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A10 Optimização

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Academic year: 2021

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(1)

Ensino Profissional

Ensino Profissional 11 Professora Maria Daniel SilvaProfessora Maria Daniel Silva

ÍÍNDICENDICE

1. Derivada de uma função

1. Derivada de uma função--- 22

1.1.

1.1. Introdução ao conceito de derivadaIntrodução ao conceito de derivada--- 22

1.2.

1.2. Definição de derivada de uma função num pontoDefinição de derivada de uma função num ponto--- 33

1.3.

1.3. Interpretação geométrica da derivada de uma função num pontoInterpretação geométrica da derivada de uma função num ponto--- 44

1.4.

1.4. Derivadas laterais---Derivadas laterais--- 99

1.5.

1.5. Funções deriváveisFunções deriváveis--- 1010

1.6.

1.6. DeDerivabilidade e continuidaderivabilidade e continuidade--- 1212 2.

2. Derivadas de algumas funções---Derivadas de algumas funções--- 1313 3.

3. Regras de derivaçãoRegras de derivação--- 1616 4.

4. Aplicação das derivadasAplicação das derivadas--- 1818

4.1. Sinal da derivada e sentido de variação

4.1. Sinal da derivada e sentido de variação--- 1818

4.2. Extremos relativos e absolutos de uma função

4.2. Extremos relativos e absolutos de uma função--- 1919

4.3. Segunda derivada de uma função

4.3. Segunda derivada de uma função--- 2323 4.4. Concavidade de uma função e segunda derivada

(2)

1.

1. DERIVADA DE UMA FUNÇÃODERIVADA DE UMA FUNÇÃO 1.1.

1.1. IINTRODUÇÃO AO CONCEITO DENTRODUÇÃO AO CONCEITO DETTAXA DEAXA DE VVARIAÇÃOARIAÇÃO ((DERIVADADERIVADA))

A recta secante a uma curva é uma recta que tem com essa curva dois pontos em comum. A recta secante a uma curva é uma recta que tem com essa curva dois pontos em comum.

A recta tangente a uma curva num ponto é uma recta que tem com essa curva um único A recta tangente a uma curva num ponto é uma recta que tem com essa curva um único ponto em comum.

ponto em comum. Por exemplo

Por exemplo

Como determinar uma

Como determinar uma equação da recta tangente a uma curva num pontoequação da recta tangente a uma curva num ponto

( (

xx00,,f f 

( ( ))

xx00

))

??

Para responder a esta questão, considere

Para responder a esta questão, considere-se um número muito pequeno-se um número muito pequeno hh, diferente de zero,, diferente de zero,

e sobre a curva assinala

e sobre a curva assinala-se o ponto-se o ponto

( (

xx00 ++hh,,f f 

( (

xx00 ++hh

))

))

.. 0

0 h

h >> hh << 00

Quando 0

(3)

Ensino Profissional

Ensino Profissional 33 Professora Maria Daniel SilvaProfessora Maria Daniel Silva

O

O declive da secantedeclive da secante é dado por:é dado por:

(

(

)

) (

( ))

h h x x f  f  h h x x f  f  00 ++ -- 00 O

O declive da recta tangentedeclive da recta tangente é dado por:é dado por:

(

(

)

) (

( ))

h h x x f  f  h h x x f  f  lim lim 00 00 0 0 h h -+ + ® ® 1.2.

1.2. TTAXAAXA MMÉDIA DEÉDIA DEVVARIAÇÃO NUM INTERVALARIAÇÃO NUM INTERVALOO

Exemplo Exemplo

Para a empresa X, o rendim

Para a empresa X, o rendimento, em euros, da venda de x unidades é dado por:ento, em euros, da venda de x unidades é dado por:

( ( ))

xx 1010xx 00,,0101xx ,, 00 xx 10001000

R

R == -- 22 ££ ££

®

® Construindo a tabelaConstruindo a tabela

x x 200200 400400 600600 R(x) R(x) --200200 24002400 24002400

( (

))

200 200 200 200 01 01 ,, 0 0 200 200 10 10 200 200 R R 22 -= = ´ ´ -´ ´ = =

( (

))

2400 2400 400 400 01 01 ,, 0 0 400 400 10 10 400 400 R R 22 = = ´ ´ -´ ´ = =

( (

))

2400 2400 600 600 01 01 ,, 0 0 600 600 10 10 600 600 R R 22 = = ´ ´ -´ ´ = = ®

® CalculandoCalculando RR

(

( )

400400

) (

--RR

( )

200200

)

== 24002400 --

(

( ))

--200200 == 26002600, verifica-, verifica-se quese que houve um aumento dohouve um aumento do

rendimento em 2600 euros. rendimento em 2600 euros.

®

® Determine-Determine-se a taxa média de variação do rendimento por unidade se x varia de 200 parase a taxa média de variação do rendimento por unidade se x varia de 200 para

400 unidades. 400 unidades. GRAf pag 10 GRAf pag 10 1.3.

1.3. DDEFINIÇÃO DE DERIVADAEFINIÇÃO DE DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PDE UMA FUNÇÃO NUM PONTOONTO

Considere-Considere-se a função real de variável realse a função real de variável real y =y = f f 

( ( ))

xx , definida no intervalo, definida no intervalo

] ] [[

aa,,bb ,, aa ¹¹ bb e sejae seja

0 0

x

(4)

Chama-se derivada de uma função

Chama-se derivada de uma função f f  no pontono ponto xx00 e representa-se pore representa-se por f f ''

( ( ))

xx00 ao limite,ao limite, quando existir, da razão

quando existir, da razão

(

(

)

) (

( ))

h h x x f  f  h h x x f  f  00 ++ -- 00 e representa-se por e representa-se por

( ( ))

(

(

)

) (

( ))

h h x x f  f  h h x x f  f  lim lim x x '' f  f  00 00 0 0 h h 0 0 -+ + = = ® ® Se

Se xx == xx00 ++hhentãoentão hh == xx -- xx00 e e como como hh ®® 00 temos quetemos que xx -- xx00 ®® 00, ou seja,, ou seja, xx ®® xx00.. Sendo assim, a expressão para

Sendo assim, a expressão para f f ''

( ( ))

xx00 pode ser escrita da seguinte formapode ser escrita da seguinte forma

( ( ))

(

( )

) (

( ))

0 0 0 0 x x x x 0 0 limlim f f xxxx xxf f xx x x '' f  f  0 0 - -= = ® ® Exemplo Exemplo

Considere-se a seguinte função

Considere-se a seguinte função

( ( ))

xx == xx22 e determine-see determine-se ''

( ( ))

22

Resolução Resolução

Usando a definição

Usando a definição, tem, tem-se que:-se que:

( ( ))

(

( )

) (

( ))

(

(

))(

(

))

( (

))

4 4 2 2 2 2 2 2 x x lim lim 2 2 x x 2 2 x x 2 2 x x lim lim 2 2 x x 2 2 x x lim lim 2 2 x x 2 2 f  f  x x f  f  lim lim 2 2 '' f  f  2 2 x x 2 2 x x 2 2 2 2 2 2 x x 2 2 x x = = + + = = + + = = -+ + -= = -= = -= = ® ® ® ® ® ® ® ® Então Então f f ''

( ( ))

22 == 44 Exercício 1 Exercício 1 Calcul

(5)

Ensino Profissional

Ensino Profissional 55 Professora Maria Daniel SilvaProfessora Maria Daniel Silva Calcule, aplicando a definição, a derivada da função

Calcule, aplicando a definição, a derivada da função f f 

( ( ))

xx == 22xx ++33 nos pontosnos pontos xx00 == --11 ee 3

3 x

x00 == ..

1.4.

1.4. IINTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PNTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTOONTO

Exemplo Exemplo

Considere a função

Considere a função f f 

( ( ))

xx == xx22 e calcule, aplicando a def e calcule, aplicando a def inição,inição, f f ''

( ( ))

11 ee f f ''

( ( ))

33 ..

Resolução Resolução

( ( ))

(

( )

) (

( ))

(

(

))(

(

))

( (

))

2 2 1 1 1 1 1 1 x x lim lim 1 1 x x 1 1 x x 1 1 x x lim lim 1 1 x x 1 1 x x lim lim 1 1 x x 1 1 f  f  x x f  f  lim lim 1 1 '' f  f  1 1 x x 1 1 x x 2 2 2 2 1 1 x x 1 1 x x = = + + = = + + = = -+ + -= = -= = -= = ® ® ® ® ® ® ® ®

( ( ))

(

( )

) (

( ))

(

(

))(

(

))

( (

))

6 6 3 3 3 3 3 3 x x lim lim 3 3 x x 3 3 x x 3 3 x x lim lim 3 3 x x 3 3 x x lim lim 3 3 x x 3 3 f  f  x x f  f  lim lim 3 3 '' f  f  3 3 x x 3 3 x x 2 2 2 2 3 3 x x 3 3 x x = = + + = = + + = = -+ + -= = -= = -= = ® ® ® ® ® ® ® ® Ao obter

Ao obter--se para a derivada da função no pontose para a derivada da função no ponto xx == 11 o o valor valor 2, 2, e e no no ponto ponto xx == 33 o valor 6,o valor 6, ficou a saber

ficou a saber--se que ose que o declive da recta tangente ao gráfico da curva no ponto de abcissadeclive da recta tangente ao gráfico da curva no ponto de abcissa 1

1 x

x == é é 22 e e oo declive da recta tangente ao gráfico da curva no ponto de abcissadeclive da recta tangente ao gráfico da curva no ponto de abcissa xx == 33 é é 66,,

portanto a tangente no pon

portanto a tangente no ponto to xx == 33 aproxima-se mais da vertical.aproxima-se mais da vertical.

J

J

J

(6)

Exercício Exercício

Na figura seguinte representou-se graficamente uma função

Na figura seguinte representou-se graficamente uma função f f e desenhou-se tangentes àe desenhou-se tangentes à

curva em alguns dos pontos. curva em alguns dos pontos.

Por observação do gráfico e relativamente aos pontos considerados, o que pode dizer Por observação do gráfico e relativamente aos pontos considerados, o que pode dizer acerca:

acerca: a

a

a

a))) Do sinal da derivada?) Do sinal da derivada? b

b

b

b)))) Do valor relativo da derivada emDo valor relativo da derivada em xx == xx55 ee xx == xx66?? c

c

cc )))) Do valor relativo da derivada emDo valor relativo da derivada em xx == xx11 ee xx == xx22?? A derivada de uma função num ponto

A derivada de uma função num ponto xx00 é é oo declive da rectadeclive da recta

tangente

(7)

Ensino Profissional

Ensino Profissional 77 Professora Maria Daniel SilvaProfessora Maria Daniel Silva

J

J

J

J Taxas de variaçãoTaxas de variação (significado da derivada aplicado em física, economia, engenharia,(significado da derivada aplicado em física, economia, engenharia,

etc.) etc.) A

A taxa de variação médiataxa de variação média (velocidade (velocidade média) média) de umade uma função

função f f num intervalonum intervalo

[ [ ]]

aa,,bb é dada por:é dada por:

( ( ))

[ [ ]]

(

( )

) (

( ))

a a b b a a f  f  b b f  f  v v .. m m .. tt x x '' f  f  b b ,, a a 0 0 - -= = A

A taxa de variaçãotaxa de variação (velocidade instantânea)(velocidade instantânea) da função noda função no ponto

ponto xx == aa é dada por:é dada por:

(

(

)

) (

( ))

h h a a f  f  h h a a f  f  lim lim 0 0 h h -+ + ® ® Observe

Observe--se a seguinte representação gráfica de uma se a seguinte representação gráfica de uma funçãofunçãof f 

Da observação do gráfico é possível concluir

Da observação do gráfico é possível concluir que:que: Em

Em xx == xx11,, xx == xx22 ee xx == xx44 a taxa de variação da funçãoa taxa de variação da função f f é positiva (é positiva (mm11,,mm22ee mm44 sãosão positivos).

positivos).

Em

Em xx == xx22 a taxa de variação da funçãoa taxa de variação da função f f é inferior à taxa de variação emé inferior à taxa de variação em x =x = xx11 ((mm <22 < mm11).).

Em

Em xx == xx33 a taxa de variação da funçãoa taxa de variação da função f f é negativa (é negativa (mm33 << 00).).

A

A taxa de variaçãotaxa de variação da função no pontoda função no ponto xx == aa é a derivada daé a derivada da função no ponto

(8)

Exemplo Exemplo

Um objecto foi lançado na vertical de um ponto P Um objecto foi lançado na vertical de um ponto Pee

passados alguns instantes caiu de novo no ponto P. passados alguns instantes caiu de novo no ponto P.

A distância d do objecto ao ponto P em função do A distância d do objecto ao ponto P em função do tempo t, em segundos, com início no momento do tempo t, em segundos, com início no momento do lançamento é dado por:

lançamento é dado por:

( ( ))

tt 1616tt 44tt22 d d == - -a a a

a)))) Calcule a taxa de variação média (velocidadeCalcule a taxa de variação média (velocidade média) nos intervalos

média) nos intervalos

[ [ ]]

00,,11 ,,

[ [ ]]

11,,22 ee

[ [ ]]

22,,33 e comentee comente os resultados.

os resultados. b

b

b

b)))) Calcule a taxa de variação da função (velocidade instantânea) paraCalcule a taxa de variação da função (velocidade instantânea) para tt == 11..

