Osmar Antonio de Lima. Distribuição Normal:

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

PUC/SP

Osmar Antonio de Lima

Distribuição Normal:

Uma introdução voltada ao Ensino Médio por

simulações via planilha eletrônica

e exercícios interativos

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

PUC/SP

Osmar Antonio de Lima

Distribuição Normal:

Uma introdução voltada ao Ensino Médio por

simulações via planilha eletrônica

e exercícios interativos

Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de MESTRE PROFISSIONAL EM

ENSINO DE MATEMÁTICA, sob a orientação da Professora Doutora CILEDA DE QUEIROZ E SILVA COUTINHO

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Banca Examinadora

________________________________________________

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Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.

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Dedico este trabalho a minha amada esposa

LUCIANA LUCIANALUCIANA LUCIANA,,,, e minha filha JÚLIA. JÚLIA. JÚLIA. JÚLIA.

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A

gradecimentos

A DeusDeusDeus,,,, pela dádiva da vida. Deus

À minha orientadora Professora Doutora Cileda de Queiroz e Silva Professora Doutora Cileda de Queiroz e Silva Professora Doutora Cileda de Queiroz e Silva Professora Doutora Cileda de Queiroz e Silva Coutinho

CoutinhoCoutinho

Coutinho,,,, pela competência e dedicação que me orientou, fazendo com que esta pesquisa se concretizasse.

À Professora Doutora Luzia Aparecida PalaroDoutora Luzia Aparecida PalaroDoutora Luzia Aparecida PalaroDoutora Luzia Aparecida Palaro, pela dedicação e contribuição extraordinária dada a minha pesquisa.

À Professora Doutora Sandra Maria Pinto MaginaDoutora Sandra Maria Pinto MaginaDoutora Sandra Maria Pinto MaginaDoutora Sandra Maria Pinto Magina, , , , com tamanha competência contribuiu para o enriquecimento desta pesquisa. A meus pais, PauloPauloPaulo e OrtênciaPaulo OrtênciaOrtênciaOrtência e meus irmãos, pelas orações e paciência em tempos difíceis.

A meus sogros, WilsonWilsonWilson e SirleiaWilson SirleiaSirleiaSirleia, pelos conselhos, confiança e apoio. A meus amigos Clécio, Clécio, Clécio, Clécio, Paulo, Márcia Paulo, Márcia Paulo, Márcia Paulo, Márcia e Rogério Rogério Rogério Rogério, pelas horas de estudo e trabalho realizados juntos.

À Diretora da E. E. Dr. Mário Toledo de Moraes, Diretora da E. E. Dr. Mário Toledo de Moraes, Diretora da E. E. Dr. Mário Toledo de Moraes, ProfessoraDiretora da E. E. Dr. Mário Toledo de Moraes, ProfessoraProfessoraProfessora Maria Maria Maria Maria Isabel

IsabelIsabel

Isabel, pela confiança e apoio durante meus estudos.

À Secretaria da Educação de São PauloSecretaria da Educação de São PauloSecretaria da Educação de São Paulo pelo incentivo e suporte fornecido Secretaria da Educação de São Paulo na forma de bolsa de estudos.

Um agradecimento especial ao Professor Doutor Saddo Ag Professor Doutor Saddo Ag Professor Doutor Saddo Ag Professor Doutor Saddo Ag Almouloud

AlmouloudAlmouloud

Almouloud, pois sem sua preciosa orientação, colaboração e dedicação, eu não teria chegado ao final deste trabalho. A essa pessoa maravilhosa, meu muitíssimo obrigado. Que Deus o abençoe, hoje e sempre!

As “pedras do meu caminhopedras do meu caminhopedras do meu caminho”, que se constituíram o alicerce de minha pedras do meu caminho formação.

(7)

R

esumo

O objetivo deste estudo foi introduzir o conteúdo da Distribuição Normal para alunos do Ensino Médio, sendo proposta uma abordagem, buscando a interação de dois ambientes, sala de aula e laboratório de informática. O estudo foi realizado com 11 alunos egressos do ensino médio, tendo em vista apresentar a Distribuição Normal pela simulação de dados, utilizando uma planilha eletrônica (Excel). O referencial teórico apoiou-se na Teoria Antropológica do Didático – TAD para alcançar o objetivo pretendido pelo pesquisador: facilitar a compreensão dos conceitos estocásticos envolvendo a Distribuição Normal pelos alunos, por meio de simulação de experimentos, utilizando a planilha eletrônica (Excel) e, também, exercícios interativos. Com essa proposta, percebeu-se que os alunos do Ensino Médio passaram a reconhecer as características e a representação gráfica de uma Distribuição Normal, e a partir das análises realizadas em sala de aula, verificou-se que foi possível relacionar os conteúdos da estatística descritiva com os de probabilidade e, dessa forma, os alunos passaram a ter uma noção da relação entre estatística e probabilidade. Em síntese, o uso da planilha eletrônica (Excel), com os exercícios interativos possibilitaram encaminhar os alunos a identificação dos conceitos envolvendo a Distribuição Normal, facilitando sua interação com o objeto de estudo. Assim, os alunos perceberam a idéia da relação existente entre a estatística e a probabilidade, que neste trabalho, foi denominado como estocástica.

Palavras-Chave: Distribuição Normal. Formação de conceitos. Informática na

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A

bstract

The purpose of this study was introducing the content of Normal Distribution to high school students, being an approach proposed, aiming at the interaction of two environments, classroom and computer lab. The study was held with 11 high school students, bearing in mind the presentation of Normal Distribution by data simulation, using an electronic worksheet (Excel). The theoretical referential was based on the Anthropological Theory of the Didactics – ATD to accomplish the intended purpose by the researcher: ease the comprehension of the stochastic concepts involving Normal Distribution by the students, by means of experiment simulations, using the electronic worksheet (Excel) and, also, interactive exercises. With this proposal, it was realized that the High School students began to recognize the characteristics and the graphical representation of a Normal Distribution, and from the analyses held in the classroom, it was verified that it was possible to relate the descriptive statistical contents with the probability ones and, this way, the students began to bear a sense of the relation between statistics and probability. Summarizing everything, the use of the electronic worksheet (Excel) with the interactive exercises enabled to guide the students towards the identification of concepts involving Normal Distribution, easing its interaction with the study object. Therefore, the students realized the idea of the existing relation between statistics and probability, which in this essay, was named as stochastic.

Keywords: Normal Distribution, Concept building, Computer Sciences in Statistics

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SSSS

umário

INTRODUÇÃO ... 15 JUSTIFICATIVA ... 15 QUESTÃO DE PESQUISA... 17 UMA PREMISSA... 19 PROCEDIMENTOS METEDOLÓGICOS... 19 REFERENCIAL TEÓRICO ... 21 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO... 23 CAPÍTULO I ... 24 1 REVISÃO DE LITERATURA ... 24

1.1 A INFORMÁTICA NA EDUCAÇÃO ESTATÍSTICA ... 24

1.2 O COMPUTADOR E O ENSINO DA ESTATÍSTICA ... 26

1.3 PESQUISAS QUE ENVOLVEM O ENSINO-APRENDIZAGEM DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL ... 29

1.4 PESQUISAS QUE ENVOLVEM O ENSINO-APRENDIZAGEM DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL ... 30

1.5 ASPECTOS DO DISCURSO OFICIAL ... 35

1.5.1 Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio ... 35

1.6 OBJETOS MATEMÁTICOS ... 38

1.6.1 Espaço amostral ... 38

1.6.2 Eventos ... 39

1.6.3 Probabilidade ... 41

1.6.4 Variável aleatória ... 42

1.6.5 Função de Probabilidade (variável discreta) ... 42

1.6.6 Função Densidade de Probabilidade (variável contínua) ... 44

1.6.7 Modelo de Distribuição de Probabilidade (Binomial e Normal) ... 44

1.7 CONSIDERAÇÕES A RESPEITO DESTE CAPÍTULO ... 46

CAPÍTULO II ... 48

2 FASE EXPERIMENTAL... 48

2.1 MATERIAIS E PROCEDIMENTOS ... 48

(10)

