Geometria Analítica e Álgebra Linear

(1)

2020/Sem_02

Geometria Analítica e

Álgebra Linear

Reta e Plano

(2)

Geometria Analítica e Álgebra Linear

Índice

4 Estudo da Reta e do Plano ... 1

4.1 A Reta no Espaço ... 1

4.2 O Plano ... 11

4.3 Distâncias ... 19

4.4 Exercícios Propostos ... 23

(3)

4 Estudo da Reta e do Plano

4.1 A Reta no Espaço

Trabalharemos sempre com uma base ortonormal dextrógira 𝐸 = (𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘⃗⃗) .

Dado um ponto P do espaço, podemos escrever 𝑃 − 𝑂 = 𝑥 ⋅ 𝑖⃗ + 𝑦 ⋅ 𝑗⃗ + 𝑧 ⋅ 𝑘⃗⃗. Os números x, y,

z são chamados de coordenadas de P no sistema onde O é a origem e E é a base.

Costuma-se indicar 𝑃 ≡ (𝑥, 𝑦, 𝑧), ou, num abuso de notação indicamos 𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧).

4.1.1 Equação vetorial da reta

Consideremos a reta r que passa pelo ponto A e é paralela ao vetor 𝑣⃗ ≠ 0⃗⃗. Se um ponto 𝑋 ∈ 𝑟, então 𝑋 − 𝐴 // 𝑣⃗, isto é, 𝑋 − 𝐴 = 𝜆 ⋅ 𝑣⃗.

Desta forma temos:

𝑋 − 𝐴 = 𝜆 ⋅ 𝑣⃗ ⇒ 𝑋 = 𝐴 + 𝜆 ⋅ 𝑣⃗.

Esta última equação recebe o nome de equação vetorial da reta. O vetor 𝑣⃗ ≠ 0⃗⃗ é chamado de vetor diretor da reta r.

4.1.2 Equações paramétricas da reta

Se no sistema de coordenadas cartesianas ortogonais no espaço tivermos: 𝑋 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝐴 = (𝑥₀, 𝑦₀, 𝑧₀) e 𝑣⃗ = (𝑎, 𝑏, 𝑐), então temos:

(4)

Geometria Analítica e Álgebra Linear 𝑋 = 𝐴 + 𝜆 ⋅ 𝑣⃗ ⇒

(

x,y,z

) (

= x₀,y₀,z₀

)

+

(

a,b,c

)

(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥₀+ 𝜆 ⋅ 𝑎, 𝑦₀+ 𝜆 ⋅ 𝑏, 𝑧₀+ 𝜆 ⋅ 𝑐){ 𝑥 = 𝑥₀+ 𝜆 ⋅ 𝑎 𝑦 = 𝑦₀+ 𝜆 ⋅ 𝑏 𝑧 = 𝑧₀ + 𝜆 ⋅ 𝑐

Estas últimas equações recebem o nome de equações paramétricas da reta.

Exemplos:

1) Sendo 𝐴 = (1,3, −1) e 𝑣⃗ = (1,1,5), escreva as equações paramétricas da reta que passa por

A e tem como 𝑣⃗vetor diretor.

Resolução: { 𝑥 = 𝑥0+ 𝜆 ⋅ 𝑎 𝑦 = 𝑦₀+ 𝜆 ⋅ 𝑏 𝑧 = 𝑧₀+ 𝜆 ⋅ 𝑐 ⇒ { 𝑥 = 1 + 𝜆 ⋅ 1 𝑦 = 3 + 𝜆 ⋅ 1 𝑧 = −1 + 𝜆 ⋅ 5 ⇒ { 𝑥 = 1 + 𝜆 𝑦 = 3 + 𝜆 𝑧 = −1 + 5 ⋅ 𝜆

Esta resposta não é única. Podemos utilizar qualquer múltiplo de 𝑣⃗ como vetor diretor. Desta forma se usarmos como vetor diretor 2 ⋅ 𝑣⃗, temos também: {

𝑥 = 1 + 2 ⋅ 𝜆 𝑦 = 3 + 2 ⋅ 𝜆 𝑧 = −1 + 10 ⋅ 𝜆 Resposta: { 𝑥 = 1 + 𝜆 𝑦 = 3 + 𝜆 𝑧 = −1 + 5 ⋅ 𝜆

2) Escreva as equações paramétricas dos eixos coordenados.

Resolução:

Escolhendo 𝑂 = (0,0,0) e 𝑖⃗ = (1,0,0) para o eixo das abscissas, temos: { 𝑥 = 𝑥0+ 𝜆 ⋅ 𝑎 𝑦 = 𝑦0+ 𝜆 ⋅ 𝑏 𝑧 = 𝑧₀+ 𝜆 ⋅ 𝑐 ⇒ { 𝑥 = 0 + 𝜆 ⋅ 1 𝑦 = 0 + 𝜆 ⋅ 0 𝑧 = 0 + 𝜆 ⋅ 0 ⇒ { 𝑥 = 𝜆 𝑦 = 0 𝑧 = 0

Analogamente, para o eixo das ordenadas e das cotas temos, respectivamente: { 𝑥 = 0 𝑦 = 𝜆 𝑧 = 0 e { 𝑥 = 0 𝑦 = 0 𝑧 = 𝜆 . Resposta: 𝑂𝑥: { 𝑥 = 𝜆 𝑦 = 0 𝑧 = 0 𝑂𝑦: { 𝑥 = 0 𝑦 = 𝜆 𝑧 = 0 e 𝑂𝑧: { 𝑥 = 0 𝑦 = 0 𝑧 = 𝜆 .

3) Escreva as equações paramétricas da reta que passa por A e B, sendo 𝐴 = (−4,1,2) e 𝐵 = (1,1,3).

Resolução:

Para vetor diretor, temos 𝑣⃗ = 𝐵 − 𝐴. Logo 𝑣⃗ = 𝐵 − 𝐴 =(1,1,3) − (−4,1,2) = (5,0,1). Assim, utilizando o ponto A, as equações pedidas são:

{ 𝑥 = 𝑥0+ 𝜆 ⋅ 𝑎 𝑦 = 𝑦₀+ 𝜆 ⋅ 𝑏 𝑧 = 𝑧₀+ 𝜆 ⋅ 𝑐 ⇒ { 𝑥 = −4 + 𝜆 ⋅ 5 𝑦 = 1 + 𝜆 ⋅ 0 𝑧 = 2 + 𝜆 ⋅ 1 ⇒ { 𝑥 = −4 + 5 ⋅ 𝜆 𝑦 = 1 𝑧 = 2 + 𝜆 Utilizando o ponto B, as equações pedidas são: { 𝑥 = 𝑥0+ 𝜆 ⋅ 𝑎 𝑦 = 𝑦₀+ 𝜆 ⋅ 𝑏 𝑧 = 𝑧₀+ 𝜆 ⋅ 𝑐 ⇒ { 𝑥 = 1 + 𝜆 ⋅ 5 𝑦 = 1 + 𝜆 ⋅ 0 𝑧 = 3 + 𝜆 ⋅ 1 ⇒ { 𝑥 = 1 + 5 ⋅ 𝜆 𝑦 = 1 𝑧 = 3 + 𝜆 Resposta: { 𝑥 = 1 + 5 ⋅ 𝜆 𝑦 = 1 𝑧 = 3 + 𝜆

(5)

4) Escreva as equações paramétricas da reta que passa por A e pelo ponto médio do segmento

BC, sendo: 𝐴 = (1,0,3), 𝐵 = (1,7,8) e 𝐶 = (1, −7,2).

Resolução:

O ponto médio do segmento BC e calculado como: 𝑀 = (1+1 2 , 7+(−7) 2 , 8+2 2 ) = (1,0,5).

Considere o vetor diretor 𝑣⃗ = 𝑀 − 𝐴 = (1,0,5) − (1,0,3) = (0,0,2). Assim, as equações pedidas são: { 𝑥 = 𝑥₀+ 𝜆 ⋅ 𝑎 𝑦 = 𝑦₀+ 𝜆 ⋅ 𝑏 𝑧 = 𝑧0+ 𝜆 ⋅ 𝑐 ⇒ { 𝑥 = 1 + 𝜆 ⋅ 0 𝑦 = 0 + 𝜆 ⋅ 0 𝑧 = 3 + 𝜆 ⋅ 2 ⇒ { 𝑥 = 1 𝑦 = 0 𝑧 = 3 + 2 ⋅ 𝜆 Resposta: { 𝑥 = 1 𝑦 = 0 𝑧 = 3 + 2 ⋅ 𝜆

5) Considere as seguintes equações paramétricas da reta r: {

𝑥 = 2 + 3 ⋅ 𝜆 𝑦 = −1 + 2 ⋅ 𝜆 𝑧 = 10 − 𝜆 a) Encontre dois pontos de r e um vetor diretor.

Resolução:

Fazendo 𝜆 = 0 nas equações paramétricas, obtemos o ponto 𝐴 = (2, −1,10). Fazendo 𝜆 = 1 nas equações paramétricas, obtemos o ponto 𝐵 = (5,1,9). Um vetor diretor pode ser 𝑣⃗ = (3,2, −1).

Resposta: 𝐴 = (2, −1,10), 𝐵 = (5,1,9) e 𝑣⃗ = (3,2, −1) b) Verifique se os pontos 𝑃 = (7 2, 0, 19 2) e 𝑄 = (5,1,8) pertencem à reta r. Resolução: Substituindo o ponto 𝑃 = (7 2, 0, 19 2) nas equações { 𝑥 = 2 + 3 ⋅ 𝜆 𝑦 = −1 + 2 ⋅ 𝜆 𝑧 = 10 − 𝜆 obtemos: { 7 2 = 2 + 3 ⋅ 𝜆 0 = −1 + 2 ⋅ 𝜆 19 2 = 10 − 𝜆

que são todas satisfeitas para 𝜆 =1

2, logo 𝑃 ∈ 𝑟.

