Estrutura Atômica

Estrutura Atômica Átomo de Hidrogênio:

Uma das aplicações da solução da equação de Schrodinger é o átomo de hidrogênio.

O resultado apresenta estados ligados que possuem energia quantizada.

Além da energia, veremos que o momento angular

também é quantizado.

Átomo de hidrogênio:

Conhecido a equação de Schrodinger e o procedimento para obter os estados estacionários, iremos:

• descrever os estados de um átomo de hidrogênio em termos de números quânticos

• ação de campos magnéticos sobre o momento or-

Átomo d3 hidrogênio:

O átomo de hidrogênio consiste de um próton de carga

positiva +|e| concentrando a massa do sistema e um

elétron de massa muito menor e carga negativa −|e| .

Esse sistema quântico pode ser descrito pela coorde-

nada relativa entre o próton e o elétron. Por ser mas-

sudo, o centro de massa está sob o próton e a distância

entre o próton e o elétron é, aproximadamente, a co-

ordenada relativa.

Equação de Schrodinger do H:

Supondo que o átomo esteja em um estado estacionário, Ψ(r, θ, φ, t) = ϕ(r, θ, φ)e ^{−iEt/ ~}

onde E e ϕ(r, θ, φ) são determinados pela equação de Schrodinger,

− ~

2m ∇ ² ϕ(rθ, φ) − e ²

4π ₀ r ϕ(r, θ, φ) = Eϕ(r, θ, φ)

Solução da equação de Schrodinger:

A solução da equação de Schrodinger é feita pela sep- aração dde3 variáveis,

ϕ(r, θ, φ) = R(r)P (θ)F (φ)

ao substituir na equação de Schrdoniger temos 3 equações

diferenciais ordinárias.

Solução da equação de Schrodinger:

A equação que envolve a variável φ tem como solução:

F (φ) = e ^im

^φ

onde, pelas condições de continuidade da função, m _` é

um inteiro que pode ser positivo ou negativo.

Solução da equação de Schrodinger:

A equação que envolve a variável θ tem como solução:

P (θ) = P _` ^m

(θ)

é um polinômio de Legendre associado e, pelas condições

de continuidade da função, ` é um inteiro positivo.

Solução da equação de Schrodinger:

A equação que envolve a variável r tem como solução:

R(r) = e ^−r/a

r a ₀

! _`

L <sup>2`+1</sup> <sub>n+`</sub> (r/a ₀ )

com L <sup>2`+1</sup> <sub>n+`</sub> (x) o polinômio associado de Laguerre e a ₀

o raio de Bohr. Pelas condições de continuidade da

função, n é um inteiro positivo diferente de zero.

Estado estacionário do H:

Ao resolver a equação de Schrodinger temos, ϕ(r, θ, φ) → ϕ _n`m

`

(rθ, φ) onde

• n é o número quântico principal, n = 1, 2, 3, · · ·

• ` é o número quântico orbital, ` = 0, 1, · · · , n − 1

• m _{`</sub> é o número quântico magnético, m <sub>`} = 0, ±1, ±2, · · · , ±`

Energia do estado ligado:

A energia do estado ϕ _n`m

`

depende somente do número quântico principal, n e é dado por:

E _n = − 1 (4π ₀ ) ²

me ⁴ 2n ² ~ ²

= − 13, 6 eV

n ²

Degenerescência de estados:

Como a energia depende de n vemos que é possível obter vários estados estacionários com a mesma ener- gia. A isso chamamos de degenerescencia de estados.

Para n = 1 , não temos degenerescência pois o único estado com essa energia é ϕ ₁₀₀ .

Para n = 2 temos ` = 0, 1 e para ` = 1 temos m _` =

−1, 0, 1 , ou seja, há quatro estados degenerados para

n = 2 , são eles: ϕ ₂₀₀ , ϕ ₂₁₋₁ , ϕ ₂₁₀ e ϕ ₂₁₁ .

Quantização do momento angular:

Como n está relacionado com a energia, ` está rela-

cionado ao módulo do momento angular e m _` está

relacionadao com a projeção do momento angular na

direção z .

Módulo do momento angular:

Dado que o elétron orbita em torno do próton, há uma variável mecânica que indica esse movimento.

Essa variável é o momento angular e a relação do mó- dulo dessa variável com o número quântico ` é

|L| = ~

q

`(` + 1)

Observe quie ` é limitado por n , ou seja, o momento

angular é limitado pela energia.

Projeção do momento angular:

O movimento rotacional do elétron no plano pode ser indicado pela projeção do vetor de momento angular na direção z . Ou seja, o plano na qual o elétron orbita é perpendicular a esse vetor.

A relação da projeção no eixo z do vetor momento angular com o número quântico magnético é dado por:

L _z = ~ m _`

e, portanto, também é quantizada.

x − y é

θ _L = arccos L _z

|L|

Efeito Zeeman:

O efeito é o desdobramento dos níveis de energia nas linhas espectrais devido a aplicar um campo magnético externo.

Esse efeito verica a quantização do momento angular.

Momento magnético do H:

O elétron, em órbita ao redor do núcleo, exibe um mo-

mento magnético para o átomo por ser uma carga per-

correndo um circuito fechado.

Modelo clássico do momento magnético de H:

No modelo mais simples, vemos o movimento rota- cional do elétron como uma espira de área A que passa uma corrente I .

Dado que:

I = ev

2πr A = πr ²

temos como momento magnético do átomo,

~

µ = IAˆ n = evr 2 ˆ n

onde ˆ n é o versor perpendicular a superfície A .

Momento magnético quantizado de H:

Na física quântica o vetor de momento angular tem sua projeção no eixo z quantizada. Assim,

µ _z = − e

2m L _z = −m _` e ~

2m

onde m <sub>`</sub> = 0, ±1, ±2, · · · ± `

Deslocamento de energia deH sob um campo B :

Quando um dipolo magnético é colocado sob um campo magnético B ~ = B ˆ z , a energia de interação é:

U _mag = −µ _z B = m _` µ _B B onde µ _B é o magneton de Bohr.

Desse modo podemos quebrar a degenerescência e ver-