2.3 ANÁLISE DAS ATIVIDADES ... 53

2.3.1 Análise a “Priori” – Atividade em sala de aula ... 54

2.3.2 Análise a “Posteriori” – Atividade em sala de aula ... 62

2.3.3 Considerações sobre a atividade em sala de aula ... 63

2.3.4 Análise a “Priori” – Atividade realizada em uma planilha eletrônica .... 64

2.3.5 Análise a “Posteriori” – Atividade realizada em uma planilha eletrônica... 70

2.3.6 Considerações sobre a atividade realizada em uma planilha eletrônica... 71

2.3.7 Análise a “Priori” – Atividade realizada em papel quadriculado ... 72

2.3.8 Análise a “Posteriori” – Atividade realizada em papel quadriculado .... 74

2.3.9. Considerações sobre a atividade em papel quadriculado ... 76

2.3.10 Análise a “Priori” – Atividade realizada com exercícios interativos ... 76

2.3.11 Análise a “Posteriori” – Atividade realizada com exercícios interativos ... 84

2.3.12 Considerações sobre a atividade realizada com exercícios interativos ... 91

2.3.13 Análise a “Priori” – Questionário Diagnóstico ... 92

lustrações

Ilustração 1: Exercício no ConStats ... 33

Ilustração 2: Exercício no ConStats – Distribuição Normal – Pesos de recém-nascidos ... 33

Ilustração 3: Representação gráfica da Distribuição Normal ... 46

Ilustração 4: Simulação de uma curva normal no Excel ... 65

Ilustração 5: Curva normal ... 73

Ilustração 6: Esboço da curva normal correto ... 75

(14)

L

ista de

G

ráficos

GRÁFICO 1: Medida dos Palmos dos Alunos (cm) ... 55

GRÁFICO 2: Representação da Média ... 57

(16)

IIII

ntrodução

1111 A identificação com os conteúdos de estatística e probabilidade na disciplina de Tópicos de Matemática Discreta, componente curricular do Programa de Mestrado Profissional em Ensino da Matemática, motivou a escolha do tema desta pesquisa que busca a integração das novas tecnologias aos métodos utilizados em sala de aula no que diz respeito ao ensino de estatística e probabilidade para alunos do Ensino Médio (EM).

A ideia de sugerir o estudo da Distribuição Normal no EM, usando uma planilha eletrônica como ferramenta para simulações ocorreu durante a apresentação de um seminário sobre o tema na referida disciplina. Na apresentação, um dos recursos utilizados para ilustrar a Distribuição Normal foi uma planilha eletrônica do Excel, por meio de simulações de distribuição que poderiam ser representadas e explicadas por esse modelo em sua representação gráfica. Nas atividades propostas, foram necessários os cálculos da média e do desvio-padrão de uma determinada variável contínua, então, percebemos que tal abordagem no EM poderia ser útil aos alunos na percepção de regularidades e variações tão importantes para construção e desenvolvimento do raciocínio estocástico.

Assim, com o objetivo de introduzir as primeiras noções para o estudo da Distribuição Normal com alunos do EM, propusemos uma abordagem, que busca a interação de dois ambientes, sala de aula e laboratório de informática.

JUSTIFICATIVA

Nas últimas décadas, o ensino da Estatística tem sido alvo de diversas investigações, como as de: Cohen e Chechile, 1997; Tauber, 2001; Viali, 2001; Souza, 2002, entre outros. Na reflexão abrangente sobre o ensino da Estatística e

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da Matemática, podemos atentar para o fato de que a educação atravessa uma fase de mudanças históricas que requer novos métodos de ensino que conciliem as necessidades e os interesses reais verificados em sala de aula.

Em todas as etapas da História da Humanidade, os avanços que foram responsáveis pela alteração nos processos nos mais diversos campos da atividade humana, trouxeram sempre consigo mudanças nas atitudes socioculturais dos povos. Na área da Educação, a introdução das tecnologias da comunicação é um desses marcos e tem sido objeto de vários estudos.

A informática passa a ser inserida no contexto educacional como um elemento a mais para contribuir na construção do conhecimento, objetivando a promoção da autonomia humana. Nesse sentido, podemos afirmar que o computador deve ser usado na sala de aula, como um instrumento potencializador do desenvolvimento humano.

Neste contexto, procuramos fundamentar nossa pesquisa em trabalhos que visaram à inserção das novas tecnologias no ensino da análise exploratória dos dados, no ensino da distribuição de probabilidade, assim como nas orientações inseridas nos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998).

No presente estudo, destacamos alguns estudos que sugeriram o uso dessas novas tecnologias, abordando os erros e acertos dos alunos que foram identificados pelos pesquisadores, bem como as dificuldades verificadas pelos alunos e aquelas para implementar as novas tecnologias.

A partir desses estudos, pudemos delimitar o tema de nossa pesquisa, estabelecendo os objetivos e a hipótese de forma clara.

Esta pesquisa tem como objetivo:

• Introduzir os primeiros conceitos relativos à Distribuição Normal no EM

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• O reconhecimento, por parte dos alunos, da representação de uma Distribuição Normal, como uma curva em forma de sino, assintótica ao eixo horizontal;

• a compreensão dos alunos sobre o conceito de simetria da curva normal

em relação aos valores médios;

• o entendimento dos alunos sobre a leitura do gráfico, de modo que fique

claro que a área abaixo da curva refere-se à probabilidade de ocorrer um determinado evento; e

• o entendimento dos alunos de que dentro do intervalo de [µ−3σ;µ+3σ] está a quase totalidade dos dados.

A hipótese é que o uso da planilha eletrônica (Excel) na abordagem da Distribuição Normal de Probabilidade permite o dinamismo no tratamento dos dados, mantendo o foco na análise e modelagem, facilitando para que os alunos compreendam esse conteúdo.

QUESTÃO DE PESQUISA

Conforme Veloso (1998), para concretizar um ensino mais inovador, precisamos de novos ambientes de aprendizagem a partir dos quais os alunos constroem novos conhecimentos. Para tal, ferramentas poderosas devem ser oferecidas aos alunos que lhes possibilitem uma exploração completa do problema a ser resolvido e que potencializem avanços, como por exemplo, as novas tecnologias da comunicação.

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Assim, cabe ao professor definir objetivos, apontar e realizar experiências de aprendizagem diversificadas e estimulantes, promover a discussão e reflexão em sala de aula, fazer com que os alunos comportem-se de acordo com as normas sociais valorizadas na comunidade e estabeleçam uma atmosfera de aprendizagem.

Segundo Ponte e Serrazina:

Com a continuação do trabalho, com um conhecimento mais profundo dos seus alunos, e com a diversificação de tarefas e de situações, com a permanente reflexão sobre a sua prática, é que o professor pode levar os alunos a atingir a maior parte dos objetivos curriculares. (PONTE E SERRAZINA, 2000, p. 15)

De acordo com Cohen e Chechille (1997); Tauber (2001); Souza (2002) entre outros, o ensino das distribuições de probabilidade não tem sido eficiente nem tem proporcionado resultados satisfatórios no ensino da Estatística e da Matemática ao final do EM. Outras pesquisas na área mostram que isto vale para todos os conteúdos da estatística.

