INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA CURSO DE GRADUAÇÃO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
JOÃO ROBERTO BÊTA CASAL
LÓGICA NA MATEMÁTICA E NO COTIDIANO:
UMA REFLEXÃO SOBRE O PAPEL DA LÓGICA
NO ENSINO
NITERÓI 2018
JOÃO ROBERTO BÊTA CASAL
LÓGICA NA MATEMÁTICA E NO COTIDIANO: UMA REFLEXÃO SOBRE O PAPEL DA LÓGICA NO ENSINO
Monografia apresentada à
Coordenação do Curso Graduação de
Licenciatura em Matemática da
Universidade Federal Fluminense como requisito parcial para aprovação na disciplina Monografia (GGT 00013) .
Orientadora: Flávia dos Santos Soares
Niterói 2018
AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente aos meus pais, por toda a ajuda, carinho e por me proporcionarem condições para que eu pudesse me dedicar aos meus estudos e a presente monografia.
Agradeço a minha namorada, Luciana Martins, e aos meus amigos de curso por não me fazerem desistir.
Agradeço a Universidade Federal Fluminense e ao Instituto de Matemática e Estatística da UFF, pela assistência dada no decorrer da minha graduação.
Agradeço aos meus professores, que foram parte importante na minha formação intelectual. Pelas indicações de leitura e conversas que instigaram leituras mais profundas sobre conteúdos extracurriculares.
Agradeço a Prof. Dra. Flávia dos Santos Soares pela sua magistral orientação. Agradeço também, toda a atenção e tranquilidade que me foi despendida, e pela paciência durante a elaboração da monografia.
Por fim, agradeço a todas as pessoas que passaram pela minha vida e de certa forma contribuíram para minha formação emocional e intelectual.
RESUMO
A mobilização do raciocínio lógico permeia diversas atividades do nosso dia a dia, entre elas, a leitura, as tomadas de decisões, as escolhas, entre outros. A partir da estruturação das formas corretas de argumentação, feita por Aristóteles, a lógica passou por diferentes processos ao decorrer dos anos, se tornando parte importante da matemática. Pela sua importância na Matemática e pelo seu caráter interdisciplinar, a Lógica pode ser utilizada para auxiliar o processo de ensino-aprendizagem de Matemática, não somente em relação ao simbolismo ou a fundamentação do campo, mas também na estruturação do pensamento. O intuito dessa monografia é trazer uma reflexão sobre o papel da Lógica na educação discutindo sobre seus aspectos e as possibilidades de trabalhar a Lógica no ensino de Matemática. Ao pensar em uma aprendizagem da Matemática de forma mais crítica e transformadora, o estudo da Lógica pode se fazer presente ao inserirmos conceitos de Lógica aos conteúdos matemáticos fixados no currículo da escola básica e utilizando-a como ferramenta para o ensino de outros conteúdos, fazendo correlações entre o cotidiano e a Matemática.
ABSTRACT
The use of logical reasoning permeates various activities of our day to day, among them, reading, making decisions, choices, among others. From the structuring of the correct forms of argumentation, made by Aristotle, logic went through different processes over the years, becoming an important part of mathematics. Because of its importance in Mathematics and its interdisciplinary nature, logic can be used to aid the teaching-learning process of mathematics, not only in relation to the symbolism or the grounding of the field, but also in the structuring of thought. The purpose of this monograph is to reflect on the role of logic in education by discussing its aspects and the possibilities of working logic in mathematics teaching. When thinking about a more critical and transformative learning of Mathematics, the study of logic can be made present when we introduce concepts of logic to the mathematical contents fixed in the curriculum of the basic school and using it as a tool for the teaching of other contents, making correlation between daily life and mathematics.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Aristóteles
14 Figura 2 – Euler
16 Figura 3 – Cartas de Euler a uma Princesa alemã
17 Figura 4 – Diagramas representando os 4 tipos de proposições
categóricas 19
Figura 5 – George Boole 21
Figura 6 – Augustus De Morgan
23
Figura 7 – Gottlob Frege 24
Figura 8 – Giuseppe Peano 24
Figura 9 – Richard Dedekind 25
Figura 10 – Georg Cantor 25
Figura 11 – Diagramas de Euler para proposições com quantificadores 29
Figura 12 – Tabela-verdade para a negação de uma proposição 30
Figura 13 – Tabela-verdade para a conjunção 31
Figura 14 – Tabela-verdade para a disjunção 32
Figura 15 – Tabela-verdade para a condicional 33
Figura 16 – Tabela-verdade para a bicondicional
34
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ... 9
2 HISTÓRIA DA LÓGICA ... 13
2.1 Origens da Lógica, Lógica como campo da filosofia ... 13
2.2 A Lógica como campo da Matemática ... 19
3 A LÓGICA NO COTIDIANO E NA MATEMÁTICA... 27
3.1 Princípios Básicos da Lógica Formal ... 27
3.1.1 Proposição ... 27 3.1.2 Operações Lógicas ... 29 3.1.3 Contradições e Tautologias ... 34 3.1.4 Argumentos ... 35 3.2 A Lógica no cotidiano ... 39 3.3 A Lógica na Matemática ... 46
3.3.1 Demonstração por contraexemplo ... 47
3.3.2 Demonstração por Contraposição ... 47
3.3.3 Demonstração de proposições condicionais ... 48
3.3.4 Demonstração de proposições Bicondicionais ... 49
4 A LÓGICA NO ENSINO ... 51
4.1 A Lógica no desenvolvimento cognitivo ... 51
4.2 O ensino de Lógica e seu caráter interdisciplinar ... 53
4.3 Lógica no ensino de Matemática ... 55
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 60
6 REFERÊNCIAS ... 61
1
Introdução
O processo argumentativo é fundamental na vida de todos os cidadãos. Todos os dias estamos diante de um pensar lógico nas tomadas de decisões, nos desencadeamentos de ideias, nas avaliações de argumentações, entre outros. Mesmo que inerente ao pensar, o desenvolvimento dessas capacidades é de suma importância para a vida em sociedade. Por isso, seus estudos ultrapassaram a barreira do tempo e ainda são importantes nos dias atuais.
[...] [Braine e Rumain (1983)] 1argumentam ainda que o raciocínio dedutivo preside ou condiciona praticamente a totalidade do comportamento diário, e que tanto as mais simples ações, reações ou atitudes quanto as mais complexas, implicam em raciocínio. Observa-se porém que esse raciocínio formal que vem das premissas é algo que emerge do exercício especializado, de um ensino sistemático e tem o aparecimento mais tardio na evolução da cultura humana. (RODRIGUES; DIAS; ROAZZI; 2002, p.118)
A capacidade de distinguir entre um argumento válido e um inválido depende do reconhecimento de regras que validem a argumentação no que diz respeito a sua estrutura. Isso não quer dizer que o convencimento está restrito a quem tem esses conhecimentos ou, mesmo conhecendo a estrutura lógica de argumentação, não quer dizer que sempre será utilizada pelo indivíduo, visto que há momentos em que a racionalidade humana se torna camuflada por sua irracionalidade. Mas a sua aprendizagem torna o ser humano mais propício a fazer julgamentos corretos a respeito de argumentos.
Salmon (1993) destaca que na Lógica o vocábulo “argumentar” é básico para a Lógica. Na linguagem comum, segundo o autor,
[...] “argumentar” significa, muitas vezes “discutir”, “contender”. Em Lógica, porém a palavra “argumentar” não tem essa conotação. Tal como a usamos, um argumento pode ser empregado para justificar uma conclusão, haja ou não franca discordância entre as partes. [...] Grosso
modo, um argumento é uma conclusão que mantém certas relações com
1 BRAINE, M. D. S.; RUMAIN, B. (1983). Logical reasoning. In: FLAVELL, J. H. & MARKMAN, E. M.
(orgs.). Cognitive development, carmichaelís manual of child psychology, v. III, p. 263-289. New York: John Wiley & Sons.
as provas que a confirmam e evidenciam. Em termos mais precisos, o
argumento é uma coleção de enunciados que se relaciona mutuamente.
Um argumento consiste em um enunciado que é a conclusão e em um ou mais enunciados que formam as provas comprovadoras. (SALMON, 1993, p. 2) [grifos do autor]
Rodrigues, Dias e Roazzi (2002) citam Carraher que aponta duas vantagens para o estudo da Lógica:
Primeiro, com seu uso, o informante tem mais facilidade em organizar e apresentar idéias e, consequentemente, suas declarações terão fundamentação mais clara e coerente. Segundo, o informante analisa com maior facilidade as ideias apresentadas por outros, sabendo interpretar argumentos complexos, esmiuçando-os com nitidez, para conseguir conclusões claras e coerentes. (RODRIGUES; DIAS; ROAZZI; 2002, p.118)
Com isso, as ideias da Lógica devem estar presente durante toda a vida escolar dos indivíduos, formando pessoas que saibam argumentar e avaliar argumentações. Não só pelo próprio processo cognitivo ligado ao raciocínio lógico para o desenvolvimento do pensamento, mas como uma forma de criar e refutar argumentos a partir da Lógica formal. Pelo seu caráter interdisciplinar, a Lógica pode ser vista em diversos conteúdos de diversas disciplinas, podendo assim desenvolver o conhecimento não só dá Lógica formal como de conteúdos de Lógica específicos para cada matéria.
Ao pensarmos na área da Matemática, seu o ensino e sua aprendizagem não podem se restringir somente ao ensino metódico de um conteúdo. Deve transpassar a utilização mecanizada da Matemática, buscando algo a mais que somente a reprodução de ideias. O caminho da aprendizagem deve passar pelo desenvolvimento mental do pensamento matemático e do real significado de seus objetos. Isso não quer dizer que as aplicações devem ser ignoradas, muito pelo contrário, fazer com que se desperte no aluno o reconhecimento da “ferramenta” matemática que deve ser utilizada para a resolução de um problema real específico, faz parte do seu desenvolvimento na real compreensão da Matemática. Por exemplo, mais importante do que entender o processo atrelado ao uso da regra de três, é entender o porquê de sua aplicação em certos problemas e conseguir identificá-los no dia a dia. Pensando em uma aprendizagem crítica, buscando uma maior significação de certos conceitos por parte do aluno, a Lógica pode aparecer como um
elemento intermediário do processo, tornando-se um ponto importante no desenvolvimento cognitivo.
Buscando uma compreensão do papel da Lógica no ensino, este texto tem o intuito de discutir a importância da Lógica no cotidiano, suas implicações na construção do conhecimento e seu papel na educação escolar. Ao fazermos isso, buscamos uma reflexão do papel da Lógica na Matemática, criticando a ideia de que somente essa área desenvolve o raciocínio lógico (MACHADO, 2001). Sem ignorar os problemas relacionados a quantidade exorbitante de conteúdos no currículo de Matemática, propomos a ideia de um trabalho indireto e contínuo da Lógica em todos os anos da escola básica, sempre que um conteúdo o permitir.
Iniciaremos com o capítulo 2 sobre a história do desenvolvimento da Lógica, a fim de mostrar suas peculiaridades e o seu desenvolvimento ao longo dos anos, até chegarmos no ponto em que a Lógica se torna parte integrante da área de Matemática. Vale ressaltar, que as pesquisas no campo da Lógica não tiveram um desenvolvimento gradual desde Aristóteles, havendo um período em que nada substancial foi adicionado ao conteúdo encontrado em Organon. Não deixaremos de observar uma inserção didática utilizada para uma melhor compreensão de seu conteúdo, que resultou em um processo visual muito utilizado para a compreensão de conjuntos.
No capítulo 3, trabalharemos com os conceitos básicos da Lógica formal e sua utilização na Matemática por meio de seu uso nas demonstrações. Apresentaremos os conceitos de proposição, conectivos e algumas estruturas de argumentos. A compreensão desses conceitos por parte do professor facilitaria o trabalho de encontrar pontos no currículo de Matemática onde a lógica pode ser trabalhada e desenvolvida. Não falaremos a respeito de outros sistemas lógicos que não tenham uma grande relação com a Lógica aristotélica. Visto que seu desenrolar não seria de grande serventia para o objetivo do texto. Discutiremos também sobre a Lógica no cotidiano e os problemas encontrados pelos indivíduos na avaliação de argumentações.
Ainda discutiremos sobre o papel da Lógica no desenvolvimento do pensamento humano e em que contextos do pensamento cognitivo ele é transformado e compreendido. Posteriormente, discutiremos uma possibilidade de se trabalhar a lógica na educação básica. Tentando responder uma pergunta, “se a Lógica é importante para o
desenvolvimento do raciocínio matemático, porém não deve estar situada no programa curricular de Matemática da escola básica, como podemos trabalhá-la? ”. Serão propostas algumas ideias, porém apenas como exemplificação de como podemos trabalhar a lógica de forma “indireta”.
O capítulo 4, intitulado “A Lógica no ensino”, está voltado para a discussão do papel da Lógica como um auxiliar para uma aprendizagem, significativa dos conteúdos a ser abordados.
2
História da Lógica
Neste capítulo iremos discutir sobre o desenvolvimento da Lógica tanto no campo da Filosofia quanto no campo da Matemática, explicitando alguns filósofos e matemáticos que se preocuparam de alguma forma com o desenvolvimento ou aprimoramento da Lógica. Separamos este capítulo em duas partes, uma falando sobre a Lógica na Filosofia e outro sobre a Lógica na Matemática. No tópico sobre a Lógica como campo da Filosofia apresentaremos a estruturação da Lógica por Aristóteles e uma inserção didática encontrada por Euler para ensinar Lógica a uma jovem princesa. Seguindo para o tópico sobre a Lógica na Matemática, veremos a idealização e desenvolvimento do campo da Lógica Matemática. Não foi de nosso interesse nos debruçarmos sobre o período da Lógica escolástica, destinando a ela uma pequena parte no início do tópico sobre a Lógica como campo da Matemática.
A história da lógica pode ser dividida, com simplificação ligeiramente excessiva em três estágios: (1) lógica Grega, (2) lógica escolástica e (3) lógica matemática. No primeiro estágio, as fórmulas lógicas consistiam de palavras da linguagem ordinária, sujeitas às regras sintáticas usuais. No segundo estágio, a lógica era tirada da linguagem ordinária, mas caracterizada por regras sintáticas diferenciadas e funções semânticas especializadas. No terceiro estágio, a lógica ficou marcada pelo uso de uma linguagem artificial em que palavras e sinais têm funções semânticas muito limitadas. Ao passo que nos dois primeiros estágios teoremas lógicos eram derivados da linguagem ordinária, a lógica do terceiro estágio procede de maneira oposta – primeiro ela constrói um sistema puramente formal e só depois procura uma interpretação na fala comum. (BOYER, 1974, p. 428)
2.1 Origens da Lógica, Lógica como campo da Filosofia
Ao nos perguntarmos sobre a origem da Lógica formal, voltamos ao século IV a.C. e nos deparamos com Aristóteles (384-322 a.C.) em sua obra Organon. Não se sabe ao certo se houve algum outro estudo anterior sobre as formas do discurso, porém, caso haja, os escritos não se perpetuaram até os dias atuais. Organon é uma obra formada por um conjunto de 6 escritos sobre a arte de filosofar, a arte de exercitar a filosofia.
Figura 1 – Aristóteles2
Utilizando os escritos de Aristóteles, o Organon visa falar sobre a linguagem e o estudo dos métodos corretos de argumentação.
