Lista 0 de MAT 3110
BMAC - IME - 1o. sem. 2018 - Turma 54 Profa. Maria Izabel Ramalho Martins
• ALGUNS C ´ALCULOS ALG´EBRICOS
1. Sejam x, y, z e w n´umeros reais. Verifique que a) x2 −y2 = (x−y) (x+y) ;
a∗) z−w = (√
z −√
w) (√
z +√
w), se z ≥ 0 e w ≥ 0; (use a) ) b) x3 −y3 = (x−y) x2 +x y +y2
; b∗) z−w = (√3
z−√3 w)
√3
z2 + √3 z √3
w + √3 w2
(use b).
c) x5 −y5 = (x−y)) x4 +x3y+ x2y2 + x3y +y4 . d) (∗ ) x5 +y5 = (x+y) x4 −x3y+ x2y2 −x y3 +y4
. c∗) z−w = (√5
z −√5 w)
√5
z4 +√5
z3w+√5
z2w2 +√5
zw3 +√5 w4
; d∗) Qual a express˜ao de z +w an´aloga `a de c∗)?
e) √3
x+ 1 − √3 x
p3
(x+ 1)2 + √3
x+ 1 √3
x + √3 x2
= 1.
(*) O ´ıtem d) pode ser reescrito por x5 +y5 = (x+y)
5
P
j=1
(−1)j−1x5−jyj−1
!
f ) x+y = √5
x+ √5 y
√5
x4 −p5
x3y +p5
x2y2 −p5
x y3 + p5 y4
.
A. Qual a “generaliza¸c˜ao” do ´ıtem ou b) ou c)? Isto ´e, para n ∈ N, n ≥ 2, e x, y n´umeros reais, qual a express˜ao fatorada de xn −yn?
B. Qual a “generaliza¸c˜ao” do ´ıtem d)? Ou seja, para n ∈ N´ımpar e n ≥3, qual a express˜ao fatorada de xn+yn?
1
2. Usando o ex.1, determine a express˜ao a ser colocada em (· · ·) para que a igualdade seja verdadeira.
a. x3+ 27 = (x+ 3)(· · · ·); b. x+ 2 = √3
x+√3 2
(· · · ·);
c. x2+x = √
2x2 + 1−√
x2 −x+ 1
(· · · ·); d. x−27 = (√3
x − 3) (· · · ·);
e. x2+x = √
2x2 + 1−√
x2 −x+ 1
(· · · ·); f. x4 = √4
x4 + 1−1
(· · · ·);
g. x−4 = (√
x−2) (· · ·), x≥ 0; h. x−4 = √4
x−√ 2
(· · · ·), x ≥ 0;
h. x2 = √
x3 + 2x2 −√
x3 + x2
(· · · ·), com x ≥ −1.
3. Simplifique as express˜√ oes abaixo. Lembrar que, para todo z ∈ IR vale que z2 = |z|.
a.
√x4 +x2
x (x 6= 0); b.
√x2 −4x+ 4
x−2 (x 6= 2);
c.
√x3 +x2 −5x+ 3
x2 −1 , para x > −1, x 6= 1.
2