Desse modo, surge a necessidade de responder a uma população escolar cada vez mais diversificada e proporcionar a todos, e a cada um dos alunos um ensino de estatística diferenciado que contribua para que sejam cidadãos conscientes, críticos e responsáveis, capazes de enfrentar os desafios de uma sociedade cada vez mais tecnológica.

A tomada de consciência da necessidade de uma atividade mais centrada no aluno não é novidade. Tem sido marcada no domínio da reflexão sobre educação, pelas contribuições de vários investigadores que têm demonstrado que não existem generalizações como “aluno razoável“, que os alunos têm ritmos individualizados de aprendizagem e que o conhecimento não é uma coisa que se adquire por transmissão, mas algo que se constrói em interação com o mundo e os outros.

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Para Souza (2002), os conceitos básicos que envolvem as distribuições de probabilidade devem ser trabalhados no EM, para que desde já esses alunos tenham condições de realizar algumas previsões diante de um conjunto de dados.

Desse modo, tendo conhecimento dos resultados de pesquisas, como os realizados por essas autoras cujos resultados atribui às novas tecnologias um papel importante no processo de ensino-aprendizagem, é pretensão desta pesquisa fazer emergir e valorizar as potencialidades do uso da planilha eletrônica (Excel) para introduzir a ideia da Distribuição Normal de Probabilidade aos alunos do EM. Entendemos aqui como “ideia” a concepção espontânea, a intuição do sujeito a respeito de uma determinada noção matemática e/ ou estatística.

Tendo em vista os argumentos supracitados, a questão que orienta este estudo é: “quais as contribuições de uma sequência didática baseada em resoluções de problemas e com a utilização de uma planilha eletrônica como ferramenta na construção da ideia de Distribuição Normal a partir de uma atividade de análise exploratória de dados?”.

UMA PREMISSA

Pautados na literatura pesquisada e apresentada no capítulo I deste estudo, podemos inferir que é necessário construir uma sequência didática para a aprendizagem da Distribuição Normal que considere os seguintes aspectos:

• O conhecimento, por parte dos alunos, dos parâmetros média e

desvio-padrão, como elementos necessários para caracterizar uma Distribuição Normal;

• o reconhecimento, por parte dos alunos, dos tipos de variáveis:

quantitativa discreta e contínua;

PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

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exploratório possibilitaram a execução da primeira das duas partes em que o estudo foi dividido.

A primeira parte é composta pelo estudo teórico do tema:

• Revisão bibliográfica;

• Estudo e síntese das competências e habilidades sobre probabilidade

contida nos Parâmetros Curriculares Nacionais do EM.

A segunda parte constitui-se da pesquisa realizada com 11 alunos voluntários egressos do EM que denominamos “Fase Experimental”.

Para a realização da segunda parte do trabalho, uma sequência didática foi elaborada para introduzir a ideia da Distribuição Normal pelas simulações, contextualizações e resolução de problemas.

A amostra selecionada compôs-se de 11 alunos oriundos de escolas da rede pública de ensino que já haviam concluído o terceiro ano do EM e tomaram conhecimento da pesquisa durante a realização de um curso pré-vestibular. Os detalhes sobre o método empregado são descritos no capítulo II, item 2.1 (Materiais e Procedimentos).

Em seguida, elaboramos uma sequência piloto para conhecer como os alunos participantes da pesquisa agiriam durante a realização das atividades propostas, bem como as dificuldades que poderiam surgir, tanto pelos problemas de linguagem como de organização ou resolução. Esta sequência é apresentada no Capítulo II, item 2.2 (Etapas da Fase Experimental).

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REFERENCIAL TEÓRICO

Almouloud (2007) aborda a Didática da Matemática e seus fundamentos, tendo como foco a ênfase na compreensão de fenômenos que interferem no processo de ensino e aprendizagem dos conceitos matemáticos.

Segundo o autor:

A didática da matemática é vista como uma ciência que tem por objeto investigar fatores que influenciam o ensino e a aprendizagem da matemática e o estudo de condições que favorecem a sua aquisição pelos alunos. (ALMOULOUD, 2007, p. 17)

Almouloud (2007) dedica o capítulo VII da obra supracitada à abordagem da Teoria Antropológica do Didático (Chevallard, 1999), que estuda as condições das possibilidades e o funcionamento dos sistemas didáticos, compreendidos como relações sujeito-instituição-saber.

A Teoria Antropológica do Didático permite a interpretação da transposição didática baseada no desenvolvimento de uma tripla ruptura epistemológica provocada pela teoria das situações, em que o saber matemático situa-se no centro de toda problematização didática.

Para a didática da Matemática, sob o enfoque da Antropologia do Didático, tudo é objeto, fazendo a distinção dos tipos de objetos particulares: as instituições, os indivíduos e as posições que estes ocupam nas instituições, tomando-os como sujeitos.

A Teoria Antropológica do Didático possibilita a modelagem de práticas sociais, em geral, e, em particular, a atividade matemática fundamentada em três postulados:

• Toda prática institucional pode ser analisada, sob diferentes pontos de

vista e de distintas maneiras, em um sistema de tarefas relativamente bem delineadas;

• O cumprimento de toda tarefa decorre do desenvolvimento de uma técnica;

e

• A ecologia das tarefas e técnicas são as condições e necessidades que

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condições e restrições que permitem sua produção e seu uso nas instituições, supondo que, para existir uma instituição, a técnica deve ser compreensível, legível e justificada. O discurso descritivo sobre a tarefa e a técnica é denominado discurso teórico-tecnológico.

O significado da palavra “tarefa” engloba atividades gerais como fechar uma porta, entre outras. Em nosso caso, calcular a média e o desvio-padrão de um conjunto de valores, bem como analisar os dados obtidos é um tipo de tarefa. Na prática institucional, a delimitação de tarefas depende do ponto de vista em que essa prática se desenvolve.

A palavra técnica terá uma dimensão maior que a usual, ou seja, será usada como uma “maneira de fazer” particular e não sendo um procedimento estruturado e metódico, ou algoritmo, caso particular de uma técnica.

Uma técnica pode ser apropriada para a resolução de determinadas tarefas, mas não para todas, o que lhe confere a chamada “capacidade intelectual da técnica”.

A partir das noções de tarefa e técnica, cria-se um bloco técnico-prático associado a um saber-fazer, no qual a vida das instituições é feita das escolhas de tarefas e técnicas, e uma pessoa pode realizar várias tarefas em instituições distintas, a que ela está sujeita, concomitante ou sucessivamente, mostrando sua relação pessoal com os objetos com os quais mantêm contato.

No campo da tecnologia, estão os conceitos e as noções que permitem controlar e compreender a atividade humana. A teoria trata da especulação abstrata da tecnologia; e, no plano teórico, estão as definições, os teoremas, as demonstrações que servem para dar sustentação às técnicas e produzir tecnologias. Dessa forma, cria-se um bloco teórico-tecnológico associado ao saber.

Portanto, podemos entender a Noção de Praxeologia como um conjunto de Técnicas, de Tecnologia e de Teorias organizadas para uma determinada tarefa.

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Objetos ostensivos: se referem a todo objeto que, tendo uma natureza sensível e certa materialidade, tem, para o sujeito, uma realidade perceptível. Pode-se dizer, dessa forma, que os ostensivos são os objetos manipuláveis na realização da atividade matemática.

Objetos não-ostensivos: são todos os objetos que, como as ideias, as instituições ou os conceitos, existem institucionalmente sem que, no entanto, sejam vistos, ditos, escutados, percebidos ou mostrados por conta própria. Assim, esses objetos somente podem ser evocados ou invocados pela manipulação adequada de certos objetos ostensivos que lhes são associados, tais como uma palavra, uma frase, um gráfico, uma escrita, um gesto ou todo um discurso. (ALMOULOUD, 2007, p. 119)

Conforme refere Almouloud (2007), na Teoria Antropológica do Didático, o cumprimento de toda tarefa compreende necessariamente a manipulação de objetos ostensivos regulados pelos não ostensivos, tornando os objetos ostensivos parte perceptível da atividade.

Neste trabalho, usaremos mais especificamente a Organização Praxeológica composta pelo bloco Tarefa/Técnica/Tecnologia/Teoria na elaboração das atividades da sequência didática.

ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO

A presente pesquisa está organizada em dois capítulos:

O Capítulo I traz a revisão de literatura a respeito do ensino da Estatística e da Matemática para o EM e da contribuição das novas tecnologias nesse processo; também, são apresentados os objetos Matemáticos.

O Capítulo II apresenta a Fase Experimental deste estudo, possibilitando uma compreensão de toda a pesquisa realizada com 11 alunos voluntários egressos do EM. Traz também a análise da sequência didática aplicada, tendo em vista a interpretação do pesquisador em relação à participação e compreensão dos alunos nas atividades realizadas no estudo.

(25)

C

apítulo

IIII

REVISÃO DE LITERATURA

Este capítulo tem como objetivo apresentar uma revisão de literatura sobre o tema que busca evidenciar a relevância do projeto, a delimitação do tema e a formulação da questão. Além disso, serve para a constituição do quadro teórico com a teoria didática por nós escolhida, conforme descrita anteriormente.

1.1 A INFORMÁTICA NA EDUCAÇÃO ESTATÍSTICA

A educação estatística é uma área na qual o uso de novas tecnologias tem tido um grande impacto. Sua utilização permite que o processo de ensino-aprendizagem seja centrado na análise dos resultados e não nos algoritmos para sua determinação.

A mudança de filosofia sobre a estatística, tanto na estatística elementar como nos métodos de análises mais complexos, deu lugar ao que se conhece hoje como análise exploratória de dados, onde é mais importante o trabalho com projetos e representação gráfica. (TUKEI, 1977 apud TAUBER, 2001, p. 15)·

Atualmente o ensino da análise exploratória dos dados é recomendado o que implica o uso de computadores e, consequentemente, o conhecimento, pelo menos, de um software para que se obtenha êxito nesse tipo de trabalho.

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motivação e permite aos alunos a exploração de conceitos estatísticos e probabilísticos. A facilidade de simular os experimentos permite uma interatividade na observação e exploração dos processos estocásticos2_{. Esta interatividade}

promove aos novos “objetos” um caráter menos abstrato e proporciona uma experiência que não é fácil conseguir no cotidiano dos alunos.

O caráter didático do uso dos computadores foi tema de uma mesa-redonda sobre os impactos das novas tecnologias no ensino de estatística, organizada pelo IASE (International Association for Statistical Education), realizada em Granada, em 1996, na qual se destacaram as seguintes conclusões:

São consideradas novas tecnologias: os computadores, as calculadoras gráficas e a Internet, pois é previsível que contribuam com uma revolução dos métodos de ensino.

Existe uma série de mitos sobre o papel do computador na aprendizagem. É certo que a compreensão de alguns conceitos pode ser facilitada com ajuda da simulação, porém também os computadores introduzem novos objetos de aprendizagem e existe o perigo de que em vez de ensinar estatística, a atenção seja desviada para o ensino do respectivo software, devido à sofisticação do mesmo e ao tempo requerido para sua aprendizagem.

Ainda que os programas estatísticos como a planilha eletrônica do Excel3, o Minitab4, StatGraphics5, ConStats6 entre outros, com os que se podem realizar análise de dados tenham atualmente um grande desenvolvimento, os programas didáticos são escassos e deficientes. A característica desejável para um software estatístico de uso geral não coincide com as que seriam necessárias do ponto de vista educativo, pois são destinados ao público profissional já com bagagem, não levam em conta o desenvolvimento e a dificuldade dos alunos.

A disponibilidade de novas tecnologias pode ser um novo fator que contribui para aumentar a diferença entre os países, classes sociais ou centros educativos. É importante obter uma difusão real desses meios entre uma comunidade o mais ampla possível. (GARFIELD Y BURRIL, 1997 apud TAUBER, 2001, p. 15-16)7

Para Tauber (2001), além dessas conclusões, podemos acrescentar outra relativa aos professores, pois, atualmente, muitos países investem em equipamentos

2_{Processos estocásticos: Neste estudo usamos o termo “Processo Estocástico”, como a integração entre os}

conceitos de Estatística Descritiva e Probabilidade.

3_{Disponível no Microsoft Office.}

4_{Disponível em <http://www.minitabbrasil.com.br/minitab/demo.asp>, acesso em 25/01/2009.} 5_{Disponível em <http://www.statgraphics.com/downloads.htm>, acesso em 25/01/2009.} 6_{Disponível em <http://constats.atech.tufts.edu/>, acesso em 25/01/2009.}

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de informática em suas instituições e universidades. Entretanto, o pressuposto destinado à capacitação dos professores no uso dos computadores e dos diversos programas é muito menor, o que produz uma situação contraditória, pois possuem os materiais necessários, mas não sabem como utilizá-los ou não conhecem em quais situações podem aplicá-los.

1.2 O COMPUTADOR E O ENSINO DA ESTATÍSTICA

Hochsztain et al. (1999) iniciam seu artigo defendendo a ideia de que o uso dos computadores deve estar sempre presente em todas as tarefas que os professores de estatística fizerem e acrescentam que “se algo pode ser feito por um computador, não deve ser feito à mão”. Afirmam que, embora o uso dos computadores seja considerado um desafio, devemos superá-lo.

O objetivo dos autores foi verificar a influência dos computadores nos processos de ensino-aprendizagem de estatística e basearam-se em seminários e em sua experiência acadêmica na Universidad de la Republica – Uruguay. No referido artigo, os autores relatam os impactos iniciais quando se usa o computador como ferramenta nas aulas de estatística, observando que, nas primeiras aulas, utilizavam-no apenas como função de entrada e saída de dados, e os alunos aprendiam somente usar o software, mas não davam ênfase aos conceitos estatísticos. Mesmo dessa maneira, a atitude ainda contribuiu para o avanço do que os autores chamam de “longa caminhada”.

Hochsztain et al. (1999) ressaltam a importância das simulações feitas via-computador, mas afirmam que isso não é tudo, pois devemos estar atentos para não as separar das aplicações e conceitos estatísticos. Ao utilizarem-se desses recursos em detrimento dos cálculos complexos, os autores recomendam trabalhar com uma boa interpretação dos resultados. Sugerem ainda algumas mudanças que consideram indispensáveis para que os computadores possam ser de fato incorporados ao ensino da estatística, e essas mudanças estão diretamente relacionadas aos professores.

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estatísticos; a segunda parte, como resolução dos exercícios em ambiente de papel e lápis; e, em seguida, na terceira parte, a aplicação do que foi estudado em ambiente com lápis e papel em um ambiente informatizado, com um software previamente escolhido. Os autores citados sugerem que as atividades sejam realizadas 50% em ambiente com lápis e papel e os outros 50%, em ambiente informatizado, devendo-se observar o tipo de software a ser utilizado.

Hochsztain et al. (1999, p.5) observam que:

a) No caso de se optar por uma planilha eletrônica, o trabalho dar-se-á de forma rápida, porém se faz necessária uma abordagem sobre os procedimentos da planilha de como efetuar os cálculos, por exemplo: a organização dos dados, o cálculo do ponto médio e da mediana, a cópia dos dados para outra célula, etc.

b) Na opção por um software estatístico, o trabalho será da maneira não procedimental, ou seja, não há necessidade de mostrar os procedimentos, pois o próprio software fará as simulações pretendidas.8

Na finalização do artigo, os autores concluem que a incorporação do uso de computadores nos cursos de estatística, ao contrário do que se pensa tem consequência imediata no incremento que se produz nos conteúdos teóricos; que as simulações permitem aos alunos o desenvolvimento de habilidades como observar, explorar, desenvolver noções e intuições, etc.

Entretanto, não podemos deixar de lado as atividades em ambiente de lápis e papel, que os autores denominam “atividades tradicionais”; pois o emprego dos computadores pode mudar as relações existentes entre professor-aluno, visto que permite ao estudante ser cognitivamente ativo em estatística; que as planilhas eletrônicas funcionam em qualquer computador e que as habilidades de manuseio das planilhas são quase intuitivas.

Em um artigo mais recente, publicado por Viali (2001) sobre o uso de planilhas e simulação para modernizar o ensino de Probabilidade e Estatística para os cursos de Engenharia, o autor afirma que:

O ensino de disciplinas que envolvem raciocínio abstrato como as da área Matemática (Probabilidade, Cálculo, Álgebra Linear, etc.) e as que envolvem e exigem modelagem, isto é, aplicações de modelos teóricos, como as da área de Matemática Aplicada, representadas pela Estatística, é feito, apesar

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do desenvolvimento acelerado dos meios eletrônicos, especialmente dos computadores, quase que exclusivamente através de aulas expositivas. O esforço é inteiramente exercido pelo professor cabendo ao aluno pouca ou nenhuma participação. (...) Muito do que o professor pretende transmitir não é aproveitado por não despertar o interesse do envolvido, pela quantidade de informações acima do que ele pode assimilar, pelo pouco tempo de reflexão sobre os conhecimentos sendo transmitidos, pelo pequeno número de exemplos e, muitas vezes, com pouca qualificação do próprio professor. O aluno não dispõe de exercícios em quantidade suficiente, bem como não pode fazer experimentações por si próprio de forma a ver como ‘a coisa funciona’. O ensino destas disciplinas é prejudicado pela ausência de pré-requisitos mínimos para a absorção dos novos conhecimentos sendo transmitidos (VIALI, 2001, p. 291).

Tendo em vista o panorama do ensino das disciplinas da área de Matemática, o autor propõe um ensino que elimine ou reduza ao mínimo possível o trabalho braçal do aluno. Além de excluir por completo a tarefa de completar quadros de conteúdos que são considerados meros exercícios de cópia. Segundo o autor, “o conhecimento deve ser proposto e discutido, avaliado, analisado e, sempre que possível, reproduzido como se estivesse sendo novamente descoberto”.

O referido autor apresenta as planilhas eletrônicas (Excel) como um recurso instrucional em laboratórios de Estatística.

Além dos recursos típicos elas oferecem um grande número de funções estatísticas e probabilísticas, se bem que bastante limitados. A principal vantagem na planilha é a sua grande base instalada e seu preço relativamente barato. É possível programá-la e, desta forma, realizar tarefas não previstas inicialmente. Além disso, o paradigma da planilha é conhecido pela maioria dos alunos, diminuindo, desta forma, o tempo gasto na aprendizagem da mecânica de uma nova ferramenta de software. (VIALI, 2001, p. 292)

Quanto à simulação, esta é uma ferramenta essencial para o ensino da Estatística, pelas seguintes razões:

a) Envolve menos riscos que a realidade. Se um aluno fizer alguma coisa errada durante a simulação ele simplesmente recomeça. Erros, que em sistemas reais seriam fatais, numa simulação podem no máximo causar uma pequena frustração. O erro se transforma em experiência e tenderá a ser repetido cada vez menos.

(30)

c) Ela é normalmente mais conveniente do que o treinamento real, pois possibilita geralmente o treinamento de mais estudantes ao mesmo tempo. Ao trabalhar em um micro num laboratório não se estará sujeito a condições de tempo, se é dia ou noite, se o equipamento real está danificado ou em manutenção.

d) A simulação minimiza os efeitos do tempo. Alguns fenômenos levam um tempo muito longo para acontecerem, numa simulação computacional isto pode ser comprimido de modo que todo o fenômeno possa ser observado várias vezes em um período muito curto de tempo.

e) As experiências em simulação podem ser repetidas. Os estudantes podem repetir uma experiência tantas vezes quanto o necessário para entendê-las e enfrentá-las com habilidade. (MERRIL, 1996, apud VIALI, 2001, p. 292-293)

A simulação facilita a compreensão dos alunos sobre um determinado evento, pois, em muitos casos, a dificuldade deve-se ao fato de existir apenas uma visão estática da representação de sistemas naturais ou artificiais. Segundo Viali (2001), com um livro essa é a única maneira possível, mas com o uso de computadores os modelos podem e devem ser dinâmicos.

Em síntese, o uso de planilhas eletrônicas, tais como o Excel dispensa a realização de numerosos cálculos necessários, mas, irrelevantes para a aprendizagem da Estatística, podendo assim facilitar a compreensão do aluno, além disso, a simulação facilita o processo de aprendizagem, em razão do dinamismo no tratamento dos dados, mantendo o foco na análise e na modelagem, facilitando a compreensão desse conteúdo por parte dos alunos.

1.3 PESQUISAS QUE ENVOLVEM O ENSINO-APRENDIZAGEM DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

Tendo em vista as dificuldades conhecidas no processo de ensino-aprendizagem na Distribuição Binomial de Probabilidade, Souza (2002) desenvolveu um estudo cujo objetivo foi estudar os aspectos do ensino-aprendizagem desta distribuição no qual elaborou uma sequência didática que favoreceu sua apreensão.

(31)

apud SOUZA, 2002), e o uso de mais de um registro de representação, de acordo

com Duval (1993, apud SOUZA, 2002).

A sequência didática foi realizada por alunos que cursam Administração de Empresas, para o qual a Matemática e a Estatística são ferramentas. O desenvolvimento do trabalho evidenciou, além de algumas dificuldades enfrentadas pelos alunos, questões que não puderam ser tratadas no estudo em questão. Para Souza (2002), estas questões indicam temas para futuras pesquisas sobre ensino-aprendizagem de Probabilidade.

Dentre as conclusões da pesquisa realizada pela autora, destaca-se a constatação de que o uso da distribuição binomial de probabilidades pelos alunos deu-se mais pela força de um contrato didático9 do que pela efetiva apreensão do conteúdo.

1.4 PESQUISAS QUE ENVOLVEM O ENSINO-APRENDIZAGEM DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL

Este tópico inicia-se com a apresentação da pesquisa desenvolvida por Tauber (2001) em seu doutorado, completando o que já apresentamos desse trabalho no item 1.1.

Em sua pesquisa, Tauber (2001) usa um software denominado STATGRAPHICS e aborda o tema “Distribuição Normal”. Optou por esse software por estar instalado nos computadores da sala de informática onde aplicaria a sequência didática de sua pesquisa. Como o STATGRAPHICS, existem outros

softwares disponíveis no mercado, porém a decisão do uso do software deve estar

relacionada com as condições de planejamento das atividades, por esse motivo a referida autora fez tal opção.