O sistema de livros que a tradição liceal formulou com os escritos lógicos de Aristóteles e discípulos, destinado à escola peripatética, intitula-se Organon, que se traduz por órgão, instrumento. órgão é elemento de aparelho, e nesta acepção Aristóteles inventou o nome: elemento do aparelho analítico, a Analítica, que a escolástica latina batizou com o nome de Lógica. O aparelho inclui, além da Analítica, a Gramática e a Retórica, mas os fundamentos do trívio constam deste compêndio do pensamento rigoroso e não paralogista dos livros orgânicos, fonte da lógica formal, a pontos de o próprio Aristóteles reconhecer que, antes dele, nada havia a citar, apesar da penosidade que sofreu em busca de eventuais fontes anteriores, de onde o seu exercício analítico e retórico constituir o primeiro na escola grega e, por efeito, nas demais escolas. (GOMES apud ARISTÓTELES, 1985, p. 9)
Apesar de não chamá-la originalmente pelo nome de Lógica, Aristóteles buscou organizar a Lógica dedutiva e seus processos.
2 Busto de Aristóteles em mármore. Imagem retirada de:
A primeira parte da obra começa falando sobre categorias. Ao introduzir o conceito de substância, o termo de uma proposição, Aristóteles afirma que as substâncias não admitem algo contrário. Porém, apesar de ser una, pode receber simultaneamente qualificações contrárias, dependendo da situação. Isso pode acabar sendo problemático, pois não saberíamos se uma afirmação é verdadeira ou falsa.
Na segunda parte, intitulada “Da interpretação”, Aristóteles começa explicando conceitos gramaticais para que possa inserir a ideia de proposição e principalmente de proposição categórica.
As duas partes seguintes, denominadas sucessivamente como “Analíticos anteriores” e “Analíticos posteriores”, Aristóteles discute as formas corretas de argumentação, abordando conceitos como o de silogismo. Para Aristóteles, “O silogismo é uma locução em que, uma vez certas suposições sejam feitas, alguma coisa distinta delas se segue necessariamente devido à mera presença das suposições como tais” (ARISTÓTELES, 2010, p.112). Está definição de silogismo é encontrada em Analíticos Anteriores (livro I). Outras definições de silogismo podem ser encontradas na obra como na parte denominada “Tópicos”: “O silogismo é um discurso argumentativo no qual uma vez formuladas certas coisas, alguma coisa distinta dessas coisas resulta necessariamente através delas pura e simplesmente” (ARISTÓTELES, 2010, p.347).
Não se sabe ao certo o motivo que levou Aristóteles a desenvolver a Lógica formal. Porém, pode-se observar que algumas partes de suas obras sugerem uma possível motivação para tal. A sexta parte da obra Organon, denominada “Refutações sofísticas”, trabalha em cima das falácias, essas por muitas vezes utilizadas pelos sofistas. Sabe-se que os Sofistas foram adversários e diversamente alvos de críticas por parte de Platão e Aristóteles. Com isso, os sofistas podem ter impulsionado Aristóteles a pesquisar sobre os modos válidos de argumentação.
Os escritos de Aristóteles a respeito da Lógica dedutiva foram de extrema importância para diversas gerações posteriores, de forma que nenhuma mudança substancial ocorreu na Lógica durante aproximadamente 2000 anos. Uma grande mudança ocorreu somente a partir de Frege, Russell e Whitehead. Além disso, seus escritos se mostraram importantes para diversas áreas, entre elas, a Matemática, a ciência e a linguagem. Apesar de se preocupar de certa forma com o ensino da Lógica, levando
em conta as exemplificações que utilizou em seus escritos, os textos de Aristóteles não eram de fácil entendimento para grande parte dos leitores. Assim, ao pensarmos em um momento da história em que houve um maior zelo ao se ensinar Lógica, podemos pensar em Euler e suas cartas a uma princesa da Alemanha.
Figura 2 – Euler3
Em 1740, Frederico II ao assumir trono da Prússia, com o intuito de revitalizar a Academia de Ciências em Berlim, convida Leonhard Euler (1707-1783) a assumir uma posição na sua Academia de Ciências da Prússia. O convite foi aceito e em 1741 Euler se mudou para Berlim.
Uma das primeiras iniciativas do rei da Prússia foi revitalizar a academia de ciências em Berlim, que havia declinado nas últimas décadas. Para lhe dar um prestígio equivalente ao da academia de ciências da França, Frederick II procura o mais importante cientista da época, convidando Euler a se juntar a sua Academia real de ciências da Prússia (MUSIELAK, 2014, p. 3, tradução nossa).
3 Reprodução da obra de Jakob Emanuel Handmann, localizada no Deutsches Museum, Munich. Disponível
Em 1760, no auge de sua carreira como diretor do Departamento de Matemática da Academia de Ciências da Prússia, Euler começou a instruir a princesa Friederike Charlotte von Brandenburg-Schwedt por meio de cartas. Não se sabe ao certo quando Euler conheceu a princesa e nem o motivo que levou uma princesa, de apenas 15 anos, a educar-se com Euler. Porém, acredita-se que o intuito era de preparar a princesa para algo maior que apenas sua curiosidade.
Especula-se que Euler visitou o futuro Margrave em seu castelo em Berlim com o objetivo de servir de tutor às suas filhas. Em 1782, Condorcet insinuou que a princesa desejava receber de Euler algumas lições de física. Todavia, em 1760, Charlotte já era abadessa-coadjutor da abadia de Herford e é mais provável que as cartas tinham a intenção de prepará-la para governar como uma princesa abadessa (MUSIELAK, 2014, p. 4, tradução nossa).
Em 19 de abril de 1760, Euler escreve sua primeira carta destinada à princesa, que na época tinha apenas 15 anos. Durante 2 anos foram escritas 234 cartas em língua francesa, língua utilizada pela corte da Prússia.
Figura 3 – Cartas de Euler a uma Princesa alemã4
4 Imagem retirada de:
https://ia801404.us.archive.org/33/items/lettersofeuleron01eule/lettersofeuleron01eule.pdf https://ia801404.us.archive.org/33/items/lettersofeuleron02eule/lettersofeuleron02eule.pdf
As cartas continham conteúdos sobre diversas áreas, como: Física, Ciência, Astronomia, Música, Lógica, Teologia e Filosofia. Pela complexidade dos assuntos, principalmente para uma pessoa de 15 anos, Euler tomou alguns cuidados em relação ao ensino desses conteúdos como a utilização de desenhos, tabelas e esquemas gráficos como artifícios didáticos a fim de buscar uma melhor compreensão por parte da destinatária. Em 1766, a convite da imperadora russa Catarina II, Euler retornou para a Academia de Ciências de São Petersburgo. Lá, em 1768, foi publicado uma coletânea de 3 livros contendo cópias das cartas de Euler para a princesa Friederike Charlotte.
Posteriormente, Euler perdeu quase totalmente a visão depois de uma doença. Alguém na Russia deve ter lido as cópias das cartas que Euler havia escrito a princesa e descobriu a riqueza científica e filosófica que elas continham. O propósito e a profundidade dos tópicos tratados por Euler fizeram da coleção de cartas uma enciclopédia única. A imperatriz incentivou a publicação das cartas, com o intuito de tornar a ciência acessível a uma ampla variedade de leitores. Ela estava correta. Publicado em 1768, originalmente em língua francesa, Lettres à une
Princesse d’Allemagne sur divers sujets de Physique & de Philosophie
tornou-se rapidamente um sucesso. No final do século XVIII, a trilogia de livros foi traduzida para quase todas as línguas europeias, passando por diversas impressões. (MUSIELAK, 2014, p. 5, tradução nossa)
Foram destinadas pelo menos 7 cartas para ensinar conceitos de Lógica à princesa. É difícil saber em que ponto começa o ensino da Lógica, pois há uma introdução ao conceito filosófico de noção, que serviria posteriormente para o entendimento de proposição. Aqui consideramos a primeira carta sobre o estudo da Lógica, aquela que introduz o conceito de proposição.
