Determinação dos parâmetros de convecção- dispersão- transferência de massa em meio poroso usando tomografia computadorizada

(1)

i

JANETH ALINA VIDAL VARGAS

DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS DE

CONVECÇÃO-DISPERSÃO-TRANSFERÊNCIA DE MASSA EM MEIO

POROSO USANDO TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA

CAMPINAS

2015

(2)

(3)

iii

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

E INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS

JANETH ALINA VIDAL VARGAS

DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS DE CONVECÇÃO-

DISPERSÃO-TRANSFERÊNCIA DE MASSA EM MEIO

POROSO USANDO TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA

Tese de Doutorado apresentada à Faculdade de Engenharia Mecânica e Instituto de Geociências da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Doutora em Ciências e Engenharia de Petróleo na área deReservatórios e Gestão.

Orientador: Prof. Dr. Osvair Vidal Trevisan

CAMPINAS

2015

(4)

Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas Biblioteca da Área de Engenharia e Arquitetura

Luciana Pietrosanto Milla - CRB 8/8129

Vidal Vargas, Janeth Alina,

V667d VidDeterminação dos parâmetros de convecção- dispersão- transferência de massa em meio poroso usando tomografia computadorizada / Janeth Alina Vidal Vargas. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.

VidOrientador: Osvair Vidal Trevisan.

VidTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Mecânica e Instituto de Geociências.

Vid1. Coeficiente de dispersão. 2. Tomografia computadorizada por raios X. 3. Simulated annealing (Matemática). 4. Rochas carbonáticas. I. Trevisan, Osvair Vidal. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Mecânica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Determination of convection- dispersion- mass transfer parameters in porous media using computed tomography

Palavras-chave em inglês: Dispersion coefficient

X-ray computed tomography

Simulated annealing (Mathematics) Carbonate rocks

Área de concentração: Reservatórios e Gestão

Titulação: Doutora em Ciências e Engenharia de Petróleo Banca examinadora:

Osvair Vidal Trevisan [Orientador] Denis José Schiozer

Rosângela Barros Zanoni Lopes Moreno Adolfo Puime Pires

Antonio Claudio França Corrêa Data de defesa: 20-02-2015

Programa de Pós-Graduação: Ciências e Engenharia de Petróleo

Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

(5)

v

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

E INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS

TESE DE DOUTORADO

DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS DE CONVECÇÃO-

DISPERSÃO-TRANSFERÊNCIA DE MASSA EM MEIO

POROSO USANDO TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA

Autora: Janeth Alina Vidal Vargas

Orientador: Prof. Dr. Osvair Vidal Trevisan

(6)

(7)

vii

DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho a meus pais e irmãos, que me deram a força necessária para não desistir e seguir em frente.

(8)

(9)

ix

AGRADECIMENTOS

Primeiramente quero agradecer a Deus por dare saúde e força para terminar este trabalho. A realização deste trabalho não teria sido possível sem o Prof. Osvair Vidal Trevisan, que me deu a oportunidade, a confiança e o apoio constante.

Agradeço à PETROBRAS e à ANP pelo fornecimento da bolsa e pelo financiamento da pesquisa.

Ao Prof. Euclides Bonet por todo o apoio e orientação no desenvolvimento dos experimentos.

Aos profissionais do laboratório de métodos miscíveis de recuperação: Erika, Alessandra, Marta, Nilo, Washington e Gabriel.

Ao Eng. Paulo Célio Carvalho Pagotto pelos dados experimentais iniciais.

(10)

(11)

xi

“Tudo difícil começa sempre fácil; tudo grande começa sempre pequeno”

(12)

(13)

xiii

RESUMO

O conhecimento dos fenômenos físicos envolvidos no transporte de fluidos no meio poroso é muito importante para o projeto e o sucesso dos processos de recuperação melhorada de petróleo. O deslocamento miscível é um dos métodos mais eficientes de recuperação melhorada de petróleo. O parâmetro mais relevante na eficiência do deslocamento miscível é a dispersão, que controla a evolução da zona de mistura dos dois fluidos e a propagação do fluido injetado. Neste trabalho é desenvolvido e avaliado um modelo matemático para o deslocamento miscível 1-D em meios heterogêneos. O modelo, referido como modelo de concentração total (MCT) é desenvolvido com base na equação de convecção-dispersão (ECD) considerando a interação entre a rocha e os fluidos. Os parâmetros fenomenológicos envolvidos no MCT são o coeficiente de dispersão, o coeficiente de transferência de massa, a porosidade efetiva do meio poroso no momento de deslocamento e a fração de soluto que é depositada ou retirada do meio poroso. Estes parâmetros podem ser determinados por meio de ajustes multiparâmétricos do modelo aos dados obtidos em laboratório. Para avaliar a aplicação do modelo MCT foram realizados dois experimentos A e B, cada um formado por 4 e 5 testes de deslocamento respectivamente. Os testes de deslocamento utilizaram duas salmouras e foram realizados empregando-se uma rocha carbonática. A evolução das concentrações ao longo do meio poroso foi medida por Tomografia Computadorizada de Raios-X (TC).

A grande quantidade de dados dos perfis de concentração determinados a partir das imagens da TC do Experimento A foi analisada e ajustada utilizando-se o modelo MCT por meio do método metaheurístico de recozimento simulado (Simulated Annealing, SA). O procedimento de ajuste global, considerando todas as curvas do histórico de concentração, foi utilizado para a determinação dos parâmetros governantes dos fenômenos envolvidos. A quantidade de dados utilizados e a robustez do método permitiu um ajuste muito bom do modelo aos dados experimentais. Determinou-se um coeficiente de dispersão de aproximadamente 0,01cm2/s para vazão de 1 cm3/min e 0,05 cm2/s para vazão de 5 cm3/min. Foram avaliados também os parâmetros de transferência de massa e interação do fluido com o meio poroso.

O Experimento B foi realizado com a finalidade de comprovar a deposição de soluto enquanto o fluido se deslocava através da amostra de rocha. No modelo MCT, este fenômeno foi

(14)

xiv

quantificado por meio do parâmetro fr. Os perfis de concentração do Experimento B foram

medidos na entrada, ao longo da amostra (rocha) e na saída. A partir desses perfis, foi realizado um balanço de massa para avaliar a fração de deposição de soluto (fr) formulada e determinada a

partir do MCT. Os valores de fr obtidos foram de 0,2 a 0,4, que são valores coerentes com os

resultados obtidos com o modelo MCT.

Palavras Chave: Coeficiente de dispersão, tomografia computadorizada por raios-X,

(15)

xv

ABSTRACT

The knowledge of the physical phenomena involved in fluid transport in porous medium is very important for the design and successful execution of oil enhanced recovery processes. Miscible displacement is one of the most efficient recovery methods. Dispersion is a key phenomenon in miscible displacement. It controls the evolution of the mixing zone of both fluids and the propagation of injected fluid. The present study focuses on the development and evaluation of a mathematical model for the 1-D miscible and active displacement in an intrinsically heterogeneous porous media. The model, referred to as total concentration model (TCM), is developed based on the convection-dispersion equation (CDE) considering the interaction between rock and fluids. The phenomenological parameters involved in TCM are the dispersion coefficient, the mass transfer coefficient, the effective porosity of the porous medium at the time of the displacement and the amount of solute that is deposited or removed from the porous medium. These parameters may be better determined through multiparametric matching of the model to the data obtained in the laboratory. In order to evaluate the application of the TCM model, two sets of experiments (A and B), totaling 9 tests, were carried out. The tests were conducted with two brines displaced in carbonate rock samples. The concentration evolution along the porous medium was measured by X-Ray Computed Tomography (CT).

The vast amount of data from the concentration profiles determined from the CT images from set A was analyzed and matched to the TCM model through the simulated annealing metaheuristic method (Simulated Annealing, SA). The global matching procedure, considering all curves in the concentration history, was used to determine the governing parameters for the involved phenomena. The amount of data used and the robustness of the method allowed a very good matching of the model to the experimental data. A dispersion coefficient of 0.01cm2/s for a 1 cm3/min flow rate; and 0.05 cm2/s for a 5 cm3/min flow rate was determined. The parameters of mass transfer and of the fluid interaction with the rock porous structure were also evaluated.

Experiment B was carried out in order to double check solute deposition while flowing through the rock sample. In the TCM model, the phenomenon was quantified by the fr parameter.

The concentration profiles of Experiment B were measured at the input, along the rock sample and at the output. From these profiles a mass balance was carried out to evaluate the fraction of

(16)

xvi

solute deposited (fr) during the experiment. The determined values for fr were 0.2 to 0.4, figures

that are consistent with the results obtained with the TCM matching procedure.

Key Word: Dispersion coefficient, X-ray computed tomography, simulated annealing (Mathematics), carbonate rocks.

(17)

xvii

SUMÁRIO

LISTA DE FIGURAS ... xxi

LISTA DE TABELAS ... xxvii

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS ... xxix

1. INTRODUÇÃO ... 1

1.1. Motivação ... 4

1.2. Objetivos ... 5

1.3. Organização do Trabalho ... 5

2. REVISÃO DA LITERATURA ... 7

2.1. Dispersão no Meio Poroso ... 7

2.1.1. Difusão molecular... 8

2.1.2. Dispersão Mecânica ... 10

2.2. Modelos Matemáticos de Análise da Dispersão no Meio Poroso ... 13

2.2.1. Equação da Convecção-Dispersão (ECD) ... 13

2.2.2. Equação da Convecção - Dispersão Unidimensional ... 14

2.2.3. Modelo Coats & Smith ... 18

2.3. Métodos de Otimização ... 20

2.3.1. Método de Levenberg-Maquardt ... 21

2.3.2. Método Simulated Annealing ... 23

2.4. Tomografia Computadorizada ... 28

2.4.1. Princípios da TC ... 29

2.4.2. Princípios da Imagem de TC ... 30

2.5. Algoritmo de Stehfest ... 32

3. MODELO DE CONCENTRAÇÃO TOTAL (MCT) ... 33

3.1. Definição do Modelo Matemático ... 33

3.2. Modelo de Concentração Total-1 (MCT-1) ... 36

3.3. Modelo de Concentração Total-2 (MCT-2) ... 39

3.4. Poros Sem Saída ... 41

3.5. Curvas Tipo do Modelo de Concentração Total MCT-1 e MCT-2 ... 43

(18)

xviii 3.5.2. Modelo MCT-2 ... 51 4. METODOLOGIA ... 61 4.1. Metodologia Experimental ... 61 4.1.1. Experimento-A ... 61 4.1.2. Experimento-B ... 65

4.2. Metodologia de Análise de Imagens TC ... 75

4.2.1. Ajuste das Imagens de TC ... 75

4.2.2. Cálculo da Porosidade ... 77

4.2.3. Cálculo dos Perfis de Concentração In Situ ... 78

4.2.4. Cálculo dos Perfis de Concentração Total ... 80

4.3. Metodologia de Análise de Dados ... 82

4.3.1. Método Baseado no Modelo de Peters ... 82

4.3.2. Método de ECD Sem ou Com Retenção ... 88

4.3.3. Método Baseado no Modelo de Coats & Smith ... 94

4.3.4. Métodos de MCT-1 e MCT-2 ... 96

4.3.5. Método MCT-1 e MCT-2 com Porosidade ... 109

4.4. Balanço de Massa do Experimento-B ... 112

5. ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS ... 115

5.1. Resultados do Tratamento das imagens ... 115

5.1.1. Imagens do Experimento-A ... 115

5.1.2. Imagens do Experimento-B ... 115

5.2. CT dos Fluidos ... 116

5.2.1. Experimento-A ... 116

5.2.2. Experimento-B ... 117

5.3. Avaliação da mudança da porosidade nos experimentos A e B ... 117

5.3.1. Variação da Porosidade da Amostra no Experimenta-A ... 117

5.3.2. Variação da Porosidade da Amostra no Experimento-B ... 119

5.4. Perfis de Concentração In Situ do Experimento-A ... 119

5.4.1. Experimento-A1 ... 120

(19)

xix

5.5. Análise dos Resultados dos Modelos para Perfis de Concentração In Situ ... 122

5.5.1. Resultados do Método de Peters ... 122

5.5.2. Resultados do Método ECD sem Retenção ... 127

5.5.3. Resultados do Método ECD com Retenção ... 129

5.5.4. Resultados do Método Coats & Smith(CS) ... 131

5.6. Perfis de Concentração Total ... 134

5.6.1. Experimento-A ... 134

5.6.2. Experimento-B ... 136

5.7. Análise dos Resultados dos Modelos para Perfis de Concentração Total ... 147

5.7.1. MCT-1 ... 147

5.7.2. MCT-2 ... 155

5.7.3. MCT-1 com Porosidade ... 164

5.7.4. MCT-2 com Porosidade ... 168

5.7.5. Resultados Finais do Modelo de Concentração Total ... 177

5.8. Comparação do Modelo MCT com o Modelo de Coats &Smith ... 182

5.9. Balanço de Massa do Experimento-B ... 184

6. CONCLUSÕES ... 189

REFERÊNCIAS ... 193

APÊNDICE A- PERFIS DE CONCENTRAÇÃO TOTAL PARA O EXPERIMENTO-B ... 199

A.1 EXPERIMENTO-B4 ... 199

A.2 EXPERIMENTO-B7 ... 201

APÊNDICE B- PERFIS DE CONCENTRAÇÃO IN SITU PARA O EXPERIMENTO-B ... 205

B.1 EXPERIMENTO-B1 ... 205

(20)

(21)

xxi

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1-Perfil da concentração do efluente no experimento idealizado. ... 8

Figura 2.2-Dispersão convectiva microscópica. Adaptado de Stalkup (1984)... 9

Figura 2.3-Origem da dispersão mecânica. Adaptado de Peters (2012). ... 10

Figura 2.4- Mistura do solvente e do óleo pela dispersão longitudinal e transversal. Adaptado Stalkup (1984). ... 11

Figura 2.5- Mistura mecânica local das partículas do fluido. Adaptado de Peters (2012). ... 11

Figura 2.6-Mecanismos de Dispersão. Adaptado de Greenkorn (1983). ... 12

Figura 2.7-Algoritmo Básico do Simulated Annealing (SA). ... 27

Figura 3.1-Balanço de massa. ... 33

Figura 3.2-Transferência de soluto entre o fluido e a rocha. ... 34

Figura 3.3- Esquema dos Perfis de Concentração num Meio Poroso Homogêneo e Heterogêneo. ... 42

