As Condi¸ c˜ oes de Serre e o Crit´ erio Jacobiano

Programa de P´ os–Gradua¸ c˜ ao em Matem´ atica Mestrado em Matem´ atica

As Condi¸ c˜ oes de Serre e o Crit´ erio Jacobiano

Johnny Albert dos Santos Lima

Jo˜ ao Pessoa – PB

Julho de 2018

Programa de P´ os–Gradua¸ c˜ ao em Matem´ atica Mestrado em Matem´ atica

As Condi¸ c˜ oes de Serre e o Crit´ erio Jacobiano

por

Johnny Albert dos Santos Lima

sob a orienta¸ c˜ ao do

Prof. Dr. Ricardo Burity Croccia Macedo

Jo˜ ao Pessoa – PB

Julho de 2018

A minha m˜ ` ae e minha irm˜ a pelo incentivo.

A meus amigos Jonison e Reillon, que me ajudaram com sugest˜ oes e com a teoria.

Aos professores do departamento de matem´ atica, em especial o professor Ricardo Burity que teve a gentileza em me orientador durante toda essa disserta¸c˜ ao e tamb´ em pelas suas cr´ıticas construtivas que contribu´ıram pra o meu desenvolvimento.

Aos professores que participaram de minha banca de disserta¸c˜ ao.

Aos meus amigos, em especial aqueles que estiveram presente durante todo o mes- trado.

A Capes, pelo apoio financeiro.

Neste trabalho apresentaremos duas importantes ferramentas da ´ Algebra Comu- tativa: as condi¸c˜ oes de Serre e o crit´ erio jacobiano. Posteriormente, exploraremos aplica¸c˜ oes que visam caracterizar an´ eis normais e apresentar um c´ alculo efetivo para obten¸c˜ ao das potˆ encias simb´ olicas de um ideal via matrizes jacobianas.

Palavras-chave: profundidade, condi¸c˜ oes de Serre, crit´ erio Jacobiano, potˆ encia simb´ olica

de um ideal.

In this work we will present two important tools of the Commutative Algebra: the Serre’s conditions and the Jacobian criterion. Later, we will explore applications that aim to characterize normal rings and present an effective calculation to obtain the symbolic powers of an ideal via Jacobian matrices.

Keywords: depth, Serre’s conditions, Jacobian criterion, symbolic power of an ideal.

Introdu¸ c˜ ao 2

1 Preliminares 4

1.1 Sequˆ encias Regulares e M´ odulos Cohen-Macaulay . . . . 4

1.1.1 Profundidade de um M´ odulo . . . . 4

1.1.2 M´ odulos Cohen-Macaulay . . . . 7

1.2 Potˆ encias Simb´ olicas de um ideal . . . . 13

2 Crit´ erio Jacobiano e Condi¸ c˜ oes de Serre 18 2.1 Sobre fecho inteiro de an´ eis . . . . 18

2.2 Crit´ erio Jacobiano . . . . 22

2.3 Condi¸c˜ oes de Serre . . . . 30

3 Aplica¸ c˜ oes 36 3.1 M´ odulos planos . . . . 36

3.2 Potˆ encias Infinitesimais . . . . 41

3.2.1 O m´ etodo recursivo . . . . 42

A Resultados auxiliares 46

Referˆ encias Bibliogr´ aficas 48

Neste trabalho A denota, a menos de men¸c˜ ao contr´ aria, um anel comutativo e com unidade. A seguir, listamos algumas nota¸c˜ oes utilizadas neste trabalho.

• (a

, . . . , a

) denota o ideal gerado pelos elementos a

, . . . , a

do anel A;

• √

I denota o radical de I ;

• gr

(A) denota o anel graduado associado;

• Ass(M) denota o conjunto dos ideais primos associados do A-m´ odulo M ;

• Min(M ) denota o conjunto dos primos minimais do A-m´ odulo M ;

• ht(I) denota a altura do ideal I;

• dim(A) denota a dimens˜ ao de Krull do anel A;

• Z(A) denota o conjunto dos divisores de zero de A.

• (I : J) denota o ideal condutor de J em I, onde I e J s˜ ao ideais;

• A denota o fecho inteiro do anel A.

• µ(I) denota o n´ umero m´ınimo de geradores do ideal I;

• N (A) denota o Nilradical de A;

• Max(A) denota o conjunto dos ideais maximais do anel A.

• Spec(A) denota o conjunto dos ideais primos do anel A;

• Supp(M) denota o suporte de M ;

• I

(M ) denota o ideal gerado pelos menores h × h da matriz M ;

• Sing(A) denota o local singular de A;

• C(k) denota a caracter´ısta do corpo k;

• I

denota a n-´ esima potˆ encia infinitesimal de I;

• I

denota a n-´ esima potˆ encia simb´ olica de I.

• κ(P ) denota o corpo de fra¸c˜ oes de A/P

• V (J) denota o conjunto dos ideais primos de A que cont´ em o ideal J

Em ´ Algebra Comutativa, as condi¸c˜ oes de Serre (R

) e (S

), introduzidas pelo ma- tem´ atico francˆ es Jean-Pierre Serre, comp˜ oe uma ferramenta que formaliza condi¸c˜ oes necess´ arias e suficientes para que um anel Noetheriano A ser normal. J´ a o crit´ erio Jacobiano ´ e uma ferramenta que estabelece regularidade para an´ eis locais. Ambos os crit´ erios fundamentam-se na teoria como principais t´ ecnicas quando o interesse ´ e deter- minar aspectos sobre normalidade e regularidade, sendo destacados principalmente por seus aspectos pr´ aticos de cunho computacional. Sem d´ uvida, tais resultados remetem a diversas aplica¸c˜ oes, dentre as quais, destacaremos neste trabalho, como explor´ a-los a fim de exibir c´ alculos efetivos para obten¸c˜ ao das potˆ encias simb´ olicas de um ideal fixado. Assim, o nosso objetivo nesse trabalho ser´ a exibir algumas no¸c˜ oes b´ asicas para que possamos entender como podemos explorar essas ferramentas.

No primeiro cap´ıtulo deste trabalho apresentaremos as no¸c˜ oes b´ asicas de profundi- dade de um m´ odulo, em especial, trataremos dos m´ odulos Cohen-Macaulay, introdu- zindo algumas propriedades que ser˜ ao ´ uteis para os principais resultados desse trabalho.

Em um segundo momento, exploraremos a defini¸c˜ ao de potˆ encia simb´ olica de um ideal I bem como se comporta esse conceito de potˆ encia em um anel Cohen-Macaulay.

No segundo cap´ıtulo, exploraremos alguns resultados elementares sobre fecho inteiro de an´ eis e an´ eis regulares, destacando algumas propriedades que caracterizam certos an´ eis. Em seguida, apresentaremos o crit´ erio Jacobiano, com o objetivo de exibir algu- mas consequˆ encias relacionadas a regularidade. E por fim, estudaremos as Condi¸c˜ oes de Serre (R

), (S

) e (R

), (S

), visando estabelecer crit´ erios sobre normalidade.

No terceiro cap´ıtulo, temos como objetivo principal, fazer uso do que foi explorado

nos cap´ıtulos anteriores. Assim, discutiremos um pouco o conceito de m´ odulos planos

e como podemos utiliz´ a-lo para justificar em especial, se condi¸c˜ oes de Serre (R

) e (S

)

s˜ ao preservadas quando estamos considerando um homomorfismo φ : A −→ B entre

an´ eis locais. Definiremos tamb´ em o local singular de um anel A a partir do qual, com o

uso do Crit´ erio Jacobiano, exibiremos como podemos relacionar o ideal Jacobiano e as

Condi¸c˜ oes de Serre (R

) e (S

). Para finalizar o cap´ıtulo introduziremos o conceito de

potˆ encia infinitesimal, com o objetivo de relacion´ a-lo com a potˆ encia simb´ olica de um

n inteiro n˜ ao negativo.

Preliminares

Neste cap´ıtulo, introduziremos nosso estudo sobre M´ odulos Cohen-Macaulay e Potˆ encias Simb´ olicas de um ideal I a fim de solidificar a teoria, visando explorar as no¸c˜ oes e re- sultados necess´ arios para apresentar os principais teoremas dos cap´ıtulos seguintes.

As principais referˆ encias deste cap´ıtulo foram Simis (13), Villarreal (15) e Swanson e Huneke (14)

1.1 Sequˆ encias Regulares e M´ odulos Cohen-Macaulay

Inicialmente, exploraremos o conceito de profundidade, invariante alg´ ebrico funda- mental para o entendimento das condi¸c˜ oes de Serre e o crit´ erio Jacobiano.