Euler passou um mês debruçando-se em temas da Lógica clássica, sendo a primeira carta datada de 10 de fevereiro de 1761. Antes de falar sobre Lógica, Euler dissertou sobre a importância da linguagem para o exercício das abstrações, pois, no uso da linguagem, empregamos palavras, que nada mais são que símbolos, correspondentes a ideias ou objetos. A fim de ensinar sobre os processos válidos de argumentação, Euler propôs o estudo da Lógica. Pela profundidade e complexidade do tema, Euler utilizou representações visuais como um auxílio didático para uma melhor compreensão da natureza dos objetos por meio da visão. Euler começou sua inserção didática utilizando diagramas para melhor elucidar os 4 tipos de proposições categóricas. De acordo com Euler, uma substância contém um número infinito de objetos individuais, então
poderíamos pensá-la como um espaço no qual todos esses objetos estariam contidos. Assim, Euler representou com um círculo o espaço no qual todos os objetos referentes a uma certa substância estariam ali inseridos. Na figura 3 podemos ver como Euler tratou o tema. O mesmo artifício foi utilizado para ensinar as formas válidas de argumentação. (Ver anexo).
Figura 4 – Diagramas representando os 4 tipos de proposições categóricas Fonte: Letters of Euler to a German Princess, 1802, p. 398
Como vimos, Euler precisou pensar em intervenções didáticas para ensinar Lógica. Durante um bom tempo, diversos livros de Lógica utilizaram o diagrama de Euler como uma forma de simplificar o entendimento da Lógica. Alguns matemáticos, entre eles John Venn (1834-1923), buscaram aprimorar os diagramas de Euler a fim de torná-los mais abrangentes.
2.2 A Lógica como campo da Matemática
Os Elementos, de Euclides, é um dos primeiros trabalhos a se preocupar com as demonstrações na Matemática, utilizando um sistema dedutivo próprio como forma de
expressar e demonstrar objetos relativos à geometria, por meio de postulados. Este sistema dedutivo era diferente do que foi proposto por Aristóteles.
Certamente um dos grandes feitos dos matemáticos gregos antigos foi a criação da forma postulacional de raciocínio. A fim de se estabelecer uma afirmação num sistema dedutivo, deve-se mostrar que essa afirmação e uma consequência lógica necessária de algumas afirmações previamente estabelecidas (EVES, 2011, p. 179).
Ao pensarmos na Lógica formal como campo da Matemática, temos que ter em mente que a Lógica por muito tempo não esteve associada diretamente a Matemática. Segundo Ferreirós (2010), a Lógica passou por um grande crescimento na Idade Média (sec. V – sec. XV), porém, naquela época, a Lógica não se comunicava com a Matemática. Enquanto a Lógica era uma das “artes” do Trivium (Lógica ou dialética, gramática e retórica), que correspondia a ciência da linguagem, a Matemática estava ligada ao Quadrivium (aritmética, música, geometria e astronomia), ciência da matéria e das quantidades5.
As ideias de pensar em uma linguagem universal ou até mesmo um modelo de raciocínio lógico para o cálculo, só vieram no século XVII com as ideias de mathesis universalis, de René Descartes (1596-1650), língua characterica e calculus ratiocinator, de Leibniz. Por também ser filósofo, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) foi o primeiro a se preocupar com a algebrização da Lógica. Segundo (BOYER, 1974), ele desejava criar um sistema que “formalizasse” e “algebrizasse” a Lógica, introduzindo símbolos que fossem facilmente compreendidos, a fim de tornar a Lógica uma linguagem universal. Seus estudos fluíram pela integração entre a Lógica proposicional e as operações fundamentais da álgebra, correlacionando conceitos como disjunção e soma; conjunção e multiplicação. Outros autores também deram a devida atenção ao tema.
Leibniz conseguiu, em terminologia corrente, formular as principais propriedades da adição, multiplicação e negação logicas, considerou a classe vazia e a inclusão de classes e notou a semelhança entre algumas propriedades da inclusão de classes e a implicação de proposições. (EVES, 2011, p. 443)
5 Por toda a Idade Média, o Trivium e o Quadrivium compuseram as chamadas Sete Artes Liberais, ou seja,
A tentativa feita por Leibniz de formalizar a Lógica foi ignorada em sua época, fazendo com que sua discussão e relevância só viessem a aparecer no século XIX, quando George Boole (1815-1864), em 1847, em seu livro The Mathematical Analysis of Logic (Análise matemática da Lógica) trouxe novamente as discussões sobre os fundamentos da Lógica formal.
Boole defendia que o caráter essencial da matemática reside em sua forma e não em seu conteúdo; a matemática não e (como alguns dicionários ainda hoje afirmam) simplesmente “a ciência das medidas e dos números”, porém, mais amplamente, qualquer estudo consistindo em símbolos juntamente com regras precisas para operar com esses símbolos, regras essas sujeitas apenas a exigência de consistência interna (EVES, 2011, p. 557).
Em 1854, Boole lançou outro livro, ampliando o trabalho realizado anteriormente. Nesses novos escritos intitulado Investigations of laws of thought (Uma investigação das leis dos pensamentos), Boole fundamenta a Lógica formal e desenvolve uma nova álgebra.
Figura 5 – George Boole6
No mesmo período, outro matemático também deu grandes contribuições a área da Lógica matemática.
Augustus De Morgan começou a investigar o raciocínio relacional em matemática, com o objetivo de enriquecer as estruturas do silogismo aristotélico mediante novos padrões mais ricos, que pela primeira vez permitiram analisar a lógica das inferências matemáticas. (FERREIRÓS, 2010, p. 281, tradução própria)
Augustus De Morgan (1806-1871) tinha o mesmo pensamento de Boole a respeito da Matemática. Para ambos a Matemática se constituía de “[...] um estudo abstrato de símbolos sujeitos a conjuntos de operações simbólicas” (EVES, 2011, p.558). A partir dessa similaridade de pensamento, De Morgan desenvolveu o que hoje conhecemos como as leis de De Morgan. Este,
[...] deu continuidade ao trabalho de Boole na álgebra de conjuntos, enunciando o princípio da dualidade da teoria dos conjuntos, do qual as chamadas leis de De Morgan representam uma ilustração: Se A e B são subconjuntos de um dado conjunto universo, então o complemento da união de A com B é a interseção dos complementos de A e de B, e o complemento da intersecção de A e B é a união dos complementos de A e B ( em símbolos: (𝐴 ∪ 𝐵)′ = 𝐴′ ∩ 𝐵′ 𝑒 (𝐴 ∩ 𝐵)′ = 𝐴′ ∪ 𝐵′ onde 𝑋′ indica o complemento de X). (EVES, 2011, p. 558)
As contribuições de Boole e de De Morgan foram importantes para o desenvolvimento da álgebra das relações por C.S. Peirce, tendo sido sistematizada por Ernst Schroeder em Lições sobre a álgebra da lógica, baseados na álgebra da Lógica de Boole e na Lógica das relações de De Morgan.
Figura 6 – Augustus De Morgan7
Cabe ressaltar que segundo Ferreirós (2010), as pesquisas em Lógica matemática de De Morgan e Boole, voltadas para a algebrização da Lógica são significativamente diferentes das pesquisas posteriores em Lógica matemática, associadas a Frege, Cantor, Dedekind, Peano e Russel. Esses últimos passaram a pesquisar sobre assuntos que anteriormente estavam mais para a área da Filosofia do que da Matemática, como a busca por esclarecer o conceito de número.
Essa nova abordagem no pensamento da Lógica matemática se inicia a partir dos trabalhos de Gottlob Frege (1848-1925) e de Giuseppe Peano (1858-1932). “O que motivava o trabalho de Peano era o desejo de expressar toda a Matemática em termos de um cálculo lógico, ao passo que o trabalho de Frege derivava da necessidade de uma fundamentação mais sólida para a matemática” (EVES, 2011, p.670).
