 1 − − → x x lim x g) 1 8 2 3 2 3 2 2 1 − − + → x x x lim / x h) 1 3 4 2 8 16 − → − − )(x ) x (

e

lim x i) 1 1 1 − − → x x lim x j) y y y lim y + + − − → 2 1 2 1 k) _x x lim x − − + − → ₁ ₅ 5 3 4 l) ₄ 2 4 − − → _x x lim x m)

8

2 lim

3 8

−

→

x

x n) 1 2 5 3 lim 2 3 1 − − + → _x x x

06. Determine, se possível, as constantes a, b e c ∈ R, de modo que f seja contínua em x0, sendo:

INSTITUTO DE MATEMÁTICA DA UFBA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CÁLCULO A

(2)

a)     ₊ = , b , bx ) x ( f 2 2 2 1 1 = ≠ x x (x0 = 1) b)     + − = 1 3 3 2 bx ax x ) x ( f -3 x , -3 x , -3 x , < = > (x0 = - 3)

07. Esboce o gráfico de cada função f a seguir, e determine o que se pede:     = , e , x ln ) x ( f a) _x 0 0 ≤ > x x

• lim f(x), lim f(x), lim f(x), lim f( x), lim f(x), lim f(x), lim f(x), lim f(x)

x e x -x x 0 x 0 x 0 x x→−∞ _→ - _→ + → →1 → 1 → →+∞

• intervalos onde f é contínua.     = , x / , ) / ( ) x ( f b) x 1 2 1 0 0 < > x x

• lim f(x), lim f(x), lim f(x),lim f(x),lim f(x), lim f(x), lim f(x)

x x x x x x x→−∞ _→₀− _→₀+ →0 →1 →−1 →+∞      = − _, x , 0 , x log ) x ( f c) / 2 2 1 0 0 0 < = > x x x

• lim f(x), lim f(x),lim f(x),lim f(x)

x x x x→−∞ →+∞ →0 →1 • estude a continuidade de f em x =0.       + = p , x g x, , x d) f(x) cot 4 π π ≥ < < ≤ x x x 0 0 • ) x ( f lim ), x ( f lim ), x ( f lim ), x ( f lim ), x ( f lim ), x ( f lim ), x ( f lim ), x ( f lim x x x / x x x x x→−∞ _→₀− _→₀+ →0 _→_{π 2} _→_π- _→_π+ _→₊_∞ • ponto(s) de descontinuidade de f . 08. Calcule: a) lim ( x x ) x 2 4 3 2 5₊ ₋ +∞ → b) xlim (4x 2x x 5) 2 3 ₋ ₊ ₋ −∞ → c) lim ( e ) x x→−∞ −5 d) 5 2 + +2 −∞ → x x lim x e ) xlim→+∞( x −3x+x) 2 _f) _(x _x) x ln lim 2 0 + + → g) x / xlim ₁ ₂1 1 + +∞ → h) _xlim_→₂−ln(2−x) i) 1 1 1 3 2 lim − → + − x x π

09. Calcule os seguintes limites: a) x sen x lim x 1 2 0 + → b) 2 0 1 x x lim x − + → c) ₂ 2 5 ₅ 3 2 ) x ( x lim x − + → d) 2 4 5 2 − − → x x lim x e) x x cos lim x 3 0 → f) 3 11 3 lim 3 − − − → x x x

(3)

g) 4 0 3 2 x x lim x − + →

10. Calcule os limites a seguir: a) 2 3 2 9 18 25 4 2 x x x x lim x − − − +∞ → b) 2 2 4 12 2 x x x x sen lim x − − + +∞ → π c) 1 3 2−1 −1 +∞ → ) x ( x x ) / ( lim π d) lim [xln ln( x )] x→+∞ 2− 3 +1 e) lim ( x x x) x→−∞ − + 3 2 _f) _lim _[_x₍ _x2 ₁ _x_)] x→+∞ − −

11. Calcule as constantes de modo que:

a) 5 3 2 3 − = + − → x b ax x lim x b) 5 1 3 =     + + − +∞ → x bx ax lim x c) =3 +∞ → f(x) lim x e 1 2 = − → f(x) lim x , sendo ) x (x d cx bx ax ) x ( f 2 ₂ 4 2 3 − + + + + = d) 1 6 1 3 1 _x / a x b lim x − = − + → e) 1 2 3 8 2 2 1 _x / b x lim x + =− − + − → f)        > + = < − + − = 3 1 3 3 3 3 9 2 -x , x -x , bx -x , x ax x ) x ( f seja contínua em x0 = -3

12 Calcule os seguintes limites: a) x ax sen lim x→0 b) lim , com , 0 0 ≠ → bx a b ax tg x c) 2 0 1 x x cos lim x − → d) sen x x sen tgx lim x 0 2 − → e) π π − → x x sen lim x f) a x a sen x sen lim a x − − → g) x a a cos x cos lim a x − − → .

