Bioestatística e Computação I

Bioestatística e Computação I

Testes de Hipótese para

Testes de Hipótese para

Comparação de 2 Médias

Comparação de 2 Médias

Maria Virginia P Dutra

Eloane G Ramos

Vania Matos Fonseca

Pós Graduação em Saúde da Mulher e da Criança IFF – FIOCRUZ

Comparação de duas populações

●

Invasão francesa na Itália - 1537

● Os ferimentos por armas de fogo eram

cauterizados com óleo de sabugueiro em ebulição.

● Numa ocasião o dito óleo faltou e o cirurgião do

exército Ambroise Pare passou a aplicar um

digestivo feito de gemas de ovos, óelo de rosas e terebentina.

● Surpreendentemente, no dia seguinte, os que

haviam sido tratados com o digestivo estavam com pouca dor, inflamação ou inchaço,

enquanto os que haviam sido tratados com o óleo quente estavam com febre e muita dor.

Comparação de duas populações

●

Bioimpedância como indicador de gravidade

● Os parâmetros da bioimpedância são medidos

em pacientes atendidos na puericultura (grupo controle) e em pacientes sépticos internados na UPG-IFF (grupo sepse).

● Deseja-se determinar se as médias dos

parâmetros da bioimpedância são

significativamente diferentes entre os dois grupos.

Comparação de duas populações

●

Dieta de farelo de aveia para baixar o LDL

● Deseja-se determinar se o farelo de aveia

auxilia a baixar os níveis séricos de colesterol.

● Alguns indivíduos foram aleatoriamente

colocados em uma dieta de farelo de aveia ou de flocos de milho. Após duas semanas seus níveis de LDL foram medidos.

● A dieta de cada um foi então invertida e, após

mais duas semanas, o nível de colesterol LDL foi novamente registrado.

● Um teste de hipótese será conduzido para

determinar se as médias de nível de colesterol LDL são signif. diferentes entre os dois grupos.

Comparação de duas populações

●

Efeito do ruído sonoro na FR de prematuros

● Deseja-se determinar se o ruído de alta

intensidade afeta a FR de prematuros internados em UTI neonatal.

● Para cada recém-nascido, registrou-se

simultaneamente a FR e o ruído sonoro no interior da incubadora.

● Dado que o limiar de ruído recomendado em

ambiente hospitalar é 65dBA, comparou-se a média de FR durante o tempo em que o ruído ficou abaixo do limiar com a respectiva média durante o tempo de ruído acima do limiar.

Comparação de duas populações

●

Ensaio clínico

● Divide-se um grupo homogêneo em dois e

aplica-se duas intervenções distintas

●

Estudo observacional

● Valores espontâneos da variável de interesse

em dois grupos ou momentos distintos

●

Amostras pareadas

● Cada indivíduo é medido duas vezes em

momentos ou situações distintas

Comparação de duas populações

●

Comparação de duas médias desconhecidas

● μ

1

● μ

2

●

Qual a diferença em relação ao teste de

uma média?

Teste t para duas médias

●

O teste é o mesmo para estudo de

intervenção ou observacional

●

Amostras pareadas

● Teste t pareado

●

Amostras independentes

Teste t pareado

●

Cada indivíduo tem duas medições.

● Uma antes e outra depois de uma intervenção

ou de uma evolução natural.

– auto-emparelhamento

● Cada indivíduo recebe um par que seja parecido

com ele em relação a variáveis de interesse (ex.: sexo, idade, ...).

Teste t pareado

●

Problema

● 63 indivíduos com DAC participaram de um

estudo para determinar se existe relação entre a exposição a monóxido de carbono e o

decréscimo de tempo para experimentar angina durante exercícios.

– Cada um dos indivíduos realizou 2 baterias de teste.

Na primeira, foram feitos 2 testes: um antes e outro após 1 hora descansando em ar ambiente. O

decréscimo de tempo para apresentar angina foi registrado.

– Na segunda bateria também realizaram 2 testes: um

antes e outro após 1 hora descansando em ar com monóxido de carbono. O decréscimo de tempo para apresentar angina foi novamente registrado.

Teste t pareado

Indivíduo Ar puro Ar poluído

1 2.6 13.2 2 -11.5 -3.9 3 31.0 33.5 4 25.2 35.7 5 16.7 22.7 6 -1.0 1.6 7 -0.4 29.7 8 -4.2 16.2 9 -13.1 -23.0 10 26.3 -5.7

●

Redução percentual do tempo para angina

após 1 hora respirando ar puro ou ar

poluído

● Primeiros

10

Teste t pareado

●

Queda do tempo (%) para angina após 1

hora respirando ar puro ou ar poluído

● Primeiros 10 indivíduos – Há evidência de que a redução de tempo seja diferente? Pe rc e n t d e cr e a se .5 1 2 2.5 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 Ar puro Ar poluído

