Listas1a5_Opto_GABARITO.pdf

(1)

LISTA 1 – OPTOELETRÔNICA (EN3717)

••

Fótons. Efeito Fotoelétrico

1) Mostre que a energia de um fóton, em elétron-volts (eV), é relacionada ao 1) Mostre que a energia de um fóton, em elétron-volts (eV), é relacionada ao comprimento de onda

comprimento de onda λ λ , em nanômetros (nm), através da expressão, em nanômetros (nm), através da expressão E E _ph_ph ==12401240 λ λ .. SOLUÇÃO SOLUÇÃO Equação de Planck-Einstein: Equação de Planck-Einstein: λ λ ν ν hh cc h h E E _ph_ph == == . . Substituindo

Substituindo hh = 4.14 = 4.14××1010−−1515 eV eV⋅⋅s,s, cc = 3 = 3××10101717nm/s (= 3nm/s (= 3××101088m/s)m/s) ⇒⇒ hchc = 1242 eV = 1242 eV⋅⋅nmnm ∴

∴ Com boa aproximação, podemos escrever Com boa aproximação, podemos escrever E E _ph_ph ==12401240 λ λ

2) Um transmissor de ondas de radio AM operando em 700 kHz tem potência de 1 kW. 2) Um transmissor de ondas de radio AM operando em 700 kHz tem potência de 1 kW. Calcule o número de fótons emitidos por segundo pela antena.

Calcule o número de fótons emitidos por segundo pela antena. Re: 2.16

Re: 2.16 ×× 10 103030 fótons/s fótons/s

SOLUÇÃO SOLUÇÃO

Cálculo da energia do fóton: Cálculo da energia do fóton:

= = = = hhν ν E E _ph_ph (6.626 (6.626 ×× 10 10−−3434 J J⋅⋅s)(700s)(700 ×× 10 1033 s s−−11)) = = ph ph E

E 4.638 4.638 ×× 10 10−−2828 J/photon ou 2.895 J/photon ou 2.895 ×× 10 10−−99 eV/photon eV/photon O número de fótons emitidos pela antena por segundo,

O número de fótons emitidos pela antena por segundo,

= = 10 10 × × 638 638 4 4 1000 1000 = = = = ₋₋₂₈₂₈ JJ .. ss JJ ph ph E E P P N

N 2.16 2.16 ×× 10 103030 fótons por segundo fótons por segundo

3) Em condições ideais, o olho humano é capaz de perceber luz de comprimento de onda 3) Em condições ideais, o olho humano é capaz de perceber luz de comprimento de onda 550 nm se a energia captada pelo olho se dá a uma taxa tão pequena quanto 100 fótons 550 nm se a energia captada pelo olho se dá a uma taxa tão pequena quanto 100 fótons por segundo. Qual a potência óptica correspondente?

por segundo. Qual a potência óptica correspondente? Re: 3.6 Re: 3.6××1010−−1717 W W SOLUÇÃO SOLUÇÃO Energia do fóton, Energia do fóton, λ λ ν ν hchc h h E E _ph_ph == == = (6.626 = (6.626××1010−−3434 J J⋅⋅s)(3s)(3××101088 m/s)/(550 m/s)/(550××1010−−99m) = 3.61m) = 3.61××1010−−1919JJ O número de fótons emitidos por segundo

O número de fótons emitidos por segundo N N = 100 fótons/s. Logo a potência, = 100 fótons/s. Logo a potência,

= = = = NE NE _ph_ph P P (100 fótons/s)(3.61 (100 fótons/s)(3.61××1010−−1919J) = 3.61J) = 3.61××1010−−1717W (= J/s)W (= J/s)

(2)

4) Um experimento fotoelétrico indica que luz violeta de comprimento de onda λ = 420 nm corresponde ao máximo comprimento de onda da radiação que provoca emissão de fotoelétrons pela superfície de um fotocatodo multialcalino.

a) Qual a função trabalho do fotocatodo, em eV?

b) Se radiação UV de comprimento de onda λ = 300 nm incide no fotocatodo, qual a máxima energia cinética dos fotoelétrons, em eV?

c) Se a radiação UV do item acima tem irradiância de 20 mW/cm2, e os elétrons emitidos

são coletados pela aplicação de uma tensão positiva no eletrodo oposto ao fotocatodo, qual a densidade de fotocorrente, em mA/cm2?