1.1.1 Profundidade de um M´ odulo

Defini¸ c˜ ao 1.1. Seja M um A-m´ odulo. Dizemos que um elemento x ∈ A ´ e M - regular (ou n˜ ao divisor de zero em M ) se xm = 0 implicar que m = 0, com m ∈ M.

Uma sequˆ encia {x

, ..., x

} de elementos em A ser´ a chamada de M - sequˆ encia re- gular quando:

i. M 6= (x

, . . . , x

)M ; ii. x

´ e um elemento

1,...,xi)M

- regular, para i = 0, . . . , n − 1

Denotando M

:= M/(x

, . . . , x

)M , a condi¸c˜ ao ii. ´ e equivalente a afirmar que a aplica¸c˜ ao A-linear

φ

: M

→ M

m 7→ x

m

´ e injetiva para cada k = 0, . . . , n − 1.

Sejam A um anel Noetheriano, M um A-m´ odulo finitamente gerado e I um ideal de A tal que IM 6= M . Segue da injetividade da aplica¸c˜ ao φ

definida acima que para qualquer {x

, . . . , x

} M -sequˆ encia regular tem-se (x

, . . . , x

)M 6= (x

, . . . , x

)M, para todo k = 0, ..., n − 1. Sendo A anel Noetheriano, segue que qualquer M -sequˆ encia regular {x

, . . . , x

} com x

∈ I pode ser estendida a uma sequˆ encia de comprimento m´ aximo, isto ´ e, a uma {x

, . . . , x

} contida em I (m ≥ n) M -sequˆ encia regular tal que todo x ∈ I n˜ ao ´ e M/(x

, . . . , x

)M -regular.

Sob certas hip´ oteses, o lema a seguir permite permutarmos uma M -sequˆ encia re- gular e ainda assim obtermos uma M -sequˆ encia regular.

Lema 1.1. Se {x, y} ´ e uma M -sequˆ encia regular e y n˜ ao ´ e divisor de zero de M , ent˜ ao {y, x} tamb´ em ´ e uma M -sequˆ encia regular.

Demonstra¸ c˜ ao. De fato, suponhamos por absurdo que x n˜ ao ´ e M/yM - regular, ent˜ ao existe m ∈ M tal que m / ∈ yM com xm = ym

para algum m

∈ M . Como {x, y}

´ e M-regular temos que m

∈ xM e assim, m

= xm

para algum m

∈ M. Assim, xm = ym

= yxm

o que implica que x(m − ym

) = 0, como x ´ e M -regular temos que m = ym

⇒ m ∈ yM , o que ´ e um absurdo. Logo {y, x} ´ e M -regular.

Proposi¸ c˜ ao 1.2. Qualquer duas M -sequˆ encias regulares maximais em I tem o mesmo comprimento.

Demonstra¸ c˜ ao. Entre todas as M -sequˆ encias regulares maximais em I existe uma com o n´ umero m´ınimo de elementos n. Mostraremos o resultado por indu¸c˜ ao em n. Se n = 0, ent˜ ao I cont´ em apenas divisores de zero, e n˜ ao h´ a nada a se mostrar. Supo- nhamos ent˜ ao n > 0, e sejam {x

, . . . , x

} uma M -sequˆ encia regular maximal em I, e {y

, . . . , y

} outra M -sequˆ encia regular em I. Devemos mostrar que I consiste apenas de divisores de zero de M/(y

, . . . , y

)M .

Se n = 1 ent˜ ao I consiste apenas de divisores de zero de M/x

M . Logo, existe m ∈ M tal que Im ⊆ x

M com m / ∈ x

M. Em particular, y

m = x

m

para algum m

∈ M . Se tiv´ essemos m

∈ y

M ent˜ ao ter´ıamos m

= y

m

⇒ y

m = x

y

m

⇒ y

(m − x

m

) = 0 ⇒ m = x

m

j´ a que para o caso n = 1, temos y

n˜ ao ´ e divisor de zero em M , e consequentemente m ∈ x

M , o que ´ e um absurdo, logo m

∈ / y

M. Como x

Im

= y

Im ⊆ x

y

M temos que Im

⊆ y

M , j´ a que x

n˜ ao ´ e divisor de zero de M , e portanto I consiste apenas de divisores de zero de M/y

M.

Se n > 1, denotemos por M

= M/(x

, . . . , x

)M e M

= M/(y

, . . . , y

)M, i =

0, . . . , n − 1 e tomemos z ∈ I tal que z n˜ ao ´ e divisor de zero de M

e M

para todo

i = 0, . . . , n − 1. A escolha do elemento z ´ e poss´ıvel, j´ a que o conjunto dos divisores

de zero de M

e M

´ e a uni˜ ao (finita) dos primos associados de M

e M

e I n˜ ao

est´ a contido em nenhum desses primos associdados, j´ a que se estiv´ esse, ter´ıamos que I consiste apenas de divisores de zero de M .

Logo, pelo lema anterior obtemos que {z, x

, . . . , x

} e {z, y

, . . . , y

} s˜ ao M - sequˆ encias regulares em I, onde {z, x

, . . . , x

} ´ e maximal desde que {x

, . . . , x

, z}

´ e maximal considerando o caso n = 1 aplicado a M

, conforme argumento precedente.

Ent˜ ao {x

, . . . , x

} e {y

, . . . , y

} s˜ ao M/zM -sequˆ encias regulares em I, sendo a primeira maximal, por hip´ otese de indu¸c˜ ao, temos que a segunda tamb´ em ´ e maxi- mal. Mas se {y

, . . . , y

, z} ´ e uma M -sequˆ encia regular maximal, ent˜ ao {y

, . . . , y

} tamb´ em ser´ a, novamente pelo caso n = 1. Como quer´ıamos demonstrar.

A proposi¸c˜ ao motiva a seguinte defini¸c˜ ao:

Defini¸ c˜ ao 1.2. Sejam A um anel Noetheriano, M um A-m´ odulo finitamente gerado e I um ideal de A tal que IM 6= M . O n´ umero de elementos de uma M -sequˆ encia regular maximal em I ´ e chamado de profundidade de I em M , o qual denotaremos por prof(I, M ).

Se (A, M) ´ e um anel Noetheriano local, ent˜ ao prof(M, M ) ´ e chamada profundidade de M e escrevemos simplesmente prof(M ). Em particular, definimos prof(A), como a profundidade do anel A.

Notemos que prof(I, M ) = 0 ´ e equivalente a I consistir apenas de divisores de zero de M . Al´ em do mais, se (A, M) ´ e um anel Noetheriano local, ent˜ ao prof(M ) = 0 ⇔ M ∈ Ass(M ).

Em geral, a I -profundidade de M pode ser tomada como o ´ınfimo entre as profundi- dades de P em M para todo P primo associado de M/IM . Como mostra a proposi¸c˜ ao abaixo.

Proposi¸ c˜ ao 1.3. Sejam M um A-m´ odulo e I um ideal em A tal que IM 6= M . Ent˜ ao prof(I, M ) = inf{prof(P, M ), P ∈ Ass(M/IM )}.

Demonstra¸ c˜ ao. Seja P ∈ Ass(M/IM ), o que implica que I ⊂ (0 : M/IM) ⊂ P . Logo, prof(I, M ) ≤ prof(P, M).

Ent˜ ao, basta mostrarmos que prof(I, M ) = prof(P, M ) para algum P ∈ Ass(M/IM ).

Sejam k = prof(I, M ) e x = x

, . . . , x

uma M -sequˆ encia maximal em I. Ent˜ ao I ⊂ Z(M/xM), logo I ⊂ P ˜ para algum ˜ P ∈ Ass(M/xM). Mas,

(0 : M ) ⊂ (0 : M/xM) ⊂ P , ˜

donde I + (0 : M) ⊂ P ˜ . Como p

(0 : M/IM ) = p

I + (0 : M ), tem-se que (0 : M/IM) ⊂ P ˜ , e assim ˜ P cont´ em algum P primo associado de M/IM . Logo,

prof(P, M ) ≤ prof( ˜ P , M ).

Como quer´ıamos demonstrar.

Finalizamos esta se¸c˜ ao com uma consequˆ encia imediata da defini¸c˜ ao de profundi- dade de um m´ odulo que tem utiliza¸c˜ ao frequente.

Proposi¸ c˜ ao 1.4. Sejam A um anel Noetheriano, M um A-m´ odulo finitamente gerado e I ⊆ A tal que IM 6= M . Se {x

, . . . , x

} ´ e uma M -sequˆ encia regular em I, ent˜ ao

prof(I, M/(x

, . . . , x

)M) = prof(I, M ) − n.

