MAT - 0122 - Álgebra Linear I
Bacharelato Física - Diurno
Exercícios para a 1ªProva
Paulo F. Leite
com a colaboração de Jéssica S. Paixão
março de 2012
1 Exercícios para a Primeira Prova
1. Todo subconjunto de um conjunto linearmente independente é lin-earmente independente.
2. Todo conjunto que contem um conjunto linearmente dependente é linearmente dependente.
3. Seja A = {p1(x), p2(x), . . . , pk(x)} um conjunto de polinômios tal que
i 6= j =⇒ grau pi(x)6= grau pj(x). Mostre que A é linearmente
independente.
4. Se G é um sistema de geradores de V e u /∈ G, então G ∪ {u} é linearmente dependente.
5. De na famíilia (sequência) livre e família ligada.
6. Seja A um conjunto de vetores linearmente independente de um espaço vetorial V. Mostre que uma condição necessária e su ciente para que a familia {a1, a2. . . an} de nida por f(i) = ai é que a função
INn f
7. Seja a1, a2, . . . an uma família de vetores não nulos. Uma condição
necessária e su ciente para que essa família seja ligada é que exista um natural k, 1 < k 6 n tal que o vetor ak seja combinação linear
dos vetores a1, a2, . . . ak.
8. Dizemos que um conjunto A, linearmente independente, é maximal se todo conjunto B tal que A B é linearmente dependente. Prove que se A é linearmente independente maximal, então A é uma base. 9. Dizemos que um conjunto A é um conjunto de geradores minimal se
todo conjunto B estritamente contido em A, isto é, tal que B A não gera o espaço vetorial V. Prove que todo conjunto de geradores minimal é uma base.
10. Mostre que o conjunto P(IR) não é nitamente gerado.
11. Todo espaço vetorial possui uma base. Prove essa a rmação no caso em que V é um espaço vetorial nitamente gerado.
12. (Questão da Prova ver solução nos exercícios complementares). Sejam G e L subconjuntos de um espaço vetorial V sobre IR. Prove que se L é linearmente independente e G é nito e gera V, então L também é nito e #L 6 #G. (A notação #A indica o número de elementos de A).
13. Prove que todo subconjunto linearmente independente num espaço vetorial nitamente gerado é nito.
14. Duas bases quaisquer de um espaço vetorial tem a mesma cardinali-dade. Prove isso no caso de espaços vetorias nitamente gerados. 15. Seja V um espaço vetorial nitamente gerado. Mostre que todo
sube-spaço vetorial de V é nitamente gerado.
um conjunto linearmente independente de V. Mostre que A pode ser estendido a uma base de V, isto é, existe um subconjunto B de vetores de V tais que A ⊆ B e B é base de V.
1.1 Indução Finita
1. (Princípio de Indução Finita) Se S é um subconjunto dos números natu-rais satisfazendo às condições:
(a) 0 ∈ S
(b) ∀k k ∈ S =⇒ k + 1 ∈ S então S = IN
2. (Princípio do mínimo) Todo subconjunto do conjunto IN dos números naturais possui um mínimo.
3. Prove que o princípio de indução nita e o princípio do mínimo são equivalentes.
4. (Outra forma do Princípio de Indução Finita) Prove que se S é um sub-conjunto dos números naturais satisfazendo às condições:
(a) S não é limitado.
(b) ∀k > 1 k ∈ S =⇒ k − 1 ∈ S então S = IN.
5. Problema dos chapéus vermelhos.
2 Outros Exercícios
2. Se λ2, . . . , λn é um conjunto qualquer de escalares e u1, . . . , un são
vetores de um espaço vetorial V, então as seguintes condições são equivalentes:
(a) {u1, . . . , un} é linearmente independente.
(b) {u1, u2+ λ2u1, . . . , un+ λnu1} é linearmente independente. Solução: a) =⇒ b) De α1u1+ α2(u2+ λ2u1) +. . . + αn(un+ λnu1) =0 Segue que (α1+ α2λ2+ α3λ3. . . αnλn)u1+ α2u2+· · · + αnun =0
e como {u1, u2, . . . , un} é linearmente independente, temos que
α1+ α2λ2+ α3λ3+. . . + αnλn=0 α2 =0 ... αn=0
veri ca-se imediatamente que a única solução desse sistema é: α1 = α2 =· · · = αn=0
e portanto o conjunto {u1, u2 + λ2u1, . . . , un + λnu1} é linearmente
independente. Isso conclui essa parte da demonstração. a) ⇐= b)
v1 = u1 vi= ui+ λiu1 i =2, . . . , n e consequentemente u1 = v1 ui= vi− λiu1 i =2, . . . , n (1)
Devemos provar agora que do fato de {v1, . . . , vn} ser, por hipótese,
linearmente independente decorre que {u1, . . . , un} é linearmente
in-dependente. Se escrevermos
α1u1+. . . + αnun=0 (2)
e substituirmos os valores de ui dados por (1) em (2) ,teremos
α1v1+ α2(v2− λ2v1) +. . . + αn(vn− λnv1) =0
ou ainda
(α1− α2λ2 −. . . − αnλn)v1+ α2v2+. . . αnvn=0
e portanto, como {v1, . . . , vn} é linearmente independente,
α1− α2λ2−. . . − αnλn =0 α2 =0 ... αn=0
e, portanto {u1, . . . , un} é linearmente independente.
