COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA
FUN
ÁLGEBRA
TEORIA DOS NÚMEROS INTEIROS
JOÃO CARLOS MOREIRA
ÁLGEBRA
TEORIA DOS NÚMEROS INTEIROS
COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA
ÁLGEBRA
TEORIA DOS NÚMEROS INTEIROS
COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA
JOÃO CARLOS MOREIRA
Professor do Instituto de Ciências Exatas e Naturais - ICENP
Universidade Federal de Uberlândia
Copyright © 2019 by João Carlos Moreira
CAPA: João Carlos Moreira
EDITOR: João Carlos Moreira
DIAGRAMAÇÃO: João Carlos Moreira
DISTRIBUIÇÃO: Editora Livraria Escola de Matemática
COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra poderá
ser reproduzida sejam quais forem os meios empregados sem a
permissão expressa da Editora. Aos infratores aplicam-se as
sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei n
o9.610,
de 19 de fevereiro de 1988.
Impresso no Brasil / Printed in Brazil
COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA
Para todos os meus alunos, com carinho.
João Carlos Moreira
Prefácio
Este livro é fruto de um projeto intitulado Escola de Álgebra, criado em 2017, com o intuito de colaborar na melhoria do ensino e do aprendizado de Álgebra e suas aplicações.
A metodologia de ensino é baseada na teoria de sistemas matemáticos e no desenvolvimento de algoritmos.
Esse material é inédito e propõe uma nova abordagem no ensino de matemática no Brasil.
Agradeço a Deus pela missão educacional confiada a mim.
Ituiutaba, abril de 2019.
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Símbolos
Símbolo Lê-se Exemplo Lê-se
∈ pertence 2 ∈ A O número dois pertence ao conjunto A.
∀ para todo (∀ a)(a ∈ ℕ) Para todo a, a pertencente a ℕ.
∃ existe (∃ x)(x ∈ A) Existe x, x pertencente ao conjunto A.
∃! existe um único (∃! x∗)(x∗∈ ℕ) Existe um único sucessor
de x pertencente ao conjunto dos números naturais.
∧ e x ∧ y x e y ∨ ou (inclusivo) x ∨ y x ou y ∨ ou (exclusivo) x ∨ y x ou y
¬ não ¬(2 ∈ A) 2 não pertence ao conjunto A
→ implica 𝑃 → 𝑄 P implica Q ↔ se, e somente se 𝑃 ↔ 𝑄 P se, e somente se, Q
ÁLGEBRA
TEORIA DOS NÚMEROS INTEIROS
ORGANIZAÇÃO DA APRENDIZAGEM
Sumário
1 Abordagem histórica 00
2 Abordagem algébrica 00
2.1 Construção dos números inteiros 00
2.2 Aritmética dos números inteiros 00
2.2.1 Operação de adição 00
2.2.2 Subtração 00
2.2.3 Operação de multiplicação 00
2.2.4 Divisibilidade 00
3 Abordagem geométrica 00
3.1 Representação geométrica dos números inteiros 00
4 Abordagem computacional 00
4.1 Representação dos números inteiros 00
4.2 Algoritmos 00
5 Abordagem prática 00
6 Abordagem avançada 00
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UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA
1 De acordo com Euclides, número é a quantidade composta de unidades e unidade é aquilo segunda a qual cada uma das coisas existentes é dita uma.
2 A palavra alemã Zahl, significa número e a sua primeira letra ℤ é utilizada para representar o conjunto dos números inteiros. 3 Número é um conceito primitivo da matemática que remonta
as origens da humanidade.
4 O mais antigo objeto da matemática de que se tem registro, o osso de Lebombo, data de aproximadamente 35.000 A.C. Esse objeto, uma fíbula de um babuíno, pode ter sido utilizado pelos bosquímanos para planejar as caças, contar suas presas, medir a passagem do tempo ou como uma unidade de medida. O mesmo foi descoberto dentro de uma caverna nas montanhas de Lebombo da Suazilândia. As incisões que aparecem nesse osso, podem ter sido as primeiras representações de números na história da humanidade.
CAPÍTULO 1
ABORDAGEM HISTÓRICA
Brahmagupta (598-670), foi o principal matemático indiano de sua época. Dentre suas contribuições, destacamos as primeiras regras para a aritmética dos números negativos presentes na sua obra Brahmasphutasiddhanta.
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UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA
5 Não conseguimos estabelecer uma data exata para o surgimento dos números negativos. Mas sabemos que um dos registros mais antigos do seu uso data da Dinastia Han (202 a.C. – 220) na China, e eram usados em cálculos comerciais e fiscais. Os números negativos eram representados por varetas pretas e os números positivos por varetas vermelhas.
6 Na Índia, o conceito de números negativos foi introduzido por Brahmagupta (598-670), quando o mesmo associou as ideias de 'fortunas' e 'dívidas' com números positivos e negativos. Além disso, ele estabeleceu as primeiras regras para a aritmética dos números negativos. Na sua obra Brahmasphutasiddhanta, publica em 628, Brahmagupta define o zero como a diferença entre um número e ele mesmo. Nessa época, um sistema numérico posicional foi estabelecido, acrescentando o zero e os negativos no sistema numérico da Índia.
7 A compreensão e a aceitação dos números negativos não
Fig. 1. Osso de Lebombo
Fig. 2. Varetas chinesas
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foram um processo rápido. Grandes matemáticos, como por exemplo Stiefel (1486-1567), Cardano (1501-1576), Descartes (1596-1650) e Viète (1540-1603) renegaram a existência dos números negativos, daí o porquê os chamamos de números negativos. Outros admitiam a sua existência, mas estabeleceram como regra que durante os cálculos em que eles aparecessem, os mesmos deveriam ser eliminados no final. 8 Com o desenvolvimento da matemática formal e do comércio
o mesmo passou a ser definitivamente aceito. Vários símbolos foram utilizados para representar os números negativos. No entanto, os algarismos arábicos ou numerais indianos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 ganharam maior destaque e o sinal – na esquerda dos números naturais se tornou padrão para representar os números negativos.
9 Os matemáticos René Descartes (1596-1650) e John Wallis (1616 - 1703) contribuíram para dar um outro significado aos números negativos inventando a linha numérica.
10 O sistema de numeração hindu-arábico democratizou a aritmética elementar e trouxe um avanço significativo para o desenvolvimento da matemática.
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Somente no século XIX, Giuseppe Peano, apresenta
umconjunto de axiomas
para a formalização da aritmética dos
números naturais, que possibilitou uma construção formal dos
números inteiros.4
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2.1 Construção dos números inteiros
A construção axiomática do conjunto dos números naturais, apresentada pelo matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932) possibilitou a construção formal de outros conjuntos numéricos muito importantes da matemática.
O conjunto dos números inteiros pode ser construído da seguinte forma:
CAPÍTULO 2
ABORDAGEM ALGÉBRICA
Giuseppe Peano (1858-1932), foi um matemático italiano. Dentre suas principais contribuições destacamos os fundamentos da matemática e o desenvolvimento de uma linguagem lógica formal.
Definição 1. Um sistema matemático 𝑺 = (E, {φ, ψ}) é chamado
de sistema numérico se:
i) φ e ψ são operações binárias associativas;
ii) φ e ψ são operações binárias comutativas; e
iii) uma das operações é distributiva com relação à
outra.
Neste caso, um elemento desse sistema x ∈ E é chamado de
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UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA
Uma relação R ⊆ A × A sobre um conjunto A ≠ ∅ é uma relação
de equivalência sobre A se:
i) (∀a)(aRa) (reflexiva)
ii) (∀a)(∀b)(aRb → bRa) (simétrica)
iii) (∀a)(∀b)(∀c)((aRb) ∧ (bRc) → (aRc)) (transitiva)
O conjunto quociente de A por R é definido por 𝐴/R =
{𝑎̅ ∶ 𝑎 ∈ 𝐴}, onde 𝑎̅ = {𝑏: 𝑏𝑅𝑎} é a classe de equivalência determinada
por 𝑎 módulo 𝑅.
Considere o conjunto ℕ × ℕ ≝ {(x, y): (x ∈ ℕ) ∧ (y ∈ ℕ)} e a relação de equivalência R sobre ℕ × ℕ, definida por:
(x, y)R(w, z) ⇔ x + z = y + w.
Defina ℤ = (ℕ × ℕ)/R, como sendo o conjunto quociente de ℕ × ℕ por R. Os elementos de ℤ, chamados de números inteiros, são as classes de equivalência
(z, w)
̅̅̅̅̅̅̅̅ ≝ {(x, y): (x, y)R(z, w)}, onde (z, w) ∈ ℕ × ℕ.
Assim, se adotarmos os algarismos indianos para denotarmos as classes de equivalência
(∀n)(n ∈ ℕ) ((−n ⇔ (1, n + 1)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) ∧ (0 ⇔ (1, 1)̅̅̅̅̅̅̅) ∧ (n ⇔ (n + 1,1)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)), então o conjunto dos números inteiros será ℤ = {… , −2, −1, 0, 1, 2, … }, como conhecemos.
O conjunto dos números inteiros não nulos é denotado por
ℤ∗= {… , −2, −1, 1, 2, … }. Um elemento x pertencente a ℤ∗ é dito não
nulo e denotado por x ≠ 0.
O conjunto dos números inteiros não negativos é
denotado por ℤ+= { 0, 1, 2, … }. Um elemento x pertencente a ℤ+ é
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UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA
O conjunto dos números inteiros positivos é denotado por ℤ+∗ = { 1, 2, … }. Um elemento x pertencente a ℤ+∗ é dito positivo e denotado por x > 0.
O conjunto dos números inteiros não positivos é denotado
por ℤ−= {… , −2, −1, 0}. Um elemento x pertencente a ℤ− é dito não
positivo e denotado por x ≤ 0.
O conjunto dos números inteiros negativos é denotado
por ℤ−∗ = {… , −2, −1}. Um elemento x pertencente a ℤ−∗ é dito
negativo e denotado por x < 0.
O módulo ou valor absoluto de um número inteiro x é denotado por |x|, e definido por:
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Referências Bibliográficas
[2] DOMINGUES, H. H. Fundamentos de aritmética. São Paulo: Atual, 1991.
[3] LANG, S. Algebra. 3rd ed. USA: Springer, 2002.
[4] VIANNA, J. J. Elementos de Arithmetica. 15 ed. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1914.
[5] WOODBURRY, G. Elementary Algebra. USA: Addison Wesley, 2009.
[1] DESKINS, W. E. Abstract Algebra. New York:
Dover
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