13 Calcule os limites a seguir: a) lim x sen( /x)] x→0[ 1 b) lim ex.senx ] x→−∞[ c)         + − − → + x e ) x cos ( x lim x x 2 3 0 4 d)         − + +∞ → _x cos(lnx) x lim x 3 1 5 2 7 3 e)                 + − − +         + + + +∞ → 3 2 3 2 2 2 3 2 1 1 x x x x cos . x x x sen lim x π 14. Considere a função         ≠ ≥ − = = − ≠ < + − − = 5 2 5 5 10 1 2 1 2 2 3 2 3 x e x , x ln x x , x , x e x , x x x x ) x (

f . Justificando, estude a continuidade de f.

15. Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em x0 e em caso afirmativo,

(4)

a)







>

−

≤

−

=

2 ,

8

2 ,

3 )

(

x

f

(x0 = 2) b) f(x) = x 2 |x| (x0 = 0) c) f(x) = 3 x (x0 = 0) d) f(x) = 2x3 + 2 (x0 = 2) e) f(x) = x n , n ∈ N* (x0∈ R)

16. Verifique em que ponto(s) a função f(x) = |x2 – 1| não é derivável. Justifique sua resposta. 17. Esboce o gráfico de f’ sabendo que f é dada pelo gráfico:

a) b) (-2,3) (1,3) (5,-2) (7,3) 0 0 (-2,4) (-5,0) (2,4) D(f) = [–2, + 8 ) D(f) = R obs: No intervalo [–2,2], f(x) = x2

18. Determine as constantes a e b de modo que f seja derivável em x = 1, sendo

    > ≤ + = − ₁ 1 1 2 x , x x , b ax ) x ( f .

19. Determine as derivadas das funções a seguir: a) y = 2x4 – 3x2 + x – 3 b) 3 1 2 2( z ) x = − c) y y y y w 2 3 4 3 ₃ 2_₊      + = d) 7 5 − + = t t u e) x .ln π x y 3 3 ₁ 6 5 ₊ − − = f) y= x2/3(2x1/3−1) g)

y

=

2

x

(

x

3

+

x

+

1 )

20. Determine a derivada de cada uma das funções a seguir:

a) y = (–2/5)senx + 9secx b) y = x senx + cosx c) f(x) = 2senx cosx + 8tgx secx d) t sec t tg ) t ( g = −1 e) x cos x sen x cos x sen ) x ( g − + = f)

senx

e

y

x

=

21. Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de f no ponto de abscissa x0:

a) f(x) = 2x3 + 3x –1; x0 = 1 b) f(x) = tg x; x0 = p/4 c) f(x) = cossec x; x0 = p/2

22. Determine as abscissas dos pontos do gráfico de f(x) = x3 + 2x2 – 4x nos quais a reta tangente é: a) horizontal b) paralela à reta 2y + 8x – 5 = 0

(5)

24. Caso exista, determine o(s) ponto(s) da curva f( x ) = 1/x , no qual a reta tangente é paralela à:

a) 1ª bissetriz b) 2ª bissetriz

25. Seja f(x) = b – (x2/16). Determine a constante b de modo que a reta que passa pelos pontos M(0,5) e N(5/2,0) seja tangente ao gráfico de f .

26. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x2 – 3x e perpendicular à reta 2y + x = 3. 27. Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(0,2) e é tangente ao gráfico de f(x) = x3. Ilustre a interseção construindo o gráfico.

( Observe que o ponto P não pertence ao gráfico da função f(x) = x3)

28. Determine a equação da reta tangente comum aos gráficos de f(x) = – x2 e de g(x) = x2 + (1/2).

29. Determine f’(x) supondo g e h deriváveis e

) ( )) ( ( ) ( 3 x g x xh x f = , g(x) ? 0 RESPOSTAS DA 1a LISTA 01) 1 1 2 5

a)

0 1 2 3

b)

) x ( f lim , ) x ( f lim , ) x ( f lim x x x 1 1 1 1 5 → →

→− = + = ∃/ _xlim_→₂− f(x)= _xlim_→₂+ f(x)=xlim→2 f(x)=3

0 1 c) -2 1 -1 d)

(6)

