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f : D R m 2 = f(x 2) f(x 0 ) x 2 x 0

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Academic year: 2022

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(1)

DERIVADA

4.1 Introdução

Neste capítulo estabeleceremos a noção de derivada de uma função. A derivada envolve a variação ou a mudança no comportamento de vários fenômenos. Inicialmente apresentaremos a definição de reta tangente ao gráfico de uma função. Posteriormente, definiremos funções deriváveis e derivada de uma função num ponto, dando ênfase ao seu significado geométrico.

4.2 Reta Tangente

Seja:

f :D−→R

uma função definida num domínioD que pode ser um intervalo aberto ou uma reunião de intervalos abertos, ou ainda,Dtal que para todo intervalo abertoIque contenhax0, se tenha:

I∩(D− {x0})6=∅.

ConsidereP = (x0, f(x0))eQi = (xi, f(xi))(i = 1,2,3...) pontos no gráfico def,P 6= Qi; sejar1a reta secante que passa porPeQ1; seu coeficiente angular é:

m1= f(x1)−f(x0) x1−x0

.

Fixemos o pontoP e movamos Q1 sobre o gráfico def em direção aP, até um pontoQ2 = (x2, f(x2))tal queQ2 6=P; sejar2a reta secante que passa porP eQ2; seu coeficiente angular é:

m2= f(x2)−f(x0) x2−x0

.

Suponha que os pontosQi (i = 1,2,3...) vão se aproximando sucessivamente do pontoP (mas sem atingirP), ao longo do gráfico def; repetindo o processo obtemosr1, r2, r3, ..., retas secantes de coeficientes angularesm1, m2, m3, ..., respectivamente. É possível provar, rigoro- samente, que quando os pontosQivão se aproximando cada vez mais deP, osmirespectivos, variam cada vez menos, tendendo a um valor limite constante, que denotaremos pormx0.

161

(2)

162 CAPÍTULO 4. DERIVADA

P

x x x x x

Q

Q

Q Q

r r

r r f(x) n

1 2 3

n 3 2 1

0

n

3

2

1

Figura 4.1:

Definição 4.1. A reta passando pelo pontoP e tendo coeficiente angularmx0, é chamada reta tangente ao gráfico def no ponto(x0, f(x0)).

Se

mx0 = lim

xx0

f(x)−f(x0) x−x0

existe, fazendo a mudançat=x−x0, temos:

mx0 = lim

t0

f(x0+t)−f(x0)

t .

Comox0 é um ponto arbitrário, podemos calcular o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico def para qualquer ponto(x, f(x)):

mx = lim

t→0

f(x+t)−f(x) t

Assim,mxsó dependex.

Definição 4.2. Sef for contínua em x0, então, a equação da reta tangente ao gráfico def no ponto (x0, f(x0))é:

y−f(x0) =mx0(x−x0) se o limite existe,

Exemplo 4.1.

[1] Determine a equação da reta tangente ao gráfico def(x) = 4−x2, no ponto(1,3).

Denotemos porm1o coeficiente angular da reta tangente à parábolay= 4−x2passando pelo ponto(1, f(1)) = (1,3). SejaP = (1,3) e Q = (x0,4−x20) pontos da parábola; o coeficiente angular da reta secante à parábola passando porP eQé:

mP Q= f(x0)−f(1)

x0−1 =−(x0+ 1).

(3)

Q

1 P

x0

Figura 4.2:

Do desenho, é intuitivo que seQaproxima-se deP (x0aproxima-se de1), os coeficientes angu- lares de ambas as retas ficarão iguais; logo:

m1 = lim

x01mP Q=−2.

A equação da reta tangente ao gráfico def, no ponto(1,3)éy−3 =−2 (x−1)ou, equivalen- temente,y+ 2x= 5.

-1 1 2

1 2 3 4

Figura 4.3: Reta tangente ay= 4−x2, no ponto(1,3).

[2] Determine a equação da reta tangente ao gráfico def(x) = 1

x, no ponto(12,2).

Sejam1

2 o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da funçãoy= 1

x passando pelo ponto (1

2,2). SejaP = (1

2,2) eQ = x0, 1 x0

pontos da curva; o coeficiente angular da reta secante à curva passando porP eQé:

mP Q=

f(x0)−f 1 2

x0−1 2

=− 2 x0

.

(4)

164 CAPÍTULO 4. DERIVADA

1/2 0

P

Q

x

Figura 4.4:

Novamente do desenho, é intuitivo que seQaproxima-se deP x0aproxima-se de 1 2

os coe- ficientes angulares de ambas as retas ficarão iguais; logo:

m1

2 = lim

x012

mP Q=−4.

A equação da reta tangente ao gráfico def, no ponto(12,2)éy−2 =−4 (x−12)ou, equivalen- temente,y+ 4x= 4.

0.5 4

Figura 4.5: Reta tangente ay= 1x, no ponto(12,2).

[3] Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x3 −x+ 1, no ponto(1,1).

Utilizemos agora diretamente a definição:

tlim0

f(1 +t)−f(1)

t = lim

t0

t(t2+ 3t+ 2)

t = lim

t0(t2+ 3t+ 2) = 2.

Logom1 = 2. A equação da reta tangente ao gráfico def, no ponto(1,1)éy−2x=−1.

(5)

-2 -1 1 2

-1 1 2 3

Figura 4.6: Exemplo [3].

Da definição segue que a equação da reta normal ao gráfico def no ponto(x0, f(x0))é:

y−f(x0) =− 1

mx0 x−x0

, se mx0 6= 0

4.3 Funções Deriváveis

Definição 4.3. Sejaf :D−→Ruma função definida num domínioDque pode ser um intervalo aberto ou uma reunião de intervalos abertos ou ainda,Dtal que para todo intervalo abertoI que contenhax0, se tenha:I∩(D− {x0})6=∅. féderivável ou diferenciávelno pontox0quando existe o seguinte limite:

f(x0) = lim

x→x0

f(x)−f(x0) x−x0

Fazendo a mudançat=x−x0, temos:

f(x0) = lim

t0

f(x0+t)−f(x0)

t .

f(x0) é chamada a derivada de f no ponto x0. Como x0 é um ponto arbitrário, podemos calcular a derivada def para qualquer pontox∈Dom(f);

f(x) = lim

t→0

f(x+t)−f(x) t

Assimfé função dexef(x0)∈R.

Definição 4.4. Uma funçãof é derivável (ou diferenciável) emA ⊂R, se é derivável ou diferenciável em cada pontox∈A.

Outras notações para a derivada dey=y(x)são:

dy

dx ou Dxf.

(6)

166 CAPÍTULO 4. DERIVADA Exemplo 4.2.

[1] Calculef(1

4)ef(2), sef(x) =x2. f(x) = lim

t0

f(x+t)−f(x)

t = lim

t0

(x+t)2−x2

t = lim

t0(2x+t) = 2x.

Logo,f(1 4) = 1

2 ef(2) = 4.

[2] Calculef(1

2)sef(x) =√ 1−x2. f(x) = lim

t→0

p1−(x+t)2−√ 1−x2

t = lim

t→0− 2x+t

p1−(x+t)2+√

1−x2 =− x

√1−x2.

Logo,f(1 2) =−

√3 3 .

[3] Calculef(1)sef(x) = 4−x2. f(x) = lim

t→0

f(x+t)−f(x)

t = lim

t→0−t(t+ 2x) t = lim

t→0−(t+ 2x) =−2x.

Logo,f(1) =−2.

[4] Calculef(1

2)sef(x) = 1 x.

f(x) = lim

t→0

f(x+t)−f(x)

t = lim

t→0

1 x+t− 1

x t = lim

t→0

−1

x2+x t =− 1 x2. Logo,f(1

2) =−4.

Interpretação Geométrica

A funçãoF : (D− {x0})−→R, definida por

F(x) = f(x)−f(x0) x−x0

,

representa, geometricamente, o coeficiente angular da reta secante ao gráfico de f passando pelos pontos(x0, f(x0))e(x, f(x)). Logo, quandof é derivável no pontox0, a reta de coefici- ente angularf(x0)e passando pelo ponto(x0, f(x0))é a reta tangente ao gráfico defno ponto (x0, f(x0)). Sef admite derivada no pontox0, então, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto(x0, f(x0))é:

y−f(x0) =f(x0) (x−x0) A equação da reta normal ao gráfico def no ponto(x0, f(x0))é:

y−f(x0) =− 1

f(x0)(x−x0), se f(x0)6= 0

(7)

Figura 4.7: As retas tangente e normal ao gráfico dey=f(x).

Exemplo 4.3.

[1] Determine as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico def(x) = x2 + 1, no ponto de abscissax0 = 1.

Sex0 = 1entãof(x0) = 2; logo, a reta tangente passa pelo ponto(1,2)e seu coeficiente angular éf(1). Temos:

f(x) = lim

t→0

f(x+t)−f(x)

t = lim

t→0

(x+t)2+ 1−(x2+ 1)

t = 2x.

f(1) = 2e as respectivas equações são:y−2x= 0e2y+x−5 = 0.

-1 1

1 2 3

Figura 4.8: As retas tangente e normal ao gráfico dey=f(x).

[2] Determine a equação da reta tangente ao gráfico def(x) =√xque seja paralela à reta 2x−y−1 = 0.

Para determinar a equação de uma reta, necessitamos de um ponto (x0, y0) e do coeficiente angularf(x0). Neste problema, temos que determinar um ponto.

Sejamrta reta tangente,ra reta dada,mtemos correspondentes coeficientes angulares; como rt er são paralelas, entãomt = m; mas m = 2 emt = f(x0), ondex0 é a abscissa do ponto procurado; como:

f(x0) = 1 2√x0, resolvendo a equaçãof(x0) = 2, obtemosx0 = 1

16 ef( 1 16) = 1

4; a equação é16x−8y+ 1 = 0.

(8)

168 CAPÍTULO 4. DERIVADA

0.5 1.0 1.5 2.0

0.5 1.0 1.5

Figura 4.9: Reta tangente ao gráfico def(x) =√

xparalela à reta2x−y−1 = 0.

[3] Determine as equações das retas tangentes ao gráfico def(x) = x3

3 −1que sejam perpen- diculares à retay+x= 0.

Sejamrta reta tangente,ra reta dada,mtemos correspondentes coeficientes angulares; como rtersão perpendiculares, entãomtm=−1; masm=−1emt=f(x0), ondex0é a abscissa do ponto procurado; resolvendo a equaçãof(x0) = 1, temosf(x0) =x20 ex0 =±1; as equações são:3y−3x+ 5 = 0e3y−3x+ 1 = 0.

-2 -1 1 2

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

Figura 4.10:

Teorema 4.1. Sef é derivável emx0então f é contínua emx0. Para a prova veja o apêndice.

Exemplo 4.4.

Sejaf(x) = |x|. f é contínua em todoR; em particular emx0 = 0. Mas a derivada def em0 não existe; de fato:

f(0) = lim

x0

f(x)−f(0)

x = lim

x0

|x| x . Calculemos os limites laterais:









 lim

x0+

|x|

x = lim

x→0

x x

= 1

lim

x0

|x|

x = lim

x→0− x x

=−1.

(9)

Logo,f(0)não existe. Parax∈R− {0},f(x)existe e:

f(x) =

( 1 se x >0

−1 se x <0.

Do teorema segue que não existe a derivada def no pontox0sef é descontínua no pontox0. Também não existe a derivada def no pontox0nos eguintes casos:

i) Se existe "quina"no gráfico da função contínua no ponto de abscissax0, como no pontox0 = 0 do exemplo anterior.

ii) Sef é contínua emx0e se possui reta tangente vertical passando pelo ponto de abscissax0. Neste caso, lim

xx0|f(x)|=∞.

Figura 4.11: Funções não deriváveis.

Exemplo 4.5.

[1] Sejaf(x) =

x2sen(1

x) se x6= 0

0 se x= 0.

f(0) = lim

x0

f(x)−f(0) x−0 = lim

x0(x sen(1 x)) = 0;

logo, a derivada em0existe; então,f é contínua em0.

[2]f(x) =√3xé contínua em todoRe não é diferenciável emx= 0. De fato:

f(0) = lim

x0

f(x)−f(0) x−0 = lim

x0

1

3

x2 = +∞.

-2 -1 1 2

-1 1

Figura 4.12: Gráfico do exemplo [2].

(10)

170 CAPÍTULO 4. DERIVADA [3] Determine as constantesaebtais que:

f(x) =

(a x3 se x≤2 x2+b se x >2 seja derivável.

Devemos calcular:

f(2) = lim

x0

f(x+ 2)−f(2)

x .

Devemos determinar os limites laterais:









xlim0

f(x+ 2)−f(2)

x = lim

x0

12a x+ 6a x2+a x3

x = lim

x0 12a+ 6a x+a x2

= 12a

lim

x0+

f(x+ 2)−f(2)

x = lim

x0

4x+x2 x = lim

x0 4 +x

= 4.

Logo, devemos ter12a= 4, entãoa= 1

3. Por outro lado,f deve ser contínua emx0= 2; isto é:

xlim2

f(x) = lim

x2+

f(x)⇐⇒8a= 4 +b⇐⇒b=−4 3. A função deve ser definida por:

f(x) =



 x3

3 se x≥2

x2−4

3 se x >2 Note quef(2) = 8

3.

-1 1 2 3 4

1 2 3 4 5 6

Figura 4.13: Gráfico do exemplo [3].

4.4 Regras de Derivação

[1] Seu(x) =c, entãou(x) = 0.

[2] Seu(x) =m x+b;m, b∈Rem6= 0, entãou(x) =m.

De fato, a função é contínua e seu gráfico coincide com sua reta tangente em qualquer ponto;

logo, tem o mesmo coeficiente angular. Equivalentemente,

Referências

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