1.1.2 M´ odulos Cohen-Macaulay

Uma primeira propriedade interessante envolvendo a no¸c˜ ao de profundidade de um m´ odulo sobre um anel local Noetheriano ´ e que este invariante ´ e sempre menor ou igual que a dimens˜ ao de Krull do m´ odulo, quando estes invariantes s˜ ao iguais chamamos o m´ odulo de Cohen-Macaulay. M´ odulos Cohen-Macaulay tem propriedades alg´ ebricas muito importantes, por exemplo, um anel A Cohen-Macaulay ´ e, em particular, ca- ten´ ario, caracter´ıstica que permite um melhor controle da altura de seus ideais.

Defini¸ c˜ ao 1.3. A dimens˜ ao de um m´ odulo M sobre um anel A ´ e a dimens˜ ao de Krull de A/Ann(M ).

Proposi¸ c˜ ao 1.5. Sejam (A, M) um anel Noetheriano local e M um A-m´ odulo finita- mente gerado. Ent˜ ao

prof(M ) ≤ dim(M ).

A demonstra¸c˜ ao da proposi¸c˜ ao anterior pode ser encontrada em (5 , Proposi¸c˜ ao 3.9, p´ ag. 185).

Defini¸ c˜ ao 1.4. Seja M um A-m´ odulo n˜ ao nulo finitamente gerado sobre um anel A Noetheriano. Se (A, M) ´ e local, diremos ent˜ ao que M ´ e um m´ odulo Cohen-Macaulay quando prof(M ) = dim(M ).

Em geral, diremos que M ´ e um m´ odulo Cohen-Macaulay se o A

-m´ odulo M

´ e Cohen-Macaulay para todo m ∈ Max(A).

Um anel A ser´ a dito Cohen-Macaulay se o for como A-m´ odulo.

O pr´ oximo resultado fornece propriedades iniciais dos m´ odulos Cohen-Macaulay que caracterizam tais m´ odulos.

Proposi¸ c˜ ao 1.6. Seja M um A-m´ odulo finitamente gerado. Ent˜ ao, M ´ e Cohen- Macaulay se satisfaz umas das seguintes condi¸c˜ oes equivalentes:

1. prof(M

) = dim(M

), para todo P ∈ Supp(M );

2. prof(M

) = dim(M

), para todo m ∈ Supp(M ) com m ideal maximal;

3. prof(m, M) = ht(m/(0 : M )), para todo m ∈ Supp(M ) com m ideal maximal;

4. prof(P, M ) = ht(P/(0 : M )), para todo P ∈ Supp(M );

5. prof(I, M ) = ht(I/(0 : M )), para todo ideal I contendo (0 : M ).

Demonstra¸ c˜ ao. A implica¸c˜ ao 1 ⇒ 2 ´ e imediata.

2 ⇒ 3 Se m ∈ Supp(M ) ent˜ ao mM 6= M . Logo, prof(m, M ) = prof(M

). Por outro lado,

dim(M

) = dim(A

/(0 : M

)) = ht(m/(0 : M ))

= ht(m/(0 : M )).

Assim, prof(m, M ) = ht(m/(0 : M )).

3 ⇒ 4 Sem perda de generalidade, podemos supor que (A, M) ´ e local e suponhamos por contradi¸c˜ ao que existe P que pode ser escolhido m´ aximo poss´ıvel tal que a igualdade n˜ ao ocorre. Por hip´ otese,

P/(0 : M ) 6= M/(0 : M ) ⇒ P 6= M.

Seja a ∈ M\P . Logo, prof((P, a), M) ≤ 1 + prof(P, M). Por outro lado, temos ht((P, a)/(0 : M )) ≥ 1 + ht(P/0 : M ). Como prof(P, M) ≤ ht(P/(0 : M )), ent˜ ao

prof((P, a), M ) ≤ 1 + prof(P, M ) ≤ 1 + ht(P/(0 : M )) ≤ ht((P, a)/(0 : M )), isto ´ e,

prof((P, a), M ) < ht((P, a)/(0 : M )), Logo, P ( (P, a) o que contradiz a maximalidade de P .

4 ⇒ 5 Segue diretamente da igualdade prof(I, M ) = inf{prof(P, M), P ∈ Ass(M/IM )}.

5 ⇒ 1 Dado P ∈ Supp(M) tem-se que

prof(P, M ) ≤ prof(M

) ≤ dim(M

) = dim(A

/(0 : M

)) = ht(P/(0 : M )).

Como prof(P, M) = ht(P/(0 : M )) a igualdade desejada ´ e imediata.

As condi¸c˜ oes 1. e 2. implicam que toda localiza¸c˜ ao de um m´ odulo Cohen-Macaulay tamb´ em ´ e Cohen-Macaulay, isto ´ e, a propriedade de um m´ odulo ser Cohen-Macaulay n˜ ao ´ e perdida ap´ os localiza¸c˜ ao.

Exemplo 1.1. Qualquer anel de dimens˜ ao 0 ´ e Cohen-Macaulay.

Exemplo 1.2. Se (A, M) ´ e um anel Noetheriano local reduzido de dimens˜ ao 1 ent˜ ao A ´ e Cohen-Macaulay. De fato, em um anel reduzido o conjunto dos divisores de zero de A ´ e a uni˜ ao finita dos primos minimais, sendo dim(A) = 1, existe um elemento x ∈ M que n˜ ao ´ e divisor de zero de A. Dessa forma, temos que {x} ´ e uma A-sequˆ encia regular, consequentemente, prof(A) = 1 e A ´ e Cohen-Macaulay.

Exemplo 1.3. Seja k um corpo. O anel A = k[x, y]/(x

, xy) n˜ ao ´ e Cohen-Macaulay.

Basta notar que sua localiza¸c˜ ao A

no ideal maximal m = (x, y) n˜ ao ´ e Cohen-Macaulay.

De fato, todo elemento z ∈ mA

= (x, y) ´ e divisor de zero j´ a que x 6= 0 mas zx = 0.

Logo, prof(A

) = 0, e isso implica que A n˜ ao ´ e Cohen-Macaulay.

O resultado seguinte nos permite analisar os primos associados de um m´ odulo Cohen-Macaulay.

Proposi¸ c˜ ao 1.7. Sejam (A, M) um anel local e M 6= 0 um A-m´ odulo finitamente gerado. Ent˜ ao, prof(M ) ≤ dim(A/P ) para todo P ∈ Ass(M ).

Demonstra¸ c˜ ao. Procederemos por indu¸c˜ ao em dim(A/P ). Se dim(A/P )=0, ent˜ ao P = M o que implica que M ∈ Ass(M ) ⇒ prof(M) = 0. Suponhamos ent˜ ao que dim(A/P ) ≥ 1. Podemos supor que prof(M) ≥ 1, do contr´ ario n˜ ao h´ a nada o que provar. Seja x / ∈ Z(M ) com x ∈ m. Em particular, x / ∈ P . Afirmamos que existe um ideal primo P

∈ Ass(M/xM) tal que (P, x) est´ a contido em P

. De fato, como P ∈ Ass(M ), existe y ∈ M \{0} tal que P = (0 : y). Como T

n≥0

x

M = 0, existe um k ≥ 0 tal que y ∈ x

M \x

M . Assim, y = x

z para algum z ∈ M \xM, resulta P z = (0). Assim, (P, x)z est´ a contido em xM o que implica que (P, x) est´ a contido em P

, para algum P

∈ Ass(M/xM ). Portanto dim(A/P

) < dim(A/P ). Logo pela hip´ otese de indu¸c˜ ao, temos

prof(M ) = prof(M/xM) + 1 ≤ dim(A/P

) + 1 ≤ dim(A/P ) − 1 + 1 = dim(A/P ).

Quando o m´ odulo M ´ e Cohen-Macaulay, a Proposi¸c˜ ao (1.7) garante que M n˜ ao tem primos imersos, isto ´ e, Ass(M ) = Min(M ). De fato, como

prof(M ) ≤ dim(A/P ) ≤ dim(M )

a proposi¸c˜ ao segue imediatamente do fato de M ser Cohen-Macaulay.

O lema seguir tem um impacto similar ao cl´ assico teorema da Base de Hilbert, no sentido de que ´ e preservada a propriedade de Cohen-Macaulicidade do anel de polinˆ omios A[x] quando A ´ e Cohen-Macaulay.

Lema 1.8. Se A ´ e um anel Cohen-Macaulay, ent˜ ao A[x] tamb´ em ´ e Cohen-Macaulay.