Figura 7 – Gottlob Frege8 Figura 8 – Giuseppe Peano9
Por um olhar tão matemático quanto filosófico, alguns matemáticos se viram levados ao estudo da teoria dos conjuntos, estabelecido por Richard Dedekind (1831-1916) como o verdadeiro fundamento da Matemática e tendo em Georg Cantor (1845-1918) o seu maior inovador. Não é à toa que, segundo Ferreirós (2010), as discussões em torno da teoria dos conjuntos foram incentivadoras de novas ideias lógicas a partir de 1900. De forma que, no decorrer do século a teoria dos conjuntos se torna indissociável da Lógica matemática a nível institucional.
8 Imagem retirada de: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/PictDisplay/Frege.html 9 Imagem retirada de: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/PictDisplay/Peano.html
Figura 9 – Richard Dedekind10 Figura 10 – Georg Cantor11
No final do século XIX e início do século XX, muitos trabalhos sobre a lógica matemática e a fundamentação da Matemática tiveram uma maior recepção por parte de filósofos que de matemáticos, principalmente por causa do empenho de pesquisadores que eram tanto filósofos quanto matemáticos, como Frege e Bertrand Russel (1872-1970), que tiveram contribuições igualmente grandiosas à Filosofia, como a idealização da Filosofia analítica.
Convêm enfatizar que estas novas contribuições vieram sobretudo de matemáticos com um notório interesse pela filosofia e pelos árduos problemas dos fundamentos do conhecimento matemático. Suas contribuições reorientaram os caminhos da tradição lógica e retrospectivamente pode-se dizer que arrancaram da filosofia um campo que até então havia sido considerado próprio, para formar uma nova disciplina caracteristicamente matemática. (FERREIRÓS, 2010, p. 281)
O trabalho iniciado por Frege e Peano levou Russell a criar, em conjunto com Alfred North Whitehead (1861-1947), o Principia Mathematica, “[...] a idéia básica dessa obra é a identificação de grande parte da Matemática com a Lógica pela dedução do sistema dos números naturais e, portanto, do grosso da Matemática, a partir de um
10 Imagem retirada de: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/PictDisplay/Dedekind.html 11 Imagem retirada de: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/PictDisplay/Cantor.html
conjunto de premissas ou postulados da própria lógica” (EVES, 2011, p.670). O principia mathematica teve uma grande importância para a fundamentação da Matemática, de tal forma que, ainda hoje, há muitos matemáticos pesquisando sobre Lógica simbólica.
Outro matemático com notória importância na fundamentação da Matemática foi David Hilbert (1862-1943). Hilbert teve diversas contribuições para a Matemática, principalmente na fundamentação da Geometria em seu livro Grundlagen der Geometrie, no qual apresenta o que conhecemos hoje como os axiomas de Hilbert. Podemos encontrar outra grande contribuição em seu trabalho denominado Grundlagen der Mathematik, no qual Hilbert “[...] tentava construir a matemática mediante o uso da Lógica simbólica de uma nova maneira cujo objetivo era tornar possível a determinação da consistência da matemática” (EVES, 2011, p.670).
Como vimos no texto, o desenvolvimento e as transformações da Lógica, por parte da Matemática, foram tão profundas, que, no decorrer dos anos, a Lógica se tornou um objeto, de forma interdisciplinar, tanto da Filosofia quanto da Matemática.
3
A Lógica no cotidiano e na Matemática
Neste capítulo falaremos sobre a Lógica formal, aquela formalizada por Aristóteles, em sua diversidade, porém sem um grande aprofundamento a respeito do tema. Veremos também um exemplo do uso da Lógica na Matemática por meio do uso em demonstrações e alguns problemas encontrados pelos indivíduos para resolver problemas envolvendo a Lógica.
O lógico,
[...] se ocupa da coerência do discurso sem levar em conta o tema sobre o qual esse versa. O ponto central desta questão está na distinção entre verdade lógica e verdade factual. Uma verdade lógica é sustentada em virtude da sua forma, mas não em decorrência do conteúdo por ela expresso. Por exemplo, a afirmação ‘ João está vivo ou João não está vivo’ é tida como verdade lógica. Ela será sempre verdadeira, independente de quem seja João ou do que seja estar vivo. (MARTINS; 2012, p.1)
3.1 Princípios Básicos da Lógica Formal
Ao começar o estudo da Lógica primeiramente devemos diferenciar a forma do conteúdo de uma sentença. O conteúdo de um enunciado diz respeito ao sentido de uma argumentação, enquanto a forma é tudo que permanece inalterado quando muda-se o componente da proposição. A Lógica não está interessada no estudo do conteúdo de uma frase, mas sim em sua forma. Neste capítulo, nos debruçaremos no estudo de alguns conceitos básicos da Lógica, como proposições e argumentos.
3.1.1 Proposição
Proposição é uma sentença que pode ser classificada somente como verdadeira ou falsa, não podendo ter uma terceira via ou ser as duas ao mesmo tempo. Logo, enunciados como “Como foi o seu dia? ” ou “Deus te acompanhe!”, que não podem ser classificados como verdadeiro ou falso, não são proposições. Enquanto enunciados como “Brasília é a
capital do Brasil” é uma proposição, pois podemos atribuir valor de verdadeiro ou falso a esse enunciado12. Com isso, nem todo enunciado é uma proposição e mais ainda, só serão proposições enunciados declarativos.
Exemplos de proposição: Manga é uma fruta. Coração é um órgão.
Ainda assim, podemos encontrar problemas ao classificar algumas proposições. Em proposições como “A maioria das pessoas são felizes”, não podemos facilmente classificá-la como verdadeira ou falsa. “Aristóteles evitou essas imprecisões da linguagem ordinária considerando, apenas, em seus argumentos, proposições que não pudessem dar margem a dúvidas quanto ao seu entendimento”(MACHADO; CUNHA, 2005, p. 33-34). Esses tipos de proposições das quais podemos aferir classificação são chamadas de proposições categóricas. Elas são escritas com o uso de quantificadores de dois tipos: universal ou existencial.
• Afirmação universal: “Todo a é b” Exemplo: Todo Gato é mamífero
• Afirmação particular: “Alguns a são b” Exemplo: Alguns triângulos são isósceles. • Negação universal: “Nenhum a é b”
Exemplo: Nenhum número par maior que 2 é primo. • Negação particular: “Alguns a não são b” Exemplo: Alguns artistas não são famosos
A figura a seguir ilustra os quatro tipos de proposições citadas.
12 “Verdade e falsidade são conhecidos como valores de verdade de enunciados; cada enunciado tem um e
Figura 11 – Diagramas de Euler13 para proposições com quantificadores
Fonte: MACHADO; CUNHA (2005, p. 38)
Podemos também trabalhar a relação entre os quantificadores universal e particular. De tal forma que se uma afirmação universal é verdadeira, então uma afirmação particular, desta afirmação universal, também será verdadeira. Se “Todo gato é mamífero“ é verdade, então “alguns gatos são mamíferos” também é verdade. Porém não podemos tirar grandes conclusões quando estamos diante de casos que partam do particular para o universal.
3.1.2 Operações lógicas Negação (¬)
A negação de uma proposição p, é uma proposição representada por “não p”, cujo valor lógico seja contrário a ela mesma (KELLER; BASTOS, 2000). Utiliza-se (¬) ou (~) como representação simbólica da negação.
13 Os diagramas levam o nome do matemático suíço Leonhard Paul Euler (1703-1783). Segundo Machado
e Cunha (2008), Euler teria recorrido a esses diagramas tendo em vista facilitar a compreensão das regras da boa argumentação.
p
¬ p (negação de p) Exemplos:
Afirmação: Brasília é a capital do Uruguai. Negação: Brasília não é a capital do Uruguai. Afirmação: 5 não é um número ímpar. Negação: 5 é um número ímpar.
p ¬ p
V F
F V
Figura 12 – Tabela-verdade14 para a negação de uma proposição
Alencar Filho (2002) considera que outra maneira de efetuar a negação consiste em antepor a proposição dada expressões como “não é verdade que”, “é falso que”. Assim, conforme exemplo do autor, dada a proposição p “Carlos é mecânico”, ¬ p pode ser escrita como “Não é verdade que Carlos é mecânico” ou “É falso que Carlos é mecânico”. Entretanto, “[...] a negação de “Todos os homens são elegantes” é “Nem todos os homens são elegantes” e a de “Nenhum homem é elegante” é “Algum homem é elegante” (ALENCAR FILHO, 2002, p.18).
Conjunção (^)
Proposições lógicas podem ser encontradas em toda a teoria matemática. proposições simples podem ser combinadas para formar proposições compostas, cujos valores lógicos também podem ser determinados. Uma forma de obter proposições compostas é com o uso dos conectivos.
14 Nas tabelas-verdade empregam-se a letra V para denotar o valor lógico verdadeiro e a letra F para denotar
o valor lógico falso de uma proposição. “A ideia básica subjacente na construção de tabelas de verdade é que existem certas maneiras de realizar enunciados compostos a partir de resultados simples, de modo que o enunciado composto é completamente determinado pelos valores de verdade das parte componentes” (SALMON, 2002, p. 20).
Chamamos de conjunção a junção de duas proposições simples pelo conectivo “e”.
Para que uma conjunção seja verdadeira é necessário que as duas proposições simples sejam verdadeiras. Utiliza-se “^” como representação simbólica da conjunção.
p ^ q p q p ^ q V V V V F F F V F F F F
Figura 13 – Tabela-verdade para a conjunção
Alguns exemplos dados por Machado e Cunha (2005) são: “João é pernambucano e 2+2=5”, “Platão era grego e Pilatos era romano” (p. 54).
Salmon (2002) alerta ainda para o aspecto temporal que não está sendo considerado quando usamos o conectivo “e” que, nas conversas comuns, tem um significado diferente quando usamos a simbologia matemática. A proposição “Joana ficou grávida e casou” dada pelo autor, teria uma significação radicalmente diferente da do enunciado “Joana casou e ficou grávida”. Isso decorre por conta do fato de que a palavra “e” tem, por vezes, a força de “e então”.
[...] sem formular quaisquer preceitos temporais, que ambos os enunciados componentes, “Joana ficou grávida” e “Joana casou” são verdadeiros [...] então, de acordo com a definição da tabela de verdade, a conjunção desses dois enunciados é verdadeira, não importa a ordem em que se combinam. Assim, há uma séria discrepância entre a palavra “e” tal como é comumente usada na maioria das vezes e o conectivo [...]. (SALMON, 2002, p. 21)
A conjunção aparece muitas vezes na linguagem corrente por meio da utilização da palavra “e”, embora por vezes ela esteja disfarçada sob outras formas. Frases do tipo “3 é um divisor comum de 9 e 12” ou “A comida é boa, enquanto que o serviço é pobre” também envolvem a ideia de conjunção. Salmon (2002) lembra que “[...] outras palavras
como “embora”, “todavia” e “contudo” servem frequentemente, tal como “mas”, para enunciar uma conjunção e acentuar o contraste entre os conjuntos” (p.21).
Disjunção (v)
Chamamos de disjunção a ligação entre duas proposições simples por meio do conectivo ou. Para que uma disjunção seja verdadeira é necessário que uma das proposições simples seja verdadeira. Utiliza-se “v” como representação simbólica da disjunção.
p v q Exemplo:
Maria é atriz ou cantora.
A proposição será verdadeira se Maria for somente atriz, somente cantora ou ambos. p q p v q V V V V F V F V V F F F
Figura 14 – Tabela-verdade para a disjunção
Salmon (2002) chama atenção para o fato de que a palavra “ou” tem dois significados distintos:
Numa acepção (conhecida como o sentido exclusivo) significa “um ou outro mas não ambos”. Esse é o significado que tem num cardápio a frase “sopa ou salada”, usada para informar o que é oferecido como entrada. A outra acepção (conhecida como o sentido inclusivo) é frequentemente traduzida pela expressão “e/ou”, que aparece amiúde em documentos como apólices de seguro e testamentos (p. 21).
Assim, o “ou” na linguagem natural, pode traduzir tanto a ideia de possibilidades mutuamente exclusivas como a de que pelo menos uma das hipóteses ocorre
(MACHADO; CUNHA, 2005). “Na Lógica formal, no entanto, o conectivo ou é sempre usado com o sentido não-exclusivo” (MACHADO; CUNHA, 2005, p. 55).
Condicional (⇒)
Chamamos de condicional uma proposição da forma “ se p, então q”. Essa proposição é constituída de outras duas proposições simples concatenadas por uma relação, na linguagem corrente, de “causa” e “efeito”. Utiliza-se “⇒” como representação simbólica da condicional.
Exemplo:
Se amanhã não chover, então irei ao cinema.
p q p ⇒ q
V V V
V F F
F V V
F F V
Figura 15 – Tabela-verdade para a condicional
Igualmente para esse tipo de estrutura, Salmon (2002) faz algumas ressalvas. Para o autor esse tipo de construção,
[...] difere acentuadamente da frase “se... então...” tal como é usada na maioria dos enunciados condicionais do discurso comum. Ao definir esse conectivo [...] vemo-nos comprometidos a tratar como verdadeiro qualquer condicional que tenha um antecedente verdadeiro – por exemplo, “Se Marte é um planeta, então os diamantes são compostos de carbono”. Tal enunciado não seria normalmente visto como um condicional razoável, porquanto parece não haver conexão nenhuma entre a verdade do antecedente e a verdade do consequente (p. 21).
Alencar Filho (2002) alerta também que uma condicional “p ⇒ q” não afirma que o consequente se deduz ou é consequência do antecedente p, como no exemplo, “ 7 é um número ímpar ⇒ Brasília é uma cidade. O que a condicional afirma, segundo o autor é
“[...] unicamente uma relação entre os valores lógicos do antecedente e do consequente de acordo com a tabela-verdade [...]” (p. 23) (Figura 15).
Bicondicional ()
Chamamos de bicondicional ou equivalência proposições da forma “se p, e somente se q”. Uma proposição bicondicional é verdadeira quando ambas as proposições simples forem verdadeiras ou quando ambas as proposições simples forem falsas, caso contrário a bicondicional será falsa. Isso acontece pois há uma implicação de p em q e também uma implicação de q em p, em que ambas devem ser verdade. “É como se uma delas acarretasse a outra e vice-versa, ou seja, intuitivamente como se cada uma pudesse ser considerada, simultaneamente, causa e efeito. Do ponto de vista da Lógica Formal, elas afirmam a mesma coisa” (MACHADO; CUNHA, 2005, p. 57). Utiliza-se “” como representação simbólica da bicondicional.
Exemplo:
8 é menor que 10 se e somente se 10 é menor que 8.
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
Figura 16 – Tabela-verdade para a bicondicional
3.1.3 Contradições e Tautologias
Chama-se contradição toda a proposição composta cujo valor lógico é sempre F (falsidade) quaisquer que sejam os valore lógicos das proposições simples que a compõe (ALENCAR FILHO, 2002). A frase atribuída a Sócrates “Só sei que nada sei” é um exemplo de contradição. No ponto de vista da Lógica clássica, contradições não são válidas, pois, uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa, não podendo ser ambas. Um dos problemas gerados pela contradição é a formação de paradoxos. De modo geral, “[...] qualquer tipo de sentença composta equivalente a uma afirmação do tipo A e não-A
é contraditória, ou traz uma contradição” (MACHADO; CUNHA, 2005, p. 58) [grifo do autor].
Em uma aula, instado por um aluno a dar um exemplo de tal fato, o filósofo e matemático Bertrand Russell solicitou dele uma contradição, tendo recebido a seguinte proposição: “2=1 e 2≠1”. A partir dela, prometeu: “Vou provar-lhe que sou o Papa!” E construiu o seguinte argumento: “Eu e o Papa somos diferentes; eu e o Papa somos 2; Logo, eu e o Papa somos 1”. (MACHADO; CUNHA, 2005, p. 59)
Esse tipo de argumento exposto por Bertrand Russel é um exemplo de problemas que são gerados por proposições contraditória.
