Aula Matrizes

(1)

Matrizes

(2)

b x a x a x a11 2 2... n n a1x1a2x2...anxnb

• Organização de dados em Tabelas

(3)

• Matrizes

• As matrizes constituem um agrupamento de números,

geralmente extraídos de uma tabela de dados

.

Os

números são chamados entradas da matriz.

• São dispostas em (m) linhas e (n) colunas.

• Representação

• Os elementos de uma matriz A

_mxn

é representado por a

_ij

,

no qual o índice i refere-se à linha em que se encontra

tal elemento e o índice j refere-se à coluna.

• 1  i  m e 1  j  n.

(4)

• Exemplos

Matrizes

B= (1 3 7)

(5)

• Diagonal Principal

• Considere uma matriz quadrada A de ordem n:

• Os elementos de A cujo índice da linha é igual ao índice

da coluna são os elementos da

diagonal principal

.

(6)

• Diagonal Secundária

• Considere uma matriz quadrada A de ordem n:

• Os elementos de A cuja soma dos índices da linha e da

coluna é igual a n + 1 são os elementos da

diagonal

secundária

.

(7)

• Notação

• Indicaremos por M

_mxn

(R) o conjunto das matrizes reais

mxn. Se m = n, ao invés de M

_nxn

(R), usa-se M

_n

(R).

Cada matriz M

_n

(R) chama-se matriz quadrada de

ordem n;

• Em contraposição, quando m  n, uma matriz mxn se

diz retangular;

• Uma matriz 1x1 (a

₁₁

) se identifica com o número real

a

₁₁

.

(8)

• Igualdade de matrizes

• Considere duas matrizes reais mxn : A = (a

_ij

) e B = (b

_ij

).

Dizemos que A = B se, e somente se, a

_ij

= (b

_ij

).

• Exemplo

•

(9)

• OPERAÇÕES COM MATRIZES

• I) Adição

Dadas duas matrizes A = (a

_ij

)

_mxn

e B = (b

_ij

)

_mxn

, a matriz

soma A + B é a matriz C = (c

_ij

)

_mxn

em que c

_ij

= a

_ij

+b

_ij

para todo i e todo j.

• Exemplo

(10)

• Propriedades

• a) Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C,  A, B e C  M_mxn (R); • b) Comutativa: A + B = B + A,  A e B  M_mxn (R);

• c) Elemento neutro:  0  M_mxn (R), tal que A + 0 = A,  A  M_mxn (R);

• d) Oposto:  (-A)  M_mxn (R), tal que A + (-A) = 0,  A  M_mxn (R).

• Exemplo

• Determine a matriz X, tal que X – A + B = C, em que A, B e C são matrizes do mesmo tipo.

(11)

• Resolução

• Usando as propriedades, temos: X – A + B = C X – A + B + (-B) = C + (-B) X – A + 0 = C - B X – A + A = C – B + A X + 0 = C – B + A X = C – B + A

Matrizes

(12)

• II) Multiplicação de uma matriz por um número real

Considere a matriz A = (a_ij)_mxn e um número real . O produto de  por A é uma matriz real m x n dada por:

• Exemplo

(13)

• Propriedades

• a) (.).A = .(.A); • _{b) (+).A = .A + .A;} • c) .(A + B) = .A + .B; • d) 1.A = A.

• Quaisquer que sejam as matrizes A e B e quaisquer que sejam os números reais  e .

(14)

• III) Multiplicação de matrizes

Dadas duas matrizes A = (a_ij)_mxn e B = (b_jk)_nxp,o produto A.B é a matriz m x p cujo termo geral é dado por:

• O elemento c_ik é obtido:

• tomando-se ordenadamente os n elementos da linha i da matriz A: a_i1, a_i2, ..., a_in;

• tomando-se ordenadamente os n elementos da coluna k da matriz B: b_1k, b_2k, ..., b_nk;

• multiplicando o 1.° elemento de A pelo 1.° elemento de B, o 2.° elemento de A pelo 2.° elemento de B e assim sucessivamente; • somando os produtos obtidos.

Matrizes

nk in k i jk n j ij ik

a

b

a

b

a

b

c

.

₁

.

₁

...

.

1









(15)

• Notas

A definição garante a existência do produto A.B quando

o número de colunas de A é igual ao número de linhas

de B;

A matriz C=A.B possui o número de linhas de A e o

número de colunas de B.

(16)

• Notas

Note que, embora A.B exista, B.A não existe, pois:

Exemplo

Sejam as matrizes: e

então:

Matrizes

       2 1 0 0 1 2 A            1 0 1 0 0 0 5 4 3 B

















1 .

2

0 .

1

5 .

0

0 .

2

0 .

1

4 .

0

1 .

2

0 .

1

3 .

0

1 .

0

0 .

1

5 .

2

0 .

0

0 .

1

4 .

2

1 .

0

0 .

1

3 .

2 .B

A















2

0

2

10

8

6 .B

A

(17)

• Notas

É possível que exista A.B e B.A, e eventualmente pode acontecer de A.B = B.A, mas em geral A.B ≠ B.A, ou seja, o produto de matrizes não é comutativo!

• Propriedades

a) Associativa: (A.B).C = A.(B.C);

b) Distributiva à direita em relação à adição: (A+B).C = AC + BC; c) Distributiva à esquerda em relação à adição: C.(A+B) = CA + CB.

(18)

• Matriz Identidade

Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Denominamos essa matriz de identidade quando os elementos de sua diagonal principal são todos iguais a 1 e os demais elementos são iguais a 0.

• Exemplo

(19)

• Propriedade

Qualquer que seja a matriz quadrada de ordem n, tem-se A.I_n = A.

• Exemplo

(20)

• Matriz transposta

Seja a matriz A = (a_ij)_mxn ; chama-se transposta de A a matriz At = (a

ji)nxm.

A matriz At _{tem colunas ordenadamente iguais as linhas de A.}

Exemplo

(21)

• Propriedades

a) (A+B)t = At + Bt;

b) (α.A)t_{= α.A}t_{, onde α  R;}

c) (At)t = A;

d) (A.B)t_{= B}t_.At_.

(22)

• Matriz simétrica

Chama-se matriz simétrica toda matriz quadrada de ordem n tal que: At = A, ou seja, quando a

ij = aji.

Exemplo

(23)

• Matriz anti-simétrica

Chama-se matriz anti-simétrica toda matriz quadrada de ordem n tal que: At = - A, ou seja, quando a

ij = - aji.

Exemplo

(24)

• Matriz inversa

Seja A uma a matriz quadrada de ordem n, dizemos que ela é inversível se existir uma matriz B, única, tal que: A.B = B.A = I_n. Nesse caso dizemos também que B é a inversa de A podendo ser denotada por A-1.

Exemplo

(25)

• Propriedades

1) Se uma linha (ou coluna) de uma matriz A é nula, então A não é inversível;

2) Se A e B são matrizes de ordem n, ambas inversíveis, então AB também é inversível e (AB)-1_{= A}-1_.B-1_;

3) Se A é inversível, então A-1 também o é, e (A-1)-1 = A.

(26)

• Determinação da Inversa

• Existe um método para determinar a inversa de uma matriz A, caso ela seja inversível e que consiste basicamente em utilizar as operações elementares já aprendidas:

• Permutar duas linhas de A;

• _{Multiplicar uma linha de A por um número real  0;}

• Somar a uma linha de A uma outra linha multiplicada por um número.

(27)

• Se uma matriz B puder ser obtida de A através dessas

operações, podemos dizer que B é equivalente a A: B~A

;

• São válidas para essa relação as propriedades: simétrica,

reflexiva e transitiva.

• Exemplo

Verifique se a matriz é inversível.

Determine A

-1

caso ela exista.

Matrizes

           2 0 1 1 1 0 0 1 1 A

(28)

• Devemos verificar a possibilidade de transformar a matriz

A na matriz I

₃

. Para isso convém trabalhar com a matriz

aumentada:

Matrizes

~ 1 0 0 2 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 3 2 1           L L L ~ 1 0 1 2 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 ' ₃ ₁ 3 2 1              L L L L L ~ 1 1 1 3 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 ' '' ₂ ₃ 3 2 1             L L L L L ~ 3 1 3 1 3 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 3 '' '' ' 3 3 2 1                L L L L

(29)

Matrizes

~ 3 1 3 1 3 1 1 0 0 3 1 3 2 3 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 '' ' '' ' ' 3 3 2 2 1                     L L L L L                      3 1 3 1 3 1 1 0 0 3 1 3 2 3 1 0 1 0 3 1 3 2 3 2 0 0 1 '' ' ' ' ' 3 2 2 1 1 L L L L L Logo, A é inversível e:                                    1 1 1 1 2 1 1 2 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 2 3 2 1 A

(30)

• Sistemas de Cramer

• T

rata-se de um sistema linear de m equações e n incógnitas que pode ser dividido em 3 matrizes e cuja matriz dos coeficientes é inversível.

• Considere o seguinte sistema:

• Ele pode ser dividido em:

Matrizes

                                             m n mn m n n b b b B e x x x X a a a a a a A ... ... , ... ... ... ... ... ... 2 1 2 1 1 2 21 1 11 S:

(31)

• S pode ser escrito na forma matricial A.X = B, em que A é a

matriz dos coeficientes de S;

• Se S é um sistema de Cramer, então: A

-1

_{.(AX) = A}

-1

_{.B, e}

como A

-1

.A = I, então, X = A

-1

.B;

• Esse sistema é compatível, determinado e sua única

solução é dada por A

-1

.B;

• Em particular, um sistema quadrado e homogêneo cuja

matriz dos coeficientes é inversível, só admite a solução

trivial.

(32)

• Exemplo

• Considere o seguinte sistema:

• Separando a matriz dos coeficientes, das variáveis e da

solução, obtemos:

Matrizes

           0 2 1 1 : z x z y y x S                                  0 1 1 2 0 1 1 1 0 0 1 1 B e z y x X A

(33)

• Já vimos que a matriz A é inversível e que:

• Portanto: • E a solução do sistema é S = (0, 1, 0).

Matrizes

                     3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 2 3 2 1 A

























































0

1

0

1

1 .

3

1

3

1

3

1

3

1

3

2

3

1

3

1

3

2

3

2 z

y

x

X

(34)

Referências bibliográficas

• BOLDRINI,J.L. Álgebra Linear. 3.ed. S.Paulo: Harbra:1986.

CALLIOLI, C.A.; DOMINGUES, H.H.; COSTA, R.C.F. Álgebra Linear e

aplicações. São Paulo: Atual, 1990.

LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. Álgebra Linear. 4.ed . Porto Alegre: Bookman, 2011. (Col. Schaum).

• SCHWARTZMAN, S. The Words of Mathematics: An Etymological

dictionary of Mathematical Terms used in English. Washington: