Campos Sonoros Gerados por Circulação Humana em
Escadas de Edifícios de Habitação
J
OANA
M
ARIA
C
OSTA
M
ARIANO
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
E
NGENHARIA
C
IVIL
Júri
Presidente: Prof. Jorge Manuel Caliço Lopes de Brito
Orientador: Prof. Albano Luís Rebelo da Silva das Neves e Sousa
Vogais: Prof. Luís Manuel Coelho Guerreiro
AGRADECIMENTOS
Agradeço ao meu coordenador Prof. Albano Neves e Sousa, pelo
constante apoio e incentivo, indicando sempre a direcção a ser tomada nos
momentos de maior dificuldade. Agradeço especialmente o empenho que
colocou neste trabalho. Agradeço ainda a análise rigorosa de cada
capítulo, as sugestões, os esclarecimentos e os comentários sempre
oportunos e que espero ter sabido aproveitar.
Aos meus pais e irmão, agradeço o apoio e incentivo constante.
Ao João Paulo Inácio, sempre pronto e dedicado, agradeço a ajuda no
RESUMO
O ruído de impacto com frequências inferiores a 200 Hz constitui, hoje em dia, um problema de conforto em edifícios de habitação. De facto, embora o ser humano consiga detectar sons com frequências entre os 20 e os 20000 Hz, as normas correntemente utilizadas na prática profissional são válidas apenas para frequências entre os 100 e os 3150 Hz. Recentemente, alguns desenvolvimentos permitiram adaptar as normas para frequências até aos 5000 Hz. No entanto, embora, existam algumas propostas de adaptação para frequências entre os 50 e os 100 Hz, os métodos normalizados não se adequam às baixas frequências e, por esse motivo, as propostas de adaptação normativa têm produzido resultados insatisfatórios.
Os equipamentos mecânicos são normalmente as fontes sonoras de baixa frequência mais problemáticas, no entanto em edifícios de habitação, o movimento sincronizado do passo humano é correntemente identificado como a fonte mais comum de ruído de impacto de baixa frequência.
Assim, é importante definir métodos de previsão da transmissão sonora de ruído de impacto válidos na região das baixas frequências.
Neste contexto, pretende-se desenvolver um método simplificado de análise da propagação de ruído de impacto de baixa frequência de uma escada para um compartimento. Para tal, serão utilizados modelos de elementos finitos do campo de vibração do sistema escada/parede. Infelizmente não está disponível no Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura do IST nenhum programa de elementos finitos capaz de modelar também o campo sonoro de compartimentos. Assim, será necessário estimar analiticamente a interacção estrutural escada/parede para depois avaliar, de forma aproximada e também analítica, o campo sonoro gerado no interior do compartimento. O método de avaliação do campo sonoro será posteriormente aplicado ao caso em que a excitação estrutural corresponde ao movimento humano sobre a escada.
Analiticamente não foi possível prever com precisão o campo de vibração do sistema estrutural escada/parede. No entanto, podem ser obtidas estimativas razoáveis com base no modelo de uma parede com propriedades mecânicas cuidadosamente escolhidas de modo a se obter um campo de vibração onde os modos ocorrem com frequências próprias semelhantes às obtidas pelo método de elementos finitos. Foi ainda considerado um modelo de uma parede sujeita a um conjunto de forças equivalentes à acção da escada, porém os resultados obtidos foram menos satisfatórios.
PALAVRAS-CHAVE
ABSTRACT
Impact sound transmission at frequencies below 200 Hz is nowadays an issue in dwellings. Although human beings are able to detect sounds from 20 to 20000 Hz, current standards apply only to frequencies in the range 100 – 3150 Hz. Recently, this interval was extended to 5000 Hz in some standards. An extension to 50 Hz is also suggested in standards dealing with sound insulation measurements but results have been unsatisfactory because the standard methods are not adequate for low frequencies.
Mechanical devices are generally the most problematic sources of low frequency noise, but footsteps are identified as the most common source of low frequency impact sound in dwellings. Thus, it is important to develop prediction methods for low frequency impact sound transmission. The alternatives are the finite element method (FEM) and analytical methods based on natural mode analysis.
FEM will be used to model the vibration field of a stair/wall structural system. Unfortunately, at the moment, computer programs using FEM to model sound fields are not available at the Department of Civil Engineering and Architecture of IST and therefore analytical methods will have to be used. Thus, analytical predictions of the structural interaction between the stair and the wall and then of the sound field in the room will have to be performed. The method will then be applied to describe sound fields generated by human footsteps on stairs.
The vibration field of the stair/wall structural system cannot be accurately predicted by analytical methods. However, reasonable estimates can be obtained by considering a wall with mechanical characteristics carefully chosen in order to obtain a vibration field described by similar modes occurring at the same natural frequencies as those provided by FEM. This vibration field should be generated by a single unit point impact force. Poorer estimates can be obtained by considering the effect of the stair on the wall as a set of force couples.
KEYWORDS
Vibration fields; sound field; Impact sound transmission; Load induced by people; Prediction models; Low frequency.
ÍNDICE
1. INTRODUÇÃO ... 1
1.1.MOTIVAÇÃO... 1
1.2.OBJECTIVOS... 2
1.3.ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO... 2
2. MODELOS DE VIBRAÇÃO DE PLACAS ... 5
2.1.INTRODUÇÃO... 5
2.2.MÉTODOS DE PREVISÃO UTILIZADOS... 5
2.3.EQUAÇÃO DE ONDAS DE FLEXÃO EM PLACAS... 6
2.4. MODELAÇÃO ANALÍTICA DA VIBRAÇÃO DE UMA PLACA HOMOGÉNEA SIMPLESMENTE APOIADA8 2.4.1.Construção do modelo ... 8
2.4.2.Implementação do modelo ... 12
2.5. MODELAÇÃO NUMÉRICA DA VIBRAÇÃO DE PLACAS HOMOGÉNEAS SIMPLESMENTE APOIADAS13 2.6. MODELAÇÃO DA VIBRAÇÃO DE UMA PLACA HOMOGÉNEA COM DIFERENTES CONDIÇÕES DE APOIO... 15
2.7.CONCLUSÕES... 17
2.8.REFERÊNCIAS... 18
3. MODELO DO CAMPO DE VIBRAÇÃO DO SISTEMA ESTRUTURAL
ESCADA/PAREDE ... 21
3.1.INTRODUÇÃO... 21
3.2.HIPÓTESES INICIAIS DE MODELAÇÃO... 21
3.3. CASO DE ESTUDO:ESCADAS EM BETÃO ARMADO E PAREDES DE ALVENARIA... 23
3.3.1.Escada em betão armado ... 23
3.4.1.Modelação numérica ... 26
3.4.2. Modelação analítica da placa horizontal com binários equivalentes ... 26
3.4.3.Validação numérica da modelação analítica... 29
3.5. MODELO DO SISTEMA ESTRUTURAL PAREDE/PLACA A 2/3 DE ALTURA DA PAREDE... 31
3.6.MODELO DO SISTEMA PAREDE/ESCADA... 34
3.6.1. Modelação analítica da escada por binários equivalentes e validação numérica34 3.6.2. Modelação analítica do sistema estrutural por parede equivalente e validação numérica ... 37
3.7.CONCLUSÕES... 39
3.8.REFERÊNCIAS... 40
4. MODELO DO CAMPO SONORO ... 41
4.1.INTRODUÇÃO... 41
4.2.FUNDAMENTOS TEÓRICOS – CAMPO SONORO... 42
4.2.1.Equação da onda sonora no ar ... 42
4.2.2.Solução da equação homogénea da onda sonora ... 43
4.3. FUNDAMENTOS TEÓRICOS –ACOPLAMENTO ENTRE CAMPO DE VIBRAÇÃO E CAMPO SONORO ... 45
4.4.IMPLEMENTAÇÃO DO MODELO ANALÍTICO... 49
4.5. MODELO NUMÉRICO DO SISTEMA PLACA/CAMPO SONORO –VALIDAÇÃO... 50
4.6. MODELO ANALÍTICO DO SISTEMA ESCADA / PAREDE / CAMPO SONORO... 54
4.7.CONCLUSÕES... 58
4.8.REFERÊNCIAS... 59
5. CAMPO SONORO GERADO POR MOVIMENTO HUMANO EM ESCADAS
... 61
5.1.INTRODUÇÃO... 61
5.2. ACÇÃO DINÂMICA INDUZIDA PELA CIRCULAÇÃO HUMANA EM ESCADAS E PAVIMENTOS... 61
5.2.3.Sinal no Tempo da Força Dinâmica Horizontal... 70
5.2.4.Influência do Número de Pessoas ...71
5.2.5. Espectros típicos da força dinâmica induzida em pavimentos e escadas pela circulação humana... 72
5.3.CASO DE ESTUDO... 73
5.4.CONCLUSÕES... 75
5.5.REFERÊNCIAS... 75
6. CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS ... 77
6.1.CONCLUSÕES... 77
6.2.TRABALHOS FUTUROS...78
GLOSSÁRIO DE SÍMBOLOS
B’ – rigidez de flexão em placas (Nm2/m);B’ – rididez de flexão na forma complexa em placas (Nm2/m); B0 – módulo adiabático de volume (Pa);
Cmn – factor de acoplamento estrutura-fluido;
D – módulo de elasticidade do material (N/m2);
D – módulo de elasticidade em forma complexa do material (N/m2); E – módulo de elasticidade (N/m2);
Eeq – módulo de elasticidade equivalente para uma placa homogénea (N/m2);
F – força (N);
F(t) – força dinâmica vertical induzida pela acção humana
Fp(t) – força dinâmica vertical induzida por locomoção em passo de corrida e por pequenos saltos
G – módulo de distorção (N/m2); também utilizado como peso estático de um indivíduo; I – momento de inércia (m4);
I’ – momento de inércia em placas (m4/m);
Ieq – momento de inércia equivalente numa placa homogénea (m4);
Le – dimensão do espelho de um degrau (m);
Lc – dimensão do cobertor de um degrau (m);
Lp – nível de pressão sonora (dB);
M – momento (Nm);
M’ – momento por unidade de área (Nm/m2); N – número de modos do sistema de vibração; NF – número de forças aplicadas numa placa;
P – pressão instantânea (Pa);
Patm – pressão atmosférica ≈ 1.013 × 105 Pa do nível do mar;
P0 – pressão instantânea estática do ar (Pa);
Q – esforço transverso por unidade de comprimento (N/m); RH – humidade relativa (%);
S – área de todas as superfícies envolventes do compartimento (m2); Si – área da superfície de um elemento do compartimento (m2);
Tp – período do passo; TR – tempo de reverberação (s); V – volume (m3); Va – volume aparente (m 3 );
a – dimensão segundo o eixo x (m); também utilizado como aceleração (m/s2); b – dimensão segundo o eixo y (m);
c – dimensão segundo o eixo z (m);
c0 – velocidade de propagação sonora no ar (m/s);
f – frequência (Hz);
fs – frequencia do movimento humano (Hz)
g – aceleração gravitica ≈ 9.8 m/s2
; h – espessura da placa (m); j – constante = -1;
k – número de onda (rad/m); kp – factor de impacto dinâmico
ls – comprimento do passo (m)
m – massa (kg);
m’’ – massa por unidade de área numa placa (kg/m2); p – pressão sonora (Pa);
s – condensação volúmica do ar; t – tempo (s);
tp – duração de contacto (s);
v – velocidade (m/s);
vs – velocidade de marcha (m/s)
∆ – variação;
∆G – Coeficientes de amplitudes das componentes harmónicas da força dinâmica;
Χ – termo fonte (m-1s-1);
Φ – termo fonte de velocidade potencial (m/s);
Ψ – velocidade potencial (m/s); Σ – operador de soma;
α
__
– coeficiente de absorção sonora média das superfícies do compartimento
αi – coeficiente de absorção sonora das superfícies do compartimento; também utilizado como coeficiente
de amplitude da componente harmónica;
χ – curvatura por flexão (m-1);
δ – coeficiente de absorção temporal (s-1
); também utilizado como símbolo de Kronecker;
ε – deformação; também utilizado como coeficiente de amortecimento;
i
φ – ângulo de desfasamento da componente harmónica
γ – razão do calor especifico = 1.402 do ar;
η – factor de perdas;
λ – comprimento de onda (m); também utilizado como tensor das tensões principais
λB – máximo comprimento de onda por flexão numa placa (m); ϕlmn – funções forma do campo sonoro de compartimentos; ϕm
1n1 – funções forma do campo de vibração de placas; µ – deslocamento paralelo ao eixo x (m);
ν – Coeficiente de Poisson; π – constante = 3.141592654…;
θ – temperatura (ºC);
ρ – massa volúmica (kg/m3);
ρa – massa volúmica aparente (kg/m3); ρ0 – densidade estática do ar (kg/m3); σ – tensão (N/m2);
σij – tensor das tensões faciais num elemento sólido (N/m2); υ – parâmetro de viscosidade (s);
ω – velocidade angular (rad/s);
ωlmn – frequências próprias do campo sonoro de compartimentos (rad/s); ω
ω ω
ωlmn – frequências próprias na forma complexa do campo sonoro de compartimentos (rad/s); ωm
1n1 – frequências próprias do campo de vibração de placas (rad/s); ω
ω ω ωm
1n1 – frequências próprias na forma complexa do campo de vibração de placas (rad/s); ξ – deslocamentos laterais paralelos ao eixo y (m);
∂ – diferencial infinitesimal; ∇ – operador divergência; ∇2
– operador Laplaciano tridimensional; ∫ – operador de integral.
1. INTRODUÇÃO
1.1.
M
OTIVAÇÃOUm dos problemas que tem permanecido sem resolução na área da acústica de edifícios é a caracterização e controlo da transmissão de ruído de impacto de baixa frequência (20 – 200 Hz). De facto, embora o ser humano consiga detectar sons com frequências entre os 20 e os 20000 Hz, as normas correntemente utilizadas na prática profissional são válidas apenas para frequências entre os 100 e os 3150 Hz. Recentemente, alguns desenvolvimentos permitiram adaptar as normas para frequências até aos 5000 Hz. No entanto, embora, existam algumas propostas de adaptação para frequências entre os 50 e os 100 Hz, os métodos normalizados não se adequam às baixas frequências e, por esse motivo, as propostas de adaptação normativa têm produzido resultados insatisfatórios [N.1, N.2].
As normas utilizadas na acústica de edifícios para caracterizar a transmissão sonora baseiam-se em métodos clássicos que assumem campos difusos, quer em termos de vibração estrutural quer em termos de distribuição da pressão sonora no interior dos compartimentos. No entanto, esta hipótese não é válida na região das baixas frequências, onde os elementos de construção e os campos sonoros, com frequências próprias dentro do intervalo de frequências em análise (20 – 200 Hz), apresentam um comportamento claramente modal. Quando as fontes sonoras são também de baixa frequência, este problema é agravado.
Os equipamentos mecânicos são normalmente as fontes sonoras de baixa frequência mais gravosas, mas, nos edifícios de habitação, a locomoção humana, em passo normal, no caso dos adultos, ou em passo de corrida ou em saltos, no caso das crianças, é correntemente identificada como a fonte mais comum de ruído de impacto de baixa frequência [1].
Assim, é importante definir métodos de previsão da transmissão sonora de ruído de impacto válidos na região das baixas frequências. Os métodos mais correntes são o método numérico dos elementos finitos e o método analítico da análise modal. Neves e Sousa [1] utiliza este último método para caracterizar a transmissão sonora de ruído de impacto de baixa frequência em diversos tipos de pavimentos sobre compartimentos rectangulares com dimensões correntes em edifícios de habitação. Este método apresenta algumas vantagens sobre o método dos elementos finitos, mas tem a grande desvantagem de estar limitado a casos de excitação directa de placas rectangulares sobre compartimentos rectangulares, pelo que não é ideal para a modelação do campo sonoro gerado num compartimento por acção de uma força de impacto numa escada adjacente a uma das paredes desse mesmo compartimento. Esta é uma situação comum nos edifícios de habitação, para a qual é importante definir ferramentas de análise que auxiliem os projectistas a encontrar mecanismos de correcção de transmissão sonora.
1.2.
O
BJECTIVOSO principal objectivo desta dissertação é encontrar um método simplificado de análise da propagação de ruído de impacto de baixa frequência de uma escada para um compartimento. Para tal, serão utilizados modelos de elementos finitos do campo de vibração instalado em elementos estruturais (escada e parede), os quais permitirão avaliar a interacção escada/parede. Infelizmente não está disponível no Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura do IST nenhum programa de elementos finitos capaz de modelar também o campo sonoro de compartimentos. Assim, será necessário estimar analiticamente a interacção estrutural escada/parede para depois avaliar, de forma aproximada e também analítica, o campo sonoro gerado no interior do compartimento.
Uma vez definido o método de avaliação do campo sonoro, pretende-se aplicá-lo ao caso em que a excitação estrutural corresponde ao movimento humano sobre a escada. Para tal, será necessário efectuar uma pesquisa bibliográfica para caracterização dinâmica da locomoção humana.
1.3.
E
STRUTURA DA DISSERTAÇÃOA modelação do campo sonoro gerado num compartimento habitacional, por uma força de impacto numa escada adjacente a uma das paredes do compartimento constitui um problema que pode ser resolvido em duas fases. Na primeira fase é modelado o campo de vibração de uma parede induzida por uma força de impacto aplicada numa escada adjacente (sistema estrutural escada/parede). Na segunda fase é definido o campo sonoro gerado no compartimento, pela vibração da parede.
Nos Capítulos 2 e 3 é desenvolvida a primeira fase do problema. No Capítulo 2 é construído, através do método dos elementos finitos, um modelo numérico do campo sonoro de uma placa homogénea simplesmente apoiada sujeita a uma força de impacto pontual. A comparação deste modelo com um modelo analítico validado experimentalmente, permite verificar a sua fiabilidade, sendo possível eliminar desde uma fase inicial do estudo eventuais erros de propagação. Uma vez validado o modelo numérico para placas homogéneas simplesmente apoiadas, é agora possível utilizá-lo para validar o modelo analítico disponível para aplicação em placas com diferentes condições de apoio. Esta tarefa não constitui um objectivo central da dissertação mas dá um contributo importante para a implementação do método analítico de análise modal como um método alternativo
No Capítulo 3 é modelado o campo de vibração de uma parede de alvenaria, na qual se encastra um pavimento em betão armado, sujeito a uma força de impacto (sistema estrutural escada/parede). Foram utilizados o método dos elementos finitos e o método analítico de análise modal. São analisados três casos de estudo, correspondentes a diferentes disposições de pavimento: a meia altura da parede; a dois terços de altura; e inclinado (escada). A
comparação dos modelos permite quantificar a fiabilidade da aplicação de modelos analíticos aproximados.
A segunda fase do problema foi analisada no Capítulo 4. Neste capítulo é modelado analiticamente o acoplamento entre o campo sonoro do compartimento e o campo de vibração gerado, na parede de alvenaria, pela aplicação de uma força de impacto numa escada adjacente (sistema estrutural escada/parede).
No Capítulo 5, o modelo analítico do campo sonoro gerado, num compartimento, por uma força de impacto actuante numa escada adjacente a uma das suas paredes envolventes é aplicado ao caso em que as escadas são excitadas pelo movimento humano.
R
EFERÊNCIAS[1] Neves e Sousa, A. - Low frequency Impact Sound Transmission in Dwellings, Tese de Doutoramento, The University of Liverpool, 2005;
[N.1] EN ISO 140 – 6: Acoustics: Measurement of sound insulation in buildings and of buildings elements – Part 6: Laboratory measurements of impact sound insulation of floors, Comité Europeu de Normalização, Bruxelas, Bélgica, 1998;
[N.2] EN ISO 140 – 7: Acoustics: Measurement of sound insulation in buildings and of buildings elements – Part 7: Field measurements of impact sound insulation of floors, Comité Europeu de
2. MODELOS DE VIBRAÇÃO DE PLACAS
2.1.
I
NTRODUÇÃONeste trabalho pretende-se desenvolver um modelo de previsão do campo sonoro no interior de um compartimento habitacional devido à vibração de uma escada adjacente a uma das paredes do compartimento. Para tal, o problema é separado em duas fases distintas. Na primeira fase é estudado o campo de vibração do sistema estrutural escada/parede de separação entre a zona comum da caixa de escadas e o compartimento habitacional. Na segunda é analisado o campo sonoro no interior do compartimento.
Neste capítulo é abordada a primeira fase do problema, na qual se pretende aplicar, através do método dos elementos finitos, um modelo numérico representativo do campo de vibração de uma placa homogénea, sujeita a uma força de impacto pontual. Este modelo será comparado com um modelo analítico baseado no método da análise modal, o qual foi validado experimentalmente em estudos anteriores [8]. Na parte final deste capítulo, este modelo será utilizado para placas homogéneas com diferentes condições de apoio e permitirá validar a aplicação do modelo analítico neste tipo de placas.
2.2.
M
ÉTODOS DE PREVISÃO UTILIZADOSOs métodos normalizados para a previsão da transmissão sonora em edifícios são indicados na norma EN ISO 12354 [N1, N2]. Estes métodos baseiam-se nas teorias clássicas de acústica de salas e assumem campos sonoros difusos, os quais não se estabelecem para salas com volumes inferiores a 50 m3 ou para frequências abaixo dos 200 Hz. Para estas frequências, os métodos de previsão normalizados não podem ser aplicados, sendo necessário recorrer a métodos alternativos de previsão.
Neste trabalho, foram utilizados dois métodos alternativos de previsão: o método analítico, baseado na análise modal; e o método numérico baseado no método dos elementos finitos (MEF). A utilização dos dois métodos permitiu verificar a fiabilidade dos modelos. Por um lado, a validação do método dos elementos finitos será feita, para aplicações simples, pelo método analítico de análise modal. Por outro lado a utilização dos elementos finitos servirá para validação numérica de modelos analíticos de campos sonoros em aplicações mais complexas, como é o caso de um patamar ou escada adjacente a uma parede.
O método de análise modal utiliza a sobreposição modal para o cálculo da resposta dinâmica de uma estrutura, envolvendo portanto um elevado número de somas, o qual depende do número de modos considerados. Embora tratando-se de um método analítico, o elevado número de operações torna necessário recorrer a um programa computacional para a
método é a necessidade de se desenvolver uma solução para cada tipo de condição de fronteira da placa.
Para a aplicação do método dos elementos finitos foi necessário recorrer ao programa computacional SAP2000 [11]. Este programa de cálculo automático é adequado para modelação de campos de vibração de sistemas estruturais complexos.
Ambos os métodos partem da teoria da equação do movimento, ou mais simplesmente da equação da onda de flexão pura, a qual é válida se o comprimento das ondas de flexão no elemento estrutural for grande relativamente às dimensões da secção transversal [8]. Para elementos de construção correntes, estas dimensões são limitadas pela simples regra,
6
B h
λ = , onde λB (m) corresponde ao máximo comprimento de onda analisado e h (m) é a espessura da placa. O comprimento de onda de flexão em placas é dado por
4 ' 2 '' B B m f π λ = , (2.1)
onde B’ corresponde à rigidez de flexão do elemento estrutural (Nm), normalmente uma placa, e m’’ é a massa por unidade de área, obtida pela massa volúmica do material homogéneo constituinte da placa, m''=ρh (kg/m2) [3].
Em baixas frequências (grandes comprimentos de onda), em geral esta limitação não é critica.
2.3.
E
QUAÇÃO DE ONDAS DE FLEXÃO EM PLACASA equação de movimento é a responsável pela caracterização do comportamento vibratório de uma placa. Tal equação é apenas influenciada por ondas de flexão, dado que, na análise da transmissão sonora, estas são as mais importantes. Em seguida, é determinada a equação diferencial de movimento de uma placa fina no plano y-z, com deslocamentos, µ (m), perpendiculares a este e paralelos ao eixo x. Os deslocamento laterais ξ (m) e ζ (m) ocorrem paralelamente ao eixo y e z, respectivamente.
As vibrações, geradas numa dada estrutura por um impacto, dão origem a campos de deformação pequenos, pelo que é possível considerar a hipótese dos pequenos deslocamentos. Em estado plano de tensão, as extensões segundo x são nulas e os deslocamentos laterais ξ e ζ são desprezáveis. Torna-se assim possível analisar o campo de deformações, εy = ∂ ∂ e µ y εz = ∂ ∂ , e de tensões σµ z y e σz (Nm
2
) segundo o plano médio da placa, na sua configuração indeformada.
Por outro lado, a lei de Hooke é válida, isto é, o campo de deformações, εy e εz, relaciona-se
com o campo de tensões, σy e σz, através do módulo de elasticidade, E, do material
constituinte. Em estado plano de tensão, a aplicação da lei de Hooke, tendo em conta o efeito de Poisson, conduz a: Eεy =σy −νσz e Eεz =σz−νσy, onde ν é o coeficiente de Poisson do
2 2 ,
z x z x z
ε = − χ = − ∂ µ ∂ em que χy e
χ
z são as curvaturas segundo a direcção y e z,respectivamente, conduzem às seguintes expressões:
(
)
2 2 2 2 2 2 , 1 1 y y z E Ex y z µ µ σ ε νε ν ν ν ∂ ∂ = + = − + − − ∂ ∂ (2.2.a)(
)
2 2 2 2 2 2 . 1 1 z z y E Ex z y µ µ σ ε νε ν ν ν ∂ ∂ = + = − + − − ∂ ∂ (2.2.b)Figura 2.1– Esforços e tensões num elemento de placa [8].
Conforme indicado na Figura 2.1, os momentos flectores segundo y e z são dados por:
/ 2 2 2 / 2 2 2 ' ' 2 2 2 2 / 2 / 2 d ' ; d ' ; h h yz y zy z h h M x x B M x x B y z z y µ µ µ µ σ ν σ ν − − ∂ ∂ ∂ ∂ = − = + = − = + ∂ ∂ ∂ ∂
∫
∫
(2.3)onde o sinal negativo corresponde a compressões acima da linha neutra.
/ 2 3 2 2 2 2 / 2 ' ' 12 1 1 1 h h E E h EI B x dx ν − ν ν = = =
−
∫
− − é a rigidez de flexão do elemento de placa. Os momentos torsores podem ser determinados por/ 2 2 / 2 2 2 / 2 / 2 ' ' d 2 d '(1 ) h h yy zz yz h h M M x x G x x B y z y z µ µ τ ν − − ∂ ∂ = − = = − = − − ∂ ∂ ∂ ∂
∫
∫
, (2.4)onde G é o módulo de distorção, o qual é dado por
ν ν ν − = = + − 2 (1 ) 2(1 ) 2(1 ) E E G . (2.5)
Para baixas frequências, os comprimentos de onda de flexão são grandes quando comparados com a secção transversal dos elementos correntes estruturais dos edifícios [3,8]. Portanto a energia cinética utilizada no movimento de rotação é desprezável face à energia cinética utilizada no movimento de translação transversal. Os esforços transversos podem assim ser determinados a partir do equilíbrio dos momentos do elemento de placa da Figura 2.1. Estes esforços são dados por
2 2 2 2 2 ' ' ' ' , yz zz y M M Q B B y z y y z y µ µ µ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + = + = ∇ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (2.6.a) 2 2 2 2 2 ' ' ' ' , zy yy z M M Q B B z y z y z z µ µ µ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − − = + = ∇ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (2.6.b)
onde ∇ é o operador Laplaciano. 2
A relação entre os esforços transversos e o movimento transversal é estabelecida pela segunda lei de Newton, expressa por
2 2 '' . y z Q Q m y z t µ ∂ ∂ ∂ − − = ∂ ∂ ∂ (2.7)
Introduzindo as equações (2.6) na equação (2.7), obtém-se 2 4 2 ' '' , B m t µ µ ∂ − ∇ = ∂ (2.8)
que corresponde à equação geral das ondas de flexão em placas [3,8]. Esta equação será posteriormente utilizada para o desenvolvimento de uma expressão para o cálculo do campo de vibrações induzido numa placa por uma força de impacto pontual.
2.4.
M
ODELAÇÃO ANALÍTICA DA VIBRAÇÃO DE UMA PLACA HOMOGÉNEA SIMPLESMENTE APOIADA2.4.1. Construção do modelo
O elemento estrutural mais simples para a análise dinâmica do efeito de um impacto consiste numa placa homogénea de espessura constante, simplesmente apoiada em todo o seu contorno. Nestas condições, existe uma solução exacta para a acelerância pontual da placa, isto é, para a função de transferência entre uma força de impacto e o campo de acelerações gerado na placa. Esta solução poderá ser posteriormente generalizada para outras condições de apoio.
Para a determinação da aceleração num dado ponto da placa, considera-se que o campo de deslocamentos, µ, se desenvolve através de uma função harmónica no tempo, expressa por
j
( , , ) ( , ) t
y z t y z eω
em que j= −1 e ω (rads) é a velocidade angular da onda sonora.
A equação da onda de flexão na placa, dada por (2.8), pode ser então escrita na forma
4 4 ( , )y z k ( , )y z 0 µ µ ∇ − = , (2.10) onde 4 2 '' '
k =m ω B é o número de onda de flexão, que caracteriza a periodicidade da onda no espaço e no tempo. A sua forma inicial é k=ω c, onde c (ms) é a velocidade com que um ponto se move de modo a permanecer sempre na mesma fase da onda.
A solução desta equação diferencial depende apenas da definição dos parâmetros geométricos da placa, como a espessura, h, as condições de apoio, e as características do material constituinte, nomeadamente a massa volúmica, ρ, o coeficiente de Poisson, ν, e módulo de elasticidade, E.
Pelo método de Rayleigh, é possível determinar a função de forma da deformada modal da placa a partir das funções de forma da deformada modal de vigas fictícias, dispostas segundo as direcções y e z da placa, de largura unitária e com condições de apoio idênticas às da placa. A função forma da placa é dada por
1 1( , ) 1( ) 1( )
m n y z m y n z
µ =µ µ , (2.11)
onde µm1 e µn1 são as funções de forma das vigas.
Numa placa rectangular, de largura b e comprimento c, como se indica na Figura 2.2, os deslocamentos segundo o eixo z terão de ser nulos em todo o seu contorno, assim como os momentos flectores. Para que deformadas modais das vigas sejam compatíveis, os deslocamentos µm1(y) e µn1(z) terão de ser nulos nas coordenadas y=0, y=b, z=0, e z=c. Para
as mesmas coordenadas, também as suas segundas derivadas das funções forma terão de ser nulas.
Figura 2.2 – Dimensões da placa rectangular homogénea [8].
Uma vez que, as funções µm1(y) e µn1(z) têm variáveis independentes, a resolução da equação
(2.8) poderá ser resolvida para cada direcção y e z, também de uma forma independente. Assim, para a direcção y, a equação (2.8) é dada por
4 2 4 2 ' y '' y. B m y t µ µ ∂ ∂ − = ∂ ∂ (2.12)
A deformada modal µm1(y), da viga fictícia tem a seguinte forma
1 1sin( ) 2cos( ) 3sinh( ) 4cosh( ),
m C Ky C Ky C Ky C Ky
µ = + + + (2.13)
em que K é uma constante. A função µm1(y) é determinada de uma forma análoga.
Resolvendo-se a expressão (2.13) para as condições de fronteira atrás indicadas, obtém-se a função de forma dos deslocamentos modais da placa,
π π µ = ⋅ 1 1 1 1( , ) 1 1sin sin , m n m n m y n z y z A b c (2.14)
onde Am1n1 é uma constante de integração.
As frequências fundamentais da placa podem agora ser determinadas pela substituição da equação (2.14) na equação (2.10), de acordo com a expressão
2 2 1 1 1 1 ' . '' m n m n B m b c π π ω = + (2.15)
A determinação das frequências próprias de um elemento estrutural baseia-se no princípio de conservação de energia de um sistema a oscilar em regime livre. O regime forçado é imposto pela introdução de uma parcela p(y,z,t) no lado esquerdo da equação (2.7), que corresponde à actuação de uma força externa num ponto (y,z) da placa, com direcção perpendicular a esta e intensidade em função do tempo. A equação (2.8) é então reescrita como
2 4 2 ( , , ) ' ( , , ) '' y z t ( , , ). B y z t m p y z t t µ µ ∂ ∇ + = ∂ (2.16)
Para se obter uma equação que exprima a aceleração de um dado ponto da placa, devido a essa força, introduz-se a relação 2
( , , ) ( , , ) x a y z t = −ω µ⋅ y z t . A equação (2.16) transforma-se assim em 4 2 2 ' x( , ) '' x( , ) ( , ). B⋅ ∇ a y z −m
ω
⋅a y z = −ω
⋅p y z (2.17)A solução para a equação (2.17) é dada por
[
1 1 1 1]
1, 1 1 ( , ) ( , ) , x m n m n m n a y z Aϕ
y z ∞ = =∑
(2.18)em que
ϕ
m n1 1( , )y z =sin(
m y b1π
)
⋅sin(
n z c1π
)
são as funções de forma que satisfazem as condições de fronteira de uma placa simplesmente apoiada.(
)
2 2 2 1 1 1 1 1 1 1, 1 1 ( , ) ( , ) '' m n m n m n m n A y z p y z mω
ω
ω ϕ
∞ = − = − ∑
. (2.19)A constante de integração Am1n1 é determinada pela multiplicação de ambos os membros da
equação (2.19) por φm2n2 e posterior integração na área da placa. Tendo em conta a condição
de ortogonalidade dos modos de vibração, obtém-se
(
)
1 1 2 0 0 1 1 2 2 1 1 1 1 ( , ) ( , )d d , '' b c m n m n m n m n p y z y z y z A mϕ
ω
ω
ω
= − − Λ∫ ∫
(2.20) onde 2 1 1 1 1 0 0 ( , )d d b c m n ϕ m n y z y zΛ =
∫ ∫
. Para uma placa simplesmente apoiada Λm n1 1=bc 4.Considerando que a acção externa corresponde a uma força pontual aplicada no ponto (y0, z0)
de amplitude F = p(y,z)dydz, a função de p(y,z) é dada por
0 0
( , ) ( ) ( ),
p y z =F
δ
y−yδ
z−z (2.21)onde δ(y−y0) é a função de Dirac, tal que 0 0 0 1, ( ) 0, se y y y y se y y δ − = = ≠ . A funçãoδ(z−z0) é similar.
Introduzindo as equações (2.20) e (2.21) em (2.18) obtém-se
(
)
1 1 2 1 1 1 1 0 0 2 2 , 1 1 1 ( , ) ( , ) 4 ( , ) , '' m n m n x m n m n y z y z F a y z m bcϕ
ϕ
ω
ω
ω
∞ = = − − ∑
(2.22)Que é a acelerância pontual de uma placa homogénea, simplesmente apoiada, sem perdas por amortecimento [3]. O efeito de amortecimento no sistema pode ser considerado pela adição, às forças elásticas, de forças viscosas, proporcionais à derivada no tempo da deformação [3]. A lei de Hooke toma assim a forma
( ) ( )t D ( )t d t , dt
ε
σ
= ε
+υ
(2.23)onde D e υ são, respectivamente, a rigidez e o parâmetro de viscosidade do material constituinte. Para ε( )t =εcos(ωt), e depois de alguma manipulação matemática, a equação (2.23) é dada por
[
]
= + 2 2 ⋅ +
( )t D 1 cos t arctg( ) .
σ
ε
ω υ
ω
ωυ
(2.24)Deste modo, para a variação periódica da deformação, o principal efeito de amortecimento é produção de uma diferença de fase entre a deformação e tensão [3]. Isto pode ser expresso, em notação complexa, pela rigidez complexa D = D1 + j D2, obtendo-se
{
}
[
]
= j = −
1 2
( )t Re eωt D cos( t) Dsen( t) .
σ
Dε
ε
ω
ω
(2.25)Se o factor de perdas da placa for definido como η =D D2 1, em que η ωυ= para o modelo de viscosidade descrito anteriormente, então D=D1(1 j )+ η . Assim, a rigidez de flexão da placa é dada, em notação complexa, por
3 2 ' (1 j ) '(1 j ). 12 1 E h B
η
η
ν
= + = + − B (2.26)A introdução da equação (2.26) na equação (2.10) obriga a que as frequências próprias, ωm1n1
tenham também de ser expressas em notação complexa por ωωωωm n1 1=ωm n1 1 1 j− η . Assim, a equação que descreve a acelerância de um dado ponto da placa é expressa por
(
)
2 1 1 m1n1 0 0 2 2 1, 1 1 1 1 ( , ) ( , ) 4 ( , ) . '' 1 jϕ
ϕ
ω
ω
η
ω
∞ = = − + − ∑
m n x m n m n y z y z F a y z m bc (2.27) 2.4.2. Implementação do modeloCom o apoio de um programa computacional, os resultados provenientes da equação (2.27) são obtidos com relativa facilidade.
O programa de execução é composto por uma fase de leitura de dados, input, uma fase de tratamento dos dados, e uma última fase de apresentação dos resultados obtidos, output. A fase de tratamento de dados organiza-se em duas partes. A primeira parte determina os modos de vibração da placa, sendo estes posteriormente contados, ordenados e armazenados numa matriz com a forma [m, n, ωlmn x Nplaca]. O parâmetro Nplaca corresponde ao número de
modos da placa considerados, o qual depende da frequência máxima que será analisada. Neste estudo são analisadas as frequências compreendidas entre os 18 Hz e os 225 Hz, que correspondem aos limites inferior e superior das bandas de terços de oitava de 20 e 200 Hz, respectivamente. Porém, de acordo com a equação (2.27), o campo de vibração da placa resulta do somatório de contribuições de cada modo de vibração, sendo portanto necessário considerar um intervalo de frequências mais largo. Considera-se suficiente admitir uma frequência quatro vezes superior ao limite anteriormente estabelecido, pelo que a frequência máxima adoptada será de 900 Hz (4 x 225 Hz).
A segunda parte corresponde à resolução da equação (2.27). Esta parte implica a soma de Nplaca parcelas, para cada frequência compreendida entre os 18 Hz e os 225 Hz.
O método descrito para a definição do campo de vibração de uma placa homogénea induzido e uma força de impacto pontual, quando aplicado a baixas frequências, envolve um número relativamente baixo de operações, o que o torna extremamente rápido. O código computacional encontra-se no Anexo I.
2.5.
M
ODELAÇÃO NUMÉRICA DA VIBRAÇÃO DE PLACAS HOMOGÉNEAS SIMPLESMENTE APOIADASO método descrito pela equação (2.27) foi validado numérica e experimentalmente por Neves e Sousa [8]. Assim, o método é adequado para efectuar uma validação prévia de um modelo de vibração de uma placa homogénea simplesmente apoiada a construir utilizando o programa de elementos finitos SAP2000 [11].
Considerou-se uma placa simplesmente apoiada de forma rectangular, com dimensões 5,00×4,00 m2 e uma espessura de 0,20 m. A placa foi modelada com elementos de casca do tipo “Shell – Thin”, sendo este o tipo de secção mais corrente na modelação de elementos estruturais planos. Considerando os limites de aplicabilidade do método numérico, na definição da placa considerou-se uma malha de elementos rectangulares de largura máxima igual a um sexto do maior comprimento de onda analisado. A partir da expressão (2.1) e das propriedades do material constituinte, descritas em seguida, esta largura máxima toma o valor de 0,43 m para a frequência de 200 Hz. A largura máxima adoptada foi de 0,30 m.
Figura 2.3 – Modelo da placa simplesmente apoiada com dimensões e 5,00 × 4,00 m2.
Como material constituinte, optou-se pelo betão armado, com uma massa volúmica de 2400 kg/m3, onde é contabilizado a massa do betão 2300 kg/m3 e a massa do aço 100 kg/m3 [1]. Para o módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson assumiu-se E = 30 GPa e ν= 0,2, respectivamente [1]. O factor de perdas da placa pode ser descrito em função da frequência a partir da expressão
1
0,015,
η = +
f (2.28)
onde a primeira parcela representa uma aproximação das perdas devidas à ligação da placa ao longo do seu perímetro a outros elementos estruturais, e a segunda corresponde às perdas de energia de vibração sob a forma de calor [2]. O coeficiente de amortecimento introduzido no modelo numérico,
ε
, é um parâmetro de amortecimento que se relaciona com o factor de perdas por ε η= / 2.Definidas as propriedades da placa, é aplicada, num dado ponto, a acção dinâmica vertical de intensidade constante e unitária ao longo da frequência.
Este programa de modelação da placa é relativamente rápido, possibilitando a modificação das definições iniciais facilmente. O programa SAP2000 [11] possibilita a extracção das respostas no tempo dos deslocamentos, velocidades e acelerações nodais. Para a análise dos resultados no domínio da frequência é necessário aplicar a Transformada Rápida de Fourier (FFT) externamente ao programa, o que constitui uma das desvantagens do programa. Note-se que, o SAP2000 [11] também consegue, supostamente, efectuar a FFT e apresentar os resultados no domínio da frequência. No entanto, os resultados assim obtidos não foram satisfatórios. Embora se possa tratar de um erro do utilizador a consulta do manual não permitiu detectar a origem desse erro.
Para efeitos de validação deste modelo, foram medidas as acelerações em dois pontos da placa de betão armado, em resposta à força de impacto aplicada em (y0, z0) = (b3, c3) =
(1,67; 1,33) m. A acelerância, ou seja, a função de transferência entre a força de impacto e a aceleração, foi obtida para o mesmo ponto e para o ponto (y, z) = (2b3; c0,95) = (3,33; 2,86) m. A Figura 2.4 mostra as magnitudes das funções de transferência obtidas com os métodos numérico e analítico.
(3,2) (1,3) (3,1) (2,2) (1,2) (2,1) (1,1) 1,E-04 1,E-03 1,E-02 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 f [Hz] a/F [m/Ns2]
a1/F1, MEF a1/F1, eq.(2.27) a2/F1, MEF a2/F1, eq.(2.27) Modos vibração Analíticos
Figura 2.4 – Amplitude das funções acelerância a1F1 e a2/F1, nos pontos
(y, z) = (1,67; 1,33) m e (y, z) = (3,33; 2,86) m, respectivamente, com F1
aplicada em (y0, z0) = (1,67; 1,33) m.
Para ambos os pontos, observa-se que a magnitude da acelerância obtida através do método numérico se aproximam bastante dos valores teóricos. Os modos de vibração da placa surgem também em frequências semelhantes às obtidas teoricamente. Como exemplo, o modo (m1,n1) = (1,1), doravante designado apenas por modo (1,1), surge nas frequências 33,4 Hz e
Para reforçar estas conclusões foram ainda medidas as funções de acelerância para os mesmos pontos, mas com a força de impacto aplicada no ponto (y0,z0) = (3,33; 2,86) m. Os
resultados apresentam-se na Figura 2.5.
(3,2) (1,3) (3,1) (2,2) (1,2) (2,1) (1,1) 1,E-04 1,E-03 1,E-02 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 f [Hz] a/F [m/Ns2]
a1/F2, MEF a1/F2, eq. (2.27) a2/F2, MEF a2/F2, eq. (2.27) Modos vibração Analíticos
Figura 2.5 – Amplitude das funções acelerância a1F2 e a2/F2, nos pontos (y, z) =
(1,67; 1,33) m e (y, z) = (3,33; 2,86) m, respectivamente, com F2 aplicada em
(y0,z0) = (3,33; 2,86) m.
Da mesma forma, as funções acelerância nos dois pontos da placa tomam valores bastante próximos dos valores analíticos. As figuras 2.4 e 2.5 mostram que a previsão da magnitude da acelerância da parede obtida pelo programa SAP2000 [11] está de acordo com a previsão obtida pelo modelo numérico. O programa SAP2000 [11] é um programa comercial de modelação de elementos estruturais e, portanto, esta conclusão era já esperada. Essencialmente, estes resultados permitem concluir que os procedimentos adoptados na modelação numérica estão correctos e que podem, assim, ser seguidos para a modelação de estruturas mais complexas.
2.6.
M
ODELAÇÃO DA VIBRAÇÃO DE UMA PLACA HOMOGÉNEA COM DIFERENTES CONDIÇÕES DE APOIOTendo em conta o objectivo de modelação de uma escada encastrada numa parede, considera-se em seguida uma placa homogénea simplesmente apoiada (A) em todos os seus bordos, excepto num que se admite ser encastrado (E).
Ao contrário do caso de uma placa homogénea simplesmente apoiada (AAAA), para placas com diferentes condições de fronteira, os modelos analíticos desenvolvidos por Neves e Sousa [8] não foram validados numericamente. O programa SAP2000 [11] permite proceder a essa validação e assim de complementar o trabalho desenvolvido por Neves e Sousa [8]. Neste trabalho, essa validação será efectuada para o modelo analítico de uma placa homogénea com
Figura 2.6 – Condição de fronteira da escada tipo AAEA.
Analiticamente não existe uma solução exacta para a acelerância de uma placa com apoios que não estejam simplesmente apoiados. Porém, pode ser obtida uma solução aproximada através do método de Rayleigh, sendo a função de forma da placa, ϕm n1 1( , ),y z obtida pela multiplicação das funções de forma de duas vigas independentes, nas direcções y e z, que satisfaçam as condições de fronteira das vigas [5],
1 1( , ) 1( ) 1( )
m n y z m y n z
ϕ =ϕ ϕ , (2.29)
Para as condições de fronteira do tipo AAEA, ou seja, encastrada em z = 0 e simplesmente apoiada em y = 0 = b e z = c, as funções forma são dadas por
1( ) s en , m m y y b π = ϕ (2.30.a) = − − − 2 1 2 2 2 sen( 2) 1 1 ( ) s en s enh , 2 2 s enh( 2) 2 2 n z z z c c γ ϕ γ γ γ (2.30.b)
onde γ2 são as raízes da equação
2 2
tan(γ 2)−tanh(γ 2)=0. (2.31)
As frequências fundamentais da placa são então dadas pela equação
(
)
(
)
4 4 2 2 2 4 1 2 1 1 1 1 1 1 1 ' 2 1 1 1 1 4 . 1 '' 4 4 m n n m m B n m b b c n c π ω π + = + + − + + (2.32)A forma geral da solução da equação (2.17) para uma força de impacto pontual de amplitude F, com consideração do amortecimento da placa é
(
)
1 1 2 1 1 1 1 0 0 2 2 , 1 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) , '' 1 j m n m n x m n m n m n y z y z F a y z mϕ
ϕ
ω
ω
η
ω
∞ = = − + − Λ ∑
(2.33)2
2 2 2
1 1 2
2 2
2
sin ( 2) sin( ) sin( )
1 1 . 4 sinh ( 2) m n bc
γ
γ
γ
γ
γ
γ
Λ = − + + (2.34)Para efeitos de validação do modelo analítico, foi construído, através do programa SAP2000 [11], um modelo de elementos finitos de uma placa em betão armado com dimensões 5,0×4,0 m2 e uma espessura de 0,2 m. Tal como em 2.5, a placa foi modelada com elementos de casca tipo “Shell – Thin”, com dimensões máximas de 0,3 m. Considerou-se propriedades mecânicas do betão armado idênticas às definidas na secção 2.5.
A Figura 2.7 mostra as magnitudes de acelerância da placa obtidas com AAEA para os métodos numérico e analítico nos pontos (y, z) = (b/3, c/3) = (1.67, 1.33) m e (y, z) = (3,33; 2,86) m, devido à força de impacto aplicada em (y0, z0) = (b/3, c/3) = (1.67, 1.33) m.
(3,2) (2,2) (3,1) (1,2) (2,1) (1,1) 1,E-05 1,E-04 1,E-03 1,E-02 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 f [Hz] a/F[m/Ns2]
a1/F1, MEF a1/F1, eq. (2.33) a2/F1, MEF a2/F1, eq. (2.33) Modos de vibração Analítico
Figura 2.7 – Amplitudes das funções acelerância a1F1 e a2/F1, nos pontos
(y, z) = (1.67,1.33) m e (y, z) = (3.33, 2.86) m, respectivamente, com F1
aplicada em (y0, z0) = (1.67, 1.33) m, para uma placa AAEA.
Tal como no caso de uma placa simplesmente apoiada, os espectros de acelerância obtidos pelo método numérico são semelhantes aos obtidos pelo método analítico. Mais uma vez, os modos de vibração ocorrem em frequências idênticas. Assim, uma vez que a previsão analítica do campo de vibração induzido numa placa homogénea, com condições de apoio AAEA, por uma força pontual de impacto, está em concordância com a previsão numérica, conclui-se que o modelo analítico está validado.
2.7.
C
ONCLUSÕESRecorrendo ao programa computacional SAP2000 [11], foi possível reproduzir, numericamente, o campo de vibração de uma placa homogénea rectangular simplesmente apoiada. Pela comparação dos resultados com os obtidos pelo modelo analítico validado experimentalmente por Neves e Sousa [8], validaram-se os procedimentos de modelação numérica a utilizar em
O programa computacional SAP2000 [11] foi utilizado para validar numericamente o modelo analítico de placas homogéneas com diferentes condições clássicas de apoios. Na presente dissertação é ilustrado o procedimento para placas encastradas num bordo e simplesmente apoiadas nos restantes.
Neste capítulo foi confirmado que o programa SAP2000 [11] é uma ferramenta expedita para a caracterização dinâmica de elementos estruturais correntes em edifícios. O modelo numérico é rapidamente executado e tem como vantagem a possível modificação expedita das condições de fronteira e materiais constituintes. O método analítico implica a dedução da equação de acelerância para cada tipo de condição de apoio, mas depois de definida a solução é mais rápido do que o método numérico.
No capítulo seguinte, os dois métodos serão utilizados para a modelação do sistema estrutural escada/parede, o qual é responsável pelo campo sonoro que se pretende analisar nesta dissertação.
2.8.
R
EFERÊNCIAS[1] Brazão Farinha, J.S.; Correia dos Reis, A. – Tabelas Técnicas, Edições Técnicas, Lisboa, 1996; [2] Craik, R. – Sound transmission through buildings using statistical energy analysis, Gower,
Cambridge, Reino Unido, 1996;
[3] Cremer, L.; Heckl, M.; Ungar, E.E. – Struture-borne sound: structural vibrations and sound radiation at audio frequencies – 2ª Edição, Springer-Verlag, Berlim, Alemanha, 1973;
[4] Computers and Structures Inc. - Analysis Reference Manual for SAP2000 ADVANCED v.10.0.7, Berkeley, California, USA, 2005;
[5] Leissa, A. – Vibration of plates, Acoustical Society of America, Columbus, Ohio; EUA, 1993; [6] Maluski, S. – Low frequency sound insulation in dwellings, Tese de Doutoramento, Sheffield
Hallam University, Sheffield, Reino Unido, 1999;
[7] Meirovitch, L. – Elements of vibration analysis, McGraw-Hill, Nova Iorque, EUA, 1986; [8] Neves e Sousa, A. – Low frequency Impact Sound Transmission in Dwellings, Tese de
Doutoramento, The University of Liverpool, 2005;
[9] Timoshenko, S.; Goodier, J. – Theory of elasticity, McGraw-Hill, Nova Iorque, EUA, 1970; [10] Timoshenko, S.; Woinowski-Krieger, S. – Theory of plates and shells, McGraw-Hill, New Iorque,
EUA, 1959;
[11] Warburton, G. B. – The vibration of rectangular plates, Proceedings of the Institute of Mechanical Eng., Ser. A, Vol. 168 (12), pp. 371 – 384;
[N.1] EN ISO 12354 – 1: Building acoustics – Estimation of acoustic performance of building from the performance of elements – Part 1: Airborne sound insulation between rooms, Comité Europeu de Normalização, Bruxelas, Bélgica, 2000;
[N.2] EN ISO 12354 – 2: Building acoustics – Estimation of acoustic performance of building from the performance of elements – Part 1: Impact sound insulation between rooms, Comité Europeu de Normalização, Bruxelas, Bélgica, 2000;
3. MODELO DO CAMPO DE VIBRAÇÃO DO SISTEMA
ESTRUTURAL ESCADA/PAREDE
3.1.
I
NTRODUÇÃONo Capítulo 2 foram apresentados modelos do campo de vibração de placas sujeitas a uma força de impacto pontual. Pretende-se agora modelar o campo de vibração de um sistema mais complexo em que a força de impacto actua numa placa de betão armado encastrada numa parede de alvenaria.
Na primeira fase, o sistema de placas ortogonais será modelado numericamente através do programa SAP2000 [2]. Posteriormente, este modelo será utilizado para quantificar o erro cometido na modelação analítica do sistema. Serão consideradas duas abordagens. Na primeira abordagem, o sistema será modelado por uma parede simplesmente apoiada [8] sujeita à acção combinada de um conjunto de binários equivalentes ao efeito da placa sobre a parede. Esta abordagem será testada para três posições distintas da placa: placa na horizontal (pavimento) a meia altura da parede; placa na horizontal (pavimento) a dois terços de altura da parede; e placa inclinada ao longo da diagonal da parede (escada).
Na segunda abordagem, o sistema será modelado por uma parede equivalente sob a acção directa de uma força de impacto pontual e arbitrária.
No Capítulo 4, os campos de vibração da parede determinados pelos métodos acima descritos serão utilizados na modelação, também analítica, do campo sonoro do compartimento adjacente.
3.2.
H
IPÓTESES INICIAIS DE MODELAÇÃOO problema em estudo é a modelação da ligação entre uma escada e uma parede, a qual se esquematiza na Figura 3.1.
Por simplificação, nesta modelação foram apenas consideradas escadas de tiro (lanço único), no entanto, nos edifícios de habitação, o mais corrente é existir um patim intermédio (patamar). Assim, foram também considerados sistemas estruturais constituídos apenas por uma placa horizontal, representativa do patamar.
No que se refere à modelação da escada (placa inclinada), existiu ainda o cuidado de verificar se a inclinação era admissível. Admitindo que a parede apresenta dimensões de 3 m de altura e 5 m de comprimento, a escada de lanço único pode ser constituída por degraus com espelho (Le) e cobertor (Lc), respectivamente iguais a 0,167 m e 0,278 m. Estes valores satisfazem os
Figura 3.1 – Pormenor do sistema escada/parede.
A escada é então modelada a partir de uma placa com 31º de inclinação e espessura h, correspondente à espessura da laje estrutural, sendo desprezada a resistência dos degraus (Figura 3.2). Porém, é necessário ter em consideração a sua massa volúmica. Considerando que o volume dos degraus pode ser uniformemente distribuído sobre a placa com uma altura de Le 2, então a massa volúmica a adicionar à massa volúmica do material constituinte da
placa é dada por mdegraus = ⋅ρ Le 2h.
Figura 3.2 – Espessuras da laje estrutural e dos degraus.
Em relação à ligação da escada à parede existem diversas opções, limitadas por duas condições clássicas de apoio: apoio simples e encastramento. Na primeira, a placa da escada é livre de rodar segundo a linha de intersecção, impossibilitando a propagação de ondas de flexão da escada para a parede. Neste caso, a acção de impacto sobre a escada promove apenas impulsos verticais nos apoios simples. Assim, a parede é apenas sujeita a acções segundo o seu plano, sendo estas geralmente desprezáveis para os campos sonoros gerados nos compartimentos adjacentes à parede vibrante. Na opção de encastramento, a ligação entre placas é concretizada construtivamente pelo prolongamento da escada para o interior da parede, tal como ilustrado na Figura 3.3. Uma vez que as acções dinâmicas de origem humana geram campos de vibração de pequena amplitude, assume-se que a ligação entre as placas é suficientemente rígida para impedir qualquer tipo de deslocamentos ou rotações independentes entre elas, ou seja, o modelo de encastramento pode ser utilizado.
Figura 3.3 – Pormenor da ligação escada e parede.
Assumindo que a impedância (relação entre força de impacto e velocidade de vibração) da escada é muito maior do que a impedância da parede, então o sistema pode ser dividido em dois subsistemas: um subsistema (escada) que produz uma acção dinâmica (binários) e um subsistema (parede) sujeito a essa mesma acção. Infelizmente, esta hipótese de grande diferença de impedâncias não é verdadeira. De facto, sabendo que a impedância característica de uma placa é calculada por Z =8 B m' '', a impedância de uma parede de alvenaria é cerca de 8000 kNm/s e a de uma escada em betão armado é de cerca de 18000 kNm/s. Estruturalmente estes valores são da mesma ordem de grandeza, ou seja, a divisão do sistema estrutural em dois subsistemas é uma aproximação grosseira cujo erro interessa, no entanto, avaliar.
3.3.
C
ASO DE ESTUDO:
E
SCADAS EM BETÃO ARMADO E PAREDES DE ALVENARIANas secções seguintes será modelada a vibração de uma parede de alvenaria adjacente a uma escada de betão armado.
3.3.1. Escada em betão armado
Nas situações em que a placa ortogonal à parede se coloca na horizontal, à massa volúmica do betão armado não é adicionada a massa dos degraus, pelo que, a densidade do betão armado é de 2400 kg/m3 [1]. Na situação em que a placa fica inclinada (escada) é necessário considerar a massa adicional dos degraus, cujo valor é, para h = 0,15 m, de mdegraus =
1340 kg/m3, obtendo-se uma massa volúmica total da placa de 3740 kg/m3. A placa em betão armado tem um módulo de elasticidade de 30 GPa e um coeficiente de Poisson de 0,20 [1]. O coeficiente de amortecimento é dado por ε η= / 2, onde o factor de perdas η é dado pela equação (2.28).
Foi considerada uma escada com 1 m de largura. Os elementos de placa são definidos tal como no Capítulo 2. A partir da expressão (2.1) e das propriedades do material constituinte, a largura máxima dos elementos é de 0,33 m para a frequência de 200 Hz. A largura máxima
3.3.2. Parede de alvenaria
Para uma aplicação correcta do modelo do campo de vibração de uma placa homogénea simplesmente apoiada ao caso de uma parede de alvenaria, é fundamental caracterizar adequadamente as propriedades da alvenaria. Em Portugal, o material mais correntemente utilizado em paredes de alvenaria é o tijolo cerâmico furado, o qual não tem características isotrópicas (Figura 3.4).
No caso em estudo, assume-se que a parede tem uma espessura total de 20 cm, conseguidos com uma alvenaria de tijolo furado do tipo 15×30×20 cm e reboco e estuque em ambas as faces. Na modelação da parede utilizou-se o método anteriormente desenvolvido para placas homogéneas simplesmente apoiadas. Para baixas frequências a condição de apoio simplesmente apoiada é, de facto, a mais adequada [6,8]. Relativamente ao material, é necessário efectuar algumas adaptações para representar, com material homogéneo equivalente, o comportamento dinâmico de uma parede de alvenaria constituída por tijolos não homogéneos.
Figura 3.4 – Tijolo furado do tipo 15×30×20 cm.
Na definição do material da parede é necessário ter em atenção que o tijolo furado é constituído por vazios. Assim, a massa volúmica a considerar é a massa volúmica aparente, a qual é determinada por
, ρ ρa = ⋅ a V V (3.1)
onde V (m3) é o volume real de material cerâmico do tijolo, ρ (kgm3) é a massa volúmica do material de barro vermelho, e Va = 0,30×0,20×0,15 = 9×10-3 m3 é o volume aparente do tijolo
furado. Assim, o volume real do material cerâmico é de V = 4×10-3 m3, o qual se obteve por medição directa. O tijolo da Figura 3.4 apresenta espessuras de 1,1 cm e 0,9 cm para os septos exteriores e interiores, respectivamente, e um afastamento entre septos de 3,7 cm. Segundo Cremer [4], a massa volúmica do barro vermelho encontra-se entre 1900 e 2200 kgm3, porém o trabalho de Pina dos Santos [9] sugere o intervalo entre 1800 e 2000 kgm3. Neste trabalho, o valor adoptado é de 2000 kgm3, obtendo-se a massa volúmica aparente do tijolo furado de ρa = 900 kgm
3
Uma vez que o tijolo é um material ortotrópico, é necessário avaliar a rigidez de flexão em cada direcção, como ilustrado na Figura 3.5.
Figura 3.5 – Placa ortotrópica (para o referencial da Figura 3.4).
O módulo de elasticidade de uma placa equivalente, com h = 0,15 m e 1,00 m de largura, é dado, em cada direcção i, pela relação
onde Ieq corresponde ao momento de inércia da placa equivalente, Ii e Ei são, respectivamente,
o momento de inércia e o módulo de elasticidade da placa ortotrópica na direcção considerada. Para o material cerâmico E é dado por 16 GPa [4,9]. O cálculo do módulo de elasticidade final, pela teoria clássica da laje ortotrópica equivalente é complexo [8,4,10], no entanto, pode ser conseguida uma aproximação grosseira considerando que
O momento de inércia e o módulo de elasticidade da placa ortotrópica segundo a direcção y são dados por Ey = 6,7 GPa e Iy = 1,2×10
-4
m4, respectivamente. Na direcção z, os valores encontrados foram Ez = 3,9 GPa e Iy = 6,9×10
-5
m4, respectivamente. Para uma placa equivalente, com um momento de inércia de I = 0,15312 = 2,8×10-4 m4, obtém-se um módulo de elasticidade de Eeq = 5,1 GPa.
Foi ainda considerada a existência de uma camada de reboco e estuque com 2,5 cm de espessura total em cada face da parede. Considerando para as camadas de revestimento um módulo de elasticidade mínimo de 7,7 GPa [1], o módulo de elasticidade equivalente da parede de alvenaria rebocada com 20 cm de espessura total, será de 6,6 GPa. Este valor encontra-se bastante próximo do valor 6 GPa sugerido por Mateus [7] para paredes de alvenaria rebocadas.
Para o coeficiente de Poisson é considerado o valor de 0,2 [7]. O coeficiente de amortecimento, introduzido no modelo numérico, é dado por ε η= / 2. O factor de perdas η é, mais uma vez, determinado pela expressão (2.28), a qual é apresentada por Craik [3] para paredes e
, eq eq i i E I =E I (3.2) . eq y z E = E ⋅E (3.3)
Na definição dos elementos finitos foi tida em conta a expressão (2.1) e as propriedades do material constituinte. A largura máxima dos elementos é de 0,35 m para a frequência de 200 Hz. A largura máxima adoptada foi, foi mais uma vez, de 0,30 m.
3.4.
M
ODELO DO SISTEMA ESTRUTURAL PAREDE/
PLACA INTERMÉDIA3.4.1. Modelação numérica
Como primeiro caso de estudo, desenvolveu-se, com o apoio do programa SAP2000 [2], um modelo simples de um sistema parede de alvenaria e placa horizontal intermédia, em betão armado, posicionada a meia altura da parede, tal como ilustrado na Figura 3.6.
Figura 3.6 – Modelação em elementos finitos de uma placa horizontal de betão armado colocada a meia altura de uma parede de alvenaria.
Consideraram-se as dimensões indicadas nas secções 3.2 e 3.3 para a parede e pavimento. As rotações segundo a direcção perpendicular à parede foram restringidas na ligação entre as duas placas. Como indicado nas secções anteriores, à excepção dos nós de ligação entre as placas, todos os nós de extremidade foram considerados simplesmente apoiados.
3.4.2. Modelação analítica da placa horizontal com binários equivalentes
Na hipótese de encastramento, a aplicação de uma força de impacto num dado ponto da placa horizontal produz esforços de flexão na ligação entre esta e a parede. Estes momentos M(z, t), em Nm, poderão ser transformados em binários equivalentes, constituídos por forças horizontais com intensidade
= ( , ) ( , ) , e M z t F z t h (3.4)
onde he (m) corresponde à espessura da placa horizontal. Assim, para cada ponto da ligação
entre placas, existe um binário cuja intensidade varia em função do tempo. O momentos flectores M(z, t) dependem da rigidez de flexão do sistema de placas ortogonais, das condições de fronteira da placa que representa o pavimento ou escada e da posição da força pontual de impacto, pelo que apenas podem ser analisados correctamente por intermédio de modelação
O modelo analítico é constituído por uma parede homogénea simplesmente apoiada cujas propriedades são idênticas ao modelo numérico. Esta parede é sujeita à acção combinada de um conjunto de binários correspondentes aos momentos flectores obtidos numericamente para a ligação placa intermédia/parede.
Os binários são constituídos por um par de forças aplicadas, perpendicularmente à parede, nas coordenadas (y, z) dos pontos constituintes da linha de intersecção do modelo numérico. Para a formação de cada binário foram introduzidas duas forças de espectro unitário, com sentidos contrários (Figura 3.7).
Figura 3.7 – Aplicação de binários na linha imaginária de intersecção de placas.
Como output, o programa de modelação analítica fornece NF funções acelerância de um dado
ponto da placa, onde NF é o número total de forças aplicadas na placa, igual a duas vezes o
número de binários de espectro unitário. Uma vez que os binários introduzidos são de espectro unitário, posteriormente, cada função acelerância é multiplicada pelas correspondentes intensidades dos binários equivalentes obtidos, conforme a equação (3.4), a partir dos momentos M(z,t) fornecidos pelo modelo numérico indicado na Figura 3.8, o qual corresponde à placa horizontal encastrada num dos bordos e simplesmente apoiada nos restantes.
Figura 3.8 – Modelação de uma placa horizontal com condições de fronteira AAEA e uma força de impacto aplicada em (y, z) = (be3,ce3).
Pelo princípio da sobreposição de efeitos, válido em regime de vibração elástico, todas as NF
funções complexas de acelerância, obtidas anteriormente, são então somadas, dando lugar ao espectro de acelerância de um dado ponto da placa devido à aplicação da totalidade dos binários equivalentes.
