Introdução à geometria simplética

(1)

Introdu¸

c˜

ao a Geometria Simpl´

etica

Henrique Bursztyn e Leonardo Macarini

(2)

PREF ´ACIO

Geometria simplética é a geometria das variedades munidas de uma 2-forma fechada e não-degenerada. Embora tenha ra´ızes hist´ ori-cas na formula¸cão geométrica da mecânica clássica, a geometria sim-plética é hoje uma área de interesse independente, sendo alvo de intensa pesquisa, e com diversas aplica¸cões.

Um dos grandes propulsores do desenvolvimento recente da ge-ometria simplética foi o surgimento, nas últimas duas décadas, de novas técnicas e resultados constituindo o que hoje se chama topologia simplética. Tendo os trabalhos seminais de M. Gromov e Y. Eliash-berg nos anos 80 como ponto de partida, tais resultados elucidaram propriedades fundamentais das variedades simpléticas, como a pro-funda rigidez das transforma¸cões simpléticas e a existência de impor-tantes invariantes globais, dando à área uma nova perspectiva.

Paralelamente, outra importante fonte de est´ımulo para o cresci-mento da geometria simplética é seu papel interdisciplinar na matem´ a-tica, interagindo com topologia (especialmente em dimensões 3 e 4), teoria de representa¸cões e grupos de Lie, geometria algébrica, dinâmica conservativa, análise microlocal, além de campos da f´ısica matemática tais como teoria de calibre e espa¸cos de moduli, sistemas integráveis e grupos quânticos, modelos sigma e teoria de cordas, entre outros.

Estas notas apresentam uma breve introdu¸cão à geometria simplé-tica com foco em dois aspectos principais: por um lado, a ausência de invariantes locais em variedades simpléticas, tendo como base o método de Moser; por outro lado, a constru¸cão de invariantes globais usando técnicas de topologia simplética.

Devido às limita¸cões de espa¸co e tempo, alguns tópicos comu-mente presentes em textos introdutórios à geometria simplética não estão aqui inclu´ıdos. Este é o caso, por exemplo, da importante teoria de a¸cões hamiltonianas e aplica¸cões momento, que pode ser encon-trada em textos como [1, 8, 19].

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Cap´ıtulo 1 apresenta uma breve exposi¸cão da origem da geometria simplética em mecânica hamiltoniana. No Cap´ıtulo 2, tratamos dos aspectos básicos da álgebra linear simplética. O Cap´ıtulo 3 inclui a defini¸cão de variedades simpléticas, assim como as principais classes de exemplos: fibrados cotangentes, órbitas coadjuntas e variedades Kähler. No Cap´ıtulo 4, discutimos o método de Moser, que oferece uma técnica fundamental na demonstra¸cão de vários resultados de rigidez local em geometria simplética, incluindo o teorema cássico de Darboux e suas generaliza¸cões devidas a A. Weinstein. No Cap´ıtulo 5, tratamos de hipersuperf´ıcies de contato, que são usadas no Cap´ıtulo 6 para o estudo de sistemas hamitonianos e dinâmica em n´ıveis de energia. O Cap´ıtulo 7 discute o problema da existência de invariantes globais, com foco na no¸cão de capacidade simplética. Ainda neste cap´ıtulo, apresentamos uma introdu¸cão ao teorema “nonsqueezing” de Gromov, incluindo um esbo¸co de sua (dif´ıcil) demonstra¸cão.

Ao longo do texto, assumimos que o leitor tenha familiaridade com aspectos básicos da teoria de variedades diferenciáveis, incluindo formas diferenciais. O material padrão pode ser encontrado, por ex-emplo, em [2, 39]. Vários livros de introdu¸cão a geometria simplética nos serviram de referência, entre os quais [7, 8, 21, 29, 41].

Agradecemos a Walcy Santos e Manfredo do Carmo pelo convite para apresentar o minicurso “Introdu¸cão a Geometria Simplética” na XIV Escola de Geometria Diferencial, que nos deu est´ımulo para a elabora¸cão destas notas. Agradecemos também a Cristian Ortiz por comentários e corre¸cões, e Rogério Dias Trindade pela ajuda nas figuras.

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Conte´

udo

1 Origem da geometria simpl´etica 6

1.1 As equa¸c˜oes de Hamilton via a equa¸c˜ao de Newton . . 6

1.2 Abordagem variacional . . . 7

1.3 Geometriza¸c˜ao das equa¸c˜oes de Hamilton . . . 10

2 Algebra linear simpl´´ etica 12 2.1 Espa¸cos vetoriais simpl´eticos . . . 12

2.2 Subespa¸cos . . . 14

2.3 Bases simpl´eticas e forma normal . . . 15

2.4 Estruturas complexas compat´ıveis . . . 16

3 Variedades simpl´eticas 20 3.1 Defini¸c˜ao . . . 20

3.2 Fibrados cotangentes . . . 22

3.3 Outros exemplos importantes . . . 25

3.3.1 Variedades K¨ahler . . . 25

3.3.2 Orbitas coadjuntas . . . .´ 33

3.4 Obstru¸c˜oes . . . 39

3.5 Subvariedades . . . 41

4 O m´etodo de Moser e formas normais 44 4.1 O “truque” de Moser . . . 45

4.2 O teorema de Darboux . . . 47

4.3 Teoremas de Weinstein para vizinhan¸cas de subvar-iedades . . . 49

(5)

5 Hipersuperf´ıcies de contato 53 5.1 Defini¸c˜oes e exemplos . . . 53 5.2 Forma normal de vizinhan¸cas de hipersuperf´ıcies de

contato . . . 57

6 Sistemas hamiltonianos 59

6.1 Defini¸c˜oes e exemplos . . . 59 6.2 Dinˆamica em n´ıveis de energia . . . 61

7 Invariantes globais 72

7.1 Capacidades simpléticas e rigidez de simplectomorfismos 72 7.2 Esbo¸co da prova do teorema nonsqueezing . . . 76 7.3 Rigidez de simplectomorfismos . . . 80 7.4 A capacidade de Hofer-Zehnder . . . 83 7.5 Capacidade de Hofer-Zehnder e órbitas periódicas . . . 89

(6)

Cap´ıtulo 1

Origem da geometria

simpl´

etica

1.1 As equa¸

c˜

oes de Hamilton via a equa¸

c˜

ao

de Newton

A geometria simplética se originou no estudo dos sistemas hamilto-nianos, que descrevem a evolu¸cão de sistemas mecânicos de natureza conservativa. As equa¸cões que descrevem tais sistemas são chamadas equa¸cões de Hamilton e podem ser derivadas diretamente da segunda lei de Newton.

Vamos considerar como ilustra¸c˜ao o exemplo do movimento de uma part´ıcula de massa m > 0 em R3 _{submetida a um campo de}

for¸cas conservativo F , dado em cada ponto q = (q1, q2, q3)∈ R3 por

F (q) =−∇V (q),

onde V : R3 _{→ R ´e a energia potencial. Cada estado inicial,}

deter-minado por uma posi¸cão e velocidade, determina completamente a trajetória q(t) da part´ıcula através da segunda lei de Newton:

m¨q(t) =−∇V (q(t)). (1.1.1) Seja p = m ˙q o momento linear da part´ıcula. Podemos rescrever o sistema de 3 equa¸c˜oes de segunda ordem (1.1.1) como 6 equa¸c˜oes de

(7)

primeira ordem nas vari´aveis qi e pi:

˙q = p

m, ˙p =−∇V. O espa¸co R3₌_{{q = (q}

1, q2, q3)} de poss´ıveis posi¸c˜oes da part´ıcula ´e

chamado de espa¸co de configura¸cões, enquanto o espa¸co R6 = R3× R3₌_{{(q, p)}, consistindo de posi¸cões e momentos, é chamado espa¸co} de fase. Se denotarmos a energia total da part´ıcula por H,

H(q, p) = P3

i=1p2i

2m + V (q), podemos escrever (1.1.1) no espa¸co de fase como

˙qi= ∂H ∂pi , ˙pi=− ∂H ∂qi . (1.1.2)

As equa¸cões (1.1.2) são as equa¸cões de Hamilton descrevendo o sis-tema nesse exemplo.

1.2 Abordagem variacional

Outra maneira de se obter as equa¸cões de Hamilton é via as equa¸cões de Euler-Lagrange, derivadas de princ´ıpios variacionais. Essa abor-dagem, além de exibir a natureza variacional de sistemas naturais, é bastante útil quando consideramos sistemas com v´ınculos. Existem inúmeras referências sobre o assunto, entre as quais, [1, 5].

Um princ´ıpio fundamental que rege a mecânica clássica é o prin-c´ıpio da a¸cão m´ınima. Mais precisamente, considere um sistema cujo espa¸co de configura¸cões é o Rn_{, com coordenadas q = (q}

1, . . . , qn),

de modo que o espa¸co de estados (i.e., posi¸c˜oes e velocidades) seja R2n_{, com coordenadas (q, v). Seja L : R}2n _{→ R uma fun¸c˜ao suave,}

chamada fun¸c˜ao lagrangiana. Dada uma curva diferenci´avel γ : [0, T ]→ Rn_{, definimos sua a¸c˜}_{ao por}

AL(γ) =

Z T 0

L(γ(t), ˙γ(t)) dt.

Fixe agora dois pontos q0e q1em Rn e denote por C([0, T ], q0, q1)

o conjunto de curvas suaves γ : [0, T ] → Rn _{tais que γ(0) = q} 0 e

(8)

γ(T ) = q1. Buscamos neste conjunto pontos cr´ıticos para o funcional

de a¸c˜ao AL, ou seja, curvas γ para as quais

dAL(Γs) ds s=0 = 0,

onde Γs ∈ C([0, T ], q0, q1), s ∈ (−, ), ´e uma varia¸c˜ao suave

ar-bitr´aria de curvas tal que Γ0= γ.

Proposi¸c˜ao 1.2.1. Uma curva γ ´e um ponto cr´ıtico de AL se e

somente se satisfaz a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange d dt ∂L ∂v(γ(t), ˙γ(t)) = ∂L ∂q(γ(t), ˙γ(t)).

Demonstração: Sejam ci : [0, T ]→ R, i = 1, ..., n, fun¸cões suaves

tais que ci(0) = ci(T ) = 0 para todo i. Defina a varia¸c˜ao

Γ(t) = (γ1(t) + c1(t), ..., γn(t) + cn(t)),

onde γ(t) = (γ1(t), ..., γn(t)). E claro que Γ´ ∈ C([0, T ], q0, q1).

