Transmissão Digital em Banda Base

Capítulo 2

Transmissão Digital em Banda Base

2.1 Introdução

Entende-se por transmissão digital em banda base, a transmissão de sinais digitais cujo espectro está centrado na frequência 0Hz.

A tarefa de um sistema de transmissão digital é a de transferir um sinal de informação na forma de pulsos desde a sua fonte até o destinatário passando pelo canal de comunicações, conforme mostra a Fig. 2.1. Todo canal de comunicações apresenta algumas imperfeições, tais como a adição de ruído, limitação da banda de passagem, introdução de distorção, interferência, desvanecimento, etc.

Figura 2.1: Sistema de Comunicações.

Neste capítulo vamos analisar o espectro de sinais digitais e também o desempenho em termos da probabilidade de erro de bit em função de uma relação que definiremos mais a frente como a razão entre a energia por bit e a densidade espectral de potência unilateral do ruído,Eb/N0. Nesta análise iremos considerar um canal de comunicações limitado em banda e que adiciona ruído. Na verdade, o ruído aditivo é sempre adicionado no receptor, e que tem origem térmica ou balística, mas que por considerações simplistas é colocado como se fosse originado no canal.

Para um sistema digital, a taxa de bits e a probabilidade de erro de bits são tão importantes quanto a banda e a relação sinal-ruído em um sistema analógico. Definiremos nas próximas seções o conceito de eficiência espectral, como sendo a razão entre a taxa de bits e a banda necessária para transmitir um sinal digital sem distorção.

Veremos finalmente, que a relaçãoEb/N₀e a eficiência espectral são de modo geral conceitos antagônicos, há que se ceder em um deles para que se consiga melhoria no outro.

2.2 Sinais Digitais PAM

2.2.1 Definição

Sinais PAM (“Pulse Amplitude Modulation”) são muito importantes na transmissão digital em banda base. Em um sinal PAM é possível escolher o número de amplitudes, o formato do pulso de transmissão e a taxa de bits. Se o número de amplitudes for igual a dois, dizemos que a transmissão é binária. Além disso, um formato de pulso que é bastante utilizado é o retangular.

Um sinal PAM é dado por uma sequência de pulsos:

x(t) =

∞

X

i=−∞

aiq(t−iTs) (2.1)

ondeirepresenta um instante de tempo,a_i é uma variável aleatória que representa a amplitude naquele intervalo de tempo, T_sé a duração de um símbolo (pulso) eq(t)representa o formato do pulso em banda base, que tem amplitude unitária. Para o caso binário, isto é, em quea_iapresenta apenas duas amplitudes, a duração de um pulso será representada pela duração de um bit, ou seja,T_b.

Exemplo 1 Vamos procurar compreender melhor sinais PAM através de um exemplo. A Fig. 2.2 mostra vários formatos PAM para a transmissão da mensagem10110100. Alguns comentários podem ser feitos acerca destes formatos:

• A primeira sequência apresenta um formato unipolar, pois a amplitudea_ié uma variável aleatória binária equiprovável que assume os valores0eA. Quando o pulso tem duração igual ao intervalo de um símbolo ou bit, dizemos que o formato é do tipo NRZ (“Non Return to Zero”).

• A segunda sequência também é unipolar, porém com formato de pulso RZ-50%(“Return to Zero”) com duraçãoT_b/2.

Como veremos à frente, pulsos NRZ têm mais energia que pulsos RZ. Entretanto pulsos NRZ apresentam problemas de sincronização no receptor, quando a mensagem apresenta todos os bits iguais a1, ao contrário de pulsos RZ. Por outro lado, os formatos NRZ e RZ são susceptíveis à perda de sincronismo em caso de longa sequência de0s. Veremos posteriormente, que o formato RZ por apresentar pulsos mais estreitos, apresenta banda mais larga que o formato NRZ e por apresentarem pulsos estreitos são indicados em canais dispersivos, isto é, em canais cuja banda é estreita o suficiente a ponto de causar o que chamamos de interferência inter-simbólica, que será definida mais à frente.

• A terceira e quarta sequências apresentam um formato bipolar NRZ e RZ, respectivamente, pois a amplitudeaié uma variável aleatória binária equiprovável que assume os valores±A/2. É fácil perceber que o formato bipolar possui valor médio nulo, também conhecido como componente DC, ao contrário do formato unipolar. Esta componente DC não carrega qualquer informação útil. Portanto, o formato unipolar não é tão eficiente quanto o formato bipolar, por carregar este excesso de energia.

• A quinta sequência apresenta um formato polar quaternário NRZ. Todo formato quaternário que por apresentar4 níveis de amplitude, consegue transportar 2bits a cada símbolo. No caso deste exemplo utilizamos a codificação denominada natural. A Tab. 2.1 apresenta a codificação natural e codificação de Gray. A codificação de Gray tem a vantagem de minimizar o número de bits errados toda vez que se cometer um erro para um símbolo adjacente. Uma característica dos formatos com mais de2níveis é que os mesmos possuem pulsos com maior duração e espectro mais estreito que o formato binário. Por outro lado, como veremos estes formatos são mais suscetíveis à ocorrência de erros.

