UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CENTRO ACADÊMICO DO AGRESTE
NÚCLEO DE TECNOLOGIA
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
TIAGO FERNANDO ANDRADE MARTINS
OTIMIZAÇÃO DE ESTRUTURAS DE TRELIÇAS
UTILIZANDO TÉCNICAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
TIAGO FERNANDO ANDRADE MARTINS
OTIMIZAÇÃO DE ESTRUTURAS DE TRELIÇAS UTILIZANDO
TÉCNICAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Engenharia Civil do Centro Acadêmico do Agreste - CAA, da Universidade Federal de Pernambuco - UFPE, como requisito para obtenção do título de Bacharel em Engenharia Civil.
Área de concentração: Engenharia/Engenharia Civil/Estruturas
Orientador: Prof. Dr. Gustavo Bono Coorientadora: Profa. Dra. Giuliana F. F. Bono
Catalogação na fonte
Bibliotecário Elilson Rodrigues Góis CRB4 - 1687
M386o Martins, Tiago Fernando Andrade.
Otimização de estruturas de treliças utilizando técnicas de programação linear. / Tiago Fernando Andrade Martins. - Caruaru : O autor, 2011.
53.: ; il. ; 30 cm.
Orientador: Gustavo Bono
Monografia (Trabalho de Conclusão de Curso) – Universidade Federal de Pernambuco, CAA. Engenharia Civil, 2011.
Inclui bibliografia.
1.Project (Programa de Computador). 2. Engenharia auxiliada por computador. 3. Otimização Estrutural. 4. Método dos Elementos Finitos. 5. Engenharia de estrutura (Estruturas reticuladas) I. Bono, Gustavo. (orientador). II. MATLAB (Programa de computador). III. Título.
624 CDD (22.ed.) UFPE (CAA 2012-10)
TIAGO FERNANDO ANDRADE MARTINS
OTIMIZAÇÃO DE ESTRUTURAS DE TRELIÇAS
UTILIZANDO TÉCNICAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Engenharia Civil do Centro Acadêmico do Agreste - CAA, da Universidade Federal de Pernambuco - UFPE, como requisito para obtenção do título de Bacharel em Engenharia Civil.
Área de concentração: Engenharia/Engenharia Civil/Estruturas
Aprovado em: Caruaru, 15 de dezembro de 2011.
Coordenador da Disciplina de TCC:
Prof. Dr. Anderson Luiz Ribeiro Paiva Universidade Federal de Pernambuco – UFPE
AGRADECIMENTOS
A Deus, por ter me dado a vida, sustentá-la e me ensinar o melhor modo de usufruí-la. Aos meus pais, Paulo e Josélia, pelo empenho para que eu obtivesse uma boa educação.
Aos meus Avós, Otília e José Andrade, pelo amor que sempre me demonstram.
Ao CAA/UFPE e a todos os professores, em especial os do curso de Engenharia Civil. Aos meus orientadores, Gustavo e Giuliana, pelos ensinamentos e atenção.
Aos meus colegas de curso, em especial Martina, Arthur e Heverton, pelo companheirismo e pelas muitas ajudas ao longo desses cinco anos.
Aos meus queridos amigos Mauricio, Giuseph, Gustavo, Brenno, Jurandir e aos casais Maria e Paulo Eugênio e Juraci e José Diniz. A amizade de vocês traz muita felicidade para minha vida.
“Não sei o que pareço ser para o mundo, mas, para mim mesmo, só pareço ter sido um menino brincando à beira do mar, e divertindo-me de vez em quando com achar uma pedra mais lisa ou uma concha mais bonita do que costuma ser, ao passo que o grande oceano da verdade jazia diante de mim ainda todo por descobrir.”—Sir Isaac Newton.
RESUMO
O presente trabalho teve como objetivo desenvolver um programa computacional de otimização de treliças planas com o uso de algoritmos clássicos de Programação Linear. Para a análise estrutural empregou-se o Método dos Elementos Finitos e, para a otimização, o algoritmo de programação linear existente no programa MATLAB. No programa desenvolvido minimiza-se o peso da estrutura, tomando como variáveis de projetos as áreas das seções transversais das barras e, tendo uma das seguintes restrições: flexibilidade, tensão ou tensão e flambagem local. Para validar e verificar o desempenho do programa implementado são apresentados problemas clássicos da otimização estrutural. Os resultados obtidos apresentam reduções consideráveis no peso final da estrutura.
Palavras–chave: Estruturas reticuladas. Otimização de estruturas. Método dos
ABSTRACT
The present work aimed to develop a computer program for the structural optimization of plane trusses with the use of classical linear programming algorithms. For structural analysis we used the Finite Element Method, and to optimize the existing linear programming algorithm in MATLAB. In the developed program minimizes the weight of the structure, taking as variables the project areas of the cross sections of the bars and having one of the following restrictions: flexibility, stress or stress and local buckling. To validate and verify the performance of the implemented program are presented classical problems of structural optimization. The results show significant reductions in final weight of the structure.
