4. MODELO DO CAMPO SONORO
4.5. M ODELO NUMÉRICO DO SISTEMA PLACA / CAMPO SONORO – V ALIDAÇÃO
Pretende-se avaliar o erro cometido ao modelar, com elementos finitos sólidos com módulo de elasticidade estimado a partir da impedância acústica do ar, o campo de pressões sonoras gerado numa sala por uma parede sujeita a uma força de impacto pontual de espectro unitário. Para tal, foi utilizado o programa SAP2000 [2]. Foi considerado um compartimento de teste de forma rectangular com 4 m de largura (segundo x), 3 m de altura (segundo y) e 5 m de comprimento (segundo z).
Considerando os limites de aplicabilidade do MEF indicados na secção 2.2, todo o interior do compartimento foi modelado com elementos sólidos paralelepípedos com um máximo de 30 cm de lado. Considerou-se uma temperatura ambiente de 15ºC, com uma humidade relativa de 50%, para a qual o ar apresenta uma densidade volúmica de 1,23 kgm3 [10]. Nestas condições o módulo de elasticidade do ar, que é estimado pela expressão ≈ 2
0c0
E ρ , toma o valor de 1,41×105
Pa. Para o coeficiente de Poisson, ν,foi adoptado o valor de 0,001.
Considera-se que a parede em vibração é idêntica à parede de alvenaria de tijolo cerâmico furado estudada na secção 3.3.2. A malha da placa foi definida de modo a coincidir com os nós da malha de elementos sólidos que lhe são complanares.
Figura 4.2 – Modelo numérico do campo sonoro do compartimento.
O amortecimento dos materiais é introduzido no programa pela expressão ε η= 2, onde o factor de amortecimento η é dado pelas expressões (2.28) e (4.34), respectivamente, para a parede de alvenaria e para o ar. Para o coeficiente de absorção,α do compartimento foi
considerado o valor 0,02 [10]. Por defeito, o programa SAP2000 [2], apenas permite a introdução de valores constantes na definição do amortecimento de cada material. O amortecimento em função da frequência é apenas permitido na definição da acção dinâmica, actuando de igual modo sobre todos os materiais constituintes do modelo. No caso dos modelos estruturais descritos nos capítulos anteriores, onde se considerava apenas um material, esta limitação não constituía problema. No caso agora em estudo, com dois materiais presentes, o problema já se coloca. Optou-se por definir, para cada material, um coeficiente de amortecimento médio entre as frequências de 18 Hz e 225 Hz. Os valores adoptados estão indicados na Tabela 4.1.
Tabela 4.1 – Valores adoptados para o coeficiente de amortecimento dos materiais.
Material f [Hz] εεεε εεεεmédio 18 0,133 Alvenaria 225 0,048 0,091 18 0,012 Ar 225 0,001 0,006
A Figura 4.3 mostra a amplitude da função acelerância da parede, obtida, no ponto (y, z) = (bp3, cp3) = (1,67;1,33) m, para um coeficiente de amortecimento constante de 0,091. Verifica-
se que a variação face à aceleração obtida com coeficiente de amortecimento variável em frequência não é muito significativa. Como esperado, com coeficiente de amortecimento constante, obtêm-se maiores amplitudes da acelerância nas frequências mais baixas, onde o valor médio do coeficiente de amortecimento é inferior ao valor indicado pela equação (2.28). Para frequências mais altas, acontece o contrário.
(1,1) (2,1) (1,2) (2,2) (3,1) (1,3) (3,2) 1,E-04 1,E-03 1,E-02 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 f [Hz] a/F [m/Ns2]
a1/F1, MEF Amortecimento variável a1/F1, MEF Amortecimento constante Modos vibração MEF
Figura 4.3 – Amplitudes das funções de acelerância no ponto de uma placa (y, z) = (bp3, cp3) = (1,67;1,33) m, idêntica à descrita no Capítulo 2, para uma força
A parede em alvenaria tem apenas como condições de fronteira apoios simples em todo o seu contorno. As paredes e pavimentos rígidos foram modelados através da restrição dos deslocamentos dos nós, segundo a direcção perpendicular ao plano da fronteira em causa. Os nós dos elementos sólidos do compartimento são impedidos de rodar segundo as três direcções.
Na análise modal numérica, foi considerado um número de modos de vibração do sistema parede e compartimento suficiente para atingir a frequência de 250 Hz.
O campo de pressões sonoras foi determinado considerando a hipótese de o ar, no interior do compartimento, se comportar como um fluido perfeito, no qual as tensões tangenciais do fluido em movimento podem ser desprezadas [12]. Portanto, a pressão, p, pode ser relacionada com o tensor das tensões faciais, σij, pela expressão
, ij p ij
σ = − δ (4.40)
onde δij é o símbolo de Kronecker, o qual é unitário para i = j e nulo para i ≠ . j
Para cada elemento sólido em movimento, o programa SAP2000 [2] regista o tensor das tensões faciais em função do tempo. As componentes principais, λ, do tensor das tensões são calculadas a partir da equação característica σij−λδij = [12]. As pressões são então 0 calculadas pela equação (4.40). A pressão total no centro de massa do elemento sólido é dada pela raiz da soma dos quadrados das pressões, em cada instante. O espectro das pressões é então obtido por aplicação da Transformada Rápida de Fourier.
Este processo de cálculo é de difícil aplicação e, devido ao tempo que consome, é também pouco prático para utilização corrente.
Por outro lado, para as dimensões do compartimento atrás referidas, o modelo numérico é constituído por mais de 3000 elementos, sendo necessário calcular um total de 500 modos de vibração do sistema parede e compartimento, de modo a atingir a frequência de 250 Hz. Um computador Intel Pentium Centrino (CPU 1.86 GHz; RAM 1.00 GB) necessita de cerca de cinco horas para completar a análise modal e dinâmica do problema.
O erro cometido na avaliação do campo de pressões sonoras com o modelo numérico foi quantificado por comparação com os resultados obtidos com o método analítico de análise modal descrito pela equação (4.38). Em seguida, são apresentadas as funções de transferência, obtidas com os dois modelos, entre a força de impacto pontual actuante na parede, no ponto (bp3,cp3) = (1.00,1.67) m, e a pressão sonora num dado ponto (x,y,z) do
compartimento. As Figuras 4.4 a 4.6 mostram as funções de transferência obtidas em três pontos no compartimento: (x, y, z) = (ac1.1,bc3,cc3) = (3.73,1.00,1.67) m; (x, y, z) =
(ac14,bc3,cc18) = (0.29,1.00,0.28) m e (x, y, z) =(ac14,bc2,cc1.1) = (0.29,1.50,4.72) m. Para
frequências superiores a 100 Hz, os modos acústicos do compartimento surgem com frequências muito próximas entre si, pelo que a sua representação torna a leitura das figuras
2,3 1,4 2,2 2,1 1,3 1,2 1,1 0,03 1,1,2 2,0,1 0,1,2 2,0,0 1,1,1 1,0,2 1,1,0 0,0,2 0,1,1 1,0,1 0,1,0 0,0,1 1,0,0 1,E-06 1,E-05 1,E-04 1,E-03 1,E-02 1,E-01 1,E+00 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 f [Hz] p/F [m-2] p1/F1, MEF p1/F1, eq.(4.38) Modos Parede, eq.(2.15) Modos C.Sonoro, eq.(4.13) Média de p1/F1, MEF Média de p1/F1, eq.(4.38)
Figura 4.4 – Amplitudes das funções de transferências entre a força aplicada na parede em (y0,z0) = (bp3,cp3) =(1.00,1.67) m e a pressão sonora no ponto do
compartimento (x,y,z) = (ac1.1,bc3,cc3) = (3.73,1.00;1,67) m. 2,3 1,4 2,2 2,1 1,3 1,2 1,1 0,03 1,1,2 2,0,1 0,1,2 2,0,0 1,1,1 1,0,2 1,1,0 0,0,2 0,1,1 1,0,1 0,1,0 0,0,1 1,0,0 1,E-05 1,E-04 1,E-03 1,E-02 1,E-01 1,E+00 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 f [Hz] p/F [m-2] p2/F1, MEF p2/F1, eq.(4.38) Modos Parede, eq.(2.15) Modos C.Sonoro,eq.(4.13) Média p2,F1, MEF Média p2,F1, eq.(4.38)
Figura 4.5 – Amplitudes das funções de transferências entre a força aplicada na parede em (y0,z0) = (bp3,cp3) =(1.00,1.67) m e a pressão sonora no ponto do
compartimento (x,y,z) = (ac14,bc3,cc18) = (0.29,1.00,0.28) m.
As Figuras 4.4 a 4.6 mostram que as amplitudes da transmissão sonora de ruído de impacto obtidas com o modelo numérico estão subestimadas em relação às obtidas com o modelo analítico. O comportamento da função de transferência obtido pelo método numérico apresenta algumas semelhanças com a previsão analítica. Porém, a discrepância das amplitudes de pressão sonora obtidas com os dois modelos é grande, particularmente para frequências inferiores a 70 Hz, onde o acoplamento, descrito na equação (4.39), entre o modo (1,1) da parede e o modo (1,0,0) do campo sonoro e entre o modo (1,2) da parede e o modo (1,0,1) do campo sonoro não é convenientemente descrito pelo modelo numérico. As figuras 4.4 a 4.6 também mostram que, para além dos modos acústicos do campo sonoro identificados
da parede e à interacção entre a parede e o compartimento. A dispersão da energia por um número mais elevado de modos de vibração pode ser uma justificação para a menor amplitude da função de transferência obtida numericamente, cuja média é apresentada nas Figuras 4.4 a 4.6 para comparação com a média da amplitude da função de transferência obtida analiticamente. Verifica-se que o desfasamento entre as amplitudes médias das funções de transferência, de cerca de 0,008 m-2 (14 dB), é muito elevado.
2,3 1,4 2,2 2,1 1,3 1,2 1,1 0,03 1,1,2 2,0,1 0,1,2 2,0,0 1,1,1 1,0,2 1,1,0 0,0,2 0,1,1 1,0,1 0,1,0 0,0,1 1,0,0 1,E-06 1,E-05 1,E-04 1,E-03 1,E-02 1,E-01 1,E+00 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 f [Hz] p/F [m-2] p3/F1, MEF p3/F1, eq.(4.38) Modos Parede, eq.(2.15) Modos C.Sonoro, eq.(4.13) Média de p3/F1, MEF Média de p3/F1, eq.(4.38)
Figura 4.6 – Amplitudes das funções de transferências entre a força aplicada na parede em (y0,z0) = (bp3,cp3) =(1.00,1.67) m e a pressão sonora no ponto do
compartimento (x,y,z) = (ac14,bc2,cc1.1) = (0.29,1.50,4.72) m.
Conclui-se que, como esperado, os resultados obtidos pelo modelo numérico não são satisfatórios e, portanto, o campo sonoro não pode ser modelado, pelo programa SAP2000 [2], com elementos finitos sólidos com propriedades mecânicas estimadas a partir da impedância acústica do ar.