Probabilidade Aula 05

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0303200 – Probabilidade – Aula 05

Magno T. M. Silva

Escola Polit´ecnica da USP

Abril de 2017

A maior parte dos exemplos dessa aula foram extra´ıdos de Jay L. Devore, Probabilidade e Estat´ıstica para engenharia e ciências, tradu¸cão da 8a edi¸cão americana, Cengage, 2014

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3.2 Variáveis aleatórias discretas e distribui¸cões de probabilidade

4 Variáveis aleatórias cont´ınuas e distribui¸cões de probabilidade

4.1 Fun¸cões densidade de probabilidade 4.2 Fun¸cões de distribui¸cão acumuladas

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3.2 Fun¸c˜

ao de distribui¸c˜

ao de uma v.a. discreta

Afun¸cão de distribui¸cão acumuladaF (x) de uma v.a. discreta X com fun¸cão de probabilidade P [X = x] é definida para todos os valores x como

F (x) = P (X ≤ x) = X

y:y≤x

P [X = y]

Para qualquer valor x, F (x) ´e a probabilidade do valor de X observado ser no m´aximo x.

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Uma loja vende pendrives de 1GB, 2GB, 4GB, 8GB e 16GB de mem´oria. A tabela a seguir mostra a fun¸c˜ao de probabilidade de

X = quantidade de mem´oria de um pendrive adquirido

x 1 2 4 8 16

P [X = x] 0,05 0,10 0,35 0,40 0,10 Determine a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de X.

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3.2 Exemplo 3.13

F (1) = P (X ≤ 1) = P [X = 1] = 0,05 F (2) = P (X ≤ 2) = P (X = 1 ou X = 2) = P [X = 1]+P [X = 2] = 0,15 F (4) = P (X ≤ 4) = P (X = 1 ou 2 ou 4) = P [X = 1] + P [X = 2] + P [X = 4] = 0,50 F (8) = P (X ≤ 8) = P [X = 1]+P [X = 2]+P [X = 4]+P [X = 8] = 0,90 F (16) = P (X ≤ 16) = 1

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Para qualquer outro valor de x, F (x) será igual ao valor de F no valor mais próximo poss´ıvel de X à esquerda de x.

Por exemplo,

F (2,7) = P (X ≤ 2,7) = P (X ≤ 2) = F (2) = 0,15 F (7,999) = P (X ≤ 7,999) = P (X ≤ 4) = F (4) = 0,50

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3.2 Exemplo 3.13

A express˜ao de F (x) ´e dada por

F (x) =                0, x < 1 0,05, 1 ≤ x < 2 0,15, 2 ≤ x < 4 0,50, 4 ≤ x < 8 0,90, 8 ≤ x < 16 1, 16 ≤ x

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1 0 2 4 8 16 x F (x) 0,150 0,050 0,500 0,900 1,000 ) P [X = 4] Note que P [X = 4] = F (4) − F (2) = 0,50 − 0,15 = 0,35

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3.2 Proposi¸c˜

ao P

(a ≤ X ≤ b)

No Exemplo 3.13, se quisermos calcular

P (2 ≤ X ≤ 8) = P [X = 2] + P [X = 4] + P [X = 8] = {P [X = 1] + P [X = 2] + P [X = 4] + P [X = 8]} − {P [X = 1]}

= P (X ≤ 8) − P (X ≤ 1) = F (8) − F (1) Note que:

◮ P (2≤X ≤ 8)6=F (8) − F (2) porque o valor de X = 2 est´a

inclu´ıdo no intervalo 2 ≤ X ≤ 8.

◮ P (2<X ≤ 8)=F (8) − F (2) porque X = 2 n˜ao est´a inclu´ıdo

no intervalo 2 < X ≤ 8

Dessa forma, chega-se `a proposi¸c˜ao:

Para quaisquer dois n´umeros a e b com a ≤ b, P (a ≤ X ≤ b) = F (b) − F (a−) em que a− representa o maior valor poss´ıvel de X, necessariamente inferior a a.

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Seja X o número de dias de licen¸ca por doen¸ca de um funcionário de uma empresa, selecionado aleatoriamente em um certo ano. Se o número máximo de dias permitidos por ano é 14, os valores poss´ıveis de X são 0,1,2, · · · , 14. Sabendo-se que F (0) = 0,58 F (1) = 0,72 F (2) = 0,76 F (3) = 0,81 F (4) = 0,88 F (5) = 0,94 Determine P (2 ≤ X ≤ 5) e P [X = 3]

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3.2 Exemplo 3.15

Resolu¸c˜ao:

P (2 ≤ X ≤ 5) = P (X = 2,3,4 ou 5) = F (5) − F (1) = 0,22 P [X = 3] = F (3) − F (2) = 0,05.

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Se no estudo de ecologia de um lago, fizermos medidas de profundidade em locais selecionados aleatoriamente, ent˜ao

X = a profundidade nesse local

´e uma v.a. cont´ınua distribu´ıda no intervalo [A, B], sendo A a profundidade m´ınima e B a profundidade m´axima.

