Modelação analítica da escada por binários equivalentes e validação numérica

posteriormente analisado um caso mais próximo da situação real, com uma parede em alvenaria e uma escada de tiro em betão armado, como ilustrado na Figura 3.20.

Para a modelação analítica deste sistema estrutural, foram considerados binários equivalentes às reacções M(z, t), M(y, t) e F(x, t), obtidas numericamente no apoio encastrado de uma placa com condições de fronteira do tipo AAEA (Figura 3.21). Os binários são calculados pela expressão (3.4), onde o parâmetro he toma os valores ilustrados na Figura 3.21.

Figura 3.20 – Modelação em elementos finitos de uma escada de betão armado adjacente a uma parede de alvenaria.

Neste caso, os momentos flectores segundo y e as forças segundo x apresentam valores um pouco mais significativos do que anteriormente, pelo que a sua contribuição para o campo de vibração da parede deve ser contabilizada. Uma vez que a introdução da força horizontal segundo x e dos binários nas duas direcções y e z é morosa, interessa comparar a acelerância num dado ponto da parede obtida com a contribuição de todas estas acções com a acelerância obtida considerando apenas o efeito dos momentos M(z,t). Esta comparação pode ser efectuada a partir da Figura 3.22, onde se apresentam as amplitudes das funções de acelerância da parede para as coordenadas (y, z) = (bp
3, 2cp
3) = (1.00, 3.33) m para uma

força de impacto actuando nas coordenadas (be
3, ce
3) = (0,33; 1,94) da escada. Conclui-se

que o erro cometido ao considerar apenas a contribuição M(z,t) é significativo, sendo portanto necessário contabilizar a contribuição das restantes componentes de força e momento.

Figura 3.21 – Valores do parâmetro h, no cálculo do binário, para placa inclinada.

Na Figura 3.22 é também apresentada a função acelerância obtida numericamente. Para comparar as previsões de acelerância obtidas numérica e analiticamente, apresentam-se, nas Figuras 3.23 e 3.24, os resultados obtidos para o mesmo ponto de impacto nas coordenadas da parede (y, z) = (bp
1.4, cp
3.5) = (2.14, 1.43) m e (y, z) = (bp
3, cp
2) = (1.00, 2.50) m,

(2,3) (1,4) (2,2) (2,1) (1,3) (1,2) (1,1) 1,E-06 1,E-05 1,E-04 1,E-03 1,E-02 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 f [Hz] a/F [m/Ns2]

MEF Parede/ Escada Par. Binários eq.(2.27), M(z,t) Par. Binários eq.(2.27) Modos vibração MEF Modos vibração Analítico

Figura 3.22 – Amplitudes das funções de acelerância no ponto da parede (y, z) = (bp
3, 2cp
3) = (1,00; 3,33) m para uma força de impacto aplicada na

coordenada (be
3, ce
3) = (0.33, 1.94) m. (2,3) (1,4) (2,2) (2,1) (1,3) (1,2) (1,1) 1,E-06 1,E-05 1,E-04 1,E-03 1,E-02 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 f [Hz] a/F [m/Ns2]

MEF Parede/Escada Modos vibração MEF Par. Binários eq.(2.27) Modos vibração Analítico

Figura 3.23 – Amplitudes das funções de acelerância no ponto da parede (y, z) = (bp
1.4, cp
3.5) = (2.14, 1.43) m para uma força de impacto aplicada na

coordenada (be
3, ce
3) = (0.33, 1.94) m.

A identificação dos modos de vibração da parede obtidos com o modelo de elementos finitos é dificultada pela presença da escada, pelo que nas Figuras 3.22 a 3.24 as frequências em que esses modos ocorrem não são apresentados.

As Figuras 3.22 a 3.24 mostram que, também para o caso da escada, o modelo analítico diminui a rigidez da estrutura escada/parede, fornecendo, no entanto, uma boa aproximação para a amplitude máxima da função de acelerância de um dado ponto da parede.

(2,3) (1,4) (2,2) (2,1) (1,3) (1,2) (1,1) 1,E-06 1,E-05 1,E-04 1,E-03 1,E-02 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 f [Hz] a/F [m/Ns2]

MEF Parede/ Escada Par. Binários eq.(2.27) Modos vibração MEF Modos vibração Analítico

Figura 3.24 – Amplitudes das funções de acelerância no ponto da parede (y, z) = (bp
3, cp
2) = (1.00, 2.50) m para uma força de impacto aplicada na

coordenada (be
3, ce
3) = (0.33, 1.94) m.

Embora os modelos forneçam amplitudes máximas de acelerância semelhantes, a forma das funções difere mais significativamente do que nos casos de placas horizontais encastradas na parede. Enquanto que nestes casos existia apenas um desfasamento das funções de acelerância em frequência, na presença da escada, além desse desfasamento, existem ainda outras diferenças entre os resultados obtidos dos modelos numérico e analítico, nomeadamente ao nível do número de modos excitados.

3.6.2. Modelação analítica do sistema estrutural por parede equivalente e validação numérica

Na secção anterior concluiu-se que o modelo analítico do campo de vibração da parede gerado por binários equivalentes à acção da escada, além de ser de aplicação complicada e morosa, apresenta um erro considerável. Desta forma, interessa testar uma alternativa de modelação analítica com base numa parede equivalente submetida a uma força de impacto pontual de espectro unitário.

A parede é modelada como uma placa simplesmente apoiada com dimensões no plano idênticas às da parede de alvenaria com a escada encastrada. O ponto de actuação da acção de impacto deve estar o mais próximo possível da posição em que a placa é excitada. As propriedades mecânicas do material constituinte da parede, nomeadamente o módulo de elasticidade e a massa volúmica, assim como a espessura, são ajustados iterativamente de modo a obter um campo de vibração semelhante ao obtido numericamente na secção anterior. Este processo de modelação pode ser dividido em três fases. Inicialmente é escolhido o ponto de actuação da acção de impacto, devendo este ser o mais próximo possível da posição em que a placa é excitada. Posteriormente, através de um processo iterativo, a função acelerância para um dado ponto da parede equivalente é ajustada à função acelerância obtida

directamente, para a espessura e massa reais da parede, através da equação (2.15), o que simplifica bastante o processo iterativo. Nas iterações seguintes, as propriedades mecânicas do material são determinadas a partir das seguintes princípios: a variação da massa do material origina a translação na direcção diagonal da função acelerância, e a variação da espessura da parede equivalente origina a translação horizontal da função acelerância. Após a aplicação do processo iterativo ao caso de estudo, obteve-se uma espessura de 0,45 m, um módulo de elasticidade de 30 GPa e uma massa volúmica de 3500 kg
m3.

Nas Figuras 3.25 a 3.27 são apresentadas as amplitudes das funções de transferência entre uma força de impacto pontual e a aceleração da parede obtidas para os pontos (y, z) = (bp
3, 2cp
3) = (1.00, 3.33) m, (y, z) = (bp
1.4, cp
3.5) = (2.14, 1.43) m e (y, z) =

(bp
3, cp
2) = (1.00, 2.50) m, com o modelo numérico, para o caso da força aplicada na escada

nas coordenadas (be
3, ce
3) = (0,33; 1,94) m, e com o modelo analítico da parede equivalente,

para o caso da força aplicada directamente na parede em (y, z) = (bp
3, cp
3) = (1.00, 1.67) m.

(2,3) (1,4) (2,2) (2,1) (1,3) (1,2) (1,1) (1,2) (1,1) 1,E-06 1,E-05 1,E-04 1,E-03 1,E-02 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 f [Hz] a/F [m/Ns2 ]

MEF Parede/ Escada Modos vibração MEF Parede Binários Modos vibração Par. Binários Parede Equivalente Modos vibração Par. Equivalente

Figura 3.25 – Amplitude das funções de acelerância no ponto da parede (y, z) = (bp
3, 2cp
3) = (1.00, 3.33) m. (2,3) (1,4) (2,2) (2,1) (1,3) (1,2) (1,1) (1,2) (1,1) 1,E-06 1,E-05 1,E-04 1,E-03 1,E-02 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 f [Hz] a/F [m/Ns2_]

MEF Parede/Escada Modos vibração MEF Parede Binários Modos vibração Par. Binários Parede Equivalente Modos vibração Par. Equivalente

Figura 3.26 – Amplitude das funções de acelerância no ponto da parede (y, z) = (bp
1.4, cp
3.5) = (2.14, 1.43) m. (2,3) (1,4) (2,2) (2,1) (1,3) (1,2) (1,1) (1,2) (1,1) 1,E-06 1,E-05 1,E-04 1,E-03 1,E-02 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 f [Hz] a/F [m/Ns2 ]

MEF Parede/ Escada Modos vibração MEF Parede Binários Modos vibração Par. Binários Parede Equivalente Modos vibração Par. Equivalente

Figura 3.27 – Amplitude das funções de acelerância no ponto da parede (y, z) = =(bp
3, cp
2) = (1.00, 2.50) m

As Figuras 3.25 a 3.27 mostram que não é possível obter um ajustamento perfeito entre o modelo analítico da parede equivalente e o modelo numérico. No entanto, ao contrário do modelo analítico da parede sujeita à acção de binários equivalentes à acção da escada, o modelo de parede equivalente apresenta uma rigidez estrutural semelhante à do modelo numérico, permitindo ajustar com algum rigor pelo menos as frequências dos primeiros modos de vibração. Apesar de, em geral, existir alguma semelhança entre as amplitudes de aceleração fornecidos por cada modelo, principalmente para frequências inferiores a 180 Hz, os espectros de acelerância apresentam diferenças que, em alguns casos, podem ser significativas. A acelerância no ponto (y, z) = (bp
3, cp
2) = (1,00; 2,50) m, em que o modo (1,2)

da parede equivalente não é excitado, configura um desses casos.

O modelo analítico de parede equivalente apresenta algumas vantagens: o processo iterativo de determinação das propriedades da parede equivalente é simples; o modelo tem aplicação simples e rápida; e o ajustamento das frequências de vibração possibilitará considerar mais correctamente o efeito de acoplamento com o campo sonoro do compartimento.

3.7.

C

Neste capítulo foi calculado numérica e analiticamente o campo de vibração de uma parede com uma escada encastrada sobre a qual actua uma força vertical pontual de espectro unitário. A comparação do modelo numérico (MEF) com os modelos analíticos desenvolvidos (parede sujeita à acção de binários equivalentes à acção da escada e parede equivalente) permitiu quantificar o erro cometido na avaliação do campo de vibração do sistema escada/parede com os modelos analíticos.

Uma vez que o modelo analítico da parede sujeita à acção combinada de um conjunto de binários equivalentes à acção da escada não considera o efeito de travamento que a escada provoca sobre a parede, a rigidez do sistema estrutural escada/parede é subestimada. No entanto, apesar da diferença de rigidez, este modelo analítico fornece uma boa aproximação para a amplitude máxima do campo de vibração gerado numa parede por uma força de impacto aplicada numa escada adjacente.

O modelo analítico de parede equivalente apresenta uma rigidez estrutural semelhante ao modelo MEF, permitindo aproximar com algum rigor as frequências dos primeiros modos de vibração do sistema escada/parede. Desta forma, é possível considerar com maior rigor o efeito de acoplamento entre o campo de vibração da parede e o campo sonoro do compartimento adjacente. Em geral, este modelo também fornece uma boa aproximação da amplitude de acelerância do sistema escada/parede, o que, aliado à sua maior simplicidade e rapidez de implementação, permite concluir que se trata de um modelo adequado na previsão de campos de vibração de uma parede com uma escada encastrada. No entanto, a aplicação deste método pode fornecer, em certos casos, campos de vibração que diferem significativamente dos obtidos numericamente.

3.8.

R

[1] Brazão Farinha, J.S.; Correia dos Reis, A.; - Tabelas Técnicas, Edições Técnicas, Lisboa, 1996; [2] Computers and Structures Inc. - Analysis Reference Manual for SAP2000 ADVANCED v.10.0.7,

Berkeley, California, EUA, 2005;

[3] Craik, R. – Sound transmission through buildings using statistical energy analysis, Gower, Cambridge, Reino Unido, 1996;

[4] Cremer, L.; Heckl, M.; Ungar, E.E. – Struture-borne sound: structural vibrations and sound radiation at audio frequencies – 2ª Edição, Springer-Verlag, Berlim, Alemanha, 1973;

[5] Decreto-Lei n.º 38382 de 7 de Agosto de 1951, Diário da Républica – Regulamento Geral das Edificações Urbanas;

[6] Maluski, S. – Low frequency sound insulation in dwellings, Tese de Doutoramento, Sheffield Hallam University, Sheffield, Reino Unido, 1999;

[7] Mateus, Diogo; - Isolamento Acústico de elementos de compartimentação, Tese de Doutoramento, DEC – Faculdade de Ciências e Tecnologias da Universidade de Coimbra, Coimbra, 2004;

[8] Neves e Sousa, A.; - Low frequency Impact Sound Transmission in Dwellings, Tese de Doutoramento, The University of Liverpool, 2005;

[9] Pina dos Santos, C.; Vasconcelos de Paiva, J. – Caracterização térmica de paredes de alvenaria; ITE12, Laboratório Nacional de Engenharia Civil, Lisboa, 1997;