Cap3 Sec1 2x4

(1)

Capítulo 3

Regras de Derivação

Medindo as inclinações nos pontos da curva da função seno, temos forte evidência visual de que a derivada da função seno é a função cosseno.

REGRAS DE DERIVAÇÃO

Nós:

Vimos que as derivadas são interpretadas como inclinações e taxas de variação.

Vimos também como estimar as derivadas de funções dadas por tabelas de valores.

Aprendemos a fazer os gráficos de derivadas de funções definidas graficamente.

Usamos a definição de derivada para calcular as derivadas de funções definidas por fórmulas.

Mas seria tedioso se sempre usássemos a definição.

Neste capítulo desenvolveremos regras para encontrar as derivadas sem usar diretamente a definição.

Essas regras de derivação nos permitem calcular com relativa facilidade as

derivadas de:

polinômios; funções racionais; funções algébricas;

funções exponenciais e logarítmicas; funções trigonométricas e trigonométricas

inversas.

Em seguida, usaremos essas regras

para resolver problemas envolvendo

taxas de variação e aproximação de

funções.

3.1

Derivadas de funções Polinomiais e Exponenciais

Nesta seção, nós aprenderemos sobre: Como derivar as funções constantes, funções potências, funções polinomiais e exponenciais. REGRAS DE DERIVAÇÃO

Vamos iniciar com a função mais simples, a função constante, f (x) = c.

O gráfico dessa função é a reta horizontal y = c, cuja inclinação é 0;

logo, devemos ter f’ (x) = 0 (veja a figura). FUNÇÃO CONSTANTE

(2)

A demonstração formal a partir da definição de uma derivada é simples: FUNÇÃO CONSTANTE

0 0 0

( )

'( ) lim

lim

lim0 0

h h h

f x

h

f x

h

c

h

o o o

Essa regra, na notação de Leibniz, é

escrita desta forma:

DERIVADA

( ) 0

d

c

dx

Vamos olhar a função f (x) = xn_{, onde n é}

um inteiro positivo.

Se n = 1, o gráfico de f (x) = x é a reta y = x, cuja inclinação é

1 (veja a figura).

Logo,

FUNÇÃO POTÊNCIA Equação 1

( ) 1

d

x

dx

Você também pode verificar a Equação 1 a partir da definição de derivada.

Já investigamos casos em que n = 2 e n = 3. De fato, na Seção 2.9 (Exercícios 19 e 20) determinamos que

2 3 2

( ) 2

( ) 3

d

x

dx

Para n = 4 achamos a derivada de f (x) = x4

a seguir: FUNÇÃO POTÊNCIA

4 4 0 0 4 3 2 2 3 4 4 0 3 2 2 3 4 0 3 2 2 3 3 0 ( ) ( ) ( ) '( ) lim lim 4 6 4 lim 4 6 4 lim lim 4 6 4 4 h h h h h f x h f x x h x f x h h x x h x h xh h x h x h x h xh h h x x h xh h x o o o o o

Comparando as equações em (1), (2) e (3), vemos um modelo emergir.

 Parece ser uma conjectura razoável que, quando n é um número inteiro, (d/dx)(xn_{) = nx}n-1_.

Resulta que isto é de fato verdade.

4 3

( ) 4

d

x

dx

Se n for um inteiro positivo, então

1

( )

n n

d

x

nx

dx

REGRA DA POTÊNCIA A fórmula

pode ser verificada simplesmente

multiplicando-se o lado direito (ou somando- se o segundo fator como uma série

geométrica).

REGRA DA POTÊNCIA Demonstração 1

1 2 2 1

(

)(

)

n n n n n n

(3)

Se f (x) = xn_{, podemos usar a Equação 2.7.5}

para f’ (a) e a equação anterior para escrever

1 2 2 1 1 2 2 1 1 ( ) ( ) '( ) lim lim lim( ) n n x a x a n n n n x a n n n n n f x f a x a f a x a x a x x a xa a a a a aa a na o o o

Para achar a derivada de x4_{desenvolvemos}

(x + h)4_{. Aqui precisamos desenvolver}

(x + h)n_{, e usamos o Teorema Binomial para}

fazer isto:

0 0 ( ) ( ) ( ) '( ) lim lim n n h h f x h f x x h x f x h h o o

porque todo termo, exceto o primeiro, tem h como fator e consequentemente tende a 0.

