Sintonia Automática de Controladores com Compensação de Atraso

(1)

com Compensac¸ ˜ao de Atraso.

Relat ´orio submetido a Universidade Federal de Santa Catarina

como requisito para a aprovac¸ ˜ao da disciplina:

DAS 5511: Projeto de Fim de Curso

Luisa Schoeller Guenther

(2)

Sintonia Autom ática de Controladores com Compensaç ão de

Atraso.

Luisa Schoeller Guenther

Esta monografia foi julgada no contexto da disciplina

DAS5511: Projeto de Fim de Curso

e aprovada na sua forma final pelo

Curso de Engenharia de Controle e Automac¸ ˜ao

Prof. Julio Elias Normey Rico, Dr.

(3)

Resumo vi

Abstract vii

Lista de Figuras viii

1 Introduc¸ ˜ao 1

2 Proposta do projeto 3

2.1 Sistema de identificac¸ ˜ao . . . 4

2.2 Sistema de controle . . . 5

2.3 Sistema supervis ´orio . . . 5

2.4 Conclus ˜ao . . . 6

3 Sistema de identificaç ão 7 3.1 M étodos de identificaç ão . . . 7

3.1.1 Din ˆamica de um sistema . . . 8

3.1.2 M ´etodo da ´Area . . . 9

3.1.3 M´ınimos Quadrados . . . 11

3.1.3.1 Modelo de regress ˜ao . . . 13

3.1.3.2 Estimaç ão Offline (N ão recursivo) . . . 13

3.1.3.3 Estimac¸ ˜ao Online . . . 13

3.1.3.4 Sinal de excitac¸ ˜ao . . . 15

(4)

Sum´ario Sum´ario

3.1.5 Identificac¸ ˜ao de sistemas com atraso . . . 18

3.2 Conclus ˜ao . . . 19

4 Sistema de controle 20 4.1 Preditor de Smith . . . 21

4.1.1 Exemplo de aplicac¸ ˜ao do PS . . . 22

4.1.2 Robustez do Preditor de Smith . . . 24

4.2 Preditor de Smith Filtrado . . . 26

4.2.1 Robustez . . . 28

4.2.2 Sintonia do Preditor de Smith filtrado . . . 28

4.3 Controle prim ´ario e filtro de refer ˆencia . . . 29

4.4 ´Indice de qualidade da malha fechada . . . 31

4.5 Conclus ˜ao . . . 32

5 Sistema supervis ´orio 33 5.1 Modelo do sistema supervis ´orio . . . 33

5.2 Mecanismo de comutac¸ ˜ao entre estados . . . 35

5.3 Esquemas utilizados . . . 37

5.3.1 Pr ´e-teste . . . 37

5.3.2 C ´alculo do primeiro controle . . . 38

5.3.3 Teste de qualidade do controle em malha fechada . . . 39

5.3.4 Melhora da aproximac¸ ˜ao do modelo . . . 40

5.3.5 Melhora do controle . . . 41

5.4 Conclus ˜oes . . . 42

6 Resultados 43 6.1 Processos . . . 43

(5)

6.3 Simulaç ões . . . 44 6.3.1 Funcionamento do controle por bandas . . . 50 6.4 Conclus ão . . . 51

7 Conclus ˜ao 52

7.1 Trabalhos futuros . . . 52

(6)

Resumo

O atraso de transporte é uma parte fundamental em muitos processos industri-ais. Estruturas de controle com compensaç ão do atraso possuem uma melhor perfor-mance que a obtida com controladores do tipo PI ou PID. Neste projeto se desenvol-veu um sistema de sintonia autom ática que identifica e controla sistemas com atraso, o qual pode ser usado com o processo em pleno funcionamento, e sem a necessidade do operador possuir conhecimentos avançados em controle.

A estrutura de controle usada foi a do preditor de Smith filtrado, a qual apresen-tou compromisso entre performance e robustez. A identificaç ão é realizada atrav és do m étodo dos m´ınimos quadrados discreto. O sistema supervis ório, atrav és de dados de entrada, sa´ıda e ´ındices de desempenho, faz a coordenaç ão entre a identificaç ão, validaç ão e teste de qualidade, melhorando o modelo e o controle do processo.

Ao final foram realizadas diversas simulaç ões para comprovar a efic ácia do sis-tema em diferentes din âmicas e testar os poss´ıveis cen ários.

Palavras-chave: Controle de processo, Sintonia autom ´atica, Compensador de

(7)

The time delay is a fundamental part of many industrial processes. Control struc-tures with dead time compensation present higher performance than those achieved with PI or PID controllers. This project has developed an automatic tuning system that identifies and controls dead time processes, which can be used with running proces-ses, and does not need an user with advanced knowledge in process control.

The control structure selected was the filtered Smith predictor, which presents compromise between performance and robustness. The identification uses the discrete least square method . The supervisory system with data input, output and performance indices, coordinates the identification, validation and quality tests, improving the model and process control.

Several simulations were performed to demonstrate the effectiveness of the sys-tem in different dynamics and possibles scenarios.

Key-words: Process control, Automatic tuning, Dead time compensator, Model

(8)

Lista de Figuras

2.1 Fluxograma do sistema de sintonia autom ´atica . . . 3

3.1 Aproximaç ão pelo m étodo da área . . . 11

3.2 Componentes frequenciais do processo . . . 17

3.3 Sinal PRBS no tempo . . . 18

4.1 Resposta do ajuste PID para din ˆamica com atraso . . . 20

4.2 Esquema do preditor de Smith . . . 21

4.3 Controle equivalente PS . . . 22

4.4 Comparac¸ ˜ao de controle PID e PS para um sistema com atraso . . . . 23

4.5 Erro de modelagem no preditor de Smith . . . 25

4.6 Exemplos de limitac¸ ˜oes do preditor de Smith . . . 26

4.7 Esquema do Preditor de Smith filtrado . . . 27

4.8 Esquema do Preditor de Smith filtrado discreto simplificado . . . 27

4.9 Teste de qualidade . . . 32

5.1 Modelo do supervis ´orio . . . 34

5.2 Resposta do sistema sem mecanismo de comutac¸ ˜ao . . . 35

5.3 Resposta do sistema com mecanismo de comutac¸ ˜ao . . . 37

5.4 Controle em malha fechada com PSF . . . 39

5.5 Esquema dos m´ınimos quadrados . . . 40

6.1 Comportamento planta 1 . . . 45

(9)

6.5 Resultados quanto a qualidade do modelo identificado . . . 49 6.6 Gr áfico de dispers ão FIT × ´ındice de desempenho . . . 50 6.7 Comportamento do sistema frente a perturbaç ões . . . 51

(10)

1 Introdu¸

c˜

ao

Apesar da constante evoluç ão da área de controle, com o desenvolvimento de novas soluç ões te óricas e com o barateamento de sistemas de software e hardware, na pr ática ainda h á muito o que melhorar. Segundo [9], 85% das malhas de controle da ind ústria est ão mal aproveitadas, sendo que 30% destas opera em modo manual; 30% apresenta problemas em seus elementos de transduç ão, transmiss ão e atuaç ão; e 20% possue um projeto inadequado ou com erros.

Ainda que haja um profissional capacitado para realizar a sintonia do controla-dor adequadamente, existem v ´arios outros fatores que comprometem o desempenho do sistema. Tais fatores ser ˜ao explicados a seguir.

Normalmente para ajustar o controle de um processo é necess ário obter seu modelo. E, a menos que se conheça todas as leis f´ısicas relevantes na din âmica do sistema, s ão necess ários ensaios e testes de identificaç ão. Estes tornam o sis-tema temporariamente inoperante. Um processo parado é muitas vezes visto apenas como preju´ızo para a empresa. A falta de conhecimento adequado do modelo faz com que os controladores (quando em malha fechada) sejam sintonizados com par âmetros bastante conservativos, o que compromete sua performance.

A manutenç ão e readequaç ão do sistema de controle é t ão importante quanto o ajuste inicial, pois os processos variam com o passar do tempo. As principais causas s ão desgaste de sensores, atuadores e transmissores (causando folgas, atrito exces-sivo, histerese, ru´ıdo) e variaç ão das condiç ões de operaç ão (mudança de set-pois, da capacidade de produç ão, condiç ões externas ou ambientais). Isto altera as constan-tes dos processos e um sistema de controle inicialmente bem ajustado pode ter seu desempenho comprometido.

Em processos com atraso de transporte, o atraso é geralmente causado princi-palmente pelo tempo a transportar a mat éria, energia ou informaç ão, o controle tende a ser projetado de forma ainda mais conservadora para manter a estabilidade. Ao utilizar uma estrutura b ásica do tipo PI ou PID para control á-los o projetista se depara com as seguintes dificuldades: uma perturbaç ão s ó ser á percebida ap ós duas vezes

(11)

tempo do atraso; os efeitos da aç ão de controle demoram para serem notados na vari ável controlada; e o sinal de controle é calculado atrav és de um erro anterior.

Para os projetos de PI ou PID’s para sistemas com atraso normalmente o consi-deram parte da din âmica. Do ponto de vista frequencial o atraso causa um descr éssimo na fase, e para compens á-lo (evitar oscilaç ões e sobre sinal) a performance do sistema

´e comprometida, principalmente quanto `a velocidade de resposta, [13].

Para plantas com atraso de transporte é conveniente utilizar uma estrutura de controle com compensador de atraso, [6]. Dentre eles o preditor de Smith filtrado apre-senta uma boa relaç ão entre desempenho e robustez.

O objetivo deste projeto é desenvolver uma ferramenta de auto-sintonia para sistemas com atraso de transporte, a qual poder á ser utilizada com o processo em funcionamento sem a necessidade de parar a produç ão. A ferramenta é formada por um sistema de identificaç ão, um sistema de controle e um sistema supervis ório. O sistema de identificaç ão utilizar á dados de entrada e sa´ıda do sistema para encontrar um modelo aproximado. O sistema de controle utiliza a estrutura do Preditor de Smith filtrado, que promove uma resposta melhor e mais robusta para este tipo de processo, sem que o usu ário possua conhecimento avançado em esta estrutura de controle. O sistema supervis ório faz o chaveamento entre os m ódulos, decidindo quando é ne-cess ário refinar o modelo ou melhorar o controle da planta.

Este projeto est á estruturado como segue: no cap´ıtulo 2 ser á melhor apresen-tado a proposta da estrutura completa e na sequencia é apresenapresen-tado com maior apro-fundamento os m ódulos. No 3 s ão vistos os m étodos de identificaç ão utilizados e como é feita a validaç ão dos modelos. No cap´ıtulo 4 toda a estrutura de controle, an álise de robustez e as justificativas pela escolha do Preditor de Smith filtrado. O cap´ıtulo 5 mostra como sistema supervis ório foi desenvolvido. O cap´ıtulo 6 traz os resultados e o 7 as conclus ões e trabalhos futuros.

(12)

2 Proposta do projeto

Este cap´ıtulo apresenta a proposta do sistema de sintonia autom ática de con-trole para sistemas com atraso e as carater´ısticas b ásicas de suas partes . Possui tr ês m ódulos principais:

• M ódulo de identificaç ão • M ódulo de controle

• M ´odulo do sistema supervis ´orio

O m ódulo de identificaç ão é respons ável por calcular o modelo que ser á usado no preditor de Smith filtrado, implementado pelo m ódulo de controle. J á o sistema su-pervis ório é quem monitora e coordena a execuç ão dos diferentes sinais do processo e tamb ém, realiza c álculos de ´ındices do comportamento para decidir quando o pro-cesso de identificaç ão dever á ser executado ou o controle re-ajustado. Na figura 2.1 pode ser observado o fluxograma do sistema completo.

(13)

Na sequ ência, cada um destes m ódulos é analisado com maiores detalhes, as-sim como a explicaç ão do fluxo de informaç ões atrav és do sistema. A implementaç ão ser á realizada na ferramenta MATLAB e Simulink.

2.1: Sistema de identifica¸

c˜

ao

Como comentado no cap´ıtulo 1 o preditor de Smith filtrado precisa de um mo-delo do processo para calcular a aç ão de controle. Para obter este momo-delo utiliza-se neste projeto algumas t écnicas de identificaç ão, as quais ser ão descritas no cap´ıtulo 3.

Tem o objetivo de manter um modelo com uma din âmica que seja semelhante ou a mais pr óxima poss´ıvel da din âmica do processo. Para isso, o sistema utiliza da-dos de entrada e sa´ıda capturada-dos do processo em ensaios coordenada-dos pelo sistema supervis ório. Desta forma, para o processamento deste modelo podem ser utilizadas diferentes t écnicas de identificaç ão e cada uma possui um procedimento e usa dados diferentes como:

• sinal e excitac¸ ˜ao

– degrau, onda quadrada, PRBS, RBS, etc. • forma de excitac¸ ˜ao

– em malha aberta ou fechada • processamento

– online ou offline • Tipos de modelos

– lineares(ARX,RARX,ARMAX,ARIMA,CARIMA) – lineares(NARMAX,..),redes neurais, logica nebulosa

Para uma melhor facilidade do usu ário, este m ódulo é dividido em duas partes, a primeira é uma identificaç ão inicial onde o usu ário apenas necessita determinar um per´ıodo de amostragem inicial e um tempo de acomodaç ão do sistema que tem o ob-jetivo de estimar com uma melhor precis ão vari áveis como: Per´ıodo de amostragem

(14)

Proposta do projeto 2.2 Sistema de controle

(Ts); atraso do sistema (L) e frequ ˆencias m´ınimas e m ´aximas que influenciam o

pro-cesso (wmin, wmax). Assim, ´e poss´ıvel obter um modelo inicial simples e com estes

dados poder realizar uma identificaç ão mais complexa e de melhor precis ão.

2.2: Sistema de controle

Este sistema é o respons ável pelo funcionamento autom ático do processo nas condiç ões desejadas e deve respeitar as restriç ões impostas no seu projeto como tempo de acomodaç ão, sobre sinal, oscilaç ão da sa´ıda ou da entrada, estabilidade e robustez. Quando o sistema possui atraso de transporte, uma estrutura de controle que tem um bom desempenho é o preditor de Smith.

O preditor de Smith é uma estrutura de controle em malha fechada e utiliza o modelo da din âmica para control á-la. Atrav és da prediç ão de resposta do processo, calcula o sinal de controle com o erro do modelo sem o atraso. Para diminuir proble-mas gerados por erros de modelagem, a diferença entre a sa´ıda predita (com o atraso) e a sa´ıda da planta é filtrada e realimentada juntamente com a sa´ıda predita (sem o atraso) para o c álculo do novo sinal de controle. No cap´ıtulo 4 ser á explicado de forma mais detalhada como é sua estrutura e como é realizada a sintonia de cada um de seus par âmetros.

Como j á mencionado em 1 a resposta deste tipo de estrutura est á diretamente ligada à qualidade do modelo. Por isso o sistema supervis ório ap ós verificar que a qualidade precisa ser melhorada, dar á in´ıcio a uma nova identificaç ão.

Esta ligado ao sistema de identificaç ão, pois recebe o modelo calculado, e ao supervis ório que decide se o sinal de controle calculado é enviado para o processo ou n ão.

2.3: Sistema supervis´

orio

´

E o principal m ódulo do trabalho a ser desenvolvido, pois ele que far á o sistema de sintonia autom ática funcionar corretamente. Al ém disto os outros dois m étodos se-guem t écnicas j á bastante empregadas em separado. O supervisor ir á uni-las e fazer com que funcionem em conjunto.

Este modulo trabalha em paralelo e um n´ıvel acima dos outros m ´odulos e de-termina em quais estados o sistema deve estar, coordenando as ac¸oes que devem

(15)

ser executadas para que objetivos intermedi ´arios sejam cumpridos e estes garantam o funcionamento do sistema completo. Como:

• levar o sistema ao ponto de operaç ão: é necess ário operar em modo manual e levar aos poucos (em forma de rampa) o processo at é o ponto desejado

• testar a qualidade do controle: realizar o procedimento de acordo com o ´ındice escolhido, como por exemplo aplicar um degrau no set-point, esperar o sistema atingir o ponto, realizar calculo do ´ındice e resetar o set-point para o valor origi-nal. Ao final do teste o resultado determina o envio do evento que indica como esta o sistema de controle.

• identificar e validar o sistema: é iniciado com a presença de um evento indicando a necessidade de um novo modelo (e gerado no sistema de controle ao identi-ficar uma qualidade ruim do controle) e recebe o sinal de excitaç ão proveniente do sistema de identificaç ão para aplicar no processo. Ao final, envia dados de aquisiç ão de volta para sistema de identificaç ão para processamento do novo modelo.

• calcular e ajustar o novo controle: determinar quando o novo controle deve ser calculado e realizar a adaptac¸ ˜ao para o novo sistema de controle

• verificar as condiç ões do sistema: em todo momento é necess ário a verificaç ão da sa´ıda do sistema, para quando houver grandes perturbaç ões ser poss´ıvel tomar atitudes visando manter o sistema operante como geraç ão de alertas e chaveamento de controle.

Sua estrutura segue a ideia de controle por eventos discretos, onde a presença de algum evento faz o sistema mudar de estado. Com isso é poss´ıvel determinar um modelo para estudo de suas caracter´ısticas o qual ser á explanada no cap´ıtulo 5.

2.4: Conclus˜

ao

Neste capitulo foi definida uma proposta do projeto com especificaç ões de sua estrutura que é dividida em 3 partes. Nos pr óximos cap´ıtulos ser ão discutidas a es-trutura de cada parte com suas bases te óricas e forma escolhida para implementaç ão.

(16)

3 Sistema de identifica¸

c˜

ao

Em estrat égias de controle que usam um modelo expl´ıcito do sistema para obtenç ão da lei de controle, existe uma relaç ão direta entre a qualidade do modelo e o desempenho do controle1 _{O modelo usado pode resultado de algum m étodo de}

identificaç ão, seja matem ático, geom étrico, ou conhecido atrav és de suas leis f´ısicas. Neste projeto ser á utilizada a aquisiç ão de dados da planta e o c álculo do modelo atrav és de algum m étodo de identificaç ão.

Cada algoritmo de identificaç ão possui suas restriç ões quanto aos dados, por isso sua natureza deve ser conhecida, como a qual modelo sera utilizado para aproximaç ão. Possivelmente a maior restriç ão neste caso é manter o sistema operante, e em seu ponto de operaç ão manter a independ ência entre os sinais de entrada e sa´ıda (malha aberta).

3.1: M´

etodos de identifica¸

c˜

ao

A identificaç ão de par âmetros é o processo de atribuir valores à par âmetros desconhecidos de um sistema a partir de mediç ões de sua entrada e sa´ıda e de um modelo matem ático apropriado. É fundamental no projeto de um sistema de controle, pois permite conhecer as caracter´ısticas da din âmica do sistema. Alguns m étodos ainda s ão capazes de pre-processar os dados medidos e desta maneira filtrar ru´ıdos. O processo de identificaç ão esta dividido em tr ês etapas: a estrutura, a estimaç ão dos par âmetros e a validaç ão do modelo. A estrutura pode ser selecionada atrav és de modelos candidatos. Na ind ústria os modelos de primeira e segunda ordem s ão os mais usados, destra forma estes ser ão usados neste projeto. Para a estimaç ão dos par âmetros s ão utilizados modelos matem áticos para tratar os dados. Com a validaç ão é poss´ıvel qualificar o modelo estimado, comparando as respostas obtida e

1_{Contando com um mesmo ajuste que estabilize o sistema (como por exemplo um mesmo ajuste para o}

(17)

estimada por meio de ´ındices de qualidade do modelo estimado.

Os m étodos matem áticos s ão algoritmos que tentam encontrar a melhor aproximaç ão matem ática para um grupo de dados. Neste projeto dois m étodos espec´ıficos ser ão utilizados, o m étodo da área, que aproxima a din âmica por um modelo cont´ınuo de primeira ordem com atraso e o m étodo dos m´ınimos quadrados discreto.

3.1.1: Dinˆ

amica de um sistema

A maioria dos sistemas industriais s ão naturalmente cont´ınuos, como n´ıvel em reservat órios, concentraç ão de produtos, press ões, etc.. Por ém o controle digital é aplicado de forma discreta, atrav és de um sustentados de ordem zero que mant ém o sinal aplicado at é o pr óximo per´ıodo de amostragem. Uma possibilidade é projetar o controle com um modelo cont´ınuo e discretiz á-lo, a outra é obter o modelo discreto e desenhar o controle atrav és dele, [13]. Neste projeto ser ão utilizadas as duas possibi-lidades.

Um dos m étodos de identificaç ão aproxima um modelo cont´ınuo, neste caso o controle é calculado de forma cont´ınua e ent ão discretizado. Com o outro m étodo, o modelo obtido é discreto, logo o controle é calculado de maneira discreta e aplicado com o sustentador de ordem zero.

Na maior parte do trabalho ser á usado um modelo discreto de segunda ordem, que pode ser representado pela funç ão de transfer ência entre o sinal de entrada U (z) e o sinal de sa´ıda Y (z): H(z) = Y (z) U (z) = B Az −d (1 + a1z−1+ a2z−2+ ... + amz−m)Y (z) = (b1z−1+ b2z−2+ ... + bmz−m)U (z)z−d

onde d é o atraso. Se H(z) é um sistema de segunda ordem,ent ão y(k) = −a1y(k − 1) − a2y(k − 2) + b1u(k − d − 1) + b2u(k − d − 2)

Este modelo ser á utilizado para representar o processo, desta forma é ne-cess ário obter os valores dos seguintes par âmetros: a1, a2, b1, b2 e d. Na sequencia

(18)

Sistema de identifica¸cão 3.1 Métodos de identifica¸cão

3.1.2: M´

etodo da ´

Area

O m étodo da área é uma forma simples de obter um modelo de sistemas de baixa ordem, com ou sem atraso. A partir da realizaç ão de um ensaio de resposta ao degrau no processo real, considerando que o mesmo pode ser modelado por um sistema de primeira ordem com atraso, o que equivale ao modelo apresentado com a2 = b2 = 0. Tem a vantagem de ser robusto a ru´ıdos brancos. O desenvolvimento

do algoritmo ´e apresentado a seguir como visto em [13]

Seja um sistema de primeira ordem com atraso P (s) = Kpe−Ls

1+sT , com os par ˆametros

Kp, L e T , considere um degrau com valor inicial UI e final UF aplicado em malha

aberta em P (s). A sa´ıda muda de YI a YF e pode ser representada como:

y(t) = YI, ∀t < L

y(t) = YI+ Kp(1 − e− t−L

T )4U, 4U = U_F − U_I, ∀t >= L

O objetivo do m étodo é calcular Kp, L e T usando as informaç ões desta

res-posta. assim em seu regime permanente obt ˆem-se

YF = YI+ Kp4U (3.1)

Logo o ganho Kp do modelo é facilmente calculado atrav és da equaç ão 3.1,

todavia, para que o erro referente ao ru´ıdo n ão afete a estimaç ão se usa a m édia dos valores de sa´ıda. Assim o ganho é:

Kp =

YF − YI

4U (3.2)

onde YF ´e calculado com a m ´edia dos valores finais e YI dos iniciais.

Para os par âmetros restantes é necess ário introduzir uma nova ideia, a de sa´ıda incremental a cada instante de tempo δy(t) = YF − y(t)

δy(t) = KpδU, ∀t < L

δy(t) = Kpe− t−L

T 4U

Para isto se computa a área abaixo de δy(t) de 0 a τ > L , o que d á o nome ao m étodo.

(19)

Aτ = τ Z 0 δy(t)dt = Kp4U (L + T − T e− t−L T ) Com τ → ∞ A∞= +∞ Z 0 δy(t)dt = Kp4U (L + T ) = Kp4U Tar (3.3)

Onde Tar ´e o tempo m ´edio de residencia e X = T + L = Tar, calculando agora:

A0 = Tar

Z

0

δy(t)dt = Kp4U (L + T − T e−1) = A∞− Kp4U T e−1 (3.4)

Com os valores do ganho Kp e do ∆U = UF − UI, as equaç ões 3.3 e 3.4 é

poss´ıvel computar os outros par ˆametros T e L. T = (A∞− A0) e Kp4U (3.5) L = A∞ Kp4U − T (3.6)

Para a implementaç ão pr ática deste algoritmo procede-se da seguinte forma: • determinar a frequ ência do ru´ıdo e escolher um ∆U que proporcione um bom

fator sinal/ruido.

• aplicar um degrau e armazenar os valores de sa´ıda at é o equil´ıbrio. • com as m édias YI, YF e a equaç ão 3.2 computar YF e Kp.

• calcular Tar com 3.3, A0 com 3.4, T com 3.5 e L com 3.6.

Este m étodo representa bem plantas com respostas do tipo ou de baixas or-dens. Para processos de ordem mais alta é necess ário utilizar outros m étodos auxili-ares. Neste trabalho este m étodo ser á utilizado para a realizaç ão de um pr é-teste, o qual possibilitar á o projeto de um controlador inicial, bastante conservador, mas que garantir á levar a planta ao ponto de operaç ão e manter-la est ável. Para este projeto ser á utilizado o atraso estimado L, o ganho Kp e a constante de tempo aproximada.

Para exemplificar identificou-se o sistema P (s) = _(s+1)e−s2 atrav ´es do m ´etodo da

´area. O resultado obtido est ´a na figura 3.1, que mostra a resposta ao degrau do pro-cesso Y e a resposta estimada pelo modelo Yn, e o ganho em regime permanente Ke.

O modelo aproximado foi de Pn(s) = 0.99e −1.03s

(20)

Figura 3.1: Aproxima¸cão pelo método da área

de segunda ordem, o modelo foi bastante representativo, com erro principalmente no per´ıodo transit ´orio.

Segundo [8], o per´ıodo de amostragem deve ser capaz de representar a din âmica do sistema. O Ts que ser á usado em todo o sistema de controle é

calcu-lado a partir do modelo identificado por este m étodo, aproximando a velocidade de malha aberta por 4.8τ . Com a especificaç ão de velocidade de malha fechada igual a de malha aberta, o Ts é escolhido tal que:

Ts =

4.8τ

20 (3.7)

Este valor apresentou bons resultados, nos quais os sistemas amostrados re-presentavam e controlavam os sistemas cont´ınuos, sem exigir demasiado do proces-samento.

3.1.3: M´ınimos Quadrados

O m étodo dos m´ınimos quadrados é o mais empregado para a estimaç ão de par âmetros em sistemas discretos, como apresentado em [2]. Foi formulado por Karl Friedrich Gauss e segundo seu m étodo os par âmetros desconhecidos de um modelo matem ático devem ser de tal forma a minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores medidos e calculados multiplicado por um n úmero que mede o grau de precis ão.

(21)

Considerando o sistema como

Ay(k) = Bu(k) (3.8)

A = 1 + a1∗ z−1+ a2 ∗ z−2+ ... + an∗ z−n (3.9)

B = b1∗ z−1+ b2∗ z−2+ ... + bn∗ z−n (3.10)

A vari ável k indica o tempo, n é a ordem do sistema, o qual pode ser escrito com a equaç ão a diferenças

y(k) + a1y(k − 1) + ... + any(k − n) = b1u(k − 1) + ... + bnu(k − n)

O vetor de par âmetros desconhecidos de a1, ..., an, b1, ..., bntamb ém é

represen-tado por θ.

θT = (a1 ... anb1 ... bn)

Os estados conhecidos (de sa´ıda em instantes anteriores e das entradas) for-mam o vetor de regress ˜ao ϕ(k − 1).

ϕT(k − 1) = [−y(k − 1) ... − y(k − n) u(k − 1) ... u(k − n)]

A vari ável observada y(k) é calculada pela equaç ão y(k) = ϕ1(k − 1)θ10+ ϕ2(k − 2)θ20+ ... + ϕn(k − 1)θn0 = ϕ

T

(k − 2)θ0 (3.11)

Se este procedimento y(k) = ϕT_{(k − 1)θ} _{for aplicado por k valores de sa´ıda, ´e}

poss´ıvel escrever de forma matricial

h Φ i =        −y(0) . . 0 u(0) . . 0 . . . . . . . .

−y(k − 1) . . −y(k − n) u(k − 1) . . u(k − n)        ∗                   ˆ a1 . . ˆ an ˆ b1 . . ˆ bn                  

O par de observaç ão e regress ão (y(k) , ϕ(k)) do modelo de regress ão y(k) = ϕT(k − 1)θ é obtido atrav és de experimentos. Supondo que as medidas possuem a mesma precis ão, os par âmetros θ devem ser escolhidos para minimizar a funç ão custo.

(22)

Sistema de identifica¸cão 3.1 Métodos de identifica¸cão V (θ, k) = 1 2 k X i=1 (y(k) − ϕT(k)θ)2 (3.12)

Como y(k) é linear em θ0 _{e a funç ão custo é quadr ática, se pode calcular}

anali-ticamente.

3.1.3.1: Modelo de regress˜ao

Se a matriz ΦT_Φ _{é n ão-singular (condiç ão de excitaç ão), existe uma única}

soluç ão para os m´ınimos quadrados com os par âmetros θ que minimizam a funç ão custo (3.12), e é dada por:

ˆ

θ(k) =ΦT_(k)Φ(k)−1

ΦT(k)Y (k) (3.13)

O n úmero de elementos de θ depende da ordem do sistema ˆy. Para que exista soluç ão, os valores de u(k) devem variar suficientemente para obter um rank completo para a matriz ΦT_Φ.

3.1.3.2: Estima¸c˜ao Offline (N˜ao recursivo)

A estimaç ão offline utiliza um conjunto de dados obtidos a priori do par de observaç ão e regress ão (y(k), ϕ(k)) e calcula os par âmetros θ com a equaç ão 3.13. Os dados devem verificar que det(ΦT_{Φ) 6=}_{zero de modo que (y(k), u(k)) sejam}

linear-mente independentes.

Estando o sistema adequadamente excitado, a estimaç ão offline aproxima o sis-tema real, por ém deve ser feita com todos os dados a priori. Desta forma n ão existe limitaç ão quanto ao tempo de processamento do algoritmo. Por ém n ão se pode alterar a estrat égia de controle à medida que o processo é melhor identificado, e necessita de mais mem ória para armazenar todos os dados.

3.1.3.3: Estima¸c˜ao Online

Para utilizar estrat égias de controle auto-tuning, adaptativos ou preditivos, é ne-cess ário obter os dados do sistema à medida que o mesmo é controlado. O algoritmo de m´ınimos quadrados foi adaptado para ser utilizado de forma recorrente. A cada instante k as medidas s ão tomadas e o algoritmo calcula os par âmetros do sistema estimado.

(23)

A partir dos m´ınimos quadrados n ão-recorrentes equaç ão 3.13, outros fatores s ão adicionados para evitar um somat ório a cada iteraç ão, o que acarretaria um grande esforço computacional. O erro ε(k) mede a qualidade do modelo e atualiza as estima-tivas. Se compara as medidas do instante k com as de k + 1, conhecendo ϕ(k + 1) a matriz é atualizada.

ˆ

θ(k + 1) = (ΦT(k + 1)Φ(k + 1))−1ΦT(k + 1)Y (k + 1)

ΦT(k + 1)Φ(k + 1) = ΦT(k)Φ(k) + ϕ(k + 1)ϕT(k + 1) (3.14)

Por ém n ão se deve calcular a matriz inversa a cada k (o que necessita de muito esforço computacional e mem ória para armazenamento dos dados). Para isso s ão usadas as equaç ões de covari ância P (k) e correlaç ão R(k).

P (k) = [φT(k)φ(k)]−1 R(k) = φT(k)Y (k) ˆ φ(k) = P (k)R(k) E se tem P−1(k + 1) = P−1(k) + ϕ(k + 1)ϕT(k + 1) R(k + 1) = R(k) + ϕ(k + 1)y(k + 1)

Onde se deseja obter R(k + 1) a partir de R(k) e P (k + 1). Para tal se aplica a identidade matem ´atica de invers ˜ao de matrizes

(A + BCD)−1 = A−1− A−1B(C−1+ DA−1B)DA−1 A = P−1, B = ϕ(k + 1), C = 1, D = ϕT(k + 1) Logo P (k + 1) = [P−1(k + 1)]−1= [P−1(k − 1) + ϕ(k + 1)ϕT(k + 1)]−1 = = P (k) − P (k)ϕ(k + 1)[1 + ϕT(k + 1)P (k)ϕ(k + 1)]−1ϕT(k + 1)P (k) P (k + 1) = P (k) − P (k)ϕ(k + 1)ϕ T_{(k + 1)P (k)} 1 + ϕT_{(k + 1)P (k)ϕ(k + 1)} (3.15)

E com a equac¸ ˜ao do erro

(24)

O que resulta em:

R(k + 1) = R(k) + ϕ(k + 1)ε(k + 1) + ϕ(k + 1)ϕT(k + 1)ˆθ(k) (3.16)

Substituindo 3.14 em 3.16 encontra-se o ganho K(k) do estimador. Ent ˜ao s ˜ao atualizados os valores com os dados do sistema nos instantes k-1, . . . , k-n, com n igual a ordem do sistema aproximado.

• vetor de par ˆametros estimados: ˆ

θ(k + 1) = ˆθ(k) + κ(k + 1)ε(k + 1)

• ganho do estimador:

ε(k + 1) = y(k + 1) − ϕT(k + 1)ˆθ(k)

• matriz de covari ˆancia:

P (k + 1) = P (k) − P (k)ϕ(k + 1)ϕ

T_{(k + 1)P (k)}

1 + ϕT_{(k + 1)P (k)ϕ(k + 1)}

• algoritmo a ser implementado ´e dado por: – mede entrada e sa´ıda y(k + 1), φ(k + 1) – atualiza o vetor de medidas

– calcula o erro de previs ão ε(k + 1) – calcula o ganho do estimador κ(k + 1) – calcula o vetor de par âmetros estimados ˆθ – calcula a matriz de covari ância P (k + 1)

(observe que para sistemas de segunda ordem a matriz P ´e 4 × 4)

Ap ós o ensaio de identificaç ão os dados de entrada e sa´ıda recebidos s ão divididos em duas partes, com a primeira parte é realizada a estimaç ão do processo e com a segunda parte é feita a validaç ão para verificar a qualidade do modelo obtido.

3.1.3.4: Sinal de excita¸c˜ao

Para a identificaç ão do sistema é necess ário fornecer uma entrada u(k) com excitaç ão permanente. A escolha do sinal de identificaç ão deve atender algumas ca-racter´ısticas, como a de manter o sistema excitado nas frequ ências de interesse sem

(25)

afast á-lo de seu ponto de operaç ão.

O sinal escolhido foi o PRBS (Pseudorrand ômico binary signal), um dos mais utilizados para tal e seu c ódigo fonte foi criado em 1996 por Babu Joseph na Washing-ton University em St. Louis, EUA. Possui dois n´ıveis (+/ − A) gerados atrav és de álgebra booleana a partir da equaç ão diferencial 3.17 (que pode ser vista em [12] e implementada de forma simples em MATLAB). A variaç ão dos valores do sinal é pr é-determinada e acontece periodicamente, em funç ão de um per´ıodo de clock que deve ser calculado. Logo, o sinal é peri ódico, determin´ıstico e pode ser calculado atrav és da equaç ão a diferenças:

u(k) = rem(A(q)u(k), 2) = rem(a1u(k − 1) + ... + anu(k − n), 2) (3.17)

onde rem(x, 2) é o resto da divis ão de x por 2. O valor do clock depende dos valores de Ts e da frequ ência m áxima wmax. Os registros de deslocamento k dependem do

valor de clock e da frequ ˆencia m´ınima wmin. Os coeficientes a1, ..., anprovem de uma

tabela (Tabela de coeficientes para m áxima sequ ência, [12]) que ir á determinar quais elementos devem ser somados.

O sinal PRBS possui al ém da excitaç ão permanente, correlaç ão similar a do ru´ıdo branco a qual n ão altera o valor m édio da sa´ıda. Por isto ser á usado neste pro-jeto aplicado de forma sobreposta a refer ência, o que n ão deve tirar o sistema do seu ponto de operaç ão.

´

E necess ´ario um pr ´e conhecimento do processo para eleger os valores de wmin,

wmax (frequ ˆencias m´ınima e m ´axima), Ts(per´ıodo de amostragem) e A (amplitude). O

per´ıodo de amostragem T s deve seguir a equac¸ ˜ao 3.7, pois altos Ts podem reduzir

a efici ência do controle e muito baixos s ão menos robustos a ru´ıdos. Como todo o sistema é amostrado, o sinal de identificaç ão ter á o mesmo T s. A amplitude do sinal A fica a crit ério do operador, com base na amplitude dos ru´ıdos. Ap ós ensaios optou-se por uma amplitude de 10% do sinal de controle.

As frequ ˆencias wmin e wmax devem incluir as de interesse ao processo, assim o

sinal excitar á o sistema adequadamente. Para encontr á-las aplica-se a transformada de Fourrier, sobre o sinal de sa´ıda do pr é-teste. Permite visualizar as componentes fre-quenciais com ganho significativo. Neste projeto determinou-se wmaxcom o c álculo da

frequ ência onde a amplitude do sinal x(w) é igual a 5% da amplitude m áxima xmax(w).

Por exemplo, com o sistema P (s) = e−s

(s+1)2 se obt ´em na transformada r ´apida

de Fourier a distribuiç ão energ ética entre as componentes frequenciais na figura 3.2. A frequ ência m´ınima wmin é facilmente vista, 0.63 rad/s e corresponde a maior

(26)

am-Sistema de identifica¸cão 3.1 Métodos de identifica¸cão

plitude de x(w), xmax(w) = 0.21. A frequ ˆencia m ´axima com amplitude x(w) ∼= 0.01

´e aproximadamente wmax = 9.4 rad/s. O per´ıodo de amostragem calculado Ts de

0.122 segundos, o que resulta em uma frequ ência de amostragem de 8.2 rad/s, ponto vermelho na figura. A frequ ência de Ts deve ser pr óxima a wmax, garantindo que as

principais componentes frequenciais do sistema cont´ınuo ser ˜ao representadas pelo sistema discretizado.

Figura 3.2: Componentes frequenciais do processo

A figura 3.3 mostra o sinal PRBS gerado em funç ão do tempo, e assim ser á aplicado ao sistema durante a aquisiç ão de dados.

3.1.4: Valida¸

c˜

ao do modelo

Uma din âmica de segunda ordem com atraso aproxima satisfatoriamente mui-tos sistemas de ordens superiores. Para que o modelo seja representativo é preciso valid á-lo. A validaç ão qualifica a aproximaç ão e é poss´ıvel realiz á-la de forma gr áfica ou com aux´ılio de ´ındices de desempenho. O que ser á empregado é:

F IT = 100 ∗ 1 − ky − ˆyk ky − mean(y)k (3.18)

FIT varia de 0 a 100 %, com 100% se tem um modelo perfeito. Modelos com FIT a partir de 85% se mostraram representativos. Os controladores sintonizados a

(27)

Figura 3.3: Sinal PRBS no tempo

partir deles conseguiram manter o compromisso de desempenho × robustez. Para a maioria dos modelos, utilizando o sinal de excitaç ão apropriado foi poss´ıvel obter um valor pr óximo a 90%.

Ser á considerado ótimo um modelo com FIT> 95%, bom com 95 >FIT> 90% e regular com 90 >FIT> 85%. Valores inferiores a 85% ser ão considerados insatis-fat órios.

Para a validaç ão s ão usados dados do teste de identificaç ão com sinal de excitaç ão PRBS. Metade dos dados é usada para o c álculo do modelo e a outra me-tade para valid á-lo.

3.1.5: Identifica¸

c˜

ao de sistemas com atraso

A identificaç ão de sistemas por m´ınimos quadrados n ão prev ê atrasos. Por ém o algoritmo pode ser facilmente adequado para tal. Um enfoque simples (como em [13]) consta de em um primeiro momento estimar o atraso, definindo um vetor de identificaç ão de extens ão grande suficiente para capturar a din âmica completa. Ap ós a leitura de uma variaç ão na entrada, esta ser á percebida na sa´ıda bkap ós d.

bk = 0; k = 0, 1, . . . , n0 ⇒ d = n0+ 1

Para um sistema com ru´ıdos a sa´ıda b0 sempre ser ´a diferente de zero. Assim a

mudanc¸a na sa´ıda deve exceder o valor estimado da amplitude do ru´ıdo. bk= 0 + Ar; k = 0, 1, . . . , n0 ⇒ d = n0+ 1

(28)

Sistema de identifica¸c˜ao 3.2 Conclus˜ao

Ap ´os estimar-se o par ˆametro d se identifica os demais a1, . . . , an, b1, . . . , bn,

con-siderando a din ˆamica do sistema sem o atraso, como em 3.1.3.3. A estrutura do modelo com atraso ´e:

y(k) = −a1y(k − 1) − ... − any(k − n) + b1u(k − d − 1) + ... + bnu(k − d − n)

Este m étodo ser á utilizado em conjunto com o m étodo da área para estimar o atraso inicial. Para diminuir erros de modelagem ser á proposto o uso da m édia entre os dois valores de atraso obtidos: o La que é o atraso identificado atrav és do m étodo

da área, na equaç ão 3.6; e o atraso d calculado com a equaç ão 3.1.5 acima.

Para que os dois m étodos possam ser combinados é preciso utilizar ambos com a mesma caracter´ıstica temporal. O atraso obtido com o m étodo da área é discretizado da forma da = L_Ta_s, e Ts calculado segundo 3.7 O atraso de partida ser á a m édia dos

dois valores dm (aproximada para o inteiro maior que zero mais pr ´oximo) e a diferenc¸a

entre eles ser ´a usada como uma incerteza na modelagem do atraso ∆L. O atraso modelado ser ´a representado por:

dn = dm+ / − ∆L (3.19)

A incerteza ∆L é usada no ajuste do primeiro controle e durante a validaç ão do modelo, onde se considera todos os valores poss´ıveis de dn, formando um vetor

de poss´ıveis atrasos com dmin e dmax. O uso da m ´edia dos dois m ´etodos apresentou

menores erros de modelagem se comparados com cada uma em separado.

A validaç ão auxiliar á n ão apenas para avaliar a qualidade do modelo, mas tamb ém para ajustar a estimativa do atraso. Ser ão realizados procedimentos de validaç ão com todos os valores de dn, como na equaç ão 3.1.5, e, a partir o melhor

FIT ´e escolhido o novo atraso.

3.2: Conclus˜

ao

Neste cap´ıtulo foram selecionados e explanados os m étodos de identificaç ão que ser ão usados no sistema de identificaç ão, bem como suas caracter´ısticas b ásicas e formas de implementaç ão.

Assim, na sequencia ser ´a definido o sistema de controle e suas caracter´ısticas como o segundo m ´odulo presente neste projeto.

(29)

Os controladores cl ássicos como PI e PID s ão largamente utilizados na ind ústria pois s ão capazes de controlar satisfatoriamente a maioria dos processos. Todavia existem processos em que o atraso de transporte deve ser considerado, pois é alto em relaç ão a sua constante de tempo, chamados de dead-time dominante.

Utilizando um controlador com estrutura tipo PI ou PID o atraso normalmente é n ão modelado separadamente, e o controle é calculado com base no decr éssimo de fase que causa. Ao utilizar ganhos altos é poss´ıvel que a margem de fase fique negativa. Por isso a sintonia de m étodos tradicionais costuma apresentar baixo ganho e tempo integral alto, o que resulta em uma resposta lenta e com baixa capacidade de rejeitar perturbaç ões.

Para exemplificar o problema de controle de uma planta com atraso, ser ´a utili-zado o processo P (s) = _(s+1)e−s2, ou seja, com um atraso de um segundo. Dois

contro-ladores do tipo PID ser ão usados, o PID 1 tem como objetivo manter a velocidade de malha aberta enquanto o PID 2 n ão permite sobre sinais e oscilaç ões.

(30)

Sistema de controle 4.1 Preditor de Smith

Na figura 4 se observa as tr ês respostas. A azul é a resposta da planta em malha aberta, a preta o sistema em malha fechada o controle PID 1 atinge um pico de 40 % e fica bastante oscilat ória. J á a resposta em vermelho corresponde ao sistema controlado por PID 2, e possui uma resposta tr ês vezes mais lenta que a de malha aberta.

A estrutura de PID usada foi a ISA, ou acad êmica, que ser á vista ainda neste cap´ıtulo, na seç ão 4.3. Os par âmetros ajustados foram:

PID 1: Kc= 0.5; Ti = 1.17; Td= 0.35; Tf = 20;

PID 2: Kc= 0.01; Ti = 12.5; Td= 0.02; Tf = 40;

Este exemplo serve para ilustrar as dificuldades do ajuste do controle PID para sistemas com atraso e pode ser aprofundado em [13]. Para melhorar o desempenho de malha fechada podem ser usados compensadores de tempo derivados do preditor de Smith.

4.1: Preditor de Smith

Smith [13] desenvolveu um m étodo com o qual é poss´ıvel controlar um sistema com atraso de transporte sem que o atraso afete o c álculo dos p ólos de malha fechada no caso nominal. O preditor de Smith utiliza um modelo explicito do processo, para isto a planta é modelada em duas partes, sua din âmica - aproximada na ordem desejada, e seu atraso.

Pn(z) = Gn(z)z−dn

Figura 4.2: Esquema do preditor de Smith

O laço de controle é realimentado pela sa´ıda predita atrav és do modelo do sis-tema sem o atraso (Gn(z)). Para diminuir os efeitos dos erros de modelagem, h á uma

(31)

realimentaç ão da diferença da sa´ıda real do sistema com o modelo completo (Pn(z)).

Isto é necess ário tamb ém para rejeitar perturbaç ões na planta.

O controle prim ´ario C(z) deve ser sintonizado para estabilizar Gn(z)e garantir

as especificaç ões. Normalmente utiliza-se um PI ou PID. A figura 4.2 mostra a estru-tura do Preditor, que é o conjunto do controle prim ário C(z), o modelo do processo Gn(z)e do atraso dn. J á a figura 4.3 mostra o controle equivalente, que inclui o todos

os m ´odulos do preditor de Smith.

Figura 4.3: Controle equivalente PS

A partir das figuras 4.2, 4.3 se tem as funç ões transfer ência de malha fechada para a resposta a refer ência Hr(z)e a perturbaç ão Hq(z):

Hr(z) = Y (z) R(z) = P (z) 1 + C(z)P (z) + C(z)Gn(z) − C(z)Gn(z)z−dn (4.1) Hq(z) = Y (z) Q(z) = C(z)P (z) 1 + C(z)P (z) + C(z)Gn(z) − C(z)Gn(z)z−dn (4.2)

Considerando que o modelo obtido representa perfeitamente a planta, ou seja, que ´e o modelo nominal, ent ˜ao

Hr(z) = Y (z) R(z) = C(z)Pn(z) 1 + C(z)Gn(z) (4.3) Hq(z) = Y (z) Q(z) = Pn − C(z)Pn(z) 1 + C(z)Gn(z) (4.4)

Se observa que o atraso foi eliminado da eq caracter´ıstica e que no caso ideal pode-se acelerar a resposta a referencia arbitrariamente.

4.1.1: Exemplo de aplica¸

c˜

ao do PS

A planta usada no exemplo anterior P (s) = e−s

(s+1)2 ser ´a empregada para

(32)

mostra-se a resposta da planta em malha aberta (que logicamente n ão rejeita perturbaç ões) e a mesma controlada com uma estrutura PID simples, calculada no exemplo anterior.

Figura 4.4: Compara¸c˜ao de controle PID e PS para um sistema com atraso

Para exemplificar a efic ácia do controle com compensador de atraso aplicou-se um degrau de refer ência no instante zero e uma perturbaç ão constante do tipo degrau, com amplitude igual a 10% o valor da refer ência em 40 segundos. A resposta em azul é a de malha aberta e n ão rejeita a perturbaç ão. A resposta em preto, sintonizada com o controle em malha fechada PID 1, com os par âmetros PID 1: Kc = 0.5; Ti = 1.17;

Td= 0.35; Tf = 20; e estrutura 4.15,obteve a mesma resposta oscilat ória para rejeiç ão

da perturbaç ão. A resposta em vermelho é a do preditor de Smith, o qual utiliza os mesmos par âmetros de controle do PID 1 por ém com compensaç ão do atraso. Tanto a resposta ao degrau aplicado no instante zero, quanto a rejeiç ão a perturbaç ão s ão melhores que utilizando apenas o controle PID. O preditor de Smith foi sintonizado com o modelo nominal e a seguir ser á discutido acerca de erros de modelagem e limitaç ões quanto a estabilidade interna desta estrutura.

(33)

4.1.2: Robustez do Preditor de Smith

Para analisar a robustez do controlador se seguir ´a o desenvolvimento te ´orico de [13], onde se considera que a planta pode ser representada por uma fam´ılia de modelos, tais que:

P (z) = Pn(z)[1 + δP (z)] = Pn(z) + ∆P (z) (4.5)

e

|δP (z)| 6 δP (w) z = ejw e w < π Ts

A equaç ão caracter´ıstica é dada por:

1 + C(z)[Gn(z) + P (z) − Pn] = 1 + C(z)[Gn+ ∆P (z)] (4.6)

Se o controlador C(z) estabiliza Gn(z), a condic¸ ˜ao de robustez em malha

fe-chada é que para todas as frequ ências, todas as plantas da fam´ılia de modelos man-tenham a dist ância entre C(ejw_)G

n(ejw)e o ponto -1 no diagrama de nyquist seja maior

que |C(ejw_{)∆P (e}jw_{)|. O que resulta:}

δP (w) < dP (w) = |1 + C(z)Gn(z)| |C(z)Gn(z)|

; z = ejw _{e 0 6 w <} π Ts

(4.7)

A funç ão dP (w) é o limite superior que garante estabilidade para erros de mo-delagem. Uma vez que o controle C(z) é sintonizado, dP (w) é fixado. Logo, quando se deseja uma alta performance, a robustez ser á baixa, com baixos valores de dP (w) em altas frequ ências. Se o controle C(z) n ão for bem escolhido, pequenos erros de modelagem podem instabilizar o sistema de malha fechada.

Para exemplificar o resultado de erros de modelagem na resposta do sistema controlado por PS ´e usada a planta P (s) = e−s

(s+1)2. ´E sintonizada com um PID ideal,

com par ˆametros PID 1: Kc = 0.5; Ti = 1.17; Td = 0.35; Tf = 20; e estrutura ideal, que

segue a equac¸ ˜ao 4.15.

Na figura 4.5 um degrau de amplitude um é aplicado em zero segundos e uma perturbaç ão em 70. A resposta na cor azul se refere ao modelo nominal, sem erros de modelagem. Na verde foi introduzido um erro de 20% a mais no ganho da planta e a resposta teve um pico maior e com oscilaç ões. Na vermelha o erro introduzido foi no atraso L, tamb ém para mais, resultando em um atraso de 1.2 segundos. A resposta tamb ém apresentou um pico maior que a do modelo nominal. Na resposta azul claro foram combinados os dois erros, o que resultou em um comportamento bastante os-cilat ório e pico de quase 40%.

(34)

Figura 4.5: Erro de modelagem no preditor de Smith

O preditor de Smith possui um grau de liberdade que confere robustez para er-ros de modelagem, o que pode n ão garantir o compromisso performance × robustez, por ém possui uma limitaç ão maior com plantas inst áveis ou integradoras. Analisando a funç ão transfer ência da resposta a perturbaç ão, equaç ão 4.2 se observa que os p ólos de P (s) n ão podem ser eliminados. Logo, n ão é poss´ıvel utilizar este compen-sador para plantas inst áveis por n ão confere estabilidade interna. A n ão eliminaç ão dos p ólos na resposta a perturbaç ão tamb ém implica na impossibilidade de acelerar a rejeiç ão mais que a velocidade de malha aberta, o que se torna um problema com din âmicas lentas.

Na figura 4.6 s ˜ao apresentadas tr ˆes plantas, com P1(s) = e −s

(s−1)∗(s+1) inst ´avel,

P2(s) = e −s

(50∗s+1)2 de din ˆamica lenta em malha aberta e P3(s) = e−s

s∗(s+1) integradora. ´E

aplicado um degrau de refer ência no instante de tempo zero e uma perturbaç ão de amplitude 0.1 no instante de tempo de 4 segundos para P1(s)e P3(s), e em 50

segun-dos para P2(s). A planta inst ável instabiliza ap ós a perturbaç ão; a din âmica mais lenta

foi bastante acelerada em malha fechada com um tempo de acomodaç ão de aproxima-damente 20 segundos, por ém leva quase 200 segundos para rejeitar completamente a perturbaç ão, e a integradora estabiliza em um ponto diferente à refer ência.

(35)

Figura 4.6: Exemplos de limita¸c˜oes do preditor de Smith

O preditor de Smith apresentado anteriormente é usado para melhorar a res-posta de controle em sistemas com atrasos significantes. É f ácil e simples de sintoni-zar, logo é muito conhecido e amplamente utilizado. Todavia possui limitaç ões de es-tabilidade interna com plantas integradoras e inst áveis. Existem muitas modificaç ões da estrutura original para contorn á-las, uma delas, o Preditor de Smith filtrado, [13], [14], ser á adotada neste projeto, por sua simplicidade e poque permite uma soluç ão unificada do problema.

4.2: Preditor de Smith Filtrado

O preditor de Smith filtrado [14] tem um bom desempenho para diferentes ca-racter´ısticas de processos (est ´aveis, integradores e inst ´aveis), adicionando dois filtros na estrutura original, F (z) e Fr(z)vistos na figura 4.7.

(36)

Sistema de controle 4.2 Preditor de Smith Filtrado

Figura 4.7: Esquema do Preditor de Smith filtrado

Fr(z): filtro para melhorar as propriedades do preditor quanto a robustez e

es-tabilidade interna.

Este filtro confere estabilidade interna cancelando as ra´ızes indesej áveis do pro-cesso e quando implementado em tempo discreto possui uma soluç ão melhor e mais simples para cancelar as ra´ızes inst áveis, pois permite calcular a compensaç ão do atraso de forma exata1_{. A estrutura pode ser um pouco modificada para facilitar estes}

c ´alculos, como mostra a Figura 4.8. Onde o modelo discreto Gn(z) ´e calculado com

um sustentador de ordem zero e S(z) = Gn(z) − Pn(z)Fr(z).

Figura 4.8: Esquema do Preditor de Smith filtrado discreto simplificado

A an álise do sistema ser á desenvolvida com a estrutura 4.7, enquanto os c álculos de sintonia no modelo simplificado 4.8.

Supondo o modelo nominal, com aux´ılio da figura 4.8, as func¸ ˜oes que

(37)

nam a sa´ıda Y (z) com a refer ência r(z) e a perturbaç ão q(z) s ão: Hr(z) = Y (z) R(z) = F (z)C(z)Pn(z) 1 + C(z)Gn(z) (4.8) Hq(z) = Y (z) Q(z) = Pn(z)[1 − C(z)Pn(z)Fr(z) 1 + C(z)Gn(z) ] (4.9)

A robustez a erros de modelagem ser ´a realizada da mesma maneira que em 4.1.2 para o preditor de Smith.

4.2.1: Robustez

A estrutura modificada possui um grau a mais de liberdade para conferir robus-tez ao sistema, [7], [13]. O limite superior da norma, que garante estabilidade para erros de modelagem depender ´a al ´em da sintonia de C(z), a de Fr(z). Neste caso

dP (w) ´e: δP (w) < dP (w) = |1 + C(z)Gn(z)| |C(z)Gn(z)Fr(z)| ; z = ejw _{e 0 6 w <} π Ts (4.10)

e pode ser reescrita em func¸ ˜ao de Fr(z)

|Fr(z)| < dP (w) = |1 + C(z)Gn(z)| |C(z)Gn(z)dP (w)δP (w)| ; z = ejw _{e 0 6 w <} π Ts (4.11)

A sintonia do filtro Fr(z) deve considerar dP (w), pois ´e uma ferramenta para

aumentar a robustez do sistema quanto a erros de modelagem, pois se bem escolhido atenua as frequ ˆencias onde o erro ´e maior. A sintonia de Fr(z) deve atender outros

fatores, afim de estabilizar internamente plantas inst ´aveis, o que ser ´a visto a seguir.

4.2.2: Sintonia do Preditor de Smith filtrado

O filtro Fr(z) é a principal ferramenta para rejeitar perturbaç ões e alcançar a

estabilidade interna em sistemas inst áveis ou integrativos, pois pode ser ajustado de forma a desacoplar a resposta a perturbaç ão da resposta a sinais de refer ência. Serve ainda para aumentar a robustez de variaç ões no modelo e erros de modelagem. A sin-tonia do preditor de Smith filtrado tem como elemento principal a sinsin-tonia do filtro Fr(z)

[13], [7]. O ajuste do controlador C(z) e o filtro de referencia devem seguir os m ´etodos explicados em 4.3.

(38)

Sistema de controle 4.3 Controle prim´ario e filtro de referˆencia

escrito separando numerador e denominador na equaç ão 4.12, no qual os p ólos inde-sej áveis D+

n(z), que podem ser representados como D+n(z) = (z − z1)...(z − zn).

Pn= Nn(z) D+ n(z) ∗ D−n(z) z−dn _(4.12) ´

E feito o mesmo com o filtro do preditor Fr(z) = N_Dr_r(z)_(z). O filtro deve ter ganho

unit ´ario para n ˜ao influenciar o sistema em regime permanente. Para encontrar Nr(z)

se reescreve a realimentac¸ ˜ao da figura 4.7 para sintonizar Fr(z):

1 − z−dn_F r(z) = Dr(z) − z−dnNr(z) Dr(z) = (z − zo)(z − z1)...(z − zn)p(z) Dr(z)zdn (4.13)

onde zo= 1 e p(z) ´e um polin ˆomio desconhecido.

A funç ão transfer ência de S(z) é: S(z) = Nn(z) Dn(z)− p(z(z − z0)) Dr(z) (4.14) Note que:

1. Dr(z)deve ser escolhido a priori e tem ligac¸ ˜ao com a robustez do sistema;

2. as ra´ızes de Nr(z)devem ser calculadas afim de garantir a identidade polinomial

4.13;

3. S(z) é est ável e dado pela equaç ão 4.14;

4. o termo (z − zo) = (z − 1)para garantir que Fr(1) = 1.

4.3: Controle prim´

ario e filtro de referˆ

encia

O bloco de controle C(z), chamado de controle prim ário, que aparece no pre-ditor de Smith é projetado para controlar a planta G(z) sem considerar o atraso. É o grande respons ável pela din âmica final quando tem-se uma boa prediç ão.

Neste projeto ser á utilizado o m étodo de ajuste de PI robusto [13] para o c álculo do controle inicial, pois é uma sintonia robusta, o que n ão deve instabilizar o sistema ainda que o modelo obtido n ão esteja ideal. Este ajuste é robusto pois considera uma poss´ıvel variaç ão do atraso L e de um erro de modelagem.

Para tal é usado o modelo cont´ınuo obtido atrav és do m étodo da área, e os c álculos dependem da incerteza do atraso ∆L, constante de tempo τ e ganho K. Este m étodo de sintonia possui dois graus de liberdade e prev ê o ajuste de um filtro

(39)

Modelo C(z) F (z) Kc Ti KpeLs 1sτ Kc(1+Tis) Tis 1+T0s 1+T1s τ KpT0 τ

Tabela 4.1: Ajuste de controle robusto

de refer ência F (z). Atrav és da an álise de robustez de [13] com um T0 = 1.7∆L e

T1 ∈ [τ, T0]o controle ser ´a robusto, [13].

Para os controles posteriores, nos quais o m étodo de identificaç ão usado é de m´ınimos quadrados discreto, a sintonia é baseada na escolha da margem de fase desejada. É realizada atrav és da funç ão pidtune, [15], que possui compromisso entre desempenho e robustez, rejeita perturbaç ões constantes , apresenta seguimento a refer ência e promove estabilidade interna. A margem de fase escolhida é de 60°, e a partir da din âmica da planta o algoritmo escolhe a largura de banda de malha fechada que mantenha tal margem de fase. Ap ós isto calcula os par âmetros de controle. C(z) = pidtune(sys, type)2

O controlador PID gerado ter á a mesma natureza temporal que o modelo utili-zado, neste caso onde o modelo é discreto de segunda ordem, o controle gerado ser á um PID discreto. A estrutura do PID é a acad êmica, mostrada na equaç ão 4.15:

C(z) = Kc 1 + TiTs 1 z − 1+ Td Tf 1 + TfTs_z−11 ! (4.15)

O filtro de refer ência F (z) é desenhado para cancelar os zeros indesej áveis do controlador e diminuir o pico na resposta. Zeros de fase n ão m´ınima devem ser man-tidos e o filtro deve ter ganho unit ário, F (1) = 1, para n ão interferir no comportamento em regime permanente.

Considerando que C(z) = Nc(z)

Dc(z), e Nc(z) = (z − z1)(z − z2) o filtro de refer ˆencia

ter ´a um par ˆametro para reposicionar os zeros. Neste projeto, foi utilizado α = 0.9, fazendo com que:

F (z) = (z − αz1)(z − αz2) Nc(z)

(4.16)

2_{E uma fun¸}´ _c˜_{ao do MATLAB, na qual sys ´}_{e o modelo a ser controlado e type permite escolher a estrutura} do controlador (PI, PID)

(40)

Sistema de controle 4.4 ´Indice de qualidade da malha fechada

4.4: ´Indice de qualidade da malha fechada

Para quantificar a qualidade de um sistema de controle em malha fechada, e desta forma garantir o desempenho esperado, é necess ário utilizar ´ındices capazes de avali á-las. Com a deterioraç ão dos equipamentos a qualidade pode sofrer alteraç ões, e o ´ındice pode indicar tamb ém a necessidade de manutenç ão.

No presente projeto o ´ındice de qualidade indicar á a necessidade de uma nova identificaç ão e modelagem do sistema. O ´ındice escolhido é baseado no erro atrav és do tempo (r − Y ) quando ocorre uma mudança de refer ência. No caso o utilizado ser á o IAE - integrated absolute error, proposto por [11] com aplicaç ões encontradas tamb ém em [17].

IAE = Z ∞

0

|e(t)|dt (4.17)

Como par âmetro de avaliaç ão deve-se calcular o ´ındice ótimo IAEo, o qual

deve seguir a especificaç ão proposta. Neste trabalho busca-se uma velocidade de malha fechada pr óxima a de malha aberta. O ´ındice ser á calculado da forma indicada abaixo,[16].

IAEo = Ae(L + Tmf) (4.18)

onde Ae é a amplitude da mudança de refer ência, L é o atraso e Tmf o tempo de

acomodac¸ ˜ao de malha fechada, que para este trabalho considerou-se Tmf = Tma.

A raz ˜ao dos dois par ˆametros Q = IAEo

IAE deve ser pr ´oxima a 1 e ser ´a utilizada

para quantificar a qualidade do controle. Resultados acima deste valor indicam um comportamento melhor que o especificado por IAEo e abaixo o comportamento pior.

A modo de exemplo foram calculados tr ˆes PIDs diferentes para a planta P (s) =

e−s

(s+1)2 . O resultado pode ser visto abaixo na figura 4.9.

Com a especificaç ão de velocidade de malha fechada igual a de malha aberta, obteve-se um IAEo= 3.005. Assim a raz ão de cada um dos ´ındices fica:

• QP ID1 = 0.37

• QP ID2 = 0.55

• QP ID3 = 0.88

Os ´ındices transparecem a qualidade da resposta do sistema, estando o PID 3 pr óximo da velocidade de malha aberta sem oscilaç ões ou picos, o PID 2 é r ápido

(41)

Figura 4.9: Teste de qualidade

por ´em bastante oscilat ´orio com sobre sinal, e o PID 1 com um desempenho baixo.

4.5: Conclus˜

ao

Neste cap´ıtulo foram analisadas as caracter´ısticas b ásicas da estrutura de con-trole selecionada, o preditor de Smith filtrado, como: formas de sintonia, robustez, forma de implementaç ão, vantagens e desvantagens. Tamb ém foi explicado a forma como o sistema de controle realizar á a verificaç ão da qualidade do ajuste, com a utilizaç ão do ´ındice IAE.

Como pr óximo passo, ser á analisado o último m ódulo do projeto que tem papel principal para coordenaç ão do sistema e seu correto funcionamento de forma a se obter a caracter´ıstica de auto-tunning, objetivo principal deste projeto.

(42)

5 Sistema supervis´

orio

Como j á comentado o controle supervis ório é respons ável pela coordenaç ão das operaç ões realizadas pelos m ódulos de controle e identificaç ão. Neste cap´ıtulo esta coordenaç ão é analisada e ilustrada com alguns exemplos e simulaç ões.

5.1: Modelo do sistema supervis´

orio

Para especificar o sistema supervis ório os diferentes eventos necess ários para seu funcionamento devem ser definidos e analisados. O sequenciamento é mostrado na figura 5.1. Inicialmente o processo é levado de forma manual para pr óximo do ponto de operaç ão. Nesta condiç ão é aplicado um pequeno degrau, ainda em malha aberta, o qual levar á o sistema enfim ao ponto de operaç ão. Com os dados de entrada e sa´ıda é estimado e validado o primeiro modelo do sistema, atrav és do m étodo da área. O modelo calculado ser á de primeira ordem, como especificado na seç ão 3.1.2. Com os mesmos dados tamb ém s ão calculadas as frequ ências minimas e m áximas como descrito na seç ão 3.1.3.4, o per´ıodo de amostragem Ts atrav és da

equac¸ ˜ao 3.7, o atraso estimado discretizado dn e os dmin e dmax, a partir do ∆L, como

indicado na seç ão 3.1.5. Com o modelo do processo é sintonizado o PSF, da maneira descrita nas seç ões 4.3 e 4.2.2. Terminados os c álculos o supervis ório muda para a estrutura do PSF, utilizando o m étodo de comutaç ão entre os dois sinais descrito em 5.2 para evitar mudanças bruscas no controle, o bumpless, e resulta no sistema em malha fechada. Nesta condiç ão ser á aproveitada cada mudança de set-point para realizar o teste de qualidade. Se a qualidade Q estiver dentro dos valores estabele-cidos na seç ão 4.4 o sistema continuar á em malha fechada, aguardando uma nova mudança da refer ência para outro teste da qualidade.

Caso a qualidade esteja fora destes valores a planta deve ser re-identificada. Para isto o supervis ório colocar á o sistema no controle por bandas, o qual mant ém a malha aberta enquanto a sa´ıda respeitar o intervalo de valores especificados. O

(43)

inter-Figura 5.1: Modelo do supervis´orio

valo fica a crit ério do operador e deve incluir a amplitude do sinal de excitaç ão PRBS e do ru´ıdo. Neste trabalho a banda foi escolhida de 20% para mais e para menos. O sistema supervis ório aplica o sinal de excitaç ão e armazena os dados de entrada e sa´ıda. Caso a sa´ıda saia desta faixa de valores o sistema retorna a estrutura do PSF, recoloca o sistema na faixa de operaç ão e descarta os dados obtidos e refaz o processo de identificaç ão.

No funcionamento esperado, sem sair da faixa de operaç ão, os dados de en-trada e sa´ıda servir ão para o c álculo do novo modelo, com o m étodo dos m´ınimo qua-drados discreto, visto na seç ão 3.1.5. O modelo encontrado ser á validado com o ´ındice FIT, especificado na seç ão 3.1.4, testando os atrasos inclu´ıdos na incerteza de atraso ∆L. O atraso com o maior valor de FIT é o escolhido e forma o novo modelo candi-dato, o qual ser á comparado ao modelo antigo atrav és do ´ındice FIT. Se o FIT atual for menor que o FIT anterior, o controle n ão é atualizado e uma nova identificaç ão é reali-zada com o n úmero de per´ıodos do PRBS aumentado em 2, onde este valor inicia em

(44)

Sistema supervis´orio 5.2 Mecanismo de comuta¸c˜ao entre estados

4 per´ıodos e tem o limite de 8 per´ıodos. Este procedimento tamb ém s ó é realizado por um determinado n úmero de vezes. Caso contr ário, o modelo é usado para calcular os novos par âmetros de controle, assim como o valor do atraso dntamb ém é atualizado

para o novo valor ótimo, segundo as seç ões 4.3 e 4.2.2.

O supervis ório desativa o controle por bandas, retornando a estrutura do PSF, que ter á sua qualidade Q testada na nova mudança de set-point.

O controle da planta, a aquisiç ão de dados, a comutaç ão de controle s ão feitos de forma din âmica, e possuem um comportamento distinto para cada estado. Por ém os estados s ão modificados por eventos, que chaveiam para diferentes modos com base em regras de transiç ão impostas. Os c álculos ocorrem de forma coordenada, por ém deveriam acontecem paralelamente e serem impercept´ıveis a sa´ıda do sistema, ser ão considerados com tempo de execuç ão nulo.

5.2: Mecanismo de comuta¸

c˜

ao entre estados

O controle é aplicado de forma cont´ınua no sistema. Por ém como j á visto, co-muta entre seus estados em funç ão de eventos discretos. Quando h á a mudança de estado ocorrem alteraç ões bruscas de controle prejudicando seu funcionamento.

(45)

Na figura 5.2 mostra-se um exemplo da mudanc¸a do sistema em malha aberta para fechada em aproximadamente 9 segundos. A din ˆamica utilizada foi P (s) = _(s+1)e−s2

e n ão houve nenhum cuidado em evitar picos de controle. O supervis ório aguarda o sistema voltar ao ponto de operaç ão para mudar a refer ência e realizar o primeiro teste de qualidade. Este mecanismo para evitar tais picos é chamado em ingl ês de bumpless transfer.

Neste trabalho foram adaptadas t écnicas para que as transiç ões entre os con-troles n ão fossem afetadas. Os procedimentos adotados ser ão explicados a seguir. Com:

y = saida

ref = ref erencia

uc = sinal de controle calculado

u = sinal de controle aplicado em P uref = ref erencia de controle

Quando em malha fechada o sinal de controle u ´e calculado a partir do erro e = ref − y. Ao ser iniciado de forma manual o sinal uc deve atingir o valor da

re-fer ência ref aplicada e para isto, se prop õem o uso de um erro alternativo para calcu-lar o sinal de controle at é que chegue ao valor desejado. É usada uma referencia de controle uref e se realimenta o pr óprio controle calculado uc, assim o erro e = uref− uc.

Quando o erro for nulo ´e feito o chaveamento de controle para malha fechada. A figura 5.3 exemplifica o uso deste mecanismo. A planta ´e a mesma do exemplo anterior (sem mecanismo de bumpless)

Ao mudar de malha fechada para aberta, esta deve ter ser valor inicial igual ao de malha fechada. O sinal de controle ucser á mantido no ponto de operaç ão de malha

fechada de maneira similar a inicial com e = 0. O supervis ório inicia o teste de quali-dade antes, pois a sa´ıda n ão divergiu do ponto de operaç ão em nenhum momento.

Com o uso deste mecanismo de comutaç ão se conseguiu um resultado satis-fat ório na resposta e controle, o qual pode ser visto na figura 5.3.

(46)

Sistema supervis´orio 5.3 Esquemas utilizados

Figura 5.3: Resposta do sistema com mecanismo de comuta¸c˜ao

5.3: Esquemas utilizados

Com a teoria dos cap´ıtulos 3, 4 e os objetivos definidos, a metodologia para tratar com cada m ódulo ser á apresentada a seguir. Ser ão abordados por separado e depois ser ão unidos conforme a seç ão 5.1.

5.3.1: Pr´

e-teste

De forma manual o sistema é levado às proximidade do ponto de operaç ão. Aplica-se um degrau em malha aberta no processo e os dados desta mudança de refer ência devem ser armazenados para calcular o primeiro modelo com m étodo da

´area, assim como o c ´alculo do Ts, dn, ∆L, dmax e dmin.

O m étodo da área realiza a pr é-identificaç ão do processo, aproximando o sis-tema por um modelo de primeira ordem com atraso. É robusto aos ru´ıdos pois usa a media dos valores de entrada e sa´ıda. O modelo inicial obtido é representado como Pni(s).

Pni(s) =

KpeLns

(47)

Estimado Pni(s) é escolhido um Ts que segue a equaç ão 3.7 e o atraso L é

aproximado por n ´umero inteiro dn de per´ıodos.

Nesta hora ´e feito um pr ´e-processamento para escolher wmin e wmax o que

re-quer o Tscalculado, atrav ´es dos dados da sa´ıda Ypp, da maneira explicada em 3.1.3.4.

Os par âmetros para a funç ão que calcula o sinal s ão wmin, wmax , T s e a amplitude A

adotada pelo projetista do projeto.

Entrada: estado do supervis ´orio: in´ıcio do pr ´e-teste , Y (s), U (s) de malha aberta.

• chama a funç ão do m étodo da área com os par âmetros Ypp e ta – intervalo de

adquisic¸ ˜ao de Ypp

• o m étodo da área calcula a funç ão Pni, seguindo o algoritmo da seç ão 3.1.2

• valida o modelo atrav és da funç ão de FIT, equaç ão 3.18 • com os dados do sistema elege um Tscom a equaç ão 3.7

• discretiza o atraso, dn e calcula m áximo e m´ınimo dmax e dmin como na seç ão

3.1.5

• chama a funç ão que calcula wmin, wmax com os m étodos encontrados na seç ão

3.1.3.4

• termina o pr ´e-teste.

Sa´ıda: Pni, T s, dn, dmax, dmin, wmin e wmax.

5.3.2: C´

alculo do primeiro controle

Com Pni(s) e T s se calcula a funç ão transfer ência equivalente em tempo

dis-creto Pn(z)utilizando zero order holder. Os par ˆametros Kp,τ ,L, ∆L s ˜ao usados para

o primeiro c ´alculo de C(z), F (z), S(z) e Fr(z), de maneira conservativa, utilizando os

m ´etodos de sintonia vistos em 4.3 e 4.2.2, e C(z) estabilize o sistema em seu ponto de equil´ıbrio. Como visto na teoria S(z) = Gn(z) − Pn(z)Fr(z).

Assim é feita uma transiç ão de manual para a configuraç ão da figura 5.4, e por evitar picos e oscilaç ões é utilizado um bumpless transfer. O sistema supervis ório manter á o sistema de controle com a malha fechada at é assegurar que se atinja o