Caderno de Cálculo Numérico, Medina, RJ, 1978.

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(34)

UFRJ CCMN INSTITUTO DE MATD'iATICA DEPARTA'IENTO DE CIÊNCIA DA CaWrAÇÂO

-1 - L i s t a d e E x e r c i c i o s d e C a l c u l o N u m e r i c o

^ j ^

Dado o polinonio P(x) = (x - 1) (x - 2,5) ^ (x - 4) , pergunta-se que rai zes da equaçâo P{x) = 0 nâo poden ser determinadas usando o Metodo da Eisse çio (ou de Bipartiçâo). Justifique a sua resposta.

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^ Determine um intervalo [a, b"] para inicicu: o calculo do logaritmo neperia

no de 10 usando o Metodo da Bisseçâo. Explique.

i A equaçâo x^ - 7x + 12 = 0 tan 3 e 4 como raîzes. Ma busca da mnnor raiz 1 fâz-se a transformaçâo x = x^- 6x + 12, isto ê, x = F(x). Determine o in

tervalo onde cjualqucr que seja Xq escolhido a sequência = E(x^) conver

ge para a raiz 3. Mostre que a convergência é quadrâtica.' — - t t

(|jt 05 * Para determinar a raiz quadrada de um numéro c 0 , basta resolver a

equaçâo x^ - c = 0.

É possivel determincur a raiz quadrada de um nmiero c 7/ o usando a funçâo de iteraçâo g(x) = c/x ? Justifique a sua resposta.

2 2

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A s e q u a ç o e s x = - 2 x + 4 e x - 2 . S x + 5 t o n 2 c c m o r a i z .

2 2

Verificando que para qualquer valor inicial Xg pertencente ao intervalo (1;j,3)

ha convergencia {.lelo Metodo de iteraçâo linear, indicar esn quai das duas equaçoes a convergencia ê nais râpida. Justifique a sua resposta.

S e j a a f u n ç a o f ( x ) = 2 t g x l x = 0 . C a l c u l e u n a e x p r e s s â o d a f o r

-ma X = F(x) a partir desta funçâo de modo que a /.teraçâo convirja.

/

7. Coloque a equaçao x + log x = 0 sob a forma x = g(x) de irpdo que as

0 iteraçoes x^^^ = g(x^) convirjam certanente para a raiz. Partindc de um va

lor uncial xq =0.6, determine una aproximaçâo ccm tolerância menor ou k

(35)

0 2

L i s t a d e E x e r c i c i o s d e C a l c u l e K u n e r i c o - ( c e n t . . . )

Calcule a raiz da equaçâo == G pelo Método da Iteraçâo Linear

com tolerancia mener eu igual a 0,05. Trabaliie ccni 4 casa^décimais.

9. Dada a funçâo f (x) = 0.1 x - leg x, determine:

a) um intervale que centenlia scmente a mener raiz de f (x) =0 (obs.: x^o)

b) UTTfâ funçâo de iteraçâo e uma aproxiraçâo inicial tal que a secjuincia

x^_^^ = convirja certamente para esta raiz.

c) uma melhor aproximaçâo a partir de x^ dado cm (b) can tolerancia mener - s i

e u i g u a l a 0 , 5 x 1 0 .

T r a b a l h e c o r n 3 c a s a s d o c i r r a i s .

^ 10. Dada a equaçae log x - x + 2 - 0, calcule uma expressâo da forma x ~ g(x)

de tal maneira cjue a iteraçâo convirja para a mener raiz.

11. Use G Método da Iteraçâo linear para calcular uma aproxir^içao a

so-l u ç â o d a e q u a ç â o = ■

T r a b a l h e c o n 4 c a s a s d e c i n a i s .

luçâo da equaçâo = 0 , corn tolerancia mener ou igual a 0,5 x lO"^.

12. Usando o método de iteraçâo linear calcule une aproxireçao j:>ara o valor po

s i t i v o d e x t a l q u e a f u n ç â o f ( x ) = + e a s s u m e v a l o r m i n i m e . T r a b a l h e 2

cxxn 4 casas décimais e use tolerancia de 10 ^

13. Encontrar a raiz negativa de 0,3 con tolerancia mener que 0 5 x 10~^ usan

do o método de iteraçâo line^ir. Use como aproximaçâo inicial x = - 0,5 .

14. Processe um programa [«ra calcular A - + ^ 2 + + .., usando o

me-todo iterative linear com tolerancia de 0,5 x 10~^ .

15. Processe um prograjna Fortran para calcular a raiz de senx - =0

(36)

0 3

1 ~ L i s t a d e E x e r c i c i o s d e C â l c u l o H u m e r i c o ( c o n t . . . )

16. Ao aproximar a menor raiz da equaçâo f (x) = (x - l)^(x - 3) pelo metcxdo

de Newton-I^phson obtivoros, na vigéslma iteraçao o erre 62^ = 0,3 x 10 ^ . Le

termine o erro 62^^ ccmetido na vigcsina primeira iteraçao.

1 7 . C a l c u l e a m e n o r r a i z d a e q u a ç a o e s e n x = 0 u s a n d o o M e to d o d e N e w -- 2

t o n - I ^ p h s o n c a n t o l e r a n c i a m e n o r o u i g u a l a 0 , 5 x 1 0 . T r a b a l i i e c o n 3 c a s a s

d é c i m a i s .

18. Calcule um^roximaçâo fjara a raiz positiva da eguaçâo x^ - e ^ = 0 .

- 2

pelo Metodo de Newton-Raphson can tolerancia nenor ou igual a 0,5 x 10

T r a b a l h e c o n 3 c a s a s d é c i m a i s .

19. Calcule a raiz positiva da equaçâo x/4 - cos x = 0, usando o Metodo de Newton-l^phson can tolerancia menor ou igual a 0,02. Trabalhe ccri 2 casas dé

c i m a i s .

20. Calcule uma aproximaçâo para a raiz In ajuagao log x - cos x = 0 usando

o metodo de Newton-I^aphson con tolerancia menor ou igual a 10~^. Trabalhe corn

3 c a s a s d é c i m a i s .

21. Encontre a raiz negative de 0,3 can tolerancia menor que 0.5 x 10~^ usan

do o Metodo de Newton. Use cono aproximaçâo Inicial x^ = - 0,5

Deseja-se calcular arc cos A, onde A e um n9 dado. Formalize urn algoritiro

para calcular esse valor usando o Metodo de Newton-Iïaphson.

23. O teorema do valor inâdio diz que se f (x) â uma funçâo diferenciavel, entâo

p a r a a l g u m 0 < p < l

f (x) ^ f (a) = (x - a) f (a + p(x - a))

Processe um programa que determine um valor positive de x que satisfaça a igual

(37)

0 4

1 - L i s t a d e e x e r c i c i o s d e C a l c u l o N u m e r i c o

24. Processe um programa para determinar o valor de x para o quai y - e~^logx

tan um ponto de inflexao. Use o .'tetodo de Newton-Raphson e tolerância mener

ou igual a 0,5 x 10 ^

^ Se X = r ê uma raiz dupla de f (x) =0 entâo f (r) = 0. Saboros que

neste caso o metodo de Newton nao converge quadraticamente.

Mostre que se f (r) =0 , mas todas as outras condiçoes de convergência

sac satisfeitas, entao a iteraçâo :

^ i + l ~ ~ c o n v e r g e q u a d r a t i c a m e n t e .

f ' ( X . )

26. Mostre que, no calculo de f(x) - 0 pelo mltodo de Newton-Paphson se tirer

mos f (r) 7^ 0 e f "(r) = 0 podemos afinrar que cada erro e proporcional ao cubo

do erro anterior (convergência cubica) .

27. Calcule uma aproximaçâo para a menor xaiz positiva da equaçao

~ + 4 x - l , 6 = 0 u s a n d o o M e t o d o d e B i e r a e - V i e t a c o m t o l e r â n

cia menor ou igual a 0,5 x lo"^. Trabalhe ccm 3 casas décimais. ~

28. Sabendo que a equaçâo - o,39 x^ - 10.5x + 11 = 0 tem une raiz entre 2

e 3, calcule una aproximaçâo para esta raiz ccm tolerância menor que 0.08 pelo