Temos que dAL(Γ) d =0 = Z T 0 X i ∂L ∂qi (γ0, ˙γ0)ci(t) + ∂L ∂vi (γ0, ˙γ0) ˙ci(t) dt = Z T 0 X i ∂L ∂qi (γ0, ˙γ0)ci(t)− d dt ∂L ∂vi (γ0, ˙γ0)ci(t) +∂L ∂vi (γ0, ˙γ0)ci(t) T 0 dt = Z T 0 X i ∂L ∂qi (γ0, ˙γ0)− d dt ∂L ∂vi (γ0, ˙γ0) ci(t) dt,

onde a segunda igualdade segue por integra¸cão por partes. Como isto é válido para todo ci tal que ci(0) = ci(T ) = 0, conclu´ımos a

demonstra¸c˜ao.

Diferentes fun¸cões lagrangianas correspondem a diferentes sis-temas f´ısicos, e a evolu¸cão de cada sistema é descrita pelas solu¸cões das equa¸cões de Euler-Lagrange associadas.

(9)

Veremos agora como uma mudan¸ca de variáveis pode transformar as equa¸cões de Euler-Lagrange nas equa¸cões de Hamilton. Considere a aplica¸cão FL : R2n → R2n_{, dada por} FL_(q₁_{, ..., q}_n_{, v}₁_{, ..., v}_n_{) = (q}₁_{, ..., q}_n_, ∂L ∂v1 (q, v), ..., ∂L ∂vn (q, v)), (1.2.1) chamada transformada de Legendre associada a L. Supondo que FL seja um difeomorfismo, obtemos novas coordenadas (q, p) em R2n_,

onde p = ∂L_∂v ´e chamado de momento generalizado. Definimos a hamiltoniana associada a L como

H(q, p) =

n

X

i=1

pivi− L(q, v).

Temos ent˜ao que ∂H ∂qi = n X j=1 pj∂vj ∂qi − ∂L ∂qi − n X j=1 ∂L ∂vj ∂vj ∂qi =− ∂L ∂qi ∂H ∂pi = vi+ n X j=1 pj ∂vj ∂pi − ∂L ∂vj ∂vj ∂pi = vi.

Consequentemente, as equa¸cões de Euler-Lagrange são equivalente às equa¸cões de Hamilton

dqi dt = ∂H ∂pi , dpi dt =− ∂H ∂qi .

Exerc´ıcio: Considere em R3_{× R}3_{a lagrangiana L(q, v) =}m 2

P3

i=1vi2−

V (q). Verifique que, neste caso, a transformada de Legendre ´e um difeo-morfismo e a hamiltoniana associada ´e H(q, p) =P3

i=12m1 p2i+ V (q), ou

seja, a mesma da se¸c˜ao anterior.

Observa¸cão: Uma pergunta natural é quando pontos cr´ıtico de AL são, de fato, pontos de m´ınimo do funcional de a¸cão. Isso não

´e verdade em geral (pense, por exemplo, nas geod´esicas da esfera S2_{), mas pode-se mostrar que, se o determinante da matriz Hessiana}

(10)

∂2

L ∂vi∂vj

for positivo, então solu¸cões da equa¸cão de Euler-Lagrange minimizam a a¸cão em intervalos de tempo suficientemente pequenos. Sob certas condi¸cões de crescimento de L no infinito, prova-se ainda que sempre existe uma solu¸cão ligando dois pontos quaisquer em Rn_.

1.3 Geometriza¸

c˜

ao das equa¸

c˜

oes de

Hamil-ton

Vimos nas se¸cões anteriores como as equa¸cões de Hamilton podem ser derivadas das equa¸cões de Newton e de Euler-Lagrange. Nesta se¸cão, colocaremos as equa¸cões de Hamilton em um contexto geométrico através de uma formula¸cão intr´ınseca. Isso nos permitirá definir, no Cap´ıtulo 6, sistemas hamiltonianos em variedades diferenciáveis.

Considere o espa¸co de fase R2n_{, com coordenadas (q}

1, . . . , qn, p1,

. . . , pn). A escolha de qualquer fun¸c˜ao H∈ C∞(R2n) determina um

campo hamiltoniano XH:=−J0∇H = 3 X i=1 ∂H ∂pi ∂ ∂qi − ∂H ∂qi ∂ ∂pi , (1.3.1)

onde J0 ´e a matriz 2n× 2n dada por

J0= 0 _−I I 0 . (1.3.2)

A fun¸cão H é chamada de hamiltoniana, e as equa¸cões de Hamilton (1.1.2) assumem a forma

˙c(t) = XH(c(t)), (1.3.3)

onde c(t) = (q1(t), . . . , qn(t), p1(t), . . . , pn(t)). Note que H ´e sempre

preservado ao longo das solu¸c˜oes de (1.3.3): d

dtH(c(t)) =∇H(c(t)) · ˙c(t) = −∇H(c(t)) · J0∇H(c(t)) = 0. Essa propriedade (junto a outras que veremos mais tarde) d´a ao for-malismo hamiltoniano seu car´ater conservativo.

(11)

Note que na defini¸c˜ao de XHem (1.3.1) usamos dois ingredientes:

uma base de R2n _{(com respeito a qual calculamos o gradiente}

∇H) e a matriz J0. Esses dois ingredientes combinados definem uma forma

bilinear anti-sim´etrica n˜ao-degenerada dada por Ω0(u, v) :=−utJ0v,

ou, equivalentemente, Ω0 = P_idqi∧ dpi. A equa¸c˜ao de Hamilton

pode ent˜ao ser vista como o “gradiente”de H com respeito a Ω0, ou

seja, XH ´e o unico campo que satisfaz a equa¸c˜ao

Ω0(XH, v) = dH(v)

para todo v ∈ R2n_{. Isto motiva a defini¸c˜}_{ao de espa¸cos vetoriais}

(12)

Cap´ıtulo 2

´

Algebra linear

simpl´

etica

2.1 Espa¸

cos vetoriais simpl´

eticos

Seja V um espa¸co vetorial real, e seja Ω : V _{× V → R uma forma} bilinear anti-simétrica. Dizemos que a forma Ω é não-degenerada, ou simplética, se

Ω(u, v) = 0 _{∀v ∈ V =⇒ u = 0.} (2.1.1) Nesse caso, o par (V, Ω) é um espa¸co vetorial simplético. Dois espa¸cos vetoriais simpléticos (V1, Ω1) e (V2, Ω2) são simplectomorfos se existe

um isomorfismo linear ϕ : V1→ V2tal que

ϕ∗Ω2= Ω1.

Com a escolha de uma base_{e1, e2, . . . , em} de V , podemos

repre-sentar qualquer forma bilinear anti-sim´etrica Ω unicamente por uma matriz anti-sim´etrica

A = [Aij], Aij= Ω(ei, ej),

de modo que Ω(u, v) = ut_{Av. ´}_{E f´}_{acil ver que a forma Ω ´e simpl´etica}

(13)

Ω define uma aplica¸c˜ao linear

Ω]: V → V∗_{, Ω}]_{(u)(v) := Ω(u, v),}

de modo que Ω é simplética se e somente se Ω]_{é uma bije¸c˜}_ao.

Exemplos 2.1.1. a) Se V = R2n, ent˜ao

Ω0(u, v) :=−utJ0v

define uma forma simpl´etica representada pela matriz_−J0

defi-nida em (1.3.2) na base canˆonica _{e1, . . . , en, f1, . . . , fn}. Em

outras palavras, Ω0 ´e definida pelas condi¸c˜oes:

Ω0(ei, ej) = 0, Ω0(ei, fj) = δij, Ω0(fi, fj) = 0.

b) Seja W um espa¸co vetorial real de dimens˜ao n, e seja W∗ _seu

dual. Ent˜ao o espa¸co vetorial V = W _{⊕ W}∗ _{possui uma}

estru-tura simpl´etica naestru-tural dada por

Ω((w, ξ), (w0, ξ0)) := ξ0(w)− ξ(w0_),

e todo isomorfismo T : W _{→ W determina um} simplectomor-fismo T_{⊕ (T}−1₎∗_{: V}

→ V .

c) Seja V um espa¸co vetorial complexo de dimensão n sobre C. Seja h : V _{× V → C um produto interno hermitiano e Ω =} Im(h) a parte imaginária de h. Então Ω define uma estrutura simplética em V , visto como espa¸co vetorial real, e qualquer transforma¸cão linear unitária é automaticamente um simplec-tomorfismo.

d) Se (V1, Ω1) e (V2, Ω2) são espa¸cos vetoriais simpléticos, então

V1× V2´e espa¸co vetorial simpl´etico com a forma produto

(14)

2.2 Subespa¸

cos

Em um espa¸co vetorial com produto interno, todo subespa¸co herda um produto interno do espa¸co ambiente. Em um espa¸co vetorial simpl´etico, por outro lado, subespa¸cos podem herdar tipos de estru-turas diferentes.

Seja (V, Ω) um espa¸co vetorial simpl´etico. Dado um subespa¸co W ⊆ V , definimos seu ortogonal simpl´etico como o subespa¸co:

WΩ_:=

{v ∈ V | Ω(v, w) = 0 ∀w ∈ W }. O subespa¸co W _{⊆ V ´e chamado}

• simpl´etico se W ∩ WΩ₌_{0},

• isotr´opico se W ⊆ WΩ_,

• coisotr´opico se WΩ

⊆ W , • lagrangiano se W = WΩ_.

Note que W é isotrópico se e somente se a restri¸cão de Ω a W é zero, e é lagrangiano se e somente se W é isotrópico e maximal (i.e., não está propriamente contido em nenhum outro subespa¸co isotrópico); por outro lado, W é simplético se e somente se a re-stri¸cão de Ω a W é não-degenerada, de modo que (W, Ω|W) é um

espa¸co vetorial simpl´etico.

Embora em geral V 6= W + WΩ_{, em termos de dimens˜}_{oes sempre}

vale que

dim(V ) = dim(W ) + dim(WΩ). (2.2.1) Para provar (2.2.1), basta observar que a imagem de WΩ pelo iso-morfismo Ω]_{: V}

→ V∗ _{´e Ann(W ), o anulador de W . Portanto}

dim(WΩ) = dim(Ann(W )) = dim(V )_{− dim(W ).} Segue ainda facilmente que (WΩ₎Ω_{= W .}

Exemplos 2.2.1.

a) Qualquer subespa¸co unidimensional é isotrópico. Como um subespa¸co W é coisotrópico se e somente se WΩ _{é isotr´}_opico,

(15)

b) No Exemplo 2.1.1, parte b), tanto W quanto W∗_s˜_{ao subespa¸cos}

lagrangianos.

c) Para cada i, o subespa¸co gerado pelo par ei, fi no Exemplo

2.1.1, parte a), ´e simpl´etico.

Exerc´ıcio: Se (V1, Ω1) e (V2, Ω2) s˜ao espa¸cos vetoriais simpl´eticos, mostre

que um isomorfismo linear ϕ : V1 → V2 ´e um simplectomorfismo se e

somente se o gr´afico de ϕ ´e lagrangiano em V1× V2, onde V2 denota o

espa¸co simpl´etico (V2, −Ω2).

2.3 Bases simpl´

eticas e forma normal

Seja (V, Ω) um espa¸co vetorial simpl´etico. Chamamos de base simpl´e-tica de V uma base com 2n vetores{e1, . . . , en, f1, . . . , fn} para a qual

valem as rela¸c˜oes

Ω(ei, ej) = 0, Ω(ei, fj) = δij, Ω(fi, fj) = 0. (2.3.1)

Assim, numa base simpl´etica a forma Ω ´e representada pela matriz

0 I

−I 0

, (2.3.2)

onde I ´e a matriz identidade n_{× n.}

O próximo resultado é o análogo simplético do fato de que todo espa¸co vetorial com produto interno admite uma base ortonormal. Teorema 2.3.1. Todo espa¸co vetorial simplético (V, Ω) admite uma base simplética.

Demonstração:Escolha e16= 0. Como Ω é não-degenerada, existe

f1∈ V tal que

Ω(e1, f1) = 1.

Seja W1 o subespa¸co gerado por{e1, f1}. Note que W1´e simpl´etico,

e portanto V = W1⊕ W1Ω.

Como W1Ω é simplético, podemos repetir a constru¸cão até

obter-mos uma decomposi¸c˜ao

(16)

onde cada Wi´e gerado por ei, fital que Ω(ei, fi) = 1. Por constru¸c˜ao,

se i < j, ent˜ao Wj ⊂ WiΩ, portanto seguem as rela¸c˜oes (2.3.1).

Corolário 2.3.2. Todo espa¸co simplético é simplectomorfo a (R2n_{, Ω} 0)

(descrito no Exemplo 2.1.1, parte a)) para algum n.

Em particular, todo espa¸co vetorial simplético tem dimensão par. Além disso, se (V, Ω) é espa¸co simplético de dimensão 2n, segue facil-mente de (2.2.1) que W _{⊂ V é lagrangiano se e somente se W é} isotrópico e

dim(W ) = dim(V ) 2 = n.

Exemplo 2.3.3. Se {w1, . . . , wn} ´e base de um espa¸co vetorial W ,

e se {ξ1, . . . , ξn} é base dual, então {w1, . . . , wn, ξ1, . . . , ξn} é base

simpl´etica de W ⊕ W∗ _{descrito no Exemplo 2.1.1, parte b).}

Por outro lado, se{e1, . . . , en} ´e base complexa ortonormal para

um espa¸co complexo hermitiano, ent˜ao_{e1, . . . , en, ie1, . . . , ien} ´e base

simpl´etica para o Exemplo 2.1.1, parte c).

2.4 Estruturas complexas compat´ıveis

Se V é um espa¸co vetorial sobre C munido de um produto interno hermitiano h, vimos no Exemplo 2.1.1, parte c), que a parte ima-ginária de h define uma forma simplética em V (visto como espa¸co vetorial real). Mostraremos agora a rec´ıproca: se (V, Ω) é um espa¸co vetorial simplético, então V admite uma estrutura de espa¸co veto-rial complexo e Ω pode ser vista como a parte imaginária de uma estrutura hermitiana.

Se V ´e um espa¸co vetorial real, lembremos que uma estrutura com-plexa em V ´e um endomorfismo linear J : V _{→ V tal que J}2₌

−Id. Note que fixar uma estrutura complexa J é equivalente a munir V de uma estrutura de espa¸co vetorial sobre C, já que podemos identificar o operador J com a multiplica¸cão por i = √−1, i.e., J(v) = i · v, para todo v∈ V . Nos referimos ao par (V, J) como um espa¸co veto-rial complexo, e dizemos que (V, J) e (V0_{, J}0_{) s˜}_{ao isomorfos se existe}

um isomorfismo linear ϕ : V → V0 _{tal que ϕ}

◦ J = J0

(17)

Exerc´ıcio: _{Mostre que uma estrutura complexa J : V → V ´e equivalente} a escolha de um subespa¸co V10⊂ V ⊗ C tal que V ⊗ C = V10⊕ V10. (Dica:

considere os autoespa¸cos de J.)

Exemplo 2.4.1. A matriz J0, definida em (1.3.2), ´e uma estrutura

complexa em V = R2n_{. ´}_{E simples verificar que a identifica¸c˜}_{ao de}

R2n _{com C}n_{, (q, p)} _{7→ q + ip, ´e um isomorfismo de espa¸cos vetoriais}

complexos.

Seja (V, Ω) um espa¸co vetorial simpl´etico. Uma estrutura com-plexa em V ´e compat´ıvel com Ω (ou simplesmente Ω-compat´ıvel ) se, para u, v_{∈ V ,}

g(u, v) := Ω(u, Jv), (2.4.1) define um produto interno (nessas notas, a menos que se mencione o contrário, sempre assumimos que produtos internos sejam positivo-definidos). Explicitamente, as condi¸cões de compatibilidade (i.e., simetria e positividade de g) são

Ω(Ju, Jv) = Ω(u, v), e Ω(u, Ju) > 0, u_{6= 0.} (2.4.2)

Exerc´ıcio:_{Seja J uma estrutura complexa Ω-compat´ıvel em V . Se W ⊆ V} ´e um subespa¸co, mostre que JWΩ_{= W}⊥

, onde W⊥

´e o ortogonal de W com respeito ao produto interno (2.4.1).

´

E fácil ver que se h(u, v) = g(u, v)+iΩ(u, v) é um produto interno hermitiano em (V, J), então g é dado por (2.4.1). Segue, portanto, que J é Ω-compat´ıvel se e somente se Ω é a parte imaginária de uma estrutura hermitana em (V, J).

Teorema 2.4.2. Seja (V, Ω) um espa¸co vetorial simplético. Então cada produto interno G em V define, de forma canônica, uma estru-tura complexa J : V _{→ V que é Ω-compat´ıvel.}

Demonstrac¸˜ao: Seja G um produto interno em V . Como G] _:

V _{→ V}∗_{, G}]_{(u)(v) = G(u, v), ´e um isomorfismo, segue que existe um}

´

unico automorfismo linear A : V _{→ V tal que} Ω(u, v) = G(Au, v), ∀u, v ∈ V,

(18)

i.e., A = (G]₎−1

◦ Ω]_{. Note que A ´e anti-sim´etrico com respeito a G,}

j´a que

G(Atu, v) = G(u, Av) = Ω(v, u) =_{−G(Au, v).} Como consequˆencia, temos que, na decomposi¸c˜ao polar de A,

A = J|A|, onde |A| = (At_A)1/2_{= (}

−A2₎1/2_,

o operador ortogonal J e o operador positivo-definido|A| comutam. Ent˜ao A2₌_−J2_A2_{, e portanto J}2₌_{−Id. Note ainda que}

Ω(u, Jv) = G(Au, Jv) =−G(JAu, v) = G(|A|u, v)

define um produto interno, mostrando a compatibilidade de J e Ω. (Observe, contudo, que o produto interno associado ao par J e Ω, em

geral, difere de G.)

Observa¸cão: A existência de uma estrutura complexa Ω-compat´ıvel num espa¸co vetorial simplético pode ser facilmente obtida se usarmos uma base simplética e1, . . . , en, f1, . . . , fn: basta definir Jei = fi e

Jfi =−ei, i = 1, . . . , n. A vantagem da demonstra¸c˜ao apresentada

no teorema anterior é que não fazemos qualquer men¸cão a bases. Por ser canônica (a menos da escolha do produto interno), a demonstra¸cão se aplica diretamente a fibrados vetoriais simpléticos, e isso será útil mais adiante.

Seja J (V, Ω) o conjunto de todas a estruturas complexas em V que são Ω-compat´ıveis, visto como subconjunto do espa¸co vetorial dos endomorfismos de V , e munido da topologia induzida. Denote por Riem(V ) o conjunto de todos os produtos internos em V , que é um subconjunto aberto e convexo do espa¸co vetorial de todas a formas simétricas em V . O Teorema 2.4.2 nos fornece uma aplica¸cão cont´ınua ψ : Riem(V ) _{→ J (V, Ω). Seja φ : J (V, Ω) → Riem(V ) a} aplica¸cão que associa a cada estrutura complexa Ω-compat´ıvel J o produto interno (2.4.1).

Exerc´ıcio:_{Verifique que ψ ◦ φ = Id.}

Como Riem(V ) é um subconjunto convexo de um espa¸co vetorial, é contrátil. Tome ρt : Riem(V )→ Riem(V ) uma contra¸cão, isto é,

t∈ [0, 1], ρ0= Id e ρ1é uma aplica¸cão tendo como imagem um único

(19)

Corolário 2.4.3. O espa¸co _{J (V, Ω) é contrátil.}

Demonstração:Basta verificar que ψ_{◦ ρ}t◦ φ define uma contra¸cão

de_{J (V, Ω).}

A contratibilidade de_{J (V, Ω) é um fato importante em topologia} simplética e será usado no Cap´ıtulo 7.

(20)

Cap´ıtulo 3

Variedades simpl´

eticas

Vimos no Cap´ıtulo 1 como a forma simpl´etica Ω0 = P_idpi ∧ dqi

nasce a partir de uma geometriza¸cão das equa¸cões de Hamilton, ou seja, de maneira a expressar campos hamiltonianos como gradientes simpléticos. Em seguida, no Cap´ıtulo 2, vimos que espa¸cos vetoriais simpléticos de dimensão 2n são todos isomorfos a (R2n, Ω0).

Podemos definir uma variedade simpl´etica usando (R2n, Ω0) como

modelo local e assumindo a existˆencia de um atlas simpl´etico, ou seja, um atlas cujas mudan¸cas de cartas preservam Ω0. Seguiremos

aqui, contudo, o caminho usual (e mais simples) de se definir uma estrutura simplética como uma 2-forma fechada e não-degenerada, e mostraremos no Cap´ıtulo 4 a equivalência desta defini¸cão com a existência de um atlas simplético.

Neste cap´ıtulo, assumiremos que o leitor tenha familiaridade com a teoria das variedades diferenci´aveis, incluindo formas diferenciais, campos de vetores, derivadas de Lie, etc. O material pode ser encon-trado, e.g., em [2, 39].

3.1 Defini¸

c˜

ao

Seja M uma variedade suave. Dizemos que uma 2-forma ω_{∈ Ω}2_{(M )}

é não-degenerada se ωxé não-degenerada em cada ponto x ∈ M, de

(21)

Exerc´ıcio: _{Suponha que dim(M ) = 2n. Verifique que ω ∈ Ω}2_{(M ) ´e}

n˜ao-degenerada se e somente se ωn

n! ∈ Ω2n(M ) ´e uma forma de volume.

Uma estrutura simpl´etica em M ´e uma 2-forma ω _{∈ Ω}2_{(M ) que}

é não-degenerada e tal que dω = 0. Nesse caso o par (M, ω) é uma variedade simplética .

Segue do exerc´ıcio anterior que toda variedade simpl´etica de di-mens˜ao 2n possui uma forma de volume

Λ := ω

n

n! (3.1.1)

chamada forma de Liouville . Portanto, toda variedade simplética é orientável.

Duas variedades simpl´eticas (M1, ω1) e (M2, ω2) s˜ao

simplecto-morfas se existe um difeomorfismo ϕ : M1 → M2 preservando as

formas simpl´eticas, ou seja, ϕ∗_ω

2= ω1.

Denotamos o grupo de simplectomorfismos de uma variedade simpl´etica (M, ω) nela mesma por Simp(M, ω)_{⊂ Dif(M).}

Exemplo 3.1.1. SejaU um aberto de R2n₌_{(q

1, . . . , qn, p1, . . . , pn)},

munido com a 2-forma ω0:=

n

X

i=1

dqi∧ dpi.

Em cada ponto de_{U, a matriz associada a ω}0´e (2.3.2), portanto ω0

é não-degenerada. Obviamente, ω0é fechada, e portanto simplética.

Note que, de fato, ω0=−dα, onde α =Pipidqi.

Veremos mais a frente que toda variedade simplética é local-mente simplectomorfa a um aberto de R2n_{com a estrutura simplética}

descrita no último exemplo (teorema de Darboux). Este resultado ilustra um aspecto fundamental da geometria simplética: formas simpléticas são localmente r´ıgidas, não somente na vizinhan¸ca de pon-tos, mas também de certas subvariedades. Trataremos essas questões no Cap´ıtulo 4.

(22)

Exemplo 3.1.2. Seja Σ uma superf´ıcie orientada, e seja ω_{∈ Ω}2_(Σ)

uma forma de área. Por defini¸cão, ω é não-degenerada. Além disso, dω = 0 automaticamente, já que estamos em dimensão 2. Portanto ω é simplética.

Simplectomorfismos, nesse exemplo, são difeomorfismos preser-vando área. Veremos no Cap´ıtulo 4 que duas superf´ıcies orientadas compactas são simplectomorfas se e somente se elas têm o mesmo gênero e mesma área total.

Exemplo 3.1.3. Sejam (M1, ω1) e (M2, ω2) duas variedades

simpl´e-ticas. Seja M = M1× M2, e considere as proje¸c˜oes pri : M → Mi.

Ent˜ao ω = pr∗

1ω1+ pr∗2ω3 ´e uma forma simpl´etica em M .

Exemplo 3.1.4. Como observamos no Exemplo 2.4.1, podemos iden-tificar R2n _{com C}n_{, de modo que a aplica¸c˜}_{ao linear J}

0 torna-se

sim-plesmente a multiplica¸c˜ao por √−1. Temos que para todo v ∈ R2n_,

Ω0(v, J0v) =kvk26= 0 se v 6= 0. Em particular, Ω0´e n˜ao-degenerada

em toda subespa¸co complexo de Cn_{. Consequentemente, qualquer}

subvariedade complexa de Cn _{´e simpl´etica.}

3.2 Fibrados cotangentes

Veremos nesta se¸cão que todo fibrado cotangente possui uma estru-tura simplética canônica, e portanto qualquer variedade está natural-mente associada a uma variedade simplética. Tal estrutura simplética é a generaliza¸cão da forma simplética canônica em R2n _{e aparece}

nat-uralmente no estudo de sistemas mecânicos clássicos, veja [1, 5, 28]. Como veremos no próximo cap´ıtulo, fibrados cotangentes servem também de modelo local para vizinhan¸cas de certas subvariedades (veja Teorema 4.3.2).

Sejam Q uma variedade e M = T∗_{Q seu fibrado cotangente.}

De-notamos por π : M = T∗_Q_{→ Q a proje¸c˜ao natural, e consideramos a}

aplica¸c˜ao tangente dπ : T M → T Q. Definimos a 1-forma tautol´ogica α∈ Ω1_{(M ) por}

αp(Xp) :=hp, dpπ(Xp)i, p ∈ M, Xp∈ TpM. (3.2.1)

Como p ∈ T∗

π(p)Q e dpπ(Xp) ∈ Tπ(p)Q, o lado direito da equa¸c˜ao

(23)

A forma canˆonica de T∗_{Q ´e definida como}

ω :=−dα. (3.2.2)

Para verificar que ω é de fato simplética, vamos usar sua expressão em coordenadas locais: tome coordenadas locais (x1, . . . , xn) em Q, e

sejam (x1, . . . , xn, ξ1, . . . , ξn) coordenadas cotangentes em T∗Q. Note

que dpπ ∂ ∂xj p ! = ∂ ∂xj x , dpπ ∂ ∂ξj p ! = 0, onde p = (x, ξ)_{∈ T}∗_{Q. Usando (3.2.1) vemos que}

αp ∂ ∂xj p ! = ξj, αp ∂ ∂ξj p ! = 0,

de onde segue que

αp= n

X

j=1

ξjdxj. (3.2.3)

Portanto, em coordenadas locais, temos

ω =

n

X

j=1

dxj∧ dξj, (3.2.4)

e vemos que ω ´e de fato uma estrutura simpl´etica em T∗Q.

O próximo exerc´ıcio oferece uma caracteriza¸cão útil da 1-forma α.

Exerc´ıcio:Mostre que a 1-forma tautol´ogica α ∈ Ω1_(T∗

Q) ´e unicamente caracterizada pela seguinte propriedade: para todo µ ∈ Ω1_(Q),

µ∗α = µ, (3.2.5) onde, no lado esquerdo de (3.2.5), estamos considerando a 1-forma µ como uma aplica¸c˜ao µ : Q → T∗

Q.

Observe que todo difeomorfismo ϕ : Q1 → Q2 induz,

natural-mente, um difeomorfimo dos fibrados cotangentes, b

(24)

satisfazendo π1◦ bϕ = ϕ◦ π2, onde πi : T∗Qi → Qi ´e a proje¸c˜ao

canônica. Aqui dϕ : T Q1 → T Q2 é a aplica¸cão tangente de ϕ. A

aplica¸cão (3.2.6) é chamada levantamento cotangente de ϕ. Proposi¸cão 3.2.1. O levantamento cotangente bϕ : T∗_Q

1 → T∗Q2

preserva formas tautol´ogicas,

( bϕ)∗α2= α1.

Demonstração:Temos, por defini¸cão, que (αi)pi = (dpiπ)

∗_ξ i, onde pi= (xi, ξi)∈ T∗Qi, i = 1, 2. Portanto, se p2= bϕ(p1), temos (dp1ϕ)b ∗_(α p2) = (dp1ϕ)b ∗_(d p2π) ∗_ξ 2= (dp1π) ∗_(d p1ϕ) ∗_ξ 2= (α1)p1,

onde, na segunda igualdade, usamos que π_{◦ b}ϕ = ϕ_{◦ π, e na terceira} igualdade usamos que ξ1= (dx1ϕ)

∗_ξ 2.

Segue imediatamente da proposi¸c˜ao anterior que

b

ϕ∗ω2= ω1,

e portanto bϕ : T∗_Q

1→ T∗Q2´e um simplectomorfismo. Temos assim

uma inclus˜ao natural

Dif(Q) ,_{→ Simp(T}∗Q, ω), ϕ_{7→ b}ϕ.

Todavia, esta inclusão está longe de ser uma identifica¸cão. O exerc´ıcio abaixo ilustra outros simplectomorfismos de T∗_{Q. Veremos}

muitos outros exemplos no Cap´ıtulo 6.

Exerc´ıcio:Tome µ ∈ Ω1_{(M ), e defina ϕ}

µ: T∗Q → T∗Q, (x, ξ) 7→ ξ + µx. Mostre que ϕ∗ µα − α = π ∗ µ.

Conclua que ϕµ´e um simplectomorfismo se e somente se µ ´e fechada.

Existem tamb´em outras formas simpl´eticas em fibrados cotan-gentes obtidas da seguinte maneira: seja B uma 2-forma fechada em Q e considere em T∗_{Q a 2-forma}

(25)

Evidentemente, ωB é fechada e é fácil ver que é não-degenerada, o

que deixamos ao leitor como um exerc´ıcio. Tais formas simpléticas, chamadas formas simpléticas twist, possuem uma motiva¸cão f´ısica em termos de fluxos magnéticos, como veremos no Cap´ıtulo 6.

Exerc´ıcio:_{Verifique que, se B, B}0

∈ Ω2_{(Q) s˜}_{ao cohom´}_{ologas, com B −}

B0

= dµ, ent˜ao ϕµ: (T∗Q, ωB) → (T∗Q, ωB0) ´e um simplectomorfismo.

3.3 Outros exemplos importantes

As duas subse¸cões a seguir tratam de duas importantes classes de ex-emplos de variedades simpléticas: variedades Kähler e órbitas coad-juntas. Estas subse¸cões usam alguns fatos elementares sobre variáveis complexas e grupos de Lie e são independentes dos demais cap´ıtulos.

3.3.1 Variedades K¨

ahler

Vimos no Exemplo 2.1.1, parte c), e na Se¸cão 2.4, a rela¸cão entre es-truturas complexas e simpléticas em espa¸cos vetoriais. Discutiremos nesta se¸cão o problema análogo em variedades.

Seja M uma variedade suave. Uma estrutura quase-complexa em M ´e um automorfismo J : T M _{→ T M tal que J}2 ₌

−Id. Em ou-tras palavras, cada espa¸co tangente TxM ´e munido de uma estrutura

complexa Jx, de modo que Jx varia suavemente em x.

Se (M, ω) é uma variedade simplética e J é uma estrutura quase-complexa em M , então dizemos que J é ω-compat´ıvel se, para todo x _{∈ M, J}x é ωx-compat´ıvel em TxM . Assim, ω e J definem uma

m´etrica riemanniana g em M dada por

gx: TxM× TxM → R, gx(X, Y ) = ωx(X, JxY ).

A métrica g é chamada de métrica associada. Denotamos por_{J (M, ω)} o espa¸co das estruturas quase-complexas em M que são ω-compat´ıveis.

Assim como no caso linear, temos:

Teorema 3.3.1. Seja (M, ω) uma variedade simpl´etica. Ent˜ao exis-tem estruturas quase-complexas ω-compat´ıveis.

(26)

Para provar o teorema, escolha uma m´etrica riemanniana qualquer em M e note que a demonstra¸c˜ao do Teorema 2.4.2 pode ser adaptada sem problemas para o fibrado tangente.

Exerc´ıcio:_{Mostre que, assim como no caso linear, o espa¸co J (M, ω) é} contrátil. (Dica: Note que J (M, ω) pode ser visto como o espa¸co de se¸cões de uma fibra¸cão sobre M , com fibras J (TxM, ωx), e já mostramos no

Cor. 2.4.3 que essas fibras s˜ao contr´ateis.)

Observa¸cão: Note que não foi usado até aqui o fato de ω ser fechada. Portanto o que discutimos vale, sem modifica¸cões, para 2-formas não-degeneradas, também chamadas de quase-simpléticas.

Exerc´ıcio: Mostre a seguinte rec´ıproca do Teorema 3.3.1: se (M, J) é uma variedade quase-complexa, então existem estruturas quase-simpléticas compat´ıveis com J. (Dica: Mostre que qualquer métrica riemanniana em M pode ser modificada de modo a satisfazer g(X, Y ) = g(JX, JY ), e defina ω por ω(X, Y ) = g(JX, Y ).)

Uma variedade quase-Kähler é uma variedade simplética (M, ω) equipada com uma estrutura quase-complexa compat´ıvel J.

Exerc´ıcio:Uma subvariedade N ,→ M de uma variedade quase-complexa é uma subvariedade quase-complexa se J(T N ) ⊆ T N . Mostre que, se M é quase-Kähler, então uma subvariedade quase-complexa N herda uma estrutura simplética de M , e que, com respeito às estruturas induzidas, N é uma variedade quase-Kähler.

Uma estrutura quase-complexa J em M ´e integr´avel se existe um atlas {Uα, ϕα} no qual as cartas locais ϕα : Uα −→ V∼ α ⊂ R2n

satisfazem

dϕα◦ J = J0◦ dϕα, (3.3.1)

onde J0 ´e a estrutura complexa canˆonica de R2n (Exemplo 2.4.1).

Identificando (R2n_{, J}

0) com Cn, a condi¸c˜ao (3.3.1) se torna

dϕα◦ J = idϕα, (3.3.2)

e a aplica¸cão ϕαé dita J-holomorfa. É fácil ver que, neste caso, as

mudan¸cas de coordenadas

(27)

s˜ao holomorfas (i.e., idψαβ = dψαβi), onde Vαβ = ϕα(Uα∩ Uβ) e

Vβα= ϕβ(Uα∩Uβ). Uma variedade munida de um atlas cujas fun¸c˜oes

de transi¸cão são holomorfas é uma variedade complexa, e este é o caso de toda variedade quase-complexa integrável. Reciprocamente, toda variedade complexa admite, canonicamente, uma estrutura quase-complexa integrável (dada por multiplica¸cão por i = √_{−1 em cada} carta do atlas complexo).

Uma variedade Kähler é uma variedade quase-Kähler (M, ω, J) tal que a estrutura quase-complexa J é integrável. Em outras palavras, M é uma variedade complexa equipada com uma forma simplética compat´ıvel.

Exemplo 3.3.2. a) R2n₌_{(q

1, . . . , qn, p1, . . . , pn)}, munido com a estrutura

simpl´e-tica ω0=P_jdqj∧ dpj (Exemplo 3.1.1) e a estrutura complexa

constante J0(Exemplo 2.4.1) é uma variedade Kähler; a métrica

associada ´e a m´etrica euclideana usual. Se identificarmos R2n

com Cn_{, com coordenadas z}

j= qj+ipj, a estrutura complexa J0

torna-se simplesmente a multiplica¸cão por i =√_{−1, enquanto} que a forma simplética canônica se escreve como

ω0= i 2 X j dzj∧ dzj,

onde dzj = dqj+ idpj e dzj = dqj− idpj.

b) Em superf´ıcies, pode-se mostrar que toda estrutura quase-com-plexa é automaticamente integrável. Como toda superf´ıcie ori-entável é simplética, e como toda estrutura simplética admite estruturas quase-complexas compat´ıveis, segue que toda su-perf´ıcie orientável é Kähler.

c) Toda subvariedade complexa de uma variedade Kähler é Kähler. d) Os espa¸cos projetivos complexos CPn _s˜_{ao variedades K¨}_ahler.

Segue da parte c), portanto, que variedades projetivas n˜ ao-singulares s˜ao variedades K¨ahler.

(28)

Trataremos o exemplo dos espa¸cos projetivos com mais detalhe ainda nesta se¸cão. Antes, contudo, precisamos de uma descri¸cão local mais expl´ıcita de formas simpléticas em variedades Kähler usando coordenadas complexas.

Seja (M, J) uma variedade complexa. Considere uma vizinhan¸ca U com coordenadas complexas zj= xj+iyj, onde x1, . . . , xn, y1, . . . , yn

s˜ao coordenadas reais. Defina as 1-formas complexas dzj, dzk ∈

Ω1₍_{U, C),}

dzj = dxj+ idyj, dzk= dxk− idyk.

Exerc´ıcio: Considere uma 1-forma arbitr´aria η ∈ Ω1_{(U , C), η} ₌

P

jajdxj +Pkbkdyk, onde aj, bk ∈ C∞(U , C). Mostre que existem

fun¸c˜oes a0 j, b

0 k∈ C

∞

(U , C), unicamente determinadas, satisfazendo η =X j a0 jdzj+ X k b0 kdzk.

Como as formas dzj e d¯zk s˜ao preservadas por mudan¸cas de

co-ordenadas holomorfas, segue do exerc´ıcio anterior que o espa¸co das 1-formas complexas em M pode ser escrito como

Ω1(M, C) = Ω1,0_{⊕ Ω}0,1,

onde Ω1,0 ´e o espa¸co das 1-formas complexas que em coordenadas complexas locais se escrevem comoPjajdzj, enquanto que as formas

em Ω0,1 _{se escrevem localmente como}P kbkd¯zk.

Analogamente, o espa¸co das 2-formas complexas em M admite a decomposi¸c˜ao

Ω2_{(M, C) = Ω}2,0

⊕ Ω1,1

⊕ Ω0,2_,

onde, em coordenadas complexas locais, elementos de Ω2,0 _s˜_{ao da}

forma P_j<kajkdzj ∧ dzk, os elementos de Ω1,1 se escrevem como

P

jkbjkdzj∧ dzk, e os de Ω0,2 comoPj<kcjkd¯zj∧ d¯zk. N˜ao ´e dif´ıcil

ver que, em geral, temos uma decomposi¸c˜ao an´aloga do tipo Ωm(M, C) =_⊕r+s=mΩr,s.

Seja πr,s _{a proje¸c˜}_{ao de Ω}m_{(M, C) no sub-espa¸co Ω}r,s_{. A partir da}

(29)

outros operadores:

∂ = πr+1,sd : Ωr,s → Ωr+1,s _e _{∂ = π}r,s+1_{d : Ω}r,s

→ Ωr,s+1_.

(3.3.3)

Exerc´ıcio:_{Para f ∈ C}∞

(M, C), observe que df = ∂f + ∂f . Use este fato para concluir que d = ∂ + ∂ em geral. Como d2_{= 0, conclua que}

∂2= 0, ∂∂ = −∂∂, ∂2= 0.

Proposi¸c˜ao 3.3.3. Seja (M, J) uma variedade complexa e ω_{∈ Ω}2_{(M, C).}

Ent˜ao ω define uma estrutura K¨ahler se e somente se: i) ω_{∈ Ω}1,1_,

ii) Localmente, temos ω = i 2

P

hjkdzj ∧ d¯zk, onde (hjk) ´e uma

matriz positiva-definida em cada ponto, iii) ∂ω = 0, ∂ω = 0.

Demonstrac¸˜ao: Em coordenadas complexas locais, escrevemos ω =Xajkdzj∧ dzk+

X

bjkdzj∧ dzk+

X

cjkd¯zj∧ d¯zk,

onde ajk, bjk, cjk ∈ C∞(U, C). A primeira condi¸c˜ao de

compatibil-idade entre ω e J em (2.4.2) ´e que J∗_{ω = ω. Usando as rela¸c˜}_oes

J∗_dz

j= idzj e J∗d¯zj=−id¯zj, ´e f´acil ver que J∗ω = ω se e somente

se ajk = cjk = 0, i.e., ω ∈ Ω1,1. Tomando bjk = ₂ihjk, temos a

express˜ao local ω = i 2 X jk hjkdzj∧ d¯zk,

e vale que ω toma valores reais (i.e., ω = ω) se e somente hjk= hkj,

ou seja, a matriz (hjk) ´e hermitiana em cada ponto. Al´em disso,

ω é não-degenerada se e somente se a matriz (hjk) é não-singular,

enquanto que a segunda condi¸c˜ao de compatibilidade entre ω e J (ω(X, JX) > 0 para X6= 0) equivale a (hjk) ser positiva-definida em

(30)

Finalmente, como ∂ω _{∈ Ω}2,1 _{e ∂ω}

∈ Ω1,2_{, segue que dω =}

∂ω + ∂ω = 0 se e somente se ∂ω = 0 e ∂ω = 0. Considere numa carta complexa local os operadores

∂ ∂zj := 1 2 ∂ ∂xj − i ∂ ∂yj e ∂ ∂ ¯zj := 1 2 ∂ ∂xj + i ∂ ∂yj .

Exerc´ıcio:_{Mostre que se f ∈ C}∞

(M, C), ent˜ao, em coordenadas com-plexas, temos ∂f =P ∂f

∂zjdzj e ∂f =

P ∂f ∂¯zjd¯zj

Corol´ario 3.3.4. Seja f∈ C∞_{(M, R) tal que, em coordenadas}

com-plexas locais, a matriz _∂z∂_j2_∂zf

k

´e positiva-definida em todo ponto. Ent˜ao ω := i

2∂∂f é uma forma simplética Kähler.

Demonstração:Usando os dois últimos exerc´ıcios, é imediato ver-ificar as condi¸cões i), ii) e iii) da Prop. 3.3.3. Podemos agora exibir a estrutura Kähler dos espa¸cos projetivos complexos explicitamente.

Exemplo 3.3.5 (Espa¸co projetivo complexo). O espa¸co proje-tivo complexo CPn _{´e definido como o quociente de C}n+1_{\{0} pela}

rela¸c˜ao de equivalˆencia (z0, . . . , zn) ∼ (λz0, . . . , λzn), onde λ ∈ C∗.

Denotamos a classe de equivalˆencia de (z0, . . . , zn) por [z0, . . . , zn].

Para cada α∈ {0, 1, . . . , n}, considere o subconjunto de CPn_dado

por

Uα:={[z0, . . . , zn]| zα6= 0},

e seja ϕα:Uα→ Cn a aplica¸c˜ao dada por

ϕα([z0, . . . , zn]) = z0 zα , . . . ,zα−1 zα ,zα+1 zα , . . . ,zn zα .

Exerc´ıcio:Considere o atlas de CPn_{dado por {(U}

α, ϕα), α = 0, 1, . . . , n}.

Mostre que as fun¸cões de transi¸cão ψαβ= ϕβ◦ ϕ −1 α são dadas por ψαβ(w1, . . . , wn) = 1 wβ (w1, . . . , wα, 1, wα+1, . . . , wβ−1, wβ+1, . . . , wn), (3.3.4) e portanto são holomorfas.

(31)

Assim, temos em CPn_{uma estrutura complexa. Agora}

apresenta-mos a constru¸c˜ao de uma estrutura simpl´etica compat´ıvel. Considere em Cn _{a fun¸c˜}_{ao complexa}

f (z) = log(_|z|2+ 1),

para z = (z1, . . . , zn)∈ Cn. Um c´alculo direto mostra que a matriz

∂2

f ∂zj∂zk

´e positiva-definida em todo ponto (daremos um argumento alternativo abaixo), e segue do Corol´ario 3.3.4 que a 2-forma

ωF S= i 2∂∂f = i 2 " P jdzj∧ dzj 1 +P_jzjzj − (P_jzjdzj)∧ (Pkzkdzk) (1 +P_jzjzj)2 # (3.3.5) define uma estrutura K¨ahler em Cn_{. Para definir uma estrutura}

K¨ahler em CPn_{, basta observarmos que ω}

F S´e preservada pelas fun¸c˜oes

de transi¸c˜ao (3.3.4) do atlas constru´ıdo acima. Por exemplo, ψ01(z1, . . . , zn) = 1

z1

(1, z2, . . . , zn),

e temos que

ψ∗01f (z) = f (z)− log(|z1|2) = f (z)− log(z1)− log(z1).

Portanto ψ∗01ωF S = i 2∂∂ψ ∗ 01f = i 2∂∂f + i 2∂∂log(z1)− i 2∂∂log(z1) = ωF S.

A forma simpl´etica em CPn_{dada em cartas por ω}

F S´e chamada forma

de Fubini-Study .

Observa¸cão: Apresentamos aqui um argumento alternativo para a condi¸cão de positividade da forma de Fubini-Study, baseado na seguinte propriedade de simetria. Seja U (n + 1) o grupo das trans-forma¸cões lineares de Cn+1 _{que preservam o produto interno}

hermi-tiano canônico. A a¸cão natural de U (n + 1) em Cn+1 leva qualquer linha complexa em qualquer outra, e portanto induz uma a¸cão de U (n + 1) em CPn que é transitiva.

(32)

Em particular, para mostrar que a forma de Fubini-Study satisfaz a condi¸cão de positividade do Corolário 3.3.4, é suficiente mostrar que isto vale em um único ponto. Usando a expressão expl´ıcita para ωF S

em (3.3.5), é fácil ver que no ponto z = 0 (que corresponde ao ponto [1, 0, . . . , 0] em_U0), esta forma coincide com a forma canônica de Cn.

Concluimos que a condi¸c˜ao de positividade ´e satisfeita em todo ponto de CPn_.

´

E natural perguntarmos se toda variedade complexa que admite uma estrutura simplética, admite também uma estrutura simplética que seja compat´ıvel. W. Thurston [37] mostrou que isso não é ver-dade, ou seja, existem variedades que são ao mesmo tempo complexas e simpléticas mas não admitem uma estrutura Kähler. Daremos aqui os ingredientes básicos do exemplo.

Exemplo 3.3.6 (Thurston). Considere R4_{, com coordenadas (x} 1, x2,

y1, y2), munido da forma simpl´etica ω = dx1∧ dx2+ dy1∧ dy2. Para

(a, b)_{∈ Z}2

× Z2_{, considere o difeomorfismo de R}4 _{dado por}

ψa,b(x1, x2, y1, y2) = (x1+ a1, x2+ a2, y1+ b1+ a2y2, y2+ b2)

onde a = (a1, a2) e b = (b1, b2). Temos que Γ = {ψa,b | (a, b) ∈

Z2_{× Z}2_{} é um subgrupo do grupo de difeomorfismos de R}4_{. Cada} elemento de Γ é um simplectomorfismo de R4, e portanto o quociente M = R4_{/Γ é uma variedade simplética compacta (localmente}

sim-plectomorfa a (R4_{, ω)). Topologicamente, M ´e um fibrado de toros}

T2 _{sobre o T}2_{, e possui tamb´em uma estrutura complexa (como} con-sequencia da classifica¸c˜ao de Kodaira [25]).

Como Γ ´e o grupo de transforma¸c˜oes de recobrimento de R4

→ M, segue que M tem grupo fundamental π1(M ) = Γ. Como o primeiro

grupo de homologia é a abelianiza¸cão do grupo fundamental, segue que H1(M, Z) = Γ/[Γ, Γ], onde [Γ, Γ] é o ideal gerado por

comuta-dores em Γ. Pode-se checar que [Γ, Γ] = 0⊕ 0 ⊕ Z ⊕ 0, e portanto H1(M, Z) = Z⊕ Z ⊕ Z. Com isso, segue que o primeiro n´umero de

betti de M é ´ımpar, o que contraria o fato de que os “os números de betti ´ımpares são pares” em uma variedade Kähler compacta (isto segue da decomposi¸cão de Hodge, veja [44, Cap. V]).

Para uma discussão sobre outros exemplos (em variedades sim-plesmente conexas, em dimensão maior, etc.), veja [29, Se¸cão 3.1] e as referências lá contidas.

(33)

3.3.2 Orbitas coadjuntas

´

Exemplos importantes de variedades simpl´eticas aparecem na teoria dos grupos de Lie. Faremos aqui uma breve incurs˜ao no tema. O leitor pode consultar, por exemplo, [19, 28] para mais detalhes.

Um grupo de Lie é um grupo G munido de uma estrutura de variedade diferenciável para qual a multiplica¸cão m : G× G → G é uma aplica¸cão suave; neste caso, a inversão g7→ g−1_{também é suave,}

como consequˆencia do teorema da fun¸c˜ao impl´ıcita.

Para cada g_{∈ G, as aplica¸c˜oes L}g: G→ G, a 7→ ga, e Rg: G→

G, a_{7→ ag s˜ao difeomorfismos, com (L}g)−1= Lg−1 e (Rg)−1 = Rg−1.

Dizemos que um campo de vetores X ∈ X(G) é invariante à esquerda se (Lg)∗X = X, e invariante à direita se (Rg)∗X = X, ∀g ∈ G. O

espa¸co dos campos de vetores invariantes `a esquerda (resp. direita) ´e denotado por XL(G) (resp. XR(G)). Note que cada u ∈ TeG

determina campos de vetores ul∈ XL_{(G) e u}r

∈ XR_(G),

ulg= deLg(u), e urg= deRg(u),

e isso nos define um isomorfismo de espa¸cos vetoriais:

XL(G) ∼= TeG ∼= XR(G). (3.3.6)

Uma álgebra de Lie (real) é um espa¸co vetorial (real) g munido de um colchete [_{·, ·] : g × g → g que é bilinear, anti-simétrico e satisfaz a} identidade de Jacobi:

[[u, v], w] + [[w, u], v] + [[v, w], u] = 0.

Como o colchete de Lie de dois campos de vetores invariantes à es-querda é invariante à esquerda, podemos definir um colchete

[_{·, ·] : T}eG× TeG→ TeG, [u, v] = [ul, vl](e),

com respeito ao qual TeG ´e uma ´algebra de Lie, que denotamos por

ge denominamos ´algebra de Lie de G.

Observa¸c˜ao: A defini¸c˜ao do colchete em TeG em termos de campos

(34)

Qualquer espa¸co vetorial V é um grupo de Lie abeliano com res-peito a soma de vetores. O grupo das matrizes reais n_{× n invert´ıveis,} denotado GL(n, R), é um grupo de Lie com respeito ao produto. Como GL(n, R) é um aberto no espa¸co das matrizes Mn(R), seu

espa¸co tangente na identidade ´e o pr´oprio Mn(R). O colchete de Lie

´e o comutador

[A, B] := AB_{− BA.}

Outros exemplos importantes s˜ao dados por subgrupos de GL(n, R). Exemplo 3.3.7.

a) O grupo linear ortogonal O(n) = {A ∈ GL(n, R) | At_{A =}

Id}, ou seja, as transforma¸c˜oes lineares de Rn _{que preservam o}

produto interno canônico. A álgebra de Lie associada é u(n) = {A ∈ Mn(R)| A = −At}.

O grupo O(n) tem duas componentes conexas, caracterizadas pelas condi¸cões det(A) = 1 ou det(A) = _{−1. O subgrupo} SO(n) =_{{A ∈ O(n) | det(A) = 1} é chamado grupo ortogonal} especial, e tem a mesma álgebra de Lie de O(n).

b) Podemos considerar também matrizes complexas. Assim temos GL(n, C), o grupo das matrizes complexas invert´ıveis. A álgebra de Lie associada é Mn(C), com colchete dado pelo comutador.

Definimos o grupo U (n) = _{{A ∈ GL(n, C) | A}∗_{A = Id}

} das matrizes complexas que preservam o produto interno hermi-tiano canˆonico de Cn_{. Sua ´}_{algebra de Lie ´e u(n) =}

{A ∈ Mn(C) | A∗ = −A}. Note, por exemplo, que U(1) = S1 ´e

o grupo dos números complexos com valor absoluto igual a 1. De maneira mais geral, se V é um espa¸co vetorial (real, de di-mensão finita), consideramos o grupo de Lie GL(V ) das transforma-¸cões lineares invert´ıveis de V em V . A álgebra de Lie gl(V ) associada é dada pelo espa¸co de todos os endomorfismos lineares de V , e o colchete é o comutador.

Uma representa¸cão de um grupo de Lie G num espa¸co vetorial V é um homomorfismo de grupos de Lie ψ : G_{→ GL(V ). A derivada} dessa aplica¸cão na identidade, deψ : g → gl(V ), é então um

homo-morfismo de ´algebras de Lie, e define uma representa¸c˜ao de g em V .

(35)

Dada uma representa¸c˜ao ψ : G _{→ GL(V ) e um ponto x ∈ V , a} ´

orbita de x ´e a subvariedade imersa _Ox={y ∈ V | ∃g ∈ G, ψg(x) =

y_{} ⊆ V , e vale que}

TxOx={deψ(u)(x)| u ∈ g}, (3.3.7)

usando a identifica¸c˜ao TxV ∼= V .

Duas representa¸cões canônicas associadas a qualquer grupo de Lie são as seguintes:

Exemplo 3.3.8 (Representa¸c˜oes adjunta e coadjunta). a) Para g∈ G, considere a aplica¸c˜ao Ig: G→ G, Ig(a) = gag−1.

Como Ig(e) = e, temos uma aplica¸c˜ao linear

Adg:= deIg: g→ g.

O homomorfismo Ad : G→ GL(g), g 7→ Adg, ´e a representa¸c˜ao

adjunta de G em g. Neste caso, a representa¸c˜ao de g em g induzida pela derivada ´e

ad : g_{→ gl(g), u 7→ ad}u,

onde adu(v) = [u, v].

b) Podemos dualizar a representa¸c˜ao adjunta e obter a representa¸c˜ao coadjunta

Ad∗: G_{→ GL(g}∗), g_{7→ Ad}∗g:= (Adg−1)∗,

ou seja,_hAd∗_g(ξ), u_{i = hξ, Ad}g−1ui, para ξ ∈ g∗, u∈ g. Note a

necessidade de tomarmos a adjunta com respeito a g−1_{para que}

tenhamos um homomorfismo de grupos. Ao n´ıvel das ´algebras de Lie, temos a representa¸c˜ao

ad∗: g_{→ gl(g}∗), u_{7→ ad}∗u,

definida por_had∗u(ξ), vi = −hξ, [u, v]i.

Exerc´ıcio:_{Suponha que g tenha um produto interno h·, ·i que seja} Ad-invariante, ou seja, hAdgu, Adgui = hu, vi, para todo g ∈ G. Mostre que a

identifica¸cão g ∼= g∗induzida por este produto interno identifica também as representa¸cões adjunta e coadjunta.

(36)

Como veremos agora, toda ´orbita coadjunta_{O ,→ g}∗ _{possui uma}

estrutura simplética canônica. Este fato é comumente atribu´ıdo a Kostant-Kirillov-Souriau.

Considere ξ _{∈ g}∗_{, e seja}

O a ´orbita coadjunta que passa por ξ. Segue de (3.3.7) que os vetores da forma ad∗u(ξ) geram o espa¸co TξO,

TξO = {ad∗u(ξ)| u ∈ g}.

Note que se ad∗u(ξ) = ad∗u0(ξ), ent˜ao

hξ, [u − u0_{, v]}

i = (ad∗u0− ad

∗

u)(ξ) = 0,

para todo v ∈ g. Portanto, para ξ ∈ g∗ _{fixo, o valor de} _{hξ, [u, v]i}

depende apenas de ad∗ue ad∗v no ponto ξ. Podemos, com isso, definir

uma forma bilinear anti-sim´etrica em TξO por

ωξ(ad∗u(ξ), ad∗v(ξ)) :=hξ, [u, v]i, (3.3.8)

e segue imediatamente da defini¸cão que ωξ é não degenerada.

Obte-mos assim uma 2-forma n˜ao-degenerada em cada ponto de O. Teorema 3.3.9. Seja _{O ⊂ g}∗ _{uma ´}_{orbita coadjunta. Ent˜}_{ao (3.3.8)}

define uma 2-forma simpl´etica em O.

Demonstração: É um fato básico que a representa¸cão adjunta preserva o colchete de Lie, [Adg(u), Adg(v)] = Adg([u, v]). Portanto

h(Ad)∗gξ, [Adg(u), Adg(v)]i = hAd∗gξ, Adg([u, v])i = hξ, [u, v]i,

o que mostra que a 2-forma ω definida pontualmente por (3.3.8) ´e invariante pelas transforma¸c˜oes adjuntas Ad∗g. Como estas

trans-forma¸cões agem transitivamente na órbitaO, segue que ω é de fato suave. Resta verificar que ω é fechada.

Como g ∼= (g∗)∗, podemos considerar g⊂ C∞_(g∗_{). Dado u}

∈ g, temos que du_{∈ Ω}1_(g∗_{) ´e definido por (du)}

ξ(η) = η(u). Assim

(iad∗

u(ξ)ω)(ad

∗

v(ξ)) =hξ, [u, v]i = (du)ξ(ad∗v(ξ)),

e portanto iad∗

uω = du ´e exata (aqui pensamos em ad

∗

u como um

campo de vetores em g∗_{, definido em ξ}

∈ g∗_{por ad}∗

u(ξ)∈ g∗∼= Tξg∗).

Usando a f´ormula de Cartan e a invariˆancia de ω, temos iad∗

(37)

ou seja, dω = 0.

Exemplo 3.3.10. a) Considere o grupo

SO(3) =_{{A ∈ GL(3, R) | A}tA = Id, det(A) = 1_}. Sua ´algebra de Lie ´e so(3) =_{{A ∈ M}3(R) | A = −At}.

Pode-mos identificar so(3) com R3 _{de acordo com}

 uu12 u3   7→   u03 −u03 −uu21 −u2 u1 0   .

Com esta identifica¸c˜ao, o colchete de Lie em R3 _{´e o produto}

vetorial, i.e., [u, v] = u_{× v, e a representa¸c˜ao adjunta toma a} forma

AdA(u) = Au, adu(v) = u× v.

Como o produto interno usual de R3 _{´e invariante pelas}

trans-forma¸c˜oes de SO(3), a identifica¸c˜ao R3_∼_{= (R}3₎∗_{por ele induzida}

identifica também as representa¸cões adjunta e coadjunta. Por-tanto as órbitas coadjuntas em R3 _s˜_{ao as esferas centradas na}

origem, incluindo a ´orbita singular{0}. Assim, para cada r > 0, temos a ´orbita coadjunta

Or={ξ ∈ R3| kξk = r}.

A forma simpl´etica emOr definida pelo Teorema 3.3.9 ´e

ω = 1

rσr, (3.3.9)

onde σr´e a forma de ´area da esferaOr.

Exerc´ıcio:_{Use a identidade u × (v × w) = vhu, wi − whu, vi para mostrar} que σr(u × ξ, v × ξ) = rhξ, u × vi. Com isso, prove (3.3.9).

(38)

b) Considere o grupo de Lie U (n) (Exemplo 3.3.7, parte b)). Sua ´

algebra de Lie u(n), dada por matrizes complexas anti-hermiti-anas, possui um produto interno invariante pela representa¸c˜ao adjunta,

(A, B)_{7→ tr(A}∗B).

Podemos usar este produto interno para identificar u(n) com u(n)∗_{. Como u(n) = i}_{H, onde H = {ξ ∈ M}

n(C) | ξ = ξ∗} ´e

o espa¸co das matrizes hermitianas, temos a identifica¸c˜ao _{H ∼}= u(n)∗ _{dada por}

hξ, ui = −tr(iξu), u∈ u(n), ξ ∈ H.

Com esta identifica¸cão, a representa¸cão coadjunta de U (n) em H é

Ad∗A(ξ) = AξA−1.

Portanto duas matrizes em_{H estão na mesma órbita coadjunta} se e somente se elas têm o mesmo espectro. Assim, cada lista de n números reais λ = (λ1, . . . , λn), com λ1≤ λ2≤ . . . ≤ λn,

define uma ´orbita coadjunta

Oλ={ξ ∈ H | espectro(ξ) = λ}.

A topologia das órbitas varia de acordo com λ. Por exemplo, se λ1< λ2= . . . = λn, então cada ξ∈ Oλ é totalmente

caracteri-zado por uma linha complexa em Cn_{; pense nesta linha como o}

autoespa¸co associado ao autovalor λ1, de modo que o seu

com-plemento ortogonal em Cn _{´e o autoespa¸co associado ao outro}

autovalor. Portanto a linha complexa caracteriza a matriz ξ completamente. Assim, para λ1< λ2= . . . = λn, temos

Oλ= CPn−1,

e obtemos, pelo Teorema 3.3.9, uma fam´ılia a dois parˆametros de formas simpl´eticas em CPn_{, todas m´}_{ultiplas da forma de}

Fubini-Study.

Mais geralmente, no caso λ1 = λ2 = . . . = λk < λk+1= . . . =

λn, cada ponto da ´orbitaOλ´e totalmente determinado por um

(39)

autovalor λ1, com multiplicidade k, de modo que o autoespa¸co

associado a λk+1, com multiplicidade (n− k), ´e o seu

comple-mento ortogonal. Assim, neste caso, temos Oλ= Gr(k, n),

a grassmanniana de k-planos em Cn_.

Para λ1 < λ2 < . . . λn, cada ξ ∈ Oλ ´e caracterizado pelos n

autoespa¸cos Lj, ou, equivalentemente, pelos subespa¸cos Ei =

⊕i≤jLj,

E1⊂ E2⊂ . . . ⊂ En = Cn.

Em outras palavras,_Oλ´e uma variedade “flag” completa. Para

os outros tipos de espectro, as ´orbitas s˜ao variedades “flag” incompletas.

Os exemplos anteriores ilustram ainda o fato geral de que órbitas coadjuntas de grupos de Lie compactos são não apenas simpléticas, mas de fato Kähler.

3.4 Obstru¸

c˜

oes

Vimos que toda variedade simplética tem dimensão par e é orientável. Uma questão central em geometria simplética é se, dada uma var-iedade M satisfazendo essas condi¸cões, existe ou não alguma estru-tura simplética em M . Descreveremos nessa se¸cão uma simples ob-stru¸cão na cohomologia de M .

Proposi¸cão 3.4.1. Seja M uma variedade compacta de dimensão 2n. Se M admite alguma estrutura simplética, então existe um ele-mento a∈ H2

dR(M, R) tal que a

n_{6= 0. Em particular, H}2k

dR(M, R)6= 0

para todo k = 1, . . . , n.

Demonstração: Se ω∈ Ω2_{(M ) é forma simplética, seja a = [ω]} _∈

HdR2 (M, R). Como ω

n

∈ Ω2n_{(M ) ´e uma forma de volume, temos que}

Z

M

ωn

(40)

Por outro lado, se an_{= 0, ent˜}_{ao ω}n_{é exata, ω}n _{= dθ. Pelo teorema} de Stokes, temos Z M ωn= Z M dθ = Z ∂M θ = 0, o que não é poss´ıvel. Portanto an

6= 0.

Segue diretamente da proposi¸c˜ao anterior que variedades como S2n_{, n > 1, ou S}3

× S1_{, n˜}_{ao admitem estruturas simpl´eticas, j´}_{a que}

em todas temos H2

dR= 0.

Exerc´ıcio:Verifique que o mesmo argumento dado na prova da Prop. 3.4.1 mostra que nao h´a subvariedades simpl´eticas compactas de (R2n_{, ω}

0).

Existe ainda um outro tipo de obstru¸cão, de natureza topológica, que impede certas variedades de dimensão par e orientáveis de ad-mitirem sequer uma estrutura quase-simplética. Observe que, como vimos na Se¸cão 3.3.1, uma variedade admite uma estrutura quase-simplética se e somente se admite uma estrutura quase-complexa (e essas estruturas podem até mesmo ser escolhidas de forma a serem compat´ıveis). As obstru¸cões topológicas para a existência de estru-turas quase-simpléticas/complexas podem ser expressas em termos de classes caracter´ısticas, e são usadas para mostrar, por exemplo, que dentre as esferas de dimensão par, apenas S2_{e S}6_{admitem estrutura}

quase-complexa/simpl´etica.

Se M é uma variedade aberta (i.e., sem componentes compactas), segue do trabalho de Gromov, veja e.g [29, Cap. 7], que se M ad-mite uma estrutura quase-simplética, então admite uma estrutura simplética homotópica a ela (homotopia via estruturas quase-simplé-ticas). Para variedades compactas, não é verdade que a existência de uma estrutura quase-simplética garanta que a variedade admite uma estrutura simplética (ainda que a condi¸cão necessária dada pela Prop. 3.4.1 seja satisfeita). Por exemplo, foi provado por Taubes [36], usando a teoria dos invariantes de Seiberg-Witten, que a soma conexa C_P2_#CP2_#CP2 _{é quase-complexa mas n˜}_{ao é simplética (esta}

var-iedade também não é complexa, como consequencia da classifica¸cão de Kodaira [25]).

(41)

Como já observamos, os problemas de existência de estruturas quase-simpléticas e quase-complexas são equivalentes. Mas isso não é mais verdade se impusermos as condi¸cões de integrabilidade. Por exemplo, existem variedades simpléticas que não admitem estruturas complexas [14]. E podemos usar a Prop. 3.4.1 para dar um exemplo de uma variedade complexa que não é simplética:

Exemplo 3.4.2 (Superf´ıcie de Hopf ). Considere Z agindo em C2_{\{0} por}

n_{· (z}1, z2) = (2nz1, 2nz2),

de modo que a rela¸cão de equivalência dada pelas órbitas é (z1, z2)∼

(2z1, 2z2). Como a a¸cão é via transforma¸cões holomorfas, preserva a

estrutura complexa. Temos assim uma estrutura complexa induzida no quociente M = (C2

\{0})/ ∼, para a qual a aplica¸c˜ao quociente ´e um biholomorfismo local.

Para ver que M n˜ao admite nenhuma estrutura simpl´etica, ob-serve que C2

\{0} ´e difeomorfo a S3

× R atrav´es da aplica¸c˜ao f : S3_{× R → C}2_{\{0}, f(z}1, z2, t) = (2tz1, 2tz2).

Com essa identifica¸c˜ao, a a¸c˜ao de Z em S3

× R ´e n · (z1, z2, t) =

(z1, z2, t + n). Portanto M ∼= S3× S1, que não é simplético pela

Prop. 3.4.1.

Note que o Exemplo 3.3.6 ilustra ainda o fato de que existem variedades que admitem estruturas complexas e simpléticas, mas es-tas não podem ser escolhidas de forma compat´ıvel (o que é sempre poss´ıvel para estruturas quase-simpléticas/complexas). O leitor pode achar mais detalhes sobre a discussão de obstru¸cões, com referências aos artigos originais, em [7, 8, 29].

3.5 Subvariedades

Em uma variedade simplética (M, ω), existem tipos de subvariedades análogos aos subespa¸cos descritos na Se¸cão 2.2.

Uma subvariedade N ,→ M (ou, mais geralmente, uma imersão) é chamada coisotrópica (resp. isotrópica, lagrangiana, simplética) se,

(42)

para todo x_{∈ M, T}xN é um subespa¸co coisotrópico (resp. isotrópico,

lagrangiano, simpl´etico) de (TxM, ωx).

Por exemplo, toda curva é uma subvariedade isotrópica, e toda hipersuperf´ıcie é coisotrópica. Nosso foco principal será, no entanto, nas subvariedades que são ao mesmo tempo isotrópicas e coisotrópicas, i.e., lagrangianas. Ilustraremos nesta se¸cão como vários objetos natu-rais em geometria simplética podem ser expressos como subvariedades lagrangianas.

Sejam (M1, ω1) e (M2, ω2) duas variedades simpl´eticas, e denote

por M2 a variedade simpl´etica (M2,−ω2).

Proposi¸c˜ao 3.5.1. Um difeomorfismo ϕ : M1→ M2´e um

simplec-tomorfismo se e somente se o gr´afico de ϕ, graf(ϕ) =_{{(x, ϕ(x)), x ∈} M1}, ´e subvariedade lagrangiana de M1× M2.

Demonstrac¸˜ao:Considere o mergulho γ : M1→ M1× M2, γ(x) =

(x, ϕ(x)). Ent˜ao

γ∗(pr∗1ω1− pr∗2ω2) = (pr1◦ γ)∗ω1− (pr2◦ γ)∗ω2= ω1− ϕ∗ω2,

e o resultado segue imediatamente.

Observamos agora como alguns objetos geom´etricos associados a uma variedade Q s˜ao representados por subvariedades lagrangianas de T∗_{Q. Lembre que, em coordenadas cotangentes (x}

1, . . . , xn, ξ1, . . . , ξn),

a forma canˆonica ´e

ω =X

j

dxj∧ dξj.

´

E simples ver que tanto as fibras da proje¸c˜ao π : T∗_Q

→ Q quanto a se¸c˜ao zero Q ,_{→ T}∗_{Q s˜}_{ao subvariedades isotr´}_{opicas de dimens˜}_ao

m´axima (= 1 2dim(T

∗_{Q)), portanto s˜}_{ao lagrangianas. Esses dois}

ex-emplos são casos particulares da próxima proposi¸cão.

Proposi¸cão 3.5.2. Suponha que Q tem dimensão n, e seja S ,_{→ Q} uma subvariedade de dimensão k. Então o fibrado conormal de S,

N∗_{S :=}

{(x, ξ) ∈ T∗_Q

| x ∈ S, ξ ∈ T∗

xQ, tal que ξ|TxS = 0}

(43)

Demonstrac¸˜ao: Podemos escolher coordenadas locais (x1, . . . , xn)

em Q tais que S ´e definida localmente pelas condi¸c˜oes xk+1= . . . = xn= 0.

Nas coordenadas (x1, . . . , xn, ξ1, . . . , ξn) de T∗Q, o fibrado conormal

N∗_{S ´e definido por}

xk+1= . . . = xn= 0, ξ1= . . . = ξk = 0.

Portanto, em pontos de N∗S, podemos escrever α =Pj>kξjdxj, e

vemos que α se anula nos vetores _∂x∂_i, i = 1, . . . , k. Isso mostra que ι∗_{α = 0, onde ι : N}∗_{S ,}_{→ T}∗_{Q ´e a inclus˜}_ao.

A próxima classe de exemplos é importante no estudo de in-terse¸cões de variedades lagrangianas, veja Se¸cão 4.4.

Toda 1-forma µ_{∈ Ω}1_{(Q) define uma subvariedade}

Nµ:={(x, µx) , x∈ Q} ⊂ T∗Q,

caracterizada pela propriedade de que π : T∗Q → Q projeta Nµ

difeomorficamente sobre Q.

Proposi¸c˜ao 3.5.3. A subvariedade Nµ, µ ∈ Ω1(Q), ´e lagrangiana

se e somente se dµ = 0.

Demonstração: Note que Nµ é a imagem da aplica¸cão µ : Q →

T∗_{Q. Lembrando que}

µ∗_{α = µ,}

onde α é a 1-forma tautológica (veja exerc´ıcio na se¸cão 3.2), segue que

µ∗ω =−µ∗_{dα =}

−dµ∗_{α =}

−dµ,

e portanto µ∗_{ω = 0 se e somente se dµ = 0.}

Portanto subvariedades de Q e 1-formas fechadas em Q est˜ao naturalmente associadas a subvariedades lagrangianas de T∗_Q.

No artigo [43], a importância de subvariedades lagrangianas é ex-pressa no “credo simplético” de A. Weinstein: “tudo é uma subvar-iedade lagrangiana”. Em outras palavras, objetos e constru¸cões em geometria simplética podem, em geral, ser entendidos em termos de subvariedades lagrangianas.