Substituindo o ponto 𝑄 = (5,1,8) nas equações {

𝑥 = 2 + 3 ⋅ 𝜆 𝑦 = −1 + 2 ⋅ 𝜆 𝑧 = 10 − 𝜆 obtemos: { 5 = 2 + 3 ⋅ 𝜆 1 = −1 + 2 ⋅ 𝜆 8 = 10 − 𝜆

que não são todas satisfeitas simultaneamente para nenhum valor de 𝜆, logo 𝑄 ∉ 𝑟.

Resposta: 𝑃 ∈ 𝑟 e 𝑄 ∉ 𝑟.

6) Escreva as equações paramétricas da reta que passa por A= (1,5,4) e é paralela à reta de equações paramétricas: { 𝑥 = 1 − 𝜆 𝑦 = 20 + 2 ⋅ 𝜆 𝑧 = 𝜆 . Resolução:

(6)

Geometria Analítica e Álgebra Linear { 𝑥 = 𝑥0+ 𝜆 ⋅ 𝑎 𝑦 = 𝑦₀+ 𝜆 ⋅ 𝑏 𝑧 = 𝑧₀+ 𝜆 ⋅ 𝑐 {𝑥 = 1 − 𝜆𝑦 = 5 + 2 ⋅ 𝜆 𝑧 = 4 + 𝜆 Resposta: { 𝑥 = 1 − 𝜆 𝑦 = 5 + 2 ⋅ 𝜆 𝑧 = 4 + 𝜆

7) Escreva as equações paramétricas da reta que passa por A= (1,5,4) e é paralela à reta que passa pelos pontos B e C, sendo 𝐵 = (1,1,1) e 𝐶 = (0,1, −1).

Resolução:

Para vetor diretor, temos 𝑣⃗ = 𝐶 − 𝐵. Logo 𝑣⃗ = 𝐶 − 𝐵 = (0,1, −1) − (1,1,1) = (−1,0, −2). Assim, utilizando o ponto A, as equações pedidas são:

{ 𝑥 = 𝑥₀+ 𝜆 ⋅ 𝑎 𝑦 = 𝑦0+ 𝜆 ⋅ 𝑏 𝑧 = 𝑧0 + 𝜆 ⋅ 𝑐 ⇒ { 𝑥 = 1 + 𝜆 ⋅ (−1) 𝑦 = 5 + 𝜆 ⋅ 0 𝑧 = 4 + 𝜆 ⋅ (−2) ⇒ { 𝑥 = 1 − 𝜆 𝑦 = 5 𝑧 = 4 − 2 ⋅ 𝜆 Resposta: { 𝑥 = 1 − 𝜆 𝑦 = 5 𝑧 = 4 − 2 ⋅ 𝜆

8) A reta r tem equação vetorial 𝑋 = (1,0,1) + 𝜆 ⋅ (−1,1,2). Obter os pontos de r que distam √6 de A= (1,0,1). Resolução: 𝑋 = (1,0,1) + 𝜆 ⋅ (−1,1,2) ⇒ { 𝑥 = 𝑥0+ 𝜆 ⋅ 𝑎 𝑦 = 𝑦₀+ 𝜆 ⋅ 𝑏 𝑧 = 𝑧₀+ 𝜆 ⋅ 𝑐 ⇒ { 𝑥 = 1 − 𝜆 𝑦 = 0 + 𝜆 𝑧 = 1 + 2 ⋅ 𝜆 ⇒ { 𝑥 = 1 − 𝜆 𝑦 = 𝜆 𝑧 = 1 + 2 ⋅ 𝜆 ‖𝑋 − 𝐴‖ = √6 √(1 − 𝜆 − 1)2_{+ (𝜆 − 0)}2_{+ (1 + 2 ⋅ 𝜆 − 1)}2 _{= √6 ⇒ √6 ⋅ 𝜆}2 _{= √6 ⋅ |𝜆| = √6 ⇒ 𝜆 = ±1}

Resposta: Logo os pontos são: 𝑃 = (0,1,3) e 𝑄 = (2, −1, −1).

9) Dada a reta r tem equação vetorial 𝑋 = (1,0,0) + 𝜆 ⋅ (−1, −1, −1) e os pontos 𝐴 = (0,0,1) e 𝐵 = (1,1,1), obter o ponto de r equidistante de A e de B.

Resolução:

‖𝑋 − 𝐴‖ = ‖𝑋 − 𝐵‖√(1 − 𝜆 − 0)2_{+ (0 − 𝜆 − 0)}2_{+ (0 − 𝜆 − 1)}2 ₌

√(1 − 𝜆 − 1)2 _{+ (0 − 𝜆 − 1)}2 _{+ (0 − 𝜆 − 1)}2 _⇒

(1 − 𝜆)2_{+ (−𝜆)}2_{+ (−𝜆 − 1)}2 _{= (−𝜆)}2_{+ (−𝜆 − 1)}2_{+ (−𝜆 − 1)}2 _{⇒ 𝜆 = 0.}

Resposta: Logo o ponto procurado é: 𝑃 = (1,0,0).

4.1.3 Equações da reta na forma simétrica

Considere agora uma reta dada pelas equações paramétricas: {

𝑥 = 𝑥₀+ 𝜆 ⋅ 𝑎 𝑦 = 𝑦₀+ 𝜆 ⋅ 𝑏 𝑧 = 𝑧0+ 𝜆 ⋅ 𝑐

, sendo a, b, c não nulos. Temos: 𝜆 =𝑥−𝑥0 𝑎 , 𝜆 = 𝑦−𝑦0 𝑏 e 𝜆 = 𝑧−𝑧0 𝑐 ou = − a x x ₀ 𝑦−𝑦0 𝑏 = 𝑧−𝑧0

(7)

Geometria Analítica e Álgebra Linear Exemplo: 1) Dadas as equações − = 7 2 3x 1−𝑦 4 = 𝑧+5

1 , mostre que elas representam uma reta, dando um

ponto e um vetor diretor da mesma.

Resolução: = − 7 2 3x 1−𝑦 4 = 𝑧+5 1  3(𝑥−2 3) 7 = −(𝑦−1) 4 = 𝑧−(−5) 1  𝑥−2₃ 7 3 =𝑦−1 −4 = 𝑧−(−5) 1

Assim temos um ponto 𝑃 ∈ 𝑟 que é 𝑃 = (2

3, 1, −5) e um vetor diretor: 𝑣⃗ = ( 7 3, −4,1). Resposta: 𝑃 = (2 3, 1, −5) e 𝑣⃗ = ( 7 3, −4,1).

Retas paralelas aos planos coordenados e aos eixos coordenados

Quando apresentamos as equações simétricas de uma reta: − =

a x x ₀ 𝑦−𝑦0 𝑏 = 𝑧−𝑧0 𝑐 , consideramos

que as componentes do vetor diretor da mesma são todos diferentes de zero. Assim, temos que

a, b, c são não nulos. Agora estudaremos os casos em que uma ou duas destas componentes são

nulas.

a) Um dos componentes do vetor diretor 𝒗⃗⃗⃗ é nulo:

Neste caso, o vetor diretor 𝑣⃗ é ortogonal a um dos eixos coordenados e, portanto, a reta r é paralela ao plano dos outros eixos. Assim,

(i) se a = 0, 𝑣⃗ = (0, 𝑏, 𝑐) ⊥ 𝑂𝑥 e 𝑟//𝑦𝑂𝑧. Neste caso as equações de r ficam: { 𝑥 = 𝑥0 𝑦 − 𝑦0 𝑏 = 𝑧 − 𝑧0 𝑐

Neste caso, nas coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧) de um ponto genérico P da reta r, variam somente y e z, conservando-se 𝑥 = 𝑥₀ constante. Isto significa que r se acha num plano paralelo ao plano coordenado 𝑦𝑂𝑧.

(ii) se b = 0, 𝑣⃗ = (𝑎, 0, 𝑐) ⊥ 𝑂𝑦 e 𝑟//𝑥𝑂𝑧. Neste caso as equações de r ficam: { 𝑦 = 𝑦0 𝑥 − 𝑥0 𝑎 = 𝑧 − 𝑧0 𝑐

(8)

Neste caso, nas coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧) de um ponto genérico P da reta r, variam somente x e z, conservando-se 𝑦 = 𝑦₀ constante. Isto significa que r se acha num plano paralelo ao plano coordenado 𝑥𝑂𝑧.

(iii) se c = 0, 𝑣⃗ = (𝑎, 𝑏, 0) ⊥ 𝑂𝑧 e 𝑟//𝑥𝑂𝑦. Neste caso as equações de r ficam: { 𝑧 = 𝑧₀ 𝑥 − 𝑥₀ 𝑎 = 𝑦 − 𝑦₀ 𝑏

Neste caso, nas coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧) de um ponto genérico P da reta r, variam somente x e y, conservando-se 𝑧 = 𝑧₀ constante. Isto significa que r se acha num plano paralelo ao plano coordenado 𝑥𝑂𝑦.

b) Dois dos componentes do vetor diretor 𝒗⃗⃗⃗ são nulos:

Neste caso, o vetor diretor 𝑣⃗ tem a direção de um dos vetores 𝑖⃗ = (1,0,0) ou 𝑗⃗ = (0,1,0) ou 𝑖⃗ = (1,0,0), e portanto, a reta r é paralela ao eixo que tem a direção de 𝑖⃗, 𝑗⃗ ou 𝑘⃗⃗. Assim:

(i) se a = b= 0, 𝑣⃗ = (0,0, 𝑐)//𝑘⃗⃗ e 𝑟//𝑂𝑧. Neste caso as equações de r ficam: {𝑥 = 𝑥0

(9)

(ii) se a = c= 0, 𝑣⃗ = (0, 𝑏, 0)//𝑗⃗ e 𝑟//𝑂𝑦. Neste caso as equações de r ficam: {𝑥 = 𝑥0

𝑧 = 𝑧₀

(iii) se b = c= 0, 𝑣⃗ = (𝑎, 0,0)//𝑖⃗ e 𝑟//𝑂𝑥. Neste caso as equações de r ficam: {𝑦 = 𝑦0

(10)

4.1.4 Condição de alinhamento de três pontos no espaço

A condição para que três pontos 𝐴₁(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1), 𝐴2(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) e 𝐴3(𝑥3, 𝑦3, 𝑧3) estejam em linha

reta é que os vetores 𝐴1𝐴2

→

= 𝐴2− 𝐴1 e 𝐴1𝐴3

→

= 𝐴3 − 𝐴1 sejam paralelos, isto é: 𝐴1𝐴2

→

= 𝐴2−

𝐴₁ 𝐴→ ₁𝐴₃ = 𝐴₃− 𝐴₁, para algum 𝑚 ∈ ℜ, ou: 𝑥2−𝑥1

𝑥3−𝑥1 = 𝑦2−𝑦1 𝑦3−𝑦1 = 𝑧2−𝑧1 𝑧3−𝑧1. Exemplo:

1) Os pontos 𝐴₁(5,2, −6), 𝐴2(−1, −4, −3) e 𝐴3(7,4, −7) estão em linha reta. De fato,

substituindo as coordenadas dos pontos nas equações anteriores, obtemos:

−1−5 7−5 = −4−2 4−2 = −3+6 −7+6.