xi∈ [Y] para i = 1, 2, . . . l
Proposição 1 Sejam S e T subespaços do espaço vetorial V tais que T = [S∪{u}] onde u é um vetor qualquer de V. Se existir um subconjunto L.I. de T com m + 1 vetores então existirá um sub-conjunto L.I. de S com, pelo menos, m vetores.
Demonstração.
Sejam f1, f2, . . . , fm+1 m +1 vetores linearmente independentes de T.
É claro que, sendo T = [S ∪ {u}], podemos escrever fi= si+ λiu
com si ∈ S i =1, 2, . . . , m + 1
Se λi=0 para todo i, temos que fi∈ S e portanto a proposição está
demonstrada.
Suponhamos então que exista um índice k tal que, λk 6=0.
O argumento que vamos utilizar mostra que, sem nenhuma perda de generalidade podemos supor que, k = 1.
Supondo isso, consideramos então os vetores g2, g3, . . . , gm+1 dados
por
gj = fj+ µjf1 onde, por de nição, µj = −
λj
λ1
Proposição 2 Considere dois subconjuntos L e G de um espaço ve-torial V sendo L linearmente independente e G um conjunto de geradores. Nessas condições, se G for nito então L tambem será nito e o número de elementos de L será menor ou igual ao número de elementos de G.
demonstração.
É feita por indução nita sobre o número de elementos de G.
Se #G = 0, isto é, G = ∅ e teremos então V = {0}. Concluimos então que o único subconjunto de V linearmente independente é o conjunto vazio, isto é, L = ∅ e então #L = 0. Temos portanto que L 6 G. O que mostra que a proposição é válida nesse caso.
Suponhamos então que a proposição é verdadeira para conjuntos de geradores G com n elementos e demonstremos que isso implica em sua validade no caso de G ter n + 1 elementos.
Corolário 1 Se o espaço vetorial V for nitamente gerado existe um majorante 1 para os números de elementos de seus subconjuntos
linearmente independentes, isto é, existe um número natural m tal que se L é um subconjunto linearmente independente de V, então o número de elementos de A é menor ou igual am.
demonstração.
De fato, sendo V nitamente gerado, existe um conjunto G nito que gera V. O número de elementos de G é um majorante.
Veremos mais adiante que a recíproca desse resultado é verdadeira, isto é, se V é tal que existe um número natural m tal que todo subcon-junto linearmente independente de V tem, no máximo m elementos então V é nitamente gerado.
Proposição 3 Todo subconjunto linearmente independente de um um espaço vetorial V ( nitamente gerado ou não!) pode ser es-tendido a uma base desse espaço vetorial.
3. (Questão da prova)Prove a proposição acima no caso de um espaço vetorial nitamente gerado.
Solução.
Seja L um subconjunto, que pode ser vazio, linearmente indepen-dente de um espaço vetorial V, nitamente gerado. Vamos de nir um subconjunto A dos números naturais da seguinte forma:
k∈ A ⇐⇒ existe X tal que X é L.I e L ⊆ X ⊂ V com k = #X Pelo corolário 1 A possui um máximo. Seja m esse máximo. Pela de nição de A, se zermos k = m, obteremos um subconjunto X de V tal que X contém L e é linearmente independente maximal, isto é, uma base. Isso conclui a demonstração.
1Majorante de um subconjunto A de um conjunto ordenado B é um elemente m de B,
4. Mostre que se X 6= ∅ é um conjunto qualquer, então X pode ser iden-ti cado a uma base de IR(X). Conclua que existem espaços vetoriais
com bases de qualquer cardinalidade.
5. Mostre que se X é um conjunto in nito, então X não pode ser iden-ti cado a uma base de IRX.
6. Mostre que C∞(IR), Ck(IR), k > 1, C(IR) não são nitamente
gera-dos.
