Dinâmica Populacional e o Modelo Predador - Presa

(1)

Universidade Federal de Santa Catarina

Centro de Ciˆ

encias Fisicas e Matem´

aticas

Departamento de Matem´

atica

Dinˆ

amica Populacional e o

Modelo Predador - Presa

Ivo Paulek Junior

Prof. Daniel Norberto Kozakevich, Dr.

Orientador

Florian´

opolis - SC

2013

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Ivo Paulek Junior

Dinˆ

amica Populacional e o

Modelo Predador - Presa

Trabalho acadêmico de gradua¸cão apresentado à disciplina de Trabalho de Conclusão de Curso, do Curso de Matemática -Habilita¸cão Licenciatura, do Centro de Ciências F´ısicas e Matemáticas da Universidade Federal de Santa Catarina.

Prof. Nereu Estanislau Bu-rin

Florian´

opolis - SC

2013

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Esta Monograﬁa foi julgada adequada como TRABALHO DE

CON-CLUS ÃO DE CURSO no Curso de Matem´atica - Habilita¸cão Licenci-atura, e aprovada em sua forma final pela Banca Examinadora designada pela portaria 17/CCM/13.:

Prof. Nereu Estanislau Burin, Msc. Professor da Disciplina

Banca Examinadora:

Prof. Daniel Norberto Kozakevich, Dr. Orientador

Prof. Sˆonia Elena Palomino Bean, Dra.

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Agradecimentos

A Deus, acima de tudo.

Aos meus pais, Maria Clarice Sarturi e Ivo Paulek (in memorian), pelo apoio incondicional e irrestrito, pelo esfor¸co, e pela forma¸cão de pessoa e caráter dados, que foram sem dúvidas, fundamentais para conseguir a con-clusão de gradua¸cão.

A minha namorada Bruna Tajima Silveira e sua fam´ılia, pelo amor, ami-zade, dedica¸c˜ao, compreens˜ao e apoio nos momentos mais dif´ıceis dessa ca-minhada.

Ao meu orientador, Prof. Doutor Daniel Norberto Kozakevich, pela ami-zade, orienta¸cão e paciência durante a elabora¸cão do trabalho, que me con-duziram a um maior conhecimento matemático.

Aos meus colegas, Carlos, Marcelo, Julianna, Cláudia, Anderson, Nicélio, Marco Antônio, José Aparecido, Fabr´ıcio, Monike, Francilaine, Guilherme, Gio, André e tantos outros que estiverem comigo nessa jornada da gradua¸cão. Ao coordenador do curso, Nereu Estanislau Burin, por todo aux´ılio du-rante a gradua¸cão.

A banca, que prontamente aceitou o convite e dedicaram seu tempo a leitura e contribui¸c˜ao para o aperfei¸coamento do trabalho.

Aos professores e servidores que me ajudaram durante a gradua¸c˜ao, con-tribuindo para minha forma¸c˜ao.

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Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 9

1 Modelos Matem´aticos e Dinˆamica Populacional 11

1.0.1 Introdu¸c˜ao . . . 11

1.0.2 Uso de Modelos - O Evento em Menor Escala . . . 12

1.0.3 M´etodo Cient´ıﬁco . . . 12

1.0.4 Modelagem Matem´atica . . . 13

1.0.5 O Que ´E A Modelagem Matem´atica? . . . 13

1.0.6 Passos da Modelagem Matem´atica . . . 13

1.0.7 Tipos de Modelos . . . 14

1.0.8 Utiliza¸c˜oes da Modelagem Matem´atica . . . 15

1.1 Modelos Matemáticos em Dinâmica Populacional em Popula¸cões Isoladas . . . 16

1.1.1 Introdu¸c˜ao . . . 16

1.1.2 Dinˆamica Populacional . . . 17

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1.1.4 Modelo de Thomas Malthus . . . 22

1.1.5 Modelo de Pierre Verhulst . . . 25

2 Sistemas de Equa¸c˜oes Diferenciais 30 2.1 Sistemas de Equa¸c˜oes Diferenciais . . . 30

2.1.1 Sistemas Lineares de Primeira Ordem . . . 31

2.1.2 Sistemas Autˆonomos . . . 31

2.1.3 Classiﬁca¸c˜ao de pontos de equil´ıbrio em sistemas line-ares no plano de fase . . . 32

2.1.4 Classifica¸cão da estabilidade dos pontos de equil´ıbrio . 40 2.2 Sistemas de Equa¸cões Diferenciais Não - Lineares . . . 40

2.2.1 Rela¸c˜ao entre o Tra¸co e o Determinante da Matriz Ja-cobiana e seus os autovalores . . . 42

3 Modelo Com Intera¸cão entre Espécies 45 3.0.2 Intera¸cão entre espécies . . . 45

3.1 O Modelo Predador - Presa . . . 46

3.1.1 Analisando a Equa¸c˜ao . . . 48

3.1.2 Analisando o Sistema . . . 49

3.1.3 Segundo Modelo . . . 51

3.1.4 Terceiro Modelo . . . 55

3.1.5 Analisando o Sistema . . . 60

(10)

Introdu¸

c˜

ao

Esse trabalho tem como objetivo exibir como a modelagem matemática, em conjunto com as equa¸cões diferenciais, auxiliam na análise de problemas que envolvem a dinâmica de popula¸cões. O mesmo foi inspirado em um artigo de Eric P. Anapolsky, sobre a análise matemática das intera¸cões competitivas entre duas espécies, o modelo predador - presa.

O trabalho est´a dividido em trˆes cap´ıtulos.

No primeiro cap´ıtulo, daremos uma abordagem inicial sobre modelagem. O que é, como é feita, quais suas principais caracter´ısticas... Também fa-laremos um pouco sobre os primeiros modelos constru´ıdos sobre a dinâmica populacional de espécies isoladas, que surgiram gra¸cas aos estudos de Thomas Malthus e Pierre de Verhulst.

No segundo cap´ıtulo, vamos exibir alguns conceitos sobre os sistemas de equa¸cões diferenciais, Como, por exemplo, sistemas lineares de equa¸cões diferenciais, a análise de seus pontos de equil´ıbrio, sistemas não lineares de equa¸cões diferencias e como relacionamos os estudos nos pontos de equil´ıbrio dos sistemas lineares e não lineares. O mesmo servirá como uma base teórica para o estudo do modelo predador - presa.

No terceiro cap´ıtulo, falaremos sobre o modelo predador - presa. Daremos uma visão sobre o que é, como foi desenvolvido e faremos uma análise dos resultado que Eric P. Anapolsky obteve em seu artigo ao analisar o modelo.

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Cap´ıtulo 1

Modelos Matem´

aticos e

Dinˆ

amica Populacional

Neste cap´ıtulo, introduziremos a idéia de modelagem cient´ıfica e ma-temática. Daremos uma no¸cão inicial de o que é, como é feita e como a modelagem ajuda a resolver problemas do cotidiano. Também falaremos so-bre os primeiros modelos de dinâmica populacional estudados: O Modelo de Malthus e Modelo de Verhulst

1.0.1 Introdu¸

c˜

ao

O que faz os seres humanos diferentes dos outros seres vivos? Segundo a comunidade cient´ıfica, o homem, diferentemente de outros animais, tem consciência de que faz parte de um mundo, um universo e busca entendê-lo. Questiona, investiga e estabelece respostas, que são constantemente atuali-zadas. Quem somos? Para onde vamos? De onde viemos? São alguns desses questionamentos. Essas perguntas espec´ıficas estão com respostas pouco pre-cisas, já que dependerá de onde as buscamos. Ciência, filosofia e religião, por exemplo, nos dão respostas bastante d´ıspares entre si. Isso ocorre, principal-mente, por causa dos métodos utilizados em cada uma dessas áreas para obter as suas respostas. Cada área de conhecimento usa seus próprios mecanismos para investigar e validar suas teorias. Não é objetivo desse trabalho respon-der estas perguntas, e tampouco, julgar inválidas as áreas que não usam o método cient´ıfico como principal. Queremos deixar claro que, a busca do

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ho-mem por respostas o levou a desenvolver vários caminhos. Cada um, levando a um destino diferente. E nesse cenário, foi necessário estabelecer algumas maneira e critérios para buscar o destino mais correto. Entrou em cena então, René Descartes, e seu método, considerado um dos precursores do método cient´ıfico. Através da utiliza¸cão de um tratamento lógico para a obten¸cão de respostas, dando uma prioridade racional e investigativa, foi obtido um avan¸co significativo da ciência, a partir daquele momento. O método car-tesiano foi base para o desenvolvimento da modelagem matemática, método abordado nesse trabalho.

