PerComb

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MATEMÁTICA DISCRETA I

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PERMUTAÇÕES



Uma permutação é um arranjo ordenado de objetos;



_{Na permutação a ordem dos objetos é importante;}



_{Por exemplo, em um número de telefone 1259 é diferente de}

2951.



Em um problema de se contar todas as possibilidades para os

quatro dígitos de um número de telefone sem dígitos repetidos:



Cada número é uma permutação de 4 objetos distintos

escolhidos em um conjunto de 10 objetos distintos (os

dígitos);



_{Quantas dessas permutações existem?}

(3)

PERMUTAÇÕES



O número de permutações de r objetos distintos

escolhidos entre n objetos distintos é denotado por

P(n, r);



A solução do problema dos números de quatro dígitos

sem repetição pode ser expressa como P(10, 4).

(4)

PERMUTAÇÕES



Exemplo 01:

(5)

PERMUTAÇÕES



Três casos especiais podem aparecer ao se calcular

P(n, r):



_{P(n, 0)}

 Pode ser interpretado dizendo-se que existe apenas um arranjo

(6)

PERMUTAÇÕES



P(n, 1)

 Essa fórmula reflete o fato de que existem n arranjos ordenados

de um objeto .(Cada arranjo consiste em um objeto, de modo que basta contar quantos objetos temos.)

(7)

PERMUTAÇÕES



P(n, n)

 0! é definido como tendo o valor 1;

 Essa fórmula diz que existem n! arranjos ordenados de n objetos

distintos. (Isso reflete o princípio da multiplicação – n escolhas para o primeiro objeto, n – 1 para o segundo, e assim por diante.)

(8)

PERMUTAÇÕES



Exemplo 02:



_{O número de permutações de 3 objetos, digamos a, b e c é}

dado por:

P(3,3) = 3!

= 3 x 2 x 1 = 6



As 6 permutações de a, b e c são:

(9)

PERMUTAÇÕES



Exemplo 03



_{Quantas palavras de três letras (que podem não fazer}

sentido) podem ser formadas a partir da palavra “compilar”

se nenhuma letra pode ser repetida?

 Nesse caso a ordem das letras faz diferença;

 Queremos saber o número de permutações de três objetos

distintos retirados de um conjunto de 8 objetos;

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PERMUTAÇÕES



Exemplo 04:



_{Dez atletas competem em um evento olímpico. São dadas}

medalhas de ouro, prata e bronze. De quantas maneiras

podem ser dadas as medalhas?

 Nesse caso a ordem também é importante!

 O resultado ouro, B-prata, C-bronze é diferente de C-ouro,

A-prata, B-bronze.

 Queremos o número de arranjos ordenados de 3 objetos de um

conjunto de 10.

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PERMUTAÇÕES



Exemplo 05



_{Uma biblioteca tem 4 livros sobre sistemas operacionais, 7}

sobre programação e 3 sobre estruturas de dados. Vamos ver

de quantas maneiras esses livros podem ser arrumados em

uma prateleira, dado que todos os livros sobre o mesmo

assunto devem ficar juntos.

 Podemos pensar nesse problema como uma seqüência de tarefas:

1. Arrumar três assuntos – existem 3! ordens possíveis para os

assuntos;

2. Arrumar os livros sobre sistemas operacionais – 4! possibilidades; 3. Arrumar os livros sobre programação – 7! possibilidades;

4. Arrumar os livros sobre estrutura de dados – 3! possibilidades.

 Pelo princípio da multiplicação, o número final de ordens possíveis

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COMBINAÇÕES



Algumas vezes, ao selecionar os objetos não nos

importamos com a ordem.



Nesse caso estamos contando o número de

combinações de r objetos distintos escolhidos entre n

objetos distintos, que denotamos por C(n, r).



Para cada combinação existem r! maneiras de ordenar

(13)

COMBINAÇÕES



Pelo princípio da multiplicação, o número de

permutações de r objetos distintos escolhidos entre n

objetos é o produto de escolhas possíveis dos objetos,

C(n, r), pelo número de maneiras de ordenar os

objetos escolhidos, r!.