LISTADEFIGURAS
Figura 1.1 – Exemplos de aplicação de treliças ... 2
Figura 2.1 – Barra sob tração ... 5
Figura 2.2 – Barra sob tração discretizada ... 6
Figura 2.3 – Elemento de barra ... 6
Figura 2.4 – Forças nodais do elemento de barra ... 7
Figura 2.5 – Equilíbrio nos nós ... 8
Figura 2.6 – Elemento de barra inclinado em relação ao eixo x ... 9
Figura 3.1 – Estrutura de 4 nós. ... 20
Figura 3.2 – Determinação da solicitação mais crítica. ... 24
Figura 4.1 – Fluxograma do programa. ... 26
Figura 5.1 – Treliça com 10 barras. ... 27
Figura 5.2 – configurações otimizadas para treliça com 10 barras (CASO 1). ... 28
Figura 5.3 – Variação do volume da estrutura e das áreas das barras 1, 5 e 7 _____ _________________para restrição de tensão, para treliça com 10 barras (CASO 1). ... 29
Figura 5.4 – configurações otimizadas para treliça com 10 barras: CASO 2 (a)______ ________________e CASO 3 (b) ... 30
Figura 5.5 – Treliça com 23 barras. ... 31
Figura 5.7 – Variação do volume da estrutura e das áreas das barras 1, 5 e 7 para_____ ________________restrição de tensão, para treliça com 23 barras. ... 33
Figura 5.8– Treliça com 47 barras. ... 35
Figura 5.9– Configurações otimizadas para treliça com 47 barras. ... 36
Figura 5.10– Variação do volume da estrutura e das áreas das barras 1, 5 e 7 para____ _________________restrição de tensão, para treliça com 47 barras. ... 37
LISTADETABELAS
Tabela 5.1 – Áreas otimizadas para a treliça com 10 barras (CASO 1). ... 28
Tabela 5.2 – Reduções obtidas para a treliça com 10 barras (CASO 1). ... 29
Tabela 5.3 Comparação das áreas finais obtidas para a otimização de tensão com____ ______________ os trabalhos de Haftka (1991) e Souza e Fonseca (2008), para a treliça____ ______________ com 10 barras (CASO 1). ... 29
Tabela 5.4 – Áreas otimizadas para a treliça com 10 barras: CASO 2 (a) e____ _________________CASO 3 (b). ... 30
Tabela 5.5 – Reduções obtidas para a treliça com 10 barras: CASO 2 (a) e ____ _________________ CASO 3 (b). ... 31
Tabela 5.6 – Áreas otimizadas para a treliça com 23 barras. ... 33
Tabela 5.7 – Reduções obtidas para a treliça com 23 barras ... 34
Tabela 5.8 – Áreas otimizadas para a treliça com 47 barras. ... 36
LISTADESÍMBOLOS l comprimento da barra
A área da seção transversal da barra
P carga axial
L comprimento do elemento de barra
u deslocamento nodal livre
tensão normal
E módulo de elasticidade
deformação axial
variação do comprimento do elemento de barra matriz de rigidez do elemento de barra i
peso da estrutura
massa especifica do material da barra i
comprimento da barra i
área da seção transversal da barra i tensão normal atuante na barra i
Tensão de compressão admissível na barra i
tensão de tração admissível na barra i
carga crítica de Euler para a barra i
área da seção transversal mínima admissível para barra i área da seção transversal máxima admissível para barra i
- flexibilidade da estrutura -
flexibilidade máxima admissível para a estrutura
número de elementos (barras) da estrutura trabalho das forças externas
vetor de forças
trabalho das forças externas na barra i
trabalho das forças externas máxima admissível para a barra i
delta de Kronecker
matriz de rotação de coordenadas globais para locais matriz de posicionamento da barra I
SUMÁRIO
RESUMO ... viii
ABSTRACT ... ix
LISTA DE FIGURAS ... x
LISTA DE TABELAS ... x
LISTA DE SÍMBOLOS ... xii
SUMÁRIO ... xiii 1 INTRODUÇÃO ... 1 1.1 Justificativa ... 2 1.2 Motivação ... 3 1.3 Objetivos ... 3 1.3.1 Objetivo Geral ... 3 1.3.2 Objetivos Específicos ... 4
2 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ... 5
2.1 Introdução ... 5
2.2 Formulação Direta do Elemento de Barra ... 5
2.3 Transformação de Coordenadas ... 9
3 OTIMIZAÇÃO DE TRELIÇAS PLANAS... 12
3.1 Introdução ... 12
3.2 Definição do Problema de Otimização para Treliças ... 12
3.3 Programação Linear ... 13
3.3.1 Linearização e Derivada do Trabalho das Forças Externas em Relação___ ___________ às Áreas das Seções Transversais ... 14
3.3.2 Linearização e Derivada da Restrição de Tensão em Relação às Áreas___ ___________ das Seções Transversais... 17
3.3.3 Linearização e Derivada da Restrição de Flambagem Local em Relação__ ___________ às Áreas das Seções Transversais ... 21
3.3.4 Restrição de Tensão e Flambagem Local em Relação às Áreas das___ ____________Seções Transversais ... 24
4 ESTRUTURA DO PROGRAMA ... 25
5 RESULTADOS ... 27
5.1 Treliça com 10 barras ... 27
5.2 Treliça com 23 barras ... 31
5.3 Treliça com 47 barras ... 34
6 CONCLUSÃO ... 38
7 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ... 39
1
1 INTRODUÇÃO
Entre as estruturas que possuem um vasto campo de aplicação na engenharia, as treliças são bastante utilizadas como estruturas de cobertura em edifícios industriais, em torres de transmissão de energia, entre diversos outros usos, conforme se pode observar na Figura 1.1. São especialmente indicadas para superar grandes vãos ou suportar cargas elevadas, e nesse contexto tornam-se uma solução econômica e prática. Além disso, devido à grande diversidade de soluções estaticamente possíveis para se vencer um determinado vão ou suportar um determinado carregamento, as treliças apresentam um campo bastante fértil ao emprego de técnicas de otimização. Pelo fato da análise e dimensionamento de estruturas, de forma geral, se constituir em processos iterativos, busca-se, com o uso dessas técnicas, minimizar o consumo de material sem comprometer a segurança estrutural.
Para entender melhor a importância da otimização de estruturas é preciso ressaltar as diferenças básicas entre um projeto convencional e um projeto ótimo. O dimensionamento convencional de estruturas visa obter uma configuração de projeto aceitável e adequada aos requisitos funcionais, normalmente regidos por uma regulamentação, se caracterizando por sofrer influência direta do projetista, através de um processo de tentativa e erro, dependendo assim de sua habilidade, experiência e intuição. Tal fato, além de conduzir a uma infinidade de soluções possíveis, pode levar a resultados insatisfatórios, primeiro porque está sujeito a falhas humanas e depois, não existem garantias de que a solução obtida seja a melhor do ponto de vista econômico. Já o emprego de uma técnica de otimização possibilita um melhor entendimento do processo de dimensionamento, porque transforma a estrutura do aspecto físico para o aspecto matemático, através de um processo de modelagem matemática da estrutura considerada e de todas as suas características.
O projeto estrutural ótimo consiste na escolha dos materiais, da topologia e da geometria das seções a serem utilizados no sistema, de forma a atender os requisitos de desempenho, economia e segurança. O projeto estrutural ótimo concentra-se na determinação de uma combinação conveniente obtida através de várias análises, visando à concepção ou determinação de uma estrutura de melhor desempenho global dentro dos objetivos estabelecidos.
2
(a) (b)
(c) (d)
Figura 1.1 – Exemplos de aplicação de treliças: (a) ponte, (b) cobertura de anfiteatro, (c) cobertura de galpão e (d) torres de transmissão de energia. Fonte: a, b e c, TRELIÇAS E ESTRUTURAS TRELIÇADAS; d, SABINO (2010).
1.1 Justificativa
Nos dias atuais, com o aumento da industrialização no Brasil, houve um aumento considerável de edifícios industriais instalados pelo país. No Agreste Pernambucano, congregam-se as três cidades que mais geram negócios no segmento têxtil do estado: Santa Cruz do Capibaribe, Toritama e Caruaru. Juntas, essas cidades colocam o Agreste Pernambucano em segundo lugar no ranking da produção nacional. A totalidade destas
3
atividades têxteis e de lavanderias é realizada em edificações industriais, que em boa parte delas, utilizam treliças como estruturas de cobertura.
Com o mercado cada dia mais exigente, para o dimensionamento dessas estruturas, a utilização de métodos de otimização tem se tornado indispensável, pois estes permitem obter resultados que atendam de forma ótima aos critérios de segurança e economia.
1.2 Motivação
Tem se tornado cada vez mais comum, para dimensionamento estrutural, a utilização de softwares estruturais comerciais que, em geral, utilizam métodos de otimização. Vê-se então, a importância para o aluno de graduação de conhecer a estrutura interna desses programas e sua inter-relação com os fundamentos teóricos, para que ao utilizar qualquer um desses programas na sua experiência profissional, não se torne meramente usuário, mas esteja capacitado de interpretar e avaliar de forma crítica os resultados obtidos.