Demonstra¸ c˜ ao. Seja P ⊂ A[x] ´ e um ideal primo. Como A[x]

´ e uma localiza¸c˜ ao de A

[x], podemos supor que A ´ e local com ideal maximal M = P ∩ A. Assim, temos A[x]/MA[x] ' A/M[x], anel de polinˆ omios sobre um corpo. Logo, P = M[x] ou P = (M, f ) para algum polinˆ omio mˆ onico f de grau positivo. Como A ´ e Cohen- Macaulay, considere x

, . . . , x

uma A-sequˆ encia regular maximal em M, sendo n = dim(A). Como y ∈ Z (A[x]) implica y ∈ Z(A), com y ∈ A, segue que x

, . . . , x

´ e A[x]-sequˆ encia regular. Assim, x

, . . . , x

´ e uma A[x]

-sequˆ encia regular e portando prof(P A[x]

, A[x]

) ≥ n. Analisemos agora os casos P = MA[x] e P = (M, f ) separados. Se P = MA[x], basta mostrarmos que dim(A[x]

) ≤ dim(A). De fato, temos que

ht(M[x]) = htM = dim(A) ⇒ dim(A[x]

) = ht(M[x]

) = ht(M[x]) = dim(A) = n.

No segundo caso, como f ´ e mˆ onico ent˜ ao temos que f / ∈ Z(A[x]

/(x

, . . . , x

)A[x]

).

Logo, prof(P A[x]

, A[x]

) ≥ n + 1 = dim(A) + 1 = dim(A[x]) ≥ dim(A[x]

), como quer´ıamos demonstrar.

Teorema 1.9 (Macaulay). Se k ´ e um corpo, ent˜ ao k[x

, . . . , x

] ´ e Cohen-Macaulay.

A seguir apresentaremos a no¸c˜ ao de sistema de parˆ ametros de um m´ odulo. Esta no¸c˜ ao ´ e crucial para teoria, em particular, via o Teorema de Krull-Chevalley-Samuel (1.10), determinar um sistema de parˆ ametros para um m´ odulo M ´ e equivalente a determinar a dimens˜ ao de M.

Defini¸ c˜ ao 1.5. Sejam (A, M) um anel local e M um A-m´ odulo finitamente gerado.

Uma sequˆ encia x

, . . . , x

de elementos de A ´ e um sistema de parˆ ametros de M se n ´ e

o menor inteiro que satisfaz a condi¸c˜ ao:

Supp(M/(x

, . . . , x

)M ) = {M}, denotemos n por δ(M ).

A demonstra¸c˜ ao do teorema a seguir ser´ a omitida aqui, mas pode ser encontrada em (9, Teorema 13.4, p´ ag. 98).

Teorema 1.10. (Teorema da Dimens˜ ao) Sejam (A, M) um anel local e M um A-m´ odulo. Ent˜ ao,

dim(M) = δ(M ).

Como consequˆ encia do Teorema da Dimens˜ ao segue o seguinte resultado:

Proposi¸ c˜ ao 1.11. Sejam (A, M) um anel local e M um A-m´ odulo de dimens˜ ao n. Se x

, . . . , x

∈ M ´ e um sistema de parˆ ametros de M , ent˜ ao para i = 1, · · · , n, tem-se

dim(M/(x

, . . . , x

)M ) = d − i.

A proposi¸c˜ ao a seguir nos fornecer´ a uma caracteriza¸c˜ ao para m´ odulos Cohen- Macaulay envolvendo a no¸c˜ ao de sistema de parˆ ametros.

Proposi¸ c˜ ao 1.12. Seja M um m´ odulo de dimens˜ ao n sobre um anel local (A, M) e seja x = x

, . . . , x

um sistema de parˆ ametros de M . Ent˜ ao M ´ e Cohen-Macaulay se, e somente se, x ´ e uma M -sequˆ encia regular.

Demonstra¸ c˜ ao. ⇒) Suponhamos M Cohen Macaulay e seja P um primo associado de M . Ent˜ ao dim(M ) = dim(A/P ). Mostraremos que x

∈ / P . Suponhamos por contradi¸c˜ ao que x

∈ P ⇒ (x

)

∈ P

. Afirmamos que (M/x

M)

6= 0. De fato, se tiv´ essemos (M/x

M )

= 0, ter´ıamos, M

= (x

)

M

, logo, pelo lema de Nakayama, M

= 0, o que ´ e uma contradi¸c˜ ao com a escolha de P . Logo,

(M/x

M )

6= 0 ⇒ P ∈ Supp(M/x

M ),

mas como dim(M/x

M ) = n − 1 tem-se dim(A/P ) = n − 1, o que ´ e uma con-

tradi¸c˜ ao. Portanto, x

n˜ ao est´ a em P e x

´ e regular em M . Procedendo por

indu¸c˜ ao e usando o fato que M/x

M ´ e Cohen-Macaulay de dimens˜ ao n − 1 jun-

tamente com o fato de x

, . . . , x

formarem um sistema de parˆ ametro de M/x

M

em A/(x

), o resultado segue.

⇐) Suponhamos agora que x ´ e uma M -sequˆ encia regular, ent˜ ao pela Proposi¸c˜ ao (1.11) temos que dim(M/xM) = n−n = 0 e portanto, M/xM ´ e Cohen-Macaulay.

Logo, M ´ e Cohen-Macaulay. Como quer´ıamos demonstrar.

Em um anel Cohen-Macaulay, ideais que s˜ ao gerados por uma sequˆ encia regular, isto ´ e, as interse¸ c˜ oes completas, possuem propriedades interessantes. Umas das pro- priedades que mostraremos a seguir, ´ e que neste caso, todos os primos associados a tal ideal tˆ em a mesma altura.

Defini¸ c˜ ao 1.6. Seja A um anel e I um ideal de A. Se I ´ e gerado por uma sequˆ encia A-regular dizemos ent˜ ao que I ´ e uma interse¸ c˜ ao completa.

Defini¸ c˜ ao 1.7. Um ideal I de um anel A ´ e dito unmixed se ht(I) = ht(P ) para todo P ∈ Ass(A/I).

Proposi¸ c˜ ao 1.13. Seja (A, M) um anel Cohen-Macaulay e seja I um ideal de A. Se I ´ e uma interse¸c˜ ao completa ent˜ ao A/I ´ e Cohen-Macaulay e I ´ e unmixed.

Demonstra¸ c˜ ao. Seja n = dim(A) e k = ht(I). Como I ´ e uma interse¸c˜ ao completa, ent˜ ao temos que dim(A/I ) = n − k e prof(A/I) = prof(A) − k. Por A ser Cohen- Macaulay, tem-se prof(A/I ) = n − k. Logo prof(A/I) = dim(A/I) e portanto A/I ´ e Cohen-Macaulay. Como A/I ´ e Cohen-Macaulay, para cada P ∈ Ass(A/I) segue que dim(A/P ) = prof(A/I) = n − k, da´ı,

dim(A) − ht(P ) ≥ n − k, logo, ht(P ) ≤ k, e assim, ht(P ) = k, portanto I ´ e unmixed.

Em outra perspectiva, as proposi¸c˜ oes a seguir, garantir˜ ao que se I ´ e um ideal em um anel A-Cohen Macaulay, ent˜ ao I cont´ em uma sequˆ encia A-regular de tamanho ht(I).

Proposi¸ c˜ ao 1.14. Seja A um anel Cohen-Macaulay e I um ideal pr´ oprio de A de altura k. Se I ´ e gerado por k elementos, x

, . . . , x

, ent˜ ao, I ´ e unmixed.

Demonstra¸ c˜ ao. Pela Proposi¸c˜ ao (1.13), basta que mostremos que I n˜ ao tem primos

imersos, visto que pelo Teorema do Ideal Principal de Krull A.4, todo primo minimal

de I tem altura k. Sejam P e Q primos associados de A/I quaisquer e assumamos sem

perda de generalidade que P ⊂ Q. Ent˜ ao I

⊂ P

⊂ Q

. Por hip´ otese temos que I ´ e

gerado por k elementos, portanto I

tamb´ em ´ e gerado por k elementos e ht(I

) = k,

implicando que x

/1, . . . , x

/1 ´ e parte de um sistema de parˆ ametros de A

. Como A

´ e

Cohen-Macaulay, pela Proposi¸c˜ ao (1.12) ent˜ ao x

/1, . . . , x

/1 ´ e uma sequˆ encia regular,

ou seja, mostramos que I

´ e uma interse¸c˜ ao completa. Novamente pela Proposi¸c˜ ao 1.13, conclu´ımos que I

´ e unmixed. Como P

e Q

s˜ ao primos associados de A

/I

⇒ ht(Q

) = ht(P

). Pelo fato de P

⊂ Q

segue que P

= Q

, logo, Q = P . Assim, I n˜ ao tem primos imersos, como quer´ıamos demonstrar.

Proposi¸ c˜ ao 1.15. Seja I um ideal de altura k em um anel Cohen-Macaulay A, ent˜ ao existe uma sequˆ encia regular em I de tamanho k.