1 2 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 2 1 1 0 ( 1) 2 '( ) lim ( 1) 2 lim ( 1) lim 2 n n n n n n h n n n n h n n n n n h n n x nx h x h nxh h x f x h n n nx h x h nxh h h n n nx x h nxh h nx o o o ª º « » ¬ ¼ ª º « » ¬ ¼

Ilustraremos a Regra da Potência usando várias notações no Exemplo 1.

a.Se f (x) = x6_{, então f’ (x) = 6x}5_.

b.Se y = x1.000_{, então y’ = 1.000x}999_.

c.Se y = t4_{, então} _{= 4t}3_.

d. = 3r2

REGRA DA POTÊNCIA EXEMPLO 1

3 ( ) d r d r dy dt

O que dizer sobre as funções potências com os expoentes negativos?

No Exercício 61 solicitamos que você verifique, a partir da definição de derivada, que

INTEIROS NEGATIVOS

2

1 1

d

dx§ · ¨ ¸_{© ¹}x x

Podemos reescrever essa equação como

de modo que a Regra da Potência é verdadeira quando n = -1. De fato, mostraremos na próxima seção [Exercício 58(c)] que ela é válida para todo inteiro negativo.

INTEIROS NEGATIVOS

1 ₁ 2 d x x dx

E se o expoente for uma fração?

FRAÇÕES

E se o expoente for uma fração?

No Exemplo 3 da Seção 2.8 encontramos que

Podemos reescrever essa equação como

FRAÇÕES 1 2 d x dx x 1 2 1 1 2 2 d x x dx

(4)

Isso mostra que a Regra da Potência é verdadeira quando n = 1/2.

Na realidade, mostraremos na Seção 3.8 que ela é verdadeira para todo número real n. FRAÇÕES

Se n for um número real qualquer,

então

A REGRA DA POTÊNCIA (VERSÃO GERAL)

1

( )

n n

d

x

nx

dx

a.

b.

Em cada caso reescrevemos a função como uma potência de x.

REGRA DA POTÊNCIA EXEMPLO 2

2

1 ( )

f x

x

3 2

y

x

Uma vez que ƒ(x) = x2_{, usamos a Regra da}

Potência com n = - 2:

REGRA DA POTÊNCIA EXEMPLO 2 a

2 2 1 3 3

'( )

(

)

2

2 d

f x

x

dx

x

REGRA DA POTÊNCIA EXEMPLO 2 b

3 2 2 3 2 3 1 1 3 2 3

(

)

(

)

2

3 dy

d

x

dx

d

x

dx

x

A Regra da Potência nos permite encontrar retas tangentes sem ter de recorrer à definição de derivada.

Ela também nos permite encontrar retas normais.

RETAS TANGENTES E NORMAIS

A reta normal à curva C em um ponto P é a reta por este ponto que é perpendicular à reta tangente em P.

No estudo da ótica, precisamos considerar o ângulo entre um raio de luz e a reta normal à lente.

RETAS NORMAIS

Ache equações da reta tangente e da reta normal à curva no ponto (1, 1).

Ilustre fazendo o gráfico da curva e destas retas.

RETAS TANGENTES E NORMAIS EXEMPLO 3

(5)

A derivada de é

Logo, a inclinação da reta tangente em (1, 1)

é .

Portanto, uma equação da reta tangente é

ou .

RETA TANGENTE EXEMPLO 3

3 2 1 2

( )

f x

x x

xx

x

3 2 1 1/ 2 3 3 3 2 2 2

'( )

f x

x

3 2 '(1) f 3 2 1 ( 1) y x

y

3₂

x

1₂

A reta normal é perpendicular à reta tangente, de modo que sua inclinação é o inverso negativo de , ou seja, - .

Logo, uma equação para a reta normal é

ou .

RETA NORMAL EXEMPLO 3

2 3 1 ( 1) y x

y

2₃

x

5₃ 3 2 23

Veja o gráfico da curva, sua reta tangente e sua reta normal.

RETAS TANGENTE E NORMAL EXEMPLO 3

Quando as novas funções são formadas a partir de antigas por adição, subtração, multiplicação ou divisão, suas derivadas podem ser calculadas em termos das derivadas das antigas funções. NOVAS DERIVADAS A PARTIR DAS ANTIGAS

Em particular, a fórmula a seguir nos diz que

a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função.

NOVAS DERIVADAS A PARTIR DAS ANTIGAS

A REGRA DA MULTIPLICAÇÃO POR CONSTANTE

0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim '( ) h h h h g x h g x g x h cf x h cf x h f x h f x c h f x h f x c h cf x o o o o ª º « » ¬ ¼

(Pela Propriedade 3 dos limites)

NOVAS DERIVADAS A PARTIR DE ANTIGAS EXEMPLO 4

>

@

4 4 3 3 . a. (3 ) 3 ( ) 3(4 ) 12 b. ( ) ( 1) 1 ( ) 1(1) 1 d d x x dx dx x x d d x x dx dx d x dx

A regra a seguir nos diz que a derivada de uma soma de funções é a soma das derivadas de suas funções.

Se ƒ e g forem ambas deriváveis, então A REGRA DA SOMA

>

( ) ( )

@

( ) ( )

d d d

f x g x f x g x

(6)

Seja F (x) = f (x) + g(x). Então:

A REGRA DA SOMA Demonstração

> @ > @ 0 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim '( ) '( ) h h h h h F x h F x F x h f x h g x h f x g x h f x h f x g x h g x h h f x h f x g x h g x h h f x g x o o o o o ª º « » ¬ ¼ Pela Propriedade 1

A Regra da Soma pode ser estendida para a soma de qualquer número de funções.

Por exemplo, usando esse teorema duas vezes, obtemos A REGRA DA SOMA

>

@

( )' ( ) ' ( )' ' ' ' ' f g h f g h f g h f g h

Escrevendo ƒ - g como ƒ + (-1)g e aplicando a Regra da Soma e a Regra da Multiplicação por Constante, obtemos a seguinte fórmula.

Se f e g forem ambas deriváveis, então A REGRA DA DIFERENÇA

>

( ) ( )

@

( ) ( )

d d d

f x g x f x g x

dx dx dx

As três regras anteriores podem ser

combinadas com a Regra da Potência para derivar qualquer polinômio, como ilustram os exemplos a seguir.

NOVAS DERIVADAS A PARTIR DE ANTIGAS

NOVAS DERIVADAS A PARTIR DE ANTIGAS Exemplo 5

8 5 4 3 8 5 4 3 7 4 3 2 7 4 3 2 ( 12 4 10 6 5) 12 4 10 6 5 8 12 5 4 4 10 3 6 1 0 8 60 16 30 6 d x x x x x dx d d d x x x dx dx dx d d d x x dx dx dx x x x x x x x x

Ache os pontos sobre a curva

y = x

4

_{- 6x}

2

_{+ 4}

onde a reta tangente é horizontal.

As tangentes horizontais ocorrem quando a derivada for zero. Temos

Assim, dy/dx = 0 se x = 0 ou x2_{- 3 = 0, isto}

é, x = ± . 4 2 3 2 ( ) 6 ( ) (4) 4 12 0 4 ( 3) dy d d d x x dx dx dx dx x x x x

3

Logo, a curva dada tem tangentes horizontais quando x = 0, e - .

Os pontos correspondentes são (0, 4), ( , - 5) e (- , 5)

(veja a figura).

3 3

(7)

A equação de movimento de uma partícula é s = 2t3_{- 5t}2_{+ 3t + 4, onde s é medido em}

centímetros e t em segundos.

Encontre a aceleração como uma função do tempo.

Qual é a aceleração depois de 2 segundos?

A velocidade e a aceleração são

A aceleração depois de 2 segundos é a(2) = 14cm/s2_.

2 ( ) 6 10 3 ( ) 12 10 ds v t t t dt dv a t t dt

Vamos tentar calcular a derivada da função exponencial f (x) = ax_{usando a definição de}

derivada: FUNÇÕES EXPONENCIAIS 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim lim ( 1) lim lim x h x h h x h x x h h h f x h f x a a f x h h a a a a a h h o o o o

O fator ax_{não depende de h, logo podemos}

colocá-lo adiante do limite:

Observe que o limite é o valor da derivada de ƒ em 0, isto é, FUNÇÕES EXPONENCIAIS 0

1 '( )

x

lim

h h

a

f x

a

h

o

0 1 lim '(0) h h a f h o

Portanto, mostramos que se a função exponencial f (x) = ax_{for diferenciável em}

0, então é diferenciável em toda a parte e f’ (x) = f’ (0)ax

 Essa equação diz que a taxa de variação de qualquer função exponencial é proporcional à própria função.

A inclinação é proporcional à altura.

FUNÇÕES EXPONENCIAIS Equação 4

Uma evidência numérica para a existência de f’ (0) é dada na tabela para os casos a = 2 e a = 3.