4.1.5 Condição de paralelismo de duas retas

A condição de paralelismo das retas r e s é a mesma dos vetores 𝑢⃗⃗ = (𝑎1, 𝑏1, 𝑐1) e 𝑣⃗ =

(𝑎₂, 𝑏₂, 𝑐₂), que definem estas retas, isto é: 𝑢⃗⃗ = 𝑚 ⋅ 𝑣⃗ ou 𝑎1

𝑎2 =

𝑏1

𝑏2 =

𝑐1

𝑐2.

4.1.6 Retas ortogonais e perpendiculares

Dadas as retas r e s, sendo 𝑢⃗⃗ e 𝑣⃗ seus vetores diretores, respectivamente. Então elas fazem ângulo reto, se e somente se, 𝑢⃗⃗ ⊥ 𝑣⃗. Indicamos por 𝑟 ⊥ 𝑠.

Retas ortogonais podem ser concorrentes ou não. Caso sejam concorrentes são ditas perpendiculares.

𝑟 ⊥ 𝑠 ⇔ 𝑢⃗⃗ ⋅ 𝑣⃗ = 0

Exemplos:

1) Dadas as retas r e s, verifique se elas são ortogonais.

r :{ 𝑥 = 2 − 𝜆 𝑦 = 𝜆 𝑧 = 1 + 3 ⋅ 𝜆 e s :{ 𝑥 = 2 ⋅ 𝜆 𝑦 = 𝜆 𝑧 = 10 +1 3⋅ 𝜆 Resolução: Vetor diretor de r ⇒ 𝑢⃗⃗ = (−1,1,3) Vetor diretor de s ⇒ 𝑣⃗ = (2,1,1 3) 𝑢⃗⃗ ⋅ 𝑣⃗ = (−1) ⋅ 2 + 1 ⋅ 1 + 3 ⋅1 3= 0

Resposta: Logo r e s são ortogonais.

(11)

Geometria Analítica e Álgebra Linear r:{ 𝑥 = 2 − 2 ⋅ 𝜆 𝑦 = 0 𝑧 = 6 ⋅ 𝜆 e s: 𝑥−1 2 = 𝑦 = 𝑧 Resolução: Vetor diretor de r ⇒ 𝑢⃗⃗ = (−2,0,6) Vetor diretor de s ⇒ 𝑣⃗ = (2,1,1) 𝑢⃗⃗ ⋅ 𝑣⃗ = (−2) ⋅ 2 + 0 ⋅ 1 + 6 ⋅ 1 = 2 ≠ 0

Resposta: Logo r e s não são ortogonais.

3) Determine m de modo que sejam ortogonais as retas r e s:

r: 2⋅𝑥−1 2 = 3 − 𝑦 = 2 − 𝑧 e s: { 𝑥 = 𝑚 ⋅ 𝜆 𝑦 = 3 𝑧 = 1 − 𝜆 Resolução: r: 2⋅𝑥−1 2 = 3 − 𝑦 = 2 − 𝑧 ⇒ 2⋅(𝑥−1 2) 2 = 𝑦−3 −1 = 𝑧−2 −1 ⇒ 𝑥−1₂ 1 = 𝑦−3 −1 = 𝑧−2 −1 Vetor diretor de r ⇒ 𝑢⃗⃗ = (1, −1, −1) Vetor diretor de s ⇒ 𝑣⃗ = (𝑚, 0, −1) 𝑢⃗⃗ ⋅ 𝑣⃗ = 0 ⇒ 𝑢⃗⃗ ⋅ 𝑣⃗ = 1 ⋅ 𝑚 + (−1) ⋅ 0 + (−1) ⋅ (−1) = 0 ⇒ 𝑚 = −1.

Resposta: Logo r e s são ortogonais se 𝑚 = −1.

4.1.7 Ângulo entre retas

Sejam r e s não ortogonais, sendo 𝑢⃗⃗ e 𝑣⃗ os vetores diretores de r e s, respectivamente. Então cos 𝜃 = |𝑢⃗⃗⃗⋅𝑣⃗⃗|

‖𝑢⃗⃗⃗‖⋅‖𝑣⃗⃗‖, onde 𝜃 é o ângulo agudo entre r e s 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 2.

𝑐𝑜𝑠 𝜃 = − 𝑐𝑜𝑠(𝜋 − 𝜃)

Exemplos:

1) Calcule a medida do ângulo agudo entre as retas r e s, sendo:

r: 𝑥−1 4 = 2⋅𝑦+1 5 = 2⋅𝑧+1 6 e s: { 𝑥 = 2 − 4 ⋅ 𝜆 𝑦 = 3 − 𝜆 𝑧 = 𝜆 Resolução: r: 𝑥−1 4 = 2⋅𝑦+1 5 = 2⋅𝑧+1 6 ⇒ 𝑥−1 4 = 2⋅(𝑦−(−1 2)) 5 = 2⋅(𝑧−(−1 2)) 6

(12)

Geometria Analítica e Álgebra Linear ⇒𝑥 − 1 4 = 𝑦 − (−1₂) 5 2 = 𝑧 − (− 1 2) 3 Vetor diretor de r ⇒ 𝑢⃗⃗ = (4,5 2, 3) ⇒ ‖𝑢⃗⃗‖ = √4 2_{+ (}5 2) 2 + 32 ₌ √125 2 = 5√5 2 Vetor diretor de s ⇒ 𝑣⃗ = (−4, −1,1) ⇒ ‖𝑣⃗‖ = √(−4)2_{+ (−1)}2_{+ 1}2 _{= √18 = 3√2} 𝑢⃗⃗ ⋅ 𝑣⃗ = 4 ⋅ (−4) +5 2⋅ (−1) + 3 ⋅ 1 = − 31 2 Logo: cos 𝜃 =_‖𝑢|𝑢⃗⃗⃗⋅𝑣⃗⃗| ⃗⃗⃗‖⋅‖𝑣⃗⃗‖⇒ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = |−31 2| 5√5 2 ⋅3√2 = 31 15√10 Resposta: 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 31 15√10⇒ 𝜃 ≅ 49, 2 𝑜

2) Ache um ponto P da reta r de equações paramétricas: {

𝑥 = 1 − 𝜆 𝑦 = 𝜆 𝑧 = 1

, tal que o cosseno do ângulo entre as retas r e AP seja √2

3, sendo 𝐴 = (1,0,0). Resolução: 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = √2 3 𝑢⃗⃗ = (−1,1,0) Vetor diretor de AP𝑣⃗ = 𝐴 − 𝑃 = (1 − (1 − 𝜆), 0 − (𝜆), 0 − (1))=(𝜆, −𝜆, −1). cos 𝜃 = |𝑢⃗⃗⃗⋅𝑣⃗⃗| ‖𝑢⃗⃗⃗‖⋅‖𝑣⃗⃗‖√ 2 3= |(−1)⋅𝜆+1⋅(−𝜆)+0⋅(−1)| √(−1)2₊₁2₊₀2_⋅√(𝜆)2_+(−𝜆)2₊₍₋₁₎2√ 2 3 = |−2⋅𝜆| √2⋅√2⋅𝜆2+1⇒ 𝜆 = ±1. Assim, se 𝜆 = 1 ⇒x = 0, y = 1 e z = 1. se 𝜆 = −1 ⇒x = 2, y = −1 e z = 1. Resposta: (0,1,1) ou (2, −1,1). 4.1.8 Intersecção de retas Exemplos:

1) Verifique se as retas r e s são concorrentes. Caso afirmativo, ache o ponto de intersecção: 𝑟: { 𝑥 = 1 − 2 ⋅ 𝜆 𝑦 = 2 + 4 ⋅ 𝜆 𝑧 = −𝜆 e 𝑠: { 𝑥 = 1 + 𝜇 𝑦 = 𝜇 𝑧 = 1 − 𝜇 Resolução: Fazendo { 1 − 2 ⋅ 𝜆 = 1 + 𝜇 2 + 4 ⋅ 𝜆 = 𝜇 −𝜆 = 1 − 𝜇 ⇒Resolvendo, encontramos 𝜆 = −1 3 e 𝜇 = 2 3.

Resposta: Assim, o ponto de intersecção é P(5

3, 2 3,

1 3).

(13)

2) Verifique se as retas r e s são concorrentes. Caso afirmativo, ache o ponto de intersecção: 𝑟: { 𝑥 = 2 ⋅ 𝜆 𝑦 = −1 𝑧 = 4 + 𝜆 e 𝑠: 𝑥−1 1 = 𝑦−2 4 = 𝑧 6 Resolução:

Substituindo os valores de x, y e z de r em s, obtemos: 2 ⋅ 𝜆 − 1 =−1−2 4 = 4+𝜆 6 { 2 ⋅ 𝜆 − 1 = −3 4⇒ 𝜆 = 1 8 4+𝜆 6 = − 3 4 ⇒ 𝜆 = − 17 2

Resposta: Logo não existe ponto de intersecção entre r e s.

3) Verifique se as retas r e s são concorrentes. Caso afirmativo, ache o ponto de intersecção: 𝑟: 𝑥−1 2 = 𝑦−1 3 = 𝑧−1 1 e 𝑠: 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 Resolução:

Substituindo os valores de y e z de r por x, obtemos:

𝑥−1 2 =

𝑥−1 3 =

𝑥−1

1 ⇒que é satisfeito apenas para x = 1.

Resposta: Logo temos x = y = z = 1⇒ Assim, o ponto de intersecção é P(1,1,1).

4.2 O Plano

4.2.1 Equação vetorial do plano

Consideremos um plano 𝜋 que passa pelo ponto A e é paralelo aos vetores 𝑢⃗⃗ e 𝑣⃗, não paralelos. Se um ponto 𝑋 ∈ 𝜋, então 𝑋 − 𝐴 = 𝜆 ⋅ 𝑢⃗⃗ + 𝜇 ⋅ 𝑣⃗.

Desta forma temos:

𝑋 − 𝐴 = 𝜆 ⋅ 𝑢⃗⃗ + 𝜇 ⋅ 𝑣⃗ ⇒ 𝑋 = 𝐴 + 𝜆 ⋅ 𝑢⃗⃗ + 𝜇 ⋅ 𝑣⃗.

Esta última equação recebe o nome de equação vetorial do plano. Os vetores 𝑢⃗⃗ e 𝑣⃗ são chamados de vetores diretores do plano 𝜋.

4.2.2 Equações paramétricas do plano

Se no sistema de coordenadas cartesianas ortogonais no espaço tivermos: 𝑋 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝐴 = (𝑥₀, 𝑦₀, 𝑧₀) , 𝑢⃗⃗ = (𝑚, 𝑛, 𝑜)e 𝑣⃗ = (𝑝, 𝑞, 𝑟), então temos:

𝑋 = 𝐴 + 𝜆 ⋅ 𝑢⃗⃗ + 𝜇 ⋅ 𝑣⃗ ⇒

(

x,y,z

) (

= x₀,y₀,z₀

)

+

(

m,n,o

)

+

(

p,q,r

)

(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥0+ 𝜆 ⋅ 𝑚 + 𝜇 ⋅ 𝑝, 𝑦₀+ 𝜆 ⋅ 𝑛 + 𝜇 ⋅ 𝑞, 𝑧₀+ 𝜆 ⋅ 𝑜 + 𝜇 ⋅ 𝑟) ⇒ { 𝑥 = 𝑥0+ 𝜆 ⋅ 𝑚 + 𝜇 ⋅ 𝑝 𝑦 = 𝑦0+ 𝜆 ⋅ 𝑛 + 𝜇 ⋅ 𝑞 𝑧 = 𝑧₀+ 𝜆 ⋅ 𝑜 + 𝜇 ⋅ 𝑟

Estas últimas equações recebem o nome de equações paramétricas do plano.

Exemplos:

1) Sendo 𝐴 = (2,1, −1), 𝑢⃗⃗ = (3,4,5) e 𝑣⃗ = (−1,0,4), escreva as equações paramétricas do plano que passa por A e tem 𝑢⃗⃗ e 𝑣 ⃗⃗⃗⃗como vetores diretores.

Resolução: { 𝑥 = 𝑥₀+ 𝜆 ⋅ 𝑚 + 𝜇 ⋅ 𝑝 𝑦 = 𝑦₀+ 𝜆 ⋅ 𝑛 + 𝜇 ⋅ 𝑞 𝑧 = 𝑧₀+ 𝜆 ⋅ 𝑜 + 𝜇 ⋅ 𝑟 ⇒ { 𝑥 = 2 + 𝜆 ⋅ 3 + 𝜇 ⋅ (−1) 𝑦 = 1 + 𝜆 ⋅ 4 + 𝜇 ⋅ 0 𝑧 = −1 + 𝜆 ⋅ 5 + 𝜇 ⋅ 4 ⇒ { 𝑥 = 2 + 3 ⋅ 𝜆 − 𝜇 𝑦 = 1 + 4 ⋅ 𝜆 𝑧 = −1 + 5 ⋅ 𝜆 + 4 ⋅ 𝜇

(14)

Resposta: {

𝑥 = 2 + 3 ⋅ 𝜆 − 𝜇 𝑦 = 1 + 4 ⋅ 𝜆

𝑧 = −1 + 5 ⋅ 𝜆 + 4 ⋅ 𝜇

Esta resposta não é única. Podemos utilizar qualquer múltiplo de 𝑢⃗⃗ e 𝑣⃗ como vetores diretores. 2) Escreva as equações paramétricas dos planos coordenados.

Resolução:

Escolhendo 𝑂 = (0,0,0) e 𝑖⃗ = (1,0,0) e 𝑗⃗ = (0,1,0) para vetores diretores do plano xOy, temos: { 𝑥 = 𝑥₀+ 𝜆 ⋅ 𝑚 + 𝜇 ⋅ 𝑝 𝑦 = 𝑦₀+ 𝜆 ⋅ 𝑛 + 𝜇 ⋅ 𝑞 𝑧 = 𝑧₀+ 𝜆 ⋅ 𝑜 + 𝜇 ⋅ 𝑟 ⇒ { 𝑥 = 0 + 𝜆 ⋅ 1 + 𝜇 ⋅ 0 𝑦 = 0 + 𝜆 ⋅ 0 + 𝜇 ⋅ 1 𝑧 = 0 + 𝜆 ⋅ 0 + 𝜇 ⋅ 0 ⇒ { 𝑥 = 𝜆 𝑦 = 𝜇 𝑧 = 0

Analogamente, para os planos coordenados xOz e yOz temos, respectivamente: { 𝑥 = 𝜆 𝑦 = 0 𝑧 = 𝜇 e { 𝑥 = 0 𝑦 = 𝜆 𝑧 = 𝜇 . Resposta: 𝑥𝑂𝑦: { 𝑥 = 𝜆 𝑦 = 𝜇 𝑧 = 0 𝑦𝑂𝑧: { 𝑥 = 𝜆 𝑦 = 0 𝑧 = 𝜇 𝑦𝑂𝑧: { 𝑥 = 0 𝑦 = 𝜆 𝑧 = 𝜇

3) Escreva as equações paramétricas do plano que passa por 𝐴 = (1,2,4) e é paralelo ao plano de equação vetorial 𝑋 = (−1,0,2) + 𝜆 ⋅ (1,1,2) + 𝜇 ⋅ (4,1,3).

Resolução:

O plano procurado tem os mesmos vetores diretores do plano dado, logo as equações pedidas são: { 𝑥 = 𝑥₀+ 𝜆 ⋅ 𝑚 + 𝜇 ⋅ 𝑝 𝑦 = 𝑦₀+ 𝜆 ⋅ 𝑛 + 𝜇 ⋅ 𝑞 𝑧 = 𝑧0+ 𝜆 ⋅ 𝑜 + 𝜇 ⋅ 𝑟 ⇒ { 𝑥 = 1 + 𝜆 ⋅ 1 + 𝜇 ⋅ 4 𝑦 = 2 + 𝜆 ⋅ 1 + 𝜇 ⋅ 1 𝑧 = 4 + 𝜆 ⋅ 2 + 𝜇 ⋅ 3 ⇒ { 𝑥 = 1 + 𝜆 + 4 ⋅ 𝜇 𝑦 = 2 + 𝜆 + 𝜇 𝑧 = 4 + 2 ⋅ 𝜆 + 3 ⋅ 𝜇 Resposta: { 𝑥 = 1 + 𝜆 + 4 ⋅ 𝜇 𝑦 = 2 + 𝜆 + 𝜇 𝑧 = 4 + 2 ⋅ 𝜆 + 3 ⋅ 𝜇

4) Escreva as equações paramétricas do plano que passa pelos pontos 𝐴 = (1,1,2), 𝐵 = (−1,1, −1) e 𝐶 = (2,2,4).

Resolução:

Tomando 𝐵 − 𝐴 e 𝐶 − 𝐴 para vetores diretores, temos: 𝑢⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (−1,1, −1) − (1,1,2) = (−2,0, −3)

𝑣⃗ = 𝐶 − 𝐴 = (2,2,4) − (1,1,2) = (1,1,2). Assim as equações paramétricas ficam: { 𝑥 = 𝑥₀+ 𝜆 ⋅ 𝑚 + 𝜇 ⋅ 𝑝 𝑦 = 𝑦0+ 𝜆 ⋅ 𝑛 + 𝜇 ⋅ 𝑞 𝑧 = 𝑧0+ 𝜆 ⋅ 𝑜 + 𝜇 ⋅ 𝑟 ⇒ { 𝑥 = 1 + 𝜆 ⋅ (−2) + 𝜇 ⋅ 1 𝑦 = 1 + 𝜆 ⋅ 0 + 𝜇 ⋅ 1 𝑧 = 2 + 𝜆 ⋅ (−3) + 𝜇 ⋅ 2 ⇒ { 𝑥 = 1 − 2 ⋅ 𝜆 + 𝜇 𝑦 = 1 + 𝜇 𝑧 = 2 − 3 ⋅ 𝜆 + 2 ⋅ 𝜇 Resposta: { 𝑥 = 1 − 2 ⋅ 𝜆 + 𝜇 𝑦 = 1 + 𝜇 𝑧 = 2 − 3 ⋅ 𝜆 + 2 ⋅ 𝜇

5) Obtenha as equações paramétricas do plano determinado pela reta

r: 𝑋 = (1,1,0) + 𝜆 ⋅ (2,1,1) e pelo ponto 𝑃 = (1,2,3).

(15)

Um vetor diretor pode ser 𝑢⃗⃗ = (2,1,1) e o outro obtido por 𝑣⃗ = 𝑃 − 𝐴, onde 𝐴 = (1,1,0). Assim, 𝑣⃗ = 𝑃 − 𝐴 = (1,2,3) − (1,1,0) = (0,1,3). Assim, as equações paramétricas pedidas são: { 𝑥 = 𝑥0+ 𝜆 ⋅ 𝑚 + 𝜇 ⋅ 𝑝 𝑦 = 𝑦0+ 𝜆 ⋅ 𝑛 + 𝜇 ⋅ 𝑞 𝑧 = 𝑧₀+ 𝜆 ⋅ 𝑜 + 𝜇 ⋅ 𝑟 ⇒ { 𝑥 = 1 + 𝜆 ⋅ 2 + 𝜇 ⋅ 0 𝑦 = 2 + 𝜆 ⋅ 1 + 𝜇 ⋅ 1 𝑧 = 3 + 𝜆 ⋅ 1 + 𝜇 ⋅ 3 ⇒ { 𝑥 = 1 + 2 ⋅ 𝜆 𝑦 = 2 + 𝜆 + 𝜇 𝑧 = 3 + 𝜆 + 3 ⋅ 𝜇 Resposta: { 𝑥 = 1 + 2 ⋅ 𝜆 𝑦 = 2 + 𝜆 + 𝜇 𝑧 = 3 + 𝜆 + 3 ⋅ 𝜇

4.2.3 Equação geral do plano

Sendo 𝜋 um plano, qualquer vetor não nulo ortogonal ao plano 𝜋 será chamado de vetor normal a 𝜋. Seja 𝑛⃗⃗ = (𝑎, 𝑏, 𝑐) normal a 𝜋 e 𝐴 = (𝑥₀, 𝑦₀, 𝑧₀) ∈ 𝜋, então 𝑋 ∈ 𝜋 se e só se 𝑋 − 𝐴 é ortogonal a 𝑛⃗⃗ = (𝑎, 𝑏, 𝑐). Logo temos:

(𝑋 − 𝐴) ⋅ 𝑛⃗⃗ = 0 ou (𝑥 − 𝑥0, 𝑦 − 𝑦0, 𝑧 − 𝑧0) ⋅ (𝑎, 𝑏, 𝑐) = 0, ou seja:

(𝑥 − 𝑥0) ⋅ 𝑎 + (𝑦 − 𝑦0) ⋅ 𝑏 + (𝑧 − 𝑧0) ⋅ 𝑐 = 0

⇒ 𝑎 ⋅ 𝑥 + 𝑏 ⋅ 𝑦 + 𝑐 ⋅ 𝑧 − 𝑎 ⋅ 𝑥0− 𝑏 ⋅ 𝑦0− 𝑐 ⋅ 𝑧0 = 0

Fazendo 𝑑 = −𝑎 ⋅ 𝑥0− 𝑏 ⋅ 𝑦0− 𝑐 ⋅ 𝑧0, obtemos:

𝑎 ⋅ 𝑥 + 𝑏 ⋅ 𝑦 + 𝑐 ⋅ 𝑧 + 𝑑 = 0 que é chamada de equação geral do plano.

Observação: os parâmetros a, b, c não podem ser todos nulos simultaneamente, pois 𝑛⃗⃗ ≠ 0⃗⃗.

Exemplos:

1) Obtenha a equação geral do plano 𝜋₁ que passa por 𝐴 = (−3,0,1) e tem 𝑛⃗⃗ = (−2,1,3) como vetor normal.

Resolução:

𝜋1:𝑎 ⋅ 𝑥 + 𝑏 ⋅ 𝑦 + 𝑐 ⋅ 𝑧 + 𝑑 = 0 ⇒ −2 ⋅ 𝑥 + 1 ⋅ 𝑦 + 3 ⋅ 𝑧 + 𝑑 = 0. Como 𝐴 = (−3,0,1) ∈ 𝜋1,

temos −2 ⋅ (−3) + 1 ⋅ 0 + 3 ⋅ 1 + 𝑑 = 0 ⇒ 𝑑 = −9. Logo a equação geral de 𝜋1 é: −2 ⋅ 𝑥 +

1 ⋅ 𝑦 + 3 ⋅ 𝑧 + (−9) = 0 ⇒ −2 ⋅ 𝑥 + 𝑦 + 3 ⋅ 𝑧 − 9 = 0.

Resposta: −2 ⋅ 𝑥 + 𝑦 + 3 ⋅ 𝑧 − 9 = 0

2) Obtenha a equação geral do plano 𝜋₂ que passa por 𝐴 = (−3,0,1) e tem 𝑢⃗⃗ = (2,1,3) e 𝑣⃗ = (−1,0,1)como vetores diretores.

Resolução:

Primeiro necessitamos obter um vetor normal ao plano 𝜋₂. O vetor 𝑢⃗⃗ ∧ 𝑣⃗ ≠ 0⃗⃗ é normal ao plano 𝜋₂, logo:

𝑢⃗⃗ ∧ 𝑣⃗ = 𝑑𝑒𝑡 [ ₂𝑖⃗ ₁𝑗⃗ 𝑘⃗⃗₃ −1 0 1

(16)

𝜋2:𝑎 ⋅ 𝑥 + 𝑏 ⋅ 𝑦 + 𝑐 ⋅ 𝑧 + 𝑑 = 0 ⇒ 1 ⋅ 𝑥 + (−5) ⋅ 𝑦 + 1 ⋅ 𝑧 + 𝑑 = 0. Como 𝐴 = (−3,0,1) ∈

𝜋₂, temos 1 ⋅ (−3) − 5 ⋅ 0 + 1 ⋅ 1 + 𝑑 = 0 ⇒ 𝑑 = 2. Logo a equação geral de 𝜋₂ é: 1 ⋅ 𝑥 + (−5) ⋅ 𝑦 + 1 ⋅ 𝑧 + 2 = 0 ⇒ 𝑥 − 5 ⋅ 𝑦 + 𝑧 + 2 = 0.

Resposta: 𝑥 − 5 ⋅ 𝑦 + 𝑧 + 2 = 0

3) São dadas as equações paramétricas de um plano:

Resolução:

{

𝑥 = 1 − 2 ⋅ 𝜆 + 𝜇 𝑦 = 2 + 𝜆 − 2 ⋅ 𝜇 𝑧 = 3 + 𝜆

. Encontre uma equação geral.

⇒ { 𝑥 = 𝑥₀+ 𝜆 ⋅ 𝑚 + 𝜇 ⋅ 𝑝 𝑦 = 𝑦0+ 𝜆 ⋅ 𝑛 + 𝜇 ⋅ 𝑞 𝑧 = 𝑧0+ 𝜆 ⋅ 𝑜 + 𝜇 ⋅ 𝑟 ⇒ { 𝑥 = 1 − 2 ⋅ 𝜆 + 1 ⋅ 𝜇 𝑦 = 2 + 1 ⋅ 𝜆 − 2 ⋅ 𝜇 𝑧 = 3 + 1 ⋅ 𝜆 + 0 ⋅ 𝜇 . Isto os vetores 𝑢⃗⃗ = (−2,1,1) e 𝑣⃗ = (1, −2,0) são vetores diretores do plano.

O vetor 𝑢⃗⃗ ∧ 𝑣⃗ ≠ 0⃗⃗ é normal ao plano, logo:

𝑢⃗⃗ ∧ 𝑣⃗ = 𝑑𝑒𝑡 [₋₂𝑖⃗ ₁𝑗⃗ 𝑘⃗⃗₁ 1 −2 0

] = 2 ⋅ 𝑖⃗ + 1 ⋅ 𝑗⃗ + 3 ⋅ 𝑘⃗⃗.

Assim, 𝑎 ⋅ 𝑥 + 𝑏 ⋅ 𝑦 + 𝑐 ⋅ 𝑧 + 𝑑 = 0 ⇒ 2 ⋅ 𝑥 + 1 ⋅ 𝑦 + 3 ⋅ 𝑧 + 𝑑 = 0.

Como 𝐴 = (1,2,3) ∈ 𝜋, temos 2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3 + 𝑑 = 0 ⇒ 𝑑 = −13. Logo a equação geral de 𝜋 é: 2 ⋅ 𝑥 + 1 ⋅ 𝑦 + 3 ⋅ 𝑧 + (−13) = 0 ⇒ 2 ⋅ 𝑥 + 𝑦 + 3 ⋅ 𝑧 − 13 = 0.

Resposta: 2 ⋅ 𝑥 + 𝑦 + 3 ⋅ 𝑧 − 13 = 0

4) Um plano 𝜋 tem equação geral 2 ⋅ 𝑥 − 3 ⋅ 𝑦 + 5 ⋅ 𝑧 − 2 = 0. Obter as equações paramétricas deste plano.

Resolução: Fazendo y= e 𝑧 = 𝜇 ⇒ 2 ⋅ 𝑥 − 3 ⋅ 𝜆 + 5 ⋅ 𝜇 − 2 = 0 ⇒ { 𝑥 = 1 +3 2⋅ 𝜆 − 5 2⋅ 𝜇 𝑦 = 𝜆 𝑧 = 𝜇 Resposta: { 𝑥 = 1 +3 2⋅ 𝜆 − 5 2⋅ 𝜇 𝑦 = 𝜆 𝑧 = 𝜇 4.2.4 Planos perpendiculares

Sejam os planos 𝜋₁ e 𝜋₂, sendo 𝑛⃗⃗₁ e 𝑛⃗⃗₂ os vetores normais a 𝜋₁ e 𝜋₂, respectivamente. Então, 𝜋₁ e 𝜋₂ são perpendiculares, se e somente se, 𝑛⃗⃗₁ e 𝑛⃗⃗₂ são perpendiculares. Logo 𝑛⃗⃗₁⋅ 𝑛⃗⃗₂ = 0.

(17)

Geometria Analítica e Álgebra Linear 1) Verifique se os planos 𝜋1 e 𝜋2 são perpendiculares, nos seguintes casos:

a) 𝜋₁: 4 ⋅ 𝑥 + 10 ⋅ 𝑦 − 𝑧 + 1 = 0 e 𝜋₂: 3 ⋅ 𝑥 − 𝑦 + 2 ⋅ 𝑧 = 0 Resposta: Sim. b) 𝜋₁: 𝑥 − 𝑦 = 0 e 𝜋₂: { 𝑥 = 𝜆 𝑦 = 𝜆 + 𝜇 𝑧 = 1 − 𝜆 + 𝜇 Resposta: Não.

4.2.5 Ângulo entre planos

O ângulo entre os planos 𝜋₁ e 𝜋₂ é o ângulo entre duas retas 𝑟₁ e 𝑟₂, perpendiculares a 𝜋₁ e 𝜋₂, respectivamente. Logo cos 𝜃 = |𝑛⃗⃗1⋅𝑛⃗⃗2|

‖𝑛⃗⃗1‖⋅‖𝑛⃗⃗2‖, sendo 𝑛⃗⃗1 e 𝑛⃗⃗2 os vetores diretores de 𝑟1 e 𝑟2,

respectivamente.

Exemplos:

1) Encontre o ângulo entre os planos 𝜋₁ e 𝜋₂, sendo: 𝜋₁: 4 ⋅ 𝑥 − 11 ⋅ 𝑦 + 5 ⋅ 𝑧 − 1 = 0 e 𝜋₂: 𝑥 + 𝑧 = 0 Resolução: 𝑛⃗⃗₁ = (4, −11,5) 𝑛⃗⃗₂ = (1,0,1) 𝑛⃗⃗₁⋅ 𝑛⃗⃗₂ = (4, −11,5) ⋅ (1,0,1) = 4 ⋅ 1 + (−11) ⋅ 0 + 5 ⋅ 1 = 9 ‖𝑛⃗⃗1‖ = √42+ (−11)2+ 52 = √162 ‖𝑛⃗⃗2‖ = √12+ 02 + 12 = √2 Logocos 𝜃 =_{‖𝑛⃗⃗}|𝑛⃗⃗1⋅𝑛⃗⃗2| 1‖⋅‖𝑛⃗⃗2‖⇒ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = |9| √162⋅√2= 1 2 ⇒ 𝜃 = 𝜋 3 Resposta: 𝜃 =𝜋 3

2) Encontre o ângulo entre os planos 𝜋₁ e 𝜋₂, sendo:

𝜋₁: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 e 𝜋₂: 𝑧 = 0 Resposta: 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠√3

3

4.2.6 Intersecção de planos

Sejam os planos 𝜋₁ e 𝜋₂, sendo 𝑛⃗⃗₁ e 𝑛⃗⃗₂ os vetores normais a 𝜋₁ e 𝜋₂, respectivamente. Se 𝑛⃗⃗₁ e 𝑛⃗⃗2 não forem paralelos (o que equivale a dizer que 𝑛⃗⃗1∧ 𝑛⃗⃗2 ≠ 0⃗⃗), então 𝜋1 e 𝜋2 se intersectam

e a intersecção é uma reta r.

Temos ainda que 𝑛⃗⃗1∧ 𝑛⃗⃗2 é um vetor diretor da reta r. Um ponto de r pode ser obtido pelas

(18)

Exemplos:

1) Encontre as equações paramétricas da reta r, intersecção dos planos: 𝜋₁: 2 ⋅ 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 e 𝜋₂: 𝑥 − 2 ⋅ 𝑦 + 𝑧 − 1 = 0 Resolução: 𝑛⃗⃗₁ = (2,1, −1) 𝑛⃗⃗₂ = (1, −2,1) 𝑛⃗⃗1∧ 𝑛⃗⃗2= 𝑑𝑒𝑡 [ 𝑖⃗ 𝑗⃗ 𝑘⃗⃗ 2 1 −1 1 −2 1 ] = −1 ⋅ 𝑖⃗ − 3 ⋅ 𝑗⃗ − 5 ⋅ 𝑘⃗⃗

Para obter um ponto de r, basta tomarmos qualquer solução particular do sistema de equações formado pelas equações gerais dos planos: {2 ⋅ 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 _{𝑥 − 2 ⋅ 𝑦 + 𝑧 − 1 = 0}

Por exemplo, o ponto 𝑃 = (0, −1, −1) é uma destas soluções (verifique). Desta forma, as equações procuradas são:

{ 𝑥 = 𝑥₀+ 𝜆 ⋅ 𝑎 𝑦 = 𝑦₀+ 𝜆 ⋅ 𝑏 𝑧 = 𝑧₀+ 𝜆 ⋅ 𝑐 ⇒ { 𝑥 = 0 + 𝜆 ⋅ (−1) 𝑦 = −1 + 𝜆 ⋅ (−3) 𝑧 = −1 + 𝜆 ⋅ (−5) ⇒ { 𝑥 = −𝜆 𝑦 = −1 − 3 ⋅ 𝜆 𝑧 = −1 − 5 ⋅ 𝜆 Resposta: { 𝑥 = −𝜆 𝑦 = −1 − 3 ⋅ 𝜆 𝑧 = −1 − 5 ⋅ 𝜆

2) Encontre as equações paramétricas da reta r, intersecção dos planos:

𝜋1: 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 e 𝜋2: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 Resposta: { 𝑥 = 2 ⋅ 𝜆 𝑦 =1 2− 2 ⋅ 𝜆 𝑧 = 1 2

4.2.7 Intersecção entre reta e plano Exemplos:

1) Ache a intersecção da reta r com o plano 𝜋, sendo:

r: { 𝑥 = 2 − 2 ⋅ 𝜆 𝑦 = 3 + 𝜆 𝑧 = 𝜆 e 𝜋: 2 ⋅ 𝑥 − 4 ⋅ 𝑦 + 𝑧 − 6 = 0 Resolução:

(19)

Geometria Analítica e Álgebra Linear 2 ⋅ (2 − 2 ⋅ 𝜆) − 4 ⋅ (3 + 𝜆) + (𝜆) − 6 = 0 ⇒ 𝜆 = −2.

Logo, temos que: { 𝑥 = 2 − 2 ⋅ 𝜆 𝑦 = 3 + 𝜆 𝑧 = 𝜆 ⇒ { 𝑥 = 2 − 2 ⋅ (−2) 𝑦 = 3 + (−2) 𝑧 = (−2) ⇒ { 𝑥 = 6 𝑦 = 1 𝑧 = −2

Resposta: Então, o ponto procurado é 𝑃 = (6,1, −2). 2) Ache a intersecção da reta r com o plano 𝜋, sendo:

r: é a intersecção dos planos 𝜋1: 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0 e 𝜋2: 𝑥 + 𝑦 − 2 ⋅ 𝑧 = 1 e 𝜋 é dado pela

equação geral: 𝑥 + 2 ⋅ 𝑦 = 0.

Resolução:

O ponto procurado é a intersecção dos três planos, isto é, a solução do sistema: { 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0 𝑥 + 𝑦 − 2 ⋅ 𝑧 = 1 𝑥 + 2 ⋅ 𝑦 = 0 ⇒Solução: 𝑃 = (2 7, − 1 7, − 3 7) Resposta: 𝑃 = (2 7, − 1 7, − 3 7)

4.2.8 Equação segmentária do plano

A partir da equação geral do plano, podemos obter a equação segmentária do mesmo: 𝑎 ⋅ 𝑥 + 𝑏 ⋅ 𝑦 + 𝑐 ⋅ 𝑧 + 𝑑 = 0 → 𝑎 ⋅ 𝑥 + 𝑏 ⋅ 𝑦 + 𝑐 ⋅ 𝑧 = −𝑑 → 𝑎 −𝑑⋅ 𝑥 + 𝑏 −𝑑⋅ 𝑦 + 𝑐 −𝑑⋅ 𝑧 = 1 → 𝑥 −𝑑_𝑎+ 𝑏 −𝑑_𝑏⋅ 𝑦 + 𝑐 −𝑑_𝑐⋅ 𝑧 = 1. Fazendo −𝑑 𝑎= 𝛼, − 𝑑 𝑏 = 𝛽 𝑒 − 𝑑 𝑐 = 𝜆, obtemos 𝑥 𝛼+ 𝑦 𝛽+ 𝑧 𝛾= 1, que é a equação segmentária do plano.

4.2.9 Alguns planos especiais

Considere a equação geral do plano: 𝑎 ⋅ 𝑥 + 𝑏 ⋅ 𝑦 + 𝑐 ⋅ 𝑧 + 𝑑 = 0. Faça um esboço de cada um dos planos que seguem:

(20)

Geometria Analítica e Álgebra Linear b) 2𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 (𝑐 = 0 𝑒 𝑑 ≠ 0)

c) 𝑥 − 𝑦 = 0 (𝑐 = 0 𝑒 𝑑 = 0)

(21)

Geometria Analítica e Álgebra Linear e) 2𝑦 − 5𝑧 = 0 (𝑎 = 0 𝑒 𝑑 = 0)

f) 3𝑥 + 2𝑧 − 6 = 0 (𝑏 = 0 𝑒 𝑑 ≠ 0)

4.3 Distâncias

4.3.1 Distância entre pontos

Se 𝐴 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝐵 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), então, a distância entre A e B é ‖𝐴 − 𝐵‖. Como 𝐴 − 𝐵 =

(𝑥1− 𝑥2, 𝑦1− 𝑦2, 𝑧1− 𝑧2), então,

𝑑(𝐴, 𝐵) = ‖𝐴 − 𝐵‖ = √(𝑥₁− 𝑥₂)2_{+ (𝑦}

(22)

Exemplo:

1) Se 𝐴 = (1,0, −1) e 𝐵 = (−1,1,0), então, a distância entre A e B.

Resolução: = − + − + − = 2 2 1 2 2 1 2 2 1 ) ( ) ( ) ( ) , (A B x x y y z z d √(1 − (−1))2_{+ (0 − 1)}2_{+ ((−1) − 0)}2 _{= √6} Resposta: √6

4.3.2 Distância entre ponto e reta

A área do triângulo ABP pode ser calculada como: 𝑆_{𝛥𝐴𝐵𝑃} = 1

2(𝑏𝑎𝑠𝑒) ⋅ ℎ = 1

2‖𝑣⃗‖ ⋅ ℎ (I)

Este mesmo valor pode ser obtido por:

𝑆𝛥𝐴𝐵𝑃 = 1

2‖(𝑃 − 𝐴) ∧ 𝑣⃗‖ (II)

Igualando (I) e (II), obtemos:

1 2(𝑏𝑎𝑠𝑒) ⋅ ℎ = 1 2‖𝑣⃗‖ ⋅ ℎ = 1 2‖(𝑃 − 𝐴) ∧ 𝑣⃗‖ ⇒ ℎ = 𝑑(𝑃, 𝑟) = ‖(𝑃 − 𝐴) ∧ 𝑣⃗‖ ‖𝑣⃗‖ Exemplo:

1) Calcule a distância do ponto 𝑃 = (1,0, −1) à reta de equações paramétricas: 𝑟: { 𝑥 = 2 − 𝜆 𝑦 = 3 + 𝜆 𝑧 = 2𝜆 . Resolução: 𝐴 = (2,3,0) ∈ 𝑟 e 𝑣⃗ = (−1,1,2) é um vetor diretor de r. 𝑃 − 𝐴 = (1,0, −1) − (2,3,0) = (−1, −3, −1) (𝑃 − 𝐴) ∧ 𝑣⃗ = | 𝑖 𝑗 𝑘 −1 −3 −1 −1 1 2 | = −5𝑖 + 3𝑗 − 4𝑘 = (−5,3, −4) ‖(𝑃 − 𝐴) ∧ 𝑣⃗‖ = √(−5)2_{+ (3)}2_{+ (−4)}2 _{= √50 = 5√2} ‖𝑣⃗‖ = √(−1)2_{+ (1)}2_{+ (2)}2 _{= √6} Logo, 𝑑(𝑃, 𝑟) =‖(𝑃−𝐴)∧𝑣⃗⃗‖ ‖𝑣⃗⃗‖ = 5√2 √6 = 5√3 3 Resposta: 5√3 3

(23)

4.3.3 Distância entre ponto e plano

Se 𝐴 ∈ 𝜋 e 𝑛⃗⃗ é um vetor normal ao plano 𝜋, podemos observar que 𝑑(𝑃, 𝜋) é a norma da projeção ortogonal de 𝑃 − 𝐴 sobre 𝑛⃗⃗.

Lembrar que: 𝑝𝑟𝑜𝑗_𝑏⃗⃗𝑎⃗ = ( 𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗⃗ ‖𝑏⃗⃗‖2) ⋅ 𝑏⃗⃗ 𝑑(𝑃, 𝜋) = ‖𝑝𝑟𝑜𝑗𝑛⃗⃗(𝑃 − 𝐴)‖ = ‖( (𝑃 − 𝐴) ⋅ 𝑛⃗⃗ ‖𝑛⃗⃗⃗‖2 ) ⋅ 𝑛⃗⃗‖ = |(𝑃 − 𝐴) ⋅ 𝑛⃗⃗| ⋅ ‖𝑛⃗⃗⃗‖ ‖𝑛⃗⃗⃗‖2= |(𝑃 − 𝐴) ⋅ 𝑛⃗⃗| ‖⃗⃗⃗‖𝑛 Assim, 𝑑(𝑃, 𝜋) =|(𝑃 − 𝐴) ⋅ 𝑛⃗⃗| ‖𝑛⃗⃗‖ Se 𝑃 = (𝑥₀, 𝑦₀, 𝑧₀) e 𝜋: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0, então teremos 𝑛⃗⃗ = (𝑎, 𝑏, 𝑐). Seja 𝐴 = (𝑥₁, 𝑦₁, 𝑧₁) ∈ 𝜋, então: (𝑃 − 𝐴) = (𝑥₀− 𝑥₁, 𝑦₀− 𝑦₁, 𝑧₀− 𝑧₁) (𝑃 − 𝐴) ⋅ 𝑛⃗⃗ = 𝑎 ⋅ (𝑥0− 𝑥1) + 𝑏 ⋅ (𝑦0− 𝑦1) + 𝑐 ⋅ (𝑧0− 𝑧1) = = 𝑎𝑥0+ 𝑏𝑦0+ 𝑐𝑧0− (𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1+ 𝑐𝑧1). Fazendo 𝑎𝑥1+ 𝑏𝑦1+ 𝑐𝑧1 = −𝑑, obtemos: (𝑃 − 𝐴) ⋅ 𝑛⃗⃗ = 𝑎 ⋅ 𝑥0+ 𝑏 ⋅ 𝑦0+ 𝑐 ⋅ 𝑧0+ 𝑑. Assim, 𝑑(𝑃, 𝜋) =|(𝑃−𝐴)⋅𝑛⃗⃗| ‖𝑛⃗⃗‖ = |𝑎⋅𝑥0+𝑏⋅𝑦0+𝑐⋅𝑧0+𝑑| √𝑎2_+𝑏2_+𝑐2 . Exemplos:

1) Calcule a distância do ponto 𝑃 = (1,4,3) ao plano de equações paramétricas: 𝜋: { 𝑥 = −3 − 𝜆 + 𝜇 𝑦 = 1 𝑧 = 3 + 3𝜇 . Resolução: 𝐴 = (−3,1,3) ∈ 𝜋 𝑃 − 𝐴 = (1,4,3) − (−3,1,3) = (4,3,0) (𝑃 − 𝐴) ⋅ 𝑛⃗⃗ = 4 ⋅ 0 + 3 ⋅ 3 + 0 ⋅ 0 = 9 𝑛⃗⃗ = | 𝑖 𝑗 𝑘 −1 0 0 1 0 3 | = 3𝑗 = (0,3,0) ⇒ ‖𝑛⃗⃗‖ = √(0)2_{+ (3)}2_{+ (0)}2 _{= 3} Assim,

(24)

Geometria Analítica e Álgebra Linear 𝑑(𝑃, 𝜋) =|(𝑃−𝐴)⋅𝑛⃗⃗| ‖𝑛⃗⃗‖ = 9 3 = 3 Resposta: 3

2) Calcule a distância do ponto 𝑃 = (4,5,6) ao plano de equação geral: 𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 − 14 = 0. Resolução: 𝑑(𝑃, 𝜋) =|𝑎 ⋅ 𝑥0+ 𝑏 ⋅ 𝑦0+ 𝑐 ⋅ 𝑧0+ 𝑑| √𝑎2_{+ 𝑏}2_{+ 𝑐}2 = |1 ⋅ 4 + 2 ⋅ 5 − 2 ⋅ 6 − 14| √(1)2_{+ (2)}2_{+ (−2)}2 = 4 Resposta: 4

4.3.4 Distância entre retas

Dadas duas retas r e s, achar 𝑑(𝑟, 𝑠), sendo 𝑢⃗⃗ e 𝑣⃗ os vetores diretores de r e s, respectivamente.

Caso 1: Se 𝑢⃗⃗ ∧ 𝑣⃗ = 0⃗⃗:

Neste caso, r e s são coincidentes ou paralelas.

Se as retas são coincidentes, então 𝑑(𝑟, 𝑠) = 0.

Se r e s não são coincidentes, escolher um ponto em uma das retas e calcular a distância deste ponto até a outra reta. Assim, se tivermos 𝑃 ∈ 𝑟 e 𝑄 ∈ 𝑠, temos que:

𝑑(𝑟, 𝑠) = 𝑑(𝑃, 𝑠) = 𝑑(𝑄, 𝑟).

Caso 2: Se 𝑢⃗⃗ ∧ 𝑣⃗ ≠ 0⃗⃗:

Neste caso, r e s são concorrentes ou reversas.

Se as retas são concorrentes, então 𝑑(𝑟, 𝑠) = 0.

Se r e s são reversas, considere 𝑃 ∈ 𝑟 e 𝑄 ∈ 𝑠. Podemos observar que 𝑑(𝑟, 𝑠) é a norma da projeção ortogonal de 𝑃 − 𝑄 sobre 𝑢⃗⃗ ∧ 𝑣⃗.

Lembrar que: 𝑝𝑟𝑜𝑗_𝑏⃗⃗𝑎⃗ = ( 𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗⃗ ‖𝑏⃗⃗‖2) ⋅ 𝑏⃗⃗ 𝑑(𝑟, 𝑠) = ‖𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢⃗⃗⃗∧𝑣⃗⃗(𝑃 − 𝑄)‖ = ‖( (𝑃 − 𝑄) ⋅ 𝑢⃗⃗ ∧ 𝑣⃗ ‖𝑢⃗⃗ ∧ 𝑣⃗‖2 ) ⋅ 𝑢⃗⃗ ∧ 𝑣⃗‖ = |(𝑃 − 𝑄) ⋅ 𝑢⃗⃗ ∧ 𝑣⃗| ‖𝑢⃗⃗ ∧ 𝑣⃗‖2 ⋅ ‖𝑢⃗⃗ ∧ 𝑣⃗‖ =

(25)

Geometria Analítica e Álgebra Linear =|(𝑃−𝑄)⋅𝑢⃗⃗⃗∧𝑣⃗⃗| ‖𝑢⃗⃗⃗∧𝑣⃗⃗‖ . Logo, 𝑑(𝑟, 𝑠) =|(𝑃−𝑄)⋅𝑢_‖𝑢 ⃗⃗⃗∧𝑣⃗⃗| ⃗⃗⃗∧𝑣⃗⃗‖ Exemplos:

1) Calcule a distância entre as retas r e s, sendo: 𝑟: {

𝑥 = 1 − 𝜆 𝑦 = 𝜆 𝑧 = 2𝜆 e 𝑠: { 𝑥 = 2 + 𝜆 𝑦 = 2 − 𝜆 𝑧 = 0 . Resolução:

Os vetores diretores de r e s são 𝑢⃗⃗ = (−1,1,2) e 𝑣⃗ = (1, −1,0), respectivamente.

𝑢⃗⃗ ∧ 𝑣⃗ = | 𝑖 𝑗 𝑘 −1 1 2 1 −1 0 | = 2𝑖 + 2𝑗 = (2,2,0) ≠ 0⃗⃗ 𝑃 = (1,0,0) ∈ 𝑟 e 𝑄 = (2,2,0) ∈ 𝑠 ⇒ 𝑃 − 𝑄 = (−1, −2,0) Assim, 𝑑(𝑟, 𝑠) =|(𝑃−𝑄)⋅𝑢_‖𝑢 ⃗⃗⃗∧𝑣⃗⃗| ⃗⃗⃗∧𝑣⃗⃗‖ = |(−1,−2,0)⋅(2,2,0)| ‖(2,2,0)‖ = 6 2√2= 3√2 2 Resposta: 3√2 2

2) Calcule a distância entre as retas r e s, sendo: 𝑟: { 𝑥 = 1 𝑦 = 2 + 𝜆 𝑧 = 3 + 3𝜆

e s é a intersecção dos planos: 𝜋₁: 𝑦 + 𝑧 − 5 = 0 e 𝜋₂: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 6 = 0 Resolução: O vetor diretor de r é 𝑢⃗⃗ = (0,1,3). O vetor diretor 𝑣⃗ de s é: 𝑣⃗ = | 𝑖 𝑗 𝑘 0 1 1 1 1 1 | = 𝑗 − 𝑘 = (0,1, −1) 𝑢⃗⃗ ∧ 𝑣⃗ = | 𝑖 𝑗 𝑘 0 1 3 0 1 −1 | = −4𝑖 = (−4,0,0) ≠ 0⃗⃗

Podemos obter: 𝑃 = (1,2,3) ∈ 𝑟 e 𝑄 = (1,0,5) ∈ 𝑠 (para obter Q, podemos, por exemplo, fazer 𝑦 = 0 em s, obtendo 𝑥 = 1 e 𝑧 = 5). Logo 𝑃 − 𝑄 = (0,2, −2). Assim: 𝑑(𝑟, 𝑠) =|(𝑃 − 𝑄) ⋅ 𝑢⃗⃗ ∧ 𝑣⃗| ‖𝑢⃗⃗ ∧ 𝑣⃗‖ = |(0,2, −2) ⋅ (−4,0,0)| ‖(−4,0,0)‖ = 0 4= 0

Como 𝑢⃗⃗ e 𝑣⃗ não são paralelos e 𝑑(𝑟, 𝑠) = 0, concluímos que r e s são concorrentes.

Resposta: 0

4.4 Exercícios Propostos

1) Determine as equações simétricas da reta t que passa pelo ponto A=(−2, 1, 3) e é ortogonal às retas 𝑟 : { 𝑥=2 − 𝜆 𝑦=1+2𝜆 𝑧 = −3𝜆 e 𝑠 : 𝑥-1 −3 = 𝑧 −1 , 𝑦=2. Resposta: 𝑥+2 −2 = 𝑦−1 8 = 𝑧−3 6

(26)

2) Considere a reta ( s ) que passa pelo ponto A =(10, 7, −2) e é simultaneamente ortogonal às retas: 𝑟1: { 𝑥 = 1 − 𝜆 𝑦 = 2 + 3𝜆 𝑧 = 5 + 2𝜆 e 𝑟2: { 𝑥 = −13 + 2𝜇 𝑦 = 1 + 𝜇 𝑧 = 4 + 4𝜇

. Para que valores de 𝛼 e 𝛽 , a reta ( t ): 𝑥+3

𝛼 = 𝑦−13

𝛽 = 𝑧 14

é paralela à reta ( s ) ? Resposta: {𝛼 = −20

𝛽 = −16

3) Qual deve ser o valor de m para que os pontos A=(3, m, 1); B=(1, 1, −1) e C=(−2, 10, −4) pertençam a mesma reta? Resposta: 𝑚 = −5

4) A reta 𝑟 : {

𝑥=1+2𝜆 𝑦 = 𝜆 𝑧=3 − 𝜆

forma um ângulo de 60º com a reta determinada pelos pontos

A=(3, 1, -2) e B=(4, 0, m). Calcular o valor de m. Resposta: 𝑚 = −4 5) Seja o triângulo de vértices A = (1, 0, −2), B = (2, −1, −6) e C = (−4, 5, 2). Estabelecer as equações paramétricas da reta suporte da mediana do triângulo ABC, relativa ao lado BC.

Resposta: {

𝑥=1+2𝜆 𝑦 = −2𝜆 𝑧 = −2

6) Dados os pontos A= (1, 2, 5) e B = (0, 1, 0), determine P sobre a reta que passa por A e B, tal que o comprimento de PB seja o triplo do comprimento de PA.

Resposta: (3 2, 5 2, 15 2) ou ( 3 4, 7 4, 15 4)

7) Dados A = (0, 2, 1), r: X = (0, 2, −2) + (1, −1, 2), ache os pontos de r que distam 3 de A . Com base neste resultado, diga se a distância do ponto A à reta r é maior, menor ou

igual a 3 e por quê. Resposta: 𝑟 = √3

8) Dado o ponto A = ( 1,1,1) e a reta 𝑟: {

𝑥 = 1 + 𝜆 𝑦 = 1 − 𝜆 𝑧 = 4

, ache todos os pontos da reta r que distam √11 unidades do ponto A. Resposta: 𝑋₁= (2,0,4) e 𝑋₂ = (0,2,4)

9) Determine m de modo que os planos 𝜋₁ e 𝜋₂ sejam perpendiculares, nos seguintes casos: a) 𝜋₁: 𝑚 ⋅ 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 e 𝜋₂: 𝑥 − 𝑚 ⋅ 𝑦 + 𝑚 ⋅ 𝑧 − 1 = 0 Resposta: 𝑚 = 0. b) 𝜋₁: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 𝑚 = 0 e 𝜋₂: −𝑥 + 𝑦 + 𝑚 = 0 Resposta: m qualquer.

10) Encontre a equação geral do plano 𝜋 determinado pelo ponto P = (1, −2,3) e pela reta 𝑟: {

𝑥 = 1 − 2𝜆 𝑦 = 2 + 3𝜆 𝑧 = 3 + 𝜆

. Resposta: 𝑥 + 2𝑧 − 7 = 0

11) Determine o plano que contém o ponto A = (4, 1, 0) e é perpendicular aos planos 𝜋1 : 2𝑥 −

𝑦 − 4𝑧 − 6=0 e 𝜋2 : 𝑥 + 𝑦+2𝑧 − 3=0. Resposta: 2𝑥 − 8𝑦 + 3𝑧 = 0

12) Determine o plano que passa pelos pontos A = (1, −2, 2) e B = (−3, 1, −2) e é perpendicular ao plano  : 2x + y − z + 8 = 0. Resposta: 𝑥 − 12𝑦 − 10𝑧 − 5 = 0 13) Determinar a equação geral do plano determinado pelos pontos A = (−1,2,0), B = (2, −1,1) e pelo ponto C que é o ponto de intersecção das retas (r) e (s), sendo:

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Geometria Analítica e Álgebra Linear 𝑟: { 𝑥 = 𝜆 𝑦 = −1 + 2𝜆 𝑧 = −4 + 3𝜆 e 𝑠: { 𝑥 = −1 − 𝜇 𝑦 = −3 − 2𝜇 𝑧 = −9 − 4𝜇 Resposta: 4𝑥 + 5𝑦 + 3𝑧 − 6 = 0 14) Determinar o valor de m para que seja de 30º o ângulo entre os planos 𝜋₁ : 𝑥 + 𝑚 ⋅ 𝑦+2𝑧 − 7=0 e 𝜋₂ : 4𝑥+5𝑦+3𝑧 − 2=0. Resposta: 𝑚 = 1 ou 𝑚 = 7

15) O plano  : x + y − z − 2 = 0 intersecta os eixos cartesianos nos pontos A, B, C. Calcular

a área do triângulo ABC. Resposta: 𝑆 = 2√3

16) Calcular o volume do tetraedro limitado pelo plano 3x + 2y − 4z − 12 = 0 e pelos planos

coordenados. Resposta: 𝑉 = 12

17) Mostrar que o ponto 𝑃 = (2,2,3) é equidistante dos pontos 𝐴 = (1,4, −2) e 𝐵 = (3,7,5).

Resposta: 𝑑(𝑃, 𝐴) = 𝑑(𝑃, 𝐵) = √30 18) Calcule a distância entre o ponto 𝑃 = (1

2, 3

2, 0), à reta r, intersecção dos planos:

x −y − z = 1 e x + y = 0. Resposta: 𝑉 = 2√30

6

19) Calcule a distância entre o ponto 𝑃 = (1,1, −1) até cada um dos eixos coordenados.

Resposta: 𝑑(𝑃, 𝑂𝑥) = 𝑑(𝑃, 𝑂𝑦) = 𝑑(𝑃, 𝑂𝑧) = √2

20) Calcule a distância do ponto 𝑃 = (2, −1,2) ao plano de equações paramétricas: 𝜋: {

𝑥 = 𝜆 𝑦 = 𝜇 𝑧 = −𝜆 − 𝜇

. Resposta: √3

21) Calcule a distância do ponto 𝑃 = (1,0,3) ao plano de equação geral:

3𝑥 + 4𝑦 − 1 = 0. Resposta: 2

5

22) Calcule a distância do ponto 𝑃 = (2,5, −7) até cada um dos planos coordenados.

Respostas: 𝑑(𝑃, 𝑥𝑂𝑦) = 7, 𝑑(𝑃, 𝑥𝑂𝑧) = 5 e 𝑑(𝑃, 𝑦𝑂𝑧) = 2 23) Calcule a distância entre as retas r e s, sendo: 𝑟: {

𝑥 = 1 + 𝜆 𝑦 = 𝜆 𝑧 = 2 + 𝜆 e 𝑠: { 𝑥 = 2 + 3𝜆 𝑦 = 1 + 3𝜆 𝑧 = 0 + 3𝜆 . Resposta: √6

24) Calcule a distância entre as retas r e s, sendo que:

r é a intersecção dos planos: 𝜋₁: 𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 e 𝜋₂: 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 2 = 0

s a intersecção entre os planos: 𝜋₃: 2𝑥 − 𝑦 = 0 e 𝜋₄: 𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 0 Resposta: 10√59

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4.5 Referências Bibliográficas

1. BARSOTTI, Leo. Geometria Analítica e Vetores. 3.a Edição. Curitiba: Artes Gráficas e Editora Unificado, 1984.

2. BOULOS, Paulo, CAMARGO, Ivan de. Geometria Analítica – Um tratamento Vetorial. São Paulo: Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1987.

3. BOULOS, Paulo, CAMARGO, Ivan de. Introdução à Geometria Analítica no Espaço. São Paulo: Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1997.

4. STEINBRUCH, Alfredo, WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.

5. VENTURI, Jacir J. Sistemas de Coordenadas e Álgebra Vetorial. Curitiba: Artes Gráficas e Editora Unificado, 1987.