A pesquisa foi realizada, entre 1998 a 2001, nas universidades de Sevilha e Granada. Era um curso sobre a Distribuição Normal, a partir de uma análise exploratória de dados com alunos universitários e propunha o uso de computadores na construção da curva normal.

9_{Contrato Didático: Relação estabelecida entre aluno-professor, implícita, na maior parte, no que diz respeito ao}

(32)

Os objetivos do estudo foram elaborar uma sequência didática sobre a Distribuição Normal, incorporando o computador como ferramenta didática; descrever os elementos de significados efetivamente observados na sequência didática; descrever os significados aplicados pelos alunos participantes das atividades planejadas e avaliar seu conhecimento no final da sequência didática (avaliação das características no processo de aprendizagem e no significado pessoal efetivamente construído pelos alunos participantes). Para isso, apoiou-se em um modelo que apresenta três dimensões: teoria dos significados institucionais e pessoais dos objetos matemáticos (GODINO Y BATANERO, 1994;1998 apud TAUBER, 2001), teoria das funções semióticas (GODINO, 1998 apud TAUBER, 2001) e teoria das trajetórias didáticas (GODINO, 1999 apud TAUBER, 2001)

Uma das conclusões da autora é a de que o objeto de estudo é muito complexo, e os alunos apresentaram dificuldades em vários conceitos básicos que deveriam ter sido ensinados na escola secundária.

Tauber (2001) analisou uma dezena de livros didáticos destinados ao ensino superior, visando aos conteúdos de estatística, precisamente de Distribuição Normal e verificou que os elementos extensivos ou os campos de problemas incluídos nestes livros são muito relevantes do ponto de vista teórico ou prático.

Do ponto de vista teórico, alguns dos teoremas mais importantes do cálculo de probabilidades (teorema central do limite) e alguns dos resultados mais úteis da inferência (obtenção de distribuições exatas e assintóticas na amostra) foram obtidos precisamente ao buscar resolver os referidos campos de problemas.

(33)

Em seguida, passamos para o estudo desenvolvido por Cohen e Chechille (1997) sobre a Distribuição Normal, valendo-se de novas tecnologias de ensino que dão ênfase à experimentação e à interpretação das simulações por meio do ambiente ConStats10_{, buscando soluções às seguintes questões:}

a) O que os alunos observam quando examinam uma simulação de uma distribuição de probabilidade?

b) As simulações ajudam efetivamente os estudantes a adquirirem uma

compreensão conceitual da Distribuição Normal?

c) Os exercícios interativos para conceitos relacionados com distribuições de

amostragem podem ser bem utilizados por meio das simulações?

d) Finalmente, boas práticas de avaliação podem ajudar a identificar quando

as simulações são eficazes e ineficazes?

Conforme Cohen e Chechille (1997), na década de 1990, vários estudos foram realizados com os objetivos curriculares para os cursos iniciais de estatística e probabilidade. Estes estudos convergem para mostrar os problemas na estrutura da educação estatística, dando origem a novos objetivos instrucionais e métodos de ensino. A partir dessas pesquisas, algumas mudanças foram sugeridas, por exemplo, trabalhar mais com dados reais e utilizar as tecnologias interativas para fazer a análise dos dados com mais eficiência e, dessa forma, proporcionar auxílio para ensinar conceitos mais complexos, priorizando o trabalho com os conceitos ao invés do trabalho com algoritmo.

Ainda segundo os autores, o uso de um software apropriado para o ensino das distribuições de probabilidade auxilia os alunos a compreender as diferenças entre as distribuições de dados e de probabilidade se os exercícios forem elaborados, para que os alunos familiarizem-se com as propriedades das distribuições de probabilidade, no caso a Distribuição Normal.

Se os alunos puderem modificar os parâmetros e se a curva for feita na mesma tela, os autores afirmam que isso poderá ajudá-los a compreender a relação entre os parâmetros da Distribuição Normal e a forma da curva.

(34)

As ilustrações 1 e 2 mostram exercícios elaborados no ambiente ConStats, utilizados como exposição aos alunos. É importante observar que estas figuras foram elaboradas por Cohen e Chechille (1997).

Fonte: Cohen e Chechille (1997, p. 3)

Ilustração 1: Exercício no ConStats

Fonte: Cohen e Chechille (1997, p. 6.)

(35)

Segundo os autores o ambiente ConStats facilita a compreensão dos conteúdos por meio de simulações. Embora os cálculos sejam importantes, as simulações realizadas no ambiente têm como objetivo familiarizar o aluno com o objeto de estudo, estimulando para que simule várias situações, modificando os parâmetros da Distribuição Normal de probabilidade.

Traçando um paralelo, conforme Quadro 1, Cohen e Chechille (1997); Tauber (2001); Viali (2001) e Souza (2002), observamos que:

QUADRO 1: Comparativo entre: COHEN E CHECHILLE (1997); TAUBER (2001); VIALI (2001) e

SOUZA (2002)

COHEN E

CHECHILLE (1997) VIALI (2001) TAUBER (2001) SOUZA (2002)

Utiliza de “exercícios interativos” para o ensino da distribuição normal. Propõe a redução ao mínimo possível do trabalho do aluno.

Defende que o estudo de estatística deve ser iniciado com base na coleta de dados reais e na análise exploratória dos dados.

Defende o ensino das distribuições de probabilidade no ensino médio.

Defende o ensino da distribuição normal por meio de simulações em ambiente específico (CONSTATS).

Acredita que a simulação por meio de planilhas eletrônicas facilita a compreensão dos alunos, promovendo uma dinâmica muito melhor na resolução dos exercícios,

Acredita que o software é um importante aliado ao ensino da estatística, por meio da experimentação e da simulação, pois a interatividade dá aos novos objetos um caráter menos abstrato.

Não menciona o estudo da Distribuição Binomial por meio de software, porém elaborou uma sequência de ensino para os alunos de sua pesquisa.

Com relação aos pontos mencionados no Quadro 1, apontamos algumas semelhanças dos trabalhos pesquisados com nosso estudo:

• Buscamos sempre trabalhar os exercícios “a partir da coleta de dados reais”, visando a melhor apreensão dos conteúdos por parte dos alunos, conforme aponta Tauber (2001), pois as pesquisas mostram que trabalhar com dados fictícios dificulta o aprendizado;

• Conforme aponta Souza (2002) no que diz respeito ao ensino das

distribuições de probabilidade, elaboramos uma sequência didática voltada para o ensino médio;

• por meio desta sequência didática, procuramos relacionar os ambientes de

(36)

planilha eletrônica, conforme mostram Cohen e Chechille (1997); Hochsztain et al. (1999); Viali (2001) e Tauber (2001) no intuito de diminuir a dificuldade apresentada pelos alunos, evitando cálculos complexos que desestimulem os alunos no estudo da estatística;

• em nossa sequência didática, usamos os exercícios interativos a fim de

diminuir o nível de complexidade associado à Distribuição Normal, conforme referem em seu artigo Cohen e Chechille (1997). Os autores citados evidenciam a dificuldade encontrada pelos alunos para interpretar o conceito de curva assintótica, pois a curva normal não toca o eixo das abscissas. Para elucidar esse conceito, utilizamos o esboço da curva em um papel quadriculado.

1.5 ASPECTOS DO DISCURSO OFICIAL

O objetivo deste tópico é descrever o que os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio - PCNEM (BRASIL, 1998), discorrem sobre o tema deste estudo.