(3)

5) O metal Césio é utilizado como material de um fotocatodo para emissão de fótons porque os elétrons podem ser facilmente removidos da sua superfície. A função trabalho para o Césio puro é de 1.9 eV.

a) Qual o máximo comprimento de onda da radiação incidente que provoca emissão de

elétrons?

b) Se radiação azul de comprimento de onda λ = 450 nm incide no fotocatodo, qual é a energia cinética máxima dos fotoelétrons, em eV? Qual a voltagem requerida no eletrodo oposto ao fotocatodo para que a fotocorrente no circuito seja nula?

c) A eficiência quântica (QE) de um fotocatodo é definida como,

incidentes fótons de Número emitidos ns fotoelétro de Número = QE .

QE é 100% se cada fóton incidente ejeta um elétron. Considere que luz azul com λ = 450 nm e irradiância I = 30 mW/cm2 incide em um fotocatodo circular de Césio com 6.0 mm

de diâmetro. Se os fotoelétrons são coletados pela aplicação de uma voltagem positiva no anodo (eletrodo oposto ao fotocatodo) e a eficiência quântica QE = 25%, qual será a

fotocorrente?

(4)

•

Ondas. Potência e Irradiância Óptica.

6) Uma onda harmônica plana se propaga no espaço livre e tem as componentes do campo elétrico nas direções xˆ , yˆ e zˆ dadas por:

]} )

[(

cos{ z c t

E _x =10 8π ×1014 ₀ + V/m e E _y = E _z =0. Considere as dimensões no SI. Determine:

a) A amplitude do campo elétrico da onda; b) A direção e sentido do fluxo de energia; c) A frequência em Hz; d ) O comprimento de onda. Re: a) E 0 = 10 V/m; b) − z ; c) ν = 4×1014 Hz; d ) λ = 750 nm SOLUÇÃO • Escrevendo _            + = + = E ₀ k z t k z t E _x ω ω ω ) cos cos( identificamos:

a) A amplitude do campo elétrico E 0 = 10 V/m.

b) A direção e sentido do fluxo de energia = direção e sentido de propagação = − z. c) A frequência angular ω = 8π × 1014 rad/s ⇒

π ν 2 = = 4×1014 Hz. d ) Identificamos 0 1 = c k ω ⇒ = ₀ 2 c λ π _⇒ ν ω π λ ₌ 2 c0 ₌ c0 _{. Substituindo} 8 0 = 3×10 c m/s e ν = 4×1014 Hz ⇒ λ = 750 nm.

(5)

7) Um laser emite um feixe de luz com potência óptica de 5 mW. Se o feixe é focalizado em uma área circular de 10 µm de diâmetro, encontre a irradiância e a amplitude do campo elétrico da luz no plano focal. Considere a iluminação uniforme, a velocidade c₀

= 3×108 m/s e a permissividade ε ₀ = 8.85×10−12 F/m. Expresse os resultados em unidades SI. Re: E 0 = 2.2×105 V/m

SOLUÇÃO Dados: P = 5 mW, d = 10 µm, c₀ = 3×108 m/s e ε ₀ = 8.85×10−12 F/m. • A irradiância ₂ = 4 ₂ 2 = = d P d P A P I π π ( ) : Eq.(1)

• Escrevendo I em função do campo elétrico: I = S = (1 2) E ₀H ₀, com H ₀ = c₀ε ₀E ₀.

Logo 2 0 0 0 2 1 = c E I ( ) ε : Eq.(2) • Eq.(1) = Eq.(2) ⇒ 0 0 0 8 1 = ε π c P d E ⇒ E ₀ =2.19×105 V/m (= 219 kV/m)

8) Uma aeronave voando a uma distância de 10 km de um transmissor de ondas de radio recebe um sinal de irradiância 10 µW/m2. Qual é a amplitude a) do campo elétrico da

onda e b) do campo magnético da onda? c) Se o transmissor radia uniformemente sobre

um hemisfério, qual a potência da onda transmitida? Re: a) E 0 = 87 mV/m; b) 230 µA/m; c) 6.28 kW

SOLUÇÃO

Dados: d = 10 km, I = 10 µW/m2, c₀ = 3×108 m/s e ε ₀ = 8.85×10−12 F/m.

a) Irradiância da onda que chega na aeronave ₀ ₀

2 1

= E H

I : Eq.(1)

A amplitude do campo magnético H ₀ =ε ₀c₀E ₀ : Eq.(2)