Teste t pareado

●

Queda do tempo (%) para angina após 1

hora respirando ar puro ou ar poluído

● Primeiros 10 indivíduos – Há evidência de que a redução de tempo seja diferente? – Variabilidade entre indivíduos P e rc e n t d e cr e a se .5 1 2 2.5 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 Ar puro Ar poluído

Teste t pareado

●

Primeiro, defina as diferenças individuais d

i

Indivíduo

i Ar puroRt1 Ar poluídoRt2 d = Rt1 - Rt2Diferença

1 2.6 13.2 -10.6 2 -11.5 -3.9 -7.6 3 31.0 33.5 -2.5 4 25.2 35.7 -10.5 5 16.7 22.7 -6.0 6 -1.0 1.6 -2.6 7 -0.4 29.7 -30.1 8 -4.2 16.2 -20.4 9 -13.1 -23.0 9.9 10 26.3 -5.7 32 _{d =} i=1∑ n d_i n

Teste t pareado

●

Segundo, defina as hipóteses do teste

● H

0: μd = 0

● H

A: μd ≠ 0

● μ

d média populacional das diferenças →

● → média amostral das difrenças

● Reduz-se a um teste t de uma média com

μ₀=0 e n-1 graus de liberdade  d _{d =} ∑ i=1 n d_i n

Teste t pareado

●

Terceiro, calcule a estatística de teste

● s

d desvio-padrão das diferenças →

● μ 0=0 s_d=



∑

i=1 n d_i−d 2 n−1 t_n−1= d − 0 s_d /



n

Indivíduo i Ar puro Rt1_i Ar poluídoRt2_i d_i = Rt1Diferença_i - Rt2_i 1 2.6 13.2 -10.6 2 -11.5 -3.9 -7.6 3 31.0 33.5 -2.5 4 25.2 35.7 -10.5 5 16.7 22.7 -6.0 6 -1.0 1.6 -2.6 7 -0.4 29.7 -30.1 8 -4.2 16.2 -20.4 9 -13.1 -23.0 9.9 10 26.3 -5.7 32 d _i−d d_i−d 2  d =x₁−x₂ ● s

Teste t pareado

n=63 ₀=0  d =−6,63 s_d=20,29

●

Há evidência para rejeitar H

0

?

Teste t pareado

n=63 ₀=0  d =−6,63 s_d=20,29 t₆₂= d − 0 s_d /



n = −6,63 20,29/

_

63 =−2,59

●

Pela tabela A.4

● P(t

60>2,59) < 0,01, logo

● P(t

62>2,59) < 0,01

●

Como o teste é bilateral

● p = P(t

62>2,59 ou t62<-2,59) < 2 x 0,01

● p < 0,02

Teste t pareado

n=63 ₀=0  d =−6,63 s_d=20,29 t₆₂= d − 0 s_d /



n = −6,63 20,29/

_

63 =−2,59 ●

p < 0,02

● Se α=0,05 ● Rejeita-se H 0: μd=0 ● Em favor de H

A: μd≠0, ou seja: existe diferença

● Há evidência significativa (α=5%) de que a

exposição por 1 hora ao monóxido de carbono diminua o tempo para angina durante o teste de exercícios, mais do que a não exposição.

Teste t pareado

●

Qual a média dessa redução?

● Na média, a exposição ao monóx. carb. causa

uma redução estimada de 6,63 pp no tempo

para angina em relação a exposição ao ar puro.

●

Qual o intervalo de confiança de 95% para

essa média?

● Pela tab. A.4: P(t

60>tc)=0,025 t→ c=2,0

IC95 %=d±tc×sd



n

IC95 %≈−6,63±2×20,29

Teste t pareado

●

Em que outras situações podemos usar o

teste t pareado?

Teste t para duas populações independentes

●

População

● Grupo 1 – Controle – μ 1 e σ1 ● Grupo 2 – tratamento, doentes – μ 2 e σ2 ● Parâmetros desconhecidos ●

Amostra

● Grupo 1 – n 1 – e s1 ● Grupo 2 – n 2 – e s 2 ● Estimadores x1 x₂

Teste t para duas populações independentes

●

Problema

● Deseja-se determinar se há evidências de que o

nível sérico de ferro seja diferente entre

crianças saudáveis e as que sofrem de fibrose cística.

● Para o grupo controle, são selecionadas

aleatoriamente crianças que são atendidas na puericultura do IFF.

● Para o grupo FC, são selecionados os pacientes

atendidos no Centro de Referência do mesmo hospital.

Teste t para duas populações independentes

●

Os dois grupos são independentes

● μ

1 e σ1: média e desvio-padrão populacional do

nível sérico de ferro no grupo controle.

● μ

2 e σ2: média e desvio-padrão populacional do

nível sérico de ferro no grupo com FC.

● Nas amostras

x1 e x2

Teste t para duas populações independentes

●

Hipótese nula

● H 0: μ₁ = μ₂ ●

Hipótese alternativa

● H A: μ₁ ≠ μ₂

●

O que mudou em relação ao teste para uma

média?