Os valores são dados corretamente até a quarta casa decimal. FUNÇÕES EXPONENCIAIS

Parece que os limites existem e que para a = 2, 0,69 para a = 3, 1,10 FUNÇÕES EXPONENCIAIS 0 2 1 '(0) lim h h f h o _| 0 3 1 '(0) lim h h f h o _|

De fato, pode ser demonstrado que estes limites existem e, corretos até a sexta casa decimal, seus valores são

0,693147 1,098612 0 (2 )x x d dx | FUNÇÕES EXPONENCIAIS 0 (3 )x x d dx |

(8)

Assim, da Equação 4 temos

(0,69)2x _(1,10)3x

FUNÇÕES EXPONENCIAIS Equação 5

(2 )

x

d

dx

|

(3 )

x

d

dx

|

De todas as possíveis escolhas para a base a do Exemplo 4, a fórmula de derivação mais simples ocorre quando f’(0) = 1.

Em vista da estimativa de f’(0) para a = 2 e a = 3, parece ser razoável que haja um número a entre 2 e 3 para o qual f’(0) = 1. FUNÇÕES EXPONENCIAIS

É costume denotar esse valor pela letra e. De fato, foi assim que introduzimos e na Seção 1.5.

Dessa forma, temos a seguinte definição.

e é um número tal que A LETRA e 0

1 lim

h

1

h

e

h

o

Geometricamente, isso significa que, de todas as possíveis funções exponenciais y = ax_{, a função}

f (x) = ex_{é aquela cuja reta tangente em (0, 1)} tem uma inclinação f’(0), que é exatamente 1.

FUNÇÕES EXPONENCIAIS

Se pusermos a = e e, consequentemente, f’(0) = 1 na Equação 4, teremos a seguinte importante fórmula de derivação.

A derivada da função exponencial natural é: FUNÇÕES EXPONENCIAIS

( )

x x

d

e

dx

Assim, a função exponencial f (x) = ex_tem

como propriedade o fato de que sua derivada é ela mesma.

O significado geométrico desse fato é que a inclinação da reta tangente à curva y = ex_é

igual à coordenada y do ponto (veja a figura). FUNÇÕES EXPONENCIAIS

Se f (x) = ex_{- x, ache f’ e f” . Compare o}

gráfico de f e f’.

FUNÇÕES EXPONENCIAIS EXEMPLO 8

Se f (x) = ex_{- x, ache f’ e f” . Compare o}

gráfico de f e f’.

Usando a Regra da Diferença, temos

'( ) ( ) ( ) ( ) 1 x x x d f x e x dx d d e x dx dx e

(9)

Na Seção 2.8, definimos a segunda derivada como a derivada de f’, de modo que

''( )

(

1)

( )

(1)

x x x

d

f

x

e

dx

d

e

dx

e

A Figura 8 mostra o gráfico da função f e sua derivada f’.

 Note que ƒ tem uma tangente horizontal quando x = 0, o que corresponde ao fato de que f’(0) = 0. Observe também que, para

x > 0, f’ (x) é positivo e ƒ é crescente.

 Quando x < 0, f’ (x) é negativo e ƒ é decrescente.

Em que ponto da curva y = ex_{sua reta}

tangente é paralela à reta y = 2x?

Em que ponto da curva y = ex_{sua reta}

tangente é paralela à reta y = 2x?

 Uma vez que y = ex_{, temos y’ = e}x_{. Seja a a}

coordenada x do ponto em questão.

Então a inclinação da reta tangente naquele ponto é ea_.

 Essa reta tangente será paralela à reta y = 2x se ela tiver a mesma inclinação, isto é, 2.

Igualando as inclinações, obtemos ea_{= 2} _{a = In 2}

 Portanto, o ponto pedido é (a, ea_{) = (ln 2, 2)}

Cap3 Sec1 2x4

Regras de Derivação

Nós:

Em seguida, usaremos essas regras

para resolver problemas envolvendo

taxas de variação e aproximação de

funções.

3.1

( )

'( ) lim

lim

lim0 0

f x

h

f x

f x

h

c

c

h







Essa regra, na notação de Leibniz, é

escrita desta forma:

( ) 0

d

c

dx

( ) 1

d

x

dx

( ) 2

( ) 3

d

d

x

x

x

x

dx

dx

( ) 4

d

x

x

dx

Se n for um inteiro positivo, então

( )

d

x

nx

dx

(

)(

)

E se o expoente for uma fração?

Se n for um número real qualquer,

então

( )

d

x

nx

dx

1

( )

f x

x

y

x

'( )

(

)

2

2

2

d

f x

x

_{- 6x}

_{+ 4}