1.5.1 Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio

Os PCNEM (BRASIL, 1998) ressaltam a importância que a educação seja direcionada para o desenvolvimento das capacidades de resolver problemas, de comunicação, de tomar decisões, de fazer inferências, criar, aperfeiçoar conhecimentos e valores e trabalhar cooperativamente.

Visam à adequação para o desenvolvimento e promoção dos alunos, oferecedo-lhes condições para o ingresso em um ambiente em constante mutação no qual poderão contribuir com as mudanças, conforme sua capacidade profissional.

(37)

se reconheça e oriente-se no mundo do conhecimento em constante transformação. Assim, as finalidades do ensino de Matemática no nível médio indicam como objetivos levar o aluno a:

a) compreender os conceitos, procedimentos e estratégias matemáticas que permitam a ele desenvolver estudos posteriores e adquirir uma formação científica geral;

b) aplicar seus conhecimentos matemáticos a situações diversas, utilizando-os na interpretação da ciência, na atividade tecnológica e nas atividades cotidianas;

c) analisar e valorizar informações provenientes de diferentes fontes, utilizando ferramentas matemáticas para formar uma opinião própria que lhe permita expressar-se criticamente sobre problemas da Matemática, das outras áreas do conhecimento e da atualidade;

d) desenvolver as capacidades de raciocínio e resolução de problemas, de comunicação, bem como o espírito crítico e criativo;

e) utilizar com confiança procedimentos de resolução de problemas para desenvolver a compreensão dos conceitos matemáticos;

f) expressar-se oral, escrita e graficamente em situações matemáticas e valorizar a precisão da linguagem e as demonstrações em Matemática; g) estabelecer conexões entre diferentes temas matemáticos e entre esses

temas e o conhecimento de outras áreas do currículo;

h) reconhecer representações equivalentes de um mesmo conceito, relacionando procedimentos associados às diferentes representações; i) promover a realização pessoal mediante o sentimento de segurança em

relação às suas capacidades matemáticas, o desenvolvimento de atitudes de autonomia e cooperação. (BRASIL, 1998, p. 42)

Com relação à estatística e probabilidade, os PCNEM (1998) destacam:

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problemas com dados reais e requerem habilidades de seleção e análise de informações (BRASIL, 1998, p. 43 e 44).

Em geral, as competências e habilidades a serem desenvolvidas em Matemática no EM, segundo os PCNEM (BRASIL, 1998), quanto à representação e comunicação relacionadas à estatística e probabilidade são as seguintes: ler e interpretar textos de Matemática; ler, interpretar e utilizar representações matemáticas (tabelas, gráficos, expressões, etc.); transcrever mensagens matemáticas da linguagem corrente para a linguagem simbólica (equações, gráficos, diagramas, fórmulas, tabelas, etc.) e vice-versa; exprimir-se com correção e clareza, tanto na língua materna como na linguagem matemática, usando a terminologia correta; produzir textos matemáticos adequados; utilizar adequadamente os recursos tecnológicos como instrumentos de produção e comunicação.

Quanto à investigação e compreensão, esperamos que os alunos desenvolvam habilidades e competências para identificar o problema (compreender enunciados, formular questões, etc.); procurar, selecionar e interpretar informações relativas ao problema; formular hipóteses e prever resultados; selecionar estratégias de resolução de problemas; interpretar e criticar resultados em uma situação concreta; distinguir e utilizar raciocínios dedutivos e indutivos; fazer e validar conjecturas, experimentando, recorrendo a modelos, esboços, fatos conhecidos, relações e propriedades; discutir ideias e produzir argumentos convincentes.

(39)

1.6 OBJETOS MATEMÁTICOS

Este item tem como objetivo apresentar as definições dos objetos matemáticos utilizados na construção da sequência didática, empregada em nossa pesquisa.

1.6.1 Espaço amostral

Na natureza, há dois tipos de fenômenos: determinísticos e aleatórios. Nos determinísticos, os resultados são sempre os mesmos, qualquer que seja o número de ocorrências verificadas (MORETTIN, 1999). Nos aleatórios, os resultados não são previsíveis, mesmo que haja um grande número de repetições do mesmo fenômeno. Para Morettin (1999), os experimentos aleatórios podem ser considerados como fenômenos produzidos pelo homem ou não. Em tais experimentos, mesmo que as condições iniciais sejam sempre as mesmas, os resultados finais de cada tentativa do experimento poderão ser diferentes e não previsíveis. O espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.

Segundo Viali:

Ao descrever um espaço amostral de um experimento, deve-se ficar atento para o que se está observando ou mensurando. Deve-se falar em “um” espaço amostral associado a um experimento e não de “o” espaço amostral. Deve-se observar ainda que nem sempre os elementos de um espaço amostral são números. (VIALI, 2009, p. 12)

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QUADRO 2: Classificação de um Espaço Amostral INFINITO FINITO S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} S2 = {0, 1, 2, 3, 4} S3 = {cccc, ccck, cckc, ckcc, kccc, cckk, kkcc, ckck, kckc, kcck, ckkc, ckkk, kckk, kkck, kkkc, kkkk} S4 = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 10} S7 = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} S8 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6) (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6) (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6) (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} ENUMERÁVEL S6 = {1, 2, 3, 4, 5, ...} NÃO ENUMERÁVEL

{

0

}

5 = t∈R/t≥ S

Fonte: adaptação do texto de Viali (2009).

1.6.2 Eventos

Qualquer subconjunto de um espaço amostral é denominado evento, assim os eventos especiais são:

S é o evento certo.

{a} é o evento elementar (todo subconjunto unitário do espaço amostral). ∅ é o evento impossível.

É possível realizar operações entre eventos do mesmo modo que são realizadas entre conjuntos. Por ocorrência de um evento, entende-se:

Seja E um experimento com um espaço amostral associado S. Seja A um evento de S. É dito que o evento A ocorre se realizada a experiência, isto é, se executado E, o resultado for um elemento de A. (VIALI, 2009, p. 12)

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QUADRO 3: Operações com Eventos

1. A união B, anotado por A U B: o evento A ocorre e/ou o evento B ocorre.

2. A interseção B, anotado por A∩B ou AB: o evento A ocorre e o evento B ocorre.

3. A menos B ou A diferença B, anota-se A – B: o evento A ocorre e o evento B não ocorre.

4. O complementar de A, anotado por A, AC_{ou ainda A’: o evento A não ocorre}

OU

A

Fonte: Adaptado de Viali, (2009, p. 13-14)

Os eventos podem ser mutuamente excludentes. Segundo Viali (2009), dois eventos A e B são denominados mutuamente excludentes se eles não puderem ocorrer juntos, ou seja, se A∩B = ∅.

As operações citadas resultam em novos eventos, dos quais se pode querer determinar a probabilidade e, assim, determinar a função de probabilidade associada a esses eventos.

O fato de nosso interesse estar voltado à distribuição normal, vale dizer que se considerarmos as variáveis aleatórias11 associadas aos eventos A e B, podemos realizar com essas variáveis as mesmas operações feitas com A e B. O resultado dessas operações é também uma variável aleatória.

(42)

1.6.3 Probabilidade

Probabilidade é a função P que atribui valores numéricos aos eventos do espaço amostral (MAGALHÃES E LIMA, 2004). Segundo Viali (2009), existem três enfoques para definir probabilidade: o enfoque clássico, o frequencial e o axiomático (Quadro 4).