Diferentemente da contradição, a tautologia é um enunciado que afirma algo sempre verdadeiro. Para Machado e Cunha (2005), do ponto de vista da lógica formal, uma proposição tautológica nada nos informa de novo, em nada contribui para a construção da argumentação. Frases como “João vai ao baile ou João não vai ao baile” é um exemplo de Tautologia, pois caso primeira proposição seja falsa a segunda, sua negação, será verdadeira e vice-versa. Como tratamos de uma disjunção, então a veracidade de uma das proposições simples é suficiente para que a disjunção seja verdadeira.
3.1.4 Argumentos
Ao se trabalhar com a Lógica, deve-se distinguir os conceitos de proposição e argumento. Segundo Nahra e Weber (2005), as proposições são segmentos linguísticos com sentido completo, podendo ser classificados como verdadeiro ou falso. Já os argumentos são um conjunto de proposições que são combinados na forma de premissa (ou mais de uma) e conclusão. Exemplo:
Todo mamífero tem glândulas mamárias. Premissa 1
Os gatos têm glândulas mamárias. Premissa 2
Os gatos são mamíferos. Conclusão
Podemos definir um argumento como válido ou inválido. Sua classificação dependerá de alguns critérios:
Um argumento é dito Válido quando:
• É impossível que, sendo verdadeiras suas premissas, seja falsa sua conclusão. • É impossível que, considerado as premissas como sendo verdadeiras, a conclusão não possa ser imediatamente deduzida destas premissas.
Um argumento é dito Inválido quando:
• Supondo que as premissas sejam verdadeiras, a conclusão pode ser falsa. • Apesar das premissas serem consideradas como verdadeiras, a conclusão não pode ser deduzida destas premissas.
Entretanto, Salmon (2002) ressalta que uma vez que:
[...] a correção ou incorreção lógica do argumento depende exclusivamente da relação entre as premissas e a conclusão, e é totalmente independente da verdade das premissas, segue-se que podemos analisar argumentos sem saber se as premissas são verdadeiras; de fato, podemos até analisá-los embora sabendo que as premissas são falsas. Essa é uma característica desejável da situação. É geralmente útil saber que conclusões podem ser inferidas de premissas falsas ou duvidosas. Por exemplo, a deliberação inteligente envolve a consideração das consequências de várias alternativas. Podemos construir argumentos com várias premissas a fim de ver quais são as possíveis consequências (p. 3).
Para Machado e Cunha (2005):
Em um argumento bem-construído, as premissas devem evidenciar razões suficientes para que aceitemos a conclusão; em um argumento mal construído, mesmo que a conclusão seja, eventualmente, verdadeira, as premissas não são razões suficientes para garanti-la (p.20).
Segundo Paixão (2007) “[...] se existe entre as premissas e a conclusão do argumento uma relação de consequência necessária15, o argumento será dedutivo; e se for uma relação de consequência apenas provável16, o argumento será indutivo” (p.36). Ainda segundo o autor, o argumento dedutivo nos conduz de uma verdade mais geral para
15 Como consequência necessária o autor entende que é aquela que, se admitirmos a verdade da premissa
do argumento, nos obriga a aceitar incondicionalmente a verdade de sua conclusão.
16 A consequência provável, segundo o autor, e aquela em que caso admitamos a verdade das premissas,
uma verdade menos geral, enquanto que o argumento indutivo nos conduz de verdades menos gerais para uma verdade mais geral.
Silogismo
Silogismo é um tipo de argumento dedutivo estruturado por duas premissas e uma conclusão (PAIXÃO, 2007). As premissas são classificadas em premissa maior e premissa menor. A premissa maior é formada pelo termo maior e pelo termo médio. A premissa menor é formada pelo termo menor e pelo termo médio. A conclusão é formada pelo termo maior e pelo termo menor. Exemplo:
Todos os homens são mortais. Premissa Maior Carlos é homem. Premissa Menor Carlos é mortal. Conclusão
Neste caso, mortal é o termo maior, homem o termo médio e Carlos o termo menor. Como podemos observar o termo médio serve para fazer a “ligação” entre as premissas.
No exemplo temos um tipo de silogismo no qual a primeira premissa é uma afirmação universal, a segunda é uma afirmação particular e a conclusão também é uma afirmação particular. Esse tipo de estrutura é característica do silogismo categórico ou silogismo aristotélico. Silogismo categórico é um tipo de silogismo do qual tanto as premissas quanto a conclusão são proposições categóricas.
Silogismo Condicional
O Argumento condicional é um tipo de argumento no qual sua primeira premissa é da forma “se p, então q”.
P ⇒ Q Premissa Maior P Premissa Menor Portanto Q Conclusão
A premissa maior é o ponto principal do argumento condicional. A premissa maior informa que caso P seja verdadeiro então Q também será verdadeiro. A primeira proposição (P) também é nomeada de “antecedente” enquanto que a segunda proposição (Q) é denominada de “consequente”
Há quatro tipos básicos de Silogismo condicional (Modus Ponens, Modus Tollens, Afirmação do Consequente, Negação do Antecedente). Destes quatro, apenas dois são argumentos válidos (Modus Ponens e Modus Tollens).
• Modus Ponens – É um tipo de silogismo condicional no qual a premissa menor e a conclusão são afirmativas, sendo a premissa menor referente ao antecedente.
Se p, então q p ⇒ q
p p Portanto q q
Exemplo:
Se estiver chovendo, então ficarei em casa. p ⇒ q Está chovendo. p
Fiquei em casa. q
• Modus Tollens – É um tipo de silogismo condicional no qual a premissa menor e a conclusão são negativas, sendo a premissa menor referente a negação do consequente.
Se p, então q p ⇒ q
Não q ¬q
Então não p ¬p
Exemplo:
Se o fósforo acender então o óleo está quente. p ⇒ q
O óleo não está quente. ¬q
• Afirmação do Consequente – É um tipo de silogismo condicional no qual a premissa menor é referente a afirmação do consequente. Neste caso, nada podemos inferir sobre a conclusão.
Se p, então q p ⇒ q
q q
?
Exemplo:
Se estiver chovendo, então ficarei em casa p ⇒ q Estou em casa q Está chovendo ou não está chovendo. p v ¬p
• Negação do Antecedente – É um tipo de silogismo condicional no qual a premissa menor é referente a negação do antecedente. Nada podemos inferir sobre a conclusão.
Se p, então q p ⇒ q
não p ¬p
?
Exemplo:
Se o fósforo acender então o óleo está quente. p ⇒ q
O fósforo não acendeu. q
O óleo está quente ou o óleo não está quente.
3.2 A lógica no cotidiano
No nosso dia a dia, estamos diante de situações nas quais o raciocínio lógico é mobilizado. São encontrados alguns exemplos17, como os a seguir, com muita frequência.
1) Senhor Arnaldo, quem faz hora extra recebe uma gratificação e eu tenho trabalhado duas horas a mais do que foi acordado entre mim e a sua empresa. Logo, eu estou merecendo uma gratificação.
2) Quero um carro confortável e dos carros que vi fiquei em dúvida entre o Sandero e o Palio, mas o Palio é desconfortável. Logo, vou comprar o Sandero.
3) Mãe, as ruas ficam ermas, e consequentemente perigosas de madrugada e a festa terminará lá pelas 2 horas da manhã, logo é preferível que eu durma na casa de Adelaide para não correr riscos.
Quando tomamos decisões, defendemos opiniões, contamos uma piada e até mesmo quando lemos um livro, estamos diante de situações em que chegamos a algumas conclusões a partir de certas premissas. Mesmo inconscientemente, formamos conclusões de acordo com premissas que já foram pré-estabelecidas pelo nosso subconsciente.