Além disso, o desenvolvimento deste trabalho permite complementar e amadurecer o conhecimento adquirido durante o curso (como por exemplos das disciplinas de Cálculo, Álgebra, Mecânica, Resistência e Estabilidade), na medida em que este conhecimento é utilizado para se obter soluções práticas no dimensionamento de estruturas de treliças.
1.3 Objetivos
1.3.1 Objetivo Geral
Aplicar os conceitos de otimização no dimensionamento de estruturas de treliças, a fim de quantificar o mínimo de peso do material necessário para que a estrutura suporte o carregamento atuante com a devida segurança.
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1.3.2 Objetivos Específicos
a) Desenvolver um programa computacional para otimização de treliças com o uso de algoritmos clássicos de Programação Linear.
b) Desenvolver e implementar a restrição por flambagem local, produzindo desta maneira resultados mais confiáveis.
c) Validar e verificar o desempenho do programa desenvolvido aplicando-o a solução de problemas clássicos da otimização estrutural.
5
2 MÉTODODOSELEMENTOSFINITOS
2.1 Introdução
O Método dos Elementos Finitos (MEF) é uma ferramenta numérica que permite solucionar problemas complexos de engenharia, onde, na maioria das vezes a solução analítica não é possível. No MEF um meio contínuo é representado como um conjunto de subdivisões chamado de elementos finitos, no qual os elementos são interligados por nós ou pontos nodais. A solução aproximada das equações diferencias que representam o problema são obtidas a nível de elemento mediante o uso de métodos numéricos. Dessa forma, reduz-se o modelo matemático contínuo em um modelo matemático discreto.
O método dos elementos finitos pode ser desenvolvido através de várias abordagens diferentes, como apresentado em ZIENKIEWICZ & TAYLOR (2000), BATHE (1996), SORIANO (2009) e FISH & BELYTSCHKO (2009). As mais comuns são: o método direto, a formulação energética e o método dos resíduos ponderados (método de Galerkin). Neste trabalho foi adotada a abordagem do método direto, que é a mais utilizada para se obter a equação do elemento de barra (equação carregamentos-deslocamentos). As abordagens descritas nos itens 2.2 e 2.3 são baseadas nas deduções apresentadas por FONSECA (2002).
2.2 Formulação Direta do Elemento de Barra
Considere uma barra de comprimento e área de seção transversal , engastada e submetida à ação de uma carga axial , conforme mostra a Figura 2.1.
l
P x
A E
6
A barra é constituída de um material isotrópico, homogêneo e linear. Deseja-se estudar esta estrutura simples usando um processo de discretização, que pode ser o Método dos Elementos Finitos. Para tal, a barra da Figura 2.1 é modelada conforme apresentado na Figura 2.2, onde a mesma é subdividida em trechos denominados elementos de barra.
l
P
x
Figura 2.2 – Barra sob tração discretizada
O elemento de barra usado tem dois nós (1 e 2), área de seção transversal A, comprimento L e dois graus de liberdade e (aos quais poderiam ser associadas forças nodais e , respectivamente). Este elemento é mostrado na Figura 2.3 de duas maneiras. A primeira apresenta o elemento da maneira como foi feita a discretização da barra sob tração (Figura 2.3a), e a segunda apresenta a maneira mais comum de representar o elemento de barra de dois nós, uma vez que o comportamento da barra é representado pelo comportamento de sua linha centroidal (Figura 2.3b).
x u x1 ux2 e 1 2 A L x u x1 ux2 e 1 2 L (a) (b)____
Figura 2.3 – Elemento de barra
Considere a Figura 2.4, com as forças nodais do elemento de barra. A equação de equilíbrio de forças na direção x fornece:
7
L
1 2
P1 P2
Figura 2.4 – Forças nodais do elemento de barra
O estudo de barras sob carregamento axial realizado em Resistência dos Materiais mostra que a equação constitutiva (equação tensão - deformação), para este caso, é a lei de Hooke para tensões na sua forma mais simples (unidimensional), isto é,
(2.2)
Onde é a tensão normal, é o módulo de elasticidade e é a deformação axial, que é
dada em função do deslocamento axial ao longo do elemento por
(2.3)
A equação referente à deformação-deslocamento (2.3) pode ser reescrita, considerando que a deformação é constante ao longo do elemento, como:
(2.4)
onde é a variação do comprimento do elemento, devido à ação das forças nodais. Utilizando a definição dos deslocamentos nodais (graus de liberdade) e , pode-se escrever a equação deformação-deslocamento em termos das variáveis nodais, isto é,
8
Note que, para um elemento de área de seção transversal constante esta expressão é exata, o que implica que a tensão também é constante ao longo do elemento. Considerando o equilíbrio dos nós 1 e 2, com auxílio da Figura 2.5, obtém-se, respectivamente, as equações (2.6) e (2.7)
(2.6)
(2.7)
Substituindo-se a equação (2.2) nas expressões (2.6) e (2.7), tem-se:
(2.8) (2.9) L 1 P1 P2 xA xA 2
Figura 2.5 – Equilíbrio nos nós
e a subseqüente substituição da equação (2.5) nas expressões obtidas acima leva às equações:
(2.10)
(2.11)
que podem ser reescritas na forma matricial como
[ ] { } { } (2.12)
Esta é a equação do elemento de barra, na forma da equação fundamental de elementos finitos, ou seja, a equação carregamentos-deflexões (ou carregamentos-deslocamentos).
9
2.3 Transformação de Coordenadas
Na seção 2.2 foi usado o elemento de barra referenciado a um sistema de coordenadas
x coincidente com seu eixo centroidal. Porém, a matriz de rigidez e o vetor de carga podem
ser escritos referenciados a um sistema de coordenadas global, não coincidente com o eixo centroidal do elemento de barra. Portanto, considere o elemento de barra inclinado em relação ao eixo x (ver Figura 2.6).