♣

b1 b0 Natural Gray 0 0 −3A/2 −3A/2

0 1 −A/2 −A/2

1 0 +A/2 +3A/2

1 1 +3A/2 +A/2

Tabela 2.1: Codificação Natural e de Gray.

2.2.2 Taxa de Transmissão

Para o caso em que a variável aleatória de amplitude,a_i, assume mais de2níveis de amplitude, usamosT_spara denotar o período de repetição dos pulsos. A taxa de transmissão de símbolos medida em símb/s ou baud é dada por:

Rs= 1

T_s (2.2)

pois em um segundo de duração existemTspulsos.

Um caso particular do anterior, ocorre quandoaié uma variável aleatória binária. Neste caso usamosTbpara indicar o período de repetição dos pulsos. Neste caso, podemos definir a taxa de transmissão de bits medida em bits/s através de:

Rb= 1 Tb

(2.3)

Figura 2.2: Formatos PAM com Pulsos Retangulares a) Unipolar NRZ b) Unipolar RZ c) Bipolar NRZ d) Bipolar RZ e) Polar Quaternário NRZ.

2.2.3 Número de Bits por Símbolo e Taxa Equivalente de Bits

Seja um formatoM-ário, ou seja, em que a variável aleatória de amplitude assumeM níveis de amplitude. Para relacionar um formatoM-ário a um binário, gostaríamos de conhecer quantos bits são transportados de cada vez por um símbolo em um formatoM-ário. Para responder melhor esta pergunta, vamos estudar o exemplo a seguir.

Exemplo 2 Sabemos do exemplo anterior, que em um formato quaternário,M = 4, a variável de amplitude assume4níveis e que são necessários2bits para associar às4amplitudes, pois2² = 4. Em um formato comM = 8níveis de amplitude são necessários3bits para associar às8amplitudes.

♣ Assim, de modo geral, em um formatoM-ário, cada símbolo transporta de cada vez:

nbs= log₂M (2.4)

bits por símbolo.

Se cada pulso comM amplitudes transportan_bsbits por símbolo, então é possível escrever a taxa de transmissão de bits equivalente em função da taxa de transmissão de símbolos:

Rb=Rslog₂M (2.5)

2.2.4 Outros Tipos de Formato PAM

A Fig. 2.3 ilustra outros formatos PAM, descritos a seguir:

• O primeiro formato já foi definido anteriormente. É o formato NRZ unipolar com pulsos retangulares, também conhe- cido como NRZ nível, ou NRZ-L (“Level”).

• A segunda sequência é denominada NRZ marca, ou NRZ-M (“Mark’). Neste formato, somente para bits do tipo1é que existe transição no início de um bit.

• A terceira sequência é denominada NRZ espaço, ou NRZ-S (space). Neste formato, somente para bits do tipo0é que existe transição no início de um bit. É usado no padrão USB (“Universal Serial Bus”).

• A quarta sequência apresenta o formato “biphase-level”, também conhecido como Manchester. Neste formato para cada bit 0é associada uma transição positiva no meio do bit, enquanto que a cada bit1 é associada uma transição negativa também no meio do bit. O formato Manchester não apresenta problemas de sincronismo para o caso de longas sequências de0s, ou de1s. Como desvantagem, veremos posteriormente que este formato tem espectro largo, devido às transições no meio do bit. É utilizado em redes Ethernet.

• A quinta sequência é uma variação do Manchester denominada “biphase-mark”. Neste formato existe sempre uma transição no início de cada bit. Além disso, bits do tipo1apresentam transição no meio do bit, enquanto que bits do tipo0não. As propriedades deste formato são parecidas com as do Manchester.

• A sexta sequência é na verdade uma sequência pseudo-ternária, em que os zeros são mapeados como amplitudes nulas, enquanto que os bits1se alternam, ora como pulsos positivos, ora como pulsos negativos. Este formato conhecido como AMI (“Alternate Mark Inversion”), não apresenta problema de sincronismo no caso de longas sequências de1s, mas somente no caso de longas sequências de0s. Pela sua regra de construção, o formato AMI pode sofrer inversão na polaridade do cabo, sem alteração do conteúdo de informação. Existe uma variante do AMI, chamada HDBn. Caso a sequência apresente mais den0s consecutivos, pulsos de violação serão inseridos. Assim, o formato HDBnnão apresenta problemas de sincronismo no caso de longas sequências de0s.

2.3 Imperfeições na Transmissão

2.3.1 Ruído

O ruído é um dos elementos mais importantes da imperfeição de um canal. Todo receptor gera ruído térmico, devido aos seus resistores e gera também ruído balístico (“shot”) devido aos diodos e transistores. Ainda neste capítulo iremos obter os efeitos do ruído no desempenho de um sistema de transmissão digital em banda-base. O ruído foi estudado anteriormente na Sec.??.

Figura 2.3: Formatos PAM com Pulsos Retangulares a) NRZ-L b) NRZ-M c) NRZ-S d) “Biphase-Level” e) “Biphase-Mark”

f) AMI.

2.3.2 Interferência

A interferência, como o ruído, também é aditiva. Diferentemente do ruído que é adicionado no receptor, a inteferência é adicionada no canal. Existem diversos tipos de inteferência: diafonia, interferência de co-canal, etc.