0 0 0 0 = = = → → → − f(x) lim+ f(x) lim f(x) lim x x x ) x ( f lim , ) x ( f lim , ) x ( f lim x x x 2 2 2 1 1 → → → − =− + = ∃/ 02. a) -10; b) lim f(x) x→2

existe, independente do valor de a. Por isso a pode ser um número real qualquer. 03. a) Não é contínua em x = 1 pois não existe lim f(x)

x→1 ;

b) Não é contínua em x = 2 pois lim f(x) f( );

x→2 ≠ 2

c) É contínua em zero pois lim f(x) f( ) .

x→0 = 0 =0

d) Não é contínua em x = -2 pois não existe lim ( )

2 x f x→− ; 04. a) D(f) = R – {3} e     = ≠ − − = 3 x , 6 -3 x , x x ) x ( g ₃ 9 2 ;

b) D(f) = R – {–2}, e não é possível definir g(–2), tal que g seja contínua, pois não existe lim f(x)

x→-2

;

05. a) 10 b) 1- ln10 c) -3e d) 1 e) 4

f) não existe pois 3

1 1 3 1 − = − − − → x x lim x e 3 1 1 3 1 + = − − + → x x lim x g) 5/6; h) e8/3; i) 1/2; j) 4/3; k) -1/3; l) 0; 06. a) b = -1 ou b = 2; b) a = 4 e b = -13/9 07) a) b) 1

0, 1, -∞, não existe, 0, 1/e, 1, +∞, (-∞,0), (0,+∞)

0, -∞, 1, não existe, 1/2, -1, 0

(7)

π (π,2π)

0, -∞, +∞, 0, não é contínua em zero porque lim f(x) f( )

x→0 ≠ 0

+∞, 0, +∞, não existe, 0, -∞, 2π, +∞; x = 0 e x = π

08. a), d), e) +8 b), f), h) – 8 c) 0 g) 1/2 i) p/2

09. a) Não existe pois + =−∞

− → senx x lim x 1 2 0 e + =+∞ + → senx x lim x 1 2 0 b) – 8 c ) + 8

d) + 8 e) N ão existe pois =−∞

− → x x cos lim x 3 0 e =+∞ + → x x x 3 cos lim 0

f) Não existe, pois =−∞

− − − − → 3 11 3 lim 3 x x x e =+∞ − − + − → 3 11 3 lim 3 x x x g) – 8 10. a),c) 0; b) 2 /2; d) – 8 e) 3/2 f) – ½ 11. a) a = 1, b = -6; b) a = 0, b = -5; c) a = 0, b = 12, c = 36, d = 24 d) a = 4/3, b = 2/3; e) b = 6; f) a = 10, b = 8/3.

12.a) a b) a/b c) 1/2 d) 0 e) –1 f ) cos a g ) – sen a. 13.) , b) , d) , e) zero; c) +∞ .

14. f é contínua ∀x∈IR−

{

2 ,5

}

;

15. a) não existe; b) zero; c) não existe; d) 24; e) nx_on−1 16. f não é derivável em –1 e em +1

17.

(8)

1 5 (5,5/2) 3 -3/2 (5,-5/4) -2 - 2 4/3 - 4 2 4 4 18. a = -1/2, b = 3/2 19. a) y´ = 8x3 – 6x +1; b) x'=4 / 3; c) 3 3 2 2 2 3 3 10 4 3 y y y ' w −      + − = ; d) 2 7 12 ) t ( ' u − − = ; e) x ln π ) x ( x ' y 2 2 3 2 3 1 6 90 ₊ − = ; f)

( )

3 3 2 2 x ' y = − ; g)

y

′

=

2

x

ln

2 (

x

3

+

x

+

1 )

+

2

x

(

3 x

2

+

1 )

20. a) y´ = - (2/5) cosx + 9 secx tg b) y´= x cosx; c) f´(x) = 2 cos2x + 8 secx (2tg2x + 1);

d) g´(t) = (1 + tgt) cost e) g´(x) = – 2(senx – cosx)- 2 f)

x

sen

x

senx

e

y

x 2

)

cos

(

−

=

′

21. a) t: 9x – y – 5 = 0 e n: x + 9y – 37 = 0; b) t:y (x ) e n:y (x ) 4 2 1 1 4 2 1= −π − =− −π − ; c) t: y = 1 e n: x = π/2. 22. a) x = -2, x = 2/3; b) x = 0, x = -4/3 23. ( 3/2,11/4) 24. a) não existe b) (1,1), (-1,-1); 25. b = –11 26. t: y = 2x - (25/4) 27. t: y = 3x + 2 28. t1: y = x + 1/4, t2: y = -x + 1/4 29. ) ( ) ( ) ( ' ) ( )] ( ) ( ' )[ ( 3 ) ( ' 2 3 3 2 2 x g x h x x g x g x h x xh x h x x f = + −