C(n, r) . r! = P(n, r)

Ou

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COMBINAÇÕES

_{Quantas mãos de pôquer, com 5 cartas cada, podem ser}

distribuídas com um baralho de 52 cartas?

 Nesse caso, a ordem não importa.

 Queremos o número de maneiras de escolher 5 objetos entre 52,

que é um problema de combinação.

(19)

COMBINAÇÕES



Exemplo 08



_{Dez atletas competem em um evento olímpico; três são}

declarados vencedores. De quantas maneiras podem ser

escolhidos os vencedores?

 Não há ordem entre os três vencedores, devemos então

simplesmente escolher 3 objetos entre 10.

(20)

COMBINAÇÕES



LEMBRETE:



_{Em um problema de contagem, pergunte-se primeiro se a}

ordem é relevante.

 Se for, é um problema de permutações;  Senão, é um problema de combinações.

(21)

COMBINAÇÕES



Exemplo 09



_{Uma comissão de 8 alunos deve ser escolhida em um grupo}

contendo 19 alunos do primeiro ano e 34 do segundo ano.

a) De quantas maneiras é possível selecionar 3 alunos do primeiro

ano e 5 do segundo?

b) De quantas maneiras é possível selecionar uma comissão

contendo exatamente 1 aluno do primeiro ano?

c) De quantas maneiras é possível selecionar uma comissão

contendo no máximo 1 aluno do primeiro ano?

d) De quantas maneiras é possível selecionar uma comissão

contendo pelo menos 1 aluno do primeiro ano?



_{Como a ordem dos indivíduos escolhidos é irrelevante, todos}

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COMBINAÇÕES

a)

De quantas maneiras é possível selecionar 3 alunos do

primeiro ano e 5 do segundo?

 Neste caso, temos uma seqüência de duas tarefas: selecionar

alunos do primeiro ano e depois do segundo.

 Devemos usar então o princípio da multiplicação.

 Como existem C(19, 3) maneiras de escolher um aluno do

primeiro ano e C(34, 5) maneiras de escolher um aluno do segundo ano, a resposta é:

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COMBINAÇÕES

b)

De quantas maneiras é possível selecionar uma comissão

contendo exatamente 1 aluno do primeiro ano?

 Temos novamente uma seqüência de tarefas: selecionar o único

aluno do primeiro ano e depois selecionar o resto da comissão entre os alunos do segundo ano.

 Existem C(19, 1) maneiras de se selecionar um aluno do primeiro

ano e C(34, 7) maneiras de se selecionar os 7 alunos restantes do segundo ano.

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COMBINAÇÕES

c)

De quantas maneiras é possível selecionar uma comissão

contendo no máximo 1 aluno do primeiro ano?

 Neste caso, obtemos no máximo 1 aluno do primeiro ano tendo

exatamente 1 aluno do primeiro ano ou 0 aluno do primeiro ano.

 Esses eventos são disjuntos, por isso devemos usar o princípio da

adição.

 Devemos nesse caso calcular ambas as hipóteses (obter um

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COMBINAÇÕES

d)

De quantas maneiras é possível selecionar uma comissão

contendo pelo menos 1 aluno do primeiro ano?

 Podemos fazer esse item de diversas maneiras.

 Podemos usar o princípio da adição, considerando todas as

possibilidades disjuntas de se ter exatamente 1 aluno do primeiro ano, 2 alunos do primeiro ano, e assim por diante, até se ter exatamente 8 alunos do primeiro ano.

 Assim, calcularíamos cada um desses números e depois

somaríamos todos.

 Mas é mais fácil contar todas as maneiras possíveis de se formar

a comissão com os 8 membros selecionados do total de 53 pessoas e depois eliminar as comissões que não contêm alunos do primeiro ano (inteiramente formadas por alunos do segundo ano).