QUADRO 4:Enfoques de Probabilidade

CLÁSSICO FREQUENCIAL AXIOMÁTICO

Seja E um experimento aleatório e S um espaço amostral associado, formado por “n” resultados igualmente prováveis. Seja A ⊆S um evento com “m” elementos. A probabilidade de A, anotada por P(A), lê-se pe de A, é definida como sendo: P(A) = m / n

Isto é, a probabilidade do evento A é a razão entre o número “m” de casos favoráveis e o número “n” de casos possíveis.

Definição é apresentada no 2º Princípio da axiomatização proposta por Laplace. (COUTINHO, 1994)

Seja E um experimento e A um evento de um espaço amostral associado S. Suponhamos que E é repetido “n” vezes e seja frA a frequência relativa do

evento. Então, a probabilidade de A é definida como sendo o limite de frA quando “n” tende

ao infinito. Ou seja: ∞ → = n A fr lim ) A ( P

Deve-se notar que a

frequência relativa do evento A é uma aproximação da

probabilidade de A.

As duas se igualam apenas no limite. Em geral, para um valor de n razoavelmente grande, a frA é uma boa aproximação de

P(A).

Seja E um experimento aleatório com um espaço amostral associado S. A cada evento A ⊆S associa-se um número real, representado por P(A) e denominado

“probabilidade de A”, que satisfaz as seguintes condições:

(i) 0 ≤ P(A) ≤ 1; (ii) P(S) = 1;

(iii) P(AUB) = P(A) + P(B) se A

e B forem eventos

mutuamente excludentes;

(iv) Se A1, A2, ..., An, ...,

forem, dois a dois, eventos mutuamente excludentes, então: ) A ( P A ) U ( P i n i i n i=1 =1 ∑ =

Crítica a esta definição: A definição não pode ser aplicada quando o espaço amostral é infinito.

Crítica a esta definição: Esta definição, embora útil, na prática apresenta dificuldades matemáticas, pois o limite pode não existir.

Sem críticas

Fonte: Adaptação do texto de Viali (2009).

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1.6.4 Variável aleatória

As definições propostas por Morettin (1999) e Viali (2009) foram adotadas, mas também são encontradas nos diversos livros didáticos para o ensino de probabilidade.

Seja E um experimento com um espaço amostral associado S. Uma função X que associe a cada elemento de S (s∈S) um número real x = X(s) é denominada

variável aleatória. ) s ( X x s S : X = → ℜ →

A imagem da variável aleatória X é chamada conjunto de valores de X e anotada por X(s), da seguinte forma:

} x ) s ( X / R x { ) S ( X = ∈ =

Uma variável aleatória X é dita discreta se seu conjunto de valores X(S) é finito ou, então, infinito contável ou enumerável.

1.6.5 Função de Probabilidade (variável discreta)

Seja X uma variável aleatória discreta (VAD), isto é, com X(S) finito ou infinito enumerável, definida em um espaço amostral S. A cada resultado xi de X(S)

associa-se um número f(xi) = P(X = xi) denominado probabilidade de xi e tal que

satisfaça as seguintes condições:

(44)

A função “f”, assim definida é denominada de função de probabilidade de X. A coleção dos pares (xi, f(xi)) para i = 1, 2, 3, ... é chamada de distribuição de

probabilidade da VAD X.

Expectância, esperança, média ou valor esperado de uma variável aleatória discreta

Coutinho e Novaes (2008) interpretam a média como sendo o ponto de equilíbrio dos desvios dos valores de uma distribuição no qual encontrar a média é verificar o valor que equilibra os dados como se fosse o fiel de uma balança e também que a média equivale ao centro de massa de um conjunto de dados. Como todos os valores desta distribuição são considerados, mesmo que discrepantes, a média é altamente influenciada pelos extremos e, por isso, a análise de seu valor de maneira isolada, compromete o significado e, então, outras medidas que mostram a variabilidade dos dados são necessárias para torná-la confiável.

A média, expectância, valor esperado ou esperança matemática da variável aleatória X é representada por µ ou E(X) e calculada por:

) x ( f. x ... ) x ( f. x ... ) x ( f. x ) x ( f. x ) X ( E = + + + _n _n + =∑ _i _i = µ ₁ ₁ ₂ ₂

A variância de uma variável aleatória discreta

Seja X uma variável aleatória discreta com média µ = E(X). Então, a variância de X, anotada por σ2 ou V(X) é definida por:

2 2 2 2 2 2 1 1 2 _V₍_X₎ _f₍_x _).(_x ₎ _f₍_x _).(_x ₎ _... _f₍_x _).(_x ₎ _.. _f₍_x_).(_x ₎ i i n n −µ + =∑ −µ + + µ − + µ − = = σ

(45)

O desvio-padrão

O desvio-padrão é um número que mostra a média dos desvios em relação à media, assim, ele representa a variabilidade média da distribuição.

O desvio-padrão da variável X, anotado por σ, é a raiz quadrada da variância.

1.6.6 Função Densidade de Probabilidade (variável contínua)

Seja E um experimento e S um espaço amostral associado. Se X é uma variável aleatória definida em S, tal que X(S) seja infinito não enumerável, isto é, X(S) seja um intervalo de números reais, então, X é dita uma variável aleatória contínua.

Definição

Seja X uma variável aleatória contínua (VAC). A função f(x) que associa a cada x ∈ X(S) um número real que satisfaz às seguintes condições:

∫

= ∈ ≥ ) S ( X f(x)dx ) b ( e ) S ( X x todo para , ) x ( f ) a ( 1 0

é denominada função densidade de probabilidade (fdp) da variável aleatória X. Neste caso, f(x) representa apenas a densidade no ponto x; ao contrário da variável aleatória discreta, f(x) aqui não é a probabilidade da variável assumir o valor x. Esta só poderá ser definida em um intervalo (a área abaixo da curva de f(x)), representada por

_∫

f(x)dx, vale zero para todo ponto fixo:

_∫

a =

af(x)dx 0. Para definir a probabilidade, tem-se < < =

_∫

b af(x).dx ) b x a ( P

1.6.7 Modelo de Distribuição de Probabilidade (Binomial e Normal)

(46)

termos de complexidade cognitiva, elas são equivalentes e podem ser usadas como introdução ao estudo de outras distribuições.

Distribuição Binomial

Consideremos n tentativas independentes de um mesmo experimento aleatório. Cada tentativa admite apenas dois resultados: fracasso com probabilidade q e sucesso com probabilidade p, sendo p + q = 1. As probabilidades de fracasso e sucesso são as mesmas para cada tentativa.

Seja X: número de sucesso em n repetições do experimento. Determinaremos a função probabilidade da variável X, isto é, P(X = k), onde k é o número de sucessos observados nas n repetições.

Um resultado particular (RP): ₁₄₂₄₃₁₄₂₄₃ k n k F ... FFF S ... SSS − . Logo,

(

)

(

)

k n k k n k q p q ... q . q . p ... p . p F ... SFFF ... SSS P P R P − − = = = 43 42 1 43 42 1 . Considerando todas as

n-uplas com k sucessos, temos:

(

)

_pk _qn k

k n k X P −       = =

A variável X tem distribuição binomial, com parâmetros n e p, e a indicamos pela notação: X: B (n, p).

Distribuição Normal

Um dos principais modelos de distribuição contínua é a distribuição normal, sua importância para a Estatística (prática) reside no fato de que muitas variáveis encontradas na natureza distribuem-se, conforme o modelo normal.

Uma variável aleatória contínua X tem uma Distribuição Normal (ou Gaussiana), se sua função densidade de probabilidade for do tipo: