Matemática. (Módulo IV) Geometria. Prof. Carlos Roberto Lacerda

Cesec – Centro Estadual de Educação Continuada Rua Padre Pedro Pinto 775, Venda Nova

Belo Horizonte / M.G.

Matemática

(Módulo IV)

Geometria

Prof. Carlos Roberto Lacerda

Conceitos geométricos primitivos

Você iniciará este estudo trabalhando com o ponto, a reta e o plano. Foi a partir desses três elementos que foi construída toda a Geometria. Por esta razão, o ponto, a reta e o plano são chamados entes geométricos primitivos. Vamos conhecê-los melhor.

Você terá idéia de ponto quando, por exemplo, observa o furo de um alfinete ou a pequena marca deixada pela ponta de um lápis numa folha de papel. Essa idéia que você formou a respeito de um ponto é, na verdade, apenas uma imagem, porque o ponto não tem dimensão.

LEMBRE-SE QUE:

Vamos conhecer agora a idéia de reta. Você tem idéia de reta esticando um fio e supondo esse fio prolongado indefinidamente para a esquerda e a direita, assim:

... ...

A reta é assim indicada:

A flecha nos dois sentidos significa que a reta não tem início nem fim. Dizemos que ela é ilimitada.

Portanto se conclui com facilidade que a reta nada mais é que um conjunto infinito de pontos.

s

O ponto pode ser representado com letras maiúsculas do nosso alfabeto: A, B, C, D, ... ou com noções gráficas, assim:

.

1 – o ponto pode apenas ser imaginado, ele não tem tamanho, tem somente posição;

2 – o ponto não é divisível em partes;

3 – o conjunto formado por todos os pontos possíveis é denominado espaço;

A reta é um conjunto infinito de pontos. A representação de uma reta é feita com letras minúsculas.

O chão, a parede de uma sala, o tampo de uma mesa nos dão a idéia de um plano.

É IMPORTANTE VOCÊ SABER QUE:

As figuras abaixo nos dão a idéia de um plano. Estes são representados por letras gregas tais como , , , etc.



( plano alfa )

 ( plano beta )

Vamos agora trabalhar com o plano. Você já imaginou quantos pontos existem num plano ? Ou quantas retas existem num plano ?

Você deve ter concluído que num plano existem infinitas retas e como uma reta contém infinitos pontos, conclui-se que num plano existem infinitos pontos.

Então, você já pode saber:

E saiba ainda que por uma reta passam infinitos planos.

Vamos dar mais um passo neste estudo, vendo agora o que são pontos colineares.

Observe as figuras:

. . .

. . .

A B C R S T 1 – o plano é infinito;

2 – o plano não tem espessura;

Veja agora algumas propriedades muito importantes:

 Dois pontos distintos determinam uma e uma única reta;

 Por um ponto passam infinitas retas;

Um plano possui infinitos pontos e infinitas retas.

Os pontos A, B e C estão sobre a mesma reta r. Então estes pontos são colineares.

Os pontos R, S e T também estão sobre a mesma reta s. Então estes pontos também são colineares. Portanto, concluímos que:

Já os pontos D, E e F abaixo, não são colineares.

D

. .

.

Então saiba que :

Continuando este estudo, vamos agora conhecer outros três elementos da geometria: a semi-reta, o semi-plano e o segmento de reta. Veja primeiro o que é uma semi-reta. Para isso observe a figura que mostra uma reta r e um ponto A pertencente à reta r. . r

A

O ponto A divide a reta r em duas partes. Cada uma destas partes é uma semi-reta.

Logo, temos que :

Já em um plano  onde se considera uma reta r, esta reta r determina dois semi- planos distintos e o segmento de reta é uma parte da reta limitada por dois pontos quaisquer.

Pontos colineares são pontos que pertencem à mesma reta.

Três pontos não colineares determinam um plano.

Semi-reta é cada uma das partes de uma reta, dividida por um ponto.

É importante você saber que:

1 – O ponto A é a origem da semi-reta;

2 – A reta r chama-se reta suporte;

3 – A semi-reta é infinita. Ela tem origem, mas não tem extremidade.

Ângulos

Observe a figura abaixo:

.

.

As semi-retas OA e OB têm, portanto, a mesma origem (o ponto O) e não coincidem. A figura formada pela reunião dessas semi-retas de mesma origem é um ângulo.

O ponto O é a origem do ângulo. As semi-retas OA e OB são os lados do ângulo.

Observe os ângulos da figura abaixo:

B A

O

C D

Repare que na figura acima existem 4 ângulos: AÔB, BÔC, CÔD e DÔA.

O vértice O é comum a todos os 4 ângulos. As semi-retas OA e OC são opostas, assim como as retas OB e OD também são opostas. Por isso, os ângulos acima são opostos pelo vértice (o.p.v.). Então:

OA é a semi-reta de origem O, que passa pelo ponto A;

OB é a semi-reta de origem O, que passa pelo ponto B;

Ângulo é a figura geométrica formada pela reunião de duas semi-retas de mesma origem.

Dois ângulos são opostos pelo vértice (o.p.v.) quando têm o mesmo vértice e os lados de um são as semi-retas opostas dos lados do outro.

Ângulos opostos pelo vértice são congruentes (têm a mesma medida).

Agora veremos o conceito de ângulos RASO, RETO, AGUDO e OBTUSO.

Examine a figura abaixo:

B O A

Trata-se de um ângulo muito especial: O ÂNGULO RASO. As semi-retas OA e OB são opostas. Elas determinam o ângulo AÔB que é um ângulo raso ou de meia volta.

Então:

Agora veja o ângulo da figura abaixo que poderia ser entendido como o ângulo formado por uma parede com o piso por exemplo.

B

O A Este é um ângulo RETO. Logo,

Toda vez que você encontrar um ângulo com o símbolo acima, saiba que ele é reto e que mede 90^º.

Ângulo raso é o ângulo formado por duas semi-retas opostas. Um ângulo raso mede 180^º.

Ângulo reto é o ângulo de 90

. Todo ângulo reto mede 90

.

Você vai representar um ângulo reto pelo símbolo abaixo:

.

Para se conhecer os ângulos agudo e obtuso, deve-se tomar como referência o ângulo reto. Os ângulos com medidas menores que 90^o são conhecidos como ângulos agudos e os ângulos com medidas maiores que 90^o são conhecidos como ângulos obtusos.

Exemplo de ângulos agudos:

Exemplo de ângulos obtusos:

Agora vamos conhecer os ângulos COMPLEMENTARES E

SUPLEMENTARES:

Dados AÔB = 30^o e BÔC = 60^o , a soma desses dois ângulos é exatamente igual a 90^o . Neste caso, dizemos que estes dois ângulos são complementares. Podemos dizer que o ângulo AÔB é o complemento de BÔC ou que o ângulo BÔC é o complemento de AÔB.

Agora sejam dados os ângulos AÔB = 50^o e BÔC = 130^o . Ao somarmos esses dois ângulos encontramos 180^o . Logo, dizemos que esses ângulos são suplementares e que o ângulo AÔB é o suplemento de BÔC ou que o ângulo BÔC é o suplemento de AÔB.

Exemplos:

1) Calcule o complemento de um ângulo de 20^o .

Resolução: Basta lembrar que o complemento de um ângulo é o que falta neste ângulo para completar 90^o . Assim, chamando de x o complemento, teremos:

x + 20^o = 90^o x = 90^o – 20^o

Ângulo agudo é todo aquele menor que 90^o e ângulo obtuso é todo aquele maior que 90^º.

x = 70^o

2) Qual é o ângulo cujo complemento é 53^o ? Resolução: Agora x é o ângulo pedido. Logo,

x + 53^o = 90^o x = 90^o – 53^o

3) Calcule o suplemento de um ângulo de 120^º.

Resolução: Basta lembrar que o suplemento de um ângulo é o que falta neste ângulo para completar 180^o . Assim, chamando de x o suplemento, teremos:

x + 120^o = 180^o x = 180^o – 120^o

4) Qual é o ângulo cujo suplemento é 105^o ?

Resolução: Novamente, x é o ângulo pedido. Logo, x + 105^o = 180^o

x = 180^o – 105^o

Bissetriz de um ângulo

Observe a figura abaixo:

A A semi-reta OP dividiu o ângulo AÔB em

dois ângulos congruentes (iguais).

O P B

Temos que AÔP = BÔP = 20^o .  OP se chama bissetriz de AÔB.

x = 37^o

x = 60^o

x = 75^o

Bissetriz de um ângulo é a semi-reta que tem como origem o vértice do ângulo, passa pelo seu interior e o divide em dois ângulos congruentes (iguais).

Estudo da reta

Duas retas contidas num mesmo plano são chamadas retas coplanares. Observe as retas coplanares abaixo:

r r A

s r  s

s

Você notou que são 3 as posições relativas entre duas retas num plano ?

1- As retas r e s têm um ponto comum, que é o ponto A. Neste caso, elas são concorrentes. Logo, as retas r e s tem em comum o ponto A

2- As retas r e s não têm ponto em comum. Elas são paralelas.

3- As retas r e s se superpõem ou coincidem. Neste caso dizemos que elas são coincidentes e representamos assim: r  s (lê-se: r coincidente com s).

Agora, vejamos um caso particular de retas concorrentes. Veja a figura abaixo:

2 1  Neste caso, todos os 4 ângulos são iguais a 90^º.

3 4

Como os ângulos acima são todos retos, dizemos que as retas r e s são perpendiculares. Logo, temos que:

Para indicar que as retas r e s são perpendiculares, usa-se a seguinte notação:

( lê-se : “ reta r perpendicular à reta s ” . )

Duas retas são perpendiculares quando se interceptam formando ângulos retos.

r s

Obs.: quando duas retas concorrentes não são perpendiculares, ou seja, não fazem entre si um ângulo de 90^o , dizemos que elas são transversais ou oblíquas.

Exercícios:

1) Assinale com V (verdadeira ) ou F ( falsa ) cada sentença abaixo:

( ) o ângulo raso é formado por duas semi-retas opostas.

( ) um ângulo raso mede 360^º. ( ) um ângulo reto mede 90^º.

( ) a medida de um ângulo agudo é menor que um ângulos reto.

( ) dois ângulos são suplementares quando sua soma é 180^º. ( ) ângulo obtuso é aquele que tem a medida maior que 90^º.

( ) dois ângulos são complementares quando sua soma é igual a 90^º. ( ) a bissetriz de um ângulo determina dois ângulos congruentes.

2) Classifique os ângulos abaixo usando as palavras: agudo, reto ou obtuso.

a) A b) A

O B

O B

c)

3) Dois ângulos são complementares. Se um deles mede 20^o quanto medirá o outro?

4) O suplemento de um ângulo é 120^º. Qual é este ângulo ?

5) Dois ângulos são suplementares. Se um deles mede 105^o , quanto medirá o outro?

6) O complemento de um ângulo é 47^o . Quanto medirá este ângulo ?

Triângulos

Neste texto, você conhecerá uma figura geométrica de grande importância: o triângulo. O próprio nome já nos dá a idéia de uma figura com três ângulos.

Como ponto de partida para definir o triângulo, considere os três pontos não colineares abaixo:

A

.

.

.

Por estes três pontos podemos passar três retas AB, BC e AC.

A B

C

Então, podemos escrever que:

Elementos de um triângulo

 Os segmentos AB, AC e BC são os lados do triângulo ;

 Os pontos A, B e C são os vértices do triângulo ;

 Cada vértice contém um ângulo interno. Assim no triângulo ABC da figura acima, os ângulos internos são â , b e c .

Pontos não colineares são pontos que não estão sobre a mesma reta.

Na figura ao lado formaram-se os ângulos ABC, BÂC e ACB.

Dados três pontos A, B e C não colineares, chama-se triângulo ABC à figura obtida pela interseção das retas AB, AC e BC.

Um triângulo possui três lados, três vértices e três ângulos internos. É exatamente por possuir três ângulos que essa figura é chamada de triângulo.

Classificação dos triângulos

Os triângulos podem ser classificados quanto à medida de seus lados e à medida de seus ângulos. Quanto à medida de seus lados o triângulo pode ser equilátero, isósceles ou escaleno. Quanto à medida de seus ângulos o triângulo pode ser retângulo, acutângulo ou obtusângulo.

Triângulo equilátero

Para indicar que os lados de um triângulo têm a mesma medida, isto é, são congruentes, é só colocar o mesmo sinal sobre eles. É comum colocar um risco pequeno.

Veja na figura abaixo:

A

B C

Triângulo isósceles

Num triângulo isósceles, o lado desigual chama-se base; o ângulo oposto à base é o ângulo do vértice e os dois ângulos próximos à base são os ângulos da base.

Veja na figura abaixo:

A

B C

Um triângulo é equilátero quando seus lados são congruentes, isto é, têm a mesma medida. Um triângulo equilátero é também equiângulo, isto é, seus ângulos são congruentes (iguais).

AB = AC = BC

Um triângulo é isósceles quando tem dois lados congruentes, isto é, dois lados que têm a mesma medida. Um triângulo isósceles tem os dois ângulos da base congruentes (iguais).

AB = AC  BC

Triângulo escaleno

Um triângulo escaleno pode ser facilmente identificado através das medidas de seus lados. Se cada um dos lados tiver uma medida diferente você pode deduzir que o triângulo é escaleno.

Veja na figura abaixo:

A

B C

Triângulo retângulo

(esta parte é uma das mais importantes da apostila)

Você identificará um triângulo retângulo facilmente através da medida de seus ângulos internos. Basta verificar que um deles mede 90^º.

Veja na figura abaixo:

B

Um triângulo é escaleno quando os seus lados não são congruentes.

AB  AC  BC

Um triângulo é retângulo quando um de seus ângulos é reto, ou seja, é um ângulo que mede 90^º.

Temos BAC = 90^o Lembre-se que você vai representar

um ângulo reto pelo símbolo abaixo:

.

É importante sabermos mais sobre este triângulo retângulo. Você deve saber que:

 o lado oposto ao ângulo reto chama-se HIPOTENUSA ;

 os lados que formam o ângulo reto são chamados CATETOS ;

 em todo triângulo retângulo vale o TEOREMA DE PITÁGORAS.

Observe atentamente estas informações na figura abaixo:

B

hipotenusa cateto

A C cateto

Vamos representar o lado oposto ao vértice A (hipotenusa) por a . Vamos representar o lado oposto ao vértice B por b e vamos representar o lado oposto ao vértice C por c . Então na figura anterior teremos:

B

Pelo Teorema de Pitágoras:

a c

A C b

Exemplos:

1) No triângulo retângulo abaixo, calcule a medida da hipotenusa.

B Pelo Teorema de Pitágoras:

a a² = 3² + 4² 4 a² = 9 + 16

a² = 25 A C a =  25 3

a

= b

+ c

O Teorema de Pitágoras diz que: “o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos”.

a = 5

2) No triângulo retângulo abaixo, calcule a medida da hipotenusa.

B Pelo Teorema de Pitágoras:

a a² = 9² + 12² 12 a² = 81 + 144

a² = 225 A C a =  225 9

3) No triângulo retângulo abaixo, calcule a medida do cateto b.

B Pelo Teorema de Pitágoras:

10 10² = b² + 8²

8 100 = b² + 64

b² = 100 – 64 A C b =  36 b

4) No triângulo retângulo abaixo, calcule a medida do cateto c.

B Pelo Teorema de Pitágoras:

25 25² = 15² + c² c 625 = 225 + c²

c² = 625 – 225 A C c =  400 15

5) No triângulo retângulo abaixo, calcule a medida da hipotenusa.

B Pelo Teorema de Pitágoras:

a a² = 5² + 7² 7 a² = 25 + 49

a² = 74 A C a =  74 5

a = 15

b = 6

c = 20

6) No triângulo retângulo abaixo, calcule a medida do cateto c.

B Pelo Teorema de Pitágoras:

12 12² = 8² + c² c 144 = 64 + c²

c² = 144 – 64 A C c =  80 8

Triângulo acutângulo

Veja na figura abaixo:

A

 ABC é acutângulo.

B C

Triângulo obtusângulo

Veja na figura abaixo:

A

 ABC é obtusângulo.

B C

Um triângulo é acutângulo quando cada um de seus ângulos é agudo, isto é, cada um de seus ângulos é menor que 90^º.

Um triângulo é obtusângulo quando um de seus ângulos é obtuso, isto é, tem a medida maior que 90^º.

c =  80

Polígonos

Considere os pontos da figura abaixo:

A . . B

. C E .

. D

Repare que:

 os pontos acima são coplanares, isto é, pertencem a um mesmo plano;

 não existem 3 pontos seguidos que estejam em linha reta, ou seja, não existem 3 pontos colineares;

Agora vamos traçar retas por cada par de pontos e obteremos a figura abaixo:

A B

C

E

D

Você deve saber ainda que alguns polígonos recebem nomes especiais de acordo com o seu número de lados. São eles:

 triângulo ( polígono de 3 lados )

 quadrilátero ( polígono de 4 lados )

 pentágono ( polígono de 5 lados )

 hexágono ( polígono de 6 lados )

 heptágono ( polígono de 7 lados )

 octógono ( polígono de 8 lados )

A região marcada internamente entre as retas é um polígono.

Você poderá formar polígonos a partir de 3 pontos.

Não há limite máximo de pontos para formar um polígono.

Os pontos de encontro das retas são conhecidos como vértices dos polígonos. Lembra dos triângulos?

 eneágono ( polígono de 9 lados )

 decágono ( polígono de 10 lados )

 undecágono ( polígono de 11 lados )

 dodecágono ( polígono de 12 lados )

 pentadecágono ( polígono de 15 lados )

 icoságono ( polígono de 20 lados )

Vejamos agora o que é DIAGONAL de um polígono.

Considere novamente a figura:

A B

E C

D

Os segmentos AC, AD, BD, BE e CE são chamados de diagonais do polígono.

Logo temos que:

Para calcularmos o número de diagonais de um polígono qualquer usamos a expressão abaixo:

onde n representa o número de lados do polígono

Vejamos os exemplos abaixo:

1) Calcule o número de diagonais de um polígono de 8 lados.

Resolução: temos neste caso que n = 8. Logo:

D = 8 . ( 8 – 3 ) = ^{8 . 5} = ²⁰ 2 2

Diagonal de um polígono é o segmento cujos extremos são dois vértices não consecutivos de um polígono.

D

n . ( n – 3 )

2

2) Calcule o número de diagonais de um heptágono.

Resolução: temos neste caso que n = 7 (heptágono). Logo:

D = 7 . ( 7 – 3 ) = ^{7 . 4} = ¹⁴ 2 2

Também podemos calcular nestes polígonos a soma de seus ângulos internos que chamamos por Si (soma dos ângulos internos). Este valor será calculado pela expressão abaixo:

onde n é o número de lados do polígono

Vejamos alguns exemplos:

1) Determine a soma dos ângulos internos de um polígono de 9 lados.

Resolução: temos neste caso que n = 9. Logo:

Si = ( 9 – 2 ) . 180^o Si = 7 . 180^o

2) Determine a soma dos ângulos internos de um pentágono.

Resolução: temos neste caso que n = 5 (pentágono). Logo:

Si = ( 5 – 2 ) . 180^o Si = 3 . 180^o

3) Determine a soma dos ângulos internos de um icoságono.

Resolução: temos neste caso que n = 20. Logo:

Si = ( 20 – 2 ) . 180^o Si = 18 . 180^o

Si

( n – 2 ) . 180

Si = 1260^o

Si = 540^o

Si = 3240^o

Exercícios:

1) Complete as sentenças abaixo:

a) Um polígono regular possui todos os _____________ e todos os _________

congruentes.

b) O triângulo equilátero possui 3 _______ e 3 ___________ congruentes.

c) O heptágono possui ________ lados.

d) O polígono que possui 9 lados congruentes é o _____________ regular.

2) Qual o número de diagonais de um polígono de 18 lados ?

3) Calcule o número de diagonais do undecágono.

4) Qual é a soma dos ângulos internos de um polígono de 16 lados ?

5) Qual é a soma dos ângulos internos do hexágono ?

6) Qual é a soma dos ângulos internos do dodecágono ?

Quadriláteros

Chamamos de quadriláteros aos polígonos convexos de 4 lados. Os paralelogramos são assim classificados: paralelogramos, trapézios e trapezóides. Vamos nos preocupar neste capítulo com os paralelogramos. Para isso, observe os quadriláteros abaixo:

A B M N

D C Q P Repare que :

 no quadrilátero ABCD, os lados AB e CD são paralelos, assim como os lados AD e BC, isto é:

AB // CD AD // BC

 no quadrilátero MNPQ, os lados MN e PQ são paralelos, assim como os lados MQ e NP, isto é:

MN // PQ MQ // NP Então podemos definir:

Os paralelogramos classificam-se em: retângulo, quadrado, losango ou rombóide (ou paralelogramo propriamente dito). Já conhecemos o rombóide (figura anterior) e agora vamos conhecer melhor os demais.

Retângulo

// significa paralelo

Paralelogramo é o quadrilátero cujos lados opostos são paralelos.

Chama-se retângulo ao paralelogramo que tem os quatro ângulos retos, ou seja, os quatro ângulos medindo 90^º.

Veja pela figura abaixo:

A B

A = B = C = D = 90^o

C D

Quadrado

Veja pela figura abaixo:

A B

A = B = C = D = 90^o

AB = BD = CD = AC ( lados iguais )

C D

Losango

Veja pela figura abaixo:

A

B C AB = AC = BD = CD ( lados iguais )

D

Chama-se quadrado ao paralelogramo que tem os quatro ângulos retos e os quatro lados congruentes (iguais).

Chama-se losango ao paralelogramo que tem os quatro lados congruentes (iguais), mas não tem os ângulos iguais.

Exercícios:

1) Complete as seguintes sentenças:

a) Os lados opostos de um paralelogramo são ______________.

b) O retângulo possui os 4 ângulos ____________.

c) O quadrado possui os 4 lados e os 4 ângulos ______________.

d) Em um paralelogramo os ângulos __________ são iguais.

e) A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é __________.

2) Calcule o valor de x nos quadriláteros abaixo:

a) x b)

120^o 105^o x 70^o 110^o 50^o

c) d)

110^o 100^o x 80^o

x

e)

115^o

x 80^o

É importante você ainda saber que : a soma dos ângulos internos de um paralelogramo é sempre igual a 360^º.