6 - Guiando a Luz

6

Guiando a Luz

Introdução

Neste capítulo vamos analisar um dos mais importantes componentes ópticos existente, o guia de ondas eletromagnéticas. Com ele, passou a ser possível se confinar a luz numa região limitada do espaço, fazendo-a propagar ao longo do dispositivo segundo caminhos pré-determinados e permitindo a possibilidade da transmissão de sinais luminosos de modo similar ao que se faz em eletrônica com fios metálicos. É o que vamos encontrar em uma fibra óptica, um guia de forma cilíndrica, feito de vidro, e que faz o papel de um fio metálico. Além do mais, passou a ser possível também se processar o sinal das guias que conduzem a radiação através de processos de alteração das propriedades de guiamento. A integração destes componentes a outros componentes ópticos alarga em muito o escopo das suas aplicações, dando lugar a um novo ramo da engenharia - o da Fotônica. Portanto se faz necessário dispensarmos alguma atenção a estes componentes de um sistema de comunicação, o guia de ondas.

6.1 – Entendendo o Guiamento da Luz com o Guia Metálico Planar

Nesta seção, o nosso objetivo é entender o que é e como funciona um guia de ondas. Como o nome diz, um guia de ondas é um elemento capaz de confinar a luz no seu interior levando-a a propagar ao longo de uma dada direção, chamada de direção longitudinal. A fig.(6.1-1) ilustra o guiamento da luz em um guia de ondas, como

uma fibra óptica. Para entendermos o funcionamento de um guia de ondas, se faz necessário entender qual é o significado do processo físico chamado guiamento da luz, ou seja, o processo através do qual a luz entra em um guia de ondas e consegue propagar no seu interior.

O guia mais simples que poderíamos falar seria um guia plano constituído de dois espelhos dispostos de forma paralela entre si. Imaginemos que neste arranjo de espelhos entre um feixe de luz, com raios paralelos, por um dos seus lados. Para facilitar a visualização a fig.(6.1-2) mostra o arranjo mencionado com o raio de luz penetrando entre os espelhos por

um dos seus lados, o esquerdo no caso da figura. Os raios estão contidos no plano x-z. Através de múltiplas reflexões este feixe avança para a direita, podendo sair pelo lado oposto ao que entrou.

O processo através do qual a luz fica aprisionada entre os dois espelhos pela reflexão é chamado de confinamento, e ele é um do dois processos físicos importantes para que possa haver o guiamento da luz. Entretanto, ele só, sem o segundo, não conduz ao guiamento. Ou seja, a luz pode entrar por um dos lados do guia, ser confinada, mas não sair do outro lado. Isto, também, dependerá do

outro processo físico, que é a interferência entre as ondas que estão sendo confinadas pelo guia. Vejamos em que condições é possível luz entrar em um dos lados do guia, ser confinada e sair do lado oposto, para que haja de fato um guia de ondas.

Observando-se a fig.(6.1-3), se vê um dos raios de luz com a indicação do seu vetor de onda que é designado por k. Este vetor tem duas componentes kz e kx. Vamos seguir um dos raios

do feixe de luz entrando pelo lado esquerdo. Após a reflexão no espelho superior o raio de luz muda de direção propagando-se para baixo de forma que o vetor de onda passará a ter componentes kz e

-kx, já que a componente kx trocou de sinal por conta da reflexão. Após a segunda reflexão, no

espelho de baixo, os componentes do vetor de propagação voltam a ser kz e kx. E assim será,

sucessivamente, enquanto o raio de luz avançar na direção z (longitudinal), uma vez que a componente kz não troca de sinal.

Em um dado ponto P, indicado na fig.(6.l-3), vemos que dois raios de luz estão se cruzando: o raio, um feixe de luz refletido no espelho superior e outro vindo de uma reflexão no espelho inferior. Desta forma no ponto P há dois campos elétricos, de maneira que o campo elétrico total é a soma destes dois. Diremos que estes campos se superpõem e portanto estão dando lugar ao fenômeno da interferência. Aqui encontramos o segundo elemento chave da propagação da luz em um guia de ondas, a interferência das ondas que estão propagando dentro dele. Como sabemos, podemos ter na interferência dos dois campos duas situações extremas: a construtiva e a destrutiva. Nesta última os campos se anulam e somem. Isto nos indica que precisamos entender como a. interferência afeta o guiamento de luz em um guia.

P x

k

_a

x=a

x=0

Fig.(6.1-3) – Diagrama de raios de luz penetrando e propagando em um guia metálico planar, sendo indicada a dimensão do guia, o vetor de propagação k. O ponto P, indicado na figura, mostra a interseção entre dois raios de luz propagando em sentidos opostos na direção transversal do guia (x).

MODOS TE

x

z

y

Fig.(6.1-2) – Representação de um guia planar feito com dois

espelhos planos. Na figura vemos os raios de luz se deslocando ao longo do guia devido a reflexões em ambos os espelhos, estando o campo elétrico orientado paralelamente a estes.

Vamos dizer que as ondas de campo elétrico são do tipo harmônico, ou seja: ) t y k x k sen( E E= _{o x} + _y −ω (6.1-1)

Assim sendo, as duas ondas no ponto P, possuindo os vetores de propagação (kz,kx) para a onda que

está subindo em x e (kz,-kx) para a onda que está descendo, serão descritos por:

) t z k x sen(k E E= 1 x + z −ω k=(kx,kz) (6.1-2) ) t z k x sen(-k E E′= _{2 x} + _z −ω k=(-kx,kz)

O efeito total delas é obtida pela superposição das duas ondas: ) t z k x sen(-k E ) t z k x sen(k E E E E_r = + ′= _{1 x} + _z −ω + _{2 x} + _z −ω (6.l -3)

Consideremos que a luz é totalmente refletida pelos espelhos metálicos. Temos, então, que em x=0 e x=a, o campo total deverá ser nulo. Em um metal, a radiação de fato evanesce ao longe de uma distancia δ a partir da superfície, cujo valor para frequências ópticas é muito pequeno.

• x=0

Para x=0, a eq.(6.1-3) ficará: ) t z )sen(k E E ( E_r = ₁+ _{2 z} −ω (6.l -4)

A validade desta condição, para qualquer instante e posição ao longo de z, exige que E1=-E2=Eo, o

que nos permite escrever:

[

sen(k x k z t) sen(-k x k z t)

]

E

E_r = _{o x} + _z −ω − _x + _z −ω (6.l -5)

Esta equação poderá ser escrita de uma outra forma, usando-se a expressão trigonométrica:

(

)

_⎥⎦⎤ _⎢⎣⎡

(

α+φ

)

_⎥⎦⎤ ⎢⎣ ⎡ _α−φ = φ − α 2 1 cos 2 1 sen 2 sen sen

com ela a eq.(6.1-5) será escrita na forma:

[

cos(k z t)

]

) x senk E 2 ( E_r =− _{o x z} −ω (6. l -6) • x=a

Além da condição de campo nulo para x=0, também devemos ter E=0 para x=a. Esta última condição leva a eq.(6.1-6) a

[

cos(k z t)

]

0 ) a senk E 2 ( _{o x z} −ω = (6. l -7)

Tal condição ocorrendo para todo e qualquer valor de z e t, requererá que o termo senkxa seja nulo,

já que Eo=0 significa a ausência do campo propagante. Daí, vem:

kxa=mπ

k

m

a

x

=

π

m=1,2,3,... (6.1-8)

Como vemos, enquanto kz não tem, aparentemente, nenhuma restrição, os valores permitidos de kx

são discretos por conta da limitação espacial determinada pelos espelhos e a necessidade de uma interferência construtiva. Cada um desse valores de kx, oriundo de um valor de m, corresponde a um modo transversal do guia (modo de vibração). A partir deste ponto usaremos a designação kz=β que

é a constante de propagação do modo.

O resultado obtido, expresso nas eqs. (6.l-4) e (6.l-5), nos mostra que a propagação do feixe devido às reflexões e interferências (como no ponto P) pode ser descrita como sendo o resultado da propagação de duas ondas:

- uma propagando-se ao longo de z e descrita por cos(ωt-βz),

- uma segunda onda, esta estacionária (senkxx), na direção perpendicular aos

espelhos.

Desta maneira, um modo é uma estrutura de luz possuindo uma distribuição na direção transversal do guia que propaga ao longo da sua direção longitudinal. Esta estrutura se forma por meio dos dois fenômenos já apresentados, o confinamento e a interferência construtiva entre os raios de luz.