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ELIMINAÇÃO DE DUPLICATAS



Como problemas de contagem podem ser resolvidos

de diversas maneiras, é fácil encontrar supostas

soluções que parecem razoáveis mas estão erradas.



Em geral, estão erradas porque alguma coisa é

contada mais de uma vez (outras vezes um objeto é

completamente esquecido e não é contado).

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ELIMINAÇÃO DE DUPLICATAS



Exemplo 10



_{Vamos considerar novamente a letra d do exemplo anterior.}

Uma solução errada é a seguinte:

 Pensar em uma seqüência de duas tarefas, escolhendo primeiro um

aluno do primeiro ano e depois o resto da comissão. Pelo princípio da multiplicação isso nos dá C(19, 1) x C(52,7), um número maior do que a resposta correta.

 Suponha que Diana e Felipe são alunos do primeiro ano. Em uma

das escolhas que contamos, Diana é a aluna escolhida primeira e escolhemos o resto da comissão de modo que Felipe esteja entre eles.

 Ao fazer isso, contamos também a opção de escolher primeiro Felipe

como aluno do primeiro ano e compor a comissão com Diana e outros seis membros, que é a mesma comissão de antes, contada então duas vezes.

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PERMUTAÇÕES E COMBINAÇÕES COM

REPETIÇÕES



Nossas fórmulas supõem que arrumamos ou selecionamos r

objetos entre os n disponíveis usando cada objeto apenas

uma vez.



Suponha, entretanto, que os n objetos estão disponíveis

para serem usados quantas vezes quisermos.



Como por exemplo:

 Construir palavras usando as letras do alfabeto;

 Retirar cartas de um baralho, recolocando a carta após cada

retirada;



_{Um joalheiro, ao projetar um broche, decidiu usar cinco}

pedras preciosas escolhidas entre diamantes, rubis e

esmeraldas. De quantas maneiras diferentes podem ser

escolhidas as pedras?

 A ordem das pedras não faz diferença, por isso este é um

problema de combinação.

 Queremos o número de combinações com repetição de cinco

objetos escolhidos entre três objetos.

 Podemos representar essas possibilidades representando as

pedras preciosas escolhidas por cinco asteriscos e colocando marcadores verticais entre os asteriscos para representar a distribuição entre os três tipos de pedras preciosas.

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PERMUTAÇÕES E COMBINAÇÕES COM

REPETIÇÕES

 Podemos representar a escolha de um diamante, três rubis e uma

esmeralda por

*|***|*

 E a escolha de cinco diamantes seria representada por

*****||

 Estamos portanto, considerando sete posições e as escolhas

diferentes são representadas por quais das sete posições são ocupadas por asteriscos.

 Em geral, se usarmos o mesmo esquema para representar uma

combinação com repetição de r objetos escolhidos entre n objetos distintos, teremos que ter n – 1 marcadores. Isso nos dá r + (n - 1) posições a serem preenchidas e queremos saber o número de maneiras de selecionar r dessas posições.

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PERMUTAÇÕES E COMBINAÇÕES COM

REPETIÇÕES

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PERMUTAÇÕES E COMBINAÇÕES



A tabela a seguir resume as técnicas que podem ser

aplicadas em circunstâncias variadas:

Você quer contar o número de ... Técnica a ser tentada

Subconjuntos de um conjunto com n

elementos Use a fórmula 2

n

Possibilidades de resultados de eventos

sucessivos Multiplique possíveis para cada eventoo número de resultados Possibilidades de resultados de eventos

disjuntos Some o número de resultados possíveis para cada evento. Possibilidades de resultados dadas escolhas

específicas em cada etapa Desenhe uma árvore de decisão e conte o número de caminhos Elementos em partes da interseção de

conjuntos

Use a fórmula para o princípio de inclusão e exclusão

Arranjos ordenados de r entre n objetos

distintos Use a fórmula para P(n, r) Maneiras de selecionar r entre n objetos

distintos

Use a fórmula para C(n, r) Maneiras de selecionar, com repetição

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