e u A L s1 u s2 1 2 s y e P A L s1 P s2 1 2 s
Figura 2.6 – Elemento de barra inclinado em relação ao eixo x
Observe que a coordenada ao longo do eixo centroidal do elemento de barra é s e que o deslocamento ao longo do elemento de barra é dado por us, sendo us1 e us2 os deslocamentos nodais. θ é o ângulo entre o eixo s e o eixo x. A relação entre o deslocamento us ao longo do elemento e suas componentes e nas direções x e y, respectivamente, é
(2.13)
Uma força axial P pode ser decomposta em componentes nas direções x e y como:
(2.14)
10
Pode-se então escrever as relações entre os deslocamentos nodais (eixo s) e suas componentes nas direções x e y como:
{ } [ ] { } (2.16)
e entre as forças nodais e suas componentes nas direções x e y como:
{ } [ ] { } (2.17)
Introduzindo as relações (2.16) e (2.17) na equação (2.12) correspondente ao elemento de barra, agora reescrita em termos de e , ou seja,
[ ] { } { } (2.18) obtém-se: [ ] [ ] [ ] { } { } (2.19)
Após as multiplicações obtém-se
[ ] { } { } (2.20)
A equação acima é usada para o elemento de barra em relação a um sistema de coordenadas global x-y que não passa pelo seu eixo centroidal, o qual está inclinado em relação ao eixo x
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de um ângulo . Na equação (2.20), observam-se a matriz de rigidez e o vetor de carga usados para a resolução de problemas de treliças, considerando elementos de barra. Nesta equação, a matriz obtida [ ] (2.21)
é denominada de matriz de rigidez do elemento de barra em relação ao sistema de coordenadas global. O vetor de cargas:
{ } (2.22)
é denominado de vetor de carga do elemento de barra em relação ao sistema de coordenadas global. E o vetor
{ } (2.23)
é denominado vetor de deslocamentos nodais em relação ao sistema de coordenadas global. Assim a equação (2.20) pode ser escrita como:
12
3 OTIMIZAÇÃODETRELIÇASPLANAS
3.1 Introdução
Para o desenvolvimento do projeto, execução e manutenção de qualquer estrutura de engenharia, os engenheiros têm que tomar diversas decisões tecnológicas e gerenciais durante estas várias fases. O objetivo final de todas essas decisões é minimizar o esforço necessário ou maximizar o benefício desejado. Desde que o esforço necessário ou o benefício desejado em qualquer situação prática possa ser expresso como uma função de determinadas variáveis de decisão, a otimização pode ser definida como o processo de encontrar as condições que lhe fornecerão o valor máximo ou mínimo desta função, que passa a ser chamada de função
objetivo (RAO, 1996).
Aplicado a uma estrutura, a otimização consiste, por exemplo, em uma redução da massa sem prejudicar a rigidez da estrutura. A otimização em engenharia tem o intuito de fazer uma busca sistemática da solução ótima dentro de várias configurações possíveis através de um algoritmo de otimização. Dessa forma, o resultado independe do analista, onde este apenas especifica os parâmetros de entrada relevantes para depois avaliar e julgar a solução final imposta como ótima pelo algoritmo.
3.2 Definição do Problema de Otimização para Treliças
Na otimização de uma treliça, em geral, deseja-se reduzir sua massa, sujeito a restrições de tensão, flambagem e flexibilidade.
O problema pode ser declarado da seguinte forma:
Minimizar
∑
13 Sujeito a , onde: = massa da estrutura,
= massa especifica do material da barra i, comprimento da barra i,
= área da seção transversal da barra i, = tensão normal atuante na barra i,
= tensão de compressão admissível na barra i, = tensão de tração admissível na barra i,
= carga crítica de Euler para a barra i,
= área da seção transversal mínima admissível para barra i, = área da seção transversal máxima admissível para barra i,
= flexibilidade da estrutura,
= flexibilidade máxima admissível para a estrutura,
= número de elementos (barras) da estrutura,
3.3 Programação Linear
A programação linear é um método de otimização aplicável para a solução de problemas nos quais a função objetivo e as restrições aparecem como funções lineares das variáveis de projeto. As equações de restrição em um problema de programação linear podem ser na forma de igualdades ou desigualdades (RAO, 1996).
O cálculo das derivadas da função objetivo e restrições é condição necessária e suficiente para o método da programação linear. As funções envolvidas no cálculo de estruturas usualmente são não-lineares, assim, as funções são expandidas em série de Taylor
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(linearizadas) antes de proceder a otimização. Para aplicação deste método foi utilizada a rotina de Programação Linear, linprog, existente no programa MATLAB, sendo este um programa robusto e amplamente utilizado na resolução de problemas de engenharia.
3.3.1 Linearização e Derivada do Trabalho das Forças Externas em Relação às Áreas das Seções Transversais
O trabalho das forças externas que é a restrição tecnológica do problema é calculado da seguinte forma:
(3.2)
onde, e são respectivamente o vetor de forças e o vetor deslocamento. Por outro lado o deslocamento pode ser expresso como:
(3.3)
onde, é a matriz de flexibilidade da estrutura.
Assim a equação (3.2) também pode ser expressa em função da flexibilidade da estrutura como:
(3.4)
A fim de respeitar-se a restrição de flexibilidade, adequando à rotina de programação utilizada pelo Matlab, analisam-se os limites de áreas das seções transversais admissíveis através da derivada do trabalho das forças externas. Isso se torna possível porque a flexibilidade e o trabalho das forças externas estão diretamente relacionados conforme mostrado na equação (3.4).
Para minimizar a área com restrição de trabalho das forças externas, parte-se da desigualdade:
15
(3.5)
onde é a trabalho das forças externas na barra i e é um valor limite do trabalho das forças externas fixo e conhecido para a barra i, ou seja, independe da área da seção transversal do elemento. Fazendo a derivada do trabalho das forças externas em relação às áreas e expandindo em série de Taylor obtém-se (termos com índice repetido indicam soma implícita): | | (3.6)
Reagrupando os termos da inequação (3.6) para ficar na forma , que é a padrão para a rotina de programação linear utilizada, e sabendo que o limite do trabalho das forças externas ( ) é um valor constante e, portanto,
, obtém-se: (3.7)
A partir da equação (3.7) tem-se que é preciso calcular a derivada do trabalho das forças externas em relação à variável de projeto (seção da barra).
Derivando a equação (3.2) pela aplicação da regra da cadeia, obtém-se: (3.8)
Como só foram implementadas cargas nodais (não há forças no corpo), o vetor de
forças global é constante com relação à área ( ). Dessa forma a equação (3.8) pode ser rescrita como:
(3.9)
Substituindo a equação (3.3) em (3.9), tem-se:
(3.10)
16
A equação (3.10) é uma expressão analítica geral, que pode ser utilizada no cálculo do trabalho das forças externas. Essa expressão, entretanto, não se encontra em uma forma conveniente. A derivada da matriz de rigidez global é diretamente calculada, pois tem dependência direta com a área da barra, porém, precisa-se calcular a derivada de sua inversa. Lembrando que qualquer matriz quadrada multiplicada pela sua inversa resulta em uma matriz identidade de mesma dimensão, ou seja:
(3.11)
Aplicando essa propriedade à matriz de rigidez global, obtém-se:
(3.12)
A matriz de rigidez global bem como sua inversa depende da área. A matriz identidade é constante em relação às variáveis de projeto. Assim, aplicando a regra da cadeia à equação (3.12), obtém-se: (3.13) Isolando
na equação (3.13), obtém-se a derivada desejada:
(3.14)
Substituindo a equação (3.14) na equação (3.10):
(3.15)
Substituindo os termos entre parênteses pela equação (3.3), chega-se finalmente ao resultado desejado, ou seja, a derivada do trabalho das forças externas em relação à área de cada barra:
17
3.3.2 Linearização e Derivada da Restrição de Tensão em Relação às Áreas das Seções Transversais
Qualquer estrutura é projetada para suportar um determinado conjunto de cargas sem falhar por tensão excessiva em qualquer membro da estrutura. Por este motivo, restringir a tensão admissível na estrutura é considerado uma das principais restrições impostas.
Entretanto, em vez de linearizar diretamente a tensão em cada membro, faz-se a aproximação da força interna, pela seguinte relação:
(3.17)
onde, é a tensão em um elemento de barra.
Dessa forma a minimização das áreas da seção transversal de cada elemento de barra fica restrita da seguinte forma:
(3.18)
onde, e são, respectivamente, a tensão de compressão e a tensão de tração do elemento.
Este problema apresenta duas restrições de desigualdade que serão resolvidas separadamente: a primeira restringe as cargas de tração e a segunda as cargas compressão (sinal negativo da força interna). Assim, inicialmente será linearizada a seguinte restrição:
(3.19)
Expandindo em série de Taylor e definindo como uma tensão de tração prescrita:
18 (3.20)
Após algumas manipulações algébricas tem-se a forma : (3.21)
onde, é o delta de Kronecker.
As derivadas da barra “i” foram tomadas em relação à área “j”, pois a variação da área de uma determinada barra acarreta uma nova distribuição de forças nas demais barras dessa estrutura. Por esse motivo a derivada da força interna em relação à área seção transversal é uma matriz de “i” linhas e “j” colunas.
Para a restrição de compressão a linearização é a mesma, exceto pelo fato de que a é substituída por com o sinal negativo.
(3.22)
Para resolver a restrição de compressão, multiplica-se a inequação (3.22) por (–1), chegando-se a uma forma semelhante à resolvida a partir da inequação (3.19), diferindo apenas no valor limite de resistência.
(3.23)
19 (3.24)
Para que as restrições de tensão (equações (3.21) e (3.24)) sejam implementadas é
preciso calcular o termo , sendo a derivada da força interna em relação à área da seção
transversal.
Neste ponto é importante ressaltar o fato de que a restrição de tensão é local, ou seja, pertence a cada elemento em seu sistema de coordenadas, mas por outro lado, qualquer alteração na área de qualquer elemento da estrutura causará alterações na estrutura global. Tem-se assim, uma grandeza local que interfere no comportamento global da estrutura o que torna o cálculo dessa derivada uma tarefa mais custosa do ponto de vista computacional. Além disso, se a estrutura não é isostática, os valores de tensão na barra são dependentes da seção transversal, o que torna o problema um pouco mais delicado.
Um elemento de barra situado num sistema de coordenadas global x-y está orientado em um sistema local de coordenadas s, como o mostrado na Figura (2.6), no qual os deslocamentos ocorrem na direção da barra. Para recuperar os valores de tensão nas barras em coordenadas locais é necessário o uso de uma matriz de rotação:
(3.25)
onde, é a tensão na barra e é a matriz de rotação de coordenadas globais para locais,
dada por:
[ ] (3.26)
Formulando o problema em termos da matriz de rigidez de cada elemento tem-se:
(3.27)
onde, é o vetor de deslocamento do elemento. Para a obtenção de , pode-se proceder utilizando algum algoritmo que separe os deslocamentos de cada elemento do vetor de deslocamentos globais, ou montar uma matriz de posicionamento H que quando multiplicada
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pelo vetor de deslocamento global forneça os deslocamentos relativos do elemento, essa matriz é de 4 linhas ( nós i e nós j do elemento e 2 graus de liberdade por nó) e de 8 colunas (duas vezes o número de nós). Por exemplo, para selecionar o elemento 1 de uma estrutura que possua 4 nós, como mostrada na Figura 3.1, a matriz para o elemento I seria a seguinte:
4 1 2 3 I II III Figura 3.1 – Estrutura de 4 nós. [ ] (3.28)
Assim, substituindo a equação (3.28) na equação (3.27), obtém-se:
(3.29)
onde, são, respectivamente, o vetor de deslocamentos, a inversa da matriz de rigidez e o vetor de forças globais da estrutura. E o produto matricial resulta no vetor de deslocamentos em coordenadas locais. A equação (3.29) calcula o vetor das forças internas (duas linhas), devolvendo um par de ação/reação correspondente a cada nó do elemento.
Como já mencionado anteriormente, a equação (3.29) será derivada em relação à área , e o sobrescrito “local” será abandonado. Tendo-se em mente que esta força interna está referida ao sistema de coordenadas local do elemento em questão. Assim sendo, apenas as
21
matrizes são funções da área da seção transversal e estão sendo considerados apenas
carregamentos nodais.
Derivando a equação (3.29) obtém-se:
(3.30)
Usando o fato de que na primeira parcela o termo
é apenas diferente de zero
quando i = j, a derivada é calculada da seguinte forma:
[ ]
(3.31)
A multiplicação é igual ao vetor de deslocamentos global , e
é
calculado pela equação (3.14). Dessa forma, a equação (3.30) é escrita da seguinte forma:
(3.32)
Novamente, aplicando , chega-se à forma final da derivada da força interna em relação à área da seção transversal:
(3.33)
3.3.3 Linearização e Derivada da Restrição de Flambagem Local em Relação às Áreas das Seções Transversais
22
(3.34)
onde, o sinal negativo na força interna, , é usado para tornar positivo o lado esquerdo da inequação das restrições quando a barra esta sob compressão. é a carga limite que a força interna da barra pode atingir sem que sofra flambagem, também conhecia como carga critica de Euler. é determinada pela equação a seguir:
(3.35)
sendo, o momento de inércia da seção transversal, o módulo de elasticidade do material que compõe a barra e o comprimento da barra.
O momento de inércia pode ser relacionado com a área (variável de projeto) de diversas maneiras. Neste trabalho foi utilizada a seguinte relação:
(3.36)
Deve-se encontrar o valor do coeficiente . Para simplificar os cálculos, foi escolhida uma seção transversal circular cheia. Dessa forma, obtém-se:
(3.37)
Assim, a equação (3.35) pode ser rescrita da seguinte forma:
(3.38)
Neste momento, aplicando série de Taylor em ambos os lados da inequação (3.34), obtém-se:
23 [ ( )] ( ) (3.39)
Derivando a equação (3.35) em relação à área obtém-se:
( ) (3.40)
Observando que o termo só existe quando i = j e tem valor unitário, caso contrário
vale zero, pode-se empregar o delta de Kronecker. Então, a equação (3.40) pode ser escrita como: (3.41)
Assim, deixando os termos desconhecidos do lado esquerdo e os conhecidos no lado direito, e usando as equações (3.38) e (3.41), a inequação (3.38) pode ser rescrita como:
[ ( )] ( ) (3.42)
Manipulando a inequação (3.42) para ficar na forma , obtém-se:
[ ] [ ] (3.43)
A equação (3.43) pode ser normalizada a fim de se evitar problemas de mau-condicionamento. Dessa forma, todas as restrições ficam menores ou iguais a 1.
24
3.3.4 Restrição de Tensão e Flambagem Local em Relação às Áreas das Seções Transversais
Para se efetuar uma otimização mista, com restrição de flambagem local e tensão (tração/compressão), foi desenvolvido um algoritmo que determina a cada iteração se a solicitação interna em cada barra da estrutura é mais crítica quanto à flambagem ou quanto à carga de compressão. Essa decisão diminui o esforço computacional, pois a dimensão do espaço onde se busca a solução é reduzido, uma vez que não são considerados simultaneamente flambagem, tração e compressão.
A decisão é baseada na seguinte relação:
Magnitude das Cargas
Ativa a restrição de CARGA DE COMPESSÃO
FI C
PI Crit
Magnitude das Cargas
Ativa a restrição de FLAMBAGEM
FI C PI
Crit
Figura 3.2 – Determinação da solicitação mais crítica.
Se a carga crítica de compressão da barra calculada pela equação (3.44), for menor que a carga crítica de flambagem, equação (3.38), então a restrição ativa será a restrição de carga de compressão, pois, neste caso, uma força maior que faria com que a barra esmagasse por compressão. Como essa carga é menor que a carga crítica de flambagem , a restrição de flambagem local é respeitada. O mesmo raciocínio
se aplica para ativar a restrição de flambagem. Em ambos os casos, a restrição para tensões de tração (positiva) está presente (Figura 3.2).
25
4 ESTRUTURADOPROGRAMA
O programa desenvolvido está estruturado conforme esquematizado na Figura 4.1. Primeiro é feita a leitura dos dados de entrada. Esta é feita a partir de um arquivo texto que contem informações como os dados da geometria da estrutura, propriedades dos materiais, condições de contorno e carregamento. É também no arquivo de entrada que se definem os parâmetros para otimização (função objetivo, restrições e número máximo de iterações).
Em seguida , entra-se num processo iterativo onde a estrutura é analisada via MEF e otimiza-se as seções das barras utilizando-se a técnica de Programação Linear. Na análise estrutural são calculadas as matrizes de rigidez locais, matriz de rigidez global e partir delas obtêm-se os deslocamentos nodais, esforços nas barras e flexibilidade da estrutura.
Para a otimização, utilizam-se as fórmulas linearizadas encontradas no capítulo 3, já ajustadas para ficar na forma , que é o padrão para a rotina linprog do MATLAB.
Finalmente, analisa-se a convergência do processo iterativo. Se a variação da massa da estrutura de uma iteração para outra for menor que a tolerância definida, o processo é finalizado. Em caso contrário, o processo prossegue até o número máximo de iterações definido.
26
Figura 4.1 – Fluxograma do programa.
As saídas do programa geram um arquivo texto e gráficos. O arquivo texto contem as informações iniciais do projeto e as novas seções e esforços nas barras após a otimização. Os gráficos são da estrutura final otimizada e do processo iterativo.
No gráfico da estrutura, são plotadas as coordenas nodais com os seus respectivos deslocamentos encontrados, também são indicadas as vinculações e os carregamentos da estrutura. Para efeito visual da solução otimizada, as barras da estrutura são plotadas com espessuras proporcionais as áreas finais. O coeficiente de proporcionalidade (que define a escala da espessura da barra) é calculado para cada caso a partir da média das áreas finais da estrutura. Assim, cada resultado apresentado neste trabalho terá sua própria escala de plotagem para a espessura das barras no gráfico, não se pode, portanto, comparar visualmente as espessuras das barras com simulações diferentes.
PROJETO INICIAL:
PARÂMETROS PARA OTIMIZAÇÃO
ANÁLISE DA ESTRUTURA (MEF) CONVERGE? (INTERPRETAÇÃ O DA SOLUÇÃO OBTIDA) NÃO SIM FIM OTIMIZAÇÃO (SENSIBILIDADE; LINPROG)
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5 RESULTADOS
Com o emprego das técnicas de otimização, desenvolveu-se um programa computacional que auxilia na análise e desenvolvimento de estruturas treliçadas ótimas, por redução da massa (volume) dessas estruturas tomando como variáveis de projeto as áreas das seções transversais das barras da estrutura.
Neste capítulo são apresentados os resultados computacionais encontrados para solução de problemas em otimização estrutural com a utilização do programa desenvolvido, com o objetivo de demonstrar sua eficiência e desempenho. Para este fim, foram selecionados três problemas, com configurações estruturais e restrições de projeto distintas.
5.1 Treliça com 10 barras
O problema de otimização estrutural estudado é aplicado a uma estrutura de treliça plana de 10 barras, conforme indicada na Figura 5.1. O objetivo é obter as dimensões mínimas suficientes para as áreas de seção transversal de cada barra, obedecendo às restrições impostas pelo projeto.
6 5 3 1 4 2 8 7 9 10 3 5 4 6 360in (9,144m) 360in (9,144m) 360in (9,144m) 1 2
Figura 5.1 – Treliça com 10 barras.
Os dados de entrada para este problema são módulo de Young, E = 104 Ksi (6,89 x 104 MPa), massa especifica, ρ = 0,1 lb/in3
(2770 kg/m3) e a tensão admissível σ= ± 25 ksi (172 MPa) para todos os membros. Inicialmente todas as barras possuem área de 20 in² (0,013 m²).
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Quanto ao carregamento, esta estrutura foi analisada em três casos diferentes: CASO 1,
CASO 2 e CASO 3. No CASO 1, aplica-se duas cargas verticais para baixo de 100 Kips
(445,347 kN) nos nós 2 e 4. No CASO 2, aplica-se uma carga vertical para baixo de 100 Kips (445,347 kN) no nó 4. E no CASO 3, aplica-se uma carga horizontal de compressão de 100 Kips (445,347 kN) no nó 2.
Para o CASO 1, os resultados obtidos pelo programa para a otimização desta estrutura com restrições de flexibilidade, tensão e tensão e flambagem estão indicados graficamente na Figura 5.2 onde as barras em vermelho estão sendo tracionadas e as barras em preto estão sendo comprimidas. Os resultados obtidos para as três restrições apresentam reduções consideráveis nas áreas das barras, conforme apresentado na Tabela 5.1 e, conseqüentemente da massa da estrutura, Tabela 5.2.
Figura 5.2 – configurações otimizadas para treliça com 10 barras (CASO 1).
ÁREA (10-3m²) RESTRIÇÃO
Flexibilidade Tensão Tensão e Flambagem A1 2,8160 4,8072 5,2344 A2 0,0645 0,0645 0,5117 A3 2,8679 4,8795 6,5483 A4 1,3717 2,4627 5,7868 A5 0,0645 0,0645 0,7336 A6 0,0645 0,0645 0,1663 A7 2,0169 3,4765 7,4771 A8 2,1288 3,5851 4,8383 A9 1,9629 3,4699 4,8252 A10 0,0645 0,0645 6,8203
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Tipo de Restrição Massa Inicial (Kg) Massa Final (Kg) Redução (%) Flexibilidade 3838 405 89,5 Tensão 3838 692 82,0 Tensão e Flambagem 3838 1339 65,1
Tabela 5.2 – Reduções obtidas para a treliça com 10 barras (CASO 1).
Na Figura 5.3, mostra-se a saída do programa para a otimização do volume com restrição de tensão. Nestas figuras, observam-se as variações de volume da estrutura e variação das áreas das barras 1, 5 e 7 com o número das iterações. Também para esta restrição, foi feita uma comparação com os resultados obtidos nos trabalhos de Haftka (1991) e Souza e Fonseca (2008), conforme a Tabela 5.3. De forma geral, os resultados apresentam uma boa concordância com os dois trabalhos citados. A área da barra 9 (A9) é a que mais se distancia em comparação aos outros trabalhos. É possível que essa discrepância seja devido ao fato de que nos trabalhos de Haftka (1991) e Souza e Fonseca (2008) foram consideradas simultaneamente restrições de tensão e de deslocamentos em alguns nós, e no presente trabalho, considerou-se apenas restrição de tensão.
Figura 5.3 – Variação do volume da estrutura e das áreas das barras 1, 5 e 7 para restrição de tensão, para treliça com 10 barras (CASO 1).
Restrição de tensão Massa (Kg) A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
Haftka (1991) 687 5,097 0,065 5,226 2,516 0,065 0,065 3,742 3,555 2,374 0,090
Souza e Fonseca
(2008) 685 5,097 0,065 5,219 2,516 0,065 0,065 3,729 3,561 2,490 0,084
Presente Trabalho 692 4,807 0,065 4,880 2,463 0,065 0,065 3,476 3,585 3,470 0,065
Tabela 5.3 Comparação das áreas finais obtidas para a otimização de tensão com os trabalhos de Haftka (1991) e Souza e Fonseca (2008), para a treliça com 10 barras (CASO 1). Áreas em 10-3 m2.
30
Para os CASOS 2 e 3, os resultados obtidos com a simulação para as restrições de flexibilidade, tensão e tensão e flambagem, estão indicados graficamente na Figura 5.4 e os valores encontrados para áreas finais estão apresentados na Tabela 5.4.
(a)
(b)
Figura 5.4 – configurações otimizadas para treliça com 10 barras: CASO 2 (a) e CASO 3 (b)
ÁREA (10-3m²) RESTRIÇÃO ÁREA (10-3m²) RESTRIÇÃO
Flexibilidade Tensão Tensão e
Flambagem Flexibilidade Tensão
Tensão e Flambagem A1 1,151 0,065 1,056 A1 0,5130 0,0650 0,0650 A2 1,151 0,065 3,699 A2 0,5130 0,0650 0,0650 A3 9,289 2,364 5,958 A3 12,8087 2,5109 9,1243 A4 1,151 0,065 3,699 A4 12,5782 2,5110 9,0302 A5 1,151 0,065 1,102 A5 0,5130 0,0650 0,0650 A6 1,151 0,065 3,699 A6 0,5130 0,0650 0,0650 A7 1,281 0,090 7,844 A7 0,5130 0,0650 2,3390 A8 12,901 3,327 2,180 A8 0,5130 0,0650 2,3390 A9 1,151 0,065 0,536 A9 0,5130 0,0650 1,7787 A10 1,151 0,065 0,394 A10 0,5130 0,0650 1,7787 (a) (b)
Tabela 5.4 – Áreas otimizadas para a treliça com 10 barras: CASO 2 (a) e CASO 3 (b).
31 Tipo de Restrição Massa Inicial (Kg) Massa Final (Kg) Redução (%) Tipo de Restrição Massa Inicial (Kg) Massa Final (Kg) Redução (%) Flexibilidade 3838 441 88,5 Flexibilidade 3838 768 80,0 Tensão 3838 195 94,9 Tensão 3838 143 96,3 Tensão e Flambagem 3838 399 89,6 Tensão e Flambagem 3838 761 80,2 (a) (b)
Tabela 5.5 – Reduções obtidas para a treliça com 10 barras: CASO 2 (a) e CASO 3 (b).
Podem-se perceber visualmente e pelos valores das áreas finais encontrados para esta estrutura, nos três casos de carregamento e para as restrições consideradas, o programa valoriza as barras mais solicitadas. Conforme esperado, observa-se que as áreas são relativamente maiores para as barras mais solicitadas, por outro lado as barras menos solicitadas resultam em barras com áreas menores. Na restrição de tensão e flambagem pode-se perceber, também, a valorização das áreas nas barras submetidas à compressão devido aos efeitos de flambagem. Por exemplo, na Tabela 5.1 a barra 10 apresentou área maior considerando a restrição de tensão e flambagem do que nos casos considerando flexibilidade ou tensão.
5.2 Treliça com 23 barras
A seguir se analisa uma estrutura de 23 barras carregada com cinco cargas P, segundo apresentado por HULTMAN (2010). A estrutura inicial em que a otimização foi aplicada é mostrada na Figura 5.5 a seguir.
14 1 2 3 6 7 5 4 8 9 10 12 13 11 4 7 6 2 1 5 8 3 10 9 11 14 13 24 19 18 22 21 17 16 20 15 24m 6m P P P P P
32
A otimização realizada por HULTMAN (2010) permite a modificação das áreas de seção transversal das barras e das coordenadas de alguns nós da estrutura, já o presente trabalho considerou-se, como no exemplo anterior, apenas a modificação das seções das barras.
Os dados de entrada para este problema são módulo de Young, E = 210 GPa, massa especifica, ρ = 2770 kg/m3 e cargas verticais para baixo de P = 200 KN aplicadas nos nós indicados na Figura 5.5 e a tensão admissível σ= ±140 MPa para todos os membros. Inicialmente todas as barras possuem área de 0,03m².
Os resultados obtidos pelo programa para a otimização desta estrutura com restrições de flexibilidade, tensão e tensão e flambagem estão indicados graficamente na Figura 5.6 e os valores encontrados para as áreas finais estão apresentados na Tabela 5.7.
33
ÁREA (10-3 m²)
RESTRIÇÃO
Flexibilidade Tensão Tensão e Flambagem
A1 29,904 4,690 7,404 A2 13,953 2,299 6,822 A3 14,234 2,291 5,853 A4 6,277 1,137 3,183 A5 19,598 3,191 5,990 A6 9,346 1,559 6,084 A7 2,656 0,226 2,605 A8 8,554 1,407 12,526 A9 11,523 1,933 4,122 A10 2,656 0,226 3,527 A11 2,656 0,226 3,631 A12 8,333 1,392 12,105 A13 2,656 0,226 2,643 A14 2,656 0,226 3,631 A15 11,533 1,933 3,947 A16 8,443 1,401 10,042 A17 19,484 3,191 5,841 A18 9,559 1,559 5,684 A19 2,656 0,226 2,751 A20 13,982 2,291 5,826 A21 29,964 4,690 7,237 A22 14,247 2,299 5,986 A23 6,402 1,137 2,905
Tabela 5.6 – Áreas otimizadas para a treliça com 23 barras.
Na Figura 5.7, mostra-se para a otimização do volume com restrição de tensão, as variações de volume da estrutura e variação das áreas das barras 1, 5 e 7 a cada iteração.
Figura 5.7 – Variação do volume da estrutura e das áreas das barras 1, 5 e 7 para restrição de tensão, para treliça com 23 barras.
34
A Tabela 5.7 apresenta as reduções obtidas, na massa da estrutura, para cada tipo de restrição considerada. Pode-se perceber reduções consideráveis para este exemplo. Conforme esperado a otimização de tensão e flambagem novamente resultou uma massa final maior do que com a restrição de tensão apenas, demonstrando assim, a importância de se considerar a flambagem para se obter resultados mais confiáveis no dimensionamento da estrutura.
Tipo de Restrição Massa
Inicial (Kg) Massa Final (Kg) Redução (%) Flexibilidade 21994 8277 62,4 Tensão 21994 1311 94,0 Tensão e Flambagem 21994 3965 82,0
Tabela 5.7 – Reduções obtidas para a treliça com 23 barras
5.3 Treliça com 47 barras
A configuração estrutural analisada neste item é composta por 47 barras e foi analisada por PEREIRA (2007) empregando algoritmos genéticos. Na Figura 5.8, mostra-se as dimensões da estrutura a ser otimizada.
A otimização realizada em PEREIRA (2007) permite a modificação das áreas de seção transversal das barras e das coordenadas de alguns nós da estrutura, já o presente trabalho considera apenas a modificação das seções das barras.
35 1 3 5 7 9 11 13 2 4 6 8 15 17 18 19 20 21 16 14 12 10 22 41 42 43 39 40 36 37 38 34 35 46 47 44 45 33 31 32 28 56 7 8 9 27 23 17 4 12 18 24 26 25 29 30 1 2 4 3 22 20 14 15 16 10 19 21 13 120 3,0 4 8 120 3,0 4 8 120 3,0 4 8 60 1,5 2 4 60 1,5 2 4 60 1,5 2 4 30 30 0,7 6 2 (in ) (m ) 120 3,048 (in) (m) 60 1,524 60 1,524 60 1,524 (in) (m)
Figura 5.8– Treliça com 47 barras.
Os dados de entrada para este problema são módulo de Young, E = 3x107 psi (206,7 GPa), tensão admissível de tração igual a 20000 psi (137,6 MPa) e tensão admissível de compressão igual a -15000 psi (-103,2 MPa) e massa específica 0,3 lbs / in³ (8310 kg/m3).
Os nós 17 e 22 estão submetidos a uma força horizontal de 6000 lbs (26,72 kN) e uma força vertical de -14000 lbs (62,35 kN).
Devido a restrições de simetria, as seguintes barras devem possuir mesma área de seção transversal: A1=A3; A2=A4; A5=A6; A8=A9; A11=A12; A13=A14; A15=A16; A17=A18; A19=A20; A21=A22; A23=A24; A25=A26; A29=A30; A31=A32; A34=A35; A36=A37; A39=A40; A41=A42; A44=A45; A46=A47. As áreas de seção transversal podem variar entre 0,0075 in² (5x m²) a 7,5 in² (5x m²).
36
Os resultados obtidos pelo programa para a otimização desta estrutura com restrições de flexibilidade, tensão e tensão e flambagem são mostrados na Figura 5.9. Na Tabela 5.8 apresentam-se os valores encontrados para as áreas finais.
Figura 5.9– Configurações otimizadas para treliça com 47 barras.
ÁREA (10-4m²) RESTRIÇÃO ÁREA (10-4m²) RESTRIÇÃO Flexibilidade Tensão Tensão e
Flambagem Flexibilidade Tensão
Tensão e Flambagem A1 e A3 31,299 5,623 7,260 A27 20,812 4,716 12,215 A2 e A4 25,031 5,474 7,030 A28 3,328 1,600 6,633 A5 e A6 6,077 2,254 8,889 A29 e A30 38,712 4,927 7,326 A7 1,823 1,359 11,976 A31 e A32 9,765 3,562 9,668 A8 e A9 4,972 1,932 5,272 A33 5,694 2,320 21,289
A10 21,881 5,449 22,679 A34 e A35 31,533 6,189 8,194 A11 A12 24,146 4,529 6,782 A36 e A37 7,427 2,459 11,160 A13 e A14 4,972 2,349 7,075 A38 0,090 0,281 10,341 A15 e A16 6,077 2,816 8,802 A39 e A40 46,500 5,264 8,205 A17 e A18 24,694 4,529 6,782 A41 e
A42 5,534 2,327 12,190 A19 e A20 0,090 0,801 6,381 A43 0,090 0,278 14,299 A21 e A22 0,090 0,534 18,566 A44 e A45 50,000 6,290 8,306 A23 e A24 28,890 4,193 19,983
A46 e A47 6,825 2,238 13,094 A25 e A26 25,665 4,193 19,413
37
Na figura 5.10, mostram-se as variações de volume da estrutura e variação das áreas das barras 1, 5 e 7 com o número de iterações para a otimização do volume com restrição de tensão.
Figura 5.10– Variação do volume da estrutura e das áreas das barras 1, 5 e 7 para restrição de tensão, para treliça com 47 barras.
Na Tabela 5.9 apresentam-se as reduções obtidas para cada tipo de restrição considerada. Pode-se perceber mais uma vez que foram obtidas grandes reduções da massa da estrutura. A restrição de Flexibilidade foi a que permitiu a menor redução, mas apesar disso resultou numa redução de 66%.
Tipo de Restrição Massa Inicial (Kg) Massa Final (Kg) Redução (%) Flexibilidade 4496 1513 66 Tensão 4496 303 93 Tensão e Flambagem 4496 951 79
38
6 CONCLUSÃO
Com a aplicação da análise da estrutura via Método dos Elementos Finitos e da técnica de Otimização Linear foi possível desenvolver um programa de otimização de treliças que reúne várias opções de restrição (flexibilidade, tensão e tensão/flambagem local).
O programa desenvolvido apresenta bons resultados, próximos dos publicados na literatura, conforme comparação realizada para a treliça de 10 barras.
Foram obtidas reduções consideráveis de volume (massa) das estruturas analisadas, chegando a atingir mais de 90% de redução.
Sendo assim, observa-se que é fundamental o emprego das técnicas de otimização para a redução do peso diminuindo seu custo final e economizando material para produção. Estas ações podem criar a possibilidade de aumentar a produção e facilitar o transporte de produtos (pois as peças têm menor peso ou volume), fatores importantes quando se está num mercado onde a competitividade é alta.
39
7 SUGESTÕESPARATRABALHOSFUTUROS
O presente programa pode ser expandido para o estudo de diferentes estruturas como treliças tridimensionais, pórtico e pórtico espacial, permitindo ampliar sua aplicabilidade.
Também, pode-se aprimorar o programa com uma entrada de dados gráfica/interativa, atribuindo maior simplicidade ao usuário.
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8 REFERÊNCIAS
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