A fig.(6.1-3) mostra a distribuição espacial da intensidade de campo elétrico entre os espelhos que formam o guia metálico e a distribuição espacial da intensidade de luz, correspondente, numa visão de frente para a saída do guia. Como se vê, os dois modos possuem diferenças nas suas distribuições espaciais e portanto nas intensidades de luz dentro do guia. Estas distribuições de intensidade de luz são as estruturas de luz que propagam ao longo da direção longitudinal do guia. Intensidade de luz Vista Frontal m=1 m=2 z x x x=0 x=a x=0 x=a z m=1 m=2

Vista Lateral do Guia

Fig.(6.1-3) – A figura da esquerda mostra a distribuição de campo dos dois primeiros modos de propagação de um guia metálico planar. À direita está intensidade de luz dos mesmos modos numa vista frontal do guia.

6.1-1– Dispersão do Guia Metálico

A seguir iremos discutir a propagação dos modos de um guia metálico em maiores detalhes, onde obteremos as suas propriedades cinéticas. Veremos que, também os valores de β, são restritos como os de kx. Para iniciar a nossa análise tomemos a relação

k

2

=

k

_z2

+

k

_x2, (6.1-9)

Usando os valores possíveis de kx, obtemos:

2 2 2 2 2 na mc 1 c n a m k ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω π − ω = π − = β (6.1-10)

A eq.(6.1-10) é uma relação muito importante por determinar a relação de dispersão do guia, ou seja a relação β(ω) entre a constante de propagação do modo e a freqüência da onda. A seguir veremos algo sobre isto. Antes, porém, é

interessante se entender qual o significado geométrico dos diferentes valores de β, conforme é dado na eq. (6.1-10). Para visualizarmos isto, observemos a fig.(6.1-5) na qual temos a representação gráfica dos vetores de propagação k em função das suas componentes kx=mπ/a e β. Isto é feito

tomando-se uma circunferência cujo raio é igual ao módulo de k. Na abcissa temos os valores de β, enquanto na ordenada temos os valores de kx, os

quais são discretos tendo valor unitário igual a π/a.

Vemos, na figura, que os diferentes valores de m (m=1,2,3...), resultando nos kx dos

diversos modos do guia, determinam diferentes

β k kx π/a 2π/a 3π/a α_µ

Fig.(6.1-5) –Representação gráfica das componentes do vetor de propagação k de uma onda em um guia metálico planar.

Fig.(6.1-4) –Ilustração da correspondência entre as distribuições espaciais dos modos e um guia metálico planar e as inclinações dos raios de luz.

valores de β. Para cada valor de m há um valor de kx=mπ/a, e consequentemente um ângulo de

inclinação αm, com o qual o raio de luz do modo incide sobre a superfície do espelho. Desta forma,

cada modo do guia possui uma distribuição de luz na direção transversal à direção de propagação e a esta distribuição está associada uma inclinação do raio de luz (ou do vetor k). Para o valor de π/a,

se percebe na figura que a partir de um certo valor de m (m=4 no caso da figura), não há nenhum valor de β que possa existir, já que kx seria maior do que o próprio k, o que é fisicamente

impossível. Isto caracteriza uma situação especial do guia que analizaremos adiante quando estudarmos as condições de corte de um guia.

A eq. (6.1-10) pode ser escrita na forma βm=nmko, sendo nm dado por

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ λ − = 2 m na 2 m 1 n n (6.1-11)

e designado como o índice de refração efetivo do modo m.

• Velocidade de Fase

A onda propagante no guia tem uma velocidade de fase vf dada por:

m f n c v k v _⎟⎟ = ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ β = β ω = (6. l -12)

Como k>β, pois β é uma componente de k, temos que vf>v . Consequentemente, a velocidade de

fase de uma onda guiada é maior do que a de fase v=ω/k, com a qual ela se propagaria, sem confinamento, em um meio igual ao que constitui o núcleo do guia. Caso o meio entre os espelhos do guia seja o vácuo, teremos n=1 e nm<1 para qualquer valor de m. Nestas condições vf>c (!?) o

que pode parecer um problema uma vez que nenhuma velocidade poderia superar a da luz no vácuo. Entretanto, nenhum problema com os princípios físicos ocorre uma vez que a velocidade de fase não tem significado físico!

• Velocidade de Grupo

Outra velocidade importante, de fato a mais importante do ponto de vista prático, é a velocidade de grupo a qual informa com que velocidade um modo propaga no guia. Usando-se a definição dada na eq.(3.7-3), obtemos:

v k v d d v_g ⎟ 2=β ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω β = β ω = (6.1-13)

e vemos nela a necessidade da relação de dispersão do guia, dada na eq.(6.1-13). Como, obrigatoriamente, temos β<k., é inevitável que vg<v.

m g N c d d v = β ω = (6.1-14) onde ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ λ ∂ ∂ λ − = m m m m n n 1 n N (6.1-15)

onde Nm é chamado de índice de grupo do modo m

Sabemos que se uma onda propaga em um meio material ela sofre um retardo por conta da interação da luz com o meio. Tanto que a velocidade de propagação depende do índice de refração. Com o resultado obtido na eq.(6.1-12) podemos dizer que cada modo do guia enxerga um índice de refração próprio. Vejamos que caso tenhamos vácuo (ausência de material) dentro do guia, o que levaria a um índice de refração n=l, Nm ainda assim existirá, sendo Nm>l e fazendo,

consequentemente, vg<c.

Tal análise nos leva a concluir que, mesmo não havendo nenhum material no núcleo do guia de onda, ele ainda assim se comporta como se houvesse um meio dispersivo no seu interior. Ou seja os modos que propagam num guia estão sujeitos a um efeito de atraso pois têm velocidade menor do que a da luz no vácuo. Este efeito chamado de dispersão é causado pelo próprio guia, independentemente da existência de material no seu interior.

• Número de Modos

Usando-se a eq.(6.1-11) podemos calcular o número de modos M que podem propagar no guia metálico planar. Obviamente, este número dependerá dos parâmetros do guia bem como da radiação. Já que nm deve ser positivo, o termo (mλο/2na) precisa ser menor do que um. Assim

sendo, dados os valores do comprimento de onda, índice de refração do meio e tamanho do guia, o maior valor de M é aquele (Mλο/2na)=1. Com isto, temos:

o na 2 M λ = (6.1-16)

Como o valor de M dado na eq.(6.1-16) pode não ser inteiro, o número de modos é dado pela parte inteira de M. Por exemplo, se M fosse igual a 5,92, o número de modos seria 5, pois os valores de m devem ser inteiros, começando por m=1.

Se queremos que o guia seja monomodo, precisamos que (λο/2na)=1, fazendo com que

M=1 seja o maior valor permitido de m. Como λο/n=λ é o comprimento de onda no meio que

constitui o guia, vemos que o guia será monomodo quando o tamanho do guia for a metade do comprimento de onda da luz que está propagando nele.

Um resultado importante que obtemos aqui é quanto à definição de guia mono (M=1) ou multimodo (M≥2). Primeiro, devemos salientar que ele é chamado de multimodo se houver pelo menos dois modos, ou mais. Uma segunda coisa a se considerar é que não há um guia mono ou multimodo por construção. O comportamento mono ou multimodo do guia dependerá do comprimento de onda com o qual o ele está sendo operado, porque importa não apenas o valor de a mas a relação λ/a. Assim que um guia monomodo para um dado comprimento de onda poderá vir a ser multimodo caso se mude o comprimento de onda da luz propagando no guia.

Fica claro, observando-se a eq.(6.1-11), que diminuindo-se o valor da espessura do guia (a), aumenta-se o valor de λο/2na o que obriga a reduzir o maior valor possível de m. Logo, dado um

comprimento de onda, a redução do tamanho do guia é o caminho para que o guia venha a ser monomodo.

No caso deste guia metálico, para um dado comprimento de onda, a redução do tamanho do guia pode provocar a não existência de nenhum modo no guia.

• Freqüência de Corte

Outra propriedade importante é obtida examinando-se o fato de β ser, sempre, um número real. Deste modo a onda no guia será do tipo propagante. Assim, através da eq.(6.l-8), propagantes existem caso seja satisfeita a condição:

1 v a m na mc ≤ ω π = ω π (6.1-17)

Logo, se a onda é propagante, sempre deverá ser satisfeita a condição:

a v mπ ≥ ω ou a 2 mv ≥ ν ou mn a 2 v c m a 2 = ≤ λ (6.1-18)

onde n=c/v é o índice de refração do meio. Portanto, apenas as freqüências satisfazendo à condição (6.1-18) podem propagar no guia metálico planar em estudo. Cada modo possível terá uma freqüência igual a νc=mv/2a, abaixo da qual a propagação é impossível. Tal valor de νc é chamado

de freqüência de corte do modo. Logo, guias de ondas atuam como filtros de freqüências (ou comprimentos de onda).

EXEMPLO(6.1-1) – Mostre que a velocidade de propagação de um modo m, em um guia metálico

planar, é dada por (c/n)cosαm, onde αm é o ângulo formado entre o raio de luz referente ao modo m

e a superfície dos espelhos.

Solução:

Para resolvermos o problema consideremos a fig.(6.1-6) na qual vemos um raio de luz associado ao modo m em propagação dentro do guia metálico planar. Podemos dizer que a velocidade de propagação do modo é dada pela distância percorrida na direção da propagação (direção z) zm dividida pelo tempo gasto tm. As duas grandezas citadas são calculadas por:

m m m L cos z = α (6.1-19) c n L v L t_m = m = _m (6.1-20)

Com isto podemos dizer que:

n cos c cos v L cos L v v _m m m m m m α = α = α = (6.1-21)

Como, também é verdade que cosαm=β/k, a eq.(6.1-21) poderá ser re-escrita na forma:

v k

v_m =β (6.1-22)

Comparando o resultado obtido com a eq.(6.1-13) percebemos que a velocidade obtida é exatamente a velocidade de grupo. Isto comprova que a velocidade calculada se refere àquela com a qual o modo avança ao longo do guia.

EXEMPLO(6.1-2) - Dois espelhos paralelos têm uma separação a = 0.75µm formando um guia de

ondas. Encontre a relação de dispersão ωxβ, supondo que o interior do guia está vazio.

Solução

Antes de iniciarmos a solução do problema, vamos fazer um comentário sobre os espelhos. Eles poderão ser constituídos de duas lâminas metálicas ou dois filmes metálicos depositados em um substrato, como, por exemplo, lâminas de vidro. Em ambos os casos eles são opticamente polidos, ou, numa linguagem vulgar, lisos. Por isso devemos entender que as irregularidades (riscos, saliências, afundamentos, etc.) nas superfícies metálicas, têm dimensões muito menores que o comprimento de onda da radiação sob confinamento.

A relação de dispersão é obtida através da eq. (6. l -8), onde substituímos k pela expressão k=ω/c, pois n=1. Disto resulta:

ω

=

β

+

π

= ⋅

β

+

⋅

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−

c

m

a

m

2 2 2 2 8 2 2 6 2

3 10

314

0 75 10

.

.

ou 2 13 2 8 _{1,75 10 m} 10 3⋅ β + ⋅ = ω

Com esta última equação podemos traçar as curvas de dispersão apresentadas na fig.(6.1-6). Como se pode ver na figura, há uma faixa de freqüências (faixa escura da figura) dentro da qual não há possibilidade de existir qualquer modo propagante. Ou seja, para os valores de freqüência

L

_m

cos α

_m

α

_m

L

m

v

m

daquela faixa, os valores de k são menores do que kx=π/a. Neste caso não pode existir um valor de β

que seja real, bastando se observar a eq.( 6.1-10).

As curvas da fig.(6.1-6) determinam as duas velocidades já discutidas, de fase e de grupo. A primeira é a relação entre os valores de ω e β comectados pelas curvas, enquanto a segunda vem da derivada ∂ω/∂β, sendo pois a inclinação da curva para um dado valor de A linha tracejada da curva indica a relação de dispersão correspondente a uma onda propagando no espaço livre.

________________________________________________________________________________

6.1-2 - Tempo de Atraso em um Guia Metálico Planar

Após a discussão da dispersão de um guia, podemos passar à discussão do tempo de atraso referente aos modos. Tempo de atraso como já foi discutido no cap.2 é o tempo gasto por um pacote de onda eletromagnética para percorrer uma dada distância L. Um modo pode ser considerado como um pacote de onda, possuindo pois uma velocidade de grupo.

Dessa maneira, para que um modo percorra uma distância L o tempo consumido será dado por: c LN v L _m gm m = = τ (6.1-18)

e com o uso da eq.(6.1-15), teremos:

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ λ ∂ ∂ λ − = τ m m m m n n 1 c Ln (6.1-19)

Já se vê na eq.(6.**) que os tempos de atraso para cada modo é diferente dos demais, já que depende do número que quantifica os modos (m).

Desta forma, caso se esteja usando um guia multimodo para a transmissão de pulsos de luz, como o pulso será transportado pelos diferentes modos do guia, conquanto partam ao mesmo

ω /c (x1 06 s- 1) β (x1 02 m- 1) 0 2 4 6 8 1 0 0 2 4 6 8 1 0 m = 5 4 3 2 1 a = 0 ,7 5 µ m

Fig.(6.1-6) –Dependência entre a freqüência da luz propagante e a constante de propagação do modo para um guia metálico com0,75 µm de espessura. A faixa escura mostra a região de freqüencias dentro da qual não pode haver propagação de modos.

tempo, à medida que propagam vão se separando no espaço, logo também no tempo. Este efeito de atraso se rotula como sendo dispersão modal, que é diferente da dispersão cromática já discutida no cap.2. De fato as duas se somam, caso o guia metálico contenha algum material entre os espelhos.

De posse da eq.(6.1-18) se pode calcular o tempo de atraso por unidade de comprimento (T), em geral expresso em unidades de ps/km, e que será dado por:

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ λ ∂ ∂ λ − = m m m m n n 1 c n T (6.1-20)

Da mesma forma como foi feito no cap.2, quando foi discutida a questão da dispersão cromática, também aqui faremos a discussão sobre o coeficiente de dispersão correspondente ao guia metálico. Tomando-se a eq.(6.1-18) podemos dizer que se a luz que propaga no guia tem uma largura espectral ∆λ, poderemos dizer que o alargamento de um pulso óptico com uma composição multimodal, será calculado por:

λ ∂ ∂ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ λ ∂ ∂ = σ N c L v 1 L g t (6.1-18)

Usando-se a eq.(6.1-15) chegamos a:

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ λ ∂ ∂ λ − λ ∂ ∂ = σ m m m tm n n 1 n c 1 (6.1-**)

Usando a eq.(6.1-**) podemos calcular a derivada em λ e obter:

2 m 2 tm n c _∂λ ∂ λ − = σ (6.1-**)

A fig. (6.1-7) ilustra o alargamento e um pulso óptico que é transmitido em um guia multimodo, causado pela diferença de propagação dos modos.

L ∆ t g v L t = 0 t = m =0 m =1 m =2

Fig.(6.1-7) - Ilustração do alargamento de um pulso óptico devido à diferença de velocidade de propagação dos diferentes modos envolvidos na transmissão do pulso. A área clara no pulso no tempo t=L/vg mostra o tamanho do

6.2 - Guia Metálico - Óptica Ondulatória

Antes de estudar guias de ondas formados por variações espaciais do índice de refração, vamos avançar um pouco mais em guias formados pelos espelhos planos paralelos. Consideraremos que o metal dos espelhos tenha uma condutividade infinita. Agora, vamos partir da solução da equação de ondas (3.2-1) e levaremos em conta o aspecto vetorial dos campos elétrico e magnético.

Tomemos em consideração duas possíveis configurações de campo, designadas por TE e TM. Na primeira o campo elétrico está orientado de modo paralelo à superfície metálica, enquanto na segunda é o campo magnético aquele que está orientado de forma paralela a esta superfície. Antes de analisarmos cada um destes casos, vamos deixar estabelecidas as condições de contorno a serem respeitadas pelos campos nas superfícies metálicas.

De uma forma geral as condições são:

E⊥=σ/ε (σ=densidade superficial de carga)

E⎟⎟ =0

B⊥=0

B⎟⎟ = i (i= corrente por unidade de comprimento)

onde ⊥ e ⎟⎟ identificam, respectivamente, as componentes dos campos perpendiculares e paralelos às superfícies.

6.2.1 - Modos TE

Estudaremos primeiro a configuracão TE para a qual, segundo a fig(6.1-1), E=Ej. Pelas leis de

Maxwell, o campo de indução magnética B terá duas componentes a saber: Bz e By

A equações de ondas para os campos elétrico e magnético serão:

0 t v 1 z y x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ E E E E (6.2-1) e 0 t v 1 z y x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ B B B B (6.2-2)

Para solucionarmos o problema, precisaremos resolver apenas a eq. (6.2-l). O campo de indução magnética é obtido a partir da lei de Faraday.

A solução da eq.(6.2-1) pode ser feita utilizando-se o método da separação das variáveis, se gundo o qual a solução será decomposto em duas partes: a espacial e a temporal. Com isto temos que o campo será dado por:

) t ( T ) z , y , x ( E ) t , z , y , x ( = E (6.2-3)

0 t T v E z E y E x E T 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂

onde suprimimos as variáveis do argumento para simplificar a notação. Dividindo-se a equação acima por ET temos

0 t T T 1 v 1 z E y E x E E 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂

Pelo método da separação das variáveis teremos a igualdade entre os termos dos colchetes, de vendo ser eles iguais a uma mesma constante, chamada de constante de separação das variáveis. Chamando esta constante por -ω2

, encontraremos as seguintes equações:

0 T dt T d ₂ 2 2 = ω + e 0 E k z E y E x E ₂ 2 2 2 2 2 2 = + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ onde se definiu kv = ω

A eq.(6.1-**) tem solução harmônica a do tipo:

t i oe T ) t ( T = ±ω

Como k= nko, para um meio de índice de refração n, temos:

0 E k n z E y E x E 2 o 2 2 2 2 2 2 2 = + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ (6.2-4)

A solução da equação (6.2-4) pode ser obtida, também, através do método da separação de variáveis, com o qual teremos:

) z ( Z ) y ( Y ) x ( X ) z , y , x ( E =

onde as funções X, Y e Z descrevem o campo, segundo as direções x, y e z, respectivamente. Substituindo-se na eq.(6.2-4) temos:

0 XYZ k n dz Z d XY dy Y d XZ dx X d YZ 2 2_o 2 2 2 2 2 2 = + + +

dividindo-se esta equação por XYZ, temos: 0 k n dz Z d Z 1 dy Y d Y 1 dx X d X 1 2 o 2 2 2 2 2 2 2 = + + +

Como o campo elétrico se propaga ao longo de z, sofre a ação dos espelhos ao longo da direção x e não tem nenhuma dependência ao longo de y, temos:

0 dy Y d 2 2 = cte k n dx X d X 1 dz Z d Z 1 2 2 o 2 2 2 2 2 ≡ β − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − =

Daí temos duas equações a resolver:

0 Z dz Z d ₂ 2 2 = β + e 0 X q dx X d 2 2 2 = + (6.5-6) com

(

2 2

)

o 2 2 k n q = −β (6.2-7)

As soluções das eqs.(6.2-5) e (6.2-6) serão:

( )

i z iz Be Ae z Z = β + −β (6.2-7)

( )

iqx iqx De Ce z X = + − (6.2-8)

Estas são as soluções gerais. Entretanto, algumas operações ainda devem ser feitas para chegarmos à solução final do problema. Quais? Primeiro temos de considerar as condições de contorno do problema envolvendo as duas direções, z e x.

• Solução Z(z)

Para o caso que estamos resolvendo, a luz está se propagando ao longo de z no sentido

positivo do eixo. Logo, só podemos ter β=kz positivo e a solução será:

( )

Z z

=

Ae

i zβ (6.2 -9)

• Solução X(x)

As reflexões nos espelhos, como sabemos, fazem as ondas se propagarem em x, tanto no sentido positivo quanto negativo. Logo, são possíveis as condições kx>0 e kx<0. Além disso temos

de respeitar às condições: X(0)=X(a)=0. Então, usando-se a eq.(6.2-8), encontramos:

para x=0 C+D=0 (6.2-10)

para x=a

Ce

iqa

+

De

−iqa

=

0

(6.2-11)

As eqs.(6.2-10) e (6.2-11) levam às seguintes relações: C

D=−

(

eiqa −e−iqa

)

=2isenqa=0

Esta última relação impõe ao valores de q uma condição quantizadora, qual seja qa=mπ ou

q

m

a

=

π

com m=1,2,3,...

A fim de já introduzirmos o conceito de modo fundamental, definido em geral para m=0, vamos redefinir a condição de quantização dos modos para:

(

)

a 1 m

q= + π agora com m=0, 1, 2, 3, ...

A solução para x será, pois:

( )

x 2iCsen

( )

qx X sen

( )

qx

X = = o (6-2-12)

onde chamamos: Xo=2iC.

Pelo que foi visto, anteriormente: Z

( ) ( )

zXx =Z_oX_osen

( )

qxeiβz e a solução total será:

(

)

( )

( )

i( z t) o t i z i o o y x,z,t Z X sen qxe e E sen qxe E = β −ω = β−ω (6.2-13)

A onda que se propaga ao longo de z é dada aqui por:

e

i

(

β ωz− t

)

. A solução mais geral é a combinação linear das duas soluções possíveis

(

_x,z,t

)

[

_{E sen}

( )

_{qx e}( )

]

[

_{E sen}

_{( )}

_qxe( )

]

[

_{E e}( ) _{E e} ( )

]

_sen

_{( )}

_qx

E_y = _o iβz−ωt + _o iβz−ωt ∗ = _o iβz−ωt + _o∗ −iβz−ωt

com o símbolo * indicando que estamos tomando o complexo conjugado da grandeza no qual ele se encontra. Um número complexo como Eo pode ser escrito na forma:

θ = i o o E e E Logo:

( )

[

( )₊ ( )

]

₌

_{( ) (}

_{β −ω +θ}

₎

=_{E sen qx e} β−ω+θ _e− β−ω+θ _{2E sen qx cos z t}

E_{y o} i z t i z t _o

O valor de θ que pode ser escolhido arbitráriamente uma vez que se trata de uma fase global da onda. Portanto o seu valor será escolhido de modo que cos(βz-ωt+θ)=cos(βz-ωt). sem haver maiores implicações sobre a generalidade da solução. Daí, teremos:

(

x,z,t

)

2E sen

( ) (

qx cos z t

)

E_y =− _o β −ω (6.2- 14)

Este resultado é igual àquele da eq.(6.1-4), obtido através de uma análise geométrica da trajetória dos raios,e sob duas imposições:a existência de interferência construtiva entre o raio e a condição de contorno dos campos elétricos serem nulos nos espelhos do guia.

Obtidas as soluções para o campo elétrico, poderemos calcular o campo de indução magnética, usando a Lei de Faraday. Tomando a eq.(6.2-14),faremos:

(

)

[

i t

]

y y i t z x k e x E i z E E e k B i B t ω ω ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∇ = + ∂ ∂ − x

igualando os termos de versores homônimos, e integrando no tempo, com as variáveis de espaço mantidas constantes, vem:

( ) (

qx cos z t

)

sen E B_{x o} β −ω ω β − =

( ) (

qx sen z t

)

cos E q B_{z o} β −ω ω − =

6.2-2 - Modos TM

Na configuração TM, a eq.(6.2-2) é resolvida de modo análogo ao que foi feito para a equação do campo elétrico no caso TE. Basta tomarmos a equação de onda com o campo de indução magnética substituindo o campo elétrico e as diferenças de resultados advém das condições de contorno nos espelhos. Fica para o leitor o desenvolvimento dos cálculos. Tomando-se:

( ) (

)

j

j

B=B_y =B_osenqx cosβz−ωt

e com a Lei de Ampére-Maxwell, chega-se às expressões das componentes do campo elétrico:

( ) (

qx cos z t

)

sen B c E _o 2 x β −ω ω β = (6.2-13)

( ) (

qx sen z t

)

cos B qc E _o 2 z β −ω ω = (6.2-14)

A condição de contorno, para o campo elétrico nas superfícies metálicas do guia, obrigam a fazermos Ez=0 para x=0 e x=a, levando a uma mesma equação de autovalores para os modos TM,

qual seja:

a

)

1

m

(

q

=

+

π

m=0, 1, 2, 3, ... (6.2-15)

A Tab.(6.2-1) apresenta um resumo de tudo que foi discutido acima. Nela encontraremos as expressões das componentes dos campos elétrico e magnético para as configurações TE e TM, referentes ao guia metálico planar. Na tabela também estão apresentadas as constantes de propagação longitudinal (β) e transversal (q) dos modos.

6.5 - Guia Dielétrico Laminar - Óptica Geométrica

No caso de um guia formado por espelhos, é fácil entendermos (ou aceitarmos) o fenômeno do confinamento da radiação entre as paredes do guia. Afinal, elas são dois espelhos e, refletindo a radiação, provocam o confinamento. No caso atual pode não parecer tão fácil se entender como a radiação é confinada. Afinal, não há mais

os espelhos do guia metálico. Entretanto, a capacidade dos espelhos refletirem a radiação, com a qual compreendemos o fenômeno do confinamento da radiação, permanece para o caso do guia dielétrico. Para isso, lembremos que neste guia há duas interfaces de separação entre meios de índices de refração diferentes. Nelas ocorre uma descontinuidade dos índice de refração e, como tal, cada interface tem a capacidade de refletir a radiação,

TE TM Ex Ey Ez 0 E0sen(qx)cos(βz-ωt) 0

( ) (

qx cos x t

)

sen B c o 2 ω − β ω β 0

( ) (

qx sen x t

)

cos B qc o 2 ω − β ω Bx By Bz

( ) (

qx cos z t

)

sen E_o β −ω ω β − 0

( ) (

qx sen z t

)

cos E q o β −ω ω − 0 0

( ) (

qx cos z t

)

sen B_o β −ω onde: _{q m}

(

m

)

a = +1 π; m=0 1, ,2... e

(

)

(

)

(

)

2 a 1 m 2 o nk 2 m q 2 o nk 2 m ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + π − = − = β

Tab.(6.2-1) -Solução dos modos TE e TM para um guia metálico planar.

αi a meio 1 n1 meio 3 n3 meio 2 n2 núcleo casca casca

Fig.(6.5-1) -Guia de onda dielétrico constituido de duas regiões básicas núcleo e casca. Na figura está indicado um raio de luz sofrendo reflexão total.

eletromagnética através do processo reflexão total. Esta capacidade de reflexão, como sabemos, depende do ângulo de incidência da radiação e dos valores dos índices de refração dos meios envolvidos. Em geral a refletividade é parcial, indicando que uma porção de energia sairia do guia, perdendo-se espaço afora. No entanto, caso a luz incida de um meio de índice de refração maior (nn)

para outro de menor valor (nc),e com um ângulo de incidência igual ou maior do que o ângulo

critico θc, ela será totalmente refletida. Tal ângulo critico é determinado pela Segunda lei de Snell

que leva a:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

θ

− n c 1 c

n

n

sen

(6.5-1)

Desta maneira, mesmo não sendo um espelho metálico, é possível haver a reflexão total da radiação na interface entre os dois meios dielétricos. Com tal reflexão o confinamento da radiação eletromagnética em um guia, construído com materiais dielétricos, é perfeitamente possível. Mas só a reflexão total não garante a existência de um modo propagante no guia, também se exige um processo adequado de interferência construtiva da radiação em constante reflexão total dentro dele, como ocorre em um guia metálico planar.

________________________________________________________________________________

Exemplo (6.5-1) - Calcular o maior ângulo de incidência de um raio de modo que seja refletido totalmente na interface núcleo-casca.

Solução:

Para solucionar o problema vamos primeiramente considerar a fig.(6.5-2) na qual poderemos visualizar a situação de um raio de luz que penetra no guia nas condições de reflexão total na interface núcleo-casca.

De princípio podemos dizer que, de acôrdo com a segunda lei de Snell, a refração na entrada do guia nos leva à expressão:

1 n a

msen n sen

n θ = θ (6.5-2)

sendo nm o índice de refração do meio externo ao guia.

Como o raio de luz está na condição de reflexão total na interface núcleo-casca, podemos dizer que a segunda lei Snell nos permite escrever a relação:

n c c n n senθ = (6.5-3)

que é a eq.(6.5-1). Por outro lado, os ângulos θ1 e θc são complementares de modo que senθ1=cosθc,

o que nos permite escrever:

θc meio 1 n₁ meio 3 n3 meio 2 n2 núcleo casca casca θa θ1

Fig.(6.5-3) - Raio de luz incidindo na entrada do guia na condição de reflexão total na interface núcleo-casca.

2 c 2 n m 1 2 m n a n n n 1 cos 1 n n senθ = − θ = − (6.5-4) e temos pois ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ = θ − m 2 c 2 n 1 a n n n sen (6.5-5)

O ângulo θa é conhecido como abertura numérica do guia de ondas, e o seu significado é

aquele do enunciado do problema. Para fixação de valores a fig.(6.5-7) apresenta o comportamento da abertura numérica em função da diferença entre os índices de refração do núcleo e da casca. Os valores da figura foram calculados para nn=1,46 e diferentes valores do índice de refração do meio

externo nm.

Em termos práticos, a abertura numérica informa qual a abertura angular do pincel de luz que o guia é capaz de ser acoplado com o guia. Como sabemos, na prática, as fontes de luz emitem sua radiação preenchendo um certo ângulo sólido. As lâmpadas de filamento comuns, iluminam em quase todas as direções, conquanto a intensidade luminosa possa variar coma orientação angular. Já em um laser de semicondutor a luz é emitida segundo um cone de base elíptica, com ângulos de algumas dezenas de graus. Assim sendo, se queremos acoplar a luz de uma dessas fontes com o guia que estamos estudando, a eficiência deste acoplamento dependerá da abertura angular de emissão da fonte e da abertura numérica do guia.

________________________________________________________________________________

6.5-1 - Solução Geométrica do Guia Dielétrico Laminar

Para entendermos em que condições a luz pode propagar em um guia dielétrico planar simétrico, na forma de um modo deste guia, vamos usar, primeiramente, o tratamento da Óptica Geométrica. Vamos refazer o que fizemos no caso de um guia formado por espelhos. Tomemos a fig.(6.5-4), na qual está ilustrado um guia dielétrico simétrico. O índice de refração da lâmina central (núcleo do guia) é nn e a das adjacentes (camadas confinadas) tem o mesmo valor de índice

de refração nc.

Consideremos um raio luminoso, designado por I, incidindo com um angulo de incidência αi em relação à superfície. Seja αi tal que o seu complementar θi para os meios nn e nc, seja maior

do que o ângulo critico θc. Tomemos também um segundo raio designado por II, paralelo ao raio I,

e com mesmo ângulo de incidência α. Como está visível na fig.(6.5-1), quando o raio I, atingir a interface em y = a, o segundo raio (II) ainda se encontra a uma distância

CB

da interface. Quando

θ

_a (graus)

(

n

n

−

n

c

)

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0 2 4 6 8 10 nm=1,0 _n m=1,5 _n m=2,0

n

_n

=1,46

Fig.(6.5-4) - Abertura numérica de um guia dielétrico laminar simétrico, em função da diferença entre os índices de refração do núcleo e da casca, e para diferentes valores de índice de refração do meio externo ao guia. O valor de nn usado nos cálculos está

este raio atingir a interface supra mencionada, o raio I já terá atingido a outra interface no ponto E. No ponto A, local da primeira reflexão do raio I, ele e o raio II estavam sobre uma mesma frente de fase, fato que volta a se repetir quando o primeiro raio se encontra no ponto E, após a segunda reflexão.

Então vem a pergunta. Qual a condição a ser satisfeita pelos dois raios em discussão, a fim de que ambos pertençam à mesma frente de onda ? Isto significa dizer: os dois raios pertencem a um mesmo modo. Para responder a esta pergunta, vamos acompanhar os eventos a partir da frente

AD

até a

BE

.

Raio I - (reflete em A) + (percorre a distância

AE

) + (reflete em E)

Raio II - (percorre a distância

CB

)

Com isto podemos calcular as mudanças de fase sofridas por ambos os raios na região hachurada da fig.(6.5-1). A cada reflexão ocorre uma mudança de fase cujo valor é dado pelo

coeficiente de reflexão R = R0eiφ . A variação de fase está contida no termo φ. Cada caminho óptico,

percorrido pelas ondas, introduz uma alteração de fase. Elas podem ser calculadas por:

i o n o n sen a k n E A k n α = (6.5-1)

(

2 1

)

i o n i o n o n

k

C

B

n

k

A

B

cos

n

k

d

d

cos

n

=

α

=

−

α

(6.5 -2) Desde que

(

)

_⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

α

−

α

=

α

−

α

=

−

=

_{2 1 i}

tg

_i

tg

1

a

atg

tg

a

d

d

B

A

(6.5 -3) e i i o n o n

tg

cos

tg

1

a

k

n

B

C

k

n

_⎟⎟

α

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

α

−

α

=

(6.5 -4) Raio I Raio II α_i α_i A B D C d1 d2 E a meio 1 n1 meio 3 n3 meio 2 n2

a diferença de fase δ, entre os dois raios, será: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ α ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ α − α − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ φ + α = δ _{n o i i} i o n tg cos tg 1 a k n 2 sen 1 a k n (6.5-5)

Se eles pertencem à mesma frente de onda, δ deve ser sempre igual a 2mπ (m=0, 1,2,...), pois

e

i

(

2mπ

)

=

1

. Com isto escreveremos:

π = φ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ α ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ α − α − α tg tg cos 2 2m 1 sen 1 a k n _{i i} i o n (6.5-6) Como: i i i i i 2 i 2 i i i i sen 2 cos cos sen sen cos sen 1 cos tg tg 1 sen 1 α = α α α α − α − α = α ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ α − α − α (6.5-7) temos : i o nk asen n mπ− α = φ (6.5-8)

Entretanto, a fase φ depende da polarização do campo incidente. Assim haverá dois possíveis valores para esta grandeza, a saber:

(

)

(

)

⎥⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ β − − β − = φ − 2 1 2 2 o 2 n 2 1 2 o 2 c 2 1 TE k n k n tg 2 para os modos TE (6.5-9)

(

)

(

)

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

β

−

−

β

−

=

φ

− 2 1 2 2 o 2 n 2 1 2 o 2 c 2 2 n 2 c 1 TM

k

n

k

n

n

n

tg

2

para os modos TM (6.5-10)

Façamos as seguintes definições:

i o nk cos n α = β (6.5-11)

(

)

2 n o i 1 2 2 o 2 n

k

n

k

sen

n

q

=

−

β

=

α

(6.5-11)

(

) (

[

)

]

2 1 2 2 o 2 c 2 n 2 1 2 o 2 c 2

q

k

n

n

k

n

p

=

β

−

=

−

−

(6.5-12)

Com elas temos que

(

)

[

2 2

]

o 2 c 2 n 2 2

q

k

n

n

q

p

+

=

−

−

(6.5-13)

Substituindo-se as eqs.(6.5-11) e (6.5-12) nas eqs. (6.5-9) e (6.5-10) teremos

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

φ

−

q

p

tg

2

1 TE e

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

φ

−

q

p

n

n

tg

2

₂ n 2 c 1 TM

Usando estas duas equações na eq.(6.5-8) obtemos as condições que determinam a propagação de um modo do guia dielétrico para as configurações TE e TM. Elas serão:

tg qa

m

tg qa

p

q

(

−

π

)

=

(

)

=

(TE) (6.5-13)

tg qa

m

tg qa

n

n

p

q

c n

(

−

)

=

(

)

=

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

π

2 2 (TM) (6.5-14)

Quando é par (m=0,2,9...) tg(qa-mπ)=tg(qa), enquanto quando m é ímpar (m=1,3,5...) teremos tg(qa-mπ)=-ctg(qa). Desta forma tanto os modos do tipo TE quanto TM possuem dois sub-conjuntos de modos, normalmente designados por modos pares para o caso de valores pares de m e modos ímpares para o outro caso.

As eqs.(6.5-13) e (5.5-14) são chamadas de equações transcendentais uma vez que não há forma direta de resolvê-las a não ser por meios numéricos. Para resolvê-las, se expressa p em função de q, usando-se a eq.(6.5-12), fazendo a equação ter apenas uma variável, no caso o q. Resolvendo-as se obtem quais os possíveis valores de q são permitidos para o guia. Cada um destes valores corresponde a um modo guiado. De posse dos valores de q se pode calcular os outros parâmetros modais p e β. A tab.(6.5-1) apresenta as equações transcendentais dos modos pares e ímpares referentes às configurações TE e TM.

No caso do guia planar dielétrico, antes de estudarmos as questões de dispersão e tempo de atraso, vamos realizar a análise ondulatória.

Exemplo:

Obter a velocidade de grupo para um modo de um guia laminar dielétrico a partir da eq.(6.5-8). PAR ÍMPAR TE _q p ) qa ( tg = q p ) qa ( ctg = − TM ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = q p n n ) qa ( tg 2 n 2 c ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − q p n n ) qa ( ctg 2 n 2 c

Solução:

Tomando-se a eq.(6.5-8) vamos escrevê-la na forma

φ − π = β − ω m c n a 2 2 2 2 o _(6.5-15)

usando-se a eq.(6.5-11). Sabendo-se que φ é uma função de ω, derivemos a eq.(6.5-15) de modo que obteremos: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ β ∂ ω ∂ ω ∂ φ ∂ + β ∂ φ ∂ − = β − ω β − β ∂ ω ∂ ω 2 2 2 2 o 2 2 o c n c n a (6.5-16)

Um certo tratamento algébrico nos permite escrever

ω ∂ φ ∂ + ω β ∂ φ ∂ − β = 2 2 o g c n q a q a v (6.5-17)

Tomando-se as eqs.(6.5-11) e (6.5-12) podemos escrever a eq.(6.5-17) na forma:

ω ∂ φ ∂ + θ β ∂ φ ∂ − θ = o i i g n / c sec a atg v (6.5-18)

Faremos as seguintes definições:

z ∆ − = β ∂ φ ∂ (6.5-19) τ ∆ = ω ∂ φ ∂ (6.5-20)

Com as eqs.(6.5-19) e (6.5-20) podemos escrever

τ ∆ + θ ∆ + θ = o i i g n / c sec a z atg v (6.5-21)

Que interpretação podemos dar ao resultado obtido? Observemos a fig.(6.5-5) Nela vemos que a trajetória de um raio de luz sofrendo reflexão na interface entre o núcleo e a casca deveria avançar em z de uma distância Lo, enquanto o tempo consumido neste avanço seria asecθi/(c/no), que é o

tempo de subida do raio da interface inferior até a superior. Isto levaria a uma velocidade de grupo dada por: o i i g n / c sec a atg v θ θ = (6.5-22)

Mas isto se diferencia do resultado obtido anteriormente. Observamos que o comprimento percorrido ao longo de z está acrescido de um acréscimo ∆z e também o tempo consumido tem um acréscimo ∆τ. Isto pode ser entendido como se a reflexão total tenha ocorrido não na interface mas em um ponto P

além da interface, como se o raio penetrasse ∆a casca adentro. É uma antecipação, obtida no âmbito da óptica geométrica, da existência do efeito do tunelamento fotônico que analizaremos adiante na análise ondulatória do guiamento da luz em um guia dielétrico planar.

6.6 - Guia Dielétrico Laminar – Óptica Ondulatória

Porque resolvermos o guia dielétrico com a Óptica Ondulatória? Esta é uma pergunta que devemos responder antes de fazermos esse esforço matemático. Em primeiro lugar, a solução do guia dielétrico, no enfoque da Óptica Geométrica, não permite que se obtenha determinados detalhes de importância prática, como, por exemplo, a questão da distribuição espacial dos modos. Esta, como veremos, mostrará a existência de luz além da interface núcleo-casca, o que é de fundamental importância do ponto de vista prático.

Muitas vezes achamos que a luz está contida dentro do núcleo e pensamos não haver luz na casca. Esta falha de visualização surge a partir da análise geométrica quando usamos a famosa figurinha da reflexão total, a fig.(6.5-1). Devido a tal visualização, somos, operacionalmente, tentados a pensar que a preservação física do núcleo do guia é o que importa, já que é lá que a luz está. E isto é falso, pois a luz se espalha na casca. Aliás! a casca faz parte do guia, e sem ela, só com um núcleo, não há o guia de ondas.

6.6-1 - Solução Ondulatória do Guia Dielétrico Laminar

Vamos discutir o guia de ondas formado por camadas de material dielétrico, usando a equação de ondas. Em um guia laminar dielétrico o índice de refração tem os seguintes valores:

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ ≤ a x n a < x < a n -a x n = n(x) c n c αi a L ∆z Lef ∆a θi

Fig.(6.5-5) – Trajetória do raio de luz de um modo em umguia dielétrico planar. Nela fica indicado o percurso efetivo na direção longitudinal.

Analisaremos a solução ondulatória do guia para o caso dos modos TE. Segundo o sistema de coordenadas apresentado na fig.(6.6-1), teremos:

E=Ej (6.6-1)

A equação de ondas para o campo elétrico será:

∂

∂

∂

∂

2 2 2 2 2 2

0

E

x

E

z

n k E

o

+

+

=

(6.6-2) onde ∂2_E/∂y2

=0,porque a onda se propaga ao longo de z e só há variação do índice de refração ao longo de x. Será assumido que a solução terá uma dependência temporal harmônica e a equação de onda, portanto, ficará: 0 E k n z E x E 2 o 2 2 2 2 2 = + ∂ ∂ + ∂ ∂ (6.6-3)

Neste caso, como n é uma função de x, teremos de resolver a equação de onda (6.6-3) para as três regiões x≤-a,-a<x<a, x≥a. Isto nos dará:

0

E

k

n

z

E

x

E

2 o 2 c 2 2 2 2

=

+

∂

∂

+

∂

∂

x≤-a (6.6-4)

0

E

k

n

z

E

x

E

2 o 2 o 2 2 2 2

=

+

∂

∂

+

∂

∂

-a<x<-a (6.6-5 )

0

E

k

n

z

E

x

E

2 o 2 c 2 2 2 2

=

+

∂

∂

+

∂

∂

x≥a (6.6-6)

Pelo método de separação da variáveis, teremos: E(x,y)=X(x)Z(z). A dependência em z, como já se sabe, será do tipo:

z i o

e

Z

)

z

(

Z

=

β (6.6-7)

Substituindo-se a eq.(6.6-7) nas equações do campo (eqs.(6.6-4) a (6.6-6)), teremos:

(

n k

)

X 0 x X _{2 2} o 2 c 2 2 = β − + ∂ ∂ _x≤-a (6.6-8)

(

n k

)

X 0 x X _{2 2} o 2 n 2 2 = β − + ∂ ∂ -a<x<-a (6.6-9) E a -a x y z n_n n_c n_c

Fig.(6.6-1) – Ilustração de um guia dielétrico planar e o sistema de coordenadas usado para a orientação do campo elétrico de um modo TE.

(

n k

)

X 0 x X 2 2 o 2 c 2 2 = β − + ∂ ∂ x≥a (6.6-10)

Como o indice de refração tem uma variação simétrica, as soluções para essas equações poderão ser de dois tipos: pares, para as quais X(x)=X(-x), e ímpares quando X(x)=-X(-x). Tal circunstância de modos pares e ímpares já foi observada na solução geométrica. As pares serão do tipo:

px px

Be

Ae

)

x

(

X

=

+

− x≤-a (6.6-11)

)

qx

cos(

C

)

x

(

X

=

-a<x<-a (6.6-12) px px

Ee

De

)

x

(

X

=

+

− x≥a (6.6-13)

enquanto as impares serão:

px px

Be

Ae

)

x

(

X

=

+

− x≤-a (6.6-14)

)

qx

sen(

C

)

x

(

X

=

-a<x<-a (6.6-15) px px

Ee

De

)

x

(

X

=

+

− x≥a (6.6-16) ‰ Soluções pares

Se queremos um campo confinado na região central do guia, os coeficientes B e D deverão ser nulos. Senão. quando x→±∞ o campo tenderá para infinito. Assim sendo, as expressões ficarão:

px

Ae

)

x

(

X

=

x≤-a (6.6-17)

)

qx

cos(

C

)

x

(

X

=

-a<x<-a (6.6-18) px

Ee

)

x

(

X

=

− x≥a (6.6-19)

Para que este conjunto de equações seja uma solução possível do problema, vamos substituí-lo na equação de ondas e verificar que condições os parâmetros p, q e β deverão satisfazer as eqs.(6.5-11) a (6.5-13), apresentadas anteriormente. Por outro lado, as soluções deverão ser tais que, tanto o campo elétrico quanto as suas derivadas, sejam contínuos nas interfaces x=+a. Estas duas condições nos darão:

qa

cos

C

Ae

−pa

=

(6.6-23)

qa

cos

C

Ee

−pa

=

(6.6-24)

qa

sen

Cq

Ape

−pa

=

(6.6-25) qa sen Cq Epe−pa = (6.6-26)

Disto, resulta a condição A=E. Quadrando e somando as eqs.(6.6-23) e (6.6-24), obtemos a relação entre os coeficientes A e C:

C

n

n

qe

)

1

(

C

q

p

qe

)

1

(

A

2 c 2 n pa u 2 2 pa u

−

−

=

+

−

=

(6.6-27)

onde u=(m/2) para os modos pares. O mesmo resultado é obtido para os modos ímpares fazendo-se u=(m-1)/2. O valor do sinal está ligado ao quadrante da solução Dividindo-se a segunda pela primeira, segue:

qa

a

q

a

k

)

n

n

(

q

p

)

qa

(

tg

2 2 2 2 o 2 c 2 n

+

−

=

=

(6.6-28)

Pela eq.(6.6-28), podemos observar que o parâmetro q só poderá assumir os valores obtidos com a solução desta equação transcendental. Cada um dos valores corresponde a um modo de propagação, como já obtivemos na análise geométrica.

A fig.(6.6-3) apresenta as funções da eq.(6.6-28) envolvidas na equação transcendental que determina os valores de q que são soluções pares do guia dielétrico planar, as quais são encontradas nos quadrantes ímpares. Na mesma figura estão as funções que determinam as soluções ímpares, obtidas resolvendo-se a eq.(6.6-37), estas, obtidas nos quadrantes pares.

As figs.(6.6-3) apresentam a distribuição dos modos pares referentes a m=0 (fundamental) e m=2. 0 π/2 π 2 π 5π/2 3π qa/2 I II III IV V VI 3π/2

q

p

tg(qa)

Fig.(6.6-3) – Solução gráfica dos modos pares Os círculos indicam onde as funções se cruzam determinando os valores de q que são solução das equações transcedentais.

m = 0 m = 2

Fig.(6.6-3) – Distribuição da intensidade dos campos dos modos pares de um guia de onda

Nelas a região escura indica o núcleo do guia laminar; conforme se vê, os modos não estão contidos dentro do núcleo mas se espalham fora deste. Ou seja, conquanto haja reflexão total nas interfaces entre o núcleo e a casca do guia, o campo tunela para fora do primeiro.

Um erro que não se deve cometer é o de se achar que a luz dentro do núcleo é uma e a na casca é outra. Ambas fazem parte de uma única estrutura de luz, chamada modo. Para exemplificar, consideremos que há um de feito na casca. Seja um defeito no material, como uma minúscula bolha de ar, que cause espalhamento da luz propagante casca. Numa primeira aproximação podemos pensar que apenas a luz da casca será espelhada. Mas isto não é verdade, o modo como um todo será afetado. Isto é, tanto a luz da casca quanto a do núcleo sofrerá espalhamento.

‰ Soluções ímpares

Para as soluções impares teremos B=D=0, devido a convergência do campo quando x→±∞. Além disso obtemos também as já conhecidas relações para q, p e β. As condições de contorno nas interfaces nos darão:

qa

sen

C

Ae

−pa

=

−

(6.6-33)

qa

sen

C

Ee

−pa

=

(6.6-34)

qa

cos

Cq

Ape

−pa

=

(6.6-35)

qa

cos

Cq

Epe

−pa

=

(6.6-36)

Disto, resulta a condição A=-E e a equação transcendental:

qa

a

q

a

k

)

n

n

(

q

p

)

qa

(

ctg

2 2 2 2 o 2 c 2 n

+

−

−

=

−

=

(6.6-37)

Resolvendo-a se obtém os valores de q referentes aos modos que podem propagar no guia bem como outros dois parâmetros, a saber: p e β. A fig.(6.6-4) apresenta a solução gráfica dos modos ímpares, estando indicados os pontos de intersecção entre as funções -ctg(qa) e (q/p) que compõem a equação transcendental. 0 π/2 π 2 π 5π/2 3π qa/2 I II III IV V V I 3π/2 q p -ctg(qa)

Apenas está apresentada a parte positiva da função cotangente, pois esta é a parte que intersecciona com a função (q/p), correspondente ao lado direito da função transcendental.

Na fig.(6.6-5) está graficada a distribuição de campo do primeiro modo impar, m=1. Como se pode ver nesta figura, ao contrário dos pares, o modo ímpar se anula no ponto x=0. Outro fato a se observar, é que o número de pontos regulares (máximos e mínimos) é par; no caso do modo 1 são dois pontos regulares.

Já para os modos pares há um número ímpar de pontos regulares isto pode ser visto com facilidade observando-se a fig. (6.6-3).

6.6-1 – Tunelamento Fotônico

Faz-se necessário se comentar o sentido do parâmetro p que surgiu nas soluções apresentadas. Tal parâmetro se refere à parte da solução que está fora do núcleo, portanto correspondente à penetração de luz na casca ao longo do guia. Observemos a fig.(6.6-5), na qual estão apresentados a distribuição de campo dos modos par m=0 e ímpar m=1, bem como as intensidades correspondentes de luz numa secção transversal do guia (visão frontal), por exemplo na saída do guia.

m = 1

Fig.(6.6-5) – Distribuição da intensidade do campo do primeiro modo ímpar de um guia de onda laminar. A região escura indica o núcleo do guia e a linha tracejada indica o meio do núcleo.

MODO PAR m=0 MODO ÍMPAR m=1

VISÃO FRONTAL VISÃO FRONTAL

núcleo casca casca

VISÃO LATERAL VISÃO LATERAL

Intensidade Intensidade

núcleo casca casca

Fig.(6.6-2) –Distribuição de campo na direção transvesrsal e intensidade de luz na saída do guia para os modos par (m=0) e ímpar (m=1).

Podemos, mais uma vez perceber que um modo guiado é uma estrutura de campo eletromagnético que não se encontra apenas dentro do núcleo do guia, mas também fora dele (na casca).

A penetração de luz na casca, além da sua interface com o núcleo, é chamada de tunelamento fotônico e tem um comportamento evanescente, quantificado pelo decaimento exponencial da intensidade de campo na casca do guia. Dado ao comportamento exponencial do campo dentro da casca, o comprimento da penetração pode ser medido usando-se como valor da penetração a distância para a qual o campo decai de seu valor na interface entre o núcleo e a casca (A) até o valor igual a (Ae-1). Tomando a solução na casca (eq.(6.***), deduz-se que tal distância é dada por L=1/p. Portanto, quanto menor for p maior será esta penetração.

Para visualizarmos o que acabamos de comentar vamos considerar o modo par m=0, como mostra a fig.(6.6-6). Na figura, a ilustração torna bem visível o iluminamento do guia pelo campo do modo e a penetração da luz na casca.

Uma aplicação prática desses conhecimentos de tunelamento fotônico pode ser no uso do guia como um sensor. Tomemos, para exemplificar, o guia que estamos analisando, Consideremos também, que em um dado momento, por alguma razão cuja origem não iremos apreciar aqui, ocorra uma variação de índice de refração fora do núcleo. Entretanto, dentro de uma pequena região próxima à interface núcleo-camada =]alcançada pela parte do modo que se propaga na região exterior ao núcleo. Embora seja o rabo do modo que entra em contato com a perturbação fora do núcleo, todo o modo

poderá detectar tal variação. E isto provocará alterações nele como um todo. Por exemplo, levando-o a ter espalhamentlevando-o de luz na regiãlevando-o próximlevando-o à perturbaçãlevando-o. Clevando-om istlevando-o, haverá lançamento de luz guiada fora do guia e conseqüente queda na intensidade de luz que se estava obtendo na extremidade oposta à de lançamento.

6.7 – Guiamento com Perfis Graduais de Índice de Refração

Nesta seção vamos analisar a

propagação de ondas em meios nos quais o índice de refração varia no espaço, fazendo com que o meio seja chamado não-homogêneo. Um exemplo disto é o caso de estradas em dias de muito calor. Ao olharmos a estrada adiante do carro nos parece que o céu está refletido no asfalto, o que nos dá a impressão de um espelho. A fig.(6.7-1) ilustra este fato cuja explicação está na variação espacial do índice de refração do ar. Devido à incidência da luz solar sobre o asfalto, ou qualquer chão que aqueça, forma-se um gradiente decrescente de temperatura de baixo para cima. Quanto mais quente o ar menos denso

Aepx Ae-px p 1 x= cos(qx) Ae-1 A

Fig.(6.6-6) – Distribuição de campo modal para m=0 junto com a ilustração da intensidade de luz no guia (visão frontal). Estão indicadas as soluções na casca e núcleo do guia, os valores do campo na interface núcleo-casca e a umaa distância x=1/p. As setas indicam a penetração da luz na casca do guia.

ele é, significando que há uma menor quantidade de átomos por unidade de volume. Relembrando as discussões do cap.2, é fácil percebermos que menor será índice de refração do ar aquecido. Desta forma, o índice de refração do ar terá um gradiente de valores que seguirá o da sua temperatura. Com isto os raios de luz que vêm do céu com a imagem da nuvem, conforme a fig.(6.7-1) percorrerão uma trajetória curvilínea terminando por se deslocar para cima. Com isto, os olhos do observador, exergando em linha reta, terão diante

de si uma imagem do céu que aparentemente se reflete no chão. A miragem está formada.

Explicado qualitativamente o efeito miragem, vamos aprofundar a nossa análise a fim de termos conseqüências quantitativas. Faremos isto analisando a trajetória de um raio de luz propagando-se em um meio cujo índice de refração varia espacialmente de forma estratificada, como indica a fig.(8.1-6). Vamos considerar que o raio de luz esteja contido no plano perpendicular às lâminas de índice de refração. Consideremos também que o raio de luz esteja incidindo no meio estratificado com um ângulo de inclinação θi=θo.

Para fins de cálculo, imaginemos que esse meio esteja dividido em camadas, infinitesimais, representadas na fig.(8.1-6) de forma ampla para facilitar o entendimento. Aplicando-se a Segunda lei de Snell, podemos dizer que, na primeira camada estratificada, o feixe é refratado formando um angulo θ1 com a normal. Na segunda camada ele é novamente refratado de forma que chega à

terceira com um angulo θ2 com a normal e assim por diante. Isto nos levaria às seguintes condições:

nosenθo= n1senθ1

n1senθ1 = n2senθ2

nn-1senθn-1 = nnsenθn

O que nos permite escrever:

n(x)senθ(x)≡nosenθo≡β≡const. (8.1-17)

A trajetória do feixe pode ser descrita por uma função do tipo x=f(z). Em qualquer ponto, a inclinação da trajetória, em relação ao eixo z, é obtida com via a derivada df(z)/dz. Em relação à normal o angulo será θ e pode ser relacionado com a derivada da função y=f(z) por:

θ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛π_−θ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ctg 2 tg dz dx θi θ2 θ3 θ4 θ5 n1 n2 n3 n4 n5 nn z x

n(x)

Logo: θ = ctg dx dz

Integrando-se esta última equação, segue:

∫

_θ + = x x o octg dx z z

Pela definição de ctg podemos escrever :

∫

− θ + = x x 2 o 0 1 sen 1 dx z z

e usando a eq.(8.1-17) obtemos:

( )

(

)

∫

β − β + = x x 2 1 2 2 o o x n dx z z (8.1-18)

É importante observarmos que a condição n(x)= β na eq.(8.1-16) nos levara a senθ(x)= 1 e, consequentemente, θ(x)=π/2. O ponto x=xt no qual isto ocorre é chamado de turning point (ponto

de retorno), pois nele o raio muda de sentido de propagação no eixo x, "voltando" trocando o sentido da sua propagação ao longo da direção x. Além deste ponto xt não é permitida a propagação

do raio. Isto é constatado observando-se que o turning point é o ponto em que o radicando na eq.(8.1-16) se anula e para valores de x>xt os valores de z seriam imaginários puros. Logo, não

havendo uma trajetória real. Aqui vemos a explicação quantitativa da mudança de direção sofrida pelos raios de luz que vinham do sol, passando a se deslocar de baixo para cima, como foi discutido no caso da miragem da fig.(*****).

6.7-1 – Guiamento com Perfil Parabólico de Índice de Refração

Obtido o resultado acima, vamos aplicá-lo a um meio cujo índice de refração varie parabolicamente. Em outras palavreas, seja um meio cujo índice de refração tenha a seguinte depen dência espacial, ao longo de uma direção x:

( )

2 2 2

o

2 _{x n a x}

n = − (8.1-19) Logo, o índice de refração tem um valor máximo em x=0. O parâmetro a mede a intensidade da variação de n com x. Substituindo-se a eq.(8.1-19) na eq.(8.1-18), vem:

(

)

(

)

(

)

∫

∫

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ β − − β − β + = − β − β + = x x 2 1 2 2 2 o 2 2 1 2 2 o o x x 2 1 2 2 2 2 o o 0 o x n a 1 dx n z x a n dx z z