A interferência entre fios de um mesmo cabo é denominada diafonia e ocorre principalmente em cabos telefônicos que possuem centenas de pares de fios, afetando o desempenho de modems, modems ADSL, etc.

Também há interferência na comunicação sem fio em redes celulares. A inteferência de co-canal se deve ao fato de um mesmo canal ser utilizado por diferentes usuários. Os efeitos da interferência de co-canal no desempenho de um sistema de transmissão serão estudados na Sec. 2.9.

2.3.3 Desvanecimento

O desvanecimento ocorre basicamente em comunicações sem fio, principalmente quando se utilizam antenas sem linha de visada. Deste modo, o desvanecimento aparece quando há múltiplos sinais chegando quase que instantaneamente no receptor.

A combinação destes vários percursos produz às vezes uma combinação construtiva, às vezes destrutiva. O desvanecimento é modelado como uma variável aleatória multiplicativa que em geral é suposto ter PDF de Rayleigh. A taxa de variação do desvanecimento depende da variabilidade do canal, o que por sua vez depende das velocidades do transmissor e/ou receptor.

Os efeitos do desvanecimento são sérios na transmissão de sinais digitais e serão estudados no Cap.??.

2.3.4 Interferência Inter-Simbólica

Considere o sistema de transmissão em banda base da Fig. 2.4a. Vamos considerar que o formato transmitido,x(t)é do tipo NRZ unipolar com amplitudes0eA, formato de pulso retangular, em que a sequência de informação transmitida é 1 0 1 0. Vamos considerar também que o canal adiciona ruído e interferência, que atenua e pode ainda produzir distorção por apresentar banda passante mais estreita que a requerida. A Fig. 2.4b apresenta o sinal recebido e o sinal recebido ideal para efeito de comparação.

Neste momento podemos nos questionar sobre a estrutura interna do receptor. Como o ruído aditivo branco tem banda muito maior que a banda do sinal transmitido, seguramente deveremos utilizar no receptor um filtro passa-baixas para eliminar o ruído que não se sobrepõe espectralmente ao sinal desejado. Assim, após o filtro passa-baixas podemos escrever que:

y(t) =

∞

X

i=−∞

aiq⁰(t−td−iTs) +n(t) (2.6)

ondetd representa o atraso do canal,q⁰(t)representa o novo formato do pulso na saída do filtro en(t)representa o ruído aditivo filtrado.

A recuperação do trem digital a partir dey(t)é tarefa do bloco denominado regenerador, que necessita de um sinal de sincronismo, também denominado de relógio (“clock”), que identifica os instantes de amostragem, geralmente no centro do pulso, dados por:

tI =ITs+td (2.7)

Vamos examinar y(t) nos instantes de amostragemt=t_I, supondo queq⁰(0) = 1, então y(t_I) =a_I +X

i6=I

a_iq⁰(IT_s−iT_s) +n(t_I) (2.8)

onde o primeiro termo representa o pulso central, o segundo termo representa a interferência dos pulsos vizinhos no pulso central, conhecida como interferência inter-simbólica (IIS) e o terceiro termo representa a contaminação do ruído no sinal.

A combinação da IIS e do ruído poderá resultar em erros. Portanto, tanto o ruído, quanto a IIS são indesejáveis. Um modo de se diminuir a potência do ruído na saída do filtro é estreitando a banda de passagem do filtro. No entanto, se a banda do filtro se tornar muito estreita, haverá distorção e consequentemente IIS.

Diagrama de Olho

A Fig. 2.5a apresenta um sinal binário polar distorcido contaminado por ruído. Um meio de se saber se um sinal apresenta IIS é através do que se denomina diagrama de olho. Um diagrama de olho pode ser obtido pela observação de um sinal digital em um osciloscópio, onde o retraço horizontal do osciloscópio é sincronizado com o relógio, conforme mostra a Fig. 2.5b.

A Fig. 2.6 ilustra um diagrama de olho binário estilizado. A metade da abertura vertical do diagrama de olho representa a margem contra o ruído. Quanto maior for esta abertura, mais imune será o sinal PAM em relação ao ruído. O borrão superior

Figura 2.4: a) Sistema de Transmissão em Banda Base. b) Sinal Recebido e Sinal Recebido Ideal.

Figura 2.5: a) Sinal Binário Polar Recebido. b) Diagrama de Olho.

e inferior no diagrama representam a IIS. O instante de tempo em que a abertura do diagrama é máxima é denominado instante de amostragem ótimo. Normalmente, o instante de amostragem do relógio possui uma flutuação denominada tremor de fase, ou “jitter”, em relação ao instante ótimo de amostragem. Assim, é importante que o diagrama de olho tenha uma boa abertura também na horizontal.

Figura 2.6: Diagrama de Olho Binário Estilizado.

2.4 Taxa de Nyquist

O limite fundamental da taxa de transmissão sem IIS, é dado pelo teorema de Nyquist¹.

Teorema 1 (Nyquist) É possível transmitir símbolos sem IIS a uma taxa de atéRs≤2Bbaud em um canal passa-baixas ideal de bandaB. Não é possível transmitir símbolos a uma taxaRs>2Blivre de IIS.

