5. Convecção com Mudança de Fase. 5.1 Transferência de Calor na Condensação Filme Laminar sobre uma Superfície Vertical

5. Convecção com Mudança de Fase

5.1 Transferência de Calor na Condensação

5.1.1 Filme Laminar sobre uma Superfície Vertical

Nos capítulos anteriores independentemente do aquecimento ou resfriamento, o fluido sempre permanecia numa única fase. Neste capítulo, consideram-se os casos em que o fluido sofre uma mudança de fase durante a convecção. Condensação pode ocorrer quando um reservatório contendo um vapor tem sua parede resfriada, como ilustrado na Figura 5.1, na qual também são ilustrados os perfis de velocidade e temperatura. Na interface entre o filme líquido e o vapor a temperatura é igual a temperatura de saturação.

Figura 5.1 Regimes de escoamento de filme de condensado sobre uma parede vertical resfriada.

Considere, agora, só a região laminar ilustrada na Figura 5.2, em que um vapor saturado e estacionário entra em contato com uma parede resfriada. Na hipótese de camada limite a equação de movimento fica na forma:

Figura 5.2 Filme laminar de condensado suprido por um reservatório de vapor saturado estacionário g x v y p y v v x v u _{l l} l μ ρ ρ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 (5.1)

Admitindo que a distribuição de pressão seja dada pelo vapor, dp/dy= ρ_vg, então a

Eq. (5.1) pode ser reescrita como

(



)

       sumidouro v l fricção l inércia l g x v y v v x v u μ ρ ρ ρ + − ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 (5.2)

Supondo que os termos de inércia sejam desprezíveis em relação ao atrito viscoso, resulta a equação:

(



)

  sumidouro v l fricção l g x v _{ρ ρ} μ + − ∂ ∂ = 2₂ 0

) ( ; 0 0 ; 0 y x x v x v δ = = ∂ ∂ = = (5.3)

Integrando duas vezes em x, obtém-se a distribuição da velocidade do filme de condensado:

(

)

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = 2 2 2 1 ) , ( δ δ δ ρ ρ μ x x g y x v l v l (5.4)

na qual δ( y) é a espessura do filme líquido que é desconhecida.

A taxa total de escoamento de massa através da seção de filme é:

(

)

3 0 ₃ ) ( ρ ρ δ μ ρ ρ δ v l l l l g vdx y = = − Γ

∫

em [kg/s/m] (5.5)

Pode se notar que a velocidade e vazão mássica são proporcionais a g

(

ρl −ρv

)

e

inversamente proporcionais a μl.

Para estimar a espessura do filme de líquido aplica-se a primeira lei da

termodinâmica ao volume de controle δ xdy, obtendo-se

vdxh dH dH H d h dy q H − _w′′ + _g Γ= + ; =ρ_l (5.6)

que integrada fornece

(

)

[

]

∫

− − = δρ 0 vh c , T T dx H l f pl sat (5.7)

Visto que o fluido levemente sub-resfriado (T <T_sat) a entalpia específica será menor do que a entalpia do líquido saturado (h<hf). Nusselt propôs a seguinte relação:

δ x T T T T w sat sat ≅ − − − 1 (5.8)

que substituída na Eq. (5.7) juntamente com a Eq. (5.4) leva à equação para cálculo da entalpia

(

)

_⎥⎦⎤Γ ⎢⎣ ⎡ _{− −} = h_f c_pl T_sat T_w H _, 8 3 (5.9)

O fluxo de calor na parede é:

δ w sat l w T T k q′′ ≅ _ (5.10) Do balanço de energia Γ + ′′ − = q dy h d dH _{w g} (5.11)

e, portanto, com o uso das Eqs. (5.5), (5.9) e (5.11) obtém-se

(

)

0 8 3 , = − − Γ + Γ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{− −} − h c T T d h d k Tsat Tw dy l g w sat l p f δ ou

(

)

Γ ′ = Γ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{+ −} = − d d T T c h dy T T k sat w _{fg pl sat w} l fg , h 8 3 δ (5.12) Pela Eq. (5.5)

(

ρ ρ

)

δ δ μ ρ d g d l v l l 2 3 3 − = Γ (5.13)

(

)

(

ρ ρ

)

δ δ ν d dy g T T k v l w sat l l 3 fg h′ − = − (5.14)

Integrando a Eq. (5.14) de y =0 até y=δ obtém-se a espessura de filme líquido:

(

)

(

)

4 / 1 fg h 4 ) ( ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ′ − = v l w sat l l g T T k y y ρ ρ ν δ (5.15)

Os coeficientes local e médio de transferência de calor podem ser calculados como

(

)

(

)

(

(

)

)

4 / 1 3 4 / ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ′ = = − − = − ′′ = w sat l v l fg l l w sat w sat l w sat w y T T y g h k k T T T T k T T q h ν ρ ρ δ δ (5.16) L y L y L h h h = = ₌ − + = 3 4 ) 4 / 1 ( 1 (5.17)

O número de Nusselt global (médio) é então calculado pela correlação

(

)

(

)

4 / 1 3 943 , 0 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ′ = = w sat l l v l fg l L L T T k g h L k L h u N ν ρ ρ (5.18)

A partir das Eqs. (5.15) e (5.18) pode-se demonstrar que

(

)

(

)

4 / 1 3 707 , 0 ) ( _⎥⎥_⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ′ = w sat l l v l fg T T k g h L L L ν ρ ρ δ (5.19)

As propriedades são avaliadas a temperatura (T_w +T_sat)/2 e a entalpia de condensação

é avaliada de tabelas de propriedades termodinâmicas a T . Para perfil de temperatura sat

(

sat w

)

l p fg fg h c T T h′ = +0,68 _, − ou (5.20) ) 68 , 0 1 ( Ja h h′fg = fg + (5.21) na qual

(

)

fg w sat l p h T T c Ja= , − (5.22)

é o número de Jakob que mede o grau de sub-resfriamento do filme líquido.

A taxa total de calor absorvida pela parede por unidade de largura é

(

sat w

)

l

(

sat w

)

L

lLT T k T T Nu

h

q′= − = − (5.23)

Se y= , a taxa total de condensação é L

(

sat w

)

L fg l fg u N T T h k h q L − ′ = ′ ′ = Γ )( (5.24) Em muitos casos ρ_l >> ρ_v ⇒ ρ_l −ρ_v ≅ ρ_l.

Ex. 5.1 Uma parede plana vertical na temperatura Tw =60oC faceia um espaço cheio

de vapor saturado estagnante a pressão atmosférica. A altura da parede é 2 m . Assumindo escoamento laminar, calcule a taxa em que vapor se condensa na parede vertical.

5.1.2 Filme Turbulento sobre uma Superfície Vertical

O filme líquido se torna ondulado e mais abaixo, turbulento quando a ordem de grandeza do Reynolds local é maior do 100. O Reynolds local do filme líquido pode ser

calculado na forma l l y y v μ δ ρ ( )

Re = , em que o numerador e igual à taxa de

condensação, Γ=ρlvδ( y). O Reynolds local tem sido, entretanto, definido como

l y y μ ) ( 4 Re = Γ (5.25)

Experimentos mostram que o escoamento laminar cessa quando Rey ≈30 e é

ondulado na faixa 30≤Re_y ≤1800. Foi proposto por Chen et al. a correlação

[

Re 0,44 (5,82 10 6)Re0,8Pr1/3

]

1/2; Re 30 3 / 1 2 ≥ + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ _{− −} L l L L l l l x g k h ν (5.26)

Para Re_L abaixo de 30 pode-se usar a equação (5.18) que para ρ_l >>ρ_v reduz a

3 / 1 3 / 1 2 Re 468 , 1 − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ L l l L g k h ν (5.27)

Pode-se verificar que ambos o número de Reynolds e a taxa de condensação são desconhecidos, portanto é proposto resolver a Eq. (5.26) na forma:

B g k h _{l L} l L Re 3 / 1 2 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ν (5.28) na qual

(

)

4 ₂ 1/3 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ − = l fg l l w sat g h k T T L B ν μ (5.29)

[

_{0,44 6 0,8 1/3}

]

1/2 Pr Re ) 10 82 , 5 ( Re Re − + − − = _{L L} x _{L l} B (5.30) 3 / 4 Re 681 , 0 _L B= (5.31)

Um gráfico da variação de B com Reynolds local é mostrado na Figura 5.3.

Figura 5.3 Filme de condensação numa parede vertical: taxa total de condensação em função de B.

Ex. 5.2 Refazer o Ex. 5.1

Os resultados descritos até agora são válidos não só para superfícies planas, mas também para superfícies curvas em que o filme de condensado seja suficientemente fino. Superfícies curvas englobam, por exemplo, cilindros e esferas, e desde que o diâmetro seja maior do que a espessura do filme pode-se usar os resultados anteriores. Um filme sobre uma esfera pode ser considerado como um processo de condensação sobre uma parede inclinada. Alguns exemplos são ilustrados na figuras a seguir.

Figura 5.4 Filme de condensado em superfícies planas, curvas e inclinadas.

No caso de superfícies curvas a componente tangencial da gravidade varia ao longo do filme Um exemplo é uma superfície esférica. Para filme laminar ao redor da esfera, a correlação para calcular o Nusselt médio é da forma

(

)

(

)

4 / 1 3 815 , 0 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ′ = = w sat l l v l fg l D D T T k g h D k D h u N ν ρ ρ (5.32)

Para escoamento laminar em torno de um único cilindro a correlação é

(

)

(

)

4 / 1 3 729 , 0 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ′ = = w sat l l v l fg l D D T T k g h D k D h u N ν ρ ρ (5.33)

No caso de uma fileira vertical de cilindros horizontais, Figura 5.5, foi proposto

(

)

(

)

4 / 1 3 , 729 , 0 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ′ = = w sat l l v l fg l n D D T T nk g h D k D h u N ν ρ ρ (5.34)

4 / 1 , n h h D n D = (5.35)

Figura 5.5 .Filme de condensado em escoamentos em tubos horizontais

Outras configurações podem ser encontradas por exemplo, no livro do Bejan. A Figura 5.6 ilustra condensação numa superfície horizontal de uma tira ou disco. Um caso interessante é o caso de condensação num cilindro num escoamento cruzado por convecção forçada ou paralelo a uma placa, Figura 5.7. Vapor escoando verticalmente num tubo é ilustrado Figura 5.8. Escoamentos rápido e lento de vapor em tubos horizontais são ilustrados na Figura 5.9

Figura 5.6 Filme de condensado numa fita horizontal de largura L ou disco de diâmetro D.

Figura 5.7 Filme de condensação sobre um cilindro horizontal em escoamento cruzado e sobre uma placa plana paralela ao escoamento.

Figura 5.8 Condensação num tubo vertical com escoamento co-corrente do vapor.

Figura 5.9 Condensação como um filme anelar num tubo com escoamento rápido de vapor (esquerda) e acumulação no fundo com escoamento lento de vapor (direita).

5.1.4 Condensação em gotas por Contato Direto

A condensação pode ocorrer quando a tensão superficial for alta, o condensado forma gotas que escorrem pela superfície quando o tamanho das gotas aumentam. Veja ilustração no livro Bejan.

5.2 Transferência de Calor na Ebulição

Nesta seção considera-se o caso de transferência de calor na ebulição, que ocorre quando a temperatura de uma superfície sólida é suficientemente mais alta do a temperatura de saturação do líquido que está em contato com ela. Ebulição é sinônimo de transferência de calor convectiva com mudança de fase líquido para vapor quando o líquido está sendo aquecido por uma superfície suficiente quente. Este é o processo inverso da condensação em que vapor se torna líquido quando ele é resfriado em contato com uma superfície fria. O processo de ebulição em vaso (pool boiling) é ilustrado na Figura 5.10. No caso do líquido estar inicialmente subresfriado as bolhas de vapor formado não conseguem alcançar a superfície livre e se condensam novamente. Quando o líquido já esta na temperatura de saturação as bolhas de vapor alcançam a superfície livre.

Figura 5.10 Nucleação de ebulição em vaso, líquido subresfriado (esquerda) e líquido saturado (direita).

Os regimes de ebulição em vaso são ilustrados na Figura 5.11. No experimento com temperatura controlada consegue-se reproduzir a curva de ebulição, já no experimento com potência controlada quando o fluxo de calor atinge o máximo (que é chamado ponto de queima, pois a temperatura atinge o ponto de fusão do aquecedor), daí não se consegue reproduzir a parte descendente da curva, no regime de transição. Se for um processo de resfriamento, quando o fluxo de calor atinge o mínimo, o filme de vapor se colapsa e inicia-se o processo de nucleação de bolhas, também não se conseguindo reproduzir a parte da curva de ebulição no regime de transição.

Figura 5.11 Os quatro regimes de ebulição de água em vaso a pressão atmosférica

Figura 5.12 Curva de ebulição em vaso, em um experimento com temperatura controlada (esquerda) e em um experimento com potência controlada

O regime mais importante de ebulição ilustrado na curva da Figura 5.11 é o de nucleação da ebulição, porque é neste regime que o coeficiente de transferência de calor definido por sat w w T T q h − ′′ = (5.36)

atinge altos valores, no range de 103-105 W/(m2K).

Muitos estudos têm sido realizados, uma correlação proposta para por Rohsenow tem a forma:

(

)

3 / 1 2 / 1 , Pr ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ′′ = − v l fg l w sf s l l p fg sat w g h q C c h T T ρ ρ σ μ (5.37)

a qual se aplica para superfícies limpas e como uma aproximação de engenharia é

insensível a orientação da superfície. Ele depende de duas constantes empíricas C e _sf

s. C é um coeficiente que leva em conta a combinação do líquido com a superfície do _sf

material e s é um expoente que depende do líquido. Estes valores podem ser

encontrados na Tabela 8.1 do livro do Bejan (Heat Transfer, pg. 425). σ[N/m] é a

tensão superficial do líquido em contato com seu vapor. Se considerar uma bolha de vapor de forma esférica seu raio pode ser estimado como: r=2σ/(p_v −p_l), em que p _v

é pressão dentro da bolha e p é pressão fora. l

No caso em que a diferença de temperatura T_w−T_sat é conhecida a Eq. (5.37)

pode ser rearranjada para se determinar o fluxo de calor na forma

(

)

(

)

3 , 2 / 1 Pr _⎥⎥_⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ′′ fg sf s l sat w l p v l fg l w h C T T c g h q σ ρ ρ μ (5.38)

O fluxo de calor de pico sobre uma grande superfície horizontal baseado em análise dimensional é da forma:

(

)

[

]

1/4 2 / 1 max 0,149hfg v g l v q′′ = ρ σ ρ −ρ (5.39)

que independe da superfície do material. Esta correlação se aplica para superfícies cujo comprimento linear é muito maior do que o tamanho das bolhas de vapor.

Ex.: 5.3 Um elemento cilíndrico de aquecimento de diâmetro 1 cm e comprimento 30 cm é imerso horizontalmente numa piscina de água saturada a pressão atmosférica. A superfície cilíndrica é coberta com níquel. Calcule o fluxo de calor e a taxa total de

transferência de calor do cilindro para a piscina de água, quando Tw =108oC. Calcule

também o fluxo crítico de calor.

5.2.3 Filme da Ebulição e Mínimo Fluxo de Calor

Filme de ebulição é uma camada contínua de vapor (0,2-0,5 mm de espessura) que separa a superfície aquecida do resto do líquido. O fluxo mínimo de calor é registrado na temperatura mais da superfície do aquecedor que ainda mantém o filme contínuo. Para superfícies horizontais extensas, o fluxo mínimo é da forma:

(

)

(

)

4 / 1 2 min 0,09 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − = ′′ v l v l v fg g h q ρ ρ ρ ρ σ ρ (5.40)

Para um cilindro horizontal a correlação é da forma:

(

)

(

)

4 / 1 3 62 , 0 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ′ = = sat w v v v l fg v D D T T k g h D k D h u N ν ρ ρ (5.41)

na qual as propriedades são do vapor. Para filme de ebulição sobre uma esfera tem-se

(

)

(

)

4 / 1 3 67 , 0 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ′ = = sat w v v v l fg v D D T T k g h D k D h u N ν ρ ρ (5.42)

Em que

(

w sat

)

v p fg fg h c T T h′ = +0,4 _, − (5.43)

e neste caso k_v,ν_v,ρ_v,c_p,v são avaliados a

(

T_w +T_sat

)

/2.

Se a temperatura do aquecedor aumenta, o efeito de radiação térmica deve ser levado através do filme se torna importante. Para se considerar a radiação pode-se definir um coeficiente equivalente na forma:

rad D rad D h h h h h = + ; > 4 3 (5.44) na qual

(

)

sat w sat w w rad T T T T h − − =σε 4 4 (5.45)

Na Eq. 5.45 a constante de Stefan-Boltzmann tem o valor σ =5,669x10−8W/m2K4. Para

água se T_w−T_sat >550−600oC, deve-se considerar radiação. No caso em que

D rad h

h > o coeficiente pode ser calculado na forma

rad D rad D D h h h h h h h _⎟⎟ + ≤ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ; 3 / 1 (5.46)

Ex.: 5.4 Refazer o Ex. 5.3 considerando radiação. Adote T_w =300oC e ε_w =0,8.

5.2.4 Escoamento com Ebulição

Se o líquido for forçado sobre o aquecedor, o fluxo de calor deve ser calculado na forma:

c w q q

na qual q ′′ é calculado pela Eq. (5.38) e o fluxo de calor devido ao escoamento pode ser _w calculado como ) ( _{w l} c c h T T q′′= − (5.48)

O coeficiente de troca convectiva pode ser avaliado como nos capítulos anteriores como nos casos de convecção forçada externa ou interna ou convecção natural. Por exemplo para ebulição num duto, uma correlação usada é da forma:

4 , 0 5 / 4 Pr Re 019 , 0 _D c D k D h Nu = = (5.49)