Nem sempre, entretanto, tem-se a consciência de se estar elaborando em si mesmo, um silogismo completo. Às vezes, o que aflora no plano da consciência é apenas a conclusão, traduzida em expressão verbal, em ações ou em comandos. Mas, antes dela, ou melhor, por baixo dela, subjaz como nos icebergs, uma elaborada série de processos mentais, que fornece os elementos ou dados para a generalização presente no silogismo. (RODRIGUES; DIAS; ROAZZI; 2002, p.118)
As piadas também trabalham com uma linha de pensamento argumentativo na forma de premissas e conclusão. Ela se torna engraçada quando a sua conclusão é inesperada, uma vez que uma interpretação dúbia de uma palavra ou frase ou por omissão de alguma premissa, pode encaminhar o ouvinte a uma conclusão diferente da piada. Como podemos ver a seguir:
– A mãe pergunta ao Joãozinho: “Joãozinho, porque você e seu amigo Marcos não passam mais tempo juntos? ”
– Joãozinho: “Mãe, você gosta de passar tempo com alguém que fume e beba? ” – Mãe: “Claro que não, Joãozinho! ”
Nessa piada, o ouvinte é levado a pensar que o que fez Joãozinho não passar mais tempo com Marcos é o fato de Marcos fumar e beber. Porém, no final, o ouvinte é surpreendido pois, quem fuma e bebe é o Joãozinho.
Na análise ou criação de argumentos, utilizamos essencialmente duas condições: A verdade das premissas e a validade do argumento.
Segundo Machado e Cunha (2005) o julgamento a respeito da veracidade do conteúdo das premissas é garantido por vários fatores, entre eles estão: o conhecimento plenamente justificado no terreno científico; a autoridade de especialistas no tema; ser uma questão de princípios, ou um dogma indiscutível; o conhecimento a nível de senso comum; confiança na palavra de quem as enuncia. Mesmo possuindo uma base para a crença nas premissas, há sérios problemas relativos a esses fatores. Até mesmo no campo científico pode-se cometer erros, pois o mundo está em constante mudança e a sua compreensão a respeito dele também muda com o tempo.
Mesmo o conhecimento chamado de “científico” está em permanente estado de construção e fatos que eram considerados verdades indiscutíveis ontem podem não mais sê-lo hoje: O átomo já foi indivisível, o tempo já foi absoluto, a Terra já foi plana [...]. (MACHADO; CUNHA, 2005, p. 50)
Machado e Cunha (2005) também citam problemas a respeito de outros fatores utilizados para analisar a veracidade dos conteúdos das premissas.
Quanto a argumentos que se apoiam na autoridade ou na confiança, eles sempre envolvem um risco, e entregar-se aos mesmos representa uma racionalização por meio de uma decisão irracional. [...]. As crenças legitimadas pelo senso comum, aquelas proposições de que não falamos (ou pouco falamos) explicitamente, mas são admitidas tacitamente como verdadeiras, constituem o fundamento da maior parte dos argumentos. Ainda que dificilmente consigamos viver e argumentar sem recorrer a tal expediente, é precisamente aí que mora o perigo... (MACHADO; CUNHA, 2005, p. 50)
A confiança na palavra de quem as enuncia é tão utilizada para se defender uma premissa que um dos artifícios utilizados em debates é o da desmoralização do “concorrente”. Em debates eleitorais encontramos esse artifício, na qual os ataques são feitos à pessoa do candidato opositor e não as suas propostas, a fim de acabar com a
credibilidade do candidato perante ao público. Esse tipo de argumentação chamada de ad hominem é uma falácia, pois tenta negar o conteúdo de uma premissa fazendo uma crítica ao autor, ao invés de criticar a premissa. No dia a dia, os tipos válidos de argumentação são relativizados e encontramos casos envolvendo o argumentum ad hominem, pois a confiança no enunciador é um dos fatores utilizados para validar premissas.
O fato é que, nas situações da vida cotidiana, diferentemente dos contextos da Lógica Formal, para argumentar é fundamental interessar-se pela verdade das premissas, tanto quanto o é explicitar os nexos entre elas e a conclusão que se apresenta como verdadeira. E como o que se busca, em geral, é convencer os outros e persuadi-los a agir do modo que nos interessa, muitos recursos extralógicos, dispensáveis em uma perspectiva puramente formal, são utilizados pelos participantes de um debate, de uma discussão, de uma argumentação (MACHADO; CUNHA, 2005, p. 51).
Paixão (2007) ainda esclarece que:
[...] embora a verdade das premissas seja uma condição necessária para um argumento bem fundamentado, não é suficiente. Premissas verdadeiras podem não contribuir muito com o argumento se sustentam mal sua conclusão. [...] o propósito das premissas é sustentar uma conclusão, oferecer-nos alguma razão persuasiva para aceitá-la; mas, se as premissas, embora verdadeiras, forem inconsistentes, não podem fazer isso. Uma das maneiras como as premissas expõem inconsistências é quando não são pontos para a conclusão (p. 93).
Durante anos, alguns estudiosos buscaram compreender o processo cognitivo utilizado pelos indivíduos para chegar a algumas conclusões. Estudaram o ser como lógico, evidenciando o raciocínio dedutivo usado por eles. Falmagne18 (1975, apud DIAS 1996, p. 12) distingue duas formas de estudar o raciocínio lógico dos indivíduos, sendo a primeira à Lógica do filósofo e a segunda à Lógica do cientista.
Estudar a pessoa como lógico significa analisar como ela tira conclusões de premissas, isto é, como raciocina ou justifica conclusões associadas às afirmativas. O indivíduo estaria agindo logicamente, segundo este critério, quando tira conclusões apenas com base nas premissas dadas, não considerando informações ou aspectos externos ao problema dado. Em contraste, nos estudos de Piaget, a criança é vista como cientista que visa descobrir regularidades do mundo, fazendo
18 FALMAGNE, N. T. Acceptance and rejection of arguments in relation to attitude strength, critical ability
inferências sobre fatos observados ou gerados por suas atividades experimentando. (DIAS, 1996, p. 12)
Um exemplo é o estudo piagetiano do desenvolvimento cognitivo em crianças e adolescentes. “Piaget divide o desenvolvimento do pensamento lógico na criança e no adolescente em estágios: sensório-motor, pré-operacional, operações concretas e operações formais” (DIAS, 1996, p. 11). É no estágio das operações formais na qual os sujeitos já estão mais habituados com o pensamento lógico dedutivo.
Para Piaget, no estágio das operações formais o adolescente torna-se capaz de levantar todas as possibilidades para resolver um problema, de organizar operações singulares em operações de ordem superior - “operar sobre operações”, de formular hipóteses, combinando todas as possibilidades e separando as variáveis para testar a influência de vários fatores, de agir cientificamente usando o Raciocínio Hipotético-Dedutivo, construindo hipóteses contrárias aos fatos e raciocinando sobre elas. (DIAS, 1996, p. 11)
Diante disso, um indivíduo ao chegar na fase adulta já teria o estágio das operações formais bem desenvolvido. Porém, estudos em Psicologia mostram que os indivíduos tendem a ter problemas em avaliar silogismos, pois levam o conteúdo em consideração ao analisar uma conclusão. Desta forma, “[...] os sujeitos tendem a endossar aqueles cujas conclusões acreditam, e a rejeitar argumentos cujas conclusões são por eles desacreditadas, independentemente da validade das premissas” (DIAS, 1996, p. 25). Isso vai de encontro ao pensamento lógico dedutivo, que busca uma coerência por meio da forma do discurso, ignorando o conteúdo das premissas. Alguns aspectos relativos ao conteúdo podem impulsionar o indivíduo a considerar válidos argumentos inválidos.
Os baixos níveis de desempenho observados entre adultos são atribuídos não a uma falta de competência em raciocinar, mas ao conteúdo das variáveis, tais como a familiaridade ou o nível de abstração das premissas ou a crença que os sujeitos têm sobre conclusões advindas das mesmas (DIAS, 1996, p. 25)
Segundo Dias (1996), alguns estudos sugerem que adultos dificilmente erram na forma Modus Ponens. Já na forma Modus Tollens, há uma pequena divergência em