Demonstra¸ c˜ ao. Por indu¸c˜ ao suponhamos que x

, . . . , x

´ e uma sequˆ encia regular em I com j < k. Logo (x

, . . . , x

) ´ e unmixed pela Proposi¸c˜ ao1.14. Se I ⊂ Z(A/(x

, . . . , x

)), ent˜ ao ht(I) = j , o que ´ e uma contradi¸c˜ ao. Portanto, existe x

em I que ´ e A/(x

, . . . , x

)- regular m´ odulo (x

, . . . , x

). Como quer´ıamos demonstrar.

Finalizamos esta se¸c˜ ao introduzindo o conceito de anel caten´ ario, que como j´ a foi mencionado anteriormente ´ e uma caracter´ısta que permite um melhor controle da altura de seus ideais. Em particular em um dom´ınio caten´ ario local A, podemos garantir a igualdade

dim(A) = dim(A/P ) + ht(P ), ∀ P ∈ Spec(A).

Defini¸ c˜ ao 1.8. Seja A um anel Noetheriano. Dizemos que A ´ e um anel caten´ ario, se para cada par de ideais primos P ⊂ Q em A, ht(Q/P ) ´ e igual ao comprimento de qualquer cadeia maximal de ideais primos entre P e Q.

Se A ´ e dom´ınio, ent˜ ao A ´ e caten´ ario se, e somente se, ht(Q/P ) = ht(Q) − ht(P ).

Um fato not´ avel ´ e que os conceitos de an´ eis Cohen-Macaulay e caten´ arios est˜ ao conectados. Como afima o teorema abaixo, an´ eis Cohen-Macaulau s˜ ao caten´ arios.

Teorema 1.16. Se A ´ e um anel Cohen-Macaulay, ent˜ ao A ´ e caten´ ario.

A demonstra¸c˜ ao do teorema anterior pode ser encontrada em ( 2, Teorema 2.1.12, p´ ag. 62).

1.2 Potˆ encias Simb´ olicas de um ideal

Um conceito importante para o desenvolvimento desse trabalho, ´ e o conceito de potˆ encia simb´ olica de um ideal. No decorrer desta se¸c˜ ao, apresentaremos resultados que ser˜ ao de importante uso quando estivermos tratando de potˆ encia infinitesimal a ser definida posteriormente.

Defini¸ c˜ ao 1.9. Seja I um ideal de A. Para cada inteiro n˜ ao negativo n, a n-´ esima

potˆ encia simb´ olica de I, denotada por I

, ´ e definida como a interse¸c˜ ao de todas as

componentes P -prim´ arias de I

tais que P ∈ Min(A/I).

Ou seja,

I

= Q

∩ Q

∩ · · · ∩ Q

, onde Q

´ e componente prim´ aria de I

correspondente a P

.

A seguinte proposi¸c˜ ao nos mostra uma forma equivalente de apresentarmos a n-

´ esima potˆ encia simb´ olica de I.

Proposi¸ c˜ ao 1.17. Sejam I um ideal pr´ oprio de um anel A e S = R\ S

i=1

P

, onde P

, P

, . . . , P

s˜ ao os primos minimais de I. Ent˜ ao

I

= S

I

∩ A, para n ≥ 1.

Demonstra¸ c˜ ao. Seja I

= Q

∩ Q

∩ · · · ∩ Q

∩ Q

∩ · · · ∩ Q

∩ Q

uma decomposi¸c˜ ao prim´ aria de I

onde Q

, para 0 ≤ j ≤ r, s˜ ao as componentes prim´ arias prim´ arias de I

correspondente ` a P

e Q

, para r + 1 ≤ i ≤ s, s˜ ao as componentes prim´ arias imersas de I

. Assim,

S

I

= S

Q

∩ S

Q

∩ · · · ∩ S

Q

∩ S

Q

∩ · · · ∩ S

Q

∩ S

Q

Notemos que P

∩ S 6= ∅, para r + 1 ≤ i ≤ s, e como Q

´ e prim´ ario ent˜ ao devemos ter S

Q

= S

A. Portanto,

S

I

= S

Q

∩ S

Q

∩ · · · ∩ S

Q

. Notemos que

S

Q

∩ A = Q

, quando Q

´ e um ideal prim´ ario. Dessa forma, obtemos

S

I

∩ A = Q

∩ Q

∩ · · · ∩ Q

= I

. Como quer´ıamos demonstrar.

Supondo que I ´ e um ideal radical, podemos calcular a I

apenas em termos de P

, onde P

s˜ ao primos minimais de I, como mostra a proposi¸c˜ ao a seguir.

Proposi¸ c˜ ao 1.18. Sejam I um ideal radical de A e P

, P

, . . . , P

primos minimais de I. Ent˜ ao

I

= P

∩ P

∩ · · · ∩ P

, para n ≥ 1.

Demonstra¸ c˜ ao. Seja

I

= Q

∩ Q

∩ · · · ∩ Q

∩ Q

∩ · · · ∩ Q

uma decomposi¸c˜ ao prim´ aria de I

, onde Q

´ e P

-prim´ ario para i ≤ m e Q

´ e uma componente imersa de I

para i > m. Localizando I

em P

, obtemos:

I

= Q

i

∩ Q

i

∩ · · · ∩ Q

i

∩ Q

i

∩ · · · ∩ Q

i

= Q

i

(1.1)

Como I = P

∩ P

∩ · · · ∩ P

obtemos tamb´ em que:

I

= (I

)

= (P

)

= P

(1.2) Usando (1.1) e (1.2), tem-se que P

= Q

. Desta forma, P

= Q

.

Portanto,

I

= P

∩ P

∩ · · · ∩ P

Como quer´ıamos demonstrar.

E imediato da defini¸c˜ ´ ao de potˆ encia simb´ olica que I

⊂ I

para n ≥ 0 e que I

= I se, e somente se, I n˜ ao tem primos imersos. O exemplo a seguir exibe a inclus˜ ao pr´ opria I

( I

.

Exemplo 1.4. Seja A = k[x, y, z] e I = (xy, xz, yz). Apresentando I em sua decom- posi¸c˜ ao prim´ aria obtemos

I = (x, y) ∩ (x, z) ∩ (y, z)

Logo, Ass(A/I ) = {(x, y), (x, z), (y, z)}. Por outro lado, a decomposi¸c˜ ao prim´ aria de I

´ e dada por

I

= (x

, y

, z

) ∩ (x

, y

, xy ) ∩ (x

, z

, xz) ∩ (y

, z

, yz).

Logo, Ass(A/I

) = {(x, y), (x, z), (y, z), (x, y, z)}. Portanto, I

est´ a contido propria- mente em I

.

Uma quest˜ ao importante na teoria das potˆ encias simb´ olicas ´ e sobre investigar classes de ideias em que a igualdade I

= I

ocorre.

Defini¸ c˜ ao 1.10. Um ideal I ( A ´ e dito normalmente livre de tor¸ c˜ ao se Ass(A/I

) est´ a contido em Ass(A/I), para todo i ≥ 1.

Quando I n˜ ao tem primos imersos, a proposi¸c˜ ao a seguir nos mostra uma caracte-

riza¸c˜ ao em termos da n-´ esima potˆ encia simb´ olica de I para quando o ideal I ´ e normal-

mente livre se tor¸c˜ ao.

Proposi¸ c˜ ao 1.19. Seja I um ideal de A. Se I n˜ ao tem primos imersos, ent˜ ao I ´ e normalmente livre de tor¸c˜ ao se, e somente se, I

= I

para todo n ≥ 1.

Demonstra¸ c˜ ao. ⇒) Suponhamos que I ´ e normalmente livre de tor¸c˜ ao. Afirmamos que todo primo minimal de I ´ e um primo minimal de I

. De fato, suponhamos por contradi¸c˜ ao que existe Q primo minimal de I de modo que Q n˜ ao ´ e primo minimal de I

, isto ´ e, existe P ideal primo tal que I

⊂ P e P ( Q. Por outro lado, I ⊂ √

I

⊂ P , logo Q ´ e tal que I ⊂ P e P ( Q, isto ´ e, Q n˜ ao ´ e primo minimal de I, o que ´ e um absurdo. Logo,

Min(A/I ) ⊂ Min(A/I

).

Como I n˜ ao tem primos imersos, isto ´ e, Min(A/I) = Ass(A/I ), segue-se que todo primo associado de I ´ e primo minimal de I

. Pelo fato que I ´ e normalmente livre de tor¸c˜ ao obtemos que Ass(A/I) = Ass(A/I

) e portanto I

n˜ ao tem primos imersos. Logo conclu´ımos que I

tem uma ´ unica decomposi¸c˜ ao prim´ aria minimal e portanto I

= I

.