1.0.2 Uso de Modelos - O Evento em Menor Escala

Falamos disso para introduzir um dos métodos mais usados para respon-der as perguntas do homem, desde sua aurora intelectual até os dias de hoje. A modelagem. Segundo o dicionário, modelo é ”o que se reproduz ou imita”. Assim, a modelagem parte da imita¸cão do objeto de estudo, de uma ma-neira simplificada. Através do estudo em menor escala, é poss´ıvel extrair informa¸cões do evento em maior escala. Obviamente, isso não pode ser feito sem um rigoroso método de obten¸cão, análise e estudo dos dados. Que não nos deixe dúvidas, que mostre a partida,o caminho e o destino final. Hoje a obten¸cão das respostas, é feita através do método cient´ıfico, proposto por Descartes. E esse será o método utilizado no nosso trabalho.

1.0.3 M´

etodo Cient´ıfico

Método que teve in´ıcio com as idéias de René Descartes, no seu livro ”Discurso do Método”de 1637. Consiste em analisar o evento de maneira, quase que matemática. Primeiro, separamos suas hipóteses iniciais, então, coletamos dados para análise e logo após, comparamos os resultados obtidos com as hipóteses inicialmente formuladas. Assim, dependendo do conteúdo obtido, elas seriam validadadas, descartadas ou reelaboradas. Esse método deu origem a modelagem matemática, que, usa método similar de análise de eventos.

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1.0.4 Modelagem Matem´

atica

Na busca por respostas a matemática desempenhou um papel fundamen-tal. Muito pelo seu caráter isento, axiomático e lógico. Por essas carac-ter´ısticas, as respostas na matemática só são aceitas após uma r´ıgida análise. Ao longo dos anos, principalmente após a divulga¸cão das idéias de Descartes, a ciência e a matemática ficaram cada vez mais ´ıntimas. Um dos métodos desenvolvidos,após essa parceria, foi: pensar em um exemplo do evento em menor escala, analisá-lo, reconhecer seus padrões matemáticos e então us´ a-los para achar as respostas das questões estudadas. Ou seja, a jun¸cão da modelagem já utilizada,com o método cient´ıfico e o tratamento matemático dos dados. E a matemática ganhou um nova área, a modelagem.

1.0.5 O Que ´

E A Modelagem Matem´

atica?

Segundo Bassanezi (2002), a Modelagem Matemática é a arte de transfor-mar problemas da realidade em problemas matemáticos e resôlve-los interpre-tando suas solu¸cões na linguagem do mundo real. Nessa perpectiva, devemos utilizar um método confiável para a elabora¸cão, constru¸cão e valida¸cão do modelo.Como já vimos anteriormente, o método cient´ıfico (ou cartesiano) é o adotado.

1.0.6 Passos da Modelagem Matem´

atica

Os passos da modelagem, seguindo esse método são: a) experimenta¸cão, b) abstra¸cão, c) resolu¸cão, d) valida¸cão e e) modifica¸cão.

Na experimenta¸cão, temos as coletas das informa¸cões necessárias através de métodos laboratoriais. O tratamento estat´ıstico dessas informa¸cões dão confiabilidade nos dados obtidos, é fundamental desde esse momento a pre-sen¸ca de um matemático, já que ele detem os conceitos e conteúdos nes-cessários e dará a dire¸cão a ser seguida nesse trabalho.

Então teremos a fase de abstra¸cão, em que todos os dados obtidos serão modelados matemáticamente, através de fórmulas e equa¸cões. Nesse estágio é feita a separa¸cão das variáveis de estado (que dão a evolu¸cão do sistema) e das

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váriáveis de controle (que interferem diretamente no sistema), também aqui, formulamos como as variáveis dadas empiricamente se relacionam. Nessa etapa, estabelecemos nossas perguntas e hipóteses acerca o caso a ser estu-dado.

Na resolu¸cão, temos a resolu¸cão das equa¸cões e fórmulas dadas pela fase de abstra¸cão. Elas poderão ser simplificadas para termos um modelo ma-temático mais simples. Esse trabalho é feito por um matemático, e por tal, pode ser completamente desvinculado da realidade modelada.

A valida¸cão é a aceita¸cão ou rejei¸cão do modelo proposto, com base na análise dos dados coletados com os dados obtidos através do modelo na fase de resolu¸cão. Nessa fase são consideradas as devidas aproxima¸cões dadas a maior ou menor complexidade do sistema, mas deverá obter-se um m´ınimo de precisão.

Na modifica¸cão, ocorre quando os dados obtidos pelo modelo são muito distante dos dados coletados orinalmente, tal que necessitamos alterar ou até mesmo rever todo o modelo elaborado. Geralmente, isso ocorre quando são feitas muitas simplifica¸cões no modelo original para o matemático, de tal forma que omite variáveis fundamentais para o sucesso do mesmo.

1.0.7 Tipos de Modelos

Ao falar a palavra modelo, não podemos generalizar. Existem vários tipos de modelo, mesmo para um mesmo evento. A sua utilidade e sua complexidade levam a uma classifica¸cão dos modelos gerados na modelagem matemática. Vejamos alguns deles:

Modelo Objeto ´E um modelo mais geral. Ele acaba por ocultar algumas variáveis para simplificar a situa¸cão mas suas variáveis são muito mais estável e homogêneo.

Modelo Teórico ´E o modelo mais fiel ao fenômeno. Nele, não podemos abrir mão de nenhuma variável ou detalhe, mesmo que pequeno, do evento real. Ganhamos em fidelidade na solu¸cão mas, muitas vezes, não há uma solu¸cão anal´ıtica. Teremos que buscar as solu¸cões numéricas,que são muito mais trabalhosas de obter.

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Podemos também classificar o modelo quanto a matemática utilizada nele ou quanto ao fenômeno estudado, vejamos

Modelo Linear e Modelo Não-Linear S˜ao modelos em que suas equa¸cões básicas, tem essa caracter´ıstica.

Modelo Estático e Modelo Dinâmico Modelo est´atico é o modelo que representa um momento em que o sistema não muda, já o modelo dinâmico leva em conta as varia¸cões de tempo, espa¸co e estado do sistema.

Modelo Educacional e Modelo Aplicativo O modelo educacional ´e um modelo baseado em poucas hipóteses e incógnitas e quase sempre te-mos uma solu¸cão anal´ıtica para o mesmo. Por isso, é pouco usado para previsões ou estudos mais aprofundados, mas é de grande valia para estudos educacionais. Um exemplo é o sistema predador-presa de Lotka-Volterra, que veremos mais adiante. Já os modelos aplicativos, são baseados em hipóteses reais e com um grande número de incógnitas que geram numerosas equa¸cões, ao passo que, apesar de mais dif´ıceis de serem tratadas, elas são mais adequadas e precisas do evento.

Modelo Estoc´astico e Modelo Determin´ıstico Modelos determin´ısticos

são modelos que se supõem conhecidas todas as variáveis, de tal forma que podemos prever precisamente o futuro do sistema. Já os modelos estocásticos, prevêm o futuro do sistema em termos de probabilidade de acontecimentos.

1.0.8 Utiliza¸

c˜

oes da Modelagem Matem´

atica

Historicamente, apenas a F´ısica e as Engenharias, utilizavam conceitos matemáticos para resolver e embasar suas questões. As ciências humanas e naturais utilizavam a linguagem natural para externar seus conceitos e resolver seus questionamentos. Com isso, elas frequentemente eram alvos de amb´ıguidades, de interpreta¸cões equivocadas e de distor¸cões nas suas teorias. A partir do momento em que o método cartesiano foi adotado, tivemos uma grande melhora nessa situa¸cão. A matemática passou a ser adotada, mesmo que ”disfar¸cada”e come¸cou a ser vista com outros olhos.

Nas ciências atuais, vemos um quadro bem positivo para a matemática. Cada vez mais, em várias áreas de pesquisa, vemos uma busca por respostas

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nos seus métodos. Se não respostas, modelos que indiquem o caminho dela. Isso levou a um avan¸co expressivo da matemática e na própria ciência, de tal forma que hoje, algumas teorias são aceitas ou rejeitadas com base em seu modelo matemático. A teoria matemática hoje, consiste em um grande trunfo para as outras ciências. Atualmente, a matemática nos permite mo-delar, analisar, entender e prever fenômenos de todo e qualquer tipo. As equa¸cões diferencias, em especial, são usadas em quase todos os fenômenos f´ısicos,qu´ımicos, biológicos, sociais, etc... Os fenômenos demográficos e po-pulacionais são alguns deles, nos quais vamos nos aprofundar agora.