♣ Vamos mostrar a seguir um exemplo como é possível transmitir na taxa máxima, também denominada taxa de Nyquist, sem IIS. Para se transmitir com a taxa de Nyquist,Rs= 2B, livre de IIS precisamos de pulsos com formato dado por:

q(t) =sinc(Rst) (2.9)

A transformada de Fourier deste formato de pulso é dado por:

Q(f) = 1 Rs

retR_s(f) (2.10)

ComoQ(f) = 0para|f|> R_s/2não há distorção ao se passar este formato de pulso por um canal passa-baixas retangular de bandaB, de modo que é possível transmitir e receber pulsos com formato sinc na taxa de Nyquist. Observe ainda queq(t) não é limitado no tempo, mas cruza o0nos instantes múltiplos deT_s, e desse modo não há IIS.

Veremos posteriormente que existem outros formatos de pulso que atingem a taxa de Nyquist sem produzir IIS. Uma observação importante dos pulsos sinc é a sua não-causalidade, pelo fato deles existirem no tempo desde o−∞. Um modo de tornar o pulso sinc causal é através da eliminação de boa parte da cauda esquerda, mantendo ainda a maior parte da energia do pulso, e atrasando este pulso truncado, tal que ele se inicie no instantet= 0. Neste caso, não teremos mais um pulso sinc, mas uma aproximação que pode ser muito boa.

2.4.1 Eficiência Espectral de Sinais PAM

Um parâmetro importante de sistemas de transmissão digital é a eficiência espectral, que é definida pela razão entre a taxa de bits e a banda do canal, isto é,

E= Rb

B (2.11)

1Em homenagem ao engenheiro sueco H. Nyquist.

A eficiência espectral é medida em bits/s/Hz. Sistemas com alta eficiência espectral conseguem transmitir um grande número de bits por segundo para cada Hz de banda ocupada e vice-versa.

Um sistema que trasmite a uma taxa de R_s símbolos por segundo, de acordo com (2.4) possui uma taxa de bits equivalente igual aR_b=R_slog₂M, ondeM é o número de bits transportados por um único símbolo. Assim, de acordo com o Teorema de Nyquist, sistemas de transmissão em banda base têm eficiência espectral dada por:

E≤2 log₂M (2.12)

2.5 Densidade Espectral de Potência de Sinais Digitais PAM

2.5.1 Introdução

Sinais PAM são sinais aleatórios e assim possuem função de autocorrelação e densidade espectral de potência muito bem definidas. A função de autocorrelação e a densidade espectral de potência forma estudadas no Cap.??. O nosso objetivo a seguir é o de caracterizar a densidade espectral de potência de sinais PAM. Vamos calcular a função de autocorrelação de um sinal PAM e posteriormente a densidade espectral de potência através da aplicação do teorema de Wiener Kinchin. Para isto vamos utilizar um exemplo.

Exemplo 3 Considere um sinal digital binário unipolar NRZ com pulsos retangulares, símbolos independentes e que tem amplitudes0eA, equiprováveis. A função de autocorrelação é dada por:

RX(τ) =x(t)x(t−τ)

ou seja, vamos tomar duas amostras separadas de um intervalo de tempoτe obter a média estatística.

Comox(t)é um processo aleatório discreto binário, a função de autocorrelação pode ser calculada através de:

RX(τ) =

1

X

i=0

x(t1)x(t2)P[x(t1) =xi, x(t2) =xi]

ondex(t1)representa a primeira amostra,x(t2)a segunda amostra,P[x(t1), x(t2)]a probabilidade conjunta de se observar duas amostras,x₀= 0é a amplitude correspondente ao bit0ex₁=Aé a amplitude do bit1.

Vamos calcular a função de autocorrelação para alguns valores deτ. Paraτ = 0temos que RX(0) = 1

20²+1 2A²

= A² 2

isto é, a probabilidade da primeira e segunda amostra serem iguais a0é igual1/2, enquanto que a probabilidade de ambas amostras serem iguais aAtambém é igual a1/2.

Para o intervalo entre amostras deτ =Tb, temos que

RX(Tb) =A² 4

pois a probabilidade de ambas as amostras serem iguais aAé1/4. Os outros três casos contribuem com resultado nulo, pois uma das amostras é nula. Um resultado idêntico a este é obtido paraτ=iT_b, ondeié qualquer inteiro diferente de0.

Para o intervalo0≤τ ≤T_btemos que a probabilidade conjunta das duas amostras serem iguais aAé inversamente proporcional ao intervalo de tempoτ, e é dada porP(x₁=A, x₂=A) = (1−_2T^τ

b)/2. Assim, RX(τ) =A²

2

1− τ 2Tb

Desse modo, podemos escrever a função de autocorrelação como:

R_X(τ) = A²

4 triTb(τ) +A² 4 onde triT_b(τ) = 1− |τ|/Tb.

Sabemos que a densidade espectral de potência é obtida a partir da transformada de Fourier da função de autocorre- lação, ou seja,

G_X(f) =A²

4 T_bsinc²(f T_b) +A² 4 δ(f)

A função densidade espectral de potência apresenta uma parte contínua do tipo sinc²(x)e uma parte discreta na forma de um impulso na frequência de0Hz.

♣

2.5.2 Expressão Geral da Densidade Espectral de Potência

De modo geral, pode-se mostrar que um sinal PAM com transformada de Fourier do formato do pulsoQ(f)e função de autocorrelação de amplitudeRA(n), tem densidade espectral de potência dada por:

G_X(f) = 1 Ts

|Q(f)|²

∞

X

n=−∞

R_A(n)e^{−j2πnf Ts} (2.13) onde a função de autocorrelação de amplitude do sinal PAM é dada por:

RA(n) =aiai+n (2.14)

Pode-se mostrar para o caso em que os símbolos de um sinal PAM são independentes, que:

R_A(n) =

µ²_a+σ²_a n= 0

µ²_a n6= 0 (2.15)

ondeµaeσasão a média e o desvio padrão da variável aleatória de amplitude de um sinal PAM.

Substituindo (2.15) em (2.13), temos a densidade espectral de potência para o caso em que os símbolos são estatisti- camente independentes:

GX(f) =σ_a²Rs|Q(f)|²+µ²_aR²_s

∞

X

n=−∞

|Q(nRs)|²δ(f−nRs) (2.16) onde utilizamos a fórmula de Poisson, dada por:

∞

X

n=−∞

e^{−j2πnf Ts} = 1 Ts

∞

X

n=−∞

δ

f− n Ts

(2.17) Podemos observar em (2.16) que a densidade espectral de potência de um sinal PAM apresenta uma parte contínua e uma parte discreta. A componente contínua é proporcional a|Q(f)|². Por outro lado, a componente discreta possui harmônicas em múltiplos da taxa de símbolosRs, a não ser queµa= 0ouQ(f) = 0paraf =nRs.

O sinal de relógio pode ser obtido a partir da passagem da primeira harmônica de (2.16) por um filtro passa-faixa e posteriormente por um circuito limitador.

Exemplo 4 No sentido de se verificar a validade de (2.16), considere o mesmo sinal do exemplo anterior, isto é, binário unipolar NRZ com pulsos retangulares, símbolos independentes e que tem amplitudes0eA, equiprováveis. A média e o valor quadrático médio da amplitude do sinal digital são dadas por:

µa = 1 20 +1

2A=A 2 a² = 1

20²+1

2A²= A² 2 Portanto, a variância da amplitude é dada por

σ_a² = a²−µ²_a

= A² 4

O pulso retangularq(t) =retT_b(t)tem transformada de FourierQ(f) =Tbsinc(f Tb). Substituindo,µa,σ_a²eQ(f) em (2.16), temos um resultado idêntico ao do exemplo anterior, lembrando que para o caso binárioRs=Rb.

♣

2.5.3 Potência Média e Energia por Símbolo de Sinais PAM

A potência média de um sinal PAM pode ser obtida no tempo ou em frequência. Normalmente, é bem mais fácil de se calcular no tempo, no entanto vamos obtê-la integrando-se (2.16) no domínio da frequência. Assim,

PX=σ²_aRs

Z ∞

−∞

|Q(f)|²df+µ²_aR²_s

∞

X

n=−∞

|Q(nRs)|² (2.18)

No domínio do tempo, processos aleatórios reais e estacionários pelo menos no sentido amplo, tem a sua potência dada por:

PX =x²(t) (2.19)

A potência média de um sinal PAM comM níveis de amplitude,a1,a2,· · ·,aM, e probabilidadesP(a1),P(a2),· · ·, P(aM), com formato de pulsoq(t), é dada por:

PX = a² T_s

Z T_s 0

q²(t)dt (2.20)

ondea²=PM

i=1a²_iP(a_i)é o valor quadrático médio da variável aleatória de amplitude.

A energia por símbolo é dada por:

Es=PXTs=a² Z T_s

0

q²(t)dt (2.21)

Para o caso de pulsos NRZ retangulares, a potência de sinais PAM pode ser obtida de:

PX =a² (2.22)

Neste caso, a energia por símbolo pode ser calculada por:

Es=T_sa² (2.23)

Exemplo 5 Vamos obter no domínio do tempo a potência média do sinal PAM com formato binário unipolar NRZ com pulsos retangulares, símbolos independentes equiprováveis e que tem amplitudes0eA. O valor quadrático médio da amplitude é igual aa²=A²/2.

Portanto, a potência média deste sinal PAM é dada por PX =a²= A²

2

♣ Vamos obter no próximo exemplo a densidade espectral de potência de um sinal PAM RZ.

Exemplo 6 Considere um sinal PAM binário unipolar RZ-50%com pulsos retangulares dados porq(t) =retTb 2

(t)e símbo- los estatisticamente independentes com amplitudes0eAequiprováveis.

A transformada de Fourier do pulso é dada por:

Q(f) = 1 2Rb

sinc f

2Rb

Já que a fonte gera bits estatisticamente independentes e com mesma probabilidade, então podemos obter o valor médio e o valor quadrático médio, dados por:

µ_a = A 2 a² = A²

2 Tal que a variância é dada porσ²_a=A²/4.

Desse modo,

GX(f) = A² 16Rb

sinc² f

2Rb

+A²

16

∞

X

n=−∞

sinc²n 2

δ(f−nRb)

A Fig. 2.7 ilustra este espectro. Observe que a parte contínua do espectro tem o dobro da largura em relação ao caso NRZ.

Observe a ausência das harmônicas pares, pois nestas frequênciasQ(nR_b) = 0.

A potência média no domínio do tempo pode ser calculada através de:

P_X=a² Z Tb

0

ret²_Tb

2

(t)dt= A² 4

onde usamos quea²=A²/2. Como esperado, a potência de sinais RZ-50%é a metade de sinais NRZ.

♣

Figura 2.7: Densidade Espectral de Potência de um Sinal PAM Unipolar Binário RZ.

2.5.4 Conformação Espectral através de Pré-Codificação

Veremos a seguir, que é possível modificar a densidade espectral de um sinal PAM através de uma alteração na estatística da amplitude dos símbolos de um sinal PAM.

Manipulando (2.13), podemos obter uma expressão alternativa da densidade espectral de potência, dada por:

G_X(f) =R_s|Q(f)|²

"

R_A(0) + 2

∞

X

n=1

R_A(n) cos

2πn f Rs

#

(2.24) conhecida como densidade espectral de potência trigonométrica.

Alguns canais não permitem a passagem do conteúdo espectral DC, como é o caso de uma linha telefônica. Alguns circuitos realizam acoplamento AC, como é o caso transformadores e capacitores, bloqueando o conteúdo DC. Assim, um dos objetivos da pré-codificação é a redução do conteúdo espectral em torno do0Hz, de modo que um sinal PAM possa passar por um circuito com acoplamento AC, ou por um canal que bloqueia o DC, sem distorção.

Considere o formato AMI visto na Fig. 2.2f. O formato AMI pode ser obtido a partir de um formato unipolar. A cada0 no formato unipolar, teremos um0 no formato AMI, enquanto que1s, produzem pulsos alternados, ora positivos, ora negativos, criando assim um formato pseudo-ternário. Supondo que os bits do formato unipolar sejam equiprováveis, podemos então obter as probabilidades dos símbolos AMI:

P(a_i= 0) = 1 2

P(a_i=A) = P(a_i=−A) = 1

4 (2.25)

A autocorrelação de amplitude paran= 0é dada por:

R_A(0) = 1 4A²+1

4(−A)²+1 20²

= 1

2A² (2.26)

que é igual ao valor quadrático médio da amplitude.

Paran= 1, os únicos casos que fornecem resultado não nulo são os casos em que a primeira amostra corresponde a um pulso positivo e a segunda amostra a um negativo e vice-versa. Portanto,

R_A(1) = 1 4 1

2A(−A) +1 4 1 2(−A)A

= −1

4A² (2.27)

Paran= 2, os únicos casos diferentes de0são os casos em que as duas amostras correspondem a pulsos não nulos, isto é,

RA(2) = 1

16A²− 1

16A²+ 1

16(−A)²− 1 16(A)²

= 0 (2.28)

Calculando a função de autocorrelação para outros instantes de tempo, concluímos queRA(n) = 0paran≥2;

Portanto, usando (2.24) temos que a densidade espectral de potência do formato AMI é dada por:

GX(f) = Rb|Q(f)|²A² 2

1−cos

2π f

R_b

= Rb|Q(f)|²A²sin²

π f R_b

(2.29) onde usamos quesin²(x) = (1−cos(2x))/2. A densidade espectral de potência do sinal AMI é mostrada na Fig. 2.8.

Observe que esta densidade espectral de potência possui um vazio espectral no entorno do0Hz.

Existem outros formatos que possuem um vazio espectral no entorno do DC, como é o caso do formato HDBne do formato Manchester. O formato HDB3 é muito utilizado em telefonia. A regra de codificação é bastante parecida com a do AMI. A diferença é que após três0s consecutivos uma violação é adicionada. A violação consiste de um pulso com mesma polaridade que o último pulso transmitido. Portanto, as densidades espectrais de potência dos formatos AMI e o HDBnsão muito semelhantes.

2.6 Probabilidade de Erro de Bit

A partir de agora vamos avaliar o desempenho de sinais PAM em termos da probabilidade de erro de bit.

2.6.1 Formato Binário Unipolar NRZ

Considere a transmissão de um sinal PAM binário NRZ unipolar com amplitudes0eA, correspondentes aos bits de transmis- são0e1, através de um canal que não distorce, nem introduz interferência. O pulso transmitido se dá no intervalo0≤t≤Tb. No canal, o sinal transmitido é atenuado de um fator0 ≤ α≤ 1, assim como existe a adição²de ruído gaussiano branco, n(t), com densidade espectral de potência bilateralGN(f) =N0/2. Portanto na entrada do receptor podemos escrever que:

y(t) =αx(t) +n(t) (2.30)

ondex(t)é o sinal transmitido dado por (2.1).

Como o ruído tem banda muito maior que a banda do sinal, a melhor estratégia de recepção consiste no uso de um filtro passa-baixas que possa eliminar a maior quantidade de ruído fora da banda do sinal PAM, sem no entanto produzir IIS.

Esta estratégia de recepção é mostrada na Fig. 2.9.

2Na verdade o ruído, seja ele de origem térmica ou balística (“shot”), é sempre adicionado no receptor e nunca no canal. Entretanto, por conveniência assumiremos que o ruído é adicionado no canal.

Figura 2.8: Densidade Espectral de Potência do Formato AMI.

Figura 2.9: Receptor Binário em Banda Base.

Vamos supor que o filtro passa-baixas tem ganho unitário e banda suficiente para permitir a passagem do sinal PAM perfeitamente. Assim, na saída do filtro passa-baixas, vamos amostrar o sinal filtrado no instante de amostragemt₀e observar que:

z(t₀) =αa₀+n(t₀) (2.31)

ondea0é a amplitude do pulso transmitido que tem como amplitude0ouAen(t0)representa a amostra do ruído filtrado. O ruído filtrado é dado porn(t)∗h(t), ondeh(t)é a resposta ao impulso do filtro passa-baixa do receptor³.

A partir da amostraz(t0)precisamos decidir quem deve ter sido transmitido, se o pulso0, ou o pulsoA. Uma boa estratégia é comparar a amostraz(t0)com um limiar de decisãoL. O ruído aditivo é um processo aleatório de média nula, e portanto a amostra,n(t₀), é uma variável aleatória também de média nula. Na maior parte das vezes a amostran(t₀)deverá estar próxima de0, que é o seu valor médio. Assim, na maior parte das vezes, o ruído não irá perturbar.

Desse modo, sez(t₀)< Ldecidiremos pelo bit0e sez(t₀)> Ldecidiremos pelo bit1, isto é, z(t₀)< L ⇒ ˆb= 0

z(t0)> L ⇒ ˆb= 1 (2.32)

O que irá acontecer quando a amostra de ruído não estiver próximo de0? Neste caso, erros poderão ocorrer, tanto quando a amostra estiver acima do limiar,z(t0)> Lpara o bit0transmitido,a0= 0, como quando a amostra estiver abaixo do limiar,z(t0)< Lpara o bit1transmitido,a0= 1.

Para avaliar a probabilidade de erro de bit, precisamos calcular as probabilidadesP(z(t0)> L|b = 0)eP(z(t0)<

L|b= 1). Por simplicidade de notação, vamos utilizar a variável aleatórianno lugar den(t0)ezno lugar dez(t0). A PDF da amostra de ruído,n, é uma gaussiana de média nula e variânciaσ_n², dada por:

pN(n) = 1 p2πσ²_ne⁻

n2 2σ2

n (2.33)

ondeσ_n²=P_N é a potência do ruído na saída do filtro.

Inspecionando (2.31) e comoné uma variável aleatória gaussiana, as PDFs dezcondicionadas aos bits de transmissão também são gaussianas, conforme mostra a Fig. 2.10. Quando o bit transmitido é0, a gaussiana tem média nula. Por outro lado, quando o bit transmitido é1, a gaussiana tem médiaαA. Ambas gaussianas têm mesma variância, que é a variância do ruído na saída do filtro,σ_n².

Figura 2.10: PDFs Condicionais com Limiar de Decisão.

Assim,

pZ(z|b= 0) = 1 p2πσ_n²e⁻

z2 2σ2

n

p_Z(z|b= 1) = 1 p2πσ_n²e⁻

(z−αA)2 2σ2

n (2.34)

3Embora estejamos usando uma mesma variável para designar o ruído do canal e o ruído filtrado, a diferença entre ambos é relevante.

Erros irão ocorrer, quando o bit0tiver sido transmitido e a variável de decisão for maior que o limiar, pois a amostra do ruído foi positiva, ou quando o bit1tiver sido transmitido e a variável de decisão for menor que o limiar. Portanto, a probabilidade de erro média é dada por:

Pb=P(b= 0) Z ∞

L

pZ(z|b= 0)dz+P(b= 1) Z L

−∞

pZ(z|b= 1)dz (2.35)

ondeP(b= 0)eP(b= 1)são as probabilidades de se transmitir os bits0e1, respectivamente.

O limiar ótimoLoté aquele que minimiza a probabilidade de erro média. Assim, fazendodPb/dL= 0, temos que:

P(b= 0)pZ(Lot|b= 0) =P(b= 1)pZ(Lot|b= 1) (2.36) onde utilizamos a Regra de Leibniz, dada por (??).

Supondo que os bits transmitidos sejam equiprováveis,P(b= 0) =P(b= 1) = ¹₂, temos que:

pZ(Lot|b= 0) =pZ(Lot|b= 1) (2.37) ou seja, o limiar ótimo corresponde ao ponto em que as PDFs se cruzam.

Substituindo (2.34) em (2.37), temos que no caso em que os bits são equiprováveis o limiar ótimo é dado por:

L=αA

2 (2.38)

ou seja, na metade da excursão de0aαA.

Substituindo (2.38) e (2.34) em (2.35), temos a probabilidade de erro de bit:

Pb=Q αA

2σn

(2.39) onde a funçãoQ(x)corresponde à área da cauda de uma gaussiana de média nula e variância unitária a partir do pontox, isto é,

Q(x) = 1

√2π Z ∞

x

e^−λ

2

2 dλ (2.40)

A funçãoQ(x)pode ser obtida a partir da Fig.??, ou calculada através da função erfc(x), definida na maioria dos programas matemáticos. Neste caso, basta usar a transformação dada por (??):

Q(x) =1 2erfc

x

√2

(2.41) Outro modo de se calcular a funçãoQ(x)é através da aproximação:

Q(x)≈ 1

√

2πx²e^−x

2

2 parax≥3 (2.42)

ou seja, por uma exponencial com expoente−x²/2.

Portanto, em (2.39) vemos que a probabilidade de erro de bit diminui com o aumento de A, com a diminuição da atenuação do canal (aumento deα) ou ainda com a diminuição da potência do ruído na saída do filtro,σ_n².

Uma pergunta faz-se necessária aqui. Será que existe um filtro ótimo que minimize a probabilidade de erro de bit, sem introduzir IIS?

2.6.2 Filtros Casados

Para responder a esta pergunta, considere o receptor da Fig. 2.9. Seja a transmissão de um sinal PAM unipolar NRZ com amplitudeAe formato de pulsoq(t)no intervalo0≤t≤Tb. Vamos supor que o canal possui um fator de atenuaçãoαe um atrasot_d⁴. Assim, o sinal recebido é dado por:

y(t) =αAq(t−td) +n(t) (2.43)

4Todo canal produz atraso no tempo, pois a velocidade de propagação é finita.

A transformada de Fourier dey(t)na ausência de ruído é dada por,

Y(f) =αAQ(f)e^{−j2πf td} (2.44)

Após passar por um filtro no receptor com função de transferênciaH(f), teremos no instante de amostragemt₀ = t_d+T_b, a seguinte amplitude recebida:

Ar=F⁻¹[H(f)Y(f)] =αA Z ∞

−∞

H(f)Q(f)e^{j2πf Tb}df (2.45)

Considere um ruído aditivo não necessariamente branco. Assim, a potência do ruído na saída do filtro é dada por:

σ_n²= Z ∞

−∞

|H(f)|²GN(f)df (2.46)

Queremos maximizar a seguinte relação:

Ar

2σn

2

= α²A² 4

R∞

−∞H(f)Q(f)e^{j2πf Tb}df

2

R∞

−∞|H(f)|²GN(f)df (2.47)

Na maximização de (2.47), vamos utilizar a desigualdade de Schwartz no domínio da frequência, dada por (??) e que será reproduzida novamente:

|R∞

−∞X(f)Y^∗(f)df|² R∞

−∞|X(f)|²df ≤ Z ∞

−∞

|Y(f)|²df (2.48)

A desigualdade de Schwartz torna-se uma igualdade, quandoX(f)for proporcional aY(f).

Comparando o lado esquerdo da desigualdade de Schwartz com o lado direito de (2.47), podemos obter as funções X(f)eY(f):

X(f) = H(f)p G_N(f) Y^∗(f) = αA

2

Q(f)

pGN(f)e^{j2πf Tb} (2.49)

SeX(f)for proporcional aY(f)então:

X(f) = 2K⁰

αAY(f) (2.50)

onde por conveniência escolhemos a constante de proporcionalidade2K⁰/αA.

Então a função de transferência do filtro ótimo é dada por:

H(f) =K⁰ Q^∗(f)

GN(f)e^{−j2πf Tb} (2.51) ondeK⁰ é uma constante arbitrária.

Assim, o filtro ótimo enfatiza as frequências em que o espectro do sinal é forte e desenfatiza as frequências onde a densidade espectral de potência do ruído é forte. Para o caso em que o ruído é branco com densidade espectral de potência bilateral planaN₀/2, a resposta ao impulso do filtro ótimo é dada por:

h(t) = F⁻¹

"

2K⁰ N0

Q^∗(f)e^{−j2πf Tb}

#

= Kq(T_b−t) (2.52)

ondeK = 2K⁰/N0. Como a resposta ao impulso do filtro ótimo é proporcional ao formato do pulso recebido, este filtro ótimo é denominado casado ao sinal recebido.

2.6.3 Desempenho de Filtros Casados

Substituindo (2.49) no lado direito de (2.48) e depois em (2.47), temos o valor máximo de:

Ar

2σ_n ²

max

= α²A² 4

Z ∞

−∞

|Q(f)|²

G_N(f)df (2.53)

Para o caso em que o ruído é branco, temos:

Ar

2σ_n ²

max

= α²A² 2N₀

Z ∞

−∞

|Q(f)|²df

= α²A² 2N₀

Z ∞

−∞

q²(t)dt

= E_b N0

(2.54) onde usamos que pulsos com formatoq(t)unipolar tem energia por bit dada por:

Eb= α²A² 2

Z ∞

−∞

q²(t)dt

Assim, a probabilidade de erro de bit para o caso unipolar NRZ com formato de pulso qualquer é dada por:

P_b=Q rE_b

N0

!

(2.55) que é mostrada na Fig. 2.11. Observe que o desempenho dado por (2.55) depende apenas da relaçãoEb/N0, embora a energia por bit dependa do formato de pulsoq(t).

Figura 2.11: Limitante Inferior da Probabilidade de Erro de Bit em Função da RelaçãoEb/N0para Formato Binário NRZ. a) Unipolar. b) Bipolar.

Observe que neste momento podemos escrever a probabilidade de erro de bit como P_b=Q

A_d 2σn

(2.56)