⇐) Sejam P

, . . . , P

os primos associados de I. Por hip´ otese, P

´ e primo minimal de I para todo i, logo temos

Ass(A/I

) = Ass(A/I

) = {P

, . . . , P

},

Logo I ´ e normalmente livre de tor¸c˜ ao, como quer´ıamos demonstrar.

Proposi¸ c˜ ao 1.20. Seja I um ideal de um anel Cohen-Macaulay A. Se I ´ e gerado por uma sequˆ encia regular, ent˜ ao I

= I

para n ≥ 1.

Demonstra¸ c˜ ao. Seja x

, . . . , x

uma sequˆ encia regular que gera I. Assim pelo Teorema do Ideal Principal A.4, temos que ht(I ) = r e portanto I ´ e unmixed pelo Teorema (1.14). Do Teorema (A.1), existe um isomorfismo de an´ eis graduados

φ : B = (A/I )[t

, . . . , t

] →

∞

M

i=0

I

/I

, t

→ x

+ I

onde B ´ e um anel de polinˆ omios com coeficientes em A/I. Notemos que I

/I

´ e um A/I-modulo livre, pois ´ e isomorfo a B

, onde B

´ e i-´ esima compontente graduada de B. Assim

Ass

(I

/I

) = Ass

(A/I).

Usando agora a sequˆ encia exata

0 → I

/I

→ A/I

→ A/I

→ 0

segue por indu¸c˜ ao que Ass

(A/I

) ⊂ Ass

(A/I) para n ≥ 1. Portanto, I ´ e normal- mente livre de tor¸c˜ ao e pela Proposi¸c˜ ao (1.19) temos que I

= I

para todo n ≥ 1.

Na se¸c˜ ao anterior, quando I ´ e uma interse¸c˜ ao completa em um anel Cohen-Macaulauy A, propriedades como unmixed e A/I Cohen-Macaulay s˜ ao adquiridas a estes ambien- tes. Investigaremos algumas propriedades quando o conceito de interse¸c˜ ao completa ´ e local, isto ´ e, quando I

´ e uma interse¸c˜ ao completa para todo ideal primo P em A que cont´ em I.

Defini¸ c˜ ao 1.11. Um ideal pr´ oprio I de A ´ e dito ser localmente uma interse¸ c˜ ao completa se I

´ e uma interse¸c˜ ao completa para todo P ∈ V (I).

Em um ambiente Cohen-Macaulay, supondo que I ´ e primo, a proposi¸c˜ ao a seguir nos fornece mais uma condi¸c˜ ao suficiente para as potˆ encias ordin´ aria e simb´ olica de I coincidirem.

Proposi¸ c˜ ao 1.21. Sejam A um anel Cohen-Macaulay e I um ideal primo. Se I ´ e localmente uma interse¸c˜ ao completa, ent˜ ao I

= I

para todo n ≥ 1.

Demonstra¸ c˜ ao. Pela Proposi¸c˜ ao (1.19), basta mostrarmos que Ass(A/I

) ⊂ Ass(A/I).

Seja ent˜ ao P um primo associado de A/I

, ent˜ ao temos que P

´ e um primo associado de A

/I

. Como I ´ e localmente uma interse¸c˜ ao completa ent˜ ao pela Proposi¸c˜ ao (1.20) temos que I

´ e normalmente livre de tor¸c˜ ao, isto ´ e, Ass(A

/I

) ⊂ Ass(A

/I

) para todo n ≥ 1. Como I ´ e primo, temos que I

´ e primo e portanto Ass(A

/I

) = {I

}.

Dessa forma, P

= I

e usando novamente o fato de I ser primo, temos que P = I.

Logo, Ass(A/I

) ⊂ Ass(A/I), como quer´ıamos demonstrar.

Crit´ erio Jacobiano e Condi¸ c˜ oes de Serre

2.1 Sobre fecho inteiro de an´ eis

Baseada em Swanson e Huneke (14) e Atiyah (1), esta se¸c˜ ao tem como objetivo apresentar alguns fatos b´ asicos sobre fecho inteiro de um anel.

O conceito de fecho inteiro ´ e a ideia b´ asica para que possamos estudar a normalidade de um anel. Dito isto, provaremos alguns resultados fundamentais que ser˜ ao de grande utilidade quando estirvemos tratando de an´ eis normais e as condi¸c˜ oes de Serre na pr´ oxima se¸c˜ ao.

Defini¸ c˜ ao 2.1. Sejam A um anel e S uma A-´ algebra contendo A. Um elemento x ∈ S

´ e dito ser inteiro sobre A se existe um inteiro n e elementos r

, . . . , r

∈ A tais que x

+ r

x

+ . . . + r

= 0.

Essa equa¸c˜ ao ´ e chamada equa¸ c˜ ao de dependˆ encia inteira (integral) de x sobre A.

Observa¸ c˜ ao: Note que a equa¸c˜ ao de dependˆ encia inteira n˜ ao necessariamente ´ e

´

unica. Por exemplo, sejam S o anel Z [t]/(t

− t

), onde t ´ e uma vari´ avel sobre Z e A o subanel de S gerado por por t

sobre Z . Ent˜ ao t ∈ S ´ e inteiro sobre A e satisfaz as duas equa¸c˜ oes quadr´ aticas x

− t

= 0 = x

− xt

.

A pr´ oxima proposi¸c˜ ao nos garante que integrabilidade ´ e uma propriedade do tipo local-global. O resultado segue imediatamente da defini¸c˜ ao acima, portanto omitiremos a demonstra¸c˜ ao.

Proposi¸ c˜ ao 2.1. Seja A ⊆ S uma extens˜ ao de an´ eis e x ∈ S. Ent˜ ao as seguintes

condi¸c˜ oes s˜ ao equivalentes:

1. x ´ e inteiro sobre A.

2. Para todo sistema multiplicativo W de A, x ´ e inteiro sobre W

A.

3. Para todo P ideal primo de A, x ´ e inteiro sobre A

. 4. Para todo ideal maximal m de A, x ´ e inteiro sobre A

.

Por defini¸c˜ ao todo elemento de A ´ e inteiro sobre A. Assim, uma quest˜ ao interessante

´ e investigar quando os elementos que s˜ ao inteiros sobre A pertencem a A.

Defini¸ c˜ ao 2.2. Seja A ⊆ S uma inclus˜ ao de an´ eis. O conjunto de todos elementos de S que s˜ ao inteiros sobre A ´ e chamado fecho inteiro de A em S. Se todo elemento de S

´ e inteiro sobre A, diremos ent˜ ao que S ´ e integralmente fechado sobre A.

Quando S ´ e o anel total de fra¸c˜ oes de um anel reduzido A, o fecho inteiro de A em S ´ e tamb´ em chamado de fecho inteiro de A. O anel reduzido A ´ e dito ser integralmente fechado se o fecho inteiro de A ´ e o pr´ oprio A.

Denotaremos o fecho inteiro de A por A.

A proposi¸c˜ ao a seguir garante em particular que Z e an´ eis de polinˆ omios sobre um corpo s˜ ao integralmente fechados.

Proposi¸ c˜ ao 2.2. Um dom´ınio de fatora¸c˜ ao ´ unica A ´ e integralmente fechado.

Demonstra¸ c˜ ao. Sejam a, b ∈ A, com a/b no fecho inteiro de A. Sem perda de genera- lidade, podemos assumir que a e b n˜ ao tem fatores em comum diferentes da unidade.

Seja x

+ r

x

+ · · · + r

= 0 uma equa¸c˜ ao de dependˆ encia inteira de a/b sobre A.

Ent˜ ao,

a

+r

ba

+ · · · +r

b

= 0 ⇒ a

= −(r

ba

+ · · · + r

b

) ∈ (b). Assim, a

∈ (b).

Mas como A ´ e dom´ınio de fatora¸c˜ ao ´ unica, b necessariamente ´ e uma unidade, o que implica que a/b ∈ A.

Em uma extens˜ ao inteira A ⊆ S todo ideal maximal em A pode ser visto como um ideal da forma A ∩ Q, sendo Q ´ e um ideal maximal em S, como mostra o lema abaixo.

Lema 2.3. Se A ⊆ S ´ e uma extens˜ ao inteira, ent˜ ao Q ∈ Spec(S) ´ e maximal em S se, e somente se, Q ∩ A ´ e maximal em A. Se A ⊆ S ´ e uma extens˜ ao inteira de dom´ınios inteiros, ent˜ ao A ´ e corpo, se e somente se S ´ e corpo.

Demonstra¸ c˜ ao. Para demonstrar esse lema, vamos mostrar primeiro a segunda parte e

a primeira segue do fato que A/(Q ∩ A) ⊆ S/Q ´ e uma extens˜ ao inteira de dom´ınios.

⇒) Suponhamos que A ´ e corpo e seja x um elemento n˜ ao nulo de S. Ent˜ ao, existem r

em A, tais que x

+ r

x

+· · · + r

x + r

= 0. Como A ´ e dom´ınio, podemos supor ent˜ ao que r

´ e n˜ ao nulo. Portanto, dividindo a equa¸c˜ ao por r

x obtemos:

r

x

+ r

r

x

+ · · · + r

r

+ x

= 0.

Implicando que

−(r

x

+ r

r

x

+ · · · + r

r

) = x

. Logo, x

∈ S e portanto S ´ e corpo.

⇐) Suponhamos agora que S ´ e corpo. Seja x ´ e um elemento n˜ ao nulo em A, ent˜ ao x

∈ S e ´ e inteiro sobre A. Portanto, existem r

∈ A, temos

x

+ r

x

+ · · · + r

= 0.

Multiplicando ambos os lados dessa equa¸c˜ ao por x

, temos que x

∈ A, e assim A ´ e corpo, como quer´ıamos demonstrar.

Lema 2.4 (Truque do determinante). Sejam A um anel, M um A-m´ odulo finitamente gerado, φ : M → M um homomorfismo de A-m´ odulos e I um ideal de A tal que φ(M ) ⊆ IM . Ent˜ ao, existem r

em I

, tais que

φ

+ r

φ

+ · · · + r

= 0.

Demonstra¸ c˜ ao. Seja {m

, . . . , m

} um conjunto de geradores de M . Ent˜ ao para cada φ(m

) ⊆ IM , devemos ter φ(m

) = P

j=i

a

m

para a

∈ I, isto ´ e,

n

X

j=1

(δ

φ − a

)m

= 0.

Onde δ

´ e o delta de Kronecker. Interpretando a igualdade acima como um produto de

matrizes e multiplicando ambos o lados da igualdade pela matriz adjunta de (δ

φ − a

)

segue que o determinante det(δ

φ − a

) anula cada m

, portanto ´ e o endomorfismo

nulo. Como det(δ

φ − a

) ´ e uma fun¸c˜ ao da forma φ

+ r

φ

+ · · · + r

= 0, com

r

∈ I

, o lema segue de imediato.

O pr´ oximo lema ´ e uma generaliza¸c˜ ao para a teria de an´ eis do fato de teoria de corpos que afirma que uma extens˜ ao alg´ ebrica finitamente gerada sobre um corpo k ´ e um espa¸co vetorial de dimens˜ ao finita sobre este corpo.

Lema 2.5. Seja A ⊆ S uma inclus˜ ao de an´ eis e sejam x

, . . . , x

∈ S. As seguintes afirma¸c˜ oes s˜ ao equivalentes:

1. Para todo 1 ≤ i ≤ r, x

´ e inteiro sobre A;

2. A[x

, . . . , x

] ´ e um A-subm´ odulo finitamente gerado de S;

3. Existe um A-m´ odulo M ⊆ S n˜ ao nulo finitamente gerado tal que x

M ⊆ M para cada 1 ≤ i ≤ n e tal que M ´ e um A[x

, . . . , x

]-m´ odulo fielmente plano.

A demonstra¸c˜ ao do lema anterior pode ser encontra em ( 14, Lema 2.1.9, p´ ag. 26).

Em geral investigar os elementos de A n˜ ao ´ e uma tarefa simples. Neste sentido, o corol´ ario a seguir nos fornece um resultado estrutural para o fecho inteiro de um anel reduzido no anel total de fra¸c˜ oes.

Corol´ ario 2.6. Sejam A um anel Noetheriano reduzido e P

, . . . , P

os primos minimais de A. O fecho inteiro de A no seu anel total de fra¸c˜ oes ´ e o produto direto A/P

× · · · × A/P

, onde A/P

´ e o fecho inteiro de A/P

no seu corpo de fra¸c˜ oes κ(P

).

Demonstra¸ c˜ ao. O anel total de fra¸c˜ oes K de A ´ e o anel obtido atrav´ es de A por inverter os elementos de A que n˜ ao est˜ ao nos primos minimais de A. Assim, K ´ e o produto direto de κ(P

). Observemos que

A ⊆ A/P

× A/P

× · · · × A/P

´ e um modulo finitamente gerado fielmente plano contido em K, que ´ e inteiro sobre A pelo Lema (2.5).

Como A/P

×A/P

×· · ·×A/P

´ e inteiro sobre (A/P

)×(A/P

)×· · ·×(A/P

) temos que A/P

× A/P

× · · · × A/P

´ e inteiro sobre A. Portanto, A/P

× A/P

× · · · × A/P

est´ a contido no fecho inteiro de A. Mas, notemos que A/P

× A/P

× · · · × A/P

´ e integralmente fechado, pois se (k

, . . . , k

) ∈ K = κ(P

) × . . . × κ(P

), ent˜ ao a equa¸c˜ ao de dependˆ encia inteira de (k

, . . . , k

) sobre (A/P

) ×(A/P

)× . . .× (A/P

) ´ e o produto de equa¸c˜ oes de dependˆ encia inteira de cada k

sobre A/P

. Assim, para todo i = 1, . . . , r k

∈ A/P

. Logo, A/P

× A/P

× · · · × A/P

´ e integralmente fechado e disso conclu´ımos que A/P

× A/P

× · · · × A/P

´ e o fecho inteiro de A.

A seguir definiremos a no¸c˜ ao de normalidade de um anel reduzido. Um impor-

tante objetivo ´ e apresentar caracteriza¸c˜ oes desta defini¸c˜ ao via as condi¸c˜ oes de Serre.

Geometricamente, o conceito de normalidade se traduz em termos de regularidade, pre- cisamente: variedades normais s˜ ao regulares em codimens˜ ao 1. Em particular, curvas normais s˜ ao n˜ ao singulares.

Defini¸ c˜ ao 2.3. Um anel A Noetheriano ´ e dito ser normal se ele ´ e reduzido e ´ e inte- gralmente fechado no seu anel total de fra¸c˜ oes.

2.2 Crit´ erio Jacobiano

Nesta se¸c˜ ao, baseado em Vilarreal (15), Swanson e Huneke (14) e Bruns (2), intro- duziremos o crit´ erio Jacobiano e exploraremos algumas das suas consequˆ encias. Como o crit´ erio Jacobiano se resume a determinar a regularidade de um anel, iremos primeiro trabalhar esse conceito de anel regular.

Defini¸ c˜ ao 2.4. Seja (A, M) um anel local Noetheriano. Diremos que A ´ e um anel regular se M ´ e gerado por um sistema de parˆ ametros; e assim tal sistema de parˆ ametros ser´ a denominado por sistema de parˆ ametros regular.

Equivalentemente, a regularidade caracteriza-se por dizer que o anel local A ´ e re- gular se, e somente se, µ(M) = dim(A). Quando A n˜ ao ´ e local, diremos que A ´ e anel regular se A

for anel regular, para todo ideal primo P em A.

Exemplo 2.1. Segue diretamente da defini¸c˜ ao de anel regular, que um anel A de dimens˜ ao zero ´ e regular, se e somente se, A ´ e um corpo.

Um fato importante que podemos observar ´ e que an´ eis regulares s˜ ao dom´ınios:

Proposi¸ c˜ ao 2.7. Se (A, M) ´ e um anel local regular, ent˜ ao A ´ e um dom´ınio.

Demonstra¸ c˜ ao. Fa¸camos a demonstra¸c˜ ao por indu¸c˜ ao sobre n = dim(A) = µ(M).

Se dim(A) = 0, ent˜ ao A ´ e um corpo e portanto dom´ınio. Suponhamos ent˜ ao que dim(A) > 0 e seja x ∈ M \ M

. Como dim(A/(x)) < dim(A), pela hip´ otese de indu¸c˜ ao temos que A/(x) ´ e dom´ınio e, portanto, (x) ´ e um ideal primo. Notemos que (x) ∈ Min(A) a menos que A seja dom´ınio. Com efeito, seja ent˜ ao P ( (x) um ideal primo de A. Dado p ∈ P , segue que p = xp

, para algum p

∈ A. Como x / ∈ P e P

´ e primo, temos que p

∈ P . Assim p

= xp

, para algum p

∈ A e consequentemente p

∈ P donde p = x

p

. Proseguindo com esse racioc´ınio, obtemos que

P ⊆ T

n≥0

(x)

= 0.

Logo, P = 0 e assim mostramos que todo x ∈ M \ M

gera um primo minimal de A.

Isto ´ e,

M ⊆ M

∪ P

∪ P

∪ · · · ∪ P

,

onde P

s˜ ao os primos minimais de A para i ∈ {1, . . . , r}. Pelo lema da esquiva, segue- se que M ⊆ P

, para algum i, logo dim(A) = 0; o que ´ e uma contradi¸c˜ ao. Assim, (x) ∈ / Min(A) e, portanto, A ´ e um dom´ınio. Como quer´ıamos demonstrar.

A condi¸c˜ ao de regularidade ´ e uma hip´ otese forte, adiante destacaremos mais algu- mas propriedades sobre an´ eis regulares, dentre as quais a Cohen-Macaulicidade.

Corol´ ario 2.8. Se (A, M) ´ e um anel local regular, ent˜ ao A ´ e Cohen-Macaulay.

Demonstra¸ c˜ ao. Seja x

, x

, . . . , x

um sistema minimal de geradores de M. Mostrare- mos que x

, . . . , x

´ e uma A-sequˆ encia. Ora, como x

, . . . , x

´ e um sistema minimal de geradores de M, pela regularidade de A, tem-se que tal sistema ´ e um sistema de parˆ ametros regular e assim A/(x

, . . . , x

) ´ e tamb´ em regular para cada i. Portanto, A/(x

, . . . , x

) ´ e um dom´ınio pela Proposi¸c˜ ao (2.7), assim, segue que x

´ e regular em A/(x

, . . . , x

). Portanto, A ´ e um anel Cohen-Macaulay.

Proposi¸ c˜ ao 2.9. Sejam (A, M) um anel local regular e I 6= A um ideal de A. Se A/I

´ e um anel local regular, ent˜ ao I ´ e uma interse¸c˜ ao completa.

Demonstra¸ c˜ ao. Seja {x

, . . . , x

} um conjunto de geradores de M = M/I, sendo x

= x

+ I e k = dim(A/I). Notemos que a imagem de x

, . . . , x

em M/M

´ e uma base para M/M

como um espa¸co vetorial sobre A/M. Portanto,

x

+ M

, . . . , x

+ M

s˜ ao linearmente independente em M/M

. Denotemos por n = dim(A) e M

= (x

, . . . , x

). Como A ´ e um anel regular ent˜ ao n = dim

(M/M

), portanto pela igualdade M = M

+ I tem-se que M = M

+ J, com J = (x

, . . . , x

) ideal con- tido em I. Pelo Corol´ ario 2.8, A ´ e anel Cohen-Macaulay e portanto, x

, . . . , x

´ e uma sequˆ encia regular. Para finalizarmos a prova, mostraremos que I = J . De fato, no- temos que A/J ´ e um anel local de dimens˜ ao k e consequentemente, regular. Assim, pela Proposi¸c˜ ao 2.7, temos que R/J ´ e um dom´ınio. Como dim(A/I) = k, temos que o homomorfismo canˆ onico

φ : R/J → R/I

´ e um isomorfismo, logo, I = J. Como quer´ıamos demonstrar.

A no¸c˜ ao de regularidade de um anel local pode ser interpretada geometricamente

como pontos n˜ ao singulares, em um ambiente particular, tem-se precisamente: dado

f ∈ k[x

, . . . , x

] um polinˆ omio irredut´ıvel sobre um corpo algebricamente fechado

k. Um ponto P da hipersuperf´ıcie X = V (f ) ´ e dito n˜ ao singular se existe i tal

que

i

(P ) 6= 0. Assim, sendo A = k[x

, . . . , x

]/(f ) e m o ideal maximal de A correspondente ao ponto P , ent˜ ao, P ´ e n˜ ao singular se, e somente, se A

´ e um anel local regular.

Nesse contexto, essencialmente, o crit´ erio jacobiano nos forner´ a condi¸c˜ oes para garantirmos regularidade via informa¸c˜ oes da matriz jacobiana do ideal que define o anel quociente em quest˜ ao.

Defini¸ c˜ ao 2.5. Sejam A = k[x

, . . . , x

] um anel de polinˆ omios sobre um corpo k e I = (f

, . . . , f

) um ideal. A matriz Jacobiana de I ´ e a matriz

J = (∂f

/∂x

).

Se ht(I) = g, o ideal Jacobiano J = J

de I ´ e o ideal gerado pelos menores g × g da matriz Jacobiana J = (∂f

/∂x

)

Exemplo 2.2. Sejam k um corpo, A = k[x, y] e I = (xy, y − x

). A matriz Jacobiana de I ´ e dada por

J =

"

y x

−2x 1

#

Como ht(I) = 2, ent˜ ao o ideal Jacobiano de I ´ e o ideal gerado pelos menores 2 × 2 da matriz J , isto ´ e, J = (y + 2x

).

Teorema 2.10. (Crit´ erio Jacobiano) Sejam k um corpo e A uma k-algebra fini- tamente gerada equidimensional, isto ´ e, o anel quociente de A por qualquer primo minimal de A tem mesma dimens˜ ao. Sejam J o ideal Jacobiano J

e P um ideal primo de A. Se J n˜ ao est´ a contido em P , ent˜ ao A

´ e um anel regular.

Reciprocamente, se A

´ e um anel regular e κ(P ) ´ e separ´ avel sobre k, ent˜ ao J n˜ ao est´ a contido em P .

Demonstra¸ c˜ ao. Sejam S = k[x

, . . . , x

] e (f

, . . . , f

) um ideal de S tal que A = S/(f

, . . . , f

). Como A ´ e equidimensional e S = k[x

, . . . , x

], todos os primos mini- mais sobre (f

, . . . , f

) tem a mesma altura. Denotaremos por h a altura desses primos minimais. Seja agora Q a pr´ e-imagem de P em S.

Suponhamos que J n˜ ao est´ a contido. Ent˜ ao, a menos de reindexa¸c˜ ao podemos supor que os menores da submatriz da matriz Jacobiana consistindo das primeiras h colunas por h linhas n˜ ao est˜ ao contidos em Q.

Afirmamos que f

, . . . , f

s˜ ao elementos de Q cujas imagens s˜ ao linearmente in-

dependente no espa¸co vetorial QS/Q

S

. De fato, sejam r

, . . . , r

∈ S tais que

P

i=1

r

f

= 0. Da´ı, P

i=1

r

f

∈ Q

S

. Logo, existe s ∈ S\Q satisfazendo s

h

X

i=1

r

f

∈ Q

.

Derivando essa ´ ultima express˜ ao em rela¸c˜ ao ` a x

, obtemos

h

X

i=1

sr

∂f

∂x

+

h

X

i=1

∂(sr

)

∂x

f

∈ Q, (2.1)

para todo j = 1, . . . , n. Portanto, em A

, temos que P

i=1

r

j

∈ P, ∀ j = 1, . . . , n.

De maneira mais expl´ıcita, obtemos r

1

+ · · · + r

1

∈ P r

2

+ · · · + r

2

∈ P .. .

r

n

+ · · · + r

n

∈ P

Desta forma, passando ao ambiente A

/P

, obtemos uma rela¸c˜ ao de dependˆ encia linear sobre as colunas h × h da submatriz. Pela hip´ otese sobre P , temos que essa rela¸c˜ ao s´ o pode ser a trivial e portanto r

∈ P para todo j = 1, . . . , h e isso prova a afirma¸c˜ ao.

Como S

´ e um anel local regular, pela afirma¸c˜ ao acima, temos que f

, . . . , f

´ e parte de um sistema de parˆ ametros regular em S

. Segue que (f

, . . . , f

)S

´ e um ideal primo tal que ht((f

, . . . , f

)S

) = h. Como A ´ e equidimensional, segue que

ht((f

, . . . , f

)S

) = ht((f

, . . . , f

)S

) ⇒ (f

, . . . , f

)S

= (f

, . . . , f

)S

. Logo, A

= (S/(f

, . . . , f

))

´ e um anel regular.

Reciprocamente, suponhamos que κ(P ) ´ e separ´ avel sobre k e A

´ e regular. Pelo Crit´ erio de MacLane (A.2), podemos escolher x

∈ κ(P ) tais que k ⊆ k(x

, . . . , x

)

´ e uma extens˜ ao transcedente e k(x

, . . . , x

) ⊆ κ(P ) ´ e extens˜ ao alg´ ebrica separ´ avel.

Pelo teorema do Elemento Primitivo (A.3), existe p(Y ) ∈ k[x

, . . . , x

][Y ], elemento separ´ avel em Y satisfazendo

κ(P ) = k(x

, . . . , x

)[Y ]/(p(Y )).

Desta forma, J

´ e o ideal gerado por

1

, . . . ,

t

,

. Como

´ e n˜ ao nulo, podemos

garantir que J

´ e n˜ ao nulo.