Figura 3.4- Modelo MCT-1 para NDa=0,001. ... 44

Figura 3.7- Modelo MCT-1 para NDa=1. ... 45

Figura 3.9- Modelo MCT-1 para NPe=10. ... 46

(22)

xxii

Figura 3.20- Modelo MCT-2 para NDa=1 para (a)fr=0,2 e (b)fr=0,5. ... 53

Figura 3.21- Modelo MCT-2 para NDa=10 para (a)fr=0,2 e (b)fr=0,5. ... 53

Figura 3.22- Modelo MCT-2 para NPe=10 para (a)fr=0,2 e (b)fr=0,5... 54

Figura 3.25- Modelo MCT-2 para NDa=0,1 para (a) NPe =10 e (b) NPe =100. ... 55

Figura 3.26- Modelo MCT-2 para NDa=1 para (a) NPe =10 e (b) NPe =100. ... 56

Figura 3.27- Modelo MCT-2 para NDa=10 para (a) NPe =10 e (b) NPe =100. ... 56

Figura 3.30- Modelo MCT-2 para NDa =0,1 para (a)fr=0,2 e (b)fr=0,5. ... 58

Figura 3.31- Modelo MCT-2 para NDa =1 para (a)fr=0,2 e (b)fr=0,5. ... 58

Figura 3.32- Modelo MCT-2 para NDa =10 para (a)fr=0,2 e (b)fr=0,5. ... 59

Figura 3.33- Modelo MCT-2 para NDa =0,1 para (a) NPe =10 e (b) NPe =100. ... 59

Figura 3.34- Modelo MCT-2 para NDa =1 para (a) NPe =10 e (b) NPe =100. ... 60

Figura 3.35- Modelo MCT-2 para NDa =10 para (a) NPe =10 e (b) NPe =100. ... 60

Figura 4.1-Esquema experimental do Experimento-A. ... 63 Figura 4.2-Esquema da configuração de core holder. ... 66 Figura 4.3-Posição e formato das câmaras. ... 67 Figura 4.4-Recobrimento com teflon e termo-retrátil. ... 67 Figura 4.5-Recobrimento do sistema com o tubo de borracha. ... 68 Figura 4.6-Core holder com amostra a 5.000 psi. ... 68 Figura 4.7-Permeabilímetro Ultra-perm 500 da CoreLab Instruments. ... 69 Figura 4.8-Sistema de vácuo na amostra. ... 71 Figura 4.9-Sistema de injeção do NaCl na amostra... 71 Figura 4.10-Esquema Experimental para o Experimento-B. ... 72 Figura 4.11-Imagem obtida na TC. ... 75 Figura 4.12- Nova imagem TC. ... 77 Figura 4.13- Perfis de Concentração do Experimento-A1 Equação (4-6). ... 79 Figura 4.14- Perfis de Concentração do Experimento-A1 Equação (4-12). ... 81 Figura 4.15- Método de Peters Etapa-1. ... 86

(23)

xxiii

Figura 4.16- Método de Peters Etapa-2. ... 87 Figura 4.17- Método de Peters Etapa-3. ... 88 Figura 4.18- Procedimento de cálculo do coeficiente de dispersão sem retenção. ... 90 Figura 4.19- Procedimento de cálculo do coeficiente de dispersão com retenção. ... 93 Figura 4.20- Fluxograma do Procedimento do Método-CS . ... 95 Figura 4.21- Fluxograma do Procedimento do MTC-1. ... 99 Figura 4.22- Fluxograma do Procedimento do MCT-2. ... 102 Figura 4.23- Fluxograma do Procedimento do Método-2 para MCT-1 Sem Peso. ... 105 Figura 4.24- Fluxograma do Procedimento do Método-2 para MCT-1 Com Peso. ... 106 Figura 4.25- Fluxograma do Procedimento do Método-2 para MCT-2 Sem Peso. ... 108 Figura 4.26- Fluxograma do Procedimento do Método-2 para MCT-2 Com Peso. ... 109 Figura 5.1- Perfil de Porosidade ao longo da Amostra do Experimento-A. ... 118 Figura 5.2- Imagens TC. ... 118 Figura 5.3- Perfil de Porosidade ao longo da Amostra do Experimento-B. ... 119 Figura 5.4- Perfis de Concentração In Situ do Experimento-A1. ... 120 Figura 5.5- Perfis de Concentração In Situ do Experimento-A2. ... 121 Figura 5.6- Perfis de Concentração In Situ do Experimento-A3. ... 121 Figura 5.7- Perfis de Concentração In Situ do Experimento-A4. ... 122 Figura 5.8- Modelo da Etapa-1 do Método de Peters para o Experimento-A1. ... 123 Figura 5.9- Modelo da Etapa-2 do Método de Peters para o Experimento-A1. ... 124 Figura 5.10- Evolução do Comprimento de Mistura para o Experimento-A1. ... 125 Figura 5.11- Modelo de Peters para Experimento-A2(a) e Experimento-A4 (b). ... 126 Figura 5.12- Modelo de Peters para o Experimento-A3. ... 127 Figura 5.13- Modelo de ECD sem Retenção para o Experimento-A1(a) e o Experimento-A3(b). ... 128 Figura 5.14- Modelo de ECD sem Retenção para o Experimento-A2(a) e o Experimento-A4 (b). ... 129 Figura 5.15- Modelo de ECD com Retenção para o Experimento-A1(a) e o Experimento-A3(b). ... 130 Figura 5.16- Modelo de ECD com Retenção para o Experimento-A2(a) e o Experimento-A4(b). ... 131

(24)

xxiv

Figura 5.17- Modelo de Coats & Smith para o Experimento-A1. ... 132 Figura 5.18- Modelo de Coats & Smith para o Experimento-A3. ... 132 Figura 5.19- Modelo de Coats & Smith para o Experimento-A2. ... 133 Figura 5.20- Modelo de Coats & Smith para o Experimento-A4. ... 133 Figura 5.21- Perfis de Concentração Total do Experimento-A1. ... 134 Figura 5.22- Perfis de Concentração Total do Experimento-A2. ... 135 Figura 5.23- Perfis de Concentração Total do Experimento-A3. ... 135 Figura 5.24- Perfis de Concentração Total do Experimento-A4. ... 136 Figura 5.25-Perfil de Concentração do NaI na Entrada Experimento-B1. ... 138 Figura 5.26-Imagens da Câmara na Entrada Experimento-B1. ... 138 Figura 5.27- Perfil de Concentração Total do Experimento-B1. ... 139 Figura 5.28-Perfil de Concentração do NaI na Saída Experimento-B1. ... 140 Figura 5.29-Perfil de Concentração do NaCl na Entrada Experimento-B2. ... 141 Figura 5.30-Imagens da Câmara na Entrada do Experimento-B2. ... 142 Figura 5.31- Perfil de Concentração Total do Experimento-B2. ... 143 Figura 5.32-Perfil de Concentração do NaCl na Saída do Experimento-B2. ... 143 Figura 5.33-Perfil de Concentração do NaI na Entrada Experimento-B3. ... 144 Figura 5.34-Imagens da Câmara na Entrada Experimento-B3. ... 145 Figura 5.35- Perfil de Concentração Total do Experimento-B3. ... 146 Figura 5.36-Perfil de Concentração do NaI na Saída Experimento-B3. ... 146 Figura 5.37- Modelo de MCT-1 pelo Método-1 para o Experimento-A1 Sem Peso(a) e o Com Peso (b). ... 149 Figura 5.38- Modelo de MCT-1 pelo Método-1 para o Experimento-A2 (a) e o Experimento-A4 (b) Sem Peso. ... 149 Figura 5.39- Modelo de MCT-1 pelo Método-1 para o Experimento-A2 (a) e o Experimento-A4 (b) Com Peso. ... 150 Figura 5.40- Modelo de MCT-1 pelo Método-1 para o Experimento-A3 Sem Peso(a) e o Com Peso (b) . ... 151 Figura 5.41- Modelo de MCT-1 pelo Método-2 para o Experimento-A1 Sem Peso(a) e o Com Peso (b) . ... 153

(25)

xxv

Figura 5.42- Modelo de MCT-1 pelo Método-2 para o Experimento-A2 Sem Peso(a) e o Com Peso (b) . ... 153 Figura 5.43- Modelo de MCT-1 pelo Método-2 para o Experimento-A3 Sem Peso(a) e o Com Peso (b) . ... 154 Figura 5.44- Modelo de MCT-1 pelo Método-2 para o Experimento-A4 Sem Peso(a) e o Com Peso (b) . ... 155 Figura 5.45- Modelo de MCT-2 pelo Método-2 para o Experimento-A1 Sem Peso NDa [0,1;1] (a)

e o NDa [0,1;10] (b) . ... 157

Figura 5.46- Modelo de MCT-2 pelo Método-2 para o Experimento-A1 Com Peso NDa [0,1;1] (a)

e o NDa [0,1;10] (b) . ... 158

Figura 5.47- Modelo de MCT-2 pelo Método-2 para o Experimento-A3 Sem Peso NDa [0,1;1] (a)

e o NDa [0,1;10] (b) . ... 159

e o NDa [0,1;10] (b) . ... 161

e o NDa [0,1;10] (b). ... 163

e o NDa [0,1;10] (b). ... 164

Figura 5.53- Modelo de MCT-1 Porosidade pelo Método-2 para o Experimento-A1 Sem Peso(a) e o Com Peso (b). ... 165 Figura 5.54- Modelo de MCT-1 Porosidade pelo Método-2 para o Experimento-A2 Sem Peso(a) e o Com Peso (b). ... 166 Figura 5.55- Modelo de MCT-1 Porosidade pelo Método-2 para o Experimento-A3 Sem Peso(a) e o Com Peso (b). ... 167 Figura 5.56- Modelo de MCT-1 Porosidade pelo Método-2 para o Experimento-A4 Sem Peso (a) e o Com Peso (b) . ... 167

(26)

xxvi

Figura 5.57- Modelo MCT-2-Porosidade pelo Método-2 sem Pesos para Experimento-A1, no intervalo NDa=[0,1;1]. ... 169

Figura 5.58- Modelo MCT-2-Porosidade pelo Método-2 sem Pesos para Experimento-A1, no intervalo NDa=[0,1;10]. ... 169

Figura 5.59- Modelo MCT-2-Porosidade pelo Método-2 com Pesos para Experimento-A1, no intervalo NDa=[0,1;1]. ... 170

Figura 5.60- Modelo MCT-2-Porosidade pelo Método-2 com Pesos para Experimento-A1, no intervalo NDa=[0,1;10]. ... 171

Figura 5.61- Modelo de MCT-2-Porosidade sem Pesos para Experimento-A2, no intervalo NDa=[0,1;1] (a) e NDa=[0,1;10] (b). ... 172

Figura 5.62- Modelo de MCT-2-Porosidade Com Pesos para Experimento-A2, no intervalo NDa=[0,1;1] (a) e NDa=[0,1;10] (b). ... 173

Figura 5.63- Modelo de MCT-2-Porosidade Sem Pesos para Experimento-A3, no intervalo NDa=[0,1;1] (a) e NDa=[0,1;10] (b). ... 174

Figura 5.65- Modelo de MCT-2-Porosidade Sem Pesos para Experimento-A4, no intervalo NDa=[0,1;1] (a) e NDa=[0,1;10] (b). ... 176

Figura 5.67- Ajuste do Modelo para (a) ϕ=14% e (b) ϕe =11,92% para o Experimento-A1. ... 179

Figura 5.71- Ajuste do Modelo para (a) Experimento-A1 e (b) Experimento-A3. ... 181 Figura 5.72- Ajuste do Modelo para (a) Experimento-A2 e (b) Experimento-A4. ... 182

(27)

xxvii

LISTA DE TABELAS

Tabela 4.1- Características da amostra de rocha. ... 62 Tabela 4.2- Características dos fluidos no Experimento-A. ... 62 Tabela 4.3- Equipamentos do Experimento-A. ... 64 Tabela 4.4- Dimensões da amostra e câmara no core holder. ... 66 Tabela 4.5- Propriedades dos fluidos. ... 69 Tabela 4.6- Equipamentos Experimento-B. ... 70 Tabela 4.7-Condições Experimentais do Experimento-B . ... 73 Tabela 5.1-Resultados do tratamento das Imagens do Experimento-A... 115 Tabela 5.2-Resultados do Tratamento das Imagens do Experimento-B. ... 116 Tabela 5.3-CT dos fluidos para o Experimento-A ... 117 Tabela 5.4-CT dos fluidos para o Experimento-B ... 117 Tabela 5.5-Resultados do Experimento-A1 pelo Método de Peters Etapa-1. ... 123 Tabela 5.6-Resultados do Experimento-A1 pelo Método de Peters Etapa-2. ... 124 Tabela 5.7-Resultados pelo Método de Peters dos Experimentos A2, A3 e A4 ... 125 Tabela 5.8-Resultados pelo Método ECD sem Retenção. ... 127 Tabela 5.9-Resultados pelo Método ECD com Retenção. ... 130 Tabela 5.10-Resultados dos Experimentos pelo Modelo de Coats & Smith. ... 131 Tabela 5.11-Tempos de Injeção e Varreduras do Experimento-B1. ... 137 Tabela 5.12-Tempos de Injeção e Varreduras do Experimento-B2. ... 141 Tabela 5.13-Tempos de Injeção dos Testes do Experimento-B3. ... 144 Tabela 5.14-Resultados dos Experimentos pelo Método-1 para o Modelo MCT-1. ... 148 Tabela 5.15-Resultados dos Experimentos pelo Método-2 para o Modelo MCT-1. ... 152 Tabela 5.16-Resultados dos Experimentos A1 e A3 pelo Método-2 para o Modelo MCT-2. .... 156 Tabela 5.17-Resultados dos Experimentos A2 e A4 pelo Método-2 para o Modelo MCT-2. .... 160 Tabela 5.18-Resultados dos Experimentos pelo Método-2 para o Modelo MCT-1 com

(28)

xxviii

Tabela 5.19-Resultados do Experimento-A1 pelo Método-2 para o Modelo MCT-2 com

Porosidade. ... 168 Tabela 5.20-Resultados do Experimento-A2 pelo Método-2 para o Modelo MCT-2 com

Porosidade. ... 175 Tabela 5.23-Resultados do Ajuste ao Modelo de Concentração Total (MCT-2 Porosidade). .... 177 Tabela 5.24-Resultados do Ajuste com o Modelo de Coats & Smith. ... 183 Tabela 5.25-Massas do Experimento-B... 185 Tabela 5.26- Resultados do Balanço de Experimento-B ... 186 Tabela 5.27- Fração de Soluto Depositado (fr) para o Experimento-B ... 186

(29)

xxix

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

A Área da seção transversal para a difusão, cm2 C’ Concentração fluente, kg/cm3

C Concentração in situ, kg/cm3

Ci Concentração do fluido deslocado, kg/cm 3

Cj Concentração do fluido deslocante, kg/cm 3

C* Concentração estagnada, kg/cm3

CD Concentração adimensional

C Concentração total no meio poroso, kg/cm3 Cf Concentração do fluido, kg/cm

3

Cr Concentração da rocha, kg/cm 3

CDf Concentração do fluido adimensional

CDr Concentração da rocha adimensional

Df

C Concentração do fluido adimensional no espaço de Laplace Dr

C Concentração da rocha adimensional no espaço de Laplace

CD,teorica(xD,tD)i Concentração adimensional teórica na posição i

CD,experimental(xD,tD)i Concentração adimensional experimental na posição i

CS Coats and Smith

CTseca,x Valor de atenuação média da amostra seca, Hounsfield

CTsat.,x Valor de atenuação médio da amostra saturada, Hounsfield

CTf Valor de atenuação médio do fluido, Hounsfield

CTar Valor da atenuação do ar, Hounsfield

CTr Valor da atenuação da rocha, Hounsfield

CTtotal Valor da atenuação do total, Hounsfield

CTtotal 1

Valor de atenuação da amostra completamente saturada com o fluido a ser deslocado, Hounsfield

CTtotal 2

Valor de atenuação da amostra completamente saturada com o fluido a ser deslocante, Hounsfield

CTtotal t

Valor de atenuação da amostra num tempo t, Hounsfield

CTr-limpa Valor da atenuação da rocha limpa, Hounsfield

(30)

xxx Do, Dd Coeficiente de difusão molecular, cm

2

/s

D Tensor do coeficiente de dispersão

m

D Tensor da difusão mecânica.

ECD Equação de convecção-dispersão

f Fração do fluido fluente

Ff Fator da resistividade elétrica da formação

F,E

 

 Função objetivo

fr Fração limite de sal do fluido que é transferida à rocha

G Quantidade de material disperso através do plano, moles

g Gradiente da função objetivo

H Matriz Hessiana

J



Vetor do fluxo da massa total da espécie, g/min

Kl Coeficiente de dispersão longitudinal, cm 2

/s Km Coeficiente de transferência de massa, 1/s

L Comprimento, cm

LM Levenberg-Maquardt

MMCT Massa calculada a partir do perfil de concentração total, g

Min situ Massa calculada a partir do perfil de concentração in situ, g

Mac Massa acumulada, g

Mentrada Massa calculada a partir do perfil entrada, g

Msaida Massa calculada a partir do perfil saída, g

MV.Morto Massa calculada a partir do volume morto, g

N Número total de tempos de injeção

Nimagem Número total de imagens

NDa Número de Damkohler

NPe Número de Peclet

PS Poros-esfera

Pconf Pressão de confinamento, psi

q Vazão de injeção, cm3/min

Rf Fator de retenção

sqrt(t) Raiz do tempo, s1/2

(31)

xxxi t Tempo, min tD Tempo adimensional TC Tomografia computadorizada u Velocidade intersticial, cm/s v Velocidade de injeção, cm/s Vr Volume da rocha, cm 3 VT Volume total, cm3 x Distância, cm xD Posição adimensional  Porosidade ϕe Porosidade efetiva  Vetor de parâmetros ρ Densidade, g/cm3

delta x Comprimento de mistura, cm Δm Diferença entre Mac e Min situ , g

|∆MCT| Valor abasoluto da diferença de massa entre MMCT e Mac, g

|∆ in situ| Valor abasoluto da diferença de massa entre MIn situ e Mac, g

Subscritos

D Adimensional

f Fluido

i Posição ao longo da amostra

r Rocha

T Total

1 Fluido deslocado

(32)

1

1. INTRODUÇÃO

O transporte de fluidos através de uma matriz permeável pode seguir caminhos complexos, o que pode resultar na mistura do fluido à medida que se movimenta no meio poroso, fenômeno conhecido como dispersão. A dispersão no meio poroso é importante nos processos de recuperação melhorada de petróleo por métodos misciveis, no fluxo em aquíferos, e no espalhamento de contaminantes em aquíferos (Woods, 2014).

A aplicação de técnicas de recuperação melhorada em reservatórios heterogêneos, como os formados por rochas carbonáticas, representa um grande desafio na indústria do petróleo. Os carbonatos, dada sua origem biológica, são caracterizados por diferentes porosidades e distribuições de poro complexas, o que resulta em grandes variações de permeabilidade para a mesma porosidade total. A variação destas propriedades torna a caracterização e avaliação da produtibilidade do reservatório difícil. Por isso, o conhecimento e a compreensão da estrutura porosa da rocha reservatório são fundamentais para prever o comportamento do escoamento dos fluidos no meio poroso, e consequentemente melhorar a eficiência de recuperação de óleo (Green e Willhite, 1998 e Alvarado e Marique, 2010).

O deslocamento miscível é um dos métodos mais eficientes de recuperação melhorada de petróleo. Um dos parâmetros que mais influencia a eficiência do deslocamento miscível é a dispersão, que de fato, controla a evolução da zona de mistura de dois fluidos e a propagação do fluido injetado. Em processos parcialmente miscíveis, a dispersão dilui e reduz o volume efetivo do banco através do reservatório pela perda de miscibilidade, o que tende a ser prejudicial no processo de recuperação. Em processos de miscibilidade total, a dispersão faz com que o solvente se misture, se espalhe e entre em contato com o fluido deslocado, o qual é a base para melhorar a eficiência do deslocamento (Alvarado e Marique, 2010; Peters, 2012 e Perkins e Johnston, 1963).

A dispersão pode ser medida através do coeficiente de dispersão, que é o parâmetro mais relevante na descrição do escoamento multicomponente em reservatórios, principalmente quando se trata de deslocamento miscível. O coeficiente de dispersão representa uma medida da mistura hidrodinâmica que ocorre em meios porosos, como resultado do escoamento dos fluidos através dos canais conectados, distribuídos aleatoriamente em todas as direções e pode ser correlacionado

(33)

2

com as demais propriedades físicas da rocha (Lake, 1996 e Menzie, 1989). Assim, as medidas da dispersão em laboratório e no campo podem ser usadas na caracterização do escoamento em um meio poroso ou em um reservatório (Menzie, 1995).

O fenômeno da dispersão é conexo ao da difusão molecular. O primeiro que observou o fenômeno de dispersão no escoamento de um fluido em um tubo com o efeito da difusão molecular foi Griffiths, em 1911. Anos mais tarde, Taylor (1953) ressaltou as observações feitas por Griffiths (1911) e analisou que a dispersão ao longo do tubo é governada pelo coeficiente de difusão, que pode ser calculado a partir da distribuição de concentrações ao longo do tubo. Além disso, foi o primeiro a apresentar uma análise matemática da equação de convecção-difusão transiente para descrever a dispersão em sistemas com escoamento de fluidos (Menzie, 1992; Taylor, 1953 e Sahimi, 2011).

O processo de dispersão em uma rocha reservatório é mais complexo. Numerosas investigações experimentais demostraram que o processo pode ser aproximado por uma equação de derivadas parciais, conhecida como a equação de convecção-dispersão (ECD), e resolvida sob condições de contorno específicas (Green e Willhite, 1998; Perkins e Johnston, 1963 e Menzie, 1992).

A partir da solução da ECD, Brigham et al (1961) desenvolveram um método prático para estimar o valor do coeficiente de dispersão a partir dos dados de concentração obtidos nos experimentos de deslocamento miscível. Com este método, traça-se um gráfico do volume poroso injetado em função da concentração de soluto num papel de probabilidade e determina-se o coeficiente de dispersão pela inclinação da linha reta obtida (Sahimi, 2011 e Brigham et al, 1961).

Tradicionalmente, o coeficiente de dispersão é obtido através do ajuste da curva de produção a um modelo da equação de convecção-dispersão (ECD). A curva de produção é obtida a partir de um experimento de deslocamento, onde um fluido é usado para deslocar outro através de um meio poroso, e a concentração do solvente no fluido de saída é medida no final da amostra como uma função do tempo. A solução analítica simplificada da ECD mais amplamente utilizada é a de Ogata e Banks (1961) (Peters, 2012).

No entanto, muitos autores observaram em meios porosos consolidados que a curva de produção, que teoricamente tem a forma de S, apresentava uma cauda muito extensa, dificultando o ajuste. Esse efeito, conhecido como tailing, é atribuído à presença de heterogeneidades e à

(34)

3

interação rocha-fluido. Com o propósito de interpretar este efeito, Coats e Smith (1964) desenvolveram, com base no conceito de capacitância de Deans, um modelo que permite determinar o coeficiente de dispersão, a proporção de poros sem saída no meio poroso e a taxa de transferência de massa entre estes poros e o fluido fluente. Este modelo é amplamente utilizado na indústria de petróleo para quantificar a dispersão em meios porosos heterogêneos (Coats e Smith, 1964). No entanto, a solução apresentada por Coats e Smith é semi-analitica e requer a utilização de métodos numéricos para ser resolvida.

Com base no modelo de Coats e Smith (CS) foram elaborados modelos mais simples e soluções menos complexas. Em 1977, Baker desenvolveu um método rápido de determinação dos parâmetros governantes e mostrou a variação do coeficiente de dispersão e de transferência de massa com a velocidade, enquanto a fração fluente se mantém independente (Baker, 1977). Posteriormente, Jasti et al. (1988) realizaram experimentos com traçadores radioativos para analisar os efeitos de capacitância e concluíram que estes são uma consequência de duas escalas de tempo (difusivo e convectivo) e suas proporções determinam a extensão do tailing (Jasti et al., 1988).

Também, a partir do modelo de CS foram desenvolvidos modelos mais complexos como o modelo poros-esfera (PS), que descreve o fluxo entre uma estrutura de poros com troca difusiva do material das esferas com o fluido escoando. Bretz et al. (1987) compararam os modelos poros-esfera (PS) e CS. Os autores usaram o modelo PS para avaliar como os parâmetros de CS variam em deslocamentos numa escala maior, para três amostras de carbonato (Bretz et al., 1987). Em 1990, Correa et. al. analisaram dados de concentração fluente em meios heterogêneos com o modelo CS, PS e o modelo transversal-matriz-difusão. As soluções foram desenvolvidas considerando as definições de concentração fluente e “in situ” de Brigham (1974) e também são aproximadas para o tempo curto e o tempo longo, de modo a simplificar as soluções e permitir um método prático de determinação do coeficiente de dispersão (Corrêa et al., 1990).

Atualmente, com aplicação da tomografia computadorizada de Raios-X (TC), pode-se visualizar não destrutivamente o interior da amostra e observar o escoamento do fluido através da rocha em qualquer posição da amostra em qualquer instante do tempo. Esta metodologia traz um novo conhecimento na engenharia de petróleo associado às ciências geológicas (Withjack, 1988). Usando a tomografia computadorizada de Raios-X (TC), Peters et al. (1996) apresentaram um método para medir o coeficiente de dispersão longitudinal e a adsorção em meios porosos. Os

(35)

4

perfis de concentração in situ são influenciados por um fator de retenção do soluto que representa a adsorção no meio poroso. Os autores trabalharam com um perfil médio e procederam ao ajuste por tentativa e erro e de forma sequencial para os parâmetros (Peters et al., 1996).

Fourar et al. (2005), realizaram testes com traçadores em vários testemunhos de carbonatos usando TC, a fim de melhorar a interpretação da dispersão em meios porosos heterogêneos. A interpretação de seus resultados, pela aproximação padrão baseada na proporcionalidade entre o fluxo dispersivo e a variável da concentração, mostra que o coeficiente de dispersão não é constante e depende da posição no espaço (Fourar et al. ,2005). Vargas et al. (2013) aplicaram a técnica de TC e os conceitos de concentração in situ e concentração fluente de Brigham (1974), para determinar o coeficiente de dispersão constante a partir de um ajuste global dos perfis de concentração in situ do deslocamento de duas fases aquosas em uma rocha carbonática. A metodologia apresentada busca representar o comportamento da mistura no meio poroso aplicando-se a solução analítica para a ECD com o fator de retenção (Vargas et al., 2013).

1.1. Motivação

As descobertas no horizonte do pré-sal estão caracterizadas por serem de reservatórios carbonáticos. Testes preliminares nestes campos constataram a presença de quantidades significativas de CO2 que, sob determinadas condições de pressão e temperatura, é miscível com

o óleo e pode deslocá-lo. O método de recuperação mais recomendado nestas circunstâncias é o deslocamento miscível por re-injeção do CO2. Estes reservatórios são heterogêneos, com

diferentes tipos de poros e diferentes zonas de permeabilidade, que afetam a movimentação dos fluidos no reservatório e podem diminuir a eficiência do método de recuperação aplicado. Desta forma surge a necessidade de compreender o escoamento dos fluidos neste tipo de rocha, do qual faz parte a determinação do coeficiente de dispersão.

O fenômeno da dispersão no meio poroso é um processo de mistura na qual um fluido injetado sofre um processo de diluição devido à difusão molecular e à mistura mecânica. Este processo de dispersão pode afetar positivamente ou negativamente o processo de recuperação por deslocamento miscível. Pelo lado negativo, a dispersão aumenta a diluição do fluido deslocante, trazendo o risco de produzir a quebra de miscibilidade e, portanto, a redução da eficácia do método ao longo do reservatório. Pelo lado positivo, a dispersão faz com que o solvente se

(36)

5

misture e entre em contato mais efetivamente com o fluido deslocado, melhorando a eficiência do deslocamento. Portanto, é muito importante conhecer o coeficiente de dispersão para realizar o dimensionamento correto do banco de solvente que será injetado no processo de recuperação (Green e Wilhite, 1998; Garmeh, 2009 e Stalkup, 1984).

1.2. Objetivos

Os objetivos deste trabalho são:

 Elaborar um procedimento de cálculo para determinar os perfis de concentração nos diferentes tempos de injeção a partir dos dados obtidos da tomografia computadorizada.

 Construir um algoritmo de cálculo para avaliar os perfis de concentração e determinar o coeficiente de dispersão aplicando os modelos clássicos.

 Desenvolver um modelo matemático para o deslocamento miscível 1-D para meios heterogêneos usando tomografia computadorizada.

 Aplicar o modelo para avaliar os parâmetros envolvidos no novo modelo desenvolvido.

 Elaborar um algoritmo de cálculo e otimização para a análise e determinação dos parâmetros fenomenológicos envolvidos no processo do deslocamento miscível num meio heterogêneo, aplicando o novo modelo desenvolvido.

1.3. Organização do Trabalho

O trabalho encontra-se dividido em seis capítulos. O Capitulo 1 ressalta a importância da dispersão nos processos de recuperação melhorada, descreve os modelos mais aplicados na determinação do coeficiente de dispersão e cita os trabalhos que utilizam tomografia computadoriza para o estudo da dispersão. Além disso, descreve a motivação do trabalho, os objetivos e a organização do trabalho.

O Capitulo 2 trata dos fundamentos teóricos do fenômeno de dispersão, descreve os principais modelos matemáticos para a determinação do coeficiente de dispersão, considerando a escala macroscópica e a aplicação da lei de Fick. Neste mesmo capítulo são abordados os fundamentos teóricos da tomografia computadorizada, os conceitos teóricos necessários para a

(37)

6

interpretação e a análise dos dados experimentais. Também são descritos dois métodos de optimização: Levenberg-Maquardt e Simulated Annealing.

No Capítulo 3 encontra-se o desenvolvimento do novo modelo proposto para a análise do deslocamento em meios porosos heterogêneos, com o alvo de determinar o coeficiente de dispersão, a transferência de massa e a deposição de soluto usando tomografia computadorizada.

Já no Capítulo 4 são descritos a metodologia experimental, os procedimentos de análise e tratamentos de dados da tomografia computadorizada, o cálculo da porosidade e a descrição dos diferentes algoritmos de otimização aplicados.

Os resultados dos diferentes modelos clássicos e do novo modelo, que foram desenvolvidos neste trabalho, são apresentados no Capítulo 5. Finalmente, o Capítulo 6 contém as conclusões do trabalho.

(38)

7

2. REVISÃO DA LITERATURA

Neste capítulo faz-se referência a todos os conceitos necessários para a elaboração do trabalho, como os princípios da dispersão no meio poroso, a descrição dos diferentes modelos matemáticos clássicos e as diferentes soluções analíticas, os fundamentos teóricos da tomografia computadorizada, os conceitos teóricos necessários para a interpretação e análise dos dados experimentais, e os métodos de otimização que serão aplicados no ajuste dos dados experimentais aos diferentes modelos matemáticos.

2.1. Dispersão no Meio Poroso

A dispersão no meio poroso é um fenômeno de mistura que ocorre quando um fluido miscível desloca outro num meio poroso, ou seja, o fluido deslocante tende a se misturar com o fluido deslocado. Como resultado, se desenvolve uma zona de mistura em que a concentração do fluido injetado diminui com a distância. Experimentos mostram que o comprimento da zona de mistura cresce com o progresso do deslocamento (Peters, 2012).

O fenômeno da dispersão pode ser experimentalmente demonstrado através da injeção de um solvente de miscibilidade de primeiro contato em um tubo linear empacotado com areia, com o objetivo de deslocar um óleo com a mesma densidade e viscosidade do solvente. Este é um tipo simples de deslocamento miscível. As diferenças de viscosidade e densidade não influenciam no comportamento do escoamento neste caso. A Figura 2.1 ilustra o perfil de concentração do solvente contido no efluente do experimento no tubo de areia, que toma a forma de S (Stalkup, 1984).

(39)

8

Figura 2.1-Perfil da concentração do efluente no experimento idealizado.

O perfil de concentração do efluente é medido na saída do tubo e também é conhecido como curva de produção ou breakthrough. Caso os efeitos da dispersão não sejam considerados, a curva de produção será uma linha vertical como resultado de um deslocamento do tipo pistão através da coluna onde o mecanismo de transporte é só por convecção, como mostra a linha tracejada da Figura 2.1.

A dispersão tem origem em dois outros fenômenos associados: a difusão molecular e a dispersão mecânica.

2.1.1. Difusão molecular

A difusão molecular é um fenômeno de transporte de massa de um componente numa direção de concentração decrescente dentro uma mesma fase. A difusão é causada por um movimento aleatório de moléculas quando dois fluidos miscíveis estão em contato, também conhecido como movimento Browniano (Peters, 2012 e Garmeh, 2009) .

Se dois fluidos miscíveis são colocados em contato através de uma interface inicialmente fina, a subsequente mistura causada pela difusão molecular é representada pela conhecida equação da difusão de Fick (Stalkup, 1984).

x C A D dt dG _i oi i     (2-1)

Onde, Gi representa a quantidade de material dispersado através do plano representado

pela interface original, moles; t é o tempo; Doi representa o coeficiente de difusão molecular, L2/t;

1 0,5 0 C o n c e n tr a ç ã o d o s o lv e n te Tempo

(40)

9

A é área da seção transversal para a difusão, L2; C é concentração, moles/L3 e x é a distância, L. A Eq. (2-1) se aplica se não há mudança no volume dos dois fluidos misturados e descreve o transporte líquido de cada espécie molecular na mistura. O coeficiente de difusão Doi depende da

composição da mistura.

Num meio poroso o coeficiente de difusão molecular deveser ajustado para representar a trajetória tortuosa da difusão através dos poros da rocha. O coeficiente de difusão efetiva no modelo mostrado na Figura 2.2 pode ser calculado pela Eq. (2-2) (Stalkup, 1984).

 f o F D D 1  (2-2)

Onde, Ff é fator da resistividade da formação e  é fração de porosidade.

Quando os fluidos escoam através de um meio poroso, a mistura acontece na direção do fluxo de forma mais acentuada do que seria esperado pela difusão molecular. Esta mistura adicional causada pelo fluxo de convecção é explicada por uma teoria da célula de mistura, tal como ilustrado pela Figura 2.2.

A Figura 2.2 mostra as linhas de corrente 1, 2 e 3 seguindo trajetórias tortuosas através do meio poroso. Também, a direção média de cada linha de corrente deve estar na direção do fluxo média, supondo que inicialmente diferentes concentrações de solventes estão percorrendo ao longo de cada linha de corrente. Nos poros a, b, c e d, observa-se como os fluidos das linhas de corrente 1, 2 e 3 são misturados uns com outros por convecção e a concentração do solvente é uniformizada pela difusão molecular. Uma concentração uniforme emerge na saída dos poros (Stalkup, 1984). d a _c b 1 2 3

(41)

10

2.1.2. Dispersão Mecânica

A dispersão mecânica é a propagação ou espalhamento dos componentes num fluido monofásico dentro um meio poroso, causada pela variação de velocidade (Bear, 1972). A distribuição da velocidade dentro do poro não é uniforme devido às diferentes geometrias de poro como mostra a Figura 2.3 (Peters, 2012 e Garmeh, 2009).

(b) (a)

(c) Fluxo médio

Figura 2.3-Origem da dispersão mecânica. Adaptado de Peters (2012).

A mistura na direção do fluxo é conhecida como dispersão longitudinal. O efeito da tortuosidade do meio poroso faz com que as partículas do fluido sejam espalhadas na direção transversal à direção do fluxo médio. Esta é a dispersão transversal à direção do fluxo (Peters, 2012). A Figura 2.4 mostra um modelo bidimensional contendo duas camadas de areia. Neste modelo, o solvente não se mistura com o óleo somente pela dispersão longitudinal na direção do fluxo, mas também na direção transversal ao fluxo (Stalkup, 1984).

(42)

11 Mistura TransversalA A Mistura Longitudinal C a m a d a d e B a ix a p e rm e a b il id a d e C a m a d a d e a lt a p e rm e a b il id a d e (Solvente) (Óleo) (Óleo)

Figura 2.4- Mistura do solvente e do óleo pela dispersão longitudinal e transversal. Adaptado Stalkup (1984).

Finalmente, a Figura 2.5 ilustra a mistura local dos fluidos dentro do poro, que contribui para a dispersão mecânica.

Entrada Saída

r r

td

Figura 2.5- Mistura mecânica local das partículas do fluido. Adaptado de Peters (2012).

Greenkorn e Kessler (1970) descrevem o mecanismo de dispersão de dois fluidos miscíveis no meio poroso em termos dos seguintes fatores de controle (Li, 1992):

a. Difusão Molecular: a dispersão pode resultar da difusão molecular quando o tempo é suficientemente longo (Figura 2.6a)

b. Mistura devido à obstrução: se os canais de fluxo no meio poroso forem tortuosos, os elementos do fluido não viajam a mesma distância, apesar de estarem na mesma velocidade (Figura 2.6b).

c. A presença de autocorrelação no caminho de fluxo: quando a conectividade do meio poroso não é uniforme e se tem caminhos de fluxo de conectividade particular (Figura 2.6c).

(43)

12

d. Dispersão macroscópica ou megascópica: a dispersão pode ser causada pelas não idealidades (referente ao tamanho ou forma dos poros) que mudam as linhas de fluxo grosseiras (Figura 2.6d).

e. Dispersão hidrodinâmica: a dispersão pode ser causada pelo perfil de velocidade produzido pela aderência do fluido à parede dos canais do poro (Figura 2.6e).

f. Turbilhões: se o escoamento dentro dos canais individuais do meio poroso chega a ser turbulento, a mistura resulta da migração do turbilhão (Figura 2.6f).

g. Poros sem saída: incrementam a difusão molecular e causam variações nos perfis de concentração. Os poros sem saída não contribuem com o fluxo na seção transversal (Figura 2.6g).

(a) Processo de difusão molecular A A’ B C (b) Mistura devido á obstrução (c ) Conectividade incompleta do meio. Direção de fluxo médio (d) Dispersão macroscópica. Distribuição velocidade Grão Grão (e) Dispersão hidrodinâmica. (f) Mistura de migração de turbilhão

(g) Poro sem saida.

Soluto adsorvido por superfície do meio

Soluto molecular

(h) Adsorção

Figura 2.6-Mecanismos de Dispersão. Adaptado de Greenkorn (1983).

h. Adsorção: o fluido pode depositar ou remover material da superficie do meio poroso. (Figura 2.6h).

(44)

13

2.2. Modelos Matemáticos de Análise da Dispersão no Meio Poroso

2.2.1. Equação da Convecção-Dispersão (ECD)

O transporte de massa num sistema é realizado através de dois mecanismos: convecção e dispersão. A equação da continuidade para o transporte da massa é dado por (Peters, 2012):

 

0       J t C 



(2-3) Onde t é o tempo, é o vetor do fluxo da massa total da espécie i devido à convecção e à dispersão. E é dado pela soma vetorial:

d a J

J

J    (2-4)

O vetor de fluxo de massa do componente i devido à convecção, J_a pode ser definido como:

C u

J_a  (2-5)

Onde porosidade do meio poroso, é o vetor da velocidade intersticial, e C é a concentração da componente i na solução.

O vetor de fluxo de massa do componente i devido à dispersão, J_d pode ser definido como:

C D

J_d   (2-6)

Onde é o tensor do coeficiente de dispersão que caracteriza a difusão molecular e a dispersão mecânica. E é dado por:

m d D

D

D  (2-7)

Onde é o coeficiente de difusão molecular e é o tensor da difusão mecânica ou dispersão mecânica.

Substituindo as Eqs. (2-5) e (2-6) na (2-3) da equação de transporte de massa para um meio com porosidade constante, resulta:

 



 

 0      C D C u t C  (2-8)

(45)

14

A Eq. (2-8) é conhecida com vários nomes:equação da advecção- dispersão, da convecção-dispersão, do deslocamento miscível, do transporte de soluto, da cromatografia e do transporte de massa (Peters, 2012).

2.2.2. Equação da Convecção - Dispersão Unidimensional

Para o transporte unidimensional na direção x, a Eq. (2-8) é descrita por (Peters, 2012):

0 2 2          x C K x C u t C l (2-9)

Onde u é a velocidade intersticial (cm/s), e Kl é coeficiente de dispersão longitudinal

(cm2/s).

É possível estender a equação de transporte de massa para incluir o retardamento do soluto devido à adsorção, à reação química, à transformação biológica ou ao decaimento radioativo. No caso do retardamento devido à adsorção das espécies químicas na superfície do meio poroso a equação (2-9) fica (Peters, 2012):

0 2 2          x C R K x C R u t C f l f (2-10)

Onde Rf é o fator de retenção associado à adsorção. Se Rf é igual a 1, não há adsorção

enquanto, se Rf é maior do que 1 há adsorção e o transporte das espécies químicas será retardado.

Isto significa que na presença de adsorção, os perfis de concentração das espécies químicas viajam a uma velocidade menor do que quando não ocorre adsorção. No entanto, se o Rf é menor

que 1, os perfis de concentração viajam mais rápido do que sem adsorção (Peters, 2012). Na forma adimensional, a equação (2-9) fica:

0 1 2 2          D D Pe D D D D x C N x C t C (2-11) Onde

 

i j i D C C C t x C C    , _(2-12) L A qt L ut t_D    (2-13)

(46)

15 L x x_D  (2-14) l l Pe LK A qL K uL N    (2-15)

2.2.2.1. Soluções Analíticas da Equação da Convecção-Dispersão (ECD)

Existem diversas soluções analíticas para a equação de convecção-dispersão, dependendo das condições de contorno aplicadas.

Brigham (1974) diferenciou dois tipos de concentração: a fluente e a in situ. A concentração fluente é aquela associada ao fluido escoando, portanto é o caso da concentração medida na saída da amostra num experimento de deslocamento no laboratório. A concentração in

situ é a concentração dentro da amostra de rocha. O autor observou que as condições de contorno

usadas afetam as soluções resultantes, mas se as condições de contorno forem interpretadas corretamente, e a devida diferença entre as concentrações in situ e a fluente forem realizadas, os resultados destas equações passam a ser quase idênticos. Baseado no balanço de materiais, Brigham derivou a seguinte relação entre a concentração fluente e a in situ (Brigham, 1974):

           x C u K C C l (2-16)

Onde Cé a concentração fluente, C é a concentração in situ e u é a velocidade intersticial. O autor focou nesta definição e nas diferenças provocadas pelas condições de contorno e suas representações experimentais.

De acordo com as condições de contorno aplicadas, as soluções analíticas da ECD são descritas em duas seções, uma para o caso da concentração fluente e outra para a concentração in

situ.

2.2.2.1.1. Soluções Analíticas da ECD para Concentração Fluente

Sistema Semi-Infinito:

A solução mais comum é para um meio com condição de contorno semi-infinita. As condições de contorno para um modelo semi-infinito são:

(47)

16

 

x C_i C ,0 

C

_D



x

_D

,

0 



0  

t C_j C 0, 

C

_D



0 ,

t

_D





1  

t C_i C , 

C

_D





,

t

_D





0

Ogata e Bank (1961) registram a solução da equação (2-9) aplicando as condições de contorno acima como:

 

                                  t K ut x erfc e t K ut x erfc C t x C l K x u l i l 2 2 2 , (2-17)

Onde:

erfc

 

z



1 

erf

 

z

A solução dada pela equação (2-17) pode se escrita na forma adimensional como:





                _          _  Pe D D D N x Pe D D D D D D N t t x erfc e N t t x erfc t x C D Pe 2 2 2 1 , (2-18)

Na Eq.(2-18) nota-se que, se o tempo é suficientemente longo ou o comprimento suficientemente grande, já não se tem o efeito da borda de entrada, e o segundo termo desta equação tende a zero. Portanto, a solução analítica aproximada normalmente usada para determinar o coeficiente de dispersão dos dados de produção é:

 

                   t K ut x erfc C t x C l i 2 2 , (2-19)

Na forma adimensional, a Eq. (2-19) fica:





                _   D D D Pe D D D t t x N erfc t x C 2 2 1 , (2-20)

A solução analítica para o problema com adsorção Eq. (2-10) e as mesmas condições de contorno é (Aronofsky e Heller, 1957; Ogata e Banks, 1961 e Peters, 1996):

(48)

17

 

_

_





_

_

                              t R K R ut x erfc e t R K R ut x erfc C t x C f l f K ux f l f i l 2 2 2 , (2-21)

Na forma adimensional, a Eq. (2-21) chega a ser:





_

_

 

_

_

                              Pe f D f D D N x Pe f D f D D D D D N R t R t x erfc e N R t R t x erfc t x C D Pe 2 2 2 1 , (2-22)

Normalmente a solução analítica aproximada usada para determinar o coeficiente de dispersão dos dados de produção é (Peters et al., 1996):

 

_

_

                   t R K R ut x erfc C t x C f l f i 2 2 , (2-23) Na forma adimensional:





_

_

                   Pe f D f D D D D D N R t R t x erfc t x C 2 2 1 , (2-24)

2.2.2.1.2. Soluções Analíticas da ECD para Concentração In Situ Sistema Semi-Infinito- Transporte na Entrada (Brigham, 1974):

Considerando a Eq.(2-16), as condições de contorno ficam:

 

x C_i C ,0 

C

_D



x

_D

,

0 



0  

x C u K t C l     1 , 0





D D Pe D D t C N t C    1 1 , 0

 

t Ci C , 

C

_D





,

t

_D





0

Brenner (1962) apresentou uma solução assintótica para o sistema semi-infinito da Eq.(2-9). A solução é:

(49)

18





_                                        t K ut x erfc e ut x K u e t K ut t K ut x erfc C l K ux l t K ut x l l l l 2 2 1 1 2 2 1 2 2  (2-25)

A forma adimensional da Eq. (2-25) é:









          _                   _                     _  Pe D D D x N D D Pe N t t x Pe D D Pe D D D D N t t x erfc e t x N e N t t N t t x erfc C D Pe Pe D D D 2 2 1 1 2 2 1 2 2  (2-26)

Shukla et al. apresentaram uma solução analítica adimensional para o problema com adsorção, Eq. (2-10). Esta equação já modificada para manter a nomenclatura é (Shukla et al , 1999):









 





                                                                                   D D f D f Pe x N D f Pe D Pe t x R t R N f Pe D D D f D f Pe D t x R t R N erfc e t R N x N e R N t t x R t R N erfc C D Pe D D f D f Pe 2 1 4 2 1 2 1 4 2 1 1 4 2 1 2  (2-27)

2.2.3. Modelo Coats & Smith

Um modelo amplamente utilizado para descrever a presença dos poros sem saída e seus efeitos no deslocamento no meio poroso é o modelo de dispersão de Coats & Smith (1964).

O modelo de Coats & Smith (CS) estende o modelo de capacitância de Deans, que propôs um modelo simples dos efeitos das heterogeneidades, no qual o espaço poroso estava representado por uma fração fluente e estagnada com transferência de massa entre eles, com a adição da dispersão longitudinal na fração fluente. As duas frações são conectadas pela taxa de transferência de massa, proporcional à diferença na composição entre as frações fluente e estagnada. As equações governantes adimensionais do modelo de CS são (Coats e Smith, 1964; Bretz, 1987 e Corrêa et al, 1990):