MAT0206/MAP Análise Real - IME Prof. Gláucio Terra

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MAT0206/MAP0216 - An´alise Real - IME - 2007 Prof. Gl´aucio Terra

4a _{Lista de Exerc´}_ıcios

Para entregar: exerc´ıcios 20, 23, 31, 33 e 37.

Obs.: Regras para ganhar a nota extra referente aos exerc´ıcios marcados com “bônus”: (1) a resolu¸cão deve redigida de forma clara e sem erros, e não há notas intermediárias; (2) a nota máxima a ser dada como bônus é 1,0 ponto na média do semestre; (3) os exerc´ıcios devem ser entregues no prazo para entrega da lista.

1-) Exerc´ıcios dos cap´ıtulos 6 e 7 do Elonzinho.

2-) _{Sejam X, Y, Z ⊂ R, X = Y ∪ Z, a ∈ Y}′ _{∩ Z}′_{. Dada f : X → R, tome g} _{= f |}.

Y e h = f |. Z. Se

limx→ag(x) = L e limx→ah(x) = L, ent˜ao limx→af (x) = L.

3-) _{Seja f : X → R monótona, com f(X) ⊂ [a, b]. Se f(X) é denso no intervalo [a, b], então ∀ c ∈} X₊′ _{∩ X}₋′ lim_x→c+f (x) = lim_x→c₋f (x). Se c ∈ X, então este limite é igual a f(c).

4-) _{Se f : X → R é monótona, então o conjunto dos pontos a ∈ X}₊′ _{∩ X}₋′ para os quais lim_x→a+f (x) 6=

lim_x→a−f (x) ´e enumer´avel.

5-) _{Seja f : [0, +∞) → R uma fun¸c˜ao limitada em cada intervalo limitado. Se lim}x→+∞[f (x+1)−f(x)] = L,

então limx→+∞f(x)_x = L. Bônus: vale 0,5 ponto na média do semestre.

A seguinte defini¸cão será usada nas questões subseqüentes:

Definic¸˜ao: _{Seja X ⊂ R. Um subconjunto Y de X diz-se aberto em X se existir um aberto A ⊂ R tal} que Y = A ∩ X; Y diz-se fechado em X se existir um fechado F ⊂ R tal que Y = F ∩ X.

Observação: Na defini¸c˜_{ao acima, note que, se X ⊂ R é aberto, então Y ⊂ X é aberto em X se,} e somente se, Y é aberto em R (mas, se X n˜_{ao for aberto, Y ⊂ X pode ser aberto em X e não ser} aberto em R; por exemplo, [1, 2) é aberto em [1, 3], mas n˜_{ao é aberto em R). Analogamente, se X ⊂ R é} fechado, ent˜_{ao Y ⊂ X é fechado em X se, e somente se, Y é fechado em R (mas, se X não for fechado,} Y ⊂ X pode ser fechado em X e não ser fechado em R; por exemplo, [1, 2) é fechado em (0, 2), mas não é fechado em R).

6-) _{Sejam X ⊂ R e Y um subconjunto de X. São equivalentes as seguintes afirma¸cões:} (a) Y é aberto em X;

(b) para todo y ∈ Y , existe δ > 0 tal que (y − δ, y + δ) ∩ X ⊂ Y .

7-) _{Sejam X ⊂ R e Y um subconjunto de X. São equivalentes as seguintes afirma¸cões:} (a) Y é fechado em X;

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8-) _{Sejam X ⊂ R e f : X → R. S˜ao equivalentes:} (a) f ´e cont´ınua;

(b) para cada A ⊂ R aberto, a imagem inversa f−1(A) ´e aberta em X; (c) para cada F ⊂ R fechado, a imagem inversa f−1(F ) ´e fechada em X.

Observação: _{Em particular, se X ⊂ R é aberto, então f : X → R é cont´ınua se, e somente se, a} imagem inversa por f de qualquer aberto de R é um conjunto aberto (i.e. um subconjunto aberto de R); se X ⊂ R é fechado, então f : X → R é cont´ınua se, e somente se, a imagem inversa por f de qualquer fechado de R é um conjunto fechado (i.e. fechado em R).

9-) _{Sejam X ⊂ R e f : X → R uma fun¸c˜ao cont´ınua. Para todo a ∈ R, tem-se:}

(a) os conjuntos {x ∈ X | f(x) = a}, {x ∈ X | f(x) > a},{x ∈ X | f(x) 6 a} s˜ao todos fechados em X; em particular, se X for fechado, os referidos conjuntos s˜ao todos fechados.

(b) os conjuntos {x ∈ X | f(x) 6= a}, {x ∈ X | f(x) > a}, {x ∈ X | f(x) < a} s˜ao todos abertos em X; em particular, se X for aberto, os referidos conjuntos s˜ao todos abertos.

Sugestão: Não h´_{a o que fazer; apenas observe que os conjuntos {a}, [a, +∞) e (−∞, a] são fechados,} e que os conjuntos R \ {a}, (a, +∞) e (−∞, a) são abertos, e use a questão anterior.

10-) _{Sejam X ⊂ R e f, g : X → R fun¸cões cont´ınuas. Então os conjuntos {x ∈ X | f(x) = g(x)},} {x ∈ X | f(x) > g(x)} e {x ∈ X | f(x) 6 g(x)} são fechados em X (em particular, fechados em R se X o for), e os conjuntos {x ∈ X | f(x) 6= g(x)}, {x ∈ X | f(x) > g(x)} e {x ∈ X | f(x) < g(x)} são abertos em X (em particular, abertos em R se X o for).

Sugestão: Também não há o que fazer; aplique a questão anterior para F _{= f − g e a = 0.}.

11-) _{Seja S ⊂ R n˜ao vazio, e defina d(·, S) : R → R por ∀ x ∈ R} d(x, S)= inf{|x − s| : s ∈ S}. Mostre que,. ∀ x, y ∈ R |d(x, S) − d(y, S)| 6 |x − y|. Conclua que d(·, S) ´e uniformemente cont´ınua.

12-) _{Sejam X ⊂ R e f, g : X → R uma fun¸cões cont´ınuas. Se f e g coincidem num subconjunto denso de} X, ent˜_{ao elas coincidem em X. Em particular, f, g : R → R são cont´ınuas e coincidem em Q, então elas} são iguais (equivalentemente: se uma fun¸c˜_{ao Q → R admite uma extensão cont´ınua R → R, então esta} extensão é única).

13-) _{Sejam X ⊂ R e f : X → R. Tem-se:}

(a) Se Y, Z ⊂ X são fechados em X tais que X = Y ∪ Z, então f é cont´ınua se, e somente se, fY = f |. Y : Y → R e fZ = f |. Z : Z → R são cont´ınuas.

(b) Se (Uα)α∈Aé uma fam´ılia de abertos em X tal que X = ∪α∈AUα, então f é cont´ınua se, e somente

se, ∀ α ∈ A fα= f |. Uα : Uα→ R ´e cont´ınua.

Sugestão: Nos dois casos, uma das implica¸cões é trivial: se f é cont´ınua, então sua restri¸cão a qualquer subconjunto do seu dom´ınio é cont´ınua. Para demonstrar a outra implica¸cão, use a questão 8-) e: (i) dado W ⊂ R, em (a) tem-se f−1_{(W ) = f}−1

Y (W ) ∪ fZ−1(W ), e em (b) tem-se f−1(W ) = ∪α∈Afα−1(W );

(ii) verifique que a união de dois conjuntos fechados em X é um conjunto fechado em X (e, por indu¸cão, o mesmo vale para qualquer fam´ılia finita de fechados em X, mas não precisamos disto), e que a união de uma fam´ılia arbitrária de abertos em X é um conjunto aberto em X.

14-) _{Sejam f, g : [0, 1] → R cont´ınuas. Se f(1) = g(0), então a fun¸cão h : [0, 1] → R dada por h(x) = f(2x)} se 0 6 x 6 1/2 e h(x) = g(2x − 1) se 1/2 6 x 6 1 é cont´ınua.

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15-) (Teorema de Extensão de Tietze na Reta_{) Seja F ⊂ R fechado. Então toda fun¸cão cont´ınua} f : F → R admite uma extensão cont´ınua φ : R → R (i.e. existe φ : R → R cont´ınua tal que φ|F = f ).

Sugest˜ao: _{Por exemplo, defina φ linearmente nos intervalos componentes de R\F , de modo a coincidir} com f nos extremos de cada intervalo; mostre que a fun¸c˜_{ao φ : R → R assim definida ´e cont´ınua.}

16-) Definição: _{Seja X ⊂ R. Uma fun¸cão cont´ınua f : X → R diz-se própria se, para todo K ⊂ R} compacto, f−1(K) é um subconjunto compacto de R.

Mostre que são equivalentes as seguintes afirma¸c˜_{oes, dada f : X → R cont´ınua:} (a) f é própria;

(b) para toda seqüência (xn)n∈N em X que não possui subseqüências convergentes para pontos de

X, a seq¨_{uência {f(x}n)}n∈N não possui subseqüências convergentes.

(c) para toda seqüência (xn)n∈Nem X tal que a seqüência {f(xn)}n∈N é convergente, (xn)n∈Npossui

uma subseqüência convergente para um ponto de X. 17-) _{Seja f : R → R cont´ınua. São equivalentes:}

(a) f ´e pr´opria; (b) lim

x→+∞|f(x)| = limx→−∞|f(x)| = +∞;

(c) para toda seq¨uˆencia (xn)n∈N em R tal que |xn| → +∞, |f(xn)| → +∞.

18-) _{Seja p : R → R uma fun¸cão polinomial não-constante. Dado b ⊂ R, suponha que existe uma seqüência} (xn)n∈N em R tal que p(xn) → b. Prove que (xn)n∈N é limitada e que o conjunto dos seus valores de

aderência é não-vazio e contido em p−1_{({b}). Em particular, se existe uma seqüência (x}

n)n∈N em R tal

que p(xn) → 0, então p tem alguma raiz real. Bônus: vale 0,25 pontos na média do semestre.

19-) _{Sejam X ⊂ R e f : X → R cont´ınua. Para que f se estenda continuamente a uma fun¸cão φ : X → R,} é necessário e suficiente que exista limx→af (x) para todo a ∈ X′.

20-) _{Sejam X ⊂ R e f : X → R monótona, tal que f(X) seja denso num intervalo limitado. Mostre que} existe uma única fun¸cão cont´ınua, mon´_{otona, φ : X → R tal que φ|}X = f .

21-) _{Seja f : R → R uma fun¸c˜ao arbitr´aria. Para cada n ∈ N, seja C}n= {a ∈ R | ∃ I intervalo aberto , a ∈.

I e (∀x, y ∈ I) |f(x) − f(y)| < 1/n}. Mostre que ∀ n ∈ N Cn ´e aberto, e que f ´e cont´ınua em a se, e

somente se, ∀ n ∈ N a ∈ Cn. Conclua que o conjunto dos pontos de continuidade de qualquer fun¸c˜ao

é uma interseçcão enumer´_{avel de abertos. Em particular, não existe nenhuma fun¸cão R → R que seja} cont´ınua nos racionais e descont´ınua nos irracionais (vide questão 28 da lista 3).

22-) Mostre que n˜_{ao existe f : R → R cont´ınua que transforme todo racional num irracional e vice versa.} Bˆonus: vale 0,25 pontos na m´edia do semestre.

23-) (Teorema do Ponto Fixo de Brouwer em dimensão 1_{) Seja f : [a, b] → [a, b] cont´ınua. Prove} que f tem um ponto fixo (i.e. existe x ∈ [a, b] tal que f(x) = x). Dê um exemplo de uma fun¸cão cont´ınua f : [0, 1) → [0, 1) sem ponto fixo.

24-) _{Seja n ´ımpar. Prove que, para todo y ∈ R, existe um ´unico x ∈ R tal que x}n _{= y e que, escrevendo}

x = √n_{y, a fun¸c˜}

ao y 7→ √n_{y assim definida ´e um homeomorfismo (i.e. uma aplica¸c˜}_{ao cont´ınua, invers´ıvel,}

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25-) _{Sejam K, F ⊂ R n˜ao-vazios, K compacto e F fechado. Mostre que existem x}0 ∈ K e y0 ∈ F tais que

∀ x ∈ K, ∀ y ∈ F |x0− y0| 6 |x − y|. Dˆe um exemplo de dois conjuntos fechados e disjuntos F, G tais

que inf{|x − y| | x ∈ F, y ∈ G} = 0.

26-) Se toda fun¸cão cont´ınua, definida num certo conjunto X, é limitada, então X é compacto.

27-) _{Seja f : R → R cont´ınua. Se lim}x→+∞f (x) = limx→−∞f (x) = +∞, ent˜ao f tem um ponto de m´ınimo

x0 (i.e. existe x0 ∈ R tal que f(x0) = min f (R)). Enuncie um resultado an´alogo para o caso de ser

limx→+∞f (x) = limx→−∞f (x) = −∞.

28-) _{Seja p : R → R uma fun¸c˜ao polinomial de grau par, cujo coeficiente l´ıder ´e positivo. Prove que p} tem um ponto de m´ınimo x0. Se p(x0) < 0, mostre que p tem pelo menos duas ra´ızes reais. Enuncie

resultados análogos para o caso em que o coeficiente l´ıder de p é negativo. Sugestão: Para a primeira parte, use a questão anterior.

29-) Definic¸˜ao: _{Sejam X ⊂ R e f, g : X → R. Definimos f ∨ g, f ∧ g : X → R por ∀ x ∈ X}_{f ∨ g(x)}=. max{f(x), g(x)}, f ∧ g(x)= min{f(x), g(x)}..

Sejam X ⊂ R e f, g : X → R. Mostre que:

(a) Se f e g s˜ao cont´ınuas, ent˜_{ao f ∨ g e f ∧ g s˜ao cont´ınuas. Sugest˜}ao: _{verifique que, ∀ x ∈} X_{f ∨ g(x) =} f(x)+g(x)+|f (x)−g(x)|₂ _{e f ∧ g(x) =} f(x)+g(x)−|f (x)−g(x)|₂ .

(b) Se f e g são uniformemente cont´ınuas, ent˜_{ao f + g, f ∨ g e f ∧ g também o são. Se f e g são} uniformemente cont´ınuas e uma delas é limitada, o produto f · g é uma fun¸cão uniformemente cont´ınua. Dê um exemplo de duas fun¸cões uniformemente cont´ınuas cujo produto não é uma fun¸cão uniformemente cont´ınua.

(c) A composta de fun¸c˜oes uniformemente cont´ınuas ´e uniformemente cont´ınua.

30-) Uma fun¸c˜_{ao polinomial p : R → R é uniformemente cont´ınua se, e somente se, tiver grau menor ou} igual a 1. Bônus: vale 0,25 pontos na média do semestre.

31-) Toda fun¸c˜ao cont´ınua mon´_{otona limitada f : I → R, definida num intervalo I, ´e uniformemente} cont´ınua.

32-) _{Seja f : [a, b] → R cont´ınua. Dado ǫ > 0, existem a = a}0 < a1 < · · · < an = b tais que, para cada

i ∈ {1, . . . , n}, ∀ x, y ∈ [ai−1, ai] |f(x) − f(y)| < ǫ.

33-) Uma fun¸c˜_{ao cont´ınua φ : [a, b] → R diz-se poligonal se existirem a = a}0 < a1 < · · · < an = b tais que

φ|[ai₋₁,ai]é um polinômio de grau menor ou igual a 1, para 1 6 i 6 n. Prove que, se f : [a, b] → R é uma

fun¸c˜_{ao cont´ınua, para todo ǫ > 0 existe φ : [a, b] → R poligonal tal que ∀ x ∈ [a, b] |f(x) − φ(x)| < ǫ.} 34-) Uma fun¸c˜_{ao φ : [a, b] → R diz-se uma fun¸c˜ao escada se existirem a = a}0 < a1 < · · · < an = b tais que

φ|]ai

−1,ai[ é constante (= ci), para 1 6 i 6 n. Prove que, se f : [a, b] → R é uma fun¸cão cont´ınua, para

todo ǫ > 0 existe φ : [a, b] → R escada tal que ∀ x ∈ [a, b] |f(x) − φ(x)| < ǫ.

35-) _{Sejam X ⊂ R e f : X → R tal que, para todo ǫ > 0, existe g : X → R cont´ınua tal que ∀ x ∈} X_{|f(x) − g(x)| < ǫ. Ent˜ao f ´e cont´ınua.}

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36-) Definição: _{Sejam X ⊂ R e a ∈ X. Uma fun¸cão f : X → R diz-se semi-cont´ınua superiormente em} a se, para todo ǫ > 0, existe δ > 0 tal que x ∈ X e |x − a| < δ ⇒ f(x) < f(a) + ǫ; f diz-se semi-cont´ınua inferiormente em _{a se, para todo ǫ > 0, existe δ > 0 tal que x ∈ X e |x − a| < δ ⇒ f(x) > f(a) − ǫ.} Uma fun¸c˜_{ao f : X → R diz-se semi-cont´ınua superiormente (abreviadamente, s.c.s.) ou semi-cont´ınua} inferiormente (abreviadamente, s.c.i.), se o for em todos os pontos de X.

Mostre que, dados X ⊂ R e f : X → R, tem-se:

(a) f ´e s.c.s. em a ∈ X se, e somente se, para toda seq¨uencia (xn)n∈N em X tal que xn → a,

lim sup f (xn) 6 f (a);

(b) f ´e s.c.s. em X se, e somente se, a imagem inversa por f de todo aberto da forma (−∞, b) ´e aberta em X;

(c) f ´e s.c.i. em a ∈ X se, e somente se, para toda seq¨uencia (xn)n∈N em X tal que xn → a,

lim inf f (xn) > f (a);

(d) f ´e s.c.s. em X se, e somente se, a imagem inversa por f de todo aberto da forma (b, +∞) ´e aberta em X;

(e) f ´e cont´ınua em a se, e somente se, for semi-cont´ınua superior e inferiormente em a.

37-) _{Sejam X ⊂ R compacto e f : X → R. Se f é s.c.s., então f tem um ponto de máximo em X (i.e. existe} x0 ∈ X tal que f(x0) = max f (X)); analogamente, se f é s.c.i., então f tem um ponto de m´ınimo em X.