Física Geral. Trabalho, Energia e Momentum Linear.

Trabalho, Energia e

Momentum Linear.

l

Energia e Momentum

Há muitas formas de energia como por exemplo, energia nuclear,

energia elétrica, energia sonora, energia luminosa.

Quando você levanta um objeto que possui uma certa massa, várias

formas de energia são envolvidas neste processo, energia química,

térmica, cinética, potencial.

Em uma central nuclear, a energia produzida pela fissão nuclear, é

transformada em energia térmica e no último estágio em energia

elétrica.

Nos casos em que a energia total se conserva, aplica-se a lei de

conservação de energia.

Momentum ou quantidade de movimento

Momentum é uma medida da capacidade de parar um corpo ou

partícula que se encontra em movimento.

Depende da massa e velocidade da partícula, é um grandeza

vetorial e definida como:

Não é expresso por uma unidade específica. No SI: kg.m/s

É uma grandeza vetorial, com mesma direção e sentido que a

velocidade do corpo.

!

Impulso

t

F Δ

!

⋅

´

t

F Δ

!

⋅

Aplicação de uma força F sobre um objeto por um determinado intervalo de tempo ∆t.

v!

´

v!

para

Δ

t Δ

´

>

t

.

Podemos expressar o impulso em termos da quantidade de movimento, utilizando a segunda lei de Newton:

(

)

p

I

v

m

v

m

t

F

I

t

t

v

m

t

F

a

m

F

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

Δ

=

⇒

⋅

Δ

=

Δ

⋅

=

Δ

⋅

=

Δ

⋅

Δ

Δ

⋅

=

Δ

⋅

⇔

⋅

=

ou

Exemplo. Uma bola, cuja massa é de 0,1 kg, é solta de uma altura de 2 m e após atingir o solo, volta a uma altura de 1,8 m. Determine o impulso que ela recebeu da gravidade enquanto estava caindo e o impulso recebido quando atingiu o solo.

h = 2,0 m _{1,8 m}

Dado que na queda livre inicia-se do repouso, a velocidade ao tocar no chão pode ser calculada por

v₁ = 2gh = 6,26 m/s,

logo a variação da quantidade de movimento durante a queda é Δp_q = mv₁ − 0 = − ˆu_y

₍

₎

Quando a bola atinge o solo, uma nova força age durante um tempo muito curto. A velocidade logo após o impacto será

v

= 2gh

= 5, 94 m/s

A variação total da quantidade de movimento, ou seja, o impulso será dado por



Trabalho

Consideremos uma partícula que se move ao

longo de uma curva C, sob a ação de uma força F. Num intervalo muito curto dt ela se move de A a A´, efetuando um deslocamento . O

trabalho executado pela força durante esse

deslocamento é dado por

r

d!

que pode também ser escrito como ,

onde ds é o comprimento percorrido pela partícula. Porém Fcosθ é também a componente F_T da força ao longo da tangente à trajetória. Ou seja,

θ cos Fds dW = ds F dW = _T

ds F

dW = _T O trabalho é igual ao produto do deslocamento pela _{componente da força ao longo do deslocamento.}

F_N não

executa trabalho.

O peso mg não

executa trabalho nesse deslocamento.

O trabalho executado por uma partícula que percorre um trajeto não infinitesimal

AB, é dado pela soma de todos os trabalhos infinitesimais realizados durante os

sucessivos deslocamentos infinitesimais.

∫

⋅

=

∫

=

+

⋅

+

⋅

+

⋅

=

F

ds

r

d

F

W

r

d

F

r

d

F

r

d

F

W

!

!

!

!

!

!

!

!

ou

...

O caso mais simples é aquele de um movimento retilíneo.

Neste caso, temos

Fs

Fds

r

d

F

W

=

=

⋅

=

_∫

!

!

_∫

que é a forma mais comum encontrada em livros escolares.

(

)

x

x

a

dx

a

=

−

∫

No caso mais geral, em que a força possui componentes x,y e z, podemos escrever

(

)

.

ou

∫

+

+

=

+

+

=

dz

F

dy

F

dx

F

W

dz

F

dy

F

dx

F

dW

O trabalho é igual à soma do trabalho

executado por suas componentes retangulares.

(

)

r

d

F

dW

r

d

F

F

F

dW

r

d

F

r

d

F

r

d

F

dW

dW

dW

dW

dW

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

⋅

=

⋅

+

+

+

=

+

⋅

+

⋅

+

⋅

=

+

+

+

=

...

...

...

O trabalho resultante de várias forças é igual ao trabalho executado pela força resultante.

Potência

Representa a “rapidez” com que o trabalho é executado, sendo definida por

.

dt

dW

P =

Utilizando o conceito de trabalho e das relações cinemáticas, temos que

.

v

F

dt

r

d

F

P

!

!

!

!

⋅

=

⋅

=

A potência média é dada por

t

W

P

₌

tempo necessário para a sua realização.

Unidades de Trabalho e Potência

Sistema Internacional (SI) de unidades físicas

Trabalho → Newton x Metro = Joule (J) em homenagem a James Prescott Joule.

Um joule é o trabalho executado por uma força de um newton quando ela desloca uma partícula por um metro.

-2 2 -2 _{J N m m kg s} s kg m N= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅

Potência → Joule x segundo-1 _{= Watt (W) em homenagem a James Watt.}

W 10 MW Megawatt W 10 kW Quilowatt s kg m s J W s kg m J 6 3 -3 2 -1 -2 2 = = ⇒ = = ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ =

Uma unidade popular de trabalho é o quilowatt-hora, que é o trabalho executado por uma máquina de potência de 1kW durante o período de uma hora.

No Brasil é bastante utilizada a unidade cavalo-vapor (cv) que equivale a 75 kgf m s-1

C n x dx x n n + + =

∫

Energia Cinética

Podemos escrever o trabalho de um deslocamento infinitesimal como 2 2 2 1 2 1 Portanto A B B A B A T T mv mv dv v m ds F W dv v m dt ds dv m ds dt dv m ds F − = = = = = =

∫

∫

x

dx

_n

x

C

+

+

=

∫

1

partícula.

da

cinética

energia

a

chamada

É

2

1

→

=

m

v

E

E

E

W

₌

₋

Logo O trabalho realizado por uma força sobre uma

(

)

∫

Trabalho de uma força constante

(

)

.

∫

⋅

=

⋅

∫

=

⋅

−

=

d

r

F

r

r

F

r

d

F

W

!

!

!

!

!

!

!

Se a força é constante, então podemos fazer

Isso mostra que o trabalho independe da trajetória que liga A e B.

Uma aplicação importante é quando o trabalho é realizado pela força da gravidade. Nesse caso

(

)

ˆ

(

)

.

ˆ

e

ˆ

y

y

u

x

x

u

r

r

mg

u

g

m

F

−

+

−

=

−

−

=

=

!

!

!

!

(

y

y

)

mgy

mgy

mg

W

₌

₋

₋

₌

₋

(

)

x

x

a

dx

a

=

−

∫

Energia Potencial

Forças conservativas são aquelas que sua dependência com o vetor posição ou

com as coordenadas (x, y, z) da partícula é tal que o trabalho W pode ser

expresso como a diferença entre os valores de uma quantidade E_p(x, y, z) nos pontos inicial e final. A quantidade E_p é chamada energia potencial e é função das coordenadas da partícula.

∫

A energia potencial é uma função das coordenadas tal que a diferença entre seus valores na posição inicial e na posição final é igual ao trabalho

Energia Potencial

Da equação obtida anteriormente para o trabalho realizado pela gravidade

W = −mg y

(

− y

)

= mgy

− mgy

,

comparando com a definição de energia potencial

W = _A F ⋅ d r = E p,A − Ep,B, B

∫

temos diretamente que a energia potencial gravitacional é dada por

Energia Potencial

O trabalho realizado por forças conservativas é independente da trajetória.

Em particular, no caso em que a trajetória é fechada, o trabalho realizado será nulo visto que

Conservação de energia de uma partícula

Quando a força que age sobre uma partícula é conservativa, podemos utilizar a definição de trabalho em termos da energia cinética e energia potencial para escrever

E

− E

= E

− E

ou, da mesma forma

E

+ E

(

)

= E

(

+ E

)

Quando as forças são conservativas, a energia total E da partícula permanece constante.

Assim, para qualquer posição da partícula, podemos escrever

Conservação do Momentum Linear

Vamos considerar um sistema ideal de dois corpos que

interagem entre si, mas não interagem com nenhum outro

corpo. Apenas forças internas agem no sistema.

Cada corpo exerce uma força sobre o outro. De acordo

com a terceira lei de Newton, as duas forças possuem o

mesmo módulo e mesma direção, porém sentidos

contrários.

Logo, o impulso que um corpo recebe é igual ao do outro,

porém tem sentido contrário. Sendo,

b a b a

I

p

p

I

!

₌

₋

!

_↔

_Δ

!

₌

₋

_Δ

!

p

mv

mv

t

t

v

m

t

F

I

!

!

!

!

Δ

=

−

=

Δ

Δ

Δ

=

Δ

⋅

=

temos

i f b b a a b a

p

p

p

p

p

p

p

p

!

!

!

!

!

!

!

!

=

−

=

−

Δ

−

=

Δ

Conservação do Momentum Linear

Quando a soma vetorial de todas as forças externas é igual a zero e apenas

forças internas atuam sobre um sistema, o momentum linear total do

sistema permanece constante.

O ponto importante da lei da conservação do momento, é que sua aplicação

independe da natureza detalhada das forças internas entre os corpos constituintes

do sistema. Isso significa que podemos aplicar a lei mesmo quando sabemos

muito pouco a respeito das forças internas entre os corpos.

Leis de conservação em colisões

É um exemplo de como as leis de conservação podem fornecer várias

informações físicas de um sistema, sem conhecer detalhes das forças

envolvidas no processo.

Tipos de colisões

-  Elásticas: conservação do momentum linear e da energia cinética.

Exemplo de colisão inelástica

Um corpo de massa m

= 3kg se move com velocidade v

= 4 m/s, quando

colide com um corpo de massa m

= 1kg que esta em repouso, resultando em

um corpo composto. Qual a sua velocidade imediatamente após a colisão?

m₁

1

Exemplo de colisão inelástica

Um corpo de massa m

= 3kg se move com velocidade v

= 4 m/s, quando

colide com um corpo de massa m

= 1kg que esta em repouso, resultando em

um corpo composto. Qual a sua velocidade imediatamente após a colisão?

m₁

1

v! m2 m1 m2 v!'

Solução

Momentum antes da colisão:

p

!

=

m

v

!

+

m

⋅

0

=

m

v

!

Momentum após a colisão:

p

!

'

=

(

m

+

m

)

v

!

'

Pela lei de conservação do momentum linear temos que

p !

!

=

p

'.

Ou seja,

₍

₎

_'

_'

₃

_m/s.

=

+

=

→

+

=

m

m

v

m

v

v

m

m

v

m

!

!

Colisões elásticas

Vamos examinar a colisão entre duas partículas de massa m

e m

, com velocidades iniciais v

e v

e velocidades finais v

e v

.

Pela conservação de energia,

m

v

_{+ m}

v

= m

v

+ m

v

E

+ E

= E

+ E

1

2

m

v

+ 1

2

m

v

= 1

2

m

v

+ 1

2

m

v

m

( v

_{− v}

_{)= m}

(v

− v

) (1)

Pela conservação de momentum:

Lembrando que e aplicando a (1),

temos:

Usando a equação (2), temos:

p

+ p

= p

+ p

m

v

+ m

v

= m

v

+ m

v

m

( v

− v

) = m

( v

− v

) ( 2)

(a

_{− b}

_{)= (a+ b).(a− b)}

m

( v

− v

)(v

+ v

) = m

(v

− v

)( v

+ v

)

v

+ v

= v

+ v

(3)

Assim, se conhecemos as velocidades iniciais das partículas,

pelas equações (2) e (3), podemos determinar as velocidades

finais das partículas envolvidas na colisão.

Da equação (3), temos:

Então substituindo na equação (2),

v

= v

+ v

− v

m

( v

− v

− v

+ v

) = m

(v

− v

)

Mostre que:

− (m

+ m

) v

= ( m

− m

) v

− 2m

v

(m

+ m

)v

= (m

− m

)v

+ 2m

v

v

₌

m

− m

m

_{+ m}

v

+

2m

m

_{+ m}

v

v

=

2 m

m

+ m

v

+ (

m

− m

m

+ m

) v

l 

Velocidades relativas entre as partículas que colidem

Colisão elástica

De (3),

O resultado foi obtido considerando que não há qualquer

perda de energia cinética das partículas envolvidas na

colisão

(colisão perfeitamente elástica).

Nas colisões perfeitamente elásticas, a velocidade relativa de

afastamento das partículas após a colisão é igual à velocidade

relativa de aproximação das partículas antes da colisão.

Colisões perfeitamente elásticas,

Fisicamente é difícil encontrar colisões perfeitamente elásticas.

Normalmente há perdas devido à forças dissipativas (atrito,

deformações, etc.).

r

₌

v

− v

v

− v

l 

Colisões parcialmente elásticas

Nestas colisões, a velocidade relativa final é menor que a

velocidade relativa inicial.

l 

Colisões perfeitamente inelásticas

Após a colisão, a velocidade relativa é nula; as partículas se

deslocam com a mesma velocidade.

r

< 1

Há conservação do momentum, portanto:

A energia cinética do centro de massa do sistema de

partículas permanece constante mesmo em colisões

inelásticas, quando forças externas ao sistema são

desprezíveis.

Nas colisões perfeitamente inelásticas, após a colisão, a

velocidade relativa é nula e as partículas se movem com a

energia do centro de massa.

p

_{= p}

⇒ m

v

_{+ m}

v

_{= (m}

_{+ m}

_{) v}

v

=

m

v

+ m

v