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4.1 Exemplo 4.2 – vari´

aveis aleat´

orias cont´ınuas

Se um composto qu´ımico for selecionado aleatoriamente e determinarmos seu pH X, entãoX é uma v.a. cont´ınua porque qualquer valor de pH entre 0 e 14 é poss´ıvel. Caso se saiba mais sobre o composto selecionado para análise, o conjunto de valores poss´ıveis pode ser um subintervalo de [0, 14], como 5,5 ≤ X ≤ 6,5, mas X ainda seria cont´ınua.

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um lago

◮ qualquer n´umero no intervalo [0, M ] ´e um valor poss´ıvel para

X

◮ se tomarmos X discreta, a distribui¸c˜ao resultante ´e ilustrada

por um histograma de probabilidade com retângulos cujas áreas são propor¸cões do lago com profundidade k

◮ o total da área dos retângulos é 1.

0 0

0 M M M

´ Area= 1

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4.1 Distribui¸c˜

oes de probabilidade para vari´

aveis cont´ınuas

Considere que X é uma v.a. cont´ınua. Então, afun¸cão densidade de probabilidade (f.d.p.) é uma fun¸cão f (x) tal que

◮ f (x) ≥ 0 para todo x

◮

Z ∞ −∞

f (x) = 1 (´area sob o gr´afico de f (x))

◮ P (a ≤ X ≤ b) = Z b a f (x)dx, com a ≤ b a b x P (a ≤ X ≤ b) f (x)

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imperfei¸cão é umavariável aleatória cuja f.d.p. é dada por x f (x) 360o 1 360o 0 Determine:

◮ a probabilidade do ˆangulo estar entre 90o e 180o.

◮ a probabilidade do ˆangulo estar dentro de 90o da linha de

referˆencia.

◮ a probabilidade do ˆangulo ser maior que 180o dado que ele ´e

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4.1 Exemplo 4.4

Resolu¸c˜ao: x x f (x) f (x) 360o 360o 90o 180o 1 360o 1 360o 0 0 P(90o ≤X≤180o )

◮ A probabilidade do ˆangulo estar entre 90o e 180o vale:

P (90o≤ X ≤ 180o) = Z 180 90 1 360dx = x 360 180 90 = 1 4

◮ A probabilidade do ˆangulo estar dentro de 90o da linha de

referˆencia vale:

P (0 ≤ X ≤ 90o) + P (270o≤ X < 360o) = 1 2

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x 360o 1

360o

0

◮ A probabilidade do ˆangulo ser maior que 180o dado que ele ´e

maior que 90o vale:

P (X > 180o|X > 90◦_{) =} P (X > 180o e X > 90o) P (X > 90o₎ = P (X > 180 o₎ P (X > 90o₎ = 1/2 3/4 = 2/3

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4.1 Exemplo 4.5

O “tempo de avan¸co” no fluxo do tráfego é definido como tempo entre o instante em que o carro termina de passar por um ponto fixo e o instante em que o próximo carro come¸ca a passar por esse ponto. Seja a v.a.

X = o tempo de avan¸co para dois carros consecutivos escolhidos ao acaso na Marginal Pinheiros em um per´ıodo de tr´afego intenso.

Suponha que a f.d.p. de X ´e dada por f (x) =

ke−0,15(x−0,5), x ≥ 0,5 0, caso contr´ario sendo k uma constante.

Determine:

◮ o valor de k.

◮ a probabilidade do tempo de avan¸co ser no m´aximo 5

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igual a 1, ou seja Z ∞ −∞ f (x)dx = Z ∞ 0,5 ke−0,15(x−0,5)dx = ke0,075 Z ∞ 0,5 e−0,15xdx = ke0,075 − 1 0,15 e−0,15x ∞ 0,5 | {z } −e−0,075 = k 0,15 ⇒ k = 0,15 x f (x) 5 0,5 0,15 0

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4.1 Exemplo 4.5

Resolu¸c˜ao: x f (x) 5 0,5 0,15 0

◮ a probabilidade do tempo de avan¸co ser no m´aximo 5

segundos vale: P (X ≤ 5) = Z 0,5 −∞ 0,15e−0,15(x−0,5)dx = 0,15e0,075 Z 5 0,5 e−0,15xdx = 0,15e0,075 − 1 0,15 e−0,15x 5 0,5 = 0,491 = P (X < 5)

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F (x) = P (X ≤ x) = Z x −∞ f (λ)dλ a a b b x x F (b) f (x) F (x) F (b)1 Note que f (x) = dF (x) dx = F ′ (x)

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4.2 Exemplo de f.d.p. e fun¸c˜

ao de distribui¸c˜

ao

Suponha que uma v.a. tenha f.d.p dada por

f (x) =    1 B − A, A ≤ x ≤ B 0, caso contr´ario F (x) =      0, x < A x − A B − A, A ≤ x < B 1, x ≥ B x x F (x) f (x) A A B B 1 B−A 1 0 0

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acumulada F (x), ent˜ao P (X > a) = 1 − F (a) e para b > a P (a ≤ X ≤ b) = F (b) − F (a) a a a b b _b x x x f (x) f (x) f (x) F (b) F (a)