Teste t para duas populações independentes

●

As hipóteses podem ser reescritas como

● H

0: μ₁–μ₂ = 0

● H

A: μ₁–μ₂ ≠ 0

● Selecionam-se as duas amostras e obtém-se

x1 e x2

Teste t para duas populações independentes

●

Pelo TCL:

●

Analogamente, se os grupos são

independentes

 X ~N



 , 



n



⇒ z=  x−  /



n z=x1−x2−1−2



₁2/n₁₂2/n₂ 

X ₁− X ₂ é aproximadamente normal com média ₁−₂ e variância igual a soma das duas variâncias.

Teste t para duas populações independentes

t_gl=x1−x2−1−2



s₁2/n₁s₂2/n₂

●

Como o desvio-padrão populacional é

(quase) sempre desconhecido

● O número exato de gl é difícil de calcular

● Utiliza-se uma aproximação

– Arredonda-se gl para o inteiro mais baixo

gl=



s1 2 /n₁s₂2/n₂



2



s₁2/n₁



2 n₁−1 



s₂2/n₂



2 n₂−1



estatística de teste

Teste t para duas populações independentes

●

Dados do problema

Há evidências a priori de que H

₀

seja falsa?

H ₀:₁−₂=0 H _A: ₁−₂≠0

Grupo controle: n₁=9, x₁=18,9  mol /l , s₁=5,9 mol /l Grupo com FC: n₂=13, x₂=11,9  mol /l , s₂=6,3  mol /l

8 12 16 20 24

FC

Controle

Nível sérico ferro (μmol/l) IC 95%

Teste t para duas populações independentes

t_gl=x1−x2−1−2



s₁2/n₁s₂2/n₂ = x1−x2



s₁2/n₁s₂2/n₂= 18,9−11,9



5,92/96,32/13=2,66 ● Assumindo H 0 verdadeira gl=



s1 2 /n₁s₂2/n₂



2



s₁2/n₁



2 n₁−1 



s₂2/n₂



2 n₂−1 =



5,9 2 /96,32/13



2



5,92/9



2 9−1 



6,32/13



2 13−1 =18,14≈18 H ₀:₁−₂=0 H _A:₁−₂≠0 n₁=9, x₁=18,9 , s₁=5,9 n₂=13, x₂=11,9 , s₂=6,3

Teste t para duas populações independentes

t₁₈=2,66

●

Pela tabela A.4

● P(t

18>2,66) < 0,01

●

Como o teste é bilateral

● p = P(t

18>2,66 ou t18<-2,66) < 2 x 0,01

● p-valor < 0,02

Teste t para duas populações independentes

●

p < 0,02

● Se α=0,05 ● Rejeita-se H 0: μ₁=μ₂ ● Em favor de H A: μ₁≠μ₂

● Há evidência significativa (α=5%) de que o nível

sérico de ferro seja diferente entre crianças saudáveis e as que sofrem de fibrose cística.

Teste t para duas populações independentes

●

Qual a média dessa diferença?

● Uma estimativa da média da diferença do nível

sérico de ferro entre crianças normais e com FC é

●

●

Qual o intervalo de confiança de 95% para

essa diferença média?

● Pela tab. A.4: P(t

18 > tc) = 0,025 t→ c=2,101 IC95 %=x1−x2±tc×



s₁2 n₁  s₂2 n₂ IC95 %=7±2,101×2,63=7±5,53=1,47 a 12,53 x1−x2=18,9−11,9=7 mol /l

Teste t para duas populações independentes

●

Cite mais alguns exemplos de estudos que

necessitarão do teste t para duas

Resumindo

H₀ Estatística de

teste gl bilateralp-valor

=₀ ₁=₂ ou ₁−₂=0 _d=0 z=x−0  /



n t=x−0 s/

_

n t= x1−x2



s₁2 n₁ s₂2 n₂ t= d s_d /



n n−1

-

s₁2 n₁ s₂2 n₂



2



s₁2 n₁



2 n₁−1



s₂2 n₂



2 n₂−1 2 p op u la çõ e s In de p en d en te s 2× P t_glt 2× P t_glt 2× P t_glt  n−1 P a re a -d a s 1 p op u la çã o 2× P Z z

Exercício

● Deseja-se investigar os efeitos de um

medicamento anti-hipertensivo em pessoas acima de 60 anos com hipertensão sistólica

isolada. Para tal, selecionou-se aleatoriamente uma amostra de 2308 indivíduos para tomarem o medicamento e outra de 2293 para tomarem placebo, durante 1 ano. A pressão sanguínea sistólica média populacional do grupo de

tratamento é μ₁ e do grupo controle μ₂.

● Nas amostras encontrou-se

– Conduza o teste de hipótese adequado com α=0,05.

x1=142,5 mmHg , s1=15,7 mmHg