Prove que a matriz A

MAT5730 - ÁLGEBRA LINEAR LISTA 5

Nesta listaVé umK-espaço vetorial com produto internoh, i,ondeK=_RouK=_C.

1. SejaT:W → Zuma transformação linearinjetoraentreK-espaços vetoriais. Suponha queh, i, é um produto interno emZ. Mostre quehhw₁,w₂ii = hT(w₁),T(w₂)ipara todosw₁,w₂ ∈ W define um produto interno emW.

2. Dizemos que uma matrizG= (g_ij)∈ Mn(K)épositiva se (i) G^∗ = G;

(ii) para toda matriz coluna não nulaX∈ Mn×1(_K)_{tem-se queX}^∗_GX >_0.

(a) Mostre que seVé umK-espaço vetorial com produto internoh,ie seB= {v₁,v₂, ...,v_n}é uma base deVentãoG = (g_ij) ∈ Mn(K), onde g_ij = v_j,v_i

para todo 1 ≤ i,j ≤ né uma matriz positiva.

(b) Mostre que seG= (g_ij)∈ M_n(K)é uma matriz positiva , seB = {v₁,v₂, ...,v_n}é uma base de umK−espaço vetorialVe seu,v∈Vsão tais queu=_∑ⁿ_i=1x_iv_iev= _∑ⁿ_i=1y_iv_i,

hu,vi=

∑

∑

y_jx_kg_jk

define um produto interno emV.

3. Prove que a matriz

A=













1 ¹₂ · · · ¹_n

1

2 1

3 · · · _n+¹₁ ... ... ...

1

n 1

n+1 · · · _2n¹₋₁













é uma matriz positiva.

4. Prove| hu,vi |=kukkvk, se, e somente se,uevsão linearmente dependentes.

5. (a) SeK =R, mostre que parau,v∈V,hu,vi=0⇔ ku+vk²=kuk²+kvk². (b) Mostre que (a) é falso seK=_C.

(c) SeK = _C, mostre que parau,v ∈ V,hu,vi = 0 ⇔ kαu+βvk² = kαuk²+kβvk², para todos α,β∈_C.

6. Mostre que vale alei do paralelogramo:

ku+vk²+ku−vk² =2kuk²+2kvk², para todosu,v∈V.

7. Se K = R, mostre que, para u,v ∈ V, kuk = kvkse, e somente se, u+v e u−v são ortogonais.

Discuta a afirmação paraK=_C.

8. SeVum espaço vetorial sobreC, mostre que vale aidentidade de polarização, para todosu,v ∈V:

4hu,vi=ku+vk²− ku−vk²+iku+ivk²−iku−ivk².

Mostre que seVé um espaço vetorial sobreRentão vale aidentidade de polarização, para todos u,v∈V: 4hu,vi=ku+vk²− ku−vk².

9. Encontre uma base ortonormal de cada um dos seguintes subespaços Se determine também, em cada caso, o subespaçoS^⊥.

(a) S é o subespaço deC³ gerado pelos vetores v₁ = (1, 0,i)e v₂ = (2, 1, 1+i), com o produto interno usual.

(b) S={(x,y,z)∈_R³|x+y+z=0}, com o produto interno usual.

(c) S={p(t)∈ P₃(_R)| tp⁰(t) = p(t)}ehp,qi= R1

0 p(t)q(t)dt.

(d) S={A∈ M₃(_R)| _tr(A) =₀}_ehA,Bi=_tr(AB^t)_.

10. SejamW um subespaço deV e v ∈ V. Um vetorw ∈ W é umamelhor aproximação para v por vetores em Wsekv−wk ≤ kv−uk, para todou∈W. Prove que

(a) O vetor w ∈ W é uma melhor aproximação parav ∈ V por vetores emW se, e somente se, v−w∈W^⊥.

(b) Se uma melhor aproximação parav∈Vpor vetores emW existe, então ela é única.

(c) Se dimW < _∞então existe uma melhor aproximação para v ∈ V por vetores emW e ela é dada porw=

∑

hv,e_iie_i, onde{e₁,e₂, ...,e_k}é uma base ortonormal qualquer deW.

Tal vetor é chamado deprojeção ortogonal dev em W.

11. SejamW um subespaço de V ev ∈ V. Seja E : V → V a função tal que E(v) = w, a projeção ortogonal devemW. (Assuma que, para todov∈ V, existe talw.) Prove que

(a) Eé um operador linear emV.

(b) Eé idempotente.

(c) ImE=We KerE=W^⊥. (d) V=W⊕W^⊥.

12. ConsidereR³com o produto interno usual e seja W o subespaço gerado pelos vetores (1,−1, 1)e (1, 1, 1). Encontre o operador linearE(do exercício anterior), ache a matriz deEna base canônica de R³.

13. Determine o mínimo do conjunto _{Z 1}

0

(t²−at−b)²dt:a,b∈_R

. (Resposta: ₁₈₀¹ .)

14. SejaV =C([0, 1])o espaço das funções contínuas no intervalo[0, 1]com o produto internohf,gi= R1

0 f(t)g(t)dt.

(a) Exiba uma base ortonormal do subespaço deVgerado pelos polinômios 1,tet².

(b) Encontre o polinômio de grau menor ou igual a 2 que melhor aproxima f(t) = costno inter- valo[0, 1].

15. Seja W um subespaço de dimensão finita deV. Mostre que (W^⊥)^⊥ = W. O resultado continua verdadeiro se a dimensão de W não é finita? Considere R[x] com o produto interno hp,qi = R1

0 p(x)q(x)dxe sejaUo subespço constituído por todos os polinômios com termo constante igual a zero. Mostre queU^⊥ ={0}e entãoU^⊥⊥=_R[x]6=U. TambémR[x]6=U⊕U^⊥.

16. Desigualdade de Bessel:Seja{e₁, . . . ,en}um conjunto ortonormal deV. Então

∑

|hx,e_ki|² ≤ kxk² para todox ∈V.

Além disso, seW =he₁,e₂, . . . ,e_nientão são equivalentes:

(a) x∈W;

(b) ∑ⁿk=1|hx,e_ki|²= kxk²; (c) x= _∑ⁿ_k=1hx,e_kie_k;

(d) hx,yi=_∑ⁿ_k=1hx,e_kihe_k,yipara todoy∈V.

17. Identidade de Parseval:Suponha que{e₁, . . . ,e_n}é uma base ortonormal deV. Mostre quehx,yi=

∑ⁿk=1hx,e_kihe_k,yipara todosx,y∈V.

18. SejaW um subespaço de dimensão finita deV. Existem, em geral, várias projeções cuja imagem é W. Uma delas, a projeção ortogonal, tem a propriedade quekE(v)k ≤ kvk, para todov ∈V. Prove seE∈L(V)é uma projeção cuja imagem éWekE(v)k ≤ kvk, para todov∈ V, entãoEé a projeção ortogonal emW.

(Sugestão:Prove quehE(v),v−E(v)i=0, para todov∈Vse, e somente se,hu,E(v)i=0, para todo u∈kerEev∈V. )

19. SejamW um subespaço de dimensão finita deV e E a projeção ortogonal deV em W. Prove que hE(v),ui=hv,E(u)ipara todosu,v∈ V. Ou seja,Eé autoadjunto.

20. SejamV eW espaços vetoriais de mesma dimensão (finita) sobreKe com produtos internosh, i_V e h,i_W, respectivamente. Seja T : V → W uma transformação linear. Prove que as seguintes afirmações são equivalentes:

(a) hT(u),T(v)i_W =hu,vi_Vpara todosu,v∈V.

(b) Tlevatodabase ortonormal deVem uma base ortonormal deW.

(c) Tlevaumabase ortonormal deVem uma base ortonormal deW.

(d) kT(v)k_W =kvk_{Vpara todo}v ∈V.

TalTé umisomorfismo de espaços com produto interno.

21. Uma matriz A ∈ M_n(K)é chamadaortogonalse AA^t = I_n eunitáriase AA^∗ = I_n. Encontre um exemplo de uma matriz complexa unitária que não é ortogonal e um exemplo de uma matriz que é ortogonal e não é unitária.

22. Seja T o operador linear emC² (com o produto interno usual) definido por: T(1, 0) = (1+i, 2)e T(0, 1) = (i,i). Determine a matriz deT^∗em relação à base canônica deC². Vale queTT^∗ = T^∗T?

23. SejaTum operador linear emVque possui um adjuntoT^∗.

(a) Mostre que KerT^∗ = (ImT)^⊥e que ImT^∗ ⊂(KerT)^⊥. (b) Mostre que se dimV <∞, então ImT^∗ = (KerT)^⊥. (c) SejaV = C([0, 1],R), com o produto internohf,gi = R1

0 f(t)g(t)dt, eT ∈ L(V)definida por:

f 7→ T(f), com T(f)(t) = t f(t) para todo t ∈ [0, 1]. Determine T^∗ e mostre que ImT^∗ 6=

(KerT)^⊥.

24. SejaT∈ L(V). Prove que seTé inversível, entãoT^∗é inversível e(T^∗)⁻¹ = (T⁻¹)^∗.

25. Suponha queV é de dimensão finita e sejaT: V → Vum operador linear. Dado um subespaçoW deV, mostre queW éT-invariante se, e somente se,W^⊥éT^∗-invariante.

26. Sejan um inteiro positivo. ConsideremosKⁿ com o seu produto interno usual. SejaT: Kⁿ → Kⁿ, T(z₁, . . . ,z_n) = (0,z₁, . . . ,z_n−1). Encontre uma fórmula paraT^∗(z₁, . . . ,z_n).

27. Suponha queVé de dimensão finita. SejamT: V→Vum operador linear eλ∈ K. Mostre queλé um autovalor deTse, e somente se,λé um autovalor deT^∗.

28. Suponha queK=_{Ce dim}V<_{∞. Seja}T: V→Vum operador linear. Definimos T₁= ¹

2(T+T^∗), T₂ = ¹

2i(T−T^∗). Mostre que

(a) T₁eT₂são autoadjuntos;

(b) T= T₁+iT₂;

(c) SeT=S₁+iS₂ondeS₁,S₂∈ L(V)são autoadjuntos, entãoT₁=S₁eT₂=S₂.

(d) Té normal se, e somente se,T₁eT₂comutam, se, e somente seTT^∗ =T^∗T =T₁²+T₂².

29. SejaTum operador linear emV que possui um adjuntoT^∗. Prove que as seguintes afirmações são equivalentes:

(a) T^∗ =_T.

(b) hT(u),vi= hu,T(v)i, para todosu,v∈V.

Se dimV <_∞, (a) e (b) são equivalentes a

(c) Tpode ser representado por uma matriz autoadjunta em relação a uma base ortonormal deV.

(Um operador linear emVque tem uma das (e, portanto, todas as) propriedades acima é chamado autoadjuntoouhermitiano.)

30. Seja Eum operador linear em V tal que E² = Ee tal que E possui um adjuntoE^∗. Prove que E é autoadjunto se, e somente se EE^∗ = E^∗E. Prove também que, neste caso, Eé a projeção ortogonal emW =ImE.

31. Sejam V um espaço vetorial sobre C e T ∈ L(V). Prove que T é autoadjunto se, e somente se hT(v),vi ∈R, para todov∈ V.

32. SejamVum espaço vetorial sobreCeT∈ L(V). Prove que sehT(v),vi=0, para todov∈V, então T=0. Dê um exemplo para mostrar que o mesmo resultado não é necessariamente verdadeiro seV é um espaço vetorial sobreR.