Eq.(2) → Eq.(1) ⇒ ₀ ₀ ₀2 2 1 = c E I ε ⇒ 0 0 0 2 = c I E ε Substituindo os dados ⇒ −2 0 =8.68×10 E V/m = 86.8 mV/m

b) H ₀ =ε ₀c₀E ₀ = 2.3×10−4 A/m = 230 µA/m

c) ÁREA DO HEMISFÉRIO: 2 2 2 = 2 4 = d d A π π Potência P = IA = 10 µW/m2 × 2π(10×103)2 m2 = 6.28×109 µW = 6.28 kW

(6)

9) Um laser He-Ne radia luz com comprimento de onda 632.8 nm e potência 3.0 mW. O feixe diverge com um ângulo θ = 0.17 mrad, como ilustrado na figura abaixo. a) Qual a

irradiância do feixe a uma distância d = 40 m do laser? Considere que o laser é

substituído por uma fonte de luz pontual, que emite luz de maneira uniforme em todas as direções. b) Qual potência deveria ter essa fonte para prover a mesma irradiância a 40 m?

Re: a) 82.6 W/m2; b) 1.7 MW

SOLUÇÃO

Dados: i) Potência P₀ = 3.0 mW; ii) Ângulo de abertura do cone θ = 0.17 mrad

a) Irradiância A P I = d r = 2 ≈ 2 θ θ tan ⇒ 2 =d θ r ⇒ Área 4 = = 2 2 2 π θ π r d A

Substituindo θ = 0.17×10−3 radianos e d = 40 m ⇒ A = 3.63×10−5 m2. Irradiância

A P

I = = 8.26×104 mW/m2 = 82.6 W/m2

b) Para uma fonte pontual emitindo luz em todas as direções ⇒ A=4π d 2

A potência P = IA = 82.6 W/m2 × 4π(40 m)2 = 1.66×106 W = 1.66 MW

10) Duas ondas de luz se superpõem em certo ponto do espaço. As componentes do campo elétrico nesse ponto são E ₁ = E ₀ cos t e cos( o)

50 + = ₀

2 E t

E ω . Escreva a

expressão do campo resultante (amplitude e fase). Re: E = 1.81 E 0cos(ω t + 25°)

SOLUÇÃO

• = + = [1+ 50o]= [1+ 50o + 50o]

0 0

2

1 E E expi t expi E expi t ( cos ) isin

E E o o o + 50 =1 643+ 0 766=1 813 25 50 +

1 cos ) isin . i . . expi

(

⇒ =1_.81 _exp _exp 25o=1_.81 _exp ₍ +25o₎

0

0 i t i E i t

E E

∴ Tomando a parte real: =1 81 ( +25o)

0 t E E . cos r A = π r 2 θ /2 d

(7)

LISTA 2 – OPTOELETRÔNICA

EN3717

•

Polarização

1) Um feixe laser de potência óptica P = 100 mW está linearmente polarizado na direção

yˆ . Esse feixe se propaga na direção xˆ e incide em um polarizador linear com eixo de

transmissão formando um ângulo de 30 graus com o eixo yˆ . Calcule a potência óptica do

feixe transmitido pelo polarizador. Considere o polarizador ideal. Re: P = 75 mW

2) Uma onda plana randomicamente polarizada incide perpendicularmente em um polarizador linear. A irradiância da onda incidente I = 300 mW/cm2. Calcule a irradiância

da luz transmitida pelo polarizador. Considere o polarizador ideal. Re: I = 150 mW/cm2

3) Um feixe de luz de 10 mW de potência está linearmente polarizado na direção vertical ( yˆ ). Esse feixe passa através de um sistema de dois polarizadores lineares. Com relação à direção yˆ , o eixo de transmissão do primeiro polarizador faz um ângulo θ e o eixo de transmissão do segundo polarizador faz um ângulo de 90°. Considerando o ângulo θ variável, qual a máxima potência de luz transmitida pelo sistema? Re: PMAX = 2.5 mW

Solução

• Chamando P₀ a potência óptica incidente, a potência na

saída do 1º polarizador: P₁ = P₀cos2θ : Eq.(1)

y _P1

P2 θ

(8)

• A potência na saída do 2º polarizador: θ θ ₁ 2 2 1 2 =P cos (90− ) =P sin P : Eq.(2)

Substituindo Eq.(1) em Eq.(2) ⇒ 2

0 2 =P (sinθ cosθ ) P ⇒ 2θ 4 1 = ₀ 2 2 P sin P ( o 90 ≤ ≤ 0 θ )

• Logo, a máxima potência transmitida ocorre para o

45 = θ (sin2θ =1), com 4 = ₀ 2 P P . Se P₀ = 10 mW⇒ P₂ = 2.5 mW.

4) Considere uma lâmina de quartzo de meia-onda para λ ₀ = 550 nm. Se a espessura da lâmina d = 30 µm, determine a birrefringência ∆n.

Re: ∆n = 9.2×10−3 Solução 2 = ∆n λ ₀ d ⇒ ∆n =λ ₀ 2d ∴ ∆n = 9.17×10−3 (≈ 0.0092) •

Formalismo de Jones

5) Luz com polarização circular esquerda incide em uma placa retardadora de meia-onda. Determine o estado de polarização da luz emergente utilizando o formalismo de Jones. Re: Polarização circular direita.

SOLUÇÃO       − 1 =      1       1 − 0 0 1 i

i ⇒ Polarização circular direita

6) Considere um feixe de luz linearmente polarizado a +45º do eixo x (direção horizontal)

e com irradiância I ₀ = 8.0 mW/cm2. Esse feixe atravessa então a seguinte sequência de

polarizadores lineares: um polarizador com eixo de transmissão horizontal, seguido de um polarizador com eixo de transmissão a −45º da horizontal e finalmente um polarizador com eixo de transmissão vertical. a) Escreva a matriz de Jones para o

elemento óptico composto por essa sequência de polarizadores; b) Determine a

(9)

Re: a) _      0 1 − 0 0 2 1

, b) Polarização linear vertical, com I = 1.0 mW/cm2.

SOLUÇÃO a) _      0 1 − 0 0 2 1 =       0 0 0 1       1 1 − 1 − 1 2 1       1 0 0 0 = = P_yP₋₄₅P_x M

b) Para um vetor incidente de amplitude unitária: _

     1 0 2 2 1 − =       1 1 2 1       0 1 − 0 0 2 1

⇒_{Polarização linear vertical.}

⇒_{Lembrando que a irradiância é proporcional ao quadrado da amplitude do campo}

elétrico, temos que a irradiância na saída é I _OUT =

(

1 2 2

)

2 I ₀ = I ₀ 8 = 1.0 mW/cm2.

•

Moduladores ópticos.

7) Um modulador eletro-óptico de amplitude utiliza um cristal LiNbO3 de comprimento L

= 3 cm. Os polarizadores de entrada e saída do modulador estão cruzados, i.e., seus eixos de transmissão são ortogonais. O campo

elétrico está aplicado na direção do eixo óptico do cristal e a distância entre os eletrodos é d = 0.1 mm. Considere o

comprimento de onda λ 0 = 633nm, o

índice de refração ordinário no = 2.286, o

índice extraordinário ne = 2.200 e os

coeficientes eletro-ópticos r 13 = 9.6 pm/V e r 33 = 30.9 pm/V. a) Qual deve ser o ângulo

entre a direção do eixo óptico e a direção de polarização do feixe incidente? b) Calcule a

tensão de meia-onda do modulador. Re: a) 45°, b) 9.86 V

L d

(10)

SOLUÇÃO

Retardo relativo de meia-onda ⇒_L₍_∆_n_e ₋_∆_n_o₎ ₌ _λ₀ ₂_{, com}_λ₀_{o comprimento de onda}

no vácuo. O campo elétrico externo E = V / d , com d a distância entre os eletrodos.

⇒ 33 3 13 3 0 0 13 3 33 3 − 1 1 = ⇒ 2 =       2 1 + 2 1 − r n r n d L V d V r n d V r n L e o o e ) ( λ λ π π π Substituindo os dados: 3 ₃₃ r n_e = 329 pm/V e n_o3r ₁₃ = 115 pm/V, ⇒ ₋ 3 ₃₃ ₌ 13 3 r n r n_o _e − 214 pm/V Considerando em módulo: . V pm/V pm = 9 86 214 1 300 1 10 × 633 = 3 π V

8) Um modulador eletro-óptico de fase utiliza um cristal LiNbO3 de comprimento L = 3

cm. O campo elétrico está aplicado na direção do eixo óptico do cristal (eixo z) e a

distância entre os eletrodos é d = 0.1 mm. O índice de refração ordinário no = 2.286, o

índice extraordinário ne = 2.200 e os coeficientes

eletro-ópticos r 13 = 9.6 pm/V e r 33 = 30.9 pm/V.

Considere que o feixe incidente está polarizado na direção z e que o comprimento de onda da luz no

vácuo λ ₀ = 870 nm. Determine a tensão que deve ser

aplicada para provocar um retardo de fase de π 2?

Re: 4.41 V

SOLUÇÃO

Um retardo de fase de π 2 equivale a uma variação de caminho óptico de λ ₀ 4.

⇒ 4 = ∆n_e λ 0 L ⇒ L d V r n_e 4 = 2 1 − 2 0 33 3 π λ _⇒ 33 3 0 2 1 − 2 = r n d L V e ) ( λ π

Substituindo os dados e tomando em módulo V _π ₂ = 4.41 V.

L d

x z

(11)

LISTA 3 – OPTOELETRÔNICA (EN3717)

•

Sensores de Imagem. Resolução.

1) Uma câmera fotográfica digital possui um sensor de imagem (CCD) cujos pixels têm dimensão linear de aproximadamente 5.5 µm. Qual deve ser o máximo f # ( f-number ) do

sistema óptico dessa câmera para que a resolução da imagem seja limitada pelo CCD. Considere o comprimento de onda da luz no centro do espectro visível (λ = 550 nm). Re: f /4

SOLUÇÃO

Para que a resolução seja limitada pelo CCD, o diâmetro do disco de Airy 2 ρ < 5.5 µm. Logo: ρ =1.22λ f _# < 2.75 µm ⇒ f _# <4.1. ∴ A câmera deve usar uma lente f /4.

•

Discos ópticos.

2) Utilizando um CD e um laser HeNe (λ = 0.633 µm) em uma montagem como a ilustrada na Fig.1, um estudante mediu uma distância y1 = 12.5 cm do máximo de 1ª

ordem de difração ao máximo central. A distância do CD à tela D = 29 cm. Utilize as

dimensões especificadas na Fig.2 e estime o comprimento total da trilha em espiral do CD.

(12)

Re: L ≈ 5.4 km SOLUÇÃO

• Cálculo do número de voltas/mm (linhas/mm)

O ângulo da 1ª ordem de difração θ ₁ = arctan( y₁ D) ⇒ θ ₁ = 23.3° Equação da rede: λ = hsinθ ₁ ⇒ h = 1.60 µm ⇒ 1 = 625 linhas/mmh

• Cálculo do comprimento médio de uma volta completa

OBS.: Para facilitar o cálculo, vamos assumir que cada volta possui um raio constante (em realidade, a trilha é uma espiral de raio variável)

O raio mínimo ocupado pela área de programação r _m = 50/2 = 25 mm e o raio máximo =

M

r 116/2 = 58 mm.

⇒_{O raio médio} ₌ ₍ ₊ ₎ ₂ ₌

M m r

r

r 41.5 mm

⇒_{O comprimento médio da trilha em uma volta completa} _l ₌ ₂_π_r₌_{260.75 mm}

• Cálculo do comprimento total da trilha

O número total ( N ) de voltas N = 625 linhas/mm× 33 mm = 20625 voltas

(13)

LISTA 4_5: LASERS

OPTOELETRÔNICA (EN3717)

Constantes fundamentais: c₀ = 3×108 m/s ;

h = 6.626×10−34 J⋅s = 4.136×10−15 eV⋅s ; k _B= 1.381×10−23 J/K = 8.617×10−5 eV/K Atenuação e ganho num laser de rubi

1) Considere um cristal de rubi com dois níveis de energia separados por uma diferença de energia correspondente ao comprimento de onda no vácuo λ ₀ = 694.3 nm, com uma curva Lorentziana com ∆ν = 60 GHz. O tempo de vida espontâneo é t _sp= 3 ms e o índice de refração

do rubi én = 1,76. A soma N ₁+ N ₂ = N _a = 1022cm-3.

a) Determine a diferença de população N = N ₂ − N ₁ e o coeficiente de atenuação α (ν ₀) para a linha central sobre condições de equilíbrio térmico paraT =300 K.

b) Qual o valor da diferença de população para um coeficiente de ganho γ (ν ₀ )= 0.5 cm-1 para a frequência central?

c) Qual deveria ser o comprimento L do cristal para termos um ganho total G(ν ₀)= 4? Considerar γ (ν ₀)= 0.5 cm-1.

Re: a) N ≈ − N _a= −1022cm−3 e α (ν ₀) = 2.19×103 cm−1; b) N = 2.28×1018 cm−3 ;c) L = 2.77 cm

SOLUÇÃO

a) Equilíbrio térmico→ A distribuição de Boltzmann é válida

OBS: Em equilíbrio térmico não pode haver ganho, uma vez que não há inversão de população. • Boltzmann: N _i ∝ exp( − E _i k _BT ), com N _i a população no nível de energia E _i

∴ _      ₋ = 21 1 2 T k E N N B

exp , com E ₂₁ = E ₂ −E ₁

Diferença de população

• Sabe-se que N ₁ + N ₂ = N _a = 1022cm-3

• E ₂₁ = E ₂ − E ₁ = hν ₀ = hc₀ λ ₀ = 1.79 eV • k _BT = 0.0259 eV (paraT = 300 K)

(14)

      ₋ = 21 1 2 T k E N N B exp ⇒ _      ₋ + 1 = + 1 21 1 2 T k E N N B exp ⇒ _ _≈₁      ₋ + 1 = 21 1 k T E N N B a _exp ⇒ a N N ₁ ≈ e N ₂ = N _a − N ₁ ≈ 0 ∴ N = N ₂ − N ₁ ≈ − N _a = −1022cm−3 Coeficiente de atenuação

Na ausência de inversão de população ( N < 0) o meio irá atenuar (ao invés de amplificar) o fluxo

de fótons se propagando na direção z de acordo com φ ( z) =φ (0)exp[ −α (ν ) z], onde o

coeficiente de atenuação α (ν ) = −γ (ν ) = −N σ (ν ) (OBS: γ (ν ) é o coeficiente de ganho e σ (ν ) é a seção de choque da transição na frequênciaν ).

OBS: A irradiância I ( z) = hνφ (z) ; I ( z) = I (0)exp[ γ (ν ) z].

O coeficiente de ganho é dado pela expressão ( ) ( ) (ν ) π λ ν σ ν γ g t N N sp 8 = = 2 ,

Com λ o comprimento de onda da luz no meio, t _sp é o tempo de vida espontâneo e g(ν ) é a ‘normalized lineshape function’.

O coeficiente de ganho na frequência centralν =ν ₀ = ( E ₂ − E ₁) h fica

( ) ν π λ ν π λ ν γ ∆ 4 = ∆ 4 = ₂ 2 0 2 2 0 sp sp t n N t N ) ( . Substituindo os dados: α (ν ₀) = −γ (ν ₀) = 2.19×103 cm−1 b) N = ? para γ (ν ₀) = 0.5 cm−1 Utilizando a expressão acima:

( )2 0 2 0 ∆ 4 = n t N sp λ ν π ν γ ( ) Substituindo os dados N = 2.28×1018 cm−3

c) O Ganho total é definido como G(ν )=φ (d ) φ (0) = I (d ) I (0) =exp[ γ (ν )d ]

[ L] G(ν ₀)= expγ (ν ₀) ⇒ ln[ ( )] ) ( 0 0 1 = ν ν γ G L Substituindo os dados ln( ) .5 4 0 1 = L cm = 2.77 cm

(15)

Densidade de fluxo de fótons de saturação para rubi

2) Determine a densidade de fluxo de fótons de saturação, e a correspondente intensidade de saturação, para a transição na frequência central do laser de rubi ν =ν ₀ (λ ₀= 694.3 nm). Use os

parâmetros da tabela abaixo e assuma que τ _s ≈ 2t _sp.

Re: φ _s(ν ₀) ≈ 8.33×1021 fótons/(cm2⋅s) e I _s(ν ₀) = 2.39 kW/cm2

Repita o item anterior para: o laser de He-Ne (λ ₀ = 632.8 nm), o laser de Nd3+:YAG (λ ₀= 1064

nm); o laser de Nd3+:glass (λ ₀= 1060 nm); o laser de Er3+: silica fiber (λ ₀ = 1550 nm); o laser de

corante Rhodamina 6G (λ ₀= 560 nm); o laser de titanio-safira Ti3+:Al2O3 (λ ₀ = 780 nm); o laser

de CO2 (λ 0 = 10600 nm); e, para o laser de Ar

+₍

0

λ = 514.5 nm.

SOLUÇÃO

Densidade de fluxo de fótons de saturação φ _s(ν ₀) = ?

) ( ) ( ) ( 0 0 0 2 1 ≈ 1 = ν σ ν σ τ ν φ sp s s t ,

com τ _s a constante de tempo de saturação.

Substituindo os valores do tempo de vida espontâneo t _sp = 3 ms e σ (ν ₀) = 2×10−20 cm2,

chega-se a φ _s(ν ₀) ≈ 8.33×1021 fótons/(cm2⋅s)

(OBS: Os processos de emissão estimulada e de absorção dependem da taxa W _i =φσ (ν ) (densidade de probabilidade) segundo as equações:

(16)

Intensidade de saturação I _s(ν ₀) =? ) ( ) ( ) ( ₀ 0 0 0 0 0 = = φ ν λ ν φ ν ν _s _s s c h h I = 2.39 kW/cm2

Ganho em um amplificador saturado

3) Considerar um meio amplificador laser com comprimento d = 10 cm e densidade de saturação

de fluxo de fótons φ _s = 4×1018 fótons/(cm2⋅s). Se φ (0) = 4×1015 fótons/(cm2⋅s) produz uma

densidade de fluxo de fótons na saída φ (d ) = 4×1016fótons/(cm2⋅s).

a) Determinar o ganho para pequeno sinal (ganho não saturado) b) Determinar o coeficiente de ganho γ ₀.

c) Qual é a densidade de fluxo de fótons para a qual o coeficiente de ganho decresce por um fator

de 5?

d ) Determinar o coeficiente de ganho quando a densidade de fluxo de fótons é φ (0) = 4×1019

fótons/(cm2⋅s) Re:a) G = 10 ; b) γ ₀ = 0.23 cm−1 ; c) φ = 16×1018fótons/(cm2⋅s) ; d ) γ (ν ) ≈ 2.1×10−2cm−1 SOLUÇÃO a) ) ( ) ( 0 = φ φ d G = 10 b) s X φ φ (0) = << 1 e s d Y φ φ ( ) = << 1

⇒ _Y_≈_X_exp(_γ₀_d₎ ⇒ _exp(_γ₀_d₎ _≈_Y_X₌ _G ⇒ _G

d ln 1 = 0 γ = 0.23 cm−1 c) 5 1 = 0( ) ) ( ν γ ν γ ) ( ) ( ) ( ν φ φ ν ν γ s + 1 = 0 _⇒ 5 = = + 1 0 ) ( ) ( ) ( ν γ ν γ ν φ φ _s ⇒ = 4 ) (ν φ φ s ⇒ _φ_{= 16}_×₁₀18_fótons/(cm2_⋅_s) d ) s X φ φ (0) = = 10 >> 1

Em condições altamente saturadas, o fluxo de fótons é aproximadamente constante. De fato, nessas condições Y ≈ X +γ ₀d ⇒ φ (d ) ≈φ (0) +γ ₀φ _sd

O produto γ ₀φ _sd = 0.92×1019fótons/(cm2⋅s) ⇒ _φ₍_d₎ _≈_4.92_×₁₀19_fótons/(cm2_⋅_s) _≈_φ₍₀₎

(17)

Assumindo fluxo ≈ constante, com φ ≈φ (0) = 4×1019fótons/(cm2⋅s) e substituindo em ) ( ) ( ) ( ν φ φ ν γ ν γ s + 1 = 0 _⇒ ≈ ) (ν γ 2.1×10−2cm−1 Cavidade ressonante

4) Determinar o espaçamento de frequências e largura espectral dos modos de um ressonador cujos espelhos têm refletâncias de 0.98 e 0.99 e estão separados uma distância de 100 cm. O meio tem índice de refração n = 1 e perdas desprezíveis.

Re:ν _FSR = 1.5×108 Hz e ∆ν _FWHM = 7.22×105 Hz SOLUÇÃO

• Espaçamento de frequências (Faixa espectral livre: FSR)

nd c d c FSR 2 = 2 = 0 ν = 1.5×108 Hz

• Largura espectral (Full width at half maximum: FWHM)

ℑ =

∆ FSR

FWHM

ν

ν , com ℑ a finesse

da cavidade. Quando as perdas da cavidade ressonante são pequenas, a Finesse é grande é dada por,

(

_p _FSR

)

r d ν πτ α π 2 = = ℑ (OBS: c r p α

τ = 1 é o tempo de vida do fóton)

O coeficiente de perda: Considerando α _s = 0 ⇒ α _r = 1.51×10−4 cm−1 ⇒ ℑ = 208 ⇒ ℑ = ∆ FSR FWHM ν ν = 7.22×105 Hz

(18)

Oscilação do laser de rubi

5) a) Para a linha central de transição λ ₀ = 694.3 nm, o coeficiente de absorção do laser de rubi

em equilíbrio térmico para T = 300 K é α (ν ₀) = 0.2 cm-1. Se a concentração de íons de Cr3+

responsável pela transição é N _a = 1.58×1019 cm-1, determinar a seção de choque de transição

) (ν ₀ σ .

b) Um laser de rubi usa um cristal de 10 cm de comprimento com índice de refração n = 1.76 e

área de 1 cm2, operando em 694.3 nm. Ambas as faces são polidas e tem refletância de 80%. Assumindo que não há outras perdas, determinar o coeficiente de perdas na cavidade, α _r, e o

tempo de vida do fóton, τ _p.

c) Ao ser bombeado, o coeficiente de ganho aumenta (valor inicial − 0.2 cm-1). Determinar o

valor limiar da diferença de população, N _t, para iniciar a oscilação laser.

Re:a) σ (ν ₀) ≈ 1.27×10−20 cm2 ; b) α _r = 0.023 cm−1 e τ _p = 2.63 ns ;c) N _t = 1.76×1018 cm−3 SOLUÇÃO a) α (ν ₀) = −γ (ν ₀) = −N σ (ν ₀) Equilíbrio Térmico a T = 300 K ⇒ _N₂ _<<_N₁ ⇒ a N N ₁ ≈ ⇒ N = N ₂ − N ₁ ≈ − N _a ⇒ _α₍_ν₀₎ _≈ _σ₍_ν₀₎ a N ⇒ a N ) ( ) ( 0 0 ≈ ν α ν σ = 1.27×10−20 cm2 b) Considerando α _s = 0 ⇒ 2 1 1 2 1 = R R d r ln α = 2.23×10−2 cm−1

O tempo de vida do fóton

0 = 1 = c n c r r p α α τ = 2.63×10−9 s = 2.63 ns c) ) ( ₀ = ν σ α _r t N = 1.76×1018 fótons/(cm2⋅s)

(19)

Potência de saída de um laser

6) Considere um laser de gás com d = 10 cm de comprimento operando em 600 nm. As

refletâncias dos espelhos são R₁ = 99% e R₂ = 100%. O índice de refraçãon = 1 e a área efetiva

do feixe na saída é de 1 mm2. O coeficiente de ganho não saturado γ ₀(ν ₀) = 0.1 cm-1 e a densidade de fluxo de fótons de saturação φ _s = 1.43×1019 fótons/(cm2⋅s).

a) Determine os coeficientes de atenuação α _m₁ e α _m₂ associados a cada espelho separadamente.

Assumindo α _s = 0, encontre o coeficiente α _r.

b) Calcule o tempo de vida do fóton no ressonador, τ _p.

c) Determine a densidade do fluxo de fótons de saída e a potência óptica de saída.

Re: a) α _m₁ = 5×10−4 cm−1 , α _m₂ = 0 e α _r = 5×10−4 cm−1 ; b) τ _p = 66.3 ns ; c) φ _OUT = 1.41×1019 fótons/(cm2⋅s) e P = 46.7 mW SOLUÇÃO a) 1 1 1 2 1 = R d m ln α = 5.03×10−4 cm−1 2 2 1 2 1 = R d m ln α = 0 2 1 + + = _s _m _m r α α α α = 5.03×10−4 cm−1

b) O tempo de vida do fóton

0 = 1 = c n c _r r p α α τ = 6.63×10−8 s = 66.3 ns c) Estado estacionário ⇒ _r s α ν φ φ ν ν γ = + 1 = 0 0 0 0 ) ( ) ( ) ( , com γ ₀(ν ₀) = 0.1 cm-1 , φ _s = 1.43×1019 fótons/(cm2⋅s) e α _r = 5.03×10−4 cm−1 ⇒ _      1 − = 0 0 0 r s α ν γ ν φ φ ( ) ( ) = 2.83×1021 fótons/(cm2⋅s) Fluxo na saída ⇒ 2 = φ

φ _OUT T = 1.41×1019 fótons/(cm2⋅s) , comT = 0.01 a transmitância do espelho de saída

Potência

⇒ _P_OUT ₌_IA₌ _h_νφ_OUT_A_{, com}_A_{= 0.01 cm}2

λ λ

ν c c0n 0

0 ₌

= ⇒ P_OUT hc nφ _OUT A

λ

0