1.1 Modelos Matem´

aticos em Dinˆ

amica

Po-pulacional em Popula¸

c˜

oes Isoladas

1.1.1 Introdu¸

c˜

ao

Entende-se por dinâmica populacional, o estudo da varia¸cão em vários tempos e espa¸cos das densidades e valores absolutos de uma popula¸cão. Queremos com esse estudo, por exemplo, buscar fatores que interferem nes-ses dados, predizer o crescimento ou o decrescimento da popula¸cão, ver como esse crescimento ou decrescimento se comporta quando há intera¸cão de espécies,etc.

O primeiro estudo divulgado nessa área, foi do economista inglês Tho-mas Malthus no ano de 1798 , em seu artigo ”An Essay on the Principle of Population as it Affects the Future Improvement of Society”. Para o mo-delo de Malthus, a popula¸cão mundial cresceria de uma forma exponencial, enquanto os recursos de sobrevivência cresceria de uma forma aritmética. Porém, Malthus não considerou que logo a popula¸cão teria uma limita¸cão de recursos e por isso, tenderia a se manter mais ou menos estável.

Coube ao matemático belga Pierre Verhulst, por volta de 1838, apresentar um modelo que inclu´ısse esse detalhe. Ele argumentou em seu modelo que, o meio em que a popula¸cão vive tem uma capacidade de suportar apenas um certo número máximo de membros da sua popula¸cão, com seus recursos de sobrevivência. De tal forma que ele teria uma popula¸cão que tenderia a ficar fixa nesse número, o próprio meio acabaria de limitar a popula¸cão. Esse modelo é aceito como o mais correto biológicamente, já que não haveria como

(17)

manter um crescimento exponencial, levando em conta o próprio processo de reprodu¸cão e os recursos do meio. No entanto, ele serve para modelar algumas espécies em um curto espa¸co de tempo.

1.1.2 Dinˆ

amica Populacional

Dinâmica populacional é o estudo da varia¸cão em vários tempos e espa¸cos das densidades e valores absolutos de uma popula¸cão. A biologia é uma das principais áreas que tem grande interesse nesse estudo. Por exemplo, nos estudos das popula¸cões em ecossistemas com várias espécies interagindo entre si, no estudo das popula¸cões de espécies com risco de extin¸cão, no estudo do controle de pragas na agricultura,etc. Outro grande interesse, é obter informa¸cões populacionais de nós mesmos, seres humanos.

Essas informa¸cões são de grande valor politico e ambiental. A partir do qual, grandes cidades fazem (ou deveriam fazer) seu planejamento urbano, levando em conta os recursos naturais do meio em que está estabelecida, da popula¸cão atual e da popula¸cão que a cidade terá no futuro. Outra aplica¸cão dos dados é para calcular o fator prividenciário, que calcula quanto um cidadão receberá quando se aposentar. Através de análise desses dados, constatamos que hoje a popula¸cão brasileira está envelhecendo e crescendo em um ritmo mais lento que nas últimas quatro décadas.

Esses são alguns dos interesses que motivaram estudos nessa área. Vamos agora definir conceitos, que serão utilizados no decorrer desse tra-balho:

Popula¸cão Definimos popula¸c˜ao como um agrupamento de indiv´ıduos da mesma espécie.

Taxa de Natalidade A taxa de natalidade ´e o valor absoluto de nascimento em uma popula¸c˜ao, em um determinado intervalo de tempo.

Taxa de Mortalidade A taxa de mortalidade ´e o valor absoluto de mortes em uma popula¸c˜ao, em um determinado intervalo de tempo.

Taxa de Crescimento A taxa de crescimento da popula¸c˜ao ´e o valor dado pela diferen¸ca entre a taxa de natalidade e a taxa de mortalidade.

(18)

1.1.3 Defini¸

c˜

oes Matem´

aticas Preliminares

Antes de iniciar o estudo matemático das duas equa¸cões, faz-se necessário introduzir algumas defini¸cões e conceitos.

Taxas de Varia¸c˜oes

Suponha que temos duas quantidades desconhecidas x e y. Sendo que o valor da quantidade y depende do valor da quantidade x. Ou seja, temos uma fun¸c˜ao f (x) = y. Se x variar de x1 para x2, ent˜ao a varia¸c˜ao de x ser´a

(tamb´em chamada de incremento de x). ∆x = x2− x1

assim, a mudan¸ca corresponde em y ´e

∆y = f (x2)− f(x1)

O quociente entre essas duas mudan¸cas

∆y ∆x =

f (x2)−f(x1)

x2−x1

´e denominada taxa de varia¸cão média de y em rela¸cão a x.

Caso queremos aproximar a taxa de varia¸c˜ao m´edia em intervalos cada vez maiores, fazendo x2 cada vez mais pr´oximo de x1, e fazendo ∆x cada vez

mais próximo de 0. O limite dessas taxa de varia¸cões médias é a chamada de taxa de varia¸cão instantânea de y com rela¸cão a x. Essa taxa ´e dada pelo limite: lim ∆x→0 ∆y ∆x = lim_x 2→x1 f (x2)−f(x1) x2−x1

Defini¸c˜ao 1 Considere o deslocamento de um corpo de um lugar x1 para

outro x2. Suponha que ele estava em x1 no tempo t1 e em x2 no tempo t2.

(19)

∆x ∆t =

x2−x1

t2−t1

Caso queremos seu deslocamento instantˆaneo,

lim t2→t1 ∆x ∆t = lim_t 2→t1 x2−x1 t2−t1

Fisicamente, a taxa de deslocamento médio e instantâneo do corpo é de-nominada velocidade média e velocidade instantânea, respectivamente.

Defini¸c˜ao 2 Considere a fun¸cão x = x(t) que dá o valor de uma popula¸cão no tempo t. Assim, a varia¸cão do tamanho da popula¸cão entre o tempo inicial t1 e final t2 é ∆x = x(t2)− x(t1) e a taxa de varia¸cão da popula¸cão é dada

por:

∆x ∆t =

x2−x1

t2−t1

E a taxa de varia¸cão instantânea é dada por

lim t2→t1 ∆x ∆t = lim_t 2→t1 x2−x1 t2−t1 Derivada

O conceito de derivada está relacionado com a taxa de varia¸cão ins-tantânea de uma fun¸cão. Fun¸cão que está presente em muitos estudos de hoje, como: a taxa de crescimento econômico do pa´ıs, a taxa de mortalidade infantil, a taxa de crescimento populacional e por isso, temos a importância do conhecer sua varia¸cão instantânea em um dado momento.. Essa taxa de varia¸cão é dada pelo cálculo da derivada da fun¸cão no ponto dado.

Defini¸c˜ao 3 Se uma fun¸cão f é definida em um aberto I que contém x0,

(20)

lim

x→x0

f (x)−f(x0)

x−x0

se ele existir e for finito.

A nota¸c˜ao para a derivada da fun¸c˜ao f no ponto x0 ´e dada por:

f′(x0) ou _dxdf(x0)

Geometricamente, a derivada ´e a inclina¸c˜ao da reta tangente a fun¸c˜ao f no ponto x0.

Equa¸c˜oes Diferenciais Ordin´arias

Uma Equa¸cão Diferencial Ordinária, (ou EDO)é uma equa¸cão que en-volve uma fun¸cão e suas derivadas. Quando trabalhando com fun¸cões e suas taxas de varia¸cão, muitas vezes encontramos uma equa¸cão diferencial. Nos dias de hoje, a maioria dos modelos matemáticos envolve algum tipo de equa¸cão diferencial, sendo grande parte deles advindo de problemas do nosso cotidiano.

Defini¸c˜ao 4 Uma Equa¸cão Diferencial Ordinária (EDO) é uma equa¸cão da forma

F (x, y(x), y′(x), y′′(x), ..., yn_{(x)) = 0}

envolvendo uma fun¸cão incógnita y = y(x) e suas derivadas ou suas dife-renciais. x é a variável independente, y é a variável dependente e o s´ımbolo y(n) denota a derivada de ordem n da fun¸cão y = y(x).

Exemplo 1 y′ = 15x2

Temos que as fun¸c˜oes y = 5x3 _{+ C com C uma constante, s˜}_{ao solu¸c˜}_oes

para a equa¸cão acima. Assim, denominamos a solu¸cão da equa¸cão diferencial ordinárias, as fun¸cões que satisfazem a equa¸cão dada.

(21)

Exemplo 2 y′′ = 12x

Que admite a solu¸c˜ao y = 2x3+ C1x + C2

Exemplo 3 y′′ = 0

Que admite as solu¸c˜oes y = 3x, y = 4x, y = 135x, e uma inﬁninidade de solu¸c˜oes.

Vamos agora conhecer um tipo de equa¸c˜ao diferencial que aparecer´a no nosso trabalho:

Defini¸c˜ao 5 Uma Equa¸cão Diferencial Separável, é um equa¸cão da forma:

dy

dx = g(x)h(y)

com h(y)̸= 0.

Para resolver essa equa¸c˜ao, basta reescrever na forma

h(y)dy = g(x)dx

e ent˜ao integrar ambos os lados ∫

h(y)dy =∫ g(x)dx

∫

h(y)dy =∫ g(x)dx

Exemplo 4 Resolva a equa¸c˜ao

dy dx =

x y

(22)

Reescrevendo a equa¸c˜ao:

xdx = ydy

Integrando ambos os lados: ∫ xdx =∫ ydy Assim obtemos x2 2 + C1 = y2 2 + C2

Reunindo as constantes e isolando y obtemos:

x2_{− y}2 _{= C}

E esta rela¸c˜ao satisfaz a equa¸c˜ao dada.

1.1.4 Modelo de Thomas Malthus

A partir de agora, vamos estudar a parte matem´atica dos modelos de crescimento citados anteriormente, come¸cando pelo o modelo de Thomas Malthus. Esse modelo, foi o primeiro a tentar predizer o comportamento do crescimento das popula¸c˜oes. Vamos constru´ı-lo a partir de agora.

Considere uma fun¸c˜ao x = f (t), que nos d´a um valor da popula¸c˜ao x em um tempo t. Lembrando que temos t > 0. Temos tamb´em que a popula¸c˜ao ´

e isolada e que as taxas de mortalidade e natalidade são proporcionais a própria popula¸cão.

Assim temos a taxa de varia¸c˜ao do crescimento dada por:

dx(t)

(23)

Com n > 0 sendo a taxa de natalidade da popula¸cão e m > 0 sendo a taxa de mortalidade da popula¸cão. Uma análise básica aqui nos diz que se

m > n a popula¸c˜ao decresce (temos mais mortes que nascimentos) e se n >

m a popula¸c˜ao cresce (temos mais nascimentos que mortes). Fazendo k = n− m temos a equa¸c˜ao:

dx(t)

dt = kx(t) (1.1)

Que é a equa¸cão proposta por Malthus,uma equa¸cão diferencial ordinária. O que ela nos diz é que a taxa de crescimento populacional é proporcional a popula¸cão. Assim, quanto maior for a popula¸cão, mais ela crescerá.

Vamos agora extrair mais informa¸cões dessa equa¸cão. Para resolvê-la, podemos transformá-la em um Problema de Valor Inicial:

{ _dx(t)

dt = kx(t)

x(0) = x0

Com x0 sendo a popula¸c˜ao no instante t = 0.

Como temos uma equa¸cão diferencial separável, podemos resolvê-la inte-grando ambos os lados da igualdade:

dx dt = kx dx x = kdt ∫ _dx x = ∫ kdt ∫ ₁ xdx = ∫ kdt ln|x| + C1 = kt + C2

(24)

ln|x| = kt + C2− C1

Fazendo C2− C1 = C:

ln|x| = kt + C

Resolvendo a equa¸c˜ao exponencial, se

loge|x| = kt + C

então pela defini¸cão de logaritmo

|x| = ekt+C

E assim x > 0.

x = ekt+C _{= e}kt_.eC

Colocando eC = A, com A constante.

x = Aekt

Note que

x(0) = Aek.0 = Ae0 = A

Assim, com x = x(t) e A = x(0) = x0 chegamos na solu¸c˜ao geral:

(25)

Analisando essa solu¸c˜ao, lembrando que t > 0: i)Se k > 0, ent˜ao lim

t→+∞ x(t) = ∞ e a popula¸c˜ao cresce indeﬁnidamente.

ii)Se k < 0, ent˜ao lim

t→+∞ x(t) = 0 a popula¸c˜ao decresce, tendendo a

ex-tin¸c˜ao.

iii)Se k = 0, ent˜ao lim

t→+∞ x(t) = x0 a popula¸c˜ao permanece constante.

Mas, estudos posteriores a divulga¸cão do trabalho de Malthus, mostra-ram que seu modelo contém algumas inconsistências. Por exemplo, não há nenhum meio conhecido que suporte o crescimento exponencial previsto pela equa¸cão, quando a taxa de crescimento é positiva. Mesmo fornecendo bons resultados a curto prazo, ela acaba ficando irreal a partir de um determinado tempo.

A parte desses fatos, temos um modelo razo´avel para um primeiro estudo de dinˆamica populacional.

1.1.5 Modelo de Pierre Verhulst

Vimos anteriormente que, se k > 0 (taxa de crescimento da popula¸c˜ao),a popula¸cão tenteria a crescer infinitamente. Diante dessa inconsistência, em 1838 o matemático belga Pierre Verhulst propôs uma modifica¸cão no modelo de Malthus. Como não há um ambiente que consiga manter o crescimento ex-ponencial de uma popula¸cão, Verhulst propôs a existência de uma popula¸cão limite L suportada pelo mesmo. Levando essa informa¸c˜ao em conta, o cres-cimento não seria constante. Mas dependeria do valor da popula¸cão em cada instante t observado. Observou tamb´em que a popula¸cão tenderia a aumen-tar, quando o seu valor absoluto estava abaixo dessa capacidade cr´ıtica, e diminuir, quando o valor da popula¸cão estivesse acima da capacidade cr´ıtica. Partindo dessas informa¸cões, introduziu novo fator na equa¸cão de Malthus, que freasse o crescimento populacional conforme a popula¸cão crescia.

Vamos ver agora como foi feita essas modifica¸cões. Partindo da equa¸cão de Malthus:

(26)

dx(t)

dt = kx(t)

No seu modelo, o crescimento k ´e uma fun¸c˜ao afim g do valor da pr´opria popula¸cão, e não constante, como alegou Malthus. Assim, teremos a equa¸cão:

dx(t)

dt = g(x)x(t)

Precisamos de uma fun¸c˜ao g que cumpra as novas hip´oteses dadas por Verhulst. Considerando x(t) o valor da popula¸c˜ao, L a popula¸c˜ao limite que o meio suporta e g(x) o crescimento da popula¸c˜ao:

Se x(t)>L ent˜ao g(x)<0.

Se a popula¸cão é maior que a capacidade limite do meio, então o seu crescimento deverá ser negativo e ela deverá diminuir.

Se x(t)<L ent˜ao g(x)>0.

Se a popula¸cão é menor que a capacidade limite do meio, então o seu crescimento deverá ser positivo e ela deverá aumentar.

Uma fun¸c˜ao crescimento g que atende esse requisito ´e:

g(x) = k−kx(t)_L Pois se: x(t)>L⇒ kx(t)_L >k e g(x)<0. e x(t)<L⇒ kx(t)_L <k e g(x)>0 Assim, teremos dx(t) dt = g(x)x(t) dx(t) dt = (k− kx(t) L )x(t)

(27)

Lembrando que x(t) = x: dx dt = (k− kx L)x dx dt = (kx− kx2 L ) dx dt = kx(1− x L) (1.3)

Vamos achar a solu¸cão geral para essa equa¸cão. Note que ela também é uma Equa¸cão Diferencial Separável, assim podemos integrar ambos os lados

dx dt = kx(1− x L) dx x(1−_Lx) = kdt ∫ _dx x(1−_Lx) = ∫ kdt

Para calcular a integral do lado esquerdo da igualdade, vamos recorrer ao método das fra¸cões parciais. Primeiro vamos desenvolver a expressão

1 x(1−_Lx) = 1 (x−x2_L) = 1 (Lx−x2_L ) = L Lx−x2 = L x(L−x)

e ent˜ao, pelas fra¸c˜oes parciais

L

x(L−x)=1x+ 1 L−x

Assim, integrando os dois lados ∫ (1 x+ 1 L−x)dx = ∫ kdt

(28)

∫ ₁ x dx + ∫ ₁ L−x dx = ∫ kdt ln|x| + c1 + (−ln|L − x| + c2) = kt + c3 ln|x| + c1 −ln|L − x| + c2 = kt + c3 ln|x| −ln|L − x| = kt + c3 - c1 - c2 Colocando C = c3 - c1 - c2 ln|x| −ln|L − x| = kt + C

Usando a propriedades de logaritmos

ln|_L_−xx | = kt + C

e

ln|L−x_x | = −kt − C

Resolvendo a equa¸c˜ao exponencial, se

loge|L−x_x | = −kt − C

então pela defini¸cão de logaritmo

|L−x

x | = e−kt−C = e−Ce−kt

(29)

L−x x = L x + −xx = L x − 1 = Ae−kt Assim: L x = Ae−kt+ 1

E temos a solu¸c˜ao geral:

x = _Ae−ktL₊₁

onde A =±e−C.

Para achar o valor de A, lembramos que x = x0 = x(0) Assim, quando

t = 0, temos:

L−x0

x0 = Ae

0 _{= A}

Ent˜ao temos como solu¸c˜ao geral:

x(t) = L

1 + (L−x0

x0 )e

−kt (1.4)

Como podemos ver, quando t vai para o infinito, a solu¸c˜ao geral converge para L. O que era o esperado. Esse segundo modelo, funciona melhor que o modelo de Malthus e hoje é um dos mais utilizados para modelar popula¸cões isoladas.

(30)

Cap´ıtulo 2

Sistemas de Equa¸

c˜

oes

Diferenciais

Neste cap´ıtulo, vamos introduzir os sistemas de equa¸cões diferenciais, que servirá de embasamento teórico para nosso próximo cap´ıtulo.

2.1 Sistemas de Equa¸

c˜

oes Diferenciais

Consideremos uma equa¸cão diferencial de segunda ordem, homogênea de coeficientes constantes na vari´avel x, dependente de t.

x′′+ px′ + qx = 0

Vamos fazer uma mudan¸ca de vari´aveis com x′ = y e x” = y′ para convertˆe-la em um sistema linear de duas equa¸c˜oes.

{

x′ = y

y′ =−py − qx

Assim, a resolu¸cão de uma equa¸cão diferencial qualquer, converte-se na resolu¸cão de um sistema linear de duas equa¸cões de primeira ordem.

(31)

2.1.1 Sistemas Lineares de Primeira Ordem

Seja um sistema de primeira ordem        x′₁ = a11x1+ a12x2+ ... + a1nxn+ f1(t) x′₂ = a21x1+ a22x2+ ... + a2nxn+ f2(t) ... x′_n= an1x1+ an2x2 + ... + annxn+ fn(t) (2.1)

Dizemos que o sistema ´e homogˆeneo se e somente se as fun¸c˜oes fi, i =

1, ..., n s˜ao identicamente nulas. Caso contrário, o sistema é dito não - ho-mogêneo.

Podemos escrever qualquer sistema linear de n equa¸c˜oes de primeira or-dem sob forma matricial. Basta considerar A(t) = [aij] a matriz dos

coeﬁci-entes, deﬁnir os vetores colunas x = [xi] e f(t) = [fi(t)]. Assim, escrevemos

o sistema na seguinte forma matricial:

dx

dt = A(t)x + f(t) (2.2)

2.1.2 Sistemas Autˆ

onomos

Seja o sistema: { _dx dt = f (x, y) dy dt = g(x, y) (2.3)

em que a vari´avel livre, t, n˜ao aparece explicitamente. Um sistema com essa caracter´ıstica ´e denominado sistema autˆonomo. Deﬁnimos ponto cr´ıtico, ou ponto de equil´ıbrio do sistema autˆonomo, como o ponto(x_∗, y_∗), tal que

(32)

Ou seja, o ponto em que as derivadas do sistema anulam-se.

Sistemas Autˆonomos Lineares

Um sistema com a forma { _dx

dt = ax + by dy

dt = cx + dy

(2.4)

´e chamado de sistema autˆonomo linear. Matricialmente escrevemos: [_dx dt dy dt ] = [ a b c d ] [ x y ]

Em nosso trabalho, estaremos interessados em analizar o comportamento das trajet´orias nas proximidades do ponto de equil´ıbrio.

2.1.3 Classifica¸

c˜

ao de pontos de equil´ıbrio em sistemas

lineares no plano de fase

Consideremos um sistema linear homogêneo, de coeficientes constantes, de duas equa¸cões diferencias na forma matricial:

[_dx 1 dt dx2 dt ] = [ a b c d ] [ x1 x2 ]

Queremos achar os pontos de equilibrio do sistema, ou seja, os pontos onde temos { _dx 1 dt = ax1+ bx2 = 0 dx2 dt = cx1+ dx2 = 0 (2.5)

(33)

´

E f´acil de ver que o ponto (x1, x2) = (0, 0), ´e um ponto de equil´ıbrio.

Nosso interesse é saber como as solu¸cões se comportam nas proximidades desse ponto. Sabemos que a solu¸cão geral de um sistema linear de duas equa¸cões diferenciais de primeira ordem pode ser escrita

x = c1eλ1tv1+ c2eλ2tv2 (2.6)

Onde λ1 e λ2 são os autovalores próprios da matriz dos coeficientes das

equa¸c˜oes e ⃗v1 e ⃗v2 s˜ao os autovetores associados aos autovalores. Vamos agora

analisar o comportamento da solu¸c˜ao no ponto de equilibrio (0, 0) usando essas expressão. Faremos uma análise qualitativa da solu¸cão no plano de fases, que não ´e dado em x1 e x2 em fun¸c˜ao de t, mas de x1 em fun¸c˜ao de x2.

O ponto de equilibrio ser´a o centro dos eixos x1 e x2. O caminho

percor-rido no plano de fases pela solu¸c˜ao, ser´a denominada trajet´oria.

Vamos analisar os casos poss´ıveis em fun¸c˜ao dos valores dos autovalores da matriz dos coeﬁcientes. 1

Autovalores Reais, Distintos e de Mesmo Sinal

1 -λ1 < λ2 < 0

Lembrando que a solu¸c˜ao geral ´e dado por

x = c1eλ1tv⃗1+ c2eλ2tv⃗2

Assim, primeiro vamos analisar o que acontece com a solu¸c˜ao geral quando

t tende para o inﬁnito. Como ambas as exponenciais tem expoente negativo,

temos que as parcelas tender˜ao para zero. Ou seja, as solu¸c˜oes se aproximam do ponto de equil´ıbrio conforme o tempo aumenta.

Note que, como λ1 < λ2, a trajetória deverá ser dada pelo dire¸cão do

autovetor ⃗v2, pois a parcela c1eλ1tv⃗1 tende muito mais r´apido para o ponto

(34)

de equil´ıbrio que c2eλ2tv⃗2, assim, em tempos muito elevados ela poder´a ser

desprezada e levamos em conta apenas a parcela c2eλ2tv2.

Ou seja,

t → ∞ ent˜ao x → c2eλ2tv⃗2

Veja o plano de fases abaixo:

Figura 2.1: N´o Impr´oprio

Nessa situa¸c˜ao, em que todas as trajetórias seguem a mesma dire¸cão assintótica nas proximidades do ponto de equil´ıbrio, ele é denominado nó impróprio.

2 -λ1 < λ2 > 0

Essa situa¸cão ´e o oposto ao caso anterior, agora quando t → ∞, temos que x → ∞. Ou seja, para tempos elevados as trajetórias se afastam do ponto de equil´ıbrio. Elas só estarão próximas do ponto de equil´ıbrio, quando

t → −∞. As trajet´orias s˜ao as mesmas do caso anterior, apenas mudando

o seu sentido ( elas saem do ponto de equil´ıbrio, e não vão em dire¸cão dele, como no caso anterior).

(35)

Autovalores Reais, Distintos e de Sinal Diferente

λ2 < 0 < λ1

x = c1eλ1tv⃗1+ c2eλ2tv⃗2

Vamos analisar as trajet´orias nesse caso,

t→ +∞ ent˜ao x → c1eλ1tv⃗1 → +∞

t→ −∞ ent˜ao x → c2eλ2tv⃗2 → +∞

Assim, quando t→ +∞ , as trajet´orias se afastam do ponto de equil´ıbrio seguindo a dire¸c˜ao de ⃗v1. Quando t → −∞ as trajet´orias se afastam do

ponto de equil´ıbrio seguindo a dire¸c˜ao de ⃗v2.

Veja o plano de fases.

Figura 2.2: Ponto de Sela

Esse ponto de equil´ıbrio ´e denominado ponto de sela. Esse nome ´e dado pois em planos de fase tridimensionais, as trajet´orias lembram a forma da sela de um cavalo.

(36)

Autovalores Reais e Iguais

Caso I - Existem dois Autovetores Linearmente Independentes

Nesse caso, a solu¸c˜ao geral ´e dada por

x = c1eλtv⃗1 + c2eλtv⃗2 = eλt(c1v⃗1+ c2v⃗2)

E (c1v⃗1 + c2v⃗2) é um vetor em que a dire¸cão será determinada pelas

constantes c1 e c2 (condi¸c˜oes iniciais do problema). O sentido da trajet´oria

depender´a do sinal de λ. Se λ < 0:

t→ +∞ ent˜ao x → 0 t → −∞ ent˜ao x → ∞

As trajet´orias se aproximam do ponto de equil´ıbrio conforme t aumenta. Veja o plano de fases:

Figura 2.3: N´o Pr´oprio

Aqui, como cada trajetória segue uma dire¸cão distinta nas proximidades do ponto de equil´ıbrio, nomeamos o mesmo como nó próprio.

(37)

Se Se λ > 0, o plano de fases teria a mesma forma, apenas mudando o fato que as trajet´orias iriam para longe do ponto de equil´ıbrio ( sentido oposto).

Caso II -N˜ao Existem dois Autovetores Linearmente Independentes

Assim, recorreremos a um autovetor genérico para construirmos a solu¸cão geral: x = c1eλt⃗v + c2eλt(⃗u + t⃗v) = eλt(c1⃗v + c2⃗u + c2t⃗v) Caso λ < 0 t→ +∞ então x → eλt_c 2t⃗v e x→ 0 t → −∞ então x → ∞

Assim, para tempos elevados, as trajet´orias se aproximam-se do ponto de equil´ıbrio, seguindo a dire¸c˜ao do vetor v. Veja o plano de fase:

Figura 2.4: N´o Impr´oprio

Assim, o plano de equil´ıbrio ´e chamado de n´o impr´oprio.

(38)

Autovalores Complexos Conjugados

Nesse caso, λ = α± iβ,⃗v = ⃗α ± i⃗β , e a solu¸c˜ao geral ser´a:

x = c1eλαt[cos(βt)⃗α− sen(βt)⃗β] + c2eλαt[cos(βt)⃗α− sen(βt)⃗β] =

eλαt{[c1cos(βt) + c2sen(βt)]⃗α + [−c1sen(βt) + c2cos(βt)]⃗β}

Agora, temos dois casos a considerar:

i) Os auto vetores tem a parte real nula, α = 0

A solu¸cão é então a expressão

x = [c1cos(βt) + c2sen(βt)]⃗α + [−c1sen(βt) + c2cos(βt)]⃗β

Como os vetores ⃗α e ⃗β s˜ao multiplicados por coeficientes que assumem valores peri´odicos no tempo t, a solu¸cão x n˜ao assume qualquer comporta-mento espec´ıfico quando t tende para + ∞ ou - ∞. Há momentos em que a solu¸cão se aproxima do ponto de equil´ıbrio, para logo depois se afastar, com esse comportamento repetindo-se infinitamente. Assim, teremos o plano de fases abaixo:

(39)

E agora designamos o ponto de equil´ıbrio de centro, j´a que as trajet´orias ”orbitam”em seu redor.

ii) Os auto vetores tem a parte real não nula, α̸= 0 Nesse caso, a solu¸cão geral fica

x = eλαt[c1cos(βt) + c2sen(βt)]⃗α + [−c1sen(βt) + c2cos(βt)]⃗β

Se α < 0, temos que:

t→ +∞ ent˜ao x → 0 t → −∞ ent˜ao x → ∞

As trajet´orias ainda ”orbitam”em torno do ponto cr´ıtico, mas agora, elas aproximam-se cada vez mais a medida que o tempo aumenta, formando uma espiral. O plano de fases ﬁcaria assim:

Figura 2.6: Foco Agora, o ponto equil´ıbrio ´e denominado foco. Se α > 0, o sentido da trajet´oria seria oposto.

(40)

2.1.4 Classifica¸

c˜

ao da estabilidade dos pontos de equil´ıbrio

Um ponto de equil´ıbrio ´e estável se, para qualquer condi¸c˜ao inicial na sua vizinhan¸ca, a trajetória da solu¸c˜ao correspondente permanecer próxima

desse ponto. Um ponto de equil´ıbrio ´e assintoticamente estável, se for est´avel e a trajet´oria se aproximar do ponto quando t → +∞ . Já, um ponto de equil´ıbrio que n˜ao seja estável é chamado de instável.

2.2 Sistemas de Equa¸

c˜

oes Diferenciais N˜

ao

-Lineares

A análise do comportamento da solu¸cão no plano de fase, nas proximi-dades pontos de equil´ıbrio de um sistema linear, é relativamente simples. Assim, uma forma de abordarmos um sistema não linear seria através de uma aproxima¸cão em um sistema linear. Esse processo ´e chamado de

line-ariza¸c˜ao.

Considere o sistema n˜ao linear, cujo ponto de equil´ıbrio ´e (0, 0). { _dx

dt = P (x, y) dy

dt = Q(x, y)

(2.7)

A lineariza¸cão em torno do ponto de equil´ıbrio é baseada na expansão em s´erie de Taylor de P (x, y) e de Q(x, y) em torno do ponto (0, 0).

{ dx dt = P (0, 0) + ∂P ∂x(0, 0)x + ∂P ∂y(0, 0)y + RP(x, y)≈ ∂P ∂x(0, 0)x + ∂P ∂y(0, 0)y dy dt = Q(0, 0) + ∂Q ∂x(0, 0)x + ∂Q ∂y(0, 0)y + RQ(x, y)≈ ∂Q ∂x(0, 0)x + ∂Q ∂y(0, 0)y (2.8)

RP(x, y) e RQ(x, y) s˜ao termos desprez´ıveis desde que (x, y) esteja

suﬁci-entemente pr´oxima de (0, 0). Ou, rigorosamente, RP(x, y) e RQ(x, y)

(41)

lim (x,y)→(0,0) RP(x, y) √ x2_{+ y}2 =(x,y)lim→(0,0) RQ(x, y) √ x2_{+ y}2 = 0

Assim sendo, se queremos apenas analisar o que acontece nas proximida-des do ponto de equil´ıbrio, podemos ”substituir”nosso sistema n˜ao linear por seu sistema linear associado, dado por:

{ dx dt = ∂P ∂x(0, 0)x + ∂P ∂y(0, 0)y dy dt = ∂Q ∂x(0, 0)x + ∂Q ∂y(0, 0)y (2.9)

Classifica¸c˜ao de pontos de equil´ıbrio em sistemas n˜ao lineares no plano de fase

Vejamos agora como se associa os autovalores (λ1eλ2) da matriz de

coe-ficientes do sistema linear associado e classifica¸cão do ponto de equil´ıbrio do sistema não linear original:

• Se λ1 e λ2 não são reais e iguais ou não são imaginários puros, as

trajet´orias do sistema linear associado em (0, 0)s˜ao do mesmo tipo e tem a mesma estabilidade que as do sistema n˜ao linear.

• Se λ1 e λ2 s˜ao reais e iguais, ent˜ao (0, 0) ´e um n´os ou um foco do

sistema n˜ao linear. Se λ1 = λ2 < 0, o ponto ´e assintoticamente est´avel.

Se λ1 = λ2 > 0, o ponto ´e inst´avel.

• Se λ1 e λ2 s˜ao imagin´arios puros, ent˜ao (0, 0) ´e um centro ou um foco

do sistema não linear e a sua estabilidade é indeterminada ( pode ser estável, instável ou assintóticamente estável).

As tabelas abaixo resume os casos mencionados:

(42)

λ1, λ2

Sistema Linear

Associado Sistema N˜ao Linear

λ1 > λ2 > 0 Nó próprio instável nó próprio instável

λ1 < λ2 < 0 Nó próprio estável nó próprio estável

λ2 < 0 < λ1 Ponto de sela inst´avel Ponto de sela inst´avel

λ1 = λ2 > 0

Nó próprio ou impróprio instável

Nó próprio ou impróprio ou foco instável

λ1 = λ2 < 0

Nó próprio ou impróprio assintoticamente estável

Nó próprio ou impróprio ou foco assintoticamente

est´avel

Tabela 2 - Autovalores complexos

λ = α± iβ Sistema Linear

Associado Sistema N˜ao Linear

α > 0 Foco inst´avel Foco inst´avel

α < 0 Foco assintoticamente

est´avel

Foco assintoticamente est´avel

α = 0 Centro est´avel

Centro ou foco de estabilidade indeterminada

2.2.1 Rela¸

c˜

ao entre o Tra¸

co e o Determinante da

Ma-triz Jacobiana e seus os autovalores

Seja a matriz E = ( A B C D )

Sabemos que o tra¸co da matriz E ´e dado por:

τ (E) = A + D

(43)

Det(E) = AD− BC

Vamos calcular seus autovalores atrav´es do polinˆomio caracter´ıstico:

Det(E− λI) = 0 E− λI = ( A− λ B C D− λ ) Assim, Det(E− λI) = (A − λ)(D − λ) − BC = 0 λ2− λ(A + D) + AD − BC = 0 E temos os autovalores: λ = A+D₂ ± √ (−A−D)2_{−4(AD−BC)} 2

λ = A+D₂ ±√A2+2AD+D₂2−4AD−4BC

λ = A+D₂ ± √ (A+D)2−4(AD−BC) 2 λ = A+D₂ ± √ τ (E)2_−4Det(E) 2

Assim, teremos um autovalor complexo caso: √

(44)

τ (E)2− 4Det(E) < 0

E o valor de sua parte real ´e dada por:

A+D 2

τ (E) 2

Assim, temos algumas rela¸cões úteis para nosso próximo cap´ıtulo, na análise qualitativa dos autovalores de uma matriz.

(45)

Cap´ıtulo 3

Modelo Com Intera¸

c˜

ao entre

Esp´

ecies

Vamos ver nesse cap´ıtulo, o modelo que ficou conhecido como Predador -Presa, utilizado para predizer a varia¸cão populacional nos locais onde existe a intera¸cão entre duas espécies. Primeiro analisaremos o sistema na sua forma mais básica e depois partiremos para dois modelos mais elaborados, adaptados do modelo original.

Introdu¸c˜ao

No cap´ıtulo 1, vimos alguns dos modelos utilizados para predizer a taxa de varia¸cão de popula¸cões isoladas. Neles, não são levado em conta a intera¸cão entre espécies em um mesmo meio. Vamos apresentar nesse cap´ıtulo, um modelo de predi¸cão de popula¸cões em que duas ou mais espécies dividem o mesmo território.

3.0.2 Intera¸

c˜

ao entre esp´

ecies

Espécies de diferentes animais em um meio podem interagir de várias maneiras. A ecologia classifica as maneiras de intera¸cão de espécies em duas categorias: intera¸cão harmônica e intera¸cão desarmônica. Na intera¸cão

(46)

harmônica, as espécies que interargem entre si não levam nenhuma desvan-tagem por esse fato ocorrer. Algumas das intera¸cão harmônicas são: mu-tualismo e coopera¸cão, rela¸cões em que ambas as espécies levam vantagem na intera¸cão, sendo o primeiro tipo, obrigatória para a sobrevivência de am-bas as espécies,comensalismo, inquilinismo e epifitismo, onde uma espécie é beneficiada e a outra é neutra, não sendo beneficiada nem prejudicada.

Já na intera¸cão desarmônica, pelo menos uma das espécies acaba levando preju´ızos por causa da intera¸cão. Temos como exemplos de intera¸cões de-sarmônicas: A competi¸cão, que pode ocorrer entre indiv´ıduos da mesma espécie ou entre indiv´ıduos de espécies diferentes, quando dependem dos mesmos fatores ambientais para sua sobrevivência como mesma fonte de alimento, mesmo espa¸co,etc... O parasitismo, quando uma espécie (para-sita) acaba vivendo as custas de outra (hospedeiro), ao extrair os nutrientes nescessários para sua subsistência e o Predatismo, onde uma espécie (presa) acaba servindo de alimento para a outra (predador).

Vamos levar em conta para o estudo do modelo, apenas a intera¸c˜ao pre-dat´oria.

3.1 O Modelo Predador - Presa

Os primeiros estudos de modelos com intera¸cões de espécie foram apre-sentados no in´ıcio da década de 20, no século XX. Eles tiveram como base o modelo de Malthus. Esse modelo foi proposto, de uma forma independen-temente, por dois matemáticos. Em 1925 pelo matemático austro-húngaro, naturalizado norte-americano Alfred J. Lotka e em 1926 pelo matemático italiano Vito Volterra. Lotka nasceu em 1880 e faleceu em 1949. Suas pes-quisas contemplaram as áreas de demografia, fisico-quimica e estat´ıstica. Já Vito Volterra, nasceu em 1860 e faleceu em 1940. Come¸cou a trabalhar com equa¸cões integrais e voltou sua aten¸cão para a dinâmica populacional após a Primeira Guerra Mundial.

Os modelos apresentados são muito utilizados nos dias de hoje, principal-mente na ecologia e na agricultura. Podemos usá-lo para prever popula¸cões em ecossistemas, dos mais simples os mais complexos, prever quando o dese-quil´ıbrio ocorrerá , controlar pragas que asolam a produ¸cão agr´ıcola, etc...

(47)

O modelo mais simples parte das seguinte hip´oteses:

1. A popula¸cão de presas crescerá exponencialmente na ausência de pre-dadores.

2. A popula¸cão de predadores se extingue, caso haja falta de presas. Ela não consegue mudar sua alimenta¸cão para outra presa.

3. Os predadores consomem quantidades infinitas de presas. 4. Não existe nenhuma outra espécie no meio, além das duas.

5. Não há, durante o processo, altera¸cões no ambiente que favorecerá uma das duas espécies e também as adapta¸cões genéticas são lentas.

6. O ambiente ´e totalmente homogˆeneo.

7. Não há restri¸cões no meio, e o espa¸co usado para as presas é infinito.

Tendo essas hip´oteses, vamos considerar:

x = x(t) uma fun¸c˜ao que dá o número de presas, em fun¸cão do tempo e

y = y(t) uma fun¸c˜ao que dá o número de predadores em fun¸cão do tempo. O número de intera¸cões entre os predadores e as presas será dado pelo produto dos dois valores absolutos das popula¸c˜oes dos mesmos, ou seja, xy.

Assim o sistema de equa¸c˜oes Lotka - Volterra ﬁca: { dx(t) dt = ax(t)− bx(t)y(t) dy(t) dt =−αy(t) + βx(t)y(t) (3.1)

como x = x(t) e y = y(t) e ainda usando a nota¸c˜ao de Lagrange para derivadas, temos:

{

x′ = ax− bxy

y′ =−αy + βxy (3.2)

(48)

Observando essa equa¸cão, vamos que a taxa de varia¸cão da popula¸cão de presas ´e dada pelo seu crescimento natural ax menos sua captura por preda-dores, dada na equa¸c˜ao por bxy que ´e a taxa de encontros com predadores. Ou seja:

x′ = ax− bxy

Também que a taxa de varia¸cão da popula¸cão de predadores é dada pelo seu crescimento na presen¸ca de presas para consumo, que ´e dada por βxy, que é a taxa de encontros com presas, menos o decrescimento causado pela ausência de presas, dado na equa¸c˜ao por αy. Ou seja:

y′ =−αy + βxy

Assim, no caso de ausência de predadores, a equa¸cão que dá o número de presas fica:

x′ = ax

como a ´e positivo, a popula¸cão de presas aumentará, já que é a única espécie no meio.

Já no caso da ausência de presas, a equa¸cão que modela o crescimento de predadores fica:

y′ =−αy

como α ´e positivo, a popula¸c˜ao de presas tende a diminuir pela falta de alimento (presas).

3.1.1 Analisando a Equa¸

c˜

ao

Uma outra maneira de ver essa equa¸cão é dividir a taxa de varia¸cão das presas, pelo número de presas e a taxa de varia¸cão dos predadores, pelo número de predadores. Para isso, estamos considerando o valor de predadores e presas diferente de zero. Teremos então o sistema:

(49)

{ x′ x = a− by y′ y =−α + βx (3.3)

Nessa outra visão, vemos que a taxa de reprodu¸cão média das preses é algum a constante. Sua queda ´e dada conforme aumentamos o número de predadores na região. Esse fato ´e dado pelo fator by na equa¸c˜ao.

Por outro lado, vemos que a taxa de reprodu¸cão média das presas é algum

α constante. Seu aumento ´e causado por um aumento da quantidade de presas que h´a na regi˜ao, representado na equa¸c˜ao por βx.

Em suma,conseguimos ver a depência das intera¸cões para o crescimento das popula¸cões. No caso das presas, em um ambiente sem predadores, a sua popula¸cão aumenta de forma constante. Já no caso dos predadores, em um ambiente sem presas, sua popula¸cão diminui até a extin¸cão.

3.1.2 Analisando o Sistema

Agora, vamos estudar os pontos de equil´ıbrio do sistema Lotka - Volterra. Sabemos que temos um ponto de equil´ıbrio quando suas derivadas são nulas(não há varia¸cão). Vamos calcular esses pontos do sistema:

{ _dx

dt = 0⇔ ax − bxy = 0 dy

dt = 0⇔ −αy + βxy = 0

(3.4)

Na primeira equa¸c˜ao:

ax− bxy = 0 ⇔ x(a − by) = 0 ⇔ x = 0 ou a − by = 0 ⇒ y = a_b

Na segunda equa¸c˜ao:

−αy + βxy = 0 ⇔ y(−α + βx) = 0 ⇔ y = 0 ou (−α + βx = 0 ⇒ x = α β

(50)

A(0, 0) e B(α_β,a_b)

O ponto A é o ponto trivial, sem predadores e nem presas as popula¸cões não vão variar. Já o ponto B é de nosso interesse, pois possui uma popula¸cão positiva. Vamos analisar o comportamento da solu¸cão nas suas proximidades. Primeiro passo é linearizar o sistema no ponto B. Para isso, vamos en-contrar a matriz Jacobiana. Sabemos que a Matriz Jacobiana é dada por:

J (x′, y′) = ( _∂x_′ ∂x ∂x′ ∂y ∂y′ ∂x ∂y′ ∂y ) Como: ∂x′ ∂x = a− by ∂x′ ∂y =−bx ∂y′ ∂x = βy ∂y′ ∂y =−α + βy

A matriz Jacobiana do sistema ´e:

J (x′, y′) = (

a− by −bx βy −α + βy

)

O Jacobiano no ponto de equil´ıbrio ´e:

J (α_β,a_b) = ( a− b(a_b) −b(α_β) β(a_b) −α + β(α_β) ) = ( a− a −b(α_β) β(a_b) −α + α ) = ( 0 −αb_β aβ b 0 )

(51)

Calculando seus autovalores por det(J− λI) = 0 : J− λI = ( 0 −αb_β aβ b 0 ) -( λ 0 0 λ ) = ( −λ −αb β aβ b −λ ) det(J− λI) = 0 (λ2+ αa) = 0 λ2 =−αa λ =±√−αa

Como temos dois auto-valores imaginários conjugados, o ponto é ponto de centro. Ou seja, as curvas das solu¸cões são elipses centradas no ponto de equil´ıbrio.

Veja:

Figura 3.1: Plano de Fases - Modelo 1

3.1.3 Segundo Modelo

Essa primeira apresenta¸cão parece modelar bem a intera¸cão entre uma popula¸cão de presas e predadores em um mesmo espa¸co. Como em toda

(52)

análise superficial, acabamos por omitir informa¸cões relevantes para uma boa modelagem do objeto de estudo. Por isso, vamos olhar com aten¸cão uma das hipóteses.

Nos é dado que a popula¸cão de presas cresce de acordo com o modelo Malthusiano na ausência de predadores. Sabemos que isso pode ser verdade, em popula¸cões controladas e apenas por um curto per´ıodo de tempo. Na natureza, dispomos das mais diversas formas de controle populacional, de modo que elas acabam por ser limitadas, de uma forma ou de outra. Seja por competi¸cão por alimento, disponibilidade de alimento, tamanho do meio em que ela vive, etc...

Vamos então reescrevê-la usando o modelo de Pierre Verhulst, que leva essa situa¸cão em conta. Podemos escrever a equa¸cão que dá a taxa de cres-cimento das pressas da seguinte maneira:

x′ = ax(1− _Kx)− bxy

Com K sendo a capacidade máxima de presas que o ambiente suporta. Como vimos no cap´ıtulo anterior, quando a popula¸cão é maior que K, a taxa de crescimento populacional das presas tende a decrescer, quando ela é menor que K, a taxa de crescimento tende a aumentar.

Assim, nosso sistema ﬁcar´a: {

x′ = ax(1−_Kx)− bxy

y′ =−αy + βxy (3.5)

Uma modelagem bem mais ﬁel ao caso estudado.

Analisando o Segundo Modelo

Primeiramente, vamos achar os pontos de equil´ıbrio do sistema abaixo: {

x′ = ax(1−_Kx)− bxy

(53)

Sabendo que o sistema est´a em equil´ıbrio quando x′ = 0ey′ = 0 , temos: { ax(1−_Kx)− bxy = 0 −αy + βxy = 0 Assim: ax(1−_Kx)− bxy = 0 x(a(1− x K)− by) = 0

Assim x = 0 ´e o primeiro ponto: Continuando a an´alise:

a(1−_Kx)− by = 0

a(1− _Kx) = by

y = a_b(1− _Kx)

E o segundo ponto ´e y = a_b(1−_Kx).

Como não modificamos a segunda equa¸cão, os pontos de equil´ıbrio são os mesmo encontrados anteriormente:

x = a_b e y = 0 .

Agora temos trˆes pontos de equil´ıbrio:

(54)

O ponto A é o ponto trivial, já explicado. O ponto B é diz que na ausência de predadores, e com a popula¸cão inicial no limite K de suporte do ambiente, não esperamos que aconte¸ca alguma altera¸cão populacional significativa. Vamos analisar o terceiro ponto:

Linearizando e calculando o a Matriz jacobiana do sistema:

∂x′ ∂x = a− 2ax K − by ∂x′ ∂y =−bx ∂y′ ∂x = βy ∂y′ ∂y =−α + βy

A matriz Jacobiana do sistema ´e:

J (x′, y′) = (

a− 2ax_K − by −bx βy −α + βx

)

Aplicando o ponto (α_β,a_b − _bβKaα ) na matriz jacobiana, temos:

J (x′, y′) = ( a− 2a( α β) K − b( a b − aα bβK) −b( α β) β(a_b − _bβKaα ) −α + β(α_β) ) J (x′, y′) = ( a− 2a( α β) K − b( a b − aα bβK) −b( α β) β(a_b − _bβKaα ) −α + β(α_β) ) J (x′, y′) = ( a−2aα_βK − a + _βKaα −αb_β aβ b − aα bK −α + α )

(55)

J (x′, y′) = ( −aα βK − αb β aKβ−aα bK 0 )

O tra¸co da matrix jacobiana é−_βKaα, que é negativo, pois todos os parâmetros são positivos. Então, o determinante irá decidir se o ponto de equil´ıbrio é um ponto de sela, um nó estável ou um foco estável.

Calculando o determinante:

det(J (α_β,a_b − _bβKaα )) = (0− (−αb_β.aKβ_bK−aα)) = (aα(Kβ_βK−α)) Que é positivo, pois todos os parâmetros são positivos. Pois

Kβ− α < 0 ⇒ Kβ < α

Lembremos que o valor da popula¸c˜ao de predadores no ponto de equil´ıbrio ´

e a_b(1−_βKα ). Se Kβ<α ent˜ao teremos _βKα > 1 o que nos daria uma popula¸c˜ao negativa de predadores, o que n˜ao faz sentido.

Analisando o ∆ do polinˆomio caracter´ıstico da matriz Jacobiana temos:

∆ = τ − 4 det(J)

∆ = −_βKaα - 4 .aα(Kβ_βK−α)

Lembrando que Kβ − α < 0, temos que o ∆ < 0, o que nos dar´a um par de autovalores complexos. Como τ < 0, teremos que a parte real dos autovalores complexos negativa, e assim, teremos no ponto um foco est´avel.

3.1.4 Terceiro Modelo

Conseguimos com nosso modelo anterior uma seguran¸ca maior. Se assu-mirmos que os pontos de equil´ıbrio estão suficientemente afastados de ambos os eixos, para proteger cada popula¸cão de perturba¸cões aleatórias, as solu¸cões

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Figura 3.2: Plano de Fases - Modelo 2

que come¸cam próximas a esses pontos são estáveis. O que garante que as popula¸cões não correm risco de extin¸cão, conforme o tempo vai avan¸cando. Mas, apesar disso, temos um problema com o modelo anterior.

Vamos lembrar que a equa¸cão que dá a popula¸cão das presas é

x′ = ax(1− _Kx)− bxy

O dano nas presas pelo predador ´e dado por bxy. Que parece fazer sentido, quanto mais encontros entre as espécies, maior será o dano causado pelos predadores nas presas. Dizemos que bx ´e a taxa de sucesso obtido pelos predadores ou também chamada de taxa de preda¸cão do sistema. De outra maneira, podemos dizer que em um certo intervalo de tempo, um predador deve matar uma certa fra¸c˜ao bx de presas. Se temos 5 predadores e 10 presas, teremos uma certa taxa de sucesso obtida. Agora, se tivermos 5 predadores e 500000 presas, a taxa de sucesso será a mesma? A resposta é não. Os predadores tem uma capacidade limitada de causar dano nas presas ( necessidade alimentar). Sendo assim, faz-se necessário altera¸cões em nosso modelo.

Revisando o Modelo - O problema da Preda¸c˜ao Linear

Como vimos anteriormente, não há como manter na natureza a taxa linear de preda¸cão dada na equa¸cão