Modelo Alternativo de Linha de Transmissão Trifásica Baseada na Teoria de Decomposição Modal

Abstract— Neste trabalho será mostrado o desenvolvimento de um modelo de linhas de transmissão, baseado em elementos discretos de circuitos, que fornecem respostas diretamente no domínio do tempo e nas fases. Este modelo é válido para representar linhas idealmente transpostas, as fases de cada um dos pequenos segmentos de linha são separadas em seus modos de propagação e as correntes e tensões são calculadas no domínio modal. No entanto a conversão fase-modo-fase está inserida nas equações de estado que descrevem as correntes e tensões ao longo da linha sendo que não há a necessidade do usuário do modelo conhecer a teoria de representação de linhas no domínio modal.

Keywords— Circuitos π, Transitórios eletromagnéticos,

Linhas de transmissão, Modelos de linha de transmissão. I. INTRODUÇÃO

ABE-SE que uma linha de transmissão de energia elétrica possui uma característica básica que é o fato de seus parâmetros longitudinais e transversais serem distribuídos ao longo do comprimento da mesma. Esta característica, juntamente com o fato de que os parâmetros longitudinais da linha são variáveis em função da frequência, torna a linha de transmissão de energia elétrica um elemento com certas particularidades que devem ser levadas em consideração no momento de sua representação [1].

A natureza distribuída dos parâmetros longitudinais de uma linha de transmissão deve ser levada em conta, principalmente, em estudos e simulações de transitórios eletromagnéticos resultantes de operações de manobras e de descargas atmosféricas que ocorrem na linha ou próximas à mesma. Nestas situações, as correntes e tensões transitórias na linha assumem características tais que uma perfeita compreensão das mesmas somente é possível se tais grandezas forem tratadas como ondas que se propagam ao longo da linha de transmissão. Esta particularidade faz com que diversos pesquisadores, desde 1960, trabalhem no desenvolvimento de modelos de linhas de transmissão voltados para análise de transitórios eletromagnéticos que ocorrem no sistema elétrico devido a distúrbios verificados na linha.

Os parâmetros longitudinais e transversais de uma linha de transmissão de energia são definidos em função das características geométricas da linha, do meio que envolve seus condutores (no caso o ar, em se tratando de linhas

R. C. Silva e S. Kurokawa, Universidade Estadual Paulista (UNESP), Ilha Solteira, São Paulo, Brasil, rcleber@gmail.com e kurokawa@dee.feis.unesp.br.

Agradecimentos ao CNPq e FAPESP pelo financiamento a pesquisa.

aéreas) e das características elétricas e magnéticas dos condutores e do solo sobre o qual a linha foi construída [2]. Todos estes fatores fazem com que os parâmetros longitudinais das linhas aéreas sejam variáveis em relação à frequência. Para análise de transitórios eletromagnéticos resultantes de operações de manobras e de chaveamentos que ocorrem em linhas de transmissão monofásicas, pode-se representar tal linha por meio de uma cascata de circuitos π [3].

O modelo de linha, em que a mesma é representada por meio de uma cascata de circuitos π, pode ser utilizado para representar linhas polifásicas. Neste caso, a linha de n fases acopladas devido às impedâncias mútuas deve ser separada em seus n modos de propagação que se comportam, no domínio modal, como n linhas monofásicas totalmente desacopladas. Em seguida, cada modo de propagação pode ser representado por meio de uma cascata de circuitos π [3]. Uma vez calculadas as correntes e tensões em cada um dos modos de propagação, é possível obter as correntes e tensões nas fases da linha. A conversão fase-modo-fase dá-se por meio do uso de uma matriz de decomposição modal adequada [4].

A representação de linhas polifásicas por meio do modelo descrito anteriormente tem como vantagem o fato de ser um modelo desenvolvido diretamente no domínio do tempo, que pode ser facilmente implementado em programas clássicos utilizados em simulações de transitórios eletromagnéticos em sistemas de energia elétrica [5] (como exemplo de tais programas, é possível citar o Electromagnetic Transients Program – EMTP [6]). Este modelo também pode ser descrito na forma de equações de estado e ser utilizado de modo independente sem a necessidade de se dispor de um programa do tipo EMTP [7]-[10].

Com o intuito de facilitar a transformação fase-modo-fase, neste trabalho foi desenvolvido um modelo de linha de transmissão trifásica, baseado no modelo a cascata de circuitos π, que a partir da omissão da matriz de transformação é possível obterem as correntes e tensões em qualquer ponto da linha diretamente no domínio do tempo e das fases.

II. DESENVOLVIMENTO DO MODELO

A Fig. 1 mostra uma linha de transmissão trifásica idealmente transposta

R. C. Silva and S. Kurokawa

Modelo Alternativo de Linha de Transmissão

Trifásica Baseada na Teoria de Decomposição Modal

1 2 3 4 5 (9.27; 24.4) (7.51; 36) 3 .6 m

Fig. 1. Linha de transmissão trifásica.

A linha de transmissão mostrada na Fig. 1 pode ser representada por uma cascata de segmentos de linha conforme mostrado na Fig. 2.

Fig. 2 Representação de um segmento de linha por elementos discretos de circuitos.

Na Fig. 2, V1j(t) e V1(j-1)(t) são as tensões nos terminais do

j-ésimo segmento da fase 1 da linha enquanto que V2j(t) e

V2(j-1)(t) são as tensões nos terminais do j-ésimo segmento da

fase 2 da linha e V3j(t) e V3(j-1)(t) são as tensões nos terminais

do j-ésimo segmento da fase 3 da linha. As grandezas i1j(t),

i2j(t) e i3j(t) são as correntes nas fases 1, 2 e 3,

respectivamente, do segmento de linha.

Na Fig. 2, R11 é a resistência própria das fases 1, 2 e 3 do

segmento de linha, enquanto que L11 é a indutância própria

das fases 1, 2 e 3. Observe que os termos mútuos da resistência e da indutância são representados por R12 e L12.

Este segmento de linha possui capacitâncias parciais C01 e

C12.

Os parâmetros longitudinais e transversais, do segmento de linha mostrado na Fig. 2, podem ser escritos na forma matricial como sendo:

  11 12 12 12 11 12 12 12 11 R R R [R] R R R R R R     _{ }      (1)   11 12 12 12 11 12 12 12 11 L L L [L] L L L H L L L            (2)   11 12 12 12 11 12 12 12 11 C C C [C] C C C F C C C            (3)

Nas equações (1)-(3) têm-se:

11 11 d R R n   ₍₄₎ 12 12 d R R n   (5) 11 11 d L L n   (6) 12 12 d L L n   (7) 11 11 d C C n   (8) 12 12 d C C n   (9)

Nas equações (4)-(9), d é o comprimento da linha de transmissão e n é o número de segmentos no qual a linha foi dividida, do tipo mostrado na Fig. 2, utilizados para representar a linha.

No domínio da frequência é possível escrever as matrizes de impedâncias longitudinais e de admitâncias transversais, do segmento de linha mostrado na Fig. 2, como sendo:

[Z] [R]  j [L] ₍₁₀₎

[Y] j [C] ₍₁₁₎

No domínio modal as matrizes de impedância e admitâncias do segmento de linha mostrado na Fig. 2 são escritas como sendo:

1 m V I [Z ] [T ] [Z][T ]  (12) 1 m I V [Y ] [T ] [Y][T ]  (13) Substituindo as equações (10) e (11) em (12) e (13), respectivamente, e manipulando estas equações, é possível obter: 1 1 m V I V I [Z ] [T ] [R][T ]   j [T ] [L][T ] (14) 1 m I V [Y ] j [T ] [C][T ] (15)

As equações (14) e (15) podem ser escritas como sendo:

m m m [Z ][R ] j [L ] ₍₁₆₎ m m [Y ] j [C ] ₍₁₇₎ sendo: 1 m V I R  T  R T                 (18) 1 m V I L  T  L T                 (19) 1 m I V C  T  C T                 (20)

As matrizes [Rm], [Lm] e [Cm], mostradas nas equações

(19)-(20), são constituídas pelos parâmetros longitudinais do segmento de linha mostrado na Fig. 2 quando o mesmo é representado no domínio modal.

Uma vez que a linha é considerada idealmente transposta, é possível considerar [TI] como sendo a matriz de Clarke [5]:

Ck 2 1 0 6 3 1 1 1 T 6 2 3 1 1 1 6 2 3                             (21)

Quando se utiliza a matriz de Clarke como sendo a matriz de transformação, sabe-se que a matriz [TI] é igual à

transposta de [TV].

Substituindo as equações (1)-(3) e (21) nas equações (18)-(20) e fazendo as devidas operações matemáticas, obtêm-se:

  MA m MB MC R 0 0 [R ] 0 R 0 0 0 R     _{ }      (22)   MA m MB MC L 0 0 [L ] 0 L 0 H 0 0 L            (23)   MA m MB MC C 0 0 [C ] 0 C 0 F 0 0 C            (24) sendo: MA 11 12 R R R (25) MB 11 12 R R R (26) MC 11 12 R R 2R ₍₂₇₎ MA 11 12 L L L ₍₂₈₎ MB 11 12 L L L (29) MC 11 12 L L 2L ₍₃₀₎ MA 11 12 C C C (31) MB 11 12 C C C ₍₃₂₎ MC 11 12 C C 2C ₍₃₃₎

Verifica-se, nas equações (22)-(24), que nas matrizes [Rm],

[Lm] e [Cm] os elementos que não estão na diagonal principal

são todos nulos. Isto significa que o segmento de linha mostrado na Fig. 2 é representado, no domínio modal, por três modos de propagação desacoplados. Cada um destes modos de propagação pode ser representado por um circuito π conforme mostra a Fig. 3.

Fig. 3 – Representação de um segmento de linha no domínio modal.

Aplicando as Leis de Kirchhoff no circuito do modo de propagação A, B e C mostrados na Fig. 3, têm-se:

MAj MA

MAj MAj MA( j 1)

MA MA MA dI (t) R 1 1 I (t) E (t) E (t) dt  L L L  (34) MBj _MB MBj MBj MB( j 1) MB MB MB dI (t) R 1 1 I (t) E (t) E (t) dt  L L L  (35) MCj MC MCj MCj MC( j 1) MC MC MC dI (t) _{R 1 1} I (t) E (t) E (t) dt  L L L  (36) MAj MA MA dE (t) 2 I (t) dt C (37) MBj MB MB dE (t) ₂ I (t) dt C (38) MCj MC MC dE (t) 2 I (t) dt C (39)

Escrevendo as correntes e tensões dos modos A, B e C do segmento de linha na forma de vetores, obtêm-se:

MAj Mj MBj MCj I (t) [I ] I (t) I (t)              (40) MAj Mj MBj MCj E (t) [E ] E (t) E (t)              (41) MA( j 1) M( j 1) MB( j 1) MC( j 1) E (t) [E ] E (t) E (t)                  (42)

As relações entre as grandezas de fase e de modo são escritas como sendo:

1 Mj I Fj [I ] [T ] [i ]  ₍₄₃₎ 1 Mj V Fj [E ] [T ] [V ]  (44) onde: 1j Fj 2 j 3 j i (t) [i ] i (t) i (t)              (45) 1j Fj 2 j 3 j V (t) [V ] V (t) V (t)              (46)

Substituindo as equações (45) e (46) bem como (21) nas equações (43) e (44) obtêm-se: MA 1j 2 j 3 j 2 1 1 E (t) V (t) V (t) V (t) 6 6 6    ₍₄₇₎ MB 2 j 3j 1 1 E (t) V (t) V (t) 2 2   ₍₄₈₎ MC 1j 2 j 3j 1 1 1 E (t) V (t) V (t) V (t) 3 3 3    ₍₄₉₎ MA 1j 2 j 3j 2 1 1 I (t) i (t) i (t) i (t) 6 6 6    ₍₅₀₎ MB 2 j 3j 1 1 I (t) i (t) i (t) 2 2   ₍₅₁₎ MC 1j 2 j 3 j 1 1 1 I (t) i (t) i (t) i (t) 3 3 3    ₍₅₂₎

Substituindo as equações (25)-(33) e (47)-(52) nas equações (34)-(39) e fazendo as devidas manipulações matemáticas, obtêm-se: 1j 1 1j 2 1j 3 2 j 4 2 j 3 3j 4 3 j 2 1( j 1) 4 2( j 1) 4 3( j 1) di (t) a i (t) a V (t) a i (t) a V (t) a i (t) a V (t) dt a V _ (t) a V _ (t) a V _ (t)          (53) im j

'

2

C

'

2

C

2 j 3 1j 4 1j 1 2 j 2 2 j 3 3j 4 3j 4 1( j 1) 2 2( j 1) 4 3( j 1) di (t) a i (t) a V (t) a i (t) a V (t) a i (t) a V (t) dt a V _ (t) a V _ (t) a V _ (t)          (54) 3j 3 1j 4 1j 3 2 j 4 2 j 1 3 j 2 3j 4 1( j 1) 4 2( j 1) 2 3( j 1) di (t) a i (t) a V (t) a i (t) a V (t)+a i (t) a V (t) dt a V _ (t) a V _ (t) a V _ (t)         (55) 1j 5 1j 6 2 j 6 3j dV (t) a i (t) a i (t) a i (t) dt    (56) 2 j 6 1j 5 2 j 5 3j dV (t) a i (t) a i (t) a i (t) dt    (57) 3j 6 1j 6 2 j 5 3j dV (t) a i (t) a i (t) a i (t) dt    (58) sendo: 11 12 11 12 1 11 12 11 12 1 2(R R ) R 2R a 3 L L L 2L       _  _     (59) 2 11 12 11 12 1 2 1 a 3 L L L 2L     _  _     (60) 11 12 11 12 3 11 12 11 12 1 R R R 2R a 3 L L L 2L      _  _     (61) 4 11 12 11 12 1 1 1 a 3 L L L 2L    _  _     (62) 5 11 12 11 12 2 2 1 a 3 C C C 2C    _  _     (63) 6 11 12 11 12 2 1 1 a 3 C C C 2C     _  _     (64)

Escrevendo as equações (53)-(58) na forma de equação de estado, obtém-se: [x] [A][x] [B][u(t)]   ₍₆₅₎ onde: 1j 1j 2 j 2 j 3j 3j t di (t) dV (t) di (t) dV (t) di (t) dV (t) x dt dt dt dt dt dt               ₍₆₆₎

Sendo i1j(t), i2j(t) e i3j(t) as correntes no terminal do

segmento de linha, V1j(t), V2j(t), V3j(t) as tensões no

terminal do segmento de linha, todas no domínio do tempo. O vetor

[x]



1 2 3 4 3 4 5 6 6 3 4 1 2 3 4 6 5 6 3 4 3 4 1 2 6 6 5 a a a a a a a 0 a 0 a 0 a a a a a a [A] a 0 a 0 a 0 a a a a a a a 0 a 0 a 0                      (67) 2 4 4 4 2 4 4 4 2 a a a 0 0 0 a a a B 0 0 0 a a a 0 0 0                       _{  }        (68) 1( j 1) 2( j 1) 3( j 1) V (t) V (t) u(t) V (t)                     (69)

A equação (69) descreve as correntes e tensões no segmento de linha mostrado na Fig. 2 diretamente no domínio das fases. A solução da equação (65) pode ser obtida por meio de métodos numéricos de integração [11].

A equação (65) foi obtida para um único segmento da linha conforme mostrada na Fig. 2. No entanto o mesmo raciocínio pode ser utilizado para obter as equações de corrente e tensão quando a linha é representada por n segmentos de circuitos, do tipo mostrado na Fig. 2, conectados em cascata. Deste modo, mostra-se que as correntes e tensões de fase ao longo da linha, quando a mesma é representada por uma cascata com n circuitos do tipo mostrado na Fig. 2, reescrevendo a equação de estado (65), têm-se:

t 11 1n 11 1n 21 2n 21 2n 31 3n 31 3n [x] [i (t) i (t) v (t) v (t) i (t) i (t) v (t) v (t) i (t) i (t) v (t) v (t)]        (70)

O vetor [x], na equação (70), possui 6n elementos e é constituído pelas correntes longitudinais e pelas tensões transversais nas fases da linha representada por uma cascata de n circuitos do tipo mostrado na Fig. 2. Deste modo, as grandezas i1j(t), i2j(t) e i3j(t) correspondem às correntes nas

fases 1, 2 e 3, respectivamente, no j-ésimo segmento representado por um circuito igual ao circuito mostrado na Fig. 2. De modo análogo, as grandezas V1j(t), V2j(t) e V3j(t)

corresponde às tensões nas fases 1, 2 e 3 no j-ésimo segmento.

1 2 3 4 3 4 5 7 6 7 6 7 3 4 1 2 3 4 6 7 5 7 6 7 3 4 3 4 1 2 6 7 6 7 5 7 [A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ]                      (71)

A matriz [A], na equação (71), é uma matriz quadrada de dimensão 6n. Esta matriz é constituída por 36 submatrizes quadrada, de dimensão n, que obedece às seguintes regras de formação:

- Submatrizes [A1] e [A3]: estas submatrizes possuem elementos não nulos somente na diagonal principal e são escritas como sendo:

p p p p p a a [A ] a a                     ₍₇₂₎

A equação (72) é válida para p=1 e p=3, sendo que o elemento ap é calculado a partir das equações (59)-(64). - Submatrizes [A2] e [A4]: estas submatrizes possuem elementos não nulos somente na diagonal principal e na subdiagonal inferior e são escritas como sendo:

p p p p p p p p a a a a [A ] a a a                   _        (73)

A equação (73) é válida para p=2 e p=4, sendo que o elemento ap é calculado a partir das equações (59)-(64). - Submatrizes [A5] e [A6]: estas submatrizes possuem elementos não nulos somente na diagonal principal e na subdiagonal superior e são escritas como sendo:

p p p p p p p p a a a a 1 [A ] 2 a a 2a            _{ }  _          ₍₇₄₎

A equação (74) é válida para p=5 e p=6, sendo que o elemento ap é calculado a partir das equações (59)-(64).

As submatrizes [A7] restantes são matrizes nulas.

A matriz [B] é de ordem 6n x 3 que é escrita como sendo:

11 12 13 (2n 1)1 (2n 1)2 (2n 1)3 (4n 1)1 (4n 1)2 (4n 1)3 b b b 0 0 0 b b b B 0 0 0 b b b 0 0 0                                                     (75) sendo: 11 2 b  a (76) 12 4 b  a ₍₇₇₎ 13 4 b  a ₍₇₈₎ 2n 1 1 4 b _  a ₍₇₉₎ 2n 1 2 2 b _  a ₍₈₀₎ 2n 1 3 4 b _  a ₍₈₁₎ 4n 1 1 4 b _  a ₍₈₂₎ 4n 1 2 4 b _  a ₍₈₃₎ 4n 1 3 6 b _  a ₍₈₄₎

Os elementos a2 e a4 são calculados a partir das equações

(59)-(64).

O vetor [u(t)] é escrito como sendo:

1 2 3 V (t) [u(t)] V (t) V (t)            (85)

Sendo V1(t), V2(t) e V3(t) as fontes conectadas, nas fases 1,

2 e 3, no inicio da linha.

Observa-se que na equação (65) é constituída somente por grandezas e parâmetros que estão no domínio da fase e

permite obter, diretamente no domínio do tempo, as correntes e tensões de fase ao longo do comprimento da mesma.

III. VALIDAÇÃO DO MODELO DESENVOLVIDO

De forma análoga desenvolvida para linha bifásica, para comprovar a validação do modelo proposto, os resultados obtidos com o mesmo foram comparados com os resultados obtidos com o modelo EMTP.

O modelo EMTP, trata-se do modelo de linhas trifásicas existente no software ATPDraw (PROKLER, 2002). Trata-se também de um modelo a parâmetros discretos.

Os dois modelos foram utilizados para representar uma hipotética linha trifásica com as linhas idealmente transpostas, conforme silhueta é mostrada na Fig. 4.

1 2 3 4 5 (9.27; 24.4) (7.51; 36) 3 .6 m

Fig. 4 – Representação da linha de transmissão trifásica.

Considerou-se que cada uma das fases da linha mostrada na Fig. 4 é constituída de um condutor com 1 cm de raio. Os parâmetros desta linha foram calculados na frequência de 60 Hz, levando a conta os efeitos solo e pelicular. Deste modo, foram obtidos os seguintes valores para os parâmetros longitudinais e transversais da linha.

  0,6667 0,4667 0,4667 R ' 0,4667 0,6667 0,4667 /km 0,4667 0,4667 0,6667                 (86)   1,5 0,5167 0,5167 L ' 0,5167 1,5 0,5167 mH/km 0,5167 0,5167 1,5                (87)   0,0075 -0,0018 -0,0018 C ' -0,0018 0,0075 -0,0018 F/km -0,0018 -0,0018 0,0075                 (88)

Considera-se que a linha de transmissão mostrada na Fig. 4, com 100 km de comprimento, teve uma das suas fases energizada por uma fonte de tensão constante de 440 kV enquanto que os terminais receptores da linha foram mantidos em aberto. A configuração descrita anteriormente é mostrada na Fig. 5.

O modelo proposto e o modelo EMTP foram utilizados para simular as tensões de fase nos terminais da linha mostrada na Fig. 5.

Nas simulações realizadas com o modelo proposto a linha foi representada por 100 circuitos do tipo mostrado na Fig. 2 conectados em cascata. No ATPDraw a linha foi representada também por 100 circuitos discretos (cada um representando um pequeno segmento de linha) conectados em cascata. As Figs. 6, 7 e 8 mostram, respectivamente, as tensões no receptor das fases 1, 2 e 3 da linha. A curva a mostra resultados obtidos com o modelo proposto, enquanto que a curva b como o software EMTP.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 200 400 600 800 1000 Tempo [ms] T e n sã o [ k V ] (a) (b)

Fig. 6 – Tensão no terminal da linha na fase 1: modelo proposto (curva a) e modelo EMTP (curva b).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 -400 -200 0 200 400 Tempo [ms] T en sã o [ k V ] (a) (b)

Fig. 7 – Tensão no terminal da linha na fase 2: modelo proposto (curva a) e modelo EMTP (curva b).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 -400 -200 0 200 400 Tempo [ms] Te n sã o [ k V ] (a) (b)

Fig. 8 – Tensão no terminal da linha na fase 3: modelo proposto (curva a) e modelo EMTP (curva b).

As Figs. 6, 7 e 8 mostram que não há diferença entre os resultados obtidos com os dois modelos. Deste modo é possível afirmar que as considerações feitas durante o desenvolvimento do modelo proposto estão corretas. É importante destacar que o modelo proposto possibilita obter os resultados diretamente no domínio das fases.

IV. CONCLUSÃO

Nesse artigo foi mostrado o desenvolvimento de um novo modelo para linhas de transmissão trifásica idealmente transposta. O modelo permite calcular as correntes e tensões de fase ao longo da linha, diretamente no domínio do tempo e sem o uso de matrizes de decomposição modal explicitamente.

As correntes e tensões de fase da linha são escritas na forma de equações de estado, sendo que as matrizes de estado [A] e [B] possuem apenas parâmetros da linha no domínio das fases.

Os resultados obtidos com o modelo proposto mostraram-se idênticos aos resultados obtidos com o modelo EMTP, confirmando assim que o modelo proposto foi desenvolvido corretamente.

A vantagem principal deste modelo é que qualquer usuário pode utilizar este programa sem o conhecimento prévio sobre a teoria de decomposição modal.

REFERÊNCIAS

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Rodrigo Cleber da Silva Graduado em Engenharia Elétrica na Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Universidade Estadual Paulista (2010). Cursando atualmente o Mestrado em Engenharia Elétrica na Universidade Estadual Paulista. Suas principais áreas de interesse são transitórios eletromagnéticos em sistemas elétricos de potência utilizando métodos numéricos e modelos de linhas de transmissão para simulações de transitórios eletromagnéticos em sistemas de potência.

Sérgio Kurokawa(S’01-M’04) Graduado em Engenharia Elétrica (1990).Desde 1994 atua como Professor na Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira da Universidade Estadual Paulista (UNESP). Obteve o título de Doutor em Engenharia Elétrica na Faculdade de Engenharia Elétrica e da Computação da Universidade Estadual Paulista (UNICAMP). Suas principais áreas de interesse são transitórios eletromagnéticos em sistemas elétricos de potência e modelos de linhas de transmissão para simulações de transitórios eletromagnéticos em sistemas de potência.