*(x′′(y′)2 −x′y′y′′,(x′)2y′′−x′x′′y′) ((x′)2+ (y y′, x′) p(x′)2+ (y′)2 + 1 p(x′)2+ (y′)2 = −x′′(y′)3+x′(y′)2y

1.

a. e1 deve ser tangente `a curva e unit´ario, ent˜ao e1 = √ ^(x′,y′)

(x^′)²+(y^′)² (derivadas em rela¸c˜ao at). e₂ deve ser ortogonal ae₁ e unit´ario, e {e₁, e₂}deve ser uma base positiva, ent˜ao e2 = √^{(−y′,x′)}

(x^′)²+(y^′)².

b. O comprimento de arco ´e s = R

||γ^′||dt, ent˜ao, pelo teorema fundamental do c´alculo,

ds

dt =||γ^′||>0 e _ds^dt = 1/||γ^′||.

c. A curvatura de uma curva plana tem sinal e ´e dada por κ = hde₁

ds, e₂i= hde₁

dt , e₂idt ds. Temos

de1

dt =

p(x^′)²+ (y^′)²(x^′′, y^′′)− √^{x′x′′+y′y′′}

(x^′)²+(y^′)²(x^′, y^′) (x^′)²+ (y^′)²

= ((x^′)²+ (y^′)²)(x^′′, y^′′)−(x^′x^′′+y^′y^′′)(x^′, y^′) ((x^′)²+ (y^′)²)^3/2

= (x^′′(y^′)²−x^′y^′y^′′,(x^′)²y^′′−x^′x^′′y^′) ((x^′)²+ (y^′)²)^3/2

e

κ(t) =

*(x^′′(y^′)² −x^′y^′y^′′,(x^′)²y^′′−x^′x^′′y^′)

((x^′)²+ (y^′)²)^3/2 , (−y^′, x^′) p(x^′)²+ (y^′)²

+ 1 p(x^′)²+ (y^′)²

= −x^′′(y^′)³+x^′(y^′)²y^′′+ (x^′)³y^′′−(x^′)²x^′′y^′ ((x^′)²+ (y^′)²)^5/2

= ((x^′)²+ (y^′)²)(x^′y^′′−x^′′y^′) ((x^′)²+ (y^′)²)^5/2

= x^′y^′′−x^′′y ((x^′)²+ (y^′)²)^3/2. 2.

a.

||γ˜^′|| = ||A(γ^′)|| (˜γ^′ =Aγ^′)

= ||γ^′|| (A ´e ortogonal)

= 1. (γ est´a p.c.a.) Logo ˜γ est´a p.c.a.

b. ˜e1 = ˜γ^′ =A(γ^′) =A(e1).

˜

κ=||˜e^′₁||=||A(e1)^′||=||A(e^′₁)||=||e^′₁||=κ.

˜

e2 = ¹_˜κ˜e^′₁ = _κ¹A(e^′₁) =A _κ¹e^′₁

=A(e2).

c. {e1, e2, e3} ´e uma base ortonormal positiva. Como A ´e ortogonal, {Ae1 = ˜e1, Ae2 =

˜

e₂, Ae₃} ´e uma base ortonormal; esta ´e positiva (resp. negativa) se e somente se A preserva (resp. inverte) orienta¸c˜ao se e somente se detA = 1 (resp. detA = −1).

Como {˜e1,˜e2,e˜3} ´e uma base ortonormal positiva, temos Ae3 = ˜e3 se detA = 1 e Ae3 =−e˜3 se detA=−1. Al´em disso

˜

τ =he˜^′₂,e˜3i=hA(e2)^′,±A(e3)i=±hA(e^′₂), A(e3)i=±he^′₂, e3i =±τ se detA =±1.

1

3.K =−4a² e H = 0.

4.

a.

Nu(u, v) = (∇F ◦ϕ)u||∇F ◦ϕ|| −(∇F ◦ϕ)^h(∇F_{||∇F◦ϕ||}^{◦ϕ)u,∇F◦ϕi}

||∇F ◦ϕ||²

= (∇F ◦ϕ)u

||∇F ◦ϕ|| −

(∇F ◦ϕ)u

||∇F ◦ϕ||, ∇F ◦ϕ

||∇F ◦ϕ||

∇F ◦ϕ

||∇F ◦ϕ||

| {z }

componente normal

= 1

||∇F ◦ϕ||Pϕ(u,v)[(∇F ◦ϕ)u].

Analogamente para N_v. b.

ℓ = hN, ϕ_uui

= −hN_u, ϕ_ui

= − 1

||∇F ◦ϕ||hPϕ(u,v)[(∇F ◦ϕ)u], ϕui

= − 1

||∇F ◦ϕ||h(∇F ◦ϕ)u, ϕui (j´a que ϕu ´e tangente a S).

Analogamente para m, n.

c. Temos ∇F :W ⊂R³ →R³ eϕ :U ⊂R² →W ⊂R³. Pela regra da cadeia, (∇F ◦ϕ)u =d(∇F)◦ϕu = Hessϕ(u,v)(F)(ϕu).

Analogamente para (∇F ◦ϕ)_v. Escrevendo a matriz de II na base{ϕ_u, ϕ_v}:

II =

ℓ m m n

= − 1

||∇F ◦ϕ||

hHessϕ(u,v)(F)(ϕu), ϕui hHessϕ(u,v)(F)(ϕu), ϕvi hHess_ϕ(u,v)(F)(ϕv), ϕui hHess_ϕ(u,v)(F)(ϕv), ϕvi

, e a ´ultima matriz ´e a matriz da forma bilinear sim´etrica Hessϕ(u,v)(F) nessa mesma base. Agora ´e s´o notar que todop∈S ´e da formaϕ(u, v) para alguma parametriza¸c˜ao deS para concluir a identidade paraIIp. Finalmente, sendo w1, w2 ∈TpS,

hApw1, w2i = IIp(w1, w2)

= − 1

||∇F(p)||hHessp(F)(w1), w2i

= − 1

||∇F(p)||hPp ◦Hessp(F)(w1), w2i (j´a que w2 ´e tangente).

Como esta equa¸c˜ao vale para todos w1, w2 ∈TpS, conclu´ımos a identidade paraAp.

2