Resolução Resolução a a a a)))) [ [ ]]

(

( )

) (

( ))

12 12 1 1 0 0 4 4 16 16 0 0 1 1 0 0 d d 1 1 d d .. m m .. v v 1 1 ,, 0 0 == -= = -= = [ [ ]]

(

( )

) (

( ))

((

4 4 4 4 16 16 16 16 32 32 1 1 1 1 4 4 1 1 16 16 2 2 4 4 2 2 16 16 1 1 2 2 1 1 d d 2 2 d d .. m m .. v v 2 2 2 2 2 2 ,, 1 1 == -- -- ++ == ´ ´ -´ ´ -´ ´ -´ ´ = = -= = [ [ ]]

(

( )

) (

( ))

((

4848 3636 3232 1616 44 1 1 2 2 4 4 2 2 16 16 3 3 4 4 3 3 16 16 2 2 3 3 2 2 d d 3 3 d d .. m m .. v v 2 2 2 2 3 3 ,, 2 2 -= = + + -= = ´ ´ -´ ´ -´ ´ -´ ´ = = -= =

A velocidade média é positiva nos dois primeiros intervalos e no intervalo

A velocidade média é positiva nos dois primeiros intervalos e no intervalo

[ [ ]]

00,,11 é maior doé maior do que no intervalo

que no intervalo

[ [ ]]

11,,22 . Significa que o objecto vai a subir mas que a taxa de variação média. Significa que o objecto vai a subir mas que a taxa de variação média

no primeiro intervalo, ou seja, a velocidade média é maior. no primeiro intervalo, ou seja, a velocidade média é maior.

No intervalo

No intervalo

[ [ ]]

22,,33 a velocidade média é negativa, o que significa que o objecto vem a descer.a velocidade média é negativa, o que significa que o objecto vem a descer. Em valor absoluto a velocidade nos intervalos

Em valor absoluto a velocidade nos intervalos

[ [ ]]

11,,22 ee

[ [ ]]

22,,33 é a mesma.é a mesma.

b

b

b

b)))) Para calcular a taxa de variação da função, ou seja, a velocidade instantânea paraPara calcular a taxa de variação da função, ou seja, a velocidade instantânea para tt ==11,, calcule

(9)

Ensino Profissional

Ensino Profissional 99 Professora Maria Daniel SilvaProfessora Maria Daniel Silva

( )

( ) (

(

)

)

( )

( ) ( )

( )

( (

))

( (

))

( (

))

( (

))

( (

))

( (

))

( (

))

8 8 0 0 4 4 8 8 h h 4 4 8 8 lim lim h h h h h h 4 4 8 8 lim lim h h h h 4 4 h h 8 8 lim lim h h 4 4 16 16 h h 4 4 h h 8 8 4 4 h h 16 16 16 16 lim lim h h 4 4 16 16 h h h h 2 2 1 1 4 4 h h 16 16 16 16 lim lim h h 1 1 4 4 1 1 16 16 h h 1 1 4 4 h h 1 1 16 16 lim lim h h 1 1 d d h h 1 1 d d lim lim 0 0 h h 0 0 h h 2 2 0 0 h h 2 2 0 0 h h 2 2 0 0 h h 2 2 2 2 0 0 h h 0 0 h h = = ´ ´ -= = -= = -= = -= = + + -+ + = = -+ + + + -+ + = = ´ ´ -´ ´ -+ + -+ + = = -+ + ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ®

A velocidade instantânea para

A velocidade instantânea para tt == 11 é 8m/s.é 8m/s.

Exercício 3 Exercício 3

Um objecto move-se ao longo do eixo dos xx

Um objecto move-se ao longo do eixo dos xx`s`s. . A A sua sua posição posição no no tempo tempo tt ³³ 00 é dada poré dada por

( ( ))

tt tt 33tt 44 d d == -- 22 ++ ++ ((d d em cm eem cm e t t em segundos)em segundos) a a a

a)))) Determine a posição do móvel paraDetermine a posição do móvel para tt ==11 e e tt == 22..

b

b

b

b)))) Qual é a velocidade do móvel paraQual é a velocidade do móvel para tt == 11 e e tt == 22?? c

c

cc )))) Calcule a taxa de variação média (velocidade média) nos intervalosCalcule a taxa de variação média (velocidade média) nos intervalos

[ [ ]]

00,,11 ,,

[ [ ]]

11,,22 ee

[ [ ]]

22,,33 ee comente os resultados.

comente os resultados.

2.

2. DERIVADAS DE ALGUMAS FUNÇÕESDERIVADAS DE ALGUMAS FUNÇÕES

Prova Prova

Usando a definição tem-se que Usando a definição tem-se que

( ( ))

(

(

) (

) ( ))

( (

))

(

(

)

)

(

(

)

)

m m h h mh mh lim lim h h b b mx mx b b mh mh mx mx lim lim h h b b mx mx b b h h x x m m lim lim h h x x f  f  h h x x f  f  lim lim x x '' f  f  0 0 h h 0 0 h h 0 0 h h 0 0 h h = = = = -+ + + + = = + + -+ + + + = = -+ + = = ® ® ® ® ® ® ® ® A

A função afimfunção afim definida pordefinida por f f 

( ( ))

xx == mxmx ++bb tem por derivadatem por derivada

( ( ))

xx mm

'' f  f  ==

A

A função identidadefunção identidade definida pordefinida por f f 

( ( ))

xx == xx tem por derivadatem por derivada

( ( ))

11

'' f  f 

(10)

Prova Prova

Usando a definição tem-se que Usando a definição tem-se que

( ( ))

(

(

) (

) ( ))

(

(

)

) (

( ))

1 1 h h h h lim lim h h xb xb h h x x lim lim h h x x h h x x lim lim h h x x f  f  h h x x f  f  lim lim x x '' f  f  0 0 h h 0 0 h h 0 0 h h 0 0 h h = = = = -+ + = = -+ + = = -+ + = = ® ® ® ® ® ® ® ® Prova Prova

Usando a definição tem-se que Usando a definição tem-se que

( ( ))

(

(

) (

) ( ))

0 0 h h 0 0 lim lim h h k k k k lim lim h h x x f  f  h h x x f  f  lim lim x x '' f  f  0 0 h h 0 0 h h 0 0 h h = = = = -= = -+ + = = ® ® ® ® ® ® Exemplos Exemplos A derivada da função

A derivada da função f f 

( ( ))

xx == 22xx ++33 é a funçãoé a função f f ''

( ( ))

xx == 22.. A derivada da função

A derivada da funçãof f 

( ( ))

xx == --xx --44 é a funçãoé a função f f ''

( ( ))

xx == --11.. A derivada da função

A derivada da função f f 

( ( ))

xx ==1010 é a funçãoé a função f f ''

( ( ))

xx == 00..

Exemplos Exemplos

A derivada da função

A derivada da função

( ( ))

xx == xx22 é a funçãoé a função ''

( ( ))

xx ==22xx..

A

A função constantefunção constante definida pordefinida por f f 

( ( ))

xx == kk tem por derivadatem por derivada

( ( ))

xx 00

'' f  f  ==

A

A função potênciafunção potência definida pordefinida porf f 

( ( ))

xx == axaxnn tem por derivadatem por derivada

( ( ))

xx aa..nn..xxnn 11

'' f 

(11)

-Ensino Profissional

Ensino Profissional 1111 Professora Maria Daniel SilvaProfessora Maria Daniel Silva

( ( ))

(

(

) (

) ( ))

( (

))

( (

))

( (

22xx hh

))

22xx lim lim h h h h h h x x 2 2 lim lim h h h h xh xh 2 2 lim lim h h x x h h xh xh 2 2 x x lim lim h h x x h h x x lim lim h h x x f  f  h h x x f  f  lim lim x x '' f  f  0 0 h h 0 0 h h 2 2 0 0 h h 2 2 2 2 2 2 0 0 h h 2 2 2 2 0 0 h h 0 0 h h = = + + = = + + = = + + = = -+ + + + = = -+ + = = -+ + = = ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® ® A derivada da função

A derivada da função

( ( ))

xx == xx33 é a funçãoé a função ''

( ( ))

xx == 33xx22..

A derivada da função

A derivada da função f f 

( ( ))

xx == 22xx33 é a funçãoé a função f f ''

( ( ))

xx == 22´´33xx22 == 66xx22..

Exemplos Exemplos

Determine uma expressão para a derivada das seguintes funções Determine uma expressão para a derivada das seguintes funções

a a a a)))) g x 2 xg x 2 x

( ( ))

=

=

+

+

gg '' x

( ( ))

x

=

=

b b b b))))

( ( ))

22 h x 3 x 2 x h x 3 x 2 x

=

=

+

+

+

+

h ' x 6 xh ' x 6 x

( ( ))

=

=

+

+

Exercício 6 Exercício 6

Determine uma expressão para a função der

Determine uma expressão para a função derivada de f.ivada de f. a a a a))))

( ( ))

22 f x 3 x 2 x f x 3 x 2 x

=

=

+

+

+

+

b b b b))))

( ( ))

55 3322 44 f x 2 x x f x 2 x x 2 2 33 = = - - ++ c c cc ))))

( ( ))

33 22 f x 2 x 5 x f x 2 x 5 x

=

=

-

-

+

+

d d d d)))) ff

( ( ))

x xx

= + - +

= + - +

x 411 400 xx22 22 xx Exercício 7 Exercício 7

Determine uma expressão para a função derivada de f e calcule

Determine uma expressão para a função derivada de f e calcule ff ''

( ( ))

.. a a a a))))

( ( ))

22 f x 2 x f x

=

= -

2

- +

x

+

b b b b))))

( ( ))

11 33 f x x 2 x 1 0 f x x 2 x 1 0 3 3 = = + + - -c c cc ))))

( ( ))

33 f x x 3 f x

=

=

x

-

-

3 d d d d))))

( ( ))

33 1122 77 f x 4 x x 3 x f x 4 x x 3 x 2 2 11 00 = - + - + = - + - + A derivada da

A derivada da  soma de duas função  soma de duas funçãoé igual àé igual à  soma das  soma das derivadas

derivadas das funçõesdas funções

(

(12)

Exercício 8 Exercício 8

Determine uma expressão para a função derivada de f. Determine uma expressão para a função derivada de f.

a a a a)))) ff

( ( ))

xx 22 77 x x xx = = - -b b b b)))) ff

( ( ))

xx 44 xx33 11 x x = = - - ++ c c cc ))))

( ( ))

11 22 55 xx ff xx xx 2 2 xx 22 = = - - ++ d d d d))))

( ( ))

44 22 f x 2 x f x 2 x x x = = ++ e e ee)))) ff

( ( ))

xx 1 0 1 51 0 1 533 00 x x xx = - + + = - + + Exercício 9 Exercício 9

Complete a seguinte tabela Complete a seguinte tabela

( ( ))

ff xx 66 77 x x 88 x44x 11 2 2 xx -3 3 x x 4 4

-( -( ))

ff '' xx 22 3 3 00 xx Exercício 10 Exercício 10

Determine uma expressão para a derivada de cada uma das expressões. Determine uma expressão para a derivada de cada uma das expressões.

a a a a)))) 2 2 1 1 x x b b b b)))) 3344 x x c c cc ))) 22) xx d d d d)))) 33 x x e e ee)))) 33 22 x x Exercício 11 Exercício 11

Indique uma expressão para a função derivada de f. Indique uma expressão para a função derivada de f.

a a a a)))) ff

( ( ))

xx 1111 00 xx x x = + = + -b b b b))))

( ( ))

44 33 22 xx f x 8 x 3 x 2 x 5 f x 8 x 3 x 2 x 5 2 2 = - - + + + = - - + + + c c cc ))))

( ( ))

4 4 33 2 2 x 2 x x 5 x 2 x x 5 f x 2 x f x 2 x 4 3 2 6 4 3 2 6 = - - + + + = - - + + + d d d d))))

( ( ))

11 22 11 33 f x x x 1 2 f x= + - += + - +x x 1 2 A derivada da função A derivada da função ff

( ( ))

xx k k  x x = = a funçãoa função

( ( ))

2 2 k  k  ff '' xx x x = = -

(13)

-Ensino Profissional

Ensino Profissional 1313 Professora Maria Daniel SilvaProfessora Maria Daniel Silva e e ee))))

( ( ))

2 2 3 3 ff xx 22 x x = = ++ 3.

3. REGRAS DE DERIVAÇÃOREGRAS DE DERIVAÇÃO J

J

J

J DerDerivada do produto de duas funçõesivada do produto de duas funções

Se as funções f e g têm derivada finita num ponto a então a função produto

Se as funções f e g têm derivada finita num ponto a então a função produto ff´´ gg também étambém é

derivável em a e: derivável em a e:

Exemplo Exemplo

Determine uma expressão para a derivada de

Determine uma expressão para a derivada de

(

(

7 2 x 5 x7 2 x 5 x

-

-

)

) (

´

´

(

+

+

))

(

(

)

) (

(

)

) (

(

) (

)

(

)

) (

(

)

) (

(

))

(

( )

) (

(

))

7 2 x 5 x 3 ' 7 2 x ' 5 x 3 5 x 3 ' 7 2 7 2 x 5 x 3 ' 7 2 x ' 5 x 3 5 x 3 ' 7 2 25x3572x 25x3572x 10x63510x 10x63510x 20x29 20x29

- ´ + = - ´ +

- ´ + = - ´ + + + ´ -

+ + ´

é

ùù

ë

ë

ûû

= ´ + + ´

= ´ + + ´

= +

= +

-=

= -

- +

+

Exercício 12 Exercício 12 Determine

Determine uma expressão para a derivada de:uma expressão para a derivada de: a a a a)))) ff

(

( )

xx

) (

= + ´ -

= + ´ -

22

(

33

) (

)

xx

( ))

55 xx b b b b)))) ff

(

( )

xx

) (

= - ´ - +

= - ´ - +

(

77 xx

) (

)

11

(

xx 44

))

c c cc ))))

( ( ))

( (

22

))

( (

))

f x 2 x 3 x f x= + ´ -= + ´ -2 x 3 x d d d d))))

( ( ))

( (

22

))

33 f x 2 5 x x f x = = 2 + + 5 x´´ x J J J

J Derivada do quociente de duas funçõesDerivada do quociente de duas funções

Se as funções f e g têm der

Se as funções f e g têm derivada finita num ponto a então a função quocienteivada finita num ponto a então a função quociente f f 

g g também étambém é derivável em a e: derivável em a e: Exemplo Exemplo

Determine uma expressão para a derivada de Determine uma expressão para a derivada de xx

2 2 x++x

( (

f g ' f ' g g 'f g ' f ' g g '

´ = ´ + ´

´ = ´ + ´

))

'' 2 2 f f ' g g ' f f ' g g ' g g gg æ æ öö ´ ´ - - ´´ = = ç ç ÷÷ è è øø

(14)

(

(

)

) (

(

))

( (

))

( (

))

( (

))

( (

))

'' 2 2 2 2 2 2 x ' 2 x 1 2 x 1 ' x ' 2 x 1 2 x 1 ' x x 2 2 xx 11 22 xx 11 2 x 1 2 x 2 x 1 2 x 2 2 xx 11 1 1 2 2 xx 11 ´ + - + ´ ´ + - + ´ é é ùù == ê ê ++úú ë ë ûû ++ + + - - ´´ = = + + = = + + Exercício 1 Exercício 133

Determine uma expressão par

Determine uma expressão paraa a derivada das seguintes funçõesa derivada das seguintes funções:: a a a a)))) ff

( ( ))

xx 11 x x 33 = = + + b b b b))))

( ( ))

2 2 x x ff xx x x 44 = = + + c c cc ))))

( ( ))

2 2 x x 77 ff xx 1 1 22 + + = = -d d d d))))

( ( ))

2 2 3 3 x x ff xx 2 2 xx = = -J J J

J Derivada da potência de uma funçãoDerivada da potência de uma função

Exemplo Exemplo

Determine uma expressão para a derivada de

Determine uma expressão para a derivada de

( (

33 x--x 1

))

155

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( (

))

( (

))

'' 5 5 44 4 4 4 4 3 x 1 5 3 x 1 3 x 1 3 x 1 5 3 x 1 3 x 1 53x13 53x13 153x1 153x1 é é - = ´ - ´ -- = ´ - ´ -ùù ë ë ûû = ´ - ´ = ´ - ´ = = ´ ´ - -Exercício 14 Exercício 14

Determine uma expressão para a derivada das seguintes funções: Determine uma expressão para a derivada das seguintes funções:

a) a) ff

( )

(

xx

) (

= = 77

(

xx++ 33

))

77 b) b) f x x 3 x 1 2f x x 3 x 1 2

( ( ))

= =

( (

22- - ++

))

33 c) c) ff

( ( ))

xx = = 22 xx- -d) d) ff

( ( ))

xx

=

=

3344 xx22

-

-4.

4. APLICAÇÃO DAS DERIVADASAPLICAÇÃO DAS DERIVADAS 4

4.1..1. SSINAL DA DERIVADA E SINAL DA DERIVADA E SENTIDO DE VENTIDO DE V ARIAÇÃOARIAÇÃO Exemplo

Exemplo

Na figura seguinte está r

Na figura seguinte está reepresentada graficamente a funçãopresentada graficamente a função f f e a sua derivadae a sua derivada

Seja

Seja ff

( ( ))

xx

=

=

x 3x 33

-

-

3 xx

+

+

entãoentão f ' x _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _  f ' x _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _  

( ( ))

=

=

( ( ))

nn '' nn 11 f n f f   f n f --f   é é ùù = = ´ ´ ´´ ë ë ûû

(15)

Ensino Profissional

Ensino Profissional 1515 Professora Maria Daniel SilvaProfessora Maria Daniel Silva a

a

a

a)))) Complete, recorrendo à observação do gráfico, o seguinteComplete, recorrendo à observação do gráfico, o seguinte quadro:quadro:

b

b

b

b)))) Procure estabelecer agora uma relação entre a variação de uma função e o sinal da suaProcure estabelecer agora uma relação entre a variação de uma função e o sinal da sua

derivada. derivada.

Pode dizer-se que: Pode dizer-se que:

Exercício 15 Exercício 15 Considere

Considere--se a função polinomialse a função polinomial

( ( ))

33

g g xx

=

=

xx

+

+

.. a a a a))) Determine) Determine gg ''

( ( ))

.. b b b

b)) Estude a monotonia da função)) Estude a monotonia da função g g..

4.2.

4.2. EEXTREMOS RELATIVOS E ABSOLUTOS DE UMA FUNXTREMOS RELATIVOS E ABSOLUTOS DE UMA FUNÇÃOÇÃO

Analise-se o gráfico de uma função

Analise-se o gráfico de uma função f f definida no intervalodefinida no intervalo

[ [

-

-

22 ,,

]]

.. x x -- --11 11

+

+

Sinal de Sinal de ff ''

( ( ))

Variação de Variação de ff

( ( ))

xx M M M

M Se a derivadaSe a derivada f’ f’ éé positiva positiva num intervalo então a funçãonum intervalo então a função éé estritamente crescenteestritamente crescente

nesse intervalo. nesse intervalo.

M

M

M

M Se a derivada f’ é negativa num intervalo então a função f éSe a derivada f’ é negativa num intervalo então a função f é estritamenteestritamente decrescente

decrescente nesse intervanesse intervalo.lo.

M

M

M

(16)

R ecorda:ecorda:

ü

ü

ü

ü O ponto E de coordenadasO ponto E de coordenadas

( (

55 ,,

-

-

))

é o ponto mais baixo da é o ponto mais baixo da curva, o que significa que acurva, o que significa que a

sua ordenada é o menor valor do contradomínio de sua ordenada é o menor valor do contradomínio de f f .. Diz

Diz-se que-se que

-

-

33é oé o mínimo absolutomínimo absoluto da funçãoda função f f quandoquando xx

=

=

55..

ü

ü

ü

ü O ponto F de coordenadasO ponto F de coordenadas

( (

77 ,,

))

é o ponto mais alto da curva, o que significa que aé o ponto mais alto da curva, o que significa que a

sua ordenada é o maior valor do contradomínio de sua ordenada é o maior valor do contradomínio de f f .. Diz

Diz-se que 4 é o-se que 4 é o máximo absolutomáximo absoluto da funçãoda função f f quandoquando xx

=

=

77..

ü

ü

ü

ü Se se restringir a função ao intervaloSe se restringir a função ao intervalo

] ]

-

-

22 ,,

[[

, o ponto mais baixo da curva é, o ponto mais baixo da curva é BB 1

( (

-

-

1 ,,

))

..

Diz

Diz--se que a funçãose que a função f f admite umadmite um mínimo relativomínimo relativo igual aigual a --11 quandoquando xx == 11..

ü

ü

ü

ü Se se restringir a função ao intervaloSe se restringir a função ao intervalo

] ]

-

-

11 ,,

[[

, o ponto mais alto da curva é, o ponto mais alto da curva é DD 33 ,,55

3 3 æ æ öö ç ç ÷÷ è è øø.. Diz

Diz-se que a função-se que a função f f admite umadmite um máximo relativomáximo relativo igual aigual a 55

3

3 quandoquando xx

=

=

33..

1

1

1

1 Qual a relação entre a existência de extremos e o sinal da derivada? Qual a relação entre a existência de extremos e o sinal da derivada? 

Exemplos Exemplos 1.

1. ObserveObserve-se o gráfico anterior e estude--se o gráfico anterior e estude-se a monotonia da função no intervalose a monotonia da função no intervalo

] ] [[

44 ,,

x x 55 Sinal de Sinal de ff ''

( ( ))

-

-

00 ++ Variação de Variação de ff

( ( ))

xx

( ( ))

ff 55

(17)

Ensino Profissional

Ensino Profissional 1717 Professora Maria Daniel SilvaProfessora Maria Daniel Silva

2.

2. ObserveObserve-se o gráfico anterior e estude--se o gráfico anterior e estude-se a monotonia da função no intervalose a monotonia da função no intervalo

] ] [[

66 ,,

Ver

Verifica-se queifica-se que f’ f’ passa de positiva a negativa entãopassa de positiva a negativa então f f tem um máximo relativo paratem um máximo relativo para xx

=

=

77..

Isto é, se num ponto

Isto é, se num ponto c c do seu domínio, uma funçãodo seu domínio, uma função f f é contínua eé contínua e f f  muda de sinal entãomuda de sinal então f f 

tem um extremo relativo nesse

tem um extremo relativo nesse ponto.ponto.

Exemplo Exemplo

Determine os extremos relativos da função

Determine os extremos relativos da função

( ( ))

33

f x 2 x 2 4 x f x 2 x 2 4 x

=

=

-

-

+

+

Resolução Resolução

A expressão da função derivada é

A expressão da função derivada é

( ( ))

22

f ' x 6 x 2

f ' x 6 x 2

=

=

-

-

(utilize(utilize--se a calculadora gráfica parase a calculadora gráfica para traçar a derivada da função)

traçar a derivada da função)

Determinem

Determinem-se os zeros de-se os zeros de f’ f’ ::

2 2 22 2 2 6 x 2 4 0 6 x 2 4 6 x 2 4 0 6 x 2 4 x4 x4 x x - = Û = - = Û = Û Û == Û = Ú = Û = Ú = -

(utilize-(utilize-se a calculadora gráfica para determinar os zeros da função derivada)se a calculadora gráfica para determinar os zeros da função derivada)

x x 77 Sinal de Sinal de ff ''

( ( ))

++ 00

-

-Variação de Variação de ff

( ( ))

xx ff

( ( ))

77 M M M

M SeSe f’  f’  passa depassa de positiva a negativa positiva a negativa emem cc, a função, a função  f  f  tem umtem um máximo relativomáximo relativo parapara xx

=

=

cc..

x x cc Sinal de Sinal de ff '' x

( ( ))

x ++ 00

-

-Variação de Variação de ff

( ( ))

xx ff

( ( ))

cc M M M

M SeSe f’  f’  passa depassa de negativa a positivanegativa a positiva emem cc, a função, a função  f  f  tem umtem um mmínimo relativoínimo relativo parapara xx

=

=

cc

x x cc Sinal de Sinal de ff '' x

( ( ))

x

-

-

00 ++ Variação de Variação de ff

( ( ))

xx ff

( ( ))

cc

(18)

Elabore

Elabore--se um quadro para estudar o sinal da função derivada e o sentido de variação dase um quadro para estudar o sinal da função derivada e o sentido de variação da

função função

Um máximo relativo da função

Um máximo relativo da função f f é 39 quandoé 39 quando xx = = -22-..

Um mínimo relativo da função

Um mínimo relativo da função f f éé

-

-

22 quandoquando xx == 22..

Repare que: Repare que:

Exemplo Exemplo

A função

A função ff

( ( ))

xx

=

=

xx33

+

+

22é estritamente crescente emé estritamente crescente em

IR

IR e não admite qualquer extremo.e não admite qualquer extremo.

( ( ))

22

f ' x 3 f ' x 3

=

=

Apesar de

Apesar de ff '' 0

( ( ))

0

=

=

não é suficiente para quenão é suficiente para que f f admita em 0 um extremo relativo.admita em 0 um extremo relativo.

Exercício 16 Exercício 16

Determine os extremos relativos da função: Determine os extremos relativos da função:

a a a a)))) ff

( ( ))

xx

= - + +

= - + +

xx 2233 xx b b b b)))) f x x 3 x 1f x x 3 x 1

( ( ))

=

=

33

-

-

-

-PROBLEMAS DE OPTIMIZAÇÃO PROBLEMAS DE OPTIMIZAÇÃO

Muitos fenómenos da Física, Economia e muitas ciências têm como mod

Muitos fenómenos da Física, Economia e muitas ciências têm como modelo matemático umaelo matemático uma x x -- --22 22

+

+

Sinal de Sinal de

( ( ))

ff '' ++ 00

-

-

00 ++ Variação de Variação de

( ( ))

ff xx ff

( ( ))

-

-

22

=

=

33 ff

( ( ))

22

=

= -

22

-x x -- 00

+

+

Sinal de Sinal de ff ''

( ( ))

++ 00 ++ Variação de Variação de ff

( ( ))

xx ff

( ( ))

00

=

=

Se

Se f’ f’  se anula em c mas tem o mesmo sinal à esquerda e àse anula em c mas tem o mesmo sinal à esquerda e à

direita de c, então

(19)

Ensino Profissional

Ensino Profissional 1919 Professora Maria Daniel SilvaProfessora Maria Daniel Silva

As questões que na realidade se colocam estão muitas vezes relacionadas com a As questões que na realidade se colocam estão muitas vezes relacionadas com a

determinação de valores óptimos (maximizar o lucro, minimizar o material a utilizar, …). determinação de valores óptimos (maximizar o lucro, minimizar o material a utilizar, …).

Para responder a algumas destas questõ

Para responder a algumas destas questões aplica-es aplica-se o conceito de taxa de variação e emse o conceito de taxa de variação e em

particular a determinação dos extremos da função no domínio da variável independente. particular a determinação dos extremos da função no domínio da variável independente.

Exemplo Exemplo

Um agricultor tem 810 euros para gastar na vedação de duas cercas contíguas, rectangulares Um agricultor tem 810 euros para gastar na vedação de duas cercas contíguas, rectangulares

e iguais, junto a um

e iguais, junto a um rio, como se ilustra na figura seguinte.rio, como se ilustra na figura seguinte. Fig pag 22

Fig pag 22

A vedação dos três lados perpendiculares ao rio custa 9

A vedação dos três lados perpendiculares ao rio custa 9€ o metro, enquanto que vedar o lado€ o metro, enquanto que vedar o lado

paralelo ao rio custa 8

paralelo ao rio custa 8€ o metro.€ o metro.

Quais devem ser as dimensões das cercas de modo que a área destas seja máxima Quais devem ser as dimensões das cercas de modo que a área destas seja máxima??

Resolução Resolução

Pretende-Pretende-se optimizar a área cercada.se optimizar a área cercada.

Ilustre-se a situação e identifique-se as variáveis independentes. Ilustre-se a situação e identifique-se as variáveis independentes. Consider

Considere-se e-se que:que:

x

x designa o comprimento de um lado perpendicular ao riodesigna o comprimento de um lado perpendicular ao rio

y designa o comprimento do lado, de uma cerca, paralelo ao rio y designa o comprimento do lado, de uma cerca, paralelo ao rio

A resolução do problema está condicionada pelo custo da vedação e pelo dinheiro disponível. A resolução do problema está condicionada pelo custo da vedação e pelo dinheiro disponível.

{ { 810 810 8 8 y y 2 2 9 9 x x 3 3 ´´ ++ ´´ == 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 Ou seja Ou seja 16 16 x x 27 27 810 810 yy == - -A área

A área AA é dada poré dada por AA ==

( ( ))

22yy xx == 22xyxy Escrevendo a área em função de x, vem Escrevendo a área em função de x, vem

( ( ))

16 16 x x 27 27 810 810 x x 2 2 x x A A == ´´ -- ouou

( ( ))

8 8 x x 27 27 x x 810 810 x x A A == -- 22

Estude-Estude-se o sinal de A’ usando o programa Graphmatica ou a calculadorase o sinal de A’ usando o programa Graphmatica ou a calculadora

Custo da vedação dos lados

Custo da vedação dos lados perpendiculares ao rioperpendiculares ao rio Custo da vedação do lado

Custo da vedação do lado paraleloparaleloao rioao rio Valor disponível

(20)

®

® Traçar o gráfico da função A(x)Traçar o gráfico da função A(x)

®

® Traçar o gráfico da derivada, A’(x)Traçar o gráfico da derivada, A’(x)

®

® Estude-Estude-se a variação da função área A, construindose a variação da função área A, construindo uma tabela de variação da função A euma tabela de variação da função A e do sinal de A’. do sinal de A’. x x 00 1515 A’(x) A’(x) ++ 00 –– A(x)

A(x) max.max.

759,375 759,375

(21)

Ensino Profissional

Ensino Profissional 2121 Professora Maria Daniel SilvaProfessora Maria Daniel Silva

®

® Determine-se a dimensãoDetermine-se a dimensão yy Sendo x=15 temos que:

Sendo x=15 temos que: 2525,,31253125

16 16 15 15 27 27 810 810 y y == -- ´´ ==

Logo as dimensões da cerca que conduzem à área máxima são: Logo as dimensões da cerca que conduzem à área máxima são:

m m 3 3 ,, 25 25 yy ee m m 15 15 x x == »» Exercícios Exercícios

Resolver os exercícios da ficha Resolver os exercícios da ficha

DOMÍNIOS PLANOS. LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO LINEAR  DOMÍNIOS PLANOS. LINGUAGEM DE PROGRAMAÇÃO LINEAR  E

EQUAÇÃO REDUZIDA DA R QUAÇÃO REDUZIDA DA R ECTAECTA

As rectas horizontais

As rectas horizontais têm equação do tipotêm equação do tipo yy == bb e as rectas verticaise as rectas verticais têm equações do tipotêm equações do tipo a a x x == , com, com aa,,bb ÎÎIRIR .. Pag 44 Pag 44

No caso de a recta não ser vertical, nem horizontal, a expressão que a define é do tipo No caso de a recta não ser vertical, nem horizontal, a expressão que a define é do tipo

b b mx mx

yy == ++ , em que m é o declive e b é a ordenada na origem. Esta equação designa, em que m é o declive e b é a ordenada na origem. Esta equação designa--se porse por equação reduzida da re

equação reduzida da recta.cta.

Representar graficamente uma recta Representar graficamente uma recta

Para representar graficamente uma recta é suficiente determinar dois dos seus pontos. Para representar graficamente uma recta é suficiente determinar dois dos seus pontos. Por exemplo, para representar graficamente a recta de equação

Por exemplo, para representar graficamente a recta de equação yy == --22xx ++33, determinem-se, determinem-se os pontos de intersecção da

os pontos de intersecção da recta com os eixos coordenados.recta com os eixos coordenados. 3 3 x x 2 2 y y == -- ++ 3 3 3 3 0 0 2 2 yy ;; 0 0 x x == == -- ´´ ++ == 3 3 2 2 x x 3 3 x x 2 2 3 3 x x 2 2 0 0 ;; 0 0 y y == == -- ++ ÛÛ == ÛÛ == Então Então

( ( ))

00,,33 ee ÷÷  ø  ø  ö  ö çç è  è  æ  æ  0 0 ,, 3 3 2

2 são pontos da recta.são pontos da recta.

Graf 44 Graf 44

Determinar o declive da recta Determinar o declive da recta

Sejam dois pontos

Sejam dois pontos AA

( (

xx11,,yy11

))

ee BB

( (

xx22,,yy22

))

de uma recta não vertical, o declive m da recta AB éde uma recta não vertical, o declive m da recta AB é

dado por dado por 1 1 2 2 1 1 2 2 x x x x yy yy m m -= =

(22)

Exercícios Exercícios

1.

1. Representa graficamente a recta de equaçãoRepresenta graficamente a recta de equação

a) a) 22xx -- 33yy == --66 b) b) 2 2 1 1 y y x x 3 3 -- == 2.

2. Escreve uma equação para cada umaEscreve uma equação para cada uma das rectas representadas na figura ao lado. A recta tdas rectas representadas na figura ao lado. A recta t

passa nos pontos

passa nos pontos AA

( ( ))

11,,00 ee BB

( ( ))

33,,22 ..

Graf 45 Graf 45

IINTERSECÇÃO DE RECTASNTERSECÇÃO DE RECTAS

Considera as rectas de equação

Considera as rectas de equação yy == 22xx ++11 ee yy == 22xx --11. Estas rectas são paralelas, uma vez. Estas rectas são paralelas, uma vez

que têm o mesmo declive, m=2, mas não são coincidentes, isto é, são

que têm o mesmo declive, m=2, mas não são coincidentes, isto é, são estritamenteestritamente

paralelas

paralelas (não se intersectam).(não se intersectam). No caso das rectas de equação

No caso das rectas de equação yy == 22xx ++11 ee 22xx -- yy == --11, estas são, estas são coincidentescoincidentes porqueporque 1 1 x x 2 2 y y 1 1 y y x x 2 2 -- == -- ÛÛ == ++

Neste caso há uma infinidade de pontos em comum às duas rectas. Neste caso há uma infinidade de pontos em comum às duas rectas.

Determine

Determine--se o ponto de intersecção das rectas não paralelas de equaçõesse o ponto de intersecção das rectas não paralelas de equações pp::xx ++22yy == 11 ee 3 3 y y x x :: q q -- == .. Resolução analítica Resolução analítica

O ponto de intersecção das duas recta

O ponto de intersecção das duas rectas é a solução do sistema:s é a solução do sistema: îî íí ìì = = -= = + + 3 3 y y x x 1 1 y y 2 2 x x Resolva

Resolva--se o sistema pelo se o sistema pelo método de substituiçãométodo de substituição

( (

))

( (

))

== ççæ æ  --  ö ö÷÷ Û Û ïïïï ìì = = Û Û ïï ïï îî ïï ïï íí ìì -= = + + ÷÷  ø  ø  ö  ö çç è  è  æ  æ  -´ ´ -= = Û Û ïïîî ïï íí ìì -= = -Û Û îî íí ìì -= = -Û Û îî íí ìì = = -+ + -+ + -= = Û Û îî íí ìì = = -= = + + 2 2 ,, 7 7 yy ,, x x 3 3 7 7 x x 3 3 2 2 yy 1 1 3 3 2 2 2 2 x x 3 3 2 2 yy 1 1 3 3 yy 3 3 3 3 yy 1 1 yy 2 2 1 1 yy 2 2 x x 3 3 yy x x 1 1 yy 2 2 x

x Resolver uma das equações em ordem a uma das incógnitas eResolver uma das equações em ordem a uma das incógnitas e

substituir a expressão obtida na outra equação substituir a expressão obtida na outra equação Resolver

Resolver a segunda equação em ordem à incógnita que aí figuraa segunda equação em ordem à incógnita que aí figura

Substituir o valor encontrado na primeira equação Substituir o valor encontrado na primeira equação

(23)

Ensino Profissional

Ensino Profissional 2323 Professora Maria Daniel SilvaProfessora Maria Daniel Silva As rectas intersectam-se no ponto de coordenadas

As rectas intersectam-se no ponto de coordenadas ÷÷  ø  ø  ö  ö çç è  è  æ  æ  -3 3 2 2 ,, 3 3 7 7 Resolução

Resolução gráficagráfica

Representam-se as rectas graficamente

determinando-Representam-se as rectas graficamente determinando-se, assim, o seu ponto de intersecção.se, assim, o seu ponto de intersecção.

Pag 47  Pag 47  2 2 x x 2 2 1 1 y y 1 1 y y 2 2 x x -= = Û Û Û Û = = + + xx yy 0 0 2 2 1 1 1 1 00 3 3 x x y y 3 3 y y x x -= = Û Û Û Û = = -x x yy 0 0 --33 3 3 00

Com o uso do programa Graphmatica Com o uso do programa Graphmatica

Exercício Exercício

Determina, caso exi

Determina, caso exista, o ponto de intersecção das rectas r e s em cada um dos seguintessta, o ponto de intersecção das rectas r e s em cada um dos seguintes casos: casos: a) a) rr::xx ++ 44yy == 33; e; e ss::--33xx ++22yy == 44;; b) b) rr::44xx --33yy ==11; e; e ss::33xx ++ 44yy == 77;; c) c) 5 5 2 2 x x 10 10 3 3 y y :: rr == -- ++ ; e; e ss::22xx ++ yy ++33 == 00;; d) d) rr::22yy -- xx == 22; e; e xx 33 2 2 1 1 yy :: ss == ++ ;;

(24)

E

ESTUDO GRÁFICO DSTUDO GRÁFICO DE INEQUAÇÕES COM DUAS INCÓGNITASE INEQUAÇÕES COM DUAS INCÓGNITAS

Recorda que, por exemplo, a inequação

Recorda que, por exemplo, a inequação xx ³³ 00 representa o semiplano que contém todos osrepresenta o semiplano que contém todos os pontos com abcissa maior ou igual a zero.

pontos com abcissa maior ou igual a zero.

A inequação

A inequação yy ££ 11 representa o semiplano que contém todos os pontos com ordenada menorrepresenta o semiplano que contém todos os pontos com ordenada menor

ou igual a um. ou igual a um.

Exercício Exercício

Representa num referencial Representa num referencial

a) a) xx ³³ --11 b) b) xx >> 11 c) c) yy >> 11 d) d) yy >> --11 e) e) --xx ++11 >> 00 f) f) yy ££ --11 g) g) xx -- 22 >> 00 h) h) yy --22 ££ 00

Considera agora a inequação

Considera agora a inequação xx++22yy -- 44 ££ 00..

O conjunto de pares ordenados que são solução desta inequação é representado por um O conjunto de pares ordenados que são solução desta inequação é representado por um semiplano cuja fronteira é a recta de equação

(25)

Ensino Profissional

Ensino Profissional 2525 Professora Maria Daniel SilvaProfessora Maria Daniel Silva

ü

ü Desenha-se a recta de equaçãoDesenha-se a recta de equação 22

2 2 x x y

y == -- ++ usando dois dos seus pontos (pontos deusando dois dos seus pontos (pontos de

intersecção com os eixos coordenados, preferencialmen intersecção com os eixos coordenados, preferencialmente).te). ü

ü ObservaObserva--se onde fica colocado um ponto que não pertença à recta, por exemplo ase onde fica colocado um ponto que não pertença à recta, por exemplo a

origem do referencial (0,0) origem do referencial (0,0) Para x=0 e y=0, tem

Para x=0 e y=0, tem--sese

0 0 4 4 0 0 4 4 0 0 2 2 0 0++ ´´ -- ££ ÛÛ -- ££ verdadeverdade

Logo, o ponto de coordenadas (0,0) pertence ao semiplano definido pela condiç Logo, o ponto de coordenadas (0,0) pertence ao semiplano definido pela condição.ão.

Se a proposição fosse falsa

concluía-Se a proposição fosse falsa concluía-se que o ponto não pertencia ao semiplano pretendido.se que o ponto não pertencia ao semiplano pretendido.

2º processo 2º processo

ü

ü Desenha-se a recta de equaçãoDesenha-se a recta de equação 22

2 2 x x y y == -- ++ ü

ü Resolve-Resolve-se a inequação dada em ordem a y:se a inequação dada em ordem a y:

2 2 2 2 x x y y 4 4 x x y y 2 2 0 0 4 4 y y 2 2 x x + + -£ £ Û Û + + -£ £ Û Û £ £ -+ +

Referências

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