Representações de Grupos Fuchsianos no Espaço Hiperbólico Complexo

(1)

REPRESENTAC

¸ ˜

OES DE GRUPOS FUCHSIANOS NO

ESPAC

¸ O HIPERB ´

OLICO COMPLEXO

Francisco Dutenhefner

Orientador:

Prof. Dr. Nikolai Alexandrovitch Goussevskii

Tese apresentada ao Departamento de Matem´atica do Instituto de Ciˆencias Exatas

da Universidade Federal de Minas Gerais, como parte dos requisitos para

obten¸c˜ao do grau de Doutor em Matem´atica

(2)

RESUMO

O principal objetivo deste trabalho ´e o estudo de representa¸c˜oes

ρ:G_→PU(n,1)

de grupos Fuchsianos G, ou seja, grupos discretos de isometrias do plano hiperb´olicoD_{, em PU(n,}_{1), o}

grupo de isometrias holomorfas do espa¸co hiperb´olico complexo HnC. Consideramosn= 2 e analisamos

estas representa¸cões para dois casos espec´ıficos: o primeiro, em queGé um grupo Fuchsiano que uniformiza uma superf´ıcie Riemanniana não compacta de área finita, e o segundo, em que G é o grupo triangular gerado pelas reflexões nos lados de um triângulo hiperbólico finito ∆_⊂D_.

Entre os resultados originais obtidos, tˆem-se:

• Seja Σ uma superf´ıcie de Riemann n˜ao compacta, de ´area finita e seja G um grupo Fuchsiano que uniformiza Σ = D

G. Seja T(Σ) o espa¸co de Teichmüller de Σ. Este é o espa¸co, a menos de conjuga¸cões, das representa¸cõesρ:G≃π1(Σ)→PU(2,1) discretas, exatas e que preservam o tipo

de elemento. Demonstramos que este espa¸co possui pelo menos duas componentes conexas que n˜ao s˜ao distinguidas pelo invariante de Toledo.

• SejaR(φ) o grupo gerado pelas reflexões nos lados de um triângulo hiperbólico ∆⊂D_{com todos}

os ˆangulos internos iguais aφ, sendoφ=π/n,n≥4. Sobre as representa¸c˜oesρ:R(φ)→PU(2,1), do grupo triangular em PU(2,1), demonstramos:

– se o grupoρ(R(φ))_⊂PU(2,1) não é puramente el´ıptico, então a representa¸cãoρé geométrica. Isto significa que o grupo ρ(R(φ)) é gerado pelas inversões em três linhas complexas em H2

C

que se encontram, duas a duas, em um ˆangulo igual aφ.

– existe um caminho cont´ınuo ρt de representa¸c˜oes, deR(φ) em PU(2,1), que se inicia em uma

representa¸c˜ao R_{-Fuchsiana. Mais ainda, este caminho passa por todas as representa¸c˜oes de}

R(φ) em PU(2,1). Portanto, isto nos dá uma completa descri¸cão do espa¸co de representa¸cões deR(φ) em PU(2,1).

– No caso em queφ=π/4, demonstramos que este caminhoρt:R(π/4)→PU(2,1) ´e formado por

representa¸cões discretas e exatas. Isto implica a existência de deforma¸cões quase-Fuchsianas, não triviais, de uma representa¸cão R_{-Fuchsiana do grupo fundamental de uma superf´ıcie}

com-pacta em PU(2,1).

• Como uma aplica¸c˜ao deste estudo de grupos triangulares, demonstramos que, na fronteira do espa¸co de representa¸c˜oes

ρ:π1(Sg)→PU(2,1),

do grupo fundamental de uma superf´ıcie de Riemann compacta Sg em PU(2,1), existem

repre-senta¸c˜oes contendo elementos parab´olicos acidentais.

(3)

ABSTRACT

The main aim of this work is to study the representations

ρ:G→PU(n,1)

of Fuchsian groups G, that is, discrete groups of isometries of the hyperbolic plane D_{, in PU(n,}_{1), the}

group of holomorphic isometries of complex hyperbolic space Hn

C. We consider n = 2 and study these

representations for two cases: in the first one, Gis a Fuchsian group which uniformizes a non-compact Riemann surface of finite area and, in the second one, G is a triangle group generated by inversions in sides of a finite hyperbolic triangle.

The principal results of this work are the following:

• Let Σ be a non-compact Riemann surface of finite area, and letGbe a Fuchsian group uniformizing Σ = D

G. LetT(Σ) be the Teichm¨uller space of Σ. This space is the space of discrete, faithfull, type preserving representationsρ:G_≃π1(Σ)→PU(2,1), up to conjugations, in PU(2,1).

We prove that this space has at least two connected components, and, moreover, we show that Toledo’s invariant does not distinguish these components.

• LetR(φ) be a group generated by inversions in sides of a regular hyperbolic triangle ∆⊂D _with

angles equal toφ, whereφ=π/n,n≥4. We obtain the following results about these representations ρ:R(φ)→PU(2,1):

– If the group ρ(R(φ))_⊂PU(2,1) is not elliptic, then the representationρis geometric, that is, the group ρ(R(φ)) is generated by inversions in three complex lines in H2

Cintersecting in the

angleφ.

– There exists a continuous path ρt of representationsR(φ) in PU(2,1) whose initial point is an R_{-Fuchsian group. Moreover, this path contains all representations of} _{R(φ) in PU(2,}_{1). So,}

this gives the complete description of the space of representations of R(φ) in PU(2,1).

– In the case φ=π/4, we prove that this pathρt :R(π/4) →PU(2,1) contains only discrete,

faithfull representations. This implies that there are non-trivial quasi-Fuchsian deformations of co-compactR_{-Fuchsian groups in PU(2,}_1).

• As a consequence of this study of triangle groups, we show that on the boundary of the space of representations

ρ:π1(Sg)→PU(2,1),

of the fundamental group of a compact hyperbolic Riemann surface Sg in PU(2,1) there exist

representations with parabolic elements.

(4)

`

(5)

Agradecimentos

Ao Prof. Dr. Nikolai Alexandrovitch Goussevskii pela orienta¸c˜ao, incentivo, paciˆencia

e conhecimentos transmitidos durante este per´ıodo.

Ao meu amigo e irm˜ao Seme Gebara Neto, que a muito tempo vem estudando comigo,

e que me ajudou muito em diversos pontos deste trabalho.

Ao Crocco pelas valiosas conversas que contribu´ıram para uma melhora desta tese.

A todos os professores e funcion´arios do Departamento de Matem´atica da UFMG que

contribu´ıram para a implanta¸c˜ao do programa de Doutorado em Matem´atica neste

depar-tamento. Em particular, eu agrade¸co aos professores Gast˜ao de Almeida Braga e M´arcio

Gomes Soares pelas excelentes coordena¸cões da Pós-Gradua¸cão.

Ao Professor Michel Spira, e a todos aqueles que seguiram a sua id´eia, pela organiza¸c˜ao

do Progama de Verão de 1996. Neste verão eu conheci o Departamento de Matemática da

UFMG.

Ao Rosivaldo, grande amigo de Montes Claros, pela leitura e corre¸c˜ao dos in´

umeros

erros gramaticais desta tese.

Eu agrade¸co e dedico esta tese aos meus pais, Miguel e Edy, que com afinco, lutaram

para a realiza¸c˜ao de meus estudos. Amo muito vocˆes.

Aos meus irmãos Cláudio, Fernando e Sérgio pelo incentivo, carinho e pela torcida.

Ao meu amigo e companheiro de sala Grey, pela paciˆencia em dividir o seu espa¸co

comigo.

Ao Helder, pela sua ajuda constante em diversos pontos desta tese.

Aos funcionários do departamento, cujas a¸cões nos dão condi¸cões de desenvolver nosso

trabalho. Obrigado pelo carinho e solidariedade.

A Cˆamara Departamental pelo incentivo dado aos professores do departamento que

est˜ao elaborando uma tese. Em particular, devo agradecˆe-la por ter reduzido a minha

carga did´atica no per´ıodo de defesa desta tese.

A todos os professores do Departamento de Matem´atica da UFMG que, direta ou

indiretamente, contribu´ıram para a realiza¸c˜ao deste trabalho.

(6)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 8

1.1 O espa¸co hiperb´olico complexo . . . 8

1.2 O dom´ınio de Siegel e o grupo de Heisenberg . . . 9

1.3 Miscelˆanea de fatos . . . 12

1.4 Potenciais de K¨ahler para a m´etrica de Bergman . . . 18

1.4.1 Potencial de K¨ahler associado a um ponto interior . . . 18

1.4.2 Potencial de K¨ahler associado a um ponto da fronteira . . . 19

1.4.3 A estrutura CR para o espa¸co de Heisenberg . . . 22

1.5 Esferas isom´etricas . . . 24

1.5.1 Esferas isom´etricas de Dirichlet . . . 24

1.5.2 Esferas isom´etricas de Ford . . . 26

1.5.3 A decomposi¸c˜ao de Bruhat de PU(n,1) . . . 28

1.5.4 Esferas isom´etricas de Ford e a m´etrica de Cygan . . . 30

1.5.5 Esferas isom´etricas e invers˜oes em cadeias . . . 35

1.5.6 Esferas isom´etricas e invers˜oes emR_{-c´ırculos . . . .} ₃₆

2 Dom´ınio fundamental de Ford 38 2.1 O raio tende a zero . . . 39

2.2 Volume, diˆametro e convergˆencia . . . 40

2.3 O dom´ınio de Ford ´e estrelado . . . 43

2.4 O dom´ınio fundamental de Ford em geometria hiperb´olica complexa . . . 45

2.5 O dom´ınio fundamental de Ford em geometria CR-esf´erica . . . 48

3 Exemplos de dom´ınios de Ford 51 3.1 Aplica¸c˜oes do Teorema de Giraud . . . 51

3.1.1 Teorema de Giraud e dom´ınios de Dirichlet . . . 51

3.1.2 Teorema de Giraud e dom´ınios de Ford . . . 54

3.2 A localiza¸c˜ao dos pontos fixos . . . 55

3.3 Dom´ınios com dois lados . . . 57

3.4 Grupos c´ıclicos . . . 61

3.4.1 Grupos c´ıclicos loxodrˆomicos . . . 61

3.4.2 Grupos c´ıclicos parab´olicos . . . 64

3.4.3 El´ıptico-parab´olico de ordem dois . . . 68

4 Constru¸c˜oes de subgrupos discretos de PU(n,1) 72 4.1 Teorema dos Poliedros de Poincar´e . . . 72

4.1.1 Vers˜ao 1 - poliedro com faces tangentes no infinito . . . 72

4.1.2 Vers˜ao 2 - poliedro sem faces tangentes no infinito . . . 73

(7)

4.3 Colar de p´erolas de Ford . . . 77

5 Espa¸co de Teichm¨uller 79 5.1 Invariante angular de Cartan . . . 80

5.2 Invariante de Toledo . . . 81

5.3 Cohomologia limitada . . . 85

5.3.1 Homologia . . . 85

5.3.2 Cohomologia . . . 86

5.3.3 Cocadeias geod´esicas . . . 87

5.3.4 Cociclo de Toledo . . . 87

5.4 O espa¸co de Teichmüller não é conexo . . . 93

5.4.1 Um grupo discreto Γ cujo conjunto limite ´e um n´o selvagem . . . 94

5.4.2 Um grupo discreto Γ∗ _{cujo conjunto limite é um nó dócil . . . .} ₉₉

5.4.3 O espa¸co de Teichmüller não é conexo . . . 103

6 Deforma¸cões de triângulos regulares em H2 C 109 6.1 Representa¸cão de grupos triangulares em PU(2,1) . . . 111

6.2 Representa¸cão de grupos de triângulo retângulo . . . 114

6.3 Triˆangulos ideais . . . 115

6.3.1 Uma forma normal em termos da faseψ . . . 121

6.3.2 Uma forma normal em termos do ˆanguloϕ . . . 122

6.3.3 Triˆangulos ideaisC_{-planos ou}R_{-planos . . . .} ₁₂₃

6.4 Triˆangulos regulares . . . 125

6.4.1 Deforma¸c˜ao de triˆangulos regulares . . . 132

6.4.2 Triˆangulos regularesC_{-planos ou} R_{-planos . . . .} ₁₃₆

6.4.3 N˜ao existˆencia deR_{-planos invariantes . . . .} ₁₃₇

6.4.4 Triˆangulos regulares - uma outra parametriza¸c˜ao . . . 142

6.5 O triˆangulo (4,4,4) e o grupo Γ(4, η) . . . 146

6.6 Aplica¸c˜oes: deforma¸c˜ao de grupos de superf´ıcies . . . 161

(8)

Dependˆ

encia de cap´ıtulos

Cap. 1

Cap. 2

Cap. 3

Cap. 4

(9)

Introdu¸

c˜

ao

Nesta introdu¸c˜ao, apresentamos um breve hist´orico sobre os objetos de estudo desta tese e enunciamos os principais resultados originais obtidos.

O principal objetivo deste trabalho ´e o estudo de representa¸c˜oes discretas e exatas

ρ:G_→PU(n,1)

de grupos Fuchsianos G, ou seja, grupos discretos de isometrias do plano hiperb´olicoD_{, em PU(n,}_{1), o}

grupo de isometrias holomorfas do espa¸co hiperb´olico complexo Hn

C. Consideramosn= 2 e analisamos

estas representa¸cões para dois casos espec´ıficos: o primeiro, em que G é um grupo Fuchsiano que uni-formiza uma superf´ıcie Riemanniana Σ de gênerog, comp >0 pontos retirados e caracter´ıstica de Euler χ= 2−2g−pnegativa, e o segundo, em queGé o grupo triangular gerado pelas reflexões nos lados de um triângulo hiperbólico finito ∆⊂D_{. Mais especificamente, podemos apresentar as seguintes motiva¸cões}

para este estudo.

Seja G um grupo Fuchsiano que uniformiza uma superf´ıcie Riemanniana Σ = D

G de gˆenero g, com p > 0 pontos retirados e, portanto, com caracter´ıstica de Euler χ(Σ) = 2−2g−p negativa. Se π1(Σ)

denota o grupo fundamental de Σ, ent˜ao Geπ1(Σ) s˜ao isomorfos. Durante esta tese estaremos sempre

confundindo estes grupos. Neste sentido, representa¸c˜oes

ρ:G_→PU(n,1),

do grupo FuchsianoGem PU(n,1), tamb´em podem ser interpretadas como representa¸c˜oes

ρ:π1(Σ) → PU(n,1),

do grupo fundamental de Σ em PU(n,1).

A classifica¸c˜ao das representa¸c˜oes ρ : π1(Σ) → PU(2,1) discretas e exatas de π1(Σ) no grupo de

isometrias do espa¸co hiperbólico complexo de dimensão 2, teve um grande progresso nos últimos anos mas ainda é um problema em aberto. Para entender melhor esta classifica¸cão, é mais conveniente definirmos o espa¸co, a menos de conjuga¸cões, das representa¸cões discretas e exatas de π1(Σ) em PU(2,1), e que

preservam o tipo de elemento. Este espa¸co é chamado deespa¸co de Teichmüllerde Σ e é denotado por T(Σ). A teoria de espa¸cos de Teichmüller é muito rica, mas ainda está no in´ıcio do seu desenvolvimento. O estágio de desenvolvimento desta teoria é tal que ainda é necessário investir em exemplos básicos detalhados para se obter uma base para considera¸cões mais gerais. Os resultados mais importantes nesta dire¸cão foram obtidos por:

• Toledo [60] e Goldman-Millson [27]: no caso de uma superf´ıcie compacta Σ, descreveram a compo-nente conexa do espa¸co de Teichm¨uller contendo representa¸c˜oesC_{-Fuchsianas de}_π₁_{(Σ) em PU(n,}_1);

(10)

• Goldman-Kapovich-Leeb [26]: fixadog_≥2, para cadainteiro parque pode ser um invariante de Toledo, constru´ıram uma representa¸c˜ao discreta, exata e cocompacta de π1(Sg) em PU(2,1), que

possui este invariante de Toledo, sendoSg a superf´ıcie de Riemann compacta de gˆenerog;

• Gusevskii-Parker [33] e [34]: constru´ıram uma deforma¸c˜ao de representa¸c˜oesC_{-Fuchsianas de}_π₁_(Σ)

em PU(2,1), no caso de uma superf´ıcie não compacta de área finita Σ, e provaram que as repre-senta¸cõesC_{-Fuchsianas e}R_{-Fuchsianas est˜}_{ao contidas na mesma componente conexa do espa¸co de}

Teichm¨ullerT(Σ). Isto implica que, parap_≥1, existem representa¸c˜oes discretas e exatas deπ1(Σ)

em PU(2,1) que realizam todos os valores poss´ıveis do invariante de Toledo;

• Xia [63]: no caso de uma superf´ıcie compacta Σ, demonstrou que o invariante de Toledo distingue as componentes conexas do espa¸co de todas as representa¸c˜oesπ1(Σ) em PU(2,1) (n˜ao necessariamente

discretas e exatas). Neste caso, este espa¸co possui exatamente 6g−5 componentes conexas distintas.

Neste trabalho, vamos demonstrar que, no caso de uma superf´ıcie Σ não compacta de área finita, o espa¸co de Teichmüller T(Σ) não é conexo e que o invariante de Toledo não distingue as componentes conexas deste espa¸co. Este resultado pode ser enunciado como:

Teorema 1 Seja Σ uma superf´ıcie de Riemann hiperbólica não compacta, de área finita, gênero g = 0

e p pontos retirados. Então o espa¸co de Teichmüller T(Σ) das representa¸cões discretas, exatas e que preservam o tipo de elemento, de π1(Σ) em PU(2,1), não é conexo. De fato, este espa¸co possui pelo

menos duas componentes conexas que n˜ao s˜ao distinguidas pelo invariante de Toledo.

Mais especificamente, para este fim, vamos exibir um subgrupo discreto geometricamente finito Γ de PU(2,1) cujo conjunto limite é um nó selvagem, uma superf´ıcie Riemanniana não compacta Σ de gênero g= 0 e de área finita e uma representa¸cão discreta e exata ρ:π1(Σ) → PU(2,1) tal queρ(π1(Σ)) = Γ.

Por outro lado, vamos exibir um subgrupo discreto geometricamente finito Γ∗ ⊂PU(2,1) cujo conjunto limite é um nó dócil, e vamos exibir um isomorfismo, que preserva o tipo de elemento, φ : Γ _→ Γ∗_. Esta condi¸cão siginifica que φ(γ) é parabólico se, e somente se, γ é parabólico. Isto implica a existência de uma representa¸cão discreta e exata ρ∗ _: _π

1(Σ) → PU(2,1) tal que ρ∗(π1(Σ)) = Γ∗. Para estas

duas representa¸cões ρe ρ∗_{, mostramos que elas possuem invariante de Toledo zero e que elas estão em} componentes conexas distintas do espa¸co de TeichmüllerT(Σ).

Para a demonstra¸cão do teorema anterior, foi feito um estudo detalhado do dom´ınio fundamental de Ford para um subgrupo discreto de PU(n,1). Em particular, demonstramos o seguinte teorema geral de constru¸cão de subgrupos discretos de PU(n,1). Os grupos geometricamente finitos quase-Fuchsianos Γ e Γ∗_{foram constru´ıdos com uma aplica¸cão deste teorema.}

Teorema 2 Sejam {S1, S1′, . . . , Sl, Sℓ′} uma cole¸c˜ao de 2ℓ esferas de Heisenberg distintas, e sejam

g1, g2, . . . , gℓelementos dePU(n,1), nenhum deles fixando o ponto idealq∞, tais que as esferas isom´etricas

de Ford de gj e g−j1 sejam, respectivamente,Sj eSj′. Suponhamos que:

1. dadas quaisquer duas esferas distintas no conjunto _{S1, S1′, . . . , Sl, Sℓ′}, ou elas s˜ao disjuntas, uma

contida no exterior da outra, ou elas s˜ao exteriormente tangentes.

2. gj transforma pontos de tangˆencia na esferaSj em pontos de tangˆencia na esferaSj′.

Nestas condi¸cões, o grupoG, gerado porg1, g2, . . . , gℓ, é discreto, e o exterior comum destas esferas é um

(11)

Por outro lado, sobre grupos triangulares em PU(2,1), podemos apresentar as seguintes motiva¸c˜oes.

Defini¸cão 1 Um grupo triangular Γ em PU(2,1) é um grupo gerado pelas inversões em três linhas complexas em H2

C. Isto é, se Σ1, Σ2 e Σ3 são três linhas complexas quaisquer em H2C e se i, j e k

denotam as respectivas invers˜oes nestas linhas complexas, ent˜ao

Γ = hi, j, ki.

Sobre estes grupos triangulares é natural se perguntar quando o grupo Γ é discreto. Por discreto entendemos que o grupo é discreto como um subgrupo do grupo de Lie PU(2,1).

Como, duas a duas, as linhas complexas Σ1, Σ2e Σ3podem ser ultraparalelas, assint´oticas ou

concor-rente, vemos que existem v´arias classes distintas de grupos triangulares em PU(2,1). Vejamos algumas destas classes.

1. Suponhamos que Σ1, Σ2e Σ3sejam duas a duas assint´oticas, ou seja, a interse¸c˜ao de quaisquer duas

destas linhas complexas ´e um ponto na fronteira deH2

C. Neste caso, o grupo Γ ´e chamado degrupo

triangular ideal.

Como uma linha complexa é definida unicamente por dois de seus pontos, vemos que estas três linhas complexas podem ser reconstru´ıdas a partir dos seus pontos de interse¸cãoA= Σ1∩Σ2,

B= Σ2∩Σ3 eC= Σ3∩Σ1(na fronteira deH2C). Mas, a menos de isometrias do espa¸co hiperb´olico

complexo, trˆes pontos na fronteira deH2

Cficam completamente determinados pelo invariante angular

de CartanA₌A_{(A, B, C). Assim, a menos de conjuga¸c˜oes, no grupo de isometrias de}_H2

C, o grupo

triangular Γ depende apenas deA_{, ou seja, Γ = Γ(}A_).

Em [29] e [54] foi demonstrado que Γ = Γ(A_{) ´e discreto se, e somente se,}_|A_{| ≤}_arctanp_125/3.

Mais ainda, Goldman-Parker [29] e Schwartz [54] descreveram completamente o espa¸co de de-forma¸c˜oes de um grupo triangular ideal no espa¸co hiperb´olico complexo.

2. Suponhamos agora que Σ1, Σ2e Σ3sejam duas a duas ultraparalelas. Neste caso, o grupo triangular

Γ =hi, j, ki, gerado pelas inversões nestas linhas complexas, é chamado degrupo triangular do tipo [m,l,k], sendo quem,l eksão as distâncias entre duas destas linhas complexas.

Estes grupos foram estudados em [62], onde encontramos alguns teoremas que garantem a dis-cretitude do grupo Γ. Entretanto, a caracteriza¸cão do espa¸co de deforma¸cões dos grupos triangulares do tipo [m,l,k] ainda é uma pergunta em aberto.

3. O grupo triangular (n, n,_∞) também foi o objeto de estudo em [62]. Este é o grupo Γ =_hi, j, k_i gerado pelas inversões em três linhas complexas Σ1, Σ2e Σ3de modo que: Σ2 e Σ3são assintóticas,

Σ1´e concorrente com Σ2e Σ3, com∠(Σ1,Σ2) =∠(Σ1,Σ3) =π/n. O cason= 4 foi particularmente

detalhado em [62].

4. Ainda sabe-me muito pouco sobre o grupo triangular Γ gerado pelas invers˜oes em trˆes linhas com-plexas duas a duas concorrentes emH2

C. Dentro desta classe de grupos triangulares, o grupo Γ(4, n)

foi o objeto de estudo em [56]. Este grupo possui os seguintes geradores e rela¸c˜oes:

Γ(4, n) = _hi1, i2, i3| i2i = (iiij)4= (iiijiiik)n= 1i,

sendo que estas rela¸c˜oes devem ser satisfeitas para quaisquer ´ındices distintosi, j ek no conjunto

(12)

Σ2 e Σ3 linhas complexas emH2C duas a duas concorrentes sobre o ˆangulo π/4 e sejam i1, i2 ei3

as respectivas inversões nestas linhas complexas. Mais ainda, suponhamos que a linha complexa ii(Σj) seja concorrente com a linha complexa Σk formando o ângulo π/n. Então Γ(4, n) é o grupo

triangular gerado pelas invers˜oesi1,i2 ei3.

Em [56] foi demonstrado que Γ(4, n) ´e discreto paran= 5,6,7,8,12. Entre estes grupos, Γ(4,7) merece especial aten¸c˜ao: se denotarmos por Ω(4,7)_⊂S3 _{o dom´ınio de descontinuidade de Γ(4,}₇₎

em S3 ₌ _∂H2

C, ent˜ao a variedade M =

Ω(4,7)

Γ(4,7) é o primeiro exemplo conhecido de 3-variedade hiperbólica real fechada que admite uma estrutura CR esférica. A existência de uma tal variedade era uma das perguntas em aberto listadas em [25].

5. Sejam Σ1, Σ2 e Σ3 linhas complexas duas a duas concorrentes emH2C de modo que

∠(Σ1,Σ2) = π

a , ∠(Σ2,Σ3) = π

b e ∠(Σ3,Σ1) = π c.

O grupo triangular Γ, gerado pelas inversões nestas linhas complexas, é denotado por Γ(a, b, c). De maneira geral, ainda se sabe muito pouco sobre estes grupos. Na home-page [57], estes grupos podem ser experimentados geometricamente. Com base nestes experimentos computacionais, o autor desta página iterativa, R. E. Schwartz, listou algumas conjecturas sobre a discretitude do grupo Γ(a, b, c). Estas conjecturas, e um resumo detalhado de grupos triangulares no espa¸co hiperbólico complexo, podem ser encontradas em [53].

Estes grupos triangulares Γ(a, b, c) também são o objeto de estudo desta tese de doutorado. Em particular estudamos este grupo no caso em quea=b=c, ou seja, estudamosgrupos triangulares regularesno espa¸co hiperbólico complexo.

Neste contexto, estudamos representa¸cões ρ : R(a, b, c) −→ PU(2,1) de grupos triangulares, que agem no plano hiperbólicoD_{, no grupo PU(2,}_{1) de isometrias holomorfas do espa¸co hiperbólico complexo}

H2

C. Estes grupos triangulares são gerados pelas reflexões nos lados de um triângulo hiperbólico ∆⊂D

com ˆangulos π a,

π b e

π

c, sendo quea, b, cs˜ao inteiros positivos tais que 1 a+

1 b +

1 c <1.

Uma representa¸cãoρ: R(a, b, c) _−→ PU(2,1) égeométrica se o grupo Γ =ρ(R(a, b, c)) é gerado pelas inversões em três linhas complexas que se encontram emH2

Csegundo ˆangulosp

π a,q

π b er

π c, sendo quep, q, rs˜ao inteiros positivos tais que 0 < p

a, q b,

r c <

1

2. Nesta tese, demonstramos o seguinte resultado.

Teorema 3 SejaR(a, b, c)um grupo triangular agindo no plano hiperb´olicoD_{. Seja}

ρ: R(a, b, c) −→ PU(2,1)

uma representa¸cão deste grupo triangular em PU(2,1). Se o grupo Γ = ρ(R(a, b, c)) não é puramente el´ıptico, então esta representa¸cão é geométrica.

Assim, a existência de tais representa¸cões depende do conhecimento da trigonometria do espa¸co hiperbólico complexo e, em particular, da resposta da seguinte pergunta: fixados ângulos α, β e γ, existem linhas complexas emH2

Cque se encontram segundo estes ˆangulos? Neste trabalho, vamos

respon-der e analisar esta pergunta no caso em que α= β =γ, ou seja, vamos construir e classificar todos os triˆangulos regularesemH2

C. A resposta encontrada para esta pergunta pode ser resumida no seguinte

(13)

Teorema 4 Seja∆_⊂D_{um triˆ}_{angulo geod´esico com os ˆ}_{angulos internos iguais a}_φ₌_π/n_,_n_≥₄_{, e seja}

R(φ)o grupo gerado pelas reflexões nos lados de∆. Então, existe um caminho cont´ınuo de representa¸cões

ρη:R(φ) −→ PU(2,1)

parametrizado por0 ≤ η < arccos

1 2 cos(φ)

, que satisfaz as seguintes condi¸c˜oes:

1. a menos de isometrias, este caminho passa por todas as representa¸c˜oes deR(φ)emPU(2,1).

2. para valores diferentes deη, os gruposΓ(φ, η) =ρη(R(φ))n˜ao s˜ao conjugados no grupo de isometrias

deH2

C, e cada um destes grupos é gerado por inversões em três linhas complexas que se encontram

duas a duas em um ˆangulo igual aφ.

3. esta representa¸c˜ao ´eR_{-Fuchsiana se, e somente se,} _η_{= 0}_.

4. para todoη, o invariante de Toledoτ(ρη), da representa¸c˜aoρη, ´e igual a zero.

Mais ainda, no caso espec´ıfico em que φ=π/4, demonstramos que, para para valores pequenos deη, a representa¸c˜aoρη, do teorema anterior, ´e discreta e exata.

Teorema 5 Existeǫ >0tal que, para todos os valores deη no intervalo 0_≤η < ǫ, a representa¸c˜ao

ρη:R(π/4) −→ Γ(π/4, η)⊂PU(2,1)

´e discreta e exata.

Este teorema fornece a seguinte aplica¸c˜ao: sejaSg uma superf´ıcie de Riemann compacta de gˆenerog.

Para todog_≥2, temos que

π1(Sg) < π1(S2) < R(π/4),

sendo que, nestas inclusões, cada grupo é um subgrupo de ´ındice finito do grupo que o contém. Assim, tendo em vista o teorema anterior, podemos garantir que existem representa¸cõesR_-Fuchsianas

ρ:π1(Sg) −→ PU(2,1)

que admitem deforma¸cões cont´ınuas quase-Fuchsianas, de modo que o resultado seja uma representa¸cão que não estabiliza nenhumR2_{-plano em}_H2_C_{. Observe que isto est´}_{a em contraste com o Teorema de Rigidez}

de Toledo, que afirma que as representa¸c˜oes C_-Fuchsianas _ρ_:_π₁_(S_g₎ _−→ _PU(2,_{1) s˜ao r´ıgidas, ou seja,}

qualquer perturba¸c˜ao pequena de uma tal representa¸c˜ao ainda preserva umC_{-plano em}_H2_C_.

Mais ainda, como uma outra aplica¸cão deste estudo de representa¸cões de grupos triangulares em PU(2,1), demonstramos que, na fronteira do espa¸co de representa¸cões ρ : π1(Sg) −→ PU(2,1),

(14)

Teorema 6 SejaSg a superf´ıcie Riemanniana compacta de gˆenerog≥2. Ent˜ao, existe um caminho

ρη:π1(Sg) −→ PU(2,1) , parametrizado para 0≤η≤ηf ,

tal que no ponto inicial η = 0,ρ0 ´eR-Fuchsiana e no ponto finalη =ηf = arccos

5√2 8

!

, ρηf ´e uma

representa¸cão que contém elementos parabólicos acidentais. Mais ainda, neste ponto,ρηf está na fronteira

do espa¸co de representa¸c˜oes de π1(Sg)em PU(2,1).

Um exemplo de uma representa¸cão contendo elementos parabólicos acidentais foi obtido por Belegradek [3]. O nosso método tem uma vantagem em rela¸cão ao exemplo de Belegradek pois, mostramos que este grupo fica na fronteira do espa¸co de deforma¸cões. Já, para o exemplo de Belegradek, isto não está claro.

Esta tese est´a dividida em 6 cap´ıtulos, resumidos abaixo.

No cap´ıtulo 1, apresentamos as defini¸cões e resultados básicos sobre o espa¸co hiperbólico complexo. Nos concentramos no conceito de esfera isométrica de Ford e apresentamos duas decomposi¸cões geométricas, relacionadas com esferas isométricas de Ford, para os elementos em PU(n,1). De fato, sejaguma aplica¸cão em PU(n,1) que não fixa o ponto idealq∞, na fronteira de HnC. Por um lado, g pode ser escrita como

g=T◦iondeTé uma isometria de Heisenberg eié a inversão na cadeia do equador da esfera isométrica de Ford de g. Por outro lado, g também pode ser escrita como g = j ◦i onde j é a inversão em um meridiano da esfera isométrica de Ford deg eié uma inversão em um dado R_{-c´ırculo infinito.}

No cap´ıtulo 2, estudamos o dom´ınio fundamental de Ford para um grupo discreto de isometriasGde PU(n,1). Demonstramos que este ´e um poliedro fundamental paraG, e que os elementos identificadores de lados geramG.

No cap´ıtulo 3, apresentamos alguns exemplos de dom´ınios fundamentais de Ford para certos gru-pos discretos Gde PU(2,1). Nestes exemplos, apresentamos a estrutura combinatória destes poliedros, exibindo todos os ciclos de arestas. Para isto, foi feito um estudo preliminar sobre o teorema de Giraud que afirma, como uma de suas consequências, que todo ciclo de arestas tem comprimento 2 ou 3. De fato, apresentamos um esquema geral de identifica¸cões de arestas para o dom´ınio fundamental de Ford ou de Dirichlet.

No cap´ıtulo 4, apresentamos duas versões para o Teorema dos Poliedros de Poincaré. Estes teoremas descrevem condi¸cões para que o grupoG, gerado pelos elementos identificadores de lados de um poliedro D, seja discreto e que este poliedro D seja um dom´ınio fundamental para G. Também demonstramos uma constru¸cão geral de certos subgrupos discretos de PU(n,1). Esta constru¸cão é geométrica, fácil de ser aplicada, e foi utilizada na constru¸cão dos grupos isomorfos Γ e Γ∗_{, um tendo como conjunto limite} um nó selvagem e o outro tendo como conjunto limite um nó dócil.

(15)

No cap´ıtulo 5, demonstramos que o espa¸co de TeichmüllerT(Σ), das representa¸cões discretas, exatas e que preservam o tipo de elemento ρ: π1(Σ)→PU(2,1), do grupo fundamental de uma superf´ıcie não

compacta mas de área finita em PU(2,1), não é conexo e que o invariante de Toledo não distingue as componentes conexas deste espa¸co. Neste cap´ıtulo, também definimos o invariante de Toledo para repre-senta¸cões de grupos Fuchsianos com elementos parabólicos e demonstramos as suas principais propriedades que foram utilizadas neste trabalho.

O cap´ıtulo 6 visa o estudo de representa¸cõesρ: R(a, b, c) _−→ PU(2,1) de grupos triangulares, que agem no plano hiperbólicoD_{, no grupo PU(2,}_{1). Demonstramos que estas representa¸cões são, exceto casos}

triviais, geométricas. Mais ainda, quando a=b =c, demonstramos a existência de um caminho, a um parâmetro, destas representa¸cões e mostramos, no casoπ/4, a existência de um caminho, de representa¸cões discretas e exatas de R(π/4) em PU(2,1).

Como uma aplica¸c˜ao deste estudo de grupos triangulares, seπ1(Sg) denota o grupo fundamental da

superf´ıcie de Riemann de gênero g, e seρ0:π1(Sg)→PU(2,1) é uma representa¸cãoR-Fuchsiana, então

demonstramos que esta representa¸cão admite deforma¸cões cont´ınuas quase-Fuchsianas não triviais. Mais ainda, também demonstramos que na fronteira do espa¸co de representa¸cões

ρ:π1(Sg)→PU(2,1)

existem representa¸c˜oes contendo elementos parab´olicos acidentais.

(16)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

Neste cap´ıtulo vamos apresentar os conceitos básicos sobre o espa¸co hiperbólico complexo. A referência básica sobre este assunto é o livro de W. M. Goldman [20].

1.1 O espa¸

co hiperb´

olico complexo

O espa¸co hiperb´olico complexo Hn

C n-dimensional é a única variedade de Kähler simplesmente conexa

completa de curvatura seccional holomorfa negativa e constante igual a -1. A curvatura seccional real de Hn

Cvaria entre -1 e -1/4. Existem v´arios modelos para o espa¸co hiperb´olico complexo. O primeiro modelo

a ser apresentado ´e omodelo projetivo.

Vamos denotar porCn,1 _{o espa¸co vetorial complexo de dimens˜}_ao_n_{+ 1 com a forma Hermitiana n˜ao}

degeneradah·,·idefinida por

hZ, Wi = z1w1 + · · · + znwn − zn+1wn+1,

sendo que

Z =     

z1

.. . zn

zn+1

   

 e W =

    

w1

.. . wn

wn+1

   

 .

Considere os seguintes sub-conjuntos deCn,1_:

V0 = {Z ∈Cn+1: hZ, Zi= 0}

V− = {Z ∈Cn+1: hZ, Zi<0} V+ = {Z∈Cn+1: hZ, Zi>0}.

Os vetores em V0,V− ouV+ s˜ao respectivamente chamados denulos,negativosoupositivos.

Seja P : Cn,1_{\ {}₀_{} →} _CPn _{a proje¸c˜ao natural sobre o espa¸co projetivo. O} _espa¸_{co hiperb´}_olico

complexo ´e definido como HnC = P(V−), munido da m´etrica Riemannina induzida da forma h·,·i pela

proje¸cãoP. Esta métrica, denotada porρ, é chamada demétrica de Bergman.

Visto que vetores negativosZpossuem a ´ultima coordenadazn+1diferente de zero, podemos normalizar

esta coordenada como 1. AssimHn

Cpode ser identificado com abola unit´ariaBn emCn:

Bn ₌ _z _{= (z}₁_{, z}₂_{, . . . , z}_n_), _∈ Cn _: _hh_{z, z}_ii_<₁ _,

(17)

O grupo de isometrias biholomorfas deHn

C´e PU(n,1) que age no espa¸co hiperb´olico complexo como

transforma¸cões lineares projetivas. Assim PU(n,1) é a projetiviza¸cão do grupo unitário U(n,1) com respeito à forma Hermitiana definida acima em Cn,1_{. Todo o grupo de isometrias de} _Hn_C _{é gerado por}

PU(n,1) e por conjuga¸c˜oes complexas. Adistˆancia de Bergmanρentre dois pontosz, w_∈Hn

C´e dada

por

cosh2

ρ(z, w) 2

= hZ, WihW, Zi

hZ, Z_ihW, W_i

sendo que Z eW s˜ao quaisquer vetores negativos emCn,1 _{que se projetam em}_z_e_w_{respectivamente.}

1.2 O dom´ınio de Siegel e o grupo de Heisenberg

A fronteira de Hn

C ´e a esfera S2n−1 =P(V0). Do mesmo modo, como a fronteira do espa¸co hiperb´olico

real pode ser identificada com a compactifica¸cão em um ponto do espa¸co Euclidiano, a fronteira do espa¸co hiperbólico complexo pode ser identificada com a compactifica¸cão em um ponto do grupo de Heisenberg.

Antes disso, vejamos odom´ınio de Siegelhn para o espa¸co hiperb´olico complexo. Este ´e o seguinte subconjunto deCn_:

hn={(w′, wn)∈Cn |2Re(wn)− hhw′, w′ii >0}

sendo que w′ _{= (w}₁_{, . . . , w}_n

−1)∈Cn−1. Astransforma¸c˜oes de Cayley

z∈Bn _←→ _w_∈_hn

zj= 2wj

1 + 2wn

wj= zj

1 +zn

(1≤j < n)

zn= 1−2wn

1 + 2wn

wn=1

2 1−zn

1 +zn

relacionam o modelo da bola com o dom´ınio de Siegel.

O espa¸co hiperbólico complexo também pode ser parametrizado porcoordenadas horoesféricas[28, página 522]. Estas coordenadas são (ζ, v, u), pertencentes ao conjunto

S =Cn−1_×R_×R₊ _,

sendoR₊₌_{_x_∈R _: _x_≥₀_}_{, e parametrizam} _Hn

C, no modelo projetivo e no dom´ınio de Siegel, por

ψ: Cn−1_×_R_×_R

+ −→ HnC

(ζ, v, u) _−→     

ζ

1_{− hh}ζ, ζ_{ii −}u+iv 2

1 +hhζ, ζii+u−iv 2

    

(1.1)

Cn−1_×_R_×_R

+ −→ hn

(ζ, v, u) _−→

" _ζ

hhζ, ζ_ii+u₋iv 2

#

(18)

A correspondˆencia inversaψ−1 _{assinala, a cada vetor negativo}



 z

′ zn

zn+1



, emCn,1_{, as seguintes}

coorde-nadas horoesf´ericas:

ζ= z′ zn+zn+1

, v= Im

zn−zn+1

zn+zn+1

,

u=₋Re

zn−zn+1

zn+zn+1

− hhz′, z′ii |zn+zn+1|2

(1.2)

Esta equa¸c˜ao pode ser escrita como a seguinte igualdade de vetores emCn,1_:



 z

′ zn

zn+1



 = (zn+zn+1)

    

ζ

1_{− hh}ζ, ζ_{ii −}u+iv 2

1 +hhζ, ζii+u−iv 2

   

 = (zn+zn+1)ψ(ζ, v, u) (1.3)

Por outro lado, cada pontow= (w′, wn) no dom´ınio de Siegel hn, define coordenadas horoesf´ericas por

ζ = w′ _, _v ₌ ₋_{2 Im(w}

n) e u = 2 Re(wn)− hhw′, w′ii.

A fronteira do espa¸co hiperb´olico complexo∂HnC≃S

2n−1_{, est´}_{a em correspondˆencia biun´ıvoca com o}

conjunto

∂Hn

C ≃ Cn−1×R× {0} ∪ {q∞},

ondeq∞é um ponto distinguido no infinito. Este pontoq∞é chamado deponto ideal. Para simplificar, vamos utilizar coordenadas (ζ, v), ao invés de (ζ, v,0), para denotar pontos na fronteira.

O espa¸co hiperbólico complexo também possui uma decomposi¸cão natural em horoesferas centradas no ponto idealq_∞: fixadou0≥0, ahoroesfera de n´ıvel u0 centrada emq∞é o seguinte subconjunto de_S=Cn−1_×R_×R₊

Su0 = {(ζ, v, u)∈ S : u=u0}.

A identifica¸c˜ao acima, entre o espa¸co hiperb´olico complexo e o dom´ınio de Siegel_S=Cn−1_×R_×R₊_,

pode ser estendida `a fronteira destes espa¸cos simplesmente adicionando que

ψ: q_∞ _7→ Q_∞=  ₋01

1  .

Deste modo, podemos identificar a fronteira do espa¸co hiperbólico complexo com a compactifica¸cão em um ponto dogrupo de Heisenberg_H=Cn−1_×R_{. A opera¸cão deste grupo é definida por}

(ζ, v)_∗ (ζ′, v′) = (ζ+ζ′, v+v′+ 2 Im_hhζ, ζ′_ii).

As coordenadas horoesféricas também são utilizadas para se definir a norma de Heisenberg_{| · |}0no

dom´ınio de Siegel. Esta norma ´e definida por

(19)

Amétrica de Cygan[43, página 297] emS é definida por

ρ0((ζ1, v1, u1),(ζ2, v2, u2)) = |ζ1−ζ2, v1−v2+ 2Imhhζ1, ζ2ii, |u1−u2| |0 (1.5)

O seguinte lema nos dá uma rela¸cão útil entre a métrica de Cygan e o produto Hermitiano definido emCn,1_{. Uma demonstra¸cão, particular, deste lema pode ser encontrada em [43, página 296].}

Lema 1.2.1 Sejam(ζ1, v1, u1) e (ζ2, v2, u2) dois pontos quaisquer no dom´ınio de Siegel S, com u1 = 0

ouu2= 0. Ent˜ao

ρ0((ζ1, v1, u1),(ζ2, v2, u2))2 = 2|hψ(ζ1, v1, u1), ψ(ζ2, v2, u2)i|,

sendoψ a fun¸c˜ao definida em(1.1).

Dem.: Por um c´alculo direto, temos que:

hψ(ζ1, v1, u1), ψ(ζ2, v2, u2)i=

* 

ζ1 1−hhζ1,ζ1ii−u1+iv1

2 1+hhζ1,ζ1ii+u1−iv1

2   ,   ζ2 1−hhζ2,ζ2ii−u2+iv2

2 1+hhζ2,ζ2ii+u2−iv2

2

  +

= 2hhζ1, ζ2ii − hhζ1, ζ1ii − hhζ2, ζ2ii −u1−u2+i(v1−v2)

2 .

(1.6)

Mas,

hhζ1−ζ2, ζ1−ζ2ii = hhζ1, ζ1ii − hhζ1, ζ2ii − hhζ2, ζ1ii+hhζ2, ζ2ii.

Isto implica que,

2hhζ1, ζ2ii − hhζ1, ζ1ii − hhζ2, ζ2ii = hhζ1, ζ2ii − hhζ2, ζ2ii − hhζ1−ζ2, ζ1−ζ2ii,

que pode ser escrito como,

2_hhζ1, ζ2ii − hhζ1, ζ1ii − hhζ2, ζ2ii = 2iImhhζ1, ζ2ii − hhζ1−ζ2, ζ1−ζ2ii.

Portanto, pela equa¸c˜ao (1.6), obtemos

hψ(ζ1, v1, u1), ψ(ζ2, v2, u2)i = 2 iImhhζ1, ζ2ii − hhζ1−ζ2, ζ1−ζ2ii −u1−u2+i(v1−v2)

2 .

Assim,

hψ(ζ1, v1, u1), ψ(ζ2, v2, u2)i

2 =

hhζ1−ζ2, ζ1−ζ2ii+u1+u2

2

+

v1−v2+ 2 Imhhζ1, ζ2ii

2

4 .

(1.7) Por outro lado, temos que

ρ0((ζ1, v1, u1),(ζ2, v2, u2))4 =

ζ1−ζ2, v1−v2+ 2 Imhhζ1, ζ2ii, |u1−u2|

0 4 , ou seja,

ρ0((ζ1, v1, u1),(ζ2, v2, u2))4 =

hhζ1−ζ2, ζ1−ζ2ii+|u1−u2|

2

+

v1−v2+ 2 Imhhζ1, ζ2ii

2

(20)

Das equa¸c˜oes (1.7) e (1.8), vemos que seu1= 0 ou seu2= 0, ent˜ao

ρ0((ζ1, v1, u1),(ζ2, v2, u2))4 = 4

hψ(ζ1, v1, u1), ψ(ζ2, v2, u2)i

2

.

1.3 Miscelˆ

anea de fatos

Nesta se¸cão, vamos apresentar várias defini¸cões relacionadas ao espa¸co hiperbólico complexo. Como estare-mos utilizando, basicamente, o espa¸co hiperbólicoH2

Cde dimens˜ao dois, a maioria dos fatos apresentados

nesta se¸cão são somente definidos nesta dimensão.

Um automorfismo g de Hn

C se levanta a uma transforma¸c˜ao unit´aria ˜g em Cn,1, e os pontos fixos

de g em Hn

C correspondem a autovetores do levantamento ˜g. Pelo teorema do ponto fixo de Brouwer,

todo automorfismo deHn

Cpossui um ponto fixo emHnC ∪ ∂HnC. Ent˜ao, podemos dividir os elementos do

grupo PU(n,1), de isometrias holomorfas deHn

C, em três categorias básicas (veja [8] ou [20, página 203]).

Dizemos que g_∈PU(n,1) ´e

• el´ıpticosegpossui, pelo menos, um ponto ponto fixo emHn

C,

• parab´olico seg possui exatamente um ponto fixo na fronteira deHn

C,

• loxodrˆomicosegpossui exatamente dois pontos fixos na fronteira deHnC.

Em dimensãon = 2, se um elemento g em PU(2,1) é loxodrômico, então o levantamento ˜g possui autovalores da forma eiθ_, _k _{e 1/k, para um certo n´}_{umero real} _θ _{e um outro n´}_{umero real positivo} _k.

Dizemos que este elemento ´ehiperb´olicoseθ= 0.

Um elementogé el´ıptico se, e somente se,ggera um grupo c´ıclico cujo fecho é compacto. Os autovalores da matriz correspondente tem sempre norma 1. Dizemos também que um elemento el´ıpticogé el´ıptico-regularse todos os autovalores da correspondente matriz degsão distintos. Por outro lado, um elemento el´ıpticog éel´ıptico-especialsegpossui pontos fixos na fronteira do espa¸co hiperbólico complexo.

Um elemento parabólicogéunipotenteseg puder ser representado por um elemento unipotente em U(n,1); isto é, uma transforma¸cão linear tendo 1 como seus únicos autovalores. Este elemento parabólico géel´ıptico-parabólicosegnão é unipotente. Neste caso,gpossui uma única linha complexa invariante Σ na qualg age como um automorfismo parabólico (de H1

C) e g age como um automorfismo n˜ao trivial

no fibrado normal `a Σ.

Em [20, p´agina 204], Goldman definiu umafun¸c˜ao discriminante

f :C _−→ R

f(z) = |z|4

− 8Re(z3) + 18|z|2 − 27.

que pode ser usada para se determinar a classe de conjuga¸c˜ao de elementos em SU(2,1), o conjunto das matrizes em U(2,1) com determinante igual a 1. De fato, seω3 denota a ra´ız c´ubica primitiva de 1 emC,

podemos enunciar

Teorema 1.3.1 Sejaτ : SU(2,1) _−→ C_{a fun¸c˜}_{ao que associa a cada matriz o seu tra¸co. Se}_A_∈_SU(2,₁₎

ent˜ao

(21)

3. Aé el´ıptico-parabólico se, e somente se, A não é el´ıptico e τ(A)_∈f−1₍₀₎

− {1, ω3, ω23}.

4. Aé uma reflexão complexa (isto é, de ordem 2 que fixa ou um ponto ou uma linha complexa emH2

C

se, e somente se,A´e el´ıptico e τ(A)_∈f−1₍₀₎

− {1, ω3, ω23}.

5. A´e parab´olico unipotente se, e somente se,τ(A)_{∈ {}1, ω3, ω32}.

Vejamos agora alguns exemplos importantes de isometrias holomorfas do espa¸co hiperb´olico complexo H2

C. [20, se¸c˜ao 4.2.2, p´agina 120]

Fixado um ponto (ζ0, v0) do grupo de Heisenberg H = C×R, a transla¸c˜ao de Heisenberg por

(ζ0, v0) é a aplica¸cãoT(ζ0,v0) em PU(2,1) representada pela seguinte matriz unitária

T(ζ0,v0) =

 

1 ζ0 ζ0

−ζ0 1−1₂(kζ0k2−iv0) −1₂(kζ0k2−iv0)

ζ0 12(kζ0k2−iv0) 1 +12(kζ0k2−iv0)

 .

Em coordenadas horoesf´ericas, esta isometria age como:

T(ζ0,v0)(ζ, v, u) = (ζ0+ζ , v0+v+ 2 Imhhζ0, ζii, u).

Esta aplica¸cão é parabólica, com ponto fixo o ponto idealq_∞, e deixa invariante cada horoesfera, centrada emq_∞, do espa¸co hiperbólico complexo. Mais ainda, o grupo a 1-parâmetro de transla¸cões de Heisenberg age transitivamente em cada horoesfera, centrada emq_∞, deH2

C.

Adilata¸cão de Heisenbergde fatork >0 é representada pela matriz unitária

Dk =

 

1 0 0

0 1+₂_kk2 1−₂_kk2 0 1−k2

2k

1+k2

2k

 .

Em coordenadas horoesf´ericas,Dk age como:

Dk(ζ, v, u) = (k ζ , k2v , k2u).

Esta aplica¸cão é hiperbólica com pontos fixos (0,0) _{∈ H} e q_∞. Mais ainda, o grupo a 1-parâmetro de dilata¸cões de Heisenberg age transitivamente no conjunto de horoesferas, centradas emq_∞, deH2

C.

Arota¸cão de Heisenbergao redor da cadeia vertical é representada pela seguinte matriz unitária:

A = 

 e

iθ _{0 0}

0 1 0

0 0 1

 ,

e atua, em coordenadas horoesf´ericas, como

A(ζ, v, u) = (eiθζ , v , u).

Esta aplica¸c˜ao ´e el´ıptica-especial e tem como conjunto de pontos fixos emH2

C∪∂H2C:

z1

z2

∈ B2 _{tal que} _z₁_{= 0 e}_|_z₂_{| ≤} ₁

.

Um elemento loxodrômico, não hiperbólico, g é conjugado a uma rota¸cão de Heisenberg ao redor da cadeia vertical seguida de uma dilata¸cão de Heisenberg. Portanto g age em coordenadas horoesféricas como:

(22)

Defini¸c˜ao 1.3.1 O produto vetorial Hermitiano

⊠ :C2,1_×C2,1_−→C2,1

´e definido por(veja [20, p´agina 45])

v⊠w =  vv12

v3



 _⊠

 ww12

w3



 =



vv31ww32 −− vv32ww31

v1w2 − v2w1

 

Este produto vetorial Hermitiano ⊠ desempenha, no espa¸co vetorial complexo 3-dimensional C2,1_{, um}

papel parecido ao do produto vetorial usual×, no espa¸co EuclidianoR3_{. Isto ´e, o produto vetorial de dois}

vetores ´e um vetor perpendicular aos vetores originais, ou seja,

hv, v⊠w_i = _hw, v⊠w_i = 0.

As subvariedades totalmente geod´esicas do espa¸co hiperb´olico complexoHn

Cpodem ser listadas (veja o

artigo [8] para mais detalhes). Por isometrias do espa¸co hiperb´olico complexo, as subvariedades totalmente geod´esicas holomorfas de Hn

C s˜ao equivalentes `a HkC, para todo inteiro k, 1 ≤ k ≤n, onde este espa¸co

hiperb´olico pode ser visto como um subconjunto de Hn

C, simplemente considerando-se as ´ultimas n−k

coordenadas iguais à zero. Uma tal subvariedade totalmente geodésica complexa de codimensão complexa 1 é chamada de hiperplano complexoe uma tal subvariedade de dimensão complexa 1 é chamada de linha complexa.

Os hiperplanos complexos deHn

C possuem uma descri¸c˜ao simples (veja [20, p´agina 99]). SeH ⊂HnC

é um hiperplano complexo, entãoH =P_{( ˜}_H_{) onde ˜}_H _⊂Cn,1 _{é um hiperplano linear complexo de}_Cn,1_.

Ent˜ao, ˜H⊥_{´e uma linha positiva. Assim, para qualquer vetor positivo}_P _∈_H˜⊥_{, temos que} ˜

H = _{z_∈Hn

C : ˜z⊠P = 0 sendo ˜z∈Cn,1 um levantamento de z}

Um tal vetorP ´e chamado devetor polar ao hiperplano complexoH.

Em dimens˜aon= 2, os conceitos de hiperplano complexo e linha complexa coincidem. Portanto, toda linha complexa em H2

Cpode ser dada por um vetor polar.

Proposi¸c˜ao 1.3.1 Seja Σ uma linha complexa em H2

C e sejam xe y dois pontos distintos de Σ. Para

quaisquer representantes,X eY, destes pontos emC2,1_{, um vetor polar a esta linha complexa ´e dado por}

(23)

As posi¸c˜oes relativas de duas linhas complexas Σ1 e Σ2, emH2C, s˜ao nomeadas da seguinte maneira:

• Σ1e Σ2sãoconcorrentesse elas se encontram em um único ponto no interior do espa¸co hiperbólico

complexo.

• Σ1e Σ2sãoassintóticasse elas se encontram em um único ponto na fronteira do espa¸co hiperbólico

complexo.

• Σ1 e Σ2 s˜aoultraparalelasse elas n˜ao se encontram emH2C∪∂H2C.

Defini¸c˜ao 1.3.2 Sejam Σ1 e Σ2 duas linhas complexas em H2C concorrentes em um ponto z ∈ H2C. O

ˆ

angulo φ=∠(Σ1,Σ2) = âng(Σ1,Σ2)entreΣ1 eΣ2é definido como o menor ângulo Riemanniano entre

duas geod´esicasγ1⊂Σ1 e γ2⊂Σ2 que passam porz.

Da defini¸cão acima, é claro que o ângulo∠(Σ1,Σ2) pertence ao intervalo 0≤∠(Σ1,Σ2)≤π/2. Mais

ainda, se ∠(Σ1,Σ2) =π/n e sei1 ei2denotam as invers˜oes nas linhas complexas Σ1e Σ2ent˜ao

i1i2

n

= 1.

Defini¸cão 1.3.3 Sejam Σ1 e Σ2 duas linhas complexas ultraparalelas em H2C. Então, existe uma única

linha complexa Σortogonal comum àΣ1 e àΣ2. AdistânciaentreΣ1 eΣ2 é definida como a distância

entre os pontosΣ∩Σ1 e Σ∩Σ2 do espa¸co hiperb´olico complexo.

Em [20, página 100], foi apresentada uma maneira para se determinar o ângulo e a distância entre duas linhas complexas, em fun¸cão de vetores polares a elas.

Proposi¸c˜ao 1.3.2 Sejam Σ1 e Σ2 duas linhas complexas emH2C, com respectivos vetores polares P1 e

P2, normalizados de modo que hP1, P1i = hP2, P2i = 1. Neste caso,

1. se _|hP1, P2i| < 1, então Σ1 e Σ2 são concorrentes e |hP1, P2i| = cos(φ), onde φ é o ângulo entre

estas linhas complexas. Neste caso,P1⊠P2´e um vetor negativo, que representa o pontoΣ1∩Σ2.

2. se|hP1, P2i|= 1, entãoΣ1eΣ2são assintóticas. Neste caso,P1⊠P2é um vetor nulo, que representa

o pontoΣ1∩Σ2, contido na fronteira do espa¸co hiperb´olico complexo.

3. se |hP1, P2i| >1, então Σ1 e Σ2 são ultraparalelas e |hP1, P2i|= cosh(ρ/2), onde ρ é a distância

entre estas linhas complexas. Neste caso,P1⊠P2 é um vetor positivo, polar à única linha complexa

(24)

Sem normalizar os vetores polares, podemos enunciar o seguinte resultado.

Proposi¸c˜ao 1.3.3 Sejam Σ1 e Σ2 duas linhas complexas emH2C, com respectivos vetores polares P1 e

P2. Ent˜ao,

1. seΣ1eΣ2 são concorrentes, o ânguloφentre estas linhas complexas pode ser calculado pela fórmula

cos2(φ) = hP1, P2i hP2, P1i

hP1, P1i hP2, P2i

.

2. se Σ1 e Σ2 s˜ao ultraparalelas, a distˆancia ρ entre estas linhas complexas pode ser calculada pela

f´ormula

cosh2(ρ/2) = hP1, P2i hP2, P1i

hP1, P1i hP2, P2i

.

Associado a uma subvariedade totalmente geod´esica complexaF _⊂Hn

C est´a o conceito deproje¸c˜ao

ortogonalΠF :HnC−→F (veja [20, p´agina 75]). De fato, temos queHnC´e uma variedade Riemanniana

completa e simplesmente conexa de curvatura n˜ao positiva e F ⊂ Hn

C ´e uma subvariedade totalmente

geod´esica e completa. Para todo x∈Hn

C, a fun¸c˜ao distˆancia

HnC−→R

u _7→ ρ(u, x) é uma fun¸cão estritamente convexa ao longo de geodésicas emHn

C. Visto queF ´e totalmente geod´esica, a

restri¸cão desta fun¸cão àFtambém é estritamente convexa e, portanto, possui um único m´ınimo. Definimos então ΠF(x)∈ F como sendo o ponto de F mais próximo de x. É claro que, a linha geodésica de xà

ΠF(x) ´e ortogonal `aF em ΠF(x).

Mais ainda, existe umainversãoiF :HnC−→HnCemF. Esta inversão é uma aplica¸cão em PU(n,1),

de ordem 2, cujo conjunto de pontos fixos ´e precisamente F e que pode ser definida do seguinte modo: para todox_∈Hn

C, ΠF(x) é o ponto médio, na métrica de Bergman, entrexeiF(x).

SeF ⊂Hn

Cé um hiperplano complexo com vetor polarP, então a proje¸cão ortogonal ΠF :HnC−→F

sobreF e a invers˜aoiF :HCn−→HnCemF s˜ao dadas por

iF(Z) = −Z + 2h

Z, P_i

hP, PiP ΠF(Z) = Z − hZ, P_i

hP, PiP ,

sendo que estamos considerandoZ um vetor negativo e P um vetor positivo emCn,1_.

As subvariedades totalmente geodésicas holomorfas são um dos dois tipos de subvariedades totalmente geodésicas de Hn

C. O outro tipo ´e constitu´ıdo das subvariedades totalmente geod´esicas e totalmente

reais. Por isometrias do espa¸co hiperbólico complexo, elas são equivalentes à Hk

R, parak inteiro tal que,

1 ≤k≤n, onde este espa¸co hiperb´olico real pode ser visto como um subconjunto deHn

C simplesmente

considerando-se as últimasn−kcoordenadas iguais à zero e as primeiraskcoordenadas números reais. A subvariedade totalmente geodésicaHkRé chamada depuramente real. Uma tal subvariedade totalmente

geodésica e totalmente real de dimensão maximalné chamada deRn_{-plano. Neste caso, também temos}

que, associado a umRn_{-plano est´}_{a o conceito de}_invers˜_{ao. Esta inver˜}_{ao ´e uma isometria anti-holomorfa}

de Hn

C, de ordem 2, cujo conjunto de pontos fixos ´e precisamente o Rn-plano. Em dimens˜ao n = 2, a

(25)

J :  zz12

z3



 _7−→



1 00 1 00

0 0 1

 

 zz12

z3



 =

 zz12

z3

 .

Em dimens˜ao n= 2, a interse¸c˜ao de uma linha complexa com a fronteira de H2

C´e uma cadeia e a

interse¸c˜ao de um R2_{-plano com} _∂H2

C´e umR-c´ırculo. No grupo de HeisenbergH=C×R, estas curvas

possuem uma descri¸cão geométrica simples (veja [20, se¸cões 4.3 e 4.4]). Uma cadeia ou é uma reta vertical ou é uma elipse que se projeta, no plano complexo C_{× {}₀_}_{, em uma c´ırcunferência. Um} R_{-c´ırculo ou}

é uma reta Euclidiana horizontal ou é o levantamento horizontal de uma leminiscata contida no plano complexo C_{× {}₀_}_{. ´}_{E claro que as invers˜}_{oes em linhas complexas e em} R2_{-planos definem inversões nas}

respectivas cadeias eR_{-c´ırculos em}_H_.

´

E importante observar que no espa¸co hiperbólico complexo não existem subvariedades totalmente geodésicas de codimensão real 1.

Para terminar esta se¸c˜ao, vamos relembrar o conceito de superf´ıcies equidistantes no espa¸co hiperb´olico complexo (veja os detalhes em [20, cap´ıtulo 5]). Sejamz1 ez2 dois pontos distintos emHnC. Obissetor

equidistantedez1 ez2 ´e definido por

B = B_{z1, z2} = {z∈H2C|ρ(z, z1) =ρ(z, z2)}

Seja Σ⊂Hn

C a ´unica linha complexa contendo z1 e z2 e seja σ⊂Σ a geod´esica que passa por z1 ez2.

Chamamos Σ deespinha complexaeσdeespinha realdo bissetorB. Um bissetor ´e uma subvariedade de codimens˜ao real 1 em Hn

C; portanto não é totalmente geodésico.

Mas ele possui duas decomposi¸cões em subvariedades totalmente geodésicas: uma por subvariedades holo-morfas e outra por subvariedades totalmente reais. Estas decomposi¸cões são chamadas dedecomposi¸cão em fatias de Mostowedecomposi¸cão em meridianos de Goldman.

Teorema 1.3.2 (decomposi¸c˜ao em fatias) Seja B um bissetor em Hn

C com espinha complexa Σ e

espinha real σ. SeΠΣ:HnC→Σdenota a proje¸c˜ao ortogonal sobreΣ, ent˜ao

B = Π−_Σ1(σ) = [

s∈σ

Π−_Σ1(s).

Na igualdade acima, é claro que, para cada s ∈ σ, Π−_Σ1(s) é uma linha complexa ortogonal à Σ em s. Estas linhas complexas são as fatiasdo bissetorB.

Teorema 1.3.3 (decomposi¸c˜ao em meridianos) Seja B um bissetor em Hn

C com espinha real σ.

Então,B é a união de todos osRk_{-planos contendo}_σ_{, onde} ₂_≤_k_≤_n_.

OsRn_{-planos contendo a espinha real de um bissetor s˜}_{ao chamados de}_meridianos.

´

E claro que uma linha geod´esica completaσemHn

Cdefine um ´unico bissetor. Assim, os pontos finais

V1 e V2 desta geodésica em ∂HnC também definem, de maneira única, este bissetor. Este pontos são os

v´erticesdo bissetor de espinha realσ.

A interse¸cão de um bissetor com a fronteira do espa¸co hiperbólico complexo é chamada de esfera espinal. Do mesmo que bissetores, uma esfera espinal também se decompõe em fatias e meridianos, que são fronteiras das fatias e meridianos do bissetor, e também fica unicamente definida pela escolha dos seus vértices.

(26)

Teorema 1.3.4 Seja B um bissetor emHn

C.

1. Se F é uma fatia de B, então a inversão iF deixa B invariante e também deixa invariante cada

meridiano deB.

2. Se M é um meridiano de B, então a inversão iM deixa B invariante e também deixa invariante

cada fatia deB.

Os exemplos mais simples de bissetores em H2

C, s˜ao as esferas de Heisenberg e os planos de

contato. De fato, vamos definir as esferas espinas destes bissetores no grupo de HeisenbergH=C_×R

dado em coordenadas horoesf´ericas (ζ, v),ζ=x+iy.

Sejap0 = (ζ0, v0) um ponto qualquer no grupo de Heisenberg e sejaR um n´umero real positivo. A

esfera de HeisenbergI de centrop0 = (ζ0, v0) e raioR ´e a esfera, na m´etrica de Cygan, com este centro

e este raio, isto é, I = _{p_{∈ H |}ρ0(p, p0) = R}. Se p= (ζ, v), então I é caracterizada pela seguinte

equa¸c˜ao:

|ζ−ζ0|4 +

v −v0 + 2 Im

ζ0ζ

2

= R4

Os v´ertices desta esfera de Heisenberg s˜ao os pontosV1= (ζ0, v0+R2) eV2= (ζ0, v0−R2). Portanto, a

espinha complexa da esfera de HeisenbergI´e a cadeia vertical sobre o seu centro.

Sejap0= (ζ0, v0) um ponto qualquer no grupo de Heisenberg. O plano de contatoE(ζ0,v0), definido por

p0, é a esfera espinal que tem como vértices o ponto idealq∞ e o pontop0. Em coordenadas horoesféricas,

esta esfera espinal ´e dada pela equa¸c˜ao

v = v0 − 2 Im

ζ ζ0

= v0 + 2y0x −2x0y,

ondeζ0=x0+iy0 e (ζ=x+iy, v) ´e um ponto emE(ζ0,v0). ´E claro que a espinha complexa desta esfera

espinal ´e a cadeia vertical sobrep0.

1.4 Potenciais de K¨

ahler para a m´

etrica de Bergman

1.4.1 Potencial de K¨

ahler associado a um ponto interior

Nesta se¸c˜ao, vamos considerar o modelo da bolaBn _{para o espa¸co hiperb´olico complexo} _Hn_C_{. Lembre-se}

que Hn

C ´e uma variedade complexa com uma estrutura de K¨ahler dada por uma (1,1)-forma positiva,

fechada e PU(n,1)-invariante

Φ = −4i

(1− hhz, zii)2

 

 

n

X

j=1

zjdzj



_∧

n

X

k=1

zkdzk

!

+ (1_{− hh}z, z_ii)

n

X

j=1

dzj∧dzj

 .

Esta forma define a m´etrica de Bergman paraHn

C, que tem curvatura seccional holomorfa constante e

negativa, normalizada em -1.

Em [20, página 73], esta estrutura de Kähler foi constru´ıda através de um potencial de Kähler f : Bn _→ R _onde _f_{(z) = ln(1}_{− hh}_{z, z}_ii_{) no sentido que Φ =} _ddc_f _{= 2i∂∂f} _{= 2i∂∂}_ln(1_{− hh}_{z, z}_ii_).

(27)

Defini¸c˜ao 1.4.1 Umpotencial de K¨ahler, associado a um pontox_∈Hn

C, para a m´etrica de Bergman,

´e uma fun¸c˜ao ψx:Bn→Rtal que:

1. ψx(x) = 0.

2. ddc_ψ x= Φ.

3. ψx ´e invariante pelo subgrupo de isotropia dex.

4. dc_ψ

x= 0ao longo de geod´esicas que passam por x.

A constru¸cão da métrica de Bergman apresentada em [20], implica que a fun¸cão

ψ0 = ln(1− hhz, zii)

é um potêncial de Kähler associado à origemO da bolaBn_{. Em termos da fun¸cão distância,}

ψ0(z) = 2 ln sech

ρ(z,0)

2

.

Mais ainda, seg_∈PU(n,1) é tal queg(x) = 0, para algumx_∈Bn_{, ent˜}_{ao a composi¸cão}_ψ_x₌_ψ₀_◦_g_é

um potencial de Kähler associado à x. Este potencial de Kähler é dado por

ψx(z) = 2 ln sech

ρ(z, x)

2

ou, em termos do produto Hermitiano emCn,1_{, ele ´e dado por}

ψx(z) = lnhX, XihZ, Zi

hX, Z_ihZ, X_i

sendo que X eZ s˜ao quaisquer vetores negativos emCn,1 _{que se projetam respectivamente em}_x_e_z.

1.4.2 Potencial de K¨

ahler associado a um ponto da fronteira

Nesta se¸cão,vamos determinar a métrica de Bergman, no dom´ınio de Siegelhn, para o espa¸co hiperbólico complexo. Esta métrica será derivada de um potencial de Kähler associado a um ponto ideal q∞, na fronteira deHn

C. Em geral, sejaq∈∂HnCum ponto qualquer na fronteira do espa¸co hiperb´olico complexo

e seja σ = (xt) uma geod´esica, de velocidade unit´aria, em HnC tal que lim

t→∞xt = q. A fun¸cão de Busemannassociada aqe aσé a fun¸cãohσ,q:HnC→Rdefinida por [20, página 113]

hσ,q(z) = lim

t→∞(ρ(z, xt) − t). Observe que se g ´e um automorfismo de Hn

C então τ = g(σ) = (yt) é uma geodésica de velocidade

unit´aria emHnCtal que lim

t→∞yt = g(q). Neste caso,

hg(σ),g(q) = hσ,q◦g−1.

Em particular, se fixamos nossa aten¸c˜ao a um espec´ıfico ponto q, na fronteira de Hn

C, e mudamos a

geod´esicaσ, que termina emq, por um automorfismog tal queg(q) =q, ent˜ao obtemos que

(28)

Exemplo: Vamos considerarqcomo sendo o ponto no infinitoq_∞ do grupo de Heisenberg_H. Um vetor nulo representando este ponto ´e Q_∞ =

 ₋01

1 

 _∈ Cn,1_{. Uma geod´esica, de velocidade unit´aria,} _σ₀ _que

termina emq∞´e representada emCn,1pelos vetores negativosXt=



₋tanh(t/2)0 1



.Neste caso, a fun¸c˜ao

de Busemann associada a q∞ e aσ0,hσ0,q∞ :B

n_→_R_{, ´e dada por}

hσ0,q∞(z) = ln

|zn+ 1|2

1_{− hh}z, z_ii.

Em termos do produto Hermitiano emCn,1_{, esta fun¸c˜ao pode ser expressa como}

hσ0,q∞(z) = ln−

hZ, Q_∞_ihQ_∞, Z_i

hZ, Z_i ,

sendoZ qualquer vetor negativo em Cn,1 _{que se projeta em}_{z. Observe que esta express˜ao depende do}

representante do ponto idealq∞.

Se consideramos agora o espa¸co hiperbólico complexo dado através de coordenadas horoesféricas (ζ, v, u), esta fun¸cão de Busemann hσ0,q∞ :S →Ré dada por

hσ0,q∞(ζ, v, u) = −ln(u).

Suponhamos agora queτ seja uma outra geodésica, de velocidade unitária, que também termina no ponto ideal q_∞. Então existe um automorfismo g de Hn

C tal que τ =g(σ0) eg(q∞) =q∞. Isto implica que, emCn,1_,_g(Q_∞_{) =}_λQ_∞ _{para algum}_λ_∈C_{e que}

hτ,q∞(z) = hσ0,q∞◦g−

1_{(z) = ln} −hg−

1_{(Z), Q}

∞ihQ∞, g−1(Z)i

hg−1_{(Z), g}−1_(Z)_i = ln−

hZ, g(Q_∞)_ihg(Q_∞), Z_i

hZ, Zi .

Da´ı, comog(Q_∞) =λQ_∞, n´os conclu´ımos que

hτ,q∞(z) = ln−h

Z, Q_∞_ihQ_∞, Z_i

hZ, Zi + ln|λ| 2_.

Daqui, podemos concluir que um ponto idealq_∞define uma fam´ılia de fun¸cões de Busemann definida por uma constante aditiva que representa a geodésica de velocidade unitária que termina em q_∞.

Vamos considerar novamente o caso geral. Seja g um automorfismo de Hn

C representado por uma

matriz unit´aria em U(n,1). Considere o vetor nulo Q=g(Q_∞) que representa o ponto da fronteira de Hn

C,q=g(q∞) e considere a geodésica, de velocidade unitária,τ =g(σ0). Então, a fun¸cão de Busemann

hτ,q:Bn →Rassociada aqe aτ ´e dada por

hτ,q(z) = hσ0,q∞◦g−

1_{(z) = ln}

−hZ, QihQ, Zi hZ, Z_i .

(29)

Defini¸c˜ao 1.4.2 SejaQum vetor nulo emCn,1_{representando um ponto}_q_{na fronteira de}_Hn_C_{. A}_fun¸_c˜_ao

de Busemann associada aQ,hQ:Bn →R, ´e definida por

hQ(z) = ln−h

Z, Q_ihQ, Z_i

hZ, Z_i .

´

E importante observar que hλQ = hQ + ln|λ|2, e que esta fun¸cãohQ é igual a fun¸cão de Busemann

hτ,q associada aqe a alguma geod´esicaτ, de velocidade unit´aria, que termina emq.

Vamos utilizar agora as fun¸cões de Busemann para definir um potencial de Kähler, para a métrica de Bergman, associado a pontos na fronteira deHn

C. Vejamos esta constru¸c˜ao.

Sejaqum ponto qualquer na fronteira do espa¸co hiperb´olico complexo representado por um vetor nulo Q em Cn,1_{. Seja} _h

Q : Bn → Ra fun¸c˜ao de Busemann associada a Q. Considere tamb´em o modelo da

bolaBn _para_Hn_C_{e escolha o representante}_Z₌

z 1

∈Cn,1 _{para um ponto}_z_∈Bn_{. Ent˜ao,}

hQ(z) = lnh

Z, Q_ihQ, Z_i

1− hhz, zii = lnhZ, QihQ, Zi − ln(1− hhz, zii) = lnhZ, QihQ, Zi − ψ0,

onde ψ0 é o potencial de Kähler associado a origem O da bola. Como lnhZ, QihQ, Zi é uma fun¸cão

pluriharmˆonica, temos tamb´em que

ddchQ(z) = −ddc ln(1− hhz, zii) = −Φ(z),

onde Φ ´e a estrutura de K¨ahler paraHn

C. Isto implica que−hQ(z) também é um potencial de Kähler para

a m´etrica de Bergman.

Defini¸c˜ao 1.4.3 Seja Q um vetor nulo qualquer em Cn,1_{. O} _{potencial de K¨}_ahler _{associado a} _Q_,

ψQ:Bn →R, ´e definido por

ψQ(z) = −hQ(z) = ln− h

Z, Z_i

hZ, Q_ihQ, Z_i.

´

E importante observar que um ponto na fronteira q define um pontencial de K¨ahler ψQ a menos de

constantes aditivas, pois ψλQ = ψQ − ln|λ|2.

Exemplo: Vamos determinar explicitamente o potencial de K¨ahler associado ao ponto idealq_∞, o ponto no infinito no grupo de Heisenberg. No exemplo anterior, vimos que a fun¸c˜ao de Busemann associada

ao vetor nulo Q_∞ =  ₋01

1 

 ´e dada por hQ∞(z) = ln |

zn+ 1|2

1_{− hh}z, z_ii, para todoz ∈ B

n_{. Em coordenadas}

horoesféricas, esta fun¸cão é dada porhQ∞(ζ, v, u) = −ln(u), e no dom´ınio de Siegel

hn={(w1, . . . , wn)∈Cn |2Re(wn)− hhw′, w′ii >0}

esta fun¸cão é dada porhQ∞(w) = −ln (2Re(wn)− hhw′, w′ii).Portanto, o potencial de Kähler associado

a Q_∞ ´e dado por

ψQ∞(